Wärmetransport in Fliessgewässern

Wolfgang Kinzelbach, Olaf CirpkaModellierung der Wasserqualität

in Fliessgewässern, SS06

Warum Temperaturmodelle?

• Temperatur ist ein universeller Parameter, der alle Prozesse beeinflusst

• Es gibt Grenzwerte für die Temperatur• Flüsse verfügen deshalb über eine

begrenzte Wärmeaufnahmekapazität, die bewirtschaftet werden muss

• In Seen bestimmt das Temperaturprofil wesentlich die vertikale Vermischung

Wärmetransportgleichung (1)• Extensive (transportierte) Grösse

– Wärmeenergie im Volumen VcpT– Wärmeenergie pro Volumen cpT– Einheit: J oder Ws (alte Einheit cal: 1 J = 4.2 cal)

• Intensive Grösse in Transportgleichung– Temperatur T– Aufwärmespanne T bezüglich Basistemperatur T0 – Einheit °C oder K

• Umrechnungsfaktor– cp = 4.2 x106 J/(m3K)

Wärmetransportgleichung (2)• Transportgleichung für Temperatur T

• H(T) ist der Wärmefluss (J/m2/s = W/m2)– Wärmeaustausch durch Wasseroberfläche– Wärmeaustausch durch Sohle (im folgenden vernachlässigt)– Im Nenner des Wärmeaustauschterms steht die Wärmekapazität

der Wassersäule mit Tiefe h und Einheitsfläche

TTAq

hcTH

xTAD

xAxTu

tT

inp

1

Wärmeflüsse durch die Wasseroberfläche

Direkte und diffuse Sonnenstrahlung = Globalstrahlung (kurzwellig)

Atmosphärische Gegenstrahlung (langwellig)

R eflektierter Anteil

R eflektierter Anteil

L angwellige Abstrahlung

Verdunstung / Kondensation

Konvektion (fühlbare Wärme)

H S

H G

r s H S r G H G H W H V H K

(1 - r G ) H G (1 - r S ) H S

SW GW W V KH H H H H H

HSW HGW

Globalstrahlung

HSW Wärmefluss ins WasserrS Reflektionsfaktor (ungef. 0.15)w Bewölkungsfaktor (0 = wolkenlos, 1 = stark bewölkt)0.65 berücksichtigt diffuse Strahlung bei BewölkungHS = f(geografische Position, Datum, Solarkonstante)

SSSW rwHH 165.01

Rand der Atmosphäre HS = 1370 W/m2 (fast konstant) Erdboden im Mittel bei uns HS=100 W/m2 (schwankt stark: Jahreszeit, Tag-Nacht)

Atmosphärische Gegenstrahlung (1)

HGW Wärmefluss ins WasserrG Reflektionsfaktor (ungef. 0.03)

GGGW rHH 1

20 1 kwHH GG

k Wolkenartfaktor (0.04 – 0.25)w Bewölkungsgrad

Atmosphärische Gegenstrahlung (2)

4069.00 27310294.0848.0'

L

EG TH

0GH Atmosphärische Gegenstrahlung bei wolkenlosem Himmel

Stefan-Boltzmann-Konstante [W/(m2K4)]

Wasserdampfpartialdruck der Luft [mm Hg]

Lufttemperatur in 2 m Höhe (Standardhöhe) [°C]

8107.5

LEE '

LT

Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa

Annahme: Schwarzer Strahler

Langwellige Abstrahlung

427397.0 WW TH

TW Wassertemperatur [°C]

0.97 Emissivität, im Einklang mit rG = 0.03

Stefan-Boltzmann-Konstante [W/(m2K4)]

8107.5

Abhängig von Wassertemperatur

Strahlungsbilanz

Verdunstung/Kondensation

vz Windgeschwindigkeit in der Höhe z über dem Wasserspiegel

EL,z Wasserdampfpartialdruck der Luft in der Höhe z (in mm Hg)

ES Sättigungsdampfdruck (Funktion der Wassertemperatur TW) (in mm Hg)

f(vz) Windformel, allgemeine Form:

WSzLzV TEEvfH ,

3221c

z vccvf

Beispiel: Formel nach Trabert(nicht verwendbar für Seen) 01 c

Abhängig von Wassertemperatur

Hg 64.11 22 mmm

Wc 5.03 c

Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa

zLWS ETE ,

Kondensation falls

Konvektion

vz Windgeschwindigkeit in der Höhe z über dem Wasserspiegel

T,L Lufttemperatur (in °C)

TW Wassertemperatur TW (in °C)

f*(vz) Windformel Konvektion Abhängig von Wassertemperatur

WLzK TTvfH *

Bowen-HypotheseHg

03.2konstant*

mmKc

ff

b

Umrechnungsfaktor: 1 mmHg = 1.33 hPa

Wärmebilanz des Zürichsees

nach Kuhn, aus Imboden, Physik aquatischer Systeme

Gleichgewichtstemperatur (1)

• Wassertemperatur TG bei der H(TG ) = 0

• Hängt ab von den Parametern

SLzzL HTvEw ,,,, ,

Gleichgewichtstemperatur (2)

• Berechnung durch Nullstellensuche mit Newton-Verfahren

• oder durch Intervallschachtelung

( ) ( ) 0( ) ( ) 0

L M R M

R M L M

falls H T H T T Tfalls H T H T T T

,, ,

,

( )( )

G altG neu G alt

G alt

H TT T

H T

TL TR

TM

Transportgleichung für T (1)• Transportgleichung für Temperatur T mit anthropogenen

Wärmequellen W

• Transportgleichung für natürliche Temperatur Tn

• Differenzbildung unter Verwendung vonT =T – Tn und

1in

p

H TT T T qu AD T T Wt x A x x c h A

,( )1n n n n

in n np

T T T H T qu AD T Tt x A x x c h A

( ) ( ) ( )n

n nT

HH T H T T TT

Transportgleichung für T (2)

• Stationärer Fall, unter Vernachlässigung der Dispersion, Wärmequelle und/oder Nebenflüsse in oberstromiger Randbedingung, uniforme Strömung

• Lösung

1in

p

HT T T qTu AD T T T Wt x A x x c h A

nT

p

H Td Tu Tdx c h

1

0p Tn

H xc hu TT T e

Entwicklung der Aufwärmespanne relativ zur Gleichgewichtstemperatur