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Digitale Kommunikationstechnik Henrik Schulze Fachhochschule Südwestfalen Abteilung Meschede
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Digitale Kommunikationstechnik
Henrik SchulzeFachhochschule Südwestfalen
Abteilung Meschede
VorbemerkungenDie folgenden Folien gehören zu der Vorlesung Digitale Nachrichtenübertragungstechnik, wie ich sie im Sommer- und Wintersemester 2002-2005 gelesen habe. Sie sind gemeint als Gedächtnisstütze, nicht als Skript. Ich werde sie regelmäßig weiter überarbeiten und bin daher dankbar für jegliche Hinweise auf Schreibfehler sowie für kritische Anmerkungen und Anregungen bezüglich des Inhalts.
H. Schulze, Oktober 2005
Digitale Nachrichtenübertragungstechnik
1 Einleitung und Grundbegriffe
2 Grundlagen der Basisbandmodulation
2.1 Was ist digitale Modulation?2.2 ASK2.3 Nyquist-Kriterium2.4 Rauschen2.5 Das Maximum-Likelihood-Prinzip2.6 Matched Filter2.7 Bitfehlerraten für ASK2.8 Leistungsdichtespektren
Digitale Nachrichtenübertragungstechnik
3 FSK3.1 Definition und Grundbegriffe3.2 Optimaler Empfänger3.3 Bitfehlerraten
4 Faltungscodes4.1 Definition und Grundbegriffe4.2 Zustandsdiagramm und Trellis4.3 Der Viterbi-Algorithmus4.4 ML-Prinzip und Soft Decision4.5 Fehlerwahrscheinlichkeiten
Digitale Nachrichtenübertragungstechnik
5 Modulation eines Trägers5.1 QAM5.2 Systembeispiel DVB-S, DVB-C5.3 PSK5.4 Differentielle und kohärente Empfänger 5.5 OQPSK und MSK
6 Multiträgermodulation mit OFDM6.1 Das Multiträgerkonzept6.2 Orthogonale Pulse6.3 OFDM mit Schutzintervall 6.4 Systembeispiele DAB und DVB
Abtasttheorem: Blockschaltbild
A/D D/A0110 1010 0111
Speicherung/Übertragung
Restfehler durch begrenzte Auflösung: „Quantisierungsrauschen“
Kann beliebig klein gemacht werden.1 Bit mehr bringt wieviel dB ?
Datenraten digitaler Signale
Telefon (ISDN): 8 bit@8kHz => ??
Audio (CD): 2x16 [email protected] => ??
Noch niedrigere Datenraten bei (nahezu) gleicher Qualität:
Telefon (GSM): 6.5 - 13 kbit/s
Audio (MP3): 128 - 192 kbit/s
Was ist der Trick ???
Datenreduktion
• Übertrage nur die Information, die der Adressat braucht
• Fordere Transparenz bei Audio und Verständlichkeit bei Sprache
• Akzeptiere Verluste in der Information, wenn die Qualität stimmt
Warum digital?
• Geringerer Bandbreitenbedarf bei Anwendung von Datenreduktion ⇒Quellcodierung
• Bessere Übertragungssicherheit durch Fehlerschutz ⇒ Kanalcodierung
• Geringere Sendeleistung erforderlich
Digitale Übertragungskette (schematisch)
Quell-Encoder
Kanal-Encoder
Modulator
Kanal
Quell-Decoder
Kanal-Decoder
De-modulator
Modulation
))(2cos()()( 0 ttftats ϕπ +=
AM PM/FM
Modulation: „Langsame“ Änderung von Amplitude und Phasezur Informationsübertragung
Quadraturdarstellung:
)2sin()()2cos()()( 00 tftQtftIts ππ −=
)(sin)()(),(cos)()( ttatQttatI ϕϕ ==
Quadraturmodulator (I-Q-Mod.)
( )tf02cos π
( )tf02sin π−
)(tI
Sender
)2sin()()2cos()()(
0
0
tftQtftIts
ππ
−=
)(tQ
I und Q bilden zusammen das (komplexe) Basisband
Quadraturdemodulator
( )tf02cos π
( )tf02sin π−
QAM (PSK) -Signal
lxMF
lyMF
Signalangepasstes Filter
Grundbegriffe zur Bewertung
• Bandbreiteneffizienz: Welche Bandbreite brauche ich für die gegebene Datenrate?
• Leistungseffizienz: Welche Leistung brauche ich für die gegebene Datenrate?
Bandbreiteneffizienz [bit/s/Hz]
][]/[
HzBandbreitesbitBitrate
Kostenfaktor: Was kostet es, 1 Mbit/s zu übertragen?
Beispiel: 1 MHz kostet 1 Milliarde DM =>
Was spart ein Verfahren ein, wenn man von 1 bit/s/Hzauf 2 bit/s/Hz gehen kann?
Bandbreiteneffizienz von QAM und PSKMindestbedarf (theoretische Grenze): B=1/TS TS=Symboltakt; Tb=1/ Rb Bittakt
TS= log2(M) Tb
Für 1 Mbit/s Bitrate benötigt man wieviel MHz Bandbreite beia) 2-PSKb) 4-PSKc) 8-PSKd) 16-QAMe) 64-QAM
In der Praxis braucht man 15-50 % mehr Bandbreite.
Bandbreiteneffizienz Rb/B : Beispiele
α=0 α=0.5 α=1
4-QAM 2 bit/s/Hz 1.33 bit/s/Hz 1 bit/s/Hz
16-QAM 4 bit/s/Hz 2.67 bit/s Hz 2 bit/s/Hz
64-QAM 6 bit/s/Hz 4 bit/s/Hz 3 bit/s/Hz
Der Rolloff-Faktor α des Sendefilters bestimmt den Mehrbedarfan Bandbreite gegenüber der theoretischen Grenze.
Leistungseffizienz
bEbitBits
JenergiesbitBitrate
Wleistung
==][#
][Empfangs]/[
][Empfangs
Energie proBit
Kostenfaktor: Energiekosten (Stromrechnung, Akku, Größe des Spiegels, EMV)
Aber auch: Interferenz => Wann kann ich eine Frequenz wiedernutzen (Frequency reuse)?
Leistungseffizienz: BeispieleVergleiche die Leistungseffizienz von
OOK
2-PSK
4-PSK/4-QAM
16-QAM
64-QAM
(8-PSK)
Beispiel: Mobiltelefon
• Datenrate 10 kbit/s (≈ bei GSM Sprache)• Max. Sendeleistung 2 Watt • = ?• Empfangsleistung: -100 dBm; = ?• Streckendämpfung = ?
)(EmpfängerbE
)(SenderbE
Weißes Rauschen
f
Spektrale Leistungsdichte (einseitig)
B
N0N0B
• Die Rauschleistungsdichte ist konstant N0 (einseitig)
• Die gesamte Rauschleistung ist unendlich (mathematisch)
• Die Rauschleistung innerhalb der Bandbreite B ist N0B
0
„Thermisches Grundrauschen“(T=absolute Temperatur,k= Boltzmannkonstante)
kTN =0
Real: N0 [dBm/Hz]= kT [dBm/Hz] + Empfängerrauschzahl [dB]
Weißes Rauschen: Rauschleistungsdichte
Bei Zimmertemperatur (T=300 K):
N0 [dB]= -174 dBm/Hz + Empfängerrauschzahl [dB]
Übungsbeispiel: DAB• Rauschzahl 4 dB (optimistisch)• Bandbreite B=2 MHz • Rauschleistung = ?• Rauschabstand gegenüber P= - 90 dBm • Eb/N0= ?
Bitfehlerkurven sind Funktionen von Eb/N0
0 5 10 15 2010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R
4-QAM(4-PSK)
16-QAM64-QAM
ca. 8.5 dBca. 4 dB
Bit ErrorRate
Bit vom Mond zur Erde
6 dB RauschzahlEntfernung: x=400 000 kmWellenlänge: λ=40 cm
Streckendämpfung (bei 0 dB Antennengewinn):
Für fehlerfreien Empfang braucht man Eb/N0= 10 dB.
Wieviel Energie muss man zur Übertragung eines Bitsaufbringen?
( )( )2
2
4/π
λ x
Eb/N0 vs. Rauschabstand
• Rauschleistung= N0B• Signalleistung= RbEb
Eb/N0 = ???
SNR bei 2-PSK und 4-PSK
2-PSK
4-PSK
Leistung=-93.6 dBm
3 MHz 1.5 MHz
Rauschleistung=-103.2 dBm
Rauschleistung=-106.2 dBm
Frequenz
No
Der Schlüssel zur Übertragung:Kanalcodierungstheorem (Shannon 1948):• Eine (quasi) fehlerfreie Übertragung in einem
Kanal der Bandbreite B lässt sich bei einer Bitrate Rb und gegebenem Eb/N0 immer dann realisieren, wenn Rb kleiner ist als die Kanalkapazität C, die gegeben ist durch:
+=
0
1lnNE
BRBC bb
Kanalkapazität
BRNE
b
BRb
b 12
0
−≥
ln(2)= - 1.6dBHier ist fehlerfreie Übertragung möglich
Hier ist fehlerfreie Übertragung nichtmöglich
Gewinne durch Kanalcodierung
Was ist digitale Modulation?Allgemeine Definition:
Ein digitaler Modulator erzeugt aus einer Binärfolge ein Signal.
la )(tsModulator
Endliche Folge => Endliche Menge an möglichen Signalen Beispiel: L=16 Bits => 216=65536 mögliche Signale
Man sieht: Es gibt zu viele Möglichkeiten, um hiermit etwas anzufangen. Muß die Zahl der Möglichkeiten einschränken.Einfache Möglichkeit:
)(ts{ }Llla 1=
)(),...,( 655361 tsts
Kann z.B. jeden Bit (oder Bitpaar, Bittripel,..) einen Impuls (Puls) zuordnen.
Zeitlich begrenzte Pulsformen
Pulsdauer T t
0=la
Pulsdauer T
0=la
t t
Pulsdauer T t
1=la
1=la
Pulsdauer T
Hier: Bitdauer = Pulsdauer
Beispiele für Zuordnungen
t
1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
OOK
2-ASK= 2-PSK= BPSKt
2-FSKt
diff. BPSK= DBPSK
t
Weitere Beispiele für Zuordnungen
1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
PRduobinärt
4-ASKt
Unterscheidungsmerkmale
Gedächtnislos: Puls hängt nur vom aktuellen Bit aboder
Gedächtnisbehaftet: Puls hängt auch von Vorläufern ab Beispiel: Differentielle Modulation oder Partial Response (PR)
Pulsdauer T=2Tb t
Tb
Pulsdauer T über einen Bittakt Tboder
Pulsdauer T über mehrere Bittakte TbBeispiel: Partial Response
Eine Pulsform: z.B. ASK => Info in Amplitudeoder
Mehrere Pulsformen: z.B. FSK
Verschiedene Sichtweisen: Codierung und Modulation
Engere Definition:
Digitaler Modulator = Abbildung einzelner Bits (oder auch Bitpaare, Bittripel..) auf einzelne Pulse (ohne Gedächtnis)
Gedächtnis: Entsteht durch „Codierung“ der Bitfolge Beispiel: DBPSK=BPSK mit differentieller Vorcodierung
Differentieller Encoder
Tbla 1−⊕= lll bab
Differentieller Decoder
Tb
lb1−⊕= lll bba
Beispiel
Datenfolge 01 10 00 10 10 01Sendefolge 001 00 00 11 00 01
Empfangsfolge 00 10 01 11 01Datenfolge -0 11 01 00 11
1−⊕= lll bab
1−⊕= lll bba
Leitungscodierung
Konstruiere Signalverläufe durch Vorcodierung
Dann gedächtnislose Modulation durch 2-ASK mit einem sehr einfachen Pulse (meist Rechteck)
Anwendunggebiete: Datenleitungen
M-ASK (Amplitude Shift Keying) M-Stufen-ASK
• Nur eine Basispulsform (im einfachsten Fall Rechteck)• Information wird durch M unterschiedliche Amplitudenwerte
der „Modulationssymbole“ übertragen (Symbol Mapping) lx
-7d -5d -3d -d
=la
=+122 llaa
=++ 23133 lll aaa
1
1110
110111101100
2-ASK: Bit
lx+d +3d +5d +7d
0
0001
000001010 011
4-ASK: Dibit
8-ASK: Tribit
0
ASK - Modulator
SymbolMapper
( )∑ −l
Sl lTtx δ ( ) ( )∑ −=l
Sl lTtgxtsla lx
Pulsformungs-filter g(t)
( )∑ −l
SlTtδ
Bitfolge
Modulations-symbole
Ideales PAM-Signal ASK-Signal
ES=SymbolenergieEb=Energie pro BitES= Eb : 2-ASK ES= 2Eb : 4-ASKES= 3Eb : 8-ASK
TS=SymboldauerTS= Tb : 2-ASK TS= 2Tb : 4-ASKTS= 3Tb : 8-ASK
Energie des Sendepulses
Forderung (Nyquistkriterium, siehe unten):
( ) ( ) lmSS dtmTtglTtg δ!=−−∫
( ) ( )∑ −=l
Sl lTtgxts
{ }2l
xEES =⇒ Übung!
Das erste Nyquist-Kriterium
ASK-Gesamtsystem: Sendefilter + Empfangsfilter
EmpfangsfilterSendefilter
gs(t)lx ( )ts
Rauschen
gr(t)( )tr ( )tu
Sendefilter gs(t) : PulsformungEmpfangsfilter gr(t) : Filtert möglichst viel Rauschen wegDarf dabei das Nutzsignal nicht verzerren !
( ) )()(: tgtgth sr ∗= Impulsantwort des rauschfreien Gesamtsystems
=gs(t) gr(t) h(t)
Das erste Nyquist-Kriterium
Forderung: Das Gesamtsystem h(t) muß verzerrungsfrei sein
• Nach einer Abtastung des Empfangssignals im Symboltakt TS müssen sich wieder die ungestörten Modulationssymbole xl ergeben. D.h.:
• Die Impulsantwort h(t) muss so beschaffen sein, dass sich Nachbarsymbole nicht beinflussen: Keine ISI (Intersymbolinterferenz), d.h.
h(t)
( )∑ −l
Sl lTtx δ ( )∑ −l
Sl lTthx lx
TS
Das bedeutet:
( ) ][llTh S δ=( ) ⇔=−∑ lm
SSm xmTlThx 1. Nyquist-Kriterium
Nyquist-Pulse: Mögliche Pulsformen
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/Ts
h(t)
( )
±±==
=,...2,1:0
0:1l
llTh S
Rolloff = 0 (si-Puls), 0.5, 1
Nyquist-Pulse (Rolloff=0.5): Signalverlauf für 2-ASK
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t/Ts
Abtastzeitpunkte
Augendiagramm: Zeichne viele Wellenzüge übereinander
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/Ts
1. Nyquist-Bedingung im Frequenzbereich
Erinnerung an das Abtasttheorem:
Abtastung im Zeitbereich <=> Periodische Fortsetzung im Frequenzbereich
Bestimmte Signale ergeben bei Unterabtastung gerade als periodische Fortsetzung im Frequenzbereich eine Konstante
f0
Abtastfrequenz
Dies sind gerade die Signale, die bei der Abtastung einen Dirac-Puls ergeben.Und das ist genau die Forderung der 1. Nyquist-Bedingung!
Abtastfrequenz=Symboltakt=1/TS
1. Nyquist-Bedingung im Frequenzbereich
Für das abgetastete Zeitsignal
( ) ∑
−=
k Sper T
kfHfH( ) ( )∑ −=l
SSSa lTtlThTth )(δ
( ) ][llTh S δ=bedeutet die 1. Nyquist-Bedingunggerade
( ) Sk S
per TTkfHfH =
−=∑( ) ( )tTth Sa δ=
1. Nyquist-Bedingung im Frequenzbereich
Übertragungsfunktionen mit Nyquist-Flanke
f0
Sk S
TTkfH =
−∑
1/TS
H(f)
TS
STB α+=
12
erfüllen die Nyquist-Bedingung
Nyquist-Flanke mit cos-Rolloff
-1 -0.5 0 0.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f*Ts
H(f)
STα+1
STα−1
ST1
cos-Flanke
STB
21 α+
=Merke: Für die Bandbreite gilt
STB
21 α+
=Bandbreiteneffizienz Rb/B für ASK (Basisband)
α=0 α=0.5 α=1
2-ASK 2 bit/s/Hz 1.33 bit/s/Hz 1 bit/s/Hz
4-ASK 4 bit/s/Hz 1.67 bit/s Hz 2 bit/s/Hz
8-ASK 6 bit/s/Hz 4 bit/s/Hz 3 bit/s/Hz
Nyquist-Flanke mit cos-Rolloff
( )
( )222 /41
/cossi)(
21:0
21
21:
21sin1
2
210:
S
S
S
S
SSS
S
SS
TtTt
Ttth
Tf
Tf
TTfT
TfT
fH
απαπ
α
αααπ
α
−⋅
=
+>
+≤≤
−
−−
−≤≤
=
α nennt man den Rolloff-Faktor. α = 0: Minimale Bandbreite (Rechteck), maximale Überschwinger (si-Pulse)α = 1: Maximale Bandbreite (reiner Cosinus), minimale Überschwinger
Without noise, communication isno fun!
J.L. Massey
Additives weißes Rauschen
In jedem Empfänger kommt thermisches Rauschen zu dem Nutzsignal hinzu.Dies wird beschrieben durch• Additives (Additive)• Weißes (White)• Gaußsches (Gaussian)• Rauschen (Noise)
=> AWGN-Kanal als mathematisches Modell
( )ts ( )tr
AWGN
Weißes Rauschen
Spektrale Leistungsdichte (zweiseitig)
N0/2
0 fB B
f
Spektrale Leistungsdichte (einseitig)
N0B
• Die Rauschleistungsdichte ist konstant N0/2 (zweiseitig)
• Die gesamte Rauschleistung ist unendlich (mathematisch)
• Die Rauschleistung innerhalb der Bandbreite B ist N0B
N0
0 B
Gaußsches Rauschen (Gaußprozeß)
Die Abtastwerte von Gaußschem Rauschen sind Zufallszahlen mit einer Gaußschen Verteilungsdichte (Normalverteilung) mit Mittelwert µ=0:
( )2
221
221 x
exp σ
πσ
−=
Gefiltertertes Gaußsches Rauschen bleibt Gaußsches Rauschen. Es ändert sich durch die Filterung aber die spektrale Leistungsdichte und die Varianz:
Varianz = mittlere Leistung = RauschleistungBnoise = RauschbandbreiteNoiseBNxE 0
22 }{ ==σ
Spektrale Leistungsdichte (zweiseitig)
∫∞
∞−
= dffHNBN Noise20
0 )(2
2Bnoise
1
f0
Zeitdiskretes Gaußsches Rauschen
Zeitdiskretes Rauschen ist mathematisch einfacher. Denke mir weißes Gaußrauschen gefiltert mit idealem Tiefpaß der Bandbreite fA/2 und abgetastet mit der Frequenz fA :
Spektrale Leistungsdichte (zweiseitig)
N0/2
ffAAbtastwerte bilden zeitdiskretes Zufallssignal mit den Eigenschaften[ ] ll ξξ =
{ } [ ]
( )
( )( )22
12
22
...2
1
21
21
2
022
2
1,...,
21
2,
N
l
ep
ep
fNmlE
NNN
l
Aml
ξξσ
ξσ
πσξξ
πσξ
σδσξξ
++−
−
=
=
=−=
Die Maximum-Likelihood-Bedingung
Betrachte zwei (oder mehr) mögliche Sendesignale, z.B.:)()( 0 tsts = )()( 1 tsts =
t toder auch
t t
Empfangen wurde r(t). Möchte wissen, welches der möglichen Signale
( ) ,....)()(oder )()(oder )()( 210 tstststststs ===
am wahrscheinlichsten gesendet wurde. Betrachte alles zeitdiskret:
[ ] ( )
[ ] ( )Nn
Nn
rrrrnrtr
ssssnsts
,...,:,Abtastung)(
,...,:,Abtastung)(
1
1
== →
== →r
r
Diskrete AWGN-Störung:
ξξrrr
+=+= srsr nnn ,
Die Maximum-Likelihood-Bedingung
Gesucht ist der gesendete Vektor , für den die Wahrscheinlichkeit
daß gesendet wurde, unter der Bedingung, daß empfangen wurde, maximiert wird. Wenn alle möglichen Sendesignale gleich wahrscheinlich sind, ist dies äquivalent zu
sr
( ),|Pr rs rr
sr rr
( ) max2
1exp.|!2
2 =
−−⋅= srconstsrp rrrr
σDas bedeutet:
min!2
1
2 =−=− ∑=
N
nnn srsr rr
• Minimaler quadratischer Abstand („Euklidische Distanz“) der Vektoren• Minimaler quadratischer Fehler = Minimale Störleistung
Euklidische Distanz und Skalarprodukt
Annahme: Alle möglichen Vektoren haben dieselbe Energie, d.h.
ist für alle gleich =>
( ) ... , 10 ssss rrrr==
2
1
2 ∑=
==N
nnssE r
( )
( )
max
min22
min22
min
!
1
!
1
!
1
2222
!2
1
2
==⋅⇔
=−=⋅−⇔
=+−=+⋅−⇔
=−=−
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
N
nnn
N
nnn
N
nnnnn
N
nnn
srsr
srsr
ssrrssrr
srsr
rr
rr
rrrr
rr
Maximum Likelihood <=> Maximales Skalarprodukt <=> Maximale Korrelation
Skalarprodukt: geometrisch
min!2
1
2 =−=− ∑=
N
nnn srsr rr
max!
1==⋅ ∑
=
N
nnnsrsr rr
0sr
1sr
rr1sr rr
−
0sr rr−
Kürzester Differenzvektor <=> Maximale Projektion
Skalarprodukt als Korrelation von Signalen
[ ] [ ] max!
1=∑
=
N
nnsnr
Kreuzkorrelation: Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale
Zusammenhang mit Faltung:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0
011*
====
−=−=∑∑ nn
N
m
N
mnrnsmrnmsmrms
Filterung mit signalangepaßtem Filter (Matched Filter):
MF
[ ]ns −n=0[ ]nr
Optimaler Empfänger mit Matched Filter
Für jedes der möglichen Signale braucht man ein Matched Filter. Beispieleine für 2 Signale:
MF-0
[ ]ns −0
[ ]nr
[ ]ns −1
Entscheidung:0 oder 1MF-1
Optimalempfänger für kontinuierliche Signale:
MF-0
)(0 ts −)(tr
)(1 ts −
Entscheidung:0 oder 1MF-1
Optimaler Empfänger mit Matched Filter für ASK
M-ASK: M mögliche Signale = M mögliche Amplituden bei nur einer Pulsform g(t) => Nur 1 MF nötig, Entscheider wertet die Amplituden aus
MF zu g(t) )(tr
)( tg − Entscheidungüber Amplitude
Beispiele: Entscheidung bei 2-ASK und bei 4-ASK
00011110
Entscheiderschwellen
1
Entscheiderschwelle
0
ASK-Empfänger für fortlaufenden Datenstrom
Bisher nur Einzelpuls betrachtet. Wenn man die Nyquist-Bedingung beachtet, reicht das aus!
Sendefilter MF
g(t)lx ( )ts
AWGN
( )trg(-t)
TS
lll xu ξ+=
( ) )(*)(: tgtgth −=Wenn für
die Nyquist-Bedingung erfüllt ist, ist das System ISI-frei und man darf Einzelpulse betrachten. Es gilt dann außerdem: Die Rauschstörungläßt sich durch diskretes weißes Gaußrauschen mit
beschreiben.
ξ
2/}{ 022 NE l == ξσ
ASK-Empfänger im Symboltaktmodell
Sendefilter MF
g(t)lx ( )ts
AWGN (kontinuierlich)
( )trg(-t)
TS
lll xu ξ+=
lξAWGN (diskret)
lll xu ξ+=lx
Nur noch zeitdiskrete Signale im Symboltakt! Pulsform taucht gar nicht mehr auf. Störanfälligkeit unabhängig vom Puls!
Matched Filter und die Nyquist-BedingungEs soll gelten:
( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]mldmTglTg
ldglTg
ltgtgth
SS
S
lTtlTt SS
−=−−
⇔=−
⇔=−=
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
==
δτττ
δτττ
δ)(*)(
Antwort des MF zum l-ten Takt auf den Puls zum m-ten Takt =Kreuzkorrelation der jeweiligen zeitverschobenen Pulse.
( ) 2* )()()( fGfGfGfH ==( ) )(*)( tgtgth −=
Quadrat der Filterkurve muß Nyquist-Bedingung erfüllen, also z.B. Raised Cosine. Man sagt manchmal etwas ungenau
√Nyquist- oder √Raised-Cosine-Filter
Matched Filter und die KausalititätWenn g(t) kausal ist, ist g(-t) antikausal und damit nicht realisierbar. Wenn g(t) endlich lang ist, stört das nicht. Man muß nur mit der Auswertung warten:
g(t) Sendepuls
0 τmax tTheoretisches MF:antikausal(mit diesem rechnen wir,weil es einfacher ist: Antwort sofort)
g(-t)
−τmaxt0
Auswertungrealisierbares MF:kausal(Antwort erst nach der Zeit) τmax
τmaxt
Auswertung
g(-(t- τmax))
0
Bemerkung: Matched Filter für komplexe Pulsformen
Man kann für g(t) komplexe Pulse erlauben.
Die kommt manchmal vor, wenn man im komplexen Basisband zu einerTrägermodulation arbeitet. Das Matched Filter ist dann
g+(t) := g*(-t)
Fehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , daß der Empfänger auf ein bestimmtes Nachbarsymbol des Sendesymbols entscheidet?lx
errP
2dNachbarsymbol
Schwelle
falsch
lx gesendet
richtig
( )
( ) ( )
=
−=
=
=
∫
∫
−
∞−
2erfc
21:)(
erf1:erfc
2:erf
21:)(
0
21
2
2
xxQ
xx
dex
dexQ
xx
ξπ
ξπ
ξ
ξ
( ) ∫∫∞ −∞
==>=dd
err dedpdP ξπσ
ξξξξ
σ2
221
221)(Pr
=
= 2
2
2erfc
21
σσddQPerr
Verlauf von erfc( )
0 2 4 6 8 10 1210-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
x [dB]
y ( )xy erfc21
=
( )xy erfc41
=
( )xy erfc=
( )2/erfc21 xy =
3 dB
Merke: Die Kurven fallen exponentiell ab. Es gilt für x>>1 die Näherung:
( ) xex
x −≈π1erfc
Fehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK als Funktion der Symbolenergie
=
= 2
2
2erfc
21
σσddQPerr}E{ 2
lS xE =
-d
1
11
110
2-ASK
lx+d +3d +5d +7d
0
01
000001010 011
2dES =
25dES =
221dES =
-7d -5d -3d
10
111101100
4-ASK
8-ASK
00
0
Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK
-d
1
11
110
lx+d +3d +5d +7d
0
01
000001010 011
2dES =
25dES =
221dES =
00
-7d -5d -3d
10
111101100
0
2-ASK:
=σdQPS 4-ASK: P
=
+
=
σσσdQdQdQS 2
3221
=
+
+
+
=
σσσσσdQdQdQdQdQPS 4
722241
8-ASK:
Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK
σdQMuß in einsetzen:
2
2
2
213
52
dEE
dEEdEE
bS
bS
bS
==
==
==
2/02 N=σ
=
=
=
=
=
=
00
00
00
71erfc
87
72
47
52erfc
43
54
23
erfc212
NE
NEQP
NE
NEQP
NE
NEQP
bbS
bbS
bbS2-ASK
4-ASK
8-ASK
Bitfehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK
Gray-Codierung: Zwei Nachbarsymbole unterscheiden sich nur in einem Bit =>
Mehr als ein Bitfehler pro Symbolfehler ist sehr unwahrscheinlich =>
Anzahl der Bitfehler ≈ Anzahl der Symbolfehler
Bitfehlerrate ≈ Symbolfehlerrate/Anzahl der Bits pro Symbol:)(log2 M
PP Sb ≈
≈
≈
=
0
0
0
71erfc
247
52erfc
83
erfc21
NEP
NEP
NEP
bb
bb
bb2-ASK
4-ASK
8-ASK
Faktor 2.5 = 4 dB
Faktor 7 = 8.5 dB
Bitfehlerwahrscheinlichkeiten bei ASK im AWGN-Kanal
0 5 10 15 2010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R
2-ASK
4-ASK 8-ASK
ca. 8.5 dBca. 4 dB
Bandbreiten- und Leistungseffizienz bei ASK AWGN-Kanal, Arbeitspunkt bei BER=1e-5
0 5 10 15 20100
101
Eb/No [dB]
Spe
ktru
mse
ffizi
enz
[bit/
s/H
z]
2-ASK
8-ASKShannon-Grenze
4-ASK
Kanalcodierung
FSK (Frequency-Shift Keying)
• FSK = „digitale Frequenzmodulation“ • M-FSK (M-stufige FSK): Es wird während einer Symboldauer TS eine von M möglichen Frequenzen gesendet• Betrachte im folgenden M=2
al=0al=1M=2
ff1 f2f0
∆f
fd fd (Hub)
Die Störfestigkeit wird bestimmt durch den Modulationsindex h
STfh ⋅∆=:
FSK mit Modulationsindex h=1
f0ST2
1+
al=0
ST21
−
1=⋅∆ STfBetrachtung im komplexen Basisband:
al=1
Oder: Reell und niederfrequent:al=1al=0
f0ST
f 11 =
STf 2
2 =
FSK mit Modulationsindex h=1: Zwei reelle Basispulse
al=0
t=0
t=0
t= TS
t= TS
( )
−⋅⋅=
21rect/2cos2)(0
SS
S TtTt
Ttg π
al=1
( )
−⋅⋅=
21rect/4cos2)(1
SS
S TtTt
Ttg π
FSK mit Modulationsindex h=1: Fortlaufendes Signal
1 1 00
t
t= TS t= 2TS t= 3TS
( )
( )
( ) ( )tgtag
lTtagE
lTtgEts
l
l
al
lSlS
lSaS
=
−⋅=
−⋅=
∑
∑
:;
wobei,;
)(
Modulation mit zwei reellen Basispulsen: Optimaler Empfänger
MF-0
)(0 tg −)(tr
AWGN
)(ts
)(tξ )(1 tg −
+-
TS
Entscheidungsign
MF-1TS
Bei 2-FSK mit ganzzahligem Modulationsindex h gilt:
0)()(
0)()(
001
010
=∗−
=∗−
=
=
t
t
tgtg
tgtg
1)()(
1)()(
011
000
=∗−
=∗−
=
=
t
t
tgtg
tgtgOutput MF-0:
Output MF-1:
=> Keine gegenseitige Beeinflussung der Pulse (Orthogonalität)
Optimaler Empfänger: Zeitdiskretes Modell
N Samples pro Symbol (Oversampling-Faktor)
MF-0
[ ]ng −0
[ ]nr
AWGN
[ ]ns
[ ]nξ [ ]ng −1
+-
N
Entscheidungsign
MF-1N
Bei 2-FSK mit ganzzahligem Modulationsindex h gilt:
[ ] [ ][ ] [ ] 0
0
001
010
=∗−
=∗−
=
=
n
n
ngng
ngng [ ] [ ][ ] [ ] 1
1
011
000
=∗−
=∗−
=
=
n
n
ngng
ngngOutput MF-0:
Output MF-1:
=> Keine gegenseitige Beeinflussung der Pulse (Orthogonalität)
Zeitdiskrete Basispulse (Basisvektoren)
N =8 Samples pro Symbol.Abgetastete Basispulse in Vektorschreibweise:
al=0
−
−−
+
=
2/1
02/1
12/1
02/1
1
0gr
−
+
−
+
=
01
01
01
01
1gr
t=0
t=0
t= TS
t= TS
al=1
010 =⋅ggrr
Orthogonale Basisvektoren + AWGN
010 =⋅ggrr
121
20 == gg
rrNormierung:
)AWGN(
.bzw
1
0
=+=
+=
ξξ
ξrrrr
rrr
gr
grEmpfangsvektor:
[ ] [ ][ ] [ ] rg
rgrr
rr
⋅=∗−
⋅=∗−
=
=
101
000
n
n
nrng
nrngOutput MF-0:
Output MF-1:
Output MF-1
1gr
MF-Output = Projektion auf Basisvektoren
ξrrr
+= 0gr
0gr
(gesendet)
ξr
rg rr⋅0
rgrr⋅1
Output MF-0
Vergleich antipodaler und orthogonaler Modulation
Output MF-1
1gr
ξrrr
+= 0gr
0gr
(gesendet)
ξr
rg rr⋅0
rgrr⋅1
0gr
− Output MF-0
rgrgrgrgrg
rrrrrr
rrrr
⋅=⋅−−⋅⋅−⋅
000
10
2)(Orthogonal: Entscheidung über Vorzeichen von:Antipodal: Entscheidung über Vorzeichen von:
Welches ist besser?
Vergleich antipodaler und orthogonaler Modulation
Output MF-1
Output MF-0
1gr
0gr
−
2
Orthogonale Modulation ist um 3 dB schwächer als antipodale:
0gr
2
=
02erfc
21
NEP b
b
Fehlerschutz durch Faltungscodes• Gleichbedeutende Begriffe:– Kanalcodierung– Fehlerkorrigierende Codes
=> Hinzufügen von Redundanzbits zum Datensicherung=> Steigerung der Leistungseffizienz zu Lasten der
Spektrumseffizienz
• In Unterschied zu– Quellcodierung: Entfernung von Redundanz und Irrelevanz– Leitungscodierung: Signalformung
Blockcodes und FaltungscodesBeispiel für einen systematischen Blockcode: Ein (7,4) Hamming-Codes
Codewort der Länge 74 Bits Daten 3 Bits Schutz
Beispiel für einen systematischen Blockcode: Ein (204,188) RS-Codes
Codewort der Länge 204188 Bytes Daten 16 Bytes Schutz
Beispiel für einen typischen Faltungscode der Rate 1/2 und Gedächtnis M=2:
DatenbitsCodebits:Unendlich langes Codewort
Blockcodes und Faltungscodes: Wichtige Begriffe
)brutto"(" Bitsen übertragender Anzahl)netto"(" Nutzbitsder Anzahl Coderate =cR
Codewort: Dateneinheit (Block bzw. „Datenvektor“ ) nach dem Encoder
Bei einem (n,k)-Blockcode wird aus einem Block von k Datenbits (oder Bytes) ein Codewort aus n zu übertragenden Bits (Bytes) gebildet.
Bei einem Faltungscode kann das Codewort unendlich lang sein. In der Praxis oft Blockbildung durch Datenrahmen.
cr
Als Code C bezeichnet man die Menge aller mögliche Codeworte . Für einen Code kann es mehrere Codierungsvorschriften (Encoderschaltungen) geben.
cr
Blockcodes und Faltungscodes: Wichtige Begriffe
Lineare Codes: Linearkombinationen von Codeworten sind wieder Codeworte:
Alle Faltungscodes und die gebräuchlichen Blockcodes sind linear.
Hamming-Distanz (zweier Codeworte): Anzahl der unterschiedlichen Elemente (Bits oder Bytes) zweier Codeworte.
Hamming-Distanz eines Codes: Mindestanzahl der unterschiedlichen Elemente zweier beliebiger Codeworte (minimale Hamming-Distanz). Die Hamming-Distanz dH bestimmt die Korrekturfähigkeit t: dH=2t+1
Gewicht eines Codes: Mindestanzahl der von Null verschiedenen Elemente eines Codewortes (ausgenommen das Nullwort).
CccCcCc ∈⊕⇒∈∈ 2121 , rrrr
Satz: Die Hamming-Distanz eines linearen Codes ist gleich seinem Gewicht.
Blockcodes und FaltungscodesBlockcodes Faltungscodes
Blockweise Verarbeitung Gleitende VerarbeitungDesign-Methoden für gute
Codes;mathematisch anspruchsvoll
Codesuche durch Ausprobierenmit Computer; keine
umfangreiche TheorieDecodierung über Tabellen
oder algebraischDecodierung mit Viterbi-
Algorithmus oder sequentielleDecodierung
Starke Codes mit wenigRedundanz (große Coderate)
Mäßig starke Codes mit relativviel Redundanz (kleine Coderate)
Soft Decision schwierig Soft decision einfach
Blockcodes und Faltungscodes: Anwendungen
• Faltungscodes mit Soft Decision: Geeignet, in schwierigen (z.B. mobilen) Empfangssituationen moderate Bitfehlerraten zu erzielen. Viel Redundanz: Typische Coderaten: 1/2 bis 3/4
• Starke Blockcodes (z.B. Reed-Solomon-Codes): Können mit wenig Redundanz (Coderate > 0.9) eine praktisch fehlerfreie Übertragung gewährleisten. Voraussetzung: Moderate Kanal-Bitfehlerrate
• Oft kombiniert man beides (=> Codeverkettung): Ein Faltungscode für „das Grobe“, ein Blockcode zur Korrektur der Restfehler
BER: 10-2 bis 10-1RS-decoder
Faltungs-decoder
BER: 10-4 bis 10-3 BER: 10-6 bis 10-11
Blockcodes und Faltungscodes: Anwendungen
• Compact Disk: Nur Blockcode (Reed-Solomon-Code)
• GSM: Hauptsächlich Faltungscodes
• DAB, ADR: Nur Faltungscodes
• DVB-C: Nur Blockcode (Reed-Solomon-Code)• DVB-S: Innerer Faltungscode + äußerer Blockcode (RS)• DVB-T: Innerer Faltungscode + äußerer Blockcode (RS)
Was ist ein Codierungsgewinn?Beispiel: 2-ASK und systematischer Code der Rate 1/2
=> Datenbits + 100 % Redundanz.
Bei 2-ASK wird nur noch ein halbes Bit pro Symbol übertragen.
Die Redundanz verbraucht die Hälfte der Energie:
Also: Wenn man die Redundanz am Empfänger nicht nutzt => 3 dB Verlust durch Codierung!
2/bS EE =
Die Ausnutzung der Redundanz muß diesen Verlust überkompensieren!Was dann noch bleibt, nennt man Codierungsgewinn.
Übungsbeispiel: Wiederholungscode
Was ist ein Codierungsgewinn?
BER
uncodiert decodiert ohne Redundanzausnutzung
decodiert mit Redundanzausnutzung 3 dB Verlust (Rc=1/2)
Decoder korrigiert Fehler
Gewinn
Eb/No [dB]
Faltungscodes: Charakterisierung durch Schieberegisterschaltungen
Rc=1/2M=2, Constraint Length = 3Generator(polynom):
( )22 1,1)111,101()7,5( DDDoct +++≡≡
Rc=1/2M=6, Constraint Length = 7Generator(polynom):
( )6326532 1,1
)1111001,1011011()171,133(
DDDDDDDDoct
++++++++≡
≡
Beispiele für systematische Faltungscodes
nichtrekursiv
( )211)111,100()7,4( DDoct ++≡≡
rekursiv
+++
2
2
111
DDD
Faltungscodes: Beschreibung durch Trellis
Zustand
InputOutput
Aktueller Input und Zustand (SR-Inhalt) legen den Output und den Nachfolgezustand fest:
In/Out Zustand neuZustand alt
0/001/11
1/000/11
1/010/10
1/100/01
Ein Übergang=Trellis-Segment
00 00
10 10
01 01
11 11
Faltungscodes: Beschreibung durch Trellis
Zustand
InputOutput
Aktueller Input und Zustand (SR-Inhalt) legen den Output und den Nachfolgezustand fest:
In/Out Zustand neuZustand alt
0/001/01
1/100/11
1/010/00
1/100/11
Ein Übergang=Trellis-Segment
00 00
10 10
01 01
11 11
Faltungscodes: Beschreibung durch Trellis
Menge aller möglichen Übergänge = Menge aller Trellissegmente
2 Tailbits
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
00
10
01
000011
0011
0110
1001
0011
01
0011
11 11
10
Geblockter Faltungscode: Schieberegister am Anfang und am Ende der Übertragung im Nullzustand.
M zusätzliche Nullen als Tailbits erforderlich, um Trellis abzuschließen
Faltungscodes: Beschreibung durch Trellis
Folge von Übergängen charakterisiert Codewort: Pfad im Trellis
Datenfolge: (Tailbits)0 1 1 0 1 0 1 1 ( 0 0 )
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
00
10
01
000011
0011
0110
1001
0011
01
0011
11 11
10
Faltungscodes: Beschreibung durch Zustandsdiagramm
Zustandsdiagramm für (3,7)oct : Encoder als Mealy-Automat
00
11
0/00
1/01
1/10
1/100/11
0/11
10
01
0/00
1/01
Übung: Zustandsdiagramm für (4,7)oct und (3,5)oct . An welchem Code ist was faul?
Faltungscodes: Beschreibung durch Zustandsdiagramm
Zustandsdiagramm für (5,7)oct : Encoder als Mealy-Automat
00
11
0/10
1/11
1/10
1/000/01
0/11
10
01
0/00
1/01
Übung: Zustandsdiagramm für (4,7)oct und (3,5)oct . An welchem Code ist was faul?
Faltungscodes: Aufgeschnittenes Zustandsdiagramm
1/01
11
0/101/10
0/01 0/111/1100 10 01 00‘1/00
Freie (Hamming-) Distanz dfree = Gewicht des Codes
Wieviel Pfade mit gleichem Gewicht d gibt es? Wieviel Einsen in den Daten haben all diese Pfade zusammen => Fehlerkoeffizient cd
Wieviel Einsen werden beim Pfad (den Pfaden) von 00 nach 00‘ mindestens gesendet? => Fehlerkoeffizient zu d=dfree
Faltungscodes: Aufgeschnittenes Zustandsdiagramm für (3,7)
1/01
11
0/001/10
0/11 0/111/0100 10 01 00‘1/10
Freie (Hamming-) Distanz dfree = Gewicht des Codes
Wieviel Pfade mit gleichem Gewicht d gibt es? Wieviel Einsen in den Daten haben all diese Pfade zusammen => Fehlerkoeffizient cd
Wieviel Einsen werden beim Pfad (den Pfaden) von 00 nach 00‘ mindestens gesendet? => Fehlerkoeffizient zu d=dfree
Einige gute Faltungscodes der Rate 1/2
Freie Distanz dfree = Mindestdistanz zweier Codeworte: Bestimmt die Wahrscheinlichkeit des häufigsten Fehlerereignisses.
Der Fehlerkoeffizient zu d=dfree bestimmt die zu diesem Ereignis gehörige Zahl der Bitfehler (in den Datenbits).
Kriterien für gute Codes: • Zunächst möglichst große freie Distanz • Dann: Möglichst kleiner Fehlerkoeffizient• Ausschlußkriterium: Katastrophale Codes
M+1 Generatoren (octal) dfree 3 (5,7) 5 4 (15,17) 6 5 (23,35), (22,33) 7 (GSM) 6 (53,75) 8 7 (133,171) 10 (DAB, DVB,
IEEE802.11a)
Der Maximum Likelihood Decoder (Hard Decision)
Gegeben: Entschiedene Bitfolge nach dem digitalen Demodulator (hart: 0 oder 1)
Gesucht: Das am wahrscheinlichsten (ML) gesendete Codewort des Codes
Annahme: Alle möglichen Codeworte sind gleich wahrscheinlich
Aufgabe: Suche das Codewort mit der geringsten (Hamming-) Distanz zur Empfangsfolge (diese ist i.a. kein mögliches Codewort!)
Optimierungsaufgabe: Welcher Pfade im Trellis führt auf die geringste Distanz?
Optimierungsaufgabe aus Operations Research:Wie komme ich am billigsten von A nach B? Hier:
Kosten = Distanz zur Empfangsfolge
Das Mautproblem: Wie komme ich am billigsten von A nach B?
1 DM2 DM 2 DM 4 DM 3 DM 4 DM 2 DM 4 DMA B
2 DM
2 DM 3 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM
2 DM1 DM
4 DM 2 DM 4 DM 2 DM 4 DM 3 DM
Alle Wege führen nach Rom, aber manche sind etwas teurer....
Wieviel Wege gibt es?
Muß man alle durchrechnen?
Das Mautproblem: Wie komme ich am billigsten von A nach B?
1 DM2 DM 4 DM 4 DM 3 DM 4 DM 2 DM 1 DMA B
3 DM
2 DM 1 DM
2 DM
2 DM
3 DM
2 DM
2 DM
4 DM
3 DM
2 DM
2 DM
5 DM1 DM
2 DM 3 DM 4 DM 2 DM 4 DM 3 DM
Alle Wege führen nach Rom, aber manche sind etwas teurer....
Wieviel Wege gibt es?
Muß man alle durchrechnen?
Das Decoder-Problem: Welches Codewort unterscheidet sich am wenigsten von der Empfangsfolge? => Viterbi-Algorithmus
Empfangsfolge:01 11 10 10 00 01 00 10 10 11
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
0011
0011
0110
1001
00
10
01
000011
0011
0110
1001
0011
01
0011
11 11
10
Der Viterbi-AlgorithmusSchrittweises Aussortieren chancenloser Pfade
Berechne laufend für jeden „lebenden“ Pfad die akkumulierten Distanzen („Kosten bis hierher“) durch Addition der Distanzinkremente („Kosten des letzten Abschnittes“
In jedem Takt werden an jedem Knoten 3 Schritte durchgeführt:
• Addiere Inkremente ADD
• Vergleiche akkumulierte Distanzen COMPARE
• Wähle den mit der kleineren akk. Distanz SELECT
SurvivorAkk. Kosten (alt) + Inkrement = Akk. Kosten (neu)
Hard Decision Decodierung mit Korrelationsmetrik
Harte Entscheidungen bei einer 2-ASK Basisbandübertragung:
AWGN (diskret)
llx ξ+lξ { }1±∈lylxsign Viterbi-Decoder
Statt mit Bits ∈{0,1} wird mit Symbolen ∈{+1,-1} gearbeitetet.Sendesymbolvektor: ( ) { }1,...,...,,, 210 ±∈= ll xxxxxxr
( ) { }1,...,...,,, 210 ±∈= ll yyyyyyrEmpfangssymbolvektor:
Suche Codeworte mit minimaler Hamming-Distanz zur Empfangsbitfolge <=> Suche Sendesymbolvektor für den gilt:
∑ ==⋅l
ll yx max!
yx rr
Maximiere Korrelationsmetrik!
Soft Decision Decodierung mit Korrelationsmetrik
Vom ML-Prinzip beim Matched Filter wissen wir: In einem zeitdiskreten AWGN-Kanal
ξrrr
+= xyist unter allen möglichen Sendevektorenderjenige am wahrscheinlichsten gesendet worden, für den die Korrelation zum Empfangsvektor maximal ist:
,...,, 210 xxxxxx rrrrrr===
!
∑ ==⋅l
ll yx maxyx rr
D.h.: Der optimale Empfänger nimmt die Korrelationsmetrik mit den nicht hart entschiedenen Empfangswerten => soft decision Empfänger!
AWGN (diskret)
lll xy ξ+=lξlxViterbi-Decoder
( ) R∈= ll yyyyy ,...,...,,, 210yr
Soft Decision Decodierung: Anmerkungen
Die Menge aller möglichen Sendevektorenist riesig! Aber dieses Problem wird durch den Viterbi-Algorithmus elegant gelöst.
Wir haben angenommen, daß alle Sendevektoren (Sendefolgen) gleich wahrscheinlich sind und dieselbe Energie besitzen.
Das klassische Konzept mit einer klaren Schnittstelle zwischen Demodulatorund Decoder (der mit Bits oder Bytes arbeitet)
gilt nicht mehr.
Der VA arbeitetet natürlich nicht mit wirklich analogen Werten, sondern mit quantisierten.
,...,, 210 xxxxxx rrrrrr===
DigitalerDemodulator
Kanal-Decoder
AnalogeSignale
Bits(fehlerbehaftet)
Bits(korrigiert)
Übungsbeispiel: Was bringt ein Wiederholungscode im AWGN-Kanal?
Kann man die Sicherheit erhöhen, indem man ein Symbol mehrfach überträgt?
Z.B. 3-fach Übertragung bei 2-ASK: „0“ gesendet, Fehler bei „1“Wahrscheinlichkeit für die Verwechslung zweier Sendefolgen?
direkt hintereinander:0Wiederholung
t t
1oder versetzt:( )?erfc
21
=errPWelche Rolle spielen:Hamming-Distanz d?Coderate Rc?Symbolenergie Es?Bitenergie Eb?
t
Übungsbeispiel: Was bringt ein Wiederholungscode im AWGN-Kanal?
ES=Symbolenergie eines 2-ASK-Symbols
d=3 (Hamming-Distanz)„Codierung“
t t
=
0
erfc21
NEP S
err Verhält sich wie bei Übertragung eines Supersymbols der Energie 3 ES :
⋅⋅=
⋅=
=
=
00
00
erfc21erfc
21
3/3erfc213erfc
21
NERd
NEd
NE
NEP
bcS
bSerr
=> Ein Wiederholungcode bringt keinen Gewinn!
Verwechslung zweier Sendefolgen
Was gilt für die Verwechslungswahrscheinlichkeit dieser Sendefolgen?
für „0“
t t
t
für „1“<=>
d=5 (Hamming-Distanz)
t
Verhält sich wie bei Übertragung eines Supersymbols der Energie 5ES :
(5,7) Faltungscode. Oben: Sendefolge zu 0000Unten: Sendefolge zu 1000
⋅⋅=
⋅=
=
=
00
00
erfc21erfc
21
2/5erfc215erfc
21
NERd
NEd
NE
NEP
bcS
bSerr
Beachte aber: Eb = ES/2
Fehlerwahrscheinlichkeiten für codierte 2-ASK
Allgemein gilt für die Fehlerereigniswahrscheinlichkeit „Verwechslung zweier Codeworte im Abstand d “:
⋅⋅=
0
erfc21
NERdP bc
d
Näherung: Betrachte nur wahrscheinlichstes Fehlerereignis beim Abstand d = dfree . Die Zahl der Bitfehler wird durch den Fehlerkoeffizienten bestimmt. Für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt also:
⋅⋅=≈
0
erfc21
NERd
cPcP bcfreedddb freefreefree
Asymptotischer Codierungsgewinn:
)lg(10][ freeca dRdBG ⋅=
Fehlerwahrscheinlichkeiten für codierte 2-ASK
Näherung für den (5,7) -Faltungscode: G dBdRdB freeca 4)2/5lg(10)lg(10][ =⋅=⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 910-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R
4 dB Codierungsgewinn
Theoretische Kurve (Union Bound) des (133,171)-Codes
0 1 2 3 4 5 6 7 810-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R(133,171)-Code mit BP S K im AWGN-Kana l
Simulation Union Bound
Uncodiert
(M-ASK)× (M-ASK)= M2-QAM
( )tf02cos2 π
( )tf02sin2 π− ( )
⋅−∑ tfi
lSl elTtgz 02Re2 π
M-ASK-Basisband
( )∑ −=l
Sl lTtgxtI )(
M2-QAM-Signal
M-ASK-Basisband
( )∑ −=l
Sl lTtgytQ )(
( )
lll
lSl
jyxz
lTtgztjQtI
+=
−=+ ∑)()(Komplexes QAM-Basisband:
Komplexes Modulationssymbol:
(2-ASK)× (2-ASK)= 4-QAM
lx
ly
2d
22dES =
(4-ASK)× (4-ASK)= 16-QAM
lx
ly
2d
22 1052 ddES =⋅=
(8-ASK)× (8-ASK)= 64-QAM
lx
ly
2d
22 42212 ddES =⋅=
Energie und Bandbreite bei M-ASK und M2-QAM
ASK QAMM=2
2
2
2
2
2
2
75.2
215
dEdE
dE
dEdEdE
b
b
b
S
S
S
===
===
2
2
2
2
2
2
75.2
42102
dEdE
dE
dEdEdE
b
b
b
S
S
S
===
===M2=4
M=4 M2=16M=8 M2=64
Bandbreiteneffizienz bei Rolloff=0:
Rb/B (BB) Rb/B (PB) 2-ASK 2 bit/s/Hz 1 bit/s/Hz 4-ASK 4 bit/s/Hz 2 bit/s/Hz 8-ASK 6 bit/s/Hz 3 bit/s/Hz
Rb/B (PB) 4-QAM 2 bit/s/Hz 16-QAM 4 bit/s/Hz 64-QAM 6 bit/s/Hz
BB: Basisband (Niederfrequenz)PB: Passband (Hochfrequenz, Trägermodulation)
Energie und Leistung bei Quadraturmodulation
• Leistung des Basisbandsignals = Leistung des Bandpaßsignals (wegen )
• Signalleistung = Leistung von I(t)+ Leistung von Q(t)
• Symbolenergie = Symbolenergie von I(t) + Symbolenergie von Q(t)
•Annahme: Nyquist-Pulse, d.h.
2
}|{|}|{|}|{| 222lllS yExEzEE +==
( ) ( ) lmSS dtmTtglTtg δ!=−−∫
QAM-Demodulator
( )tf02cos2/1 π
( )tf02sin2/1 π−
( )
⋅−∑ tfi
lSl elTtgz 02Re2 π
lxMF
M2-QAM-Signal
lyMF
Bandpaßrauschen <=> komplexes Tiefpaßrauschen
Leistungsdichte Bandpaßrauschen
N0/2
fBHF BHF
Leistungsdichte komplexes Tiefpaßrauschen
N0BHFN0
fBHF
Komplexes Basisbandmodell
Sendefilter √Nyquist MF
g(t)lz ( )ts
AWGN (komplexes TP-Rauschen)
( )trg(-t)
TS
lll zu ς+=
Symboltakt-Samples nach MF:
Signal
+ Rauschen
lll jyxz +=
lll jηξς +=
lηly
AWGN (reell diskret)
lly η+
AWGN (reell diskret)
llx ξ+lξlx<=>
lzllz ς+
lςAWGN (komplex diskret)
Komplexes diskretes Rauschen
( ) ( ) lmSS dtmTtglTtg δ!=−−∫Normierte √Nyquist -Pulse:
In beiden Quadraturkomponenten hat man identisches, statistisch unabhängiges diskretes AWGN. Rauschleistung teilt sich auf I und Q gleichmäßig auf =>
0222
02
02
}{}|{|
2/}{
2/}{
2
2
2
NEE
NE
NE
lll
ly
lx
=+==
==
==
ηξζσ
ησ
ξσ
Äquivalenz QAM - ASK (Basisband)
Sendefilter √Nyquist MF
g(t)lz ( )ts
AWGN (komplexes TP-Rauschen)
( )trg(-t)
TS
llz ς+
<=>Sendefilter MF
g(t)ly
AWGN (reell)
g(-t)
Sendefilter MF
TS lly η+
g(t)lx
AWGN (reell)
g(-t)TS llx ξ+
Äquivalenz QAM - ASK (Basisband)
• I und Q bilden zwei identische, unabhängige Übertragungskanäle
• M-ASK ist bezüglich der Bitfehler äquivalent zu M2-QAM
• Basisband-M-ASK besitzt die selbe Bandbreiteneffizienz wie M2-QAM
• M-ASK als Trägermodulation besitzt nur die halbe Bandbreiteneffizienz
• Man kann sich Q als eine zusätzliche Dimension für die Modulation vorstellen
• QAM besitzt eine 2D-Signalkonstellation. I und Q stehen senkrecht zueinander
Q
I
Bitfehlerraten für QAM im AWGN-Kanal
0 5 10 15 2010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R
4-QAM
16-QAM 64-QAM
ca. 8.5 dBca. 4 dB
Systembeispiel DVB
• Satellitenstandard DVB-S (ETS 300 421, 1994) • Kabelstandard DVB-C (ETS 300 429, 1994) • Standard für terrestrische Übertragung DVB-T (ETS 300 744, 1997)
• Videocodierung (incl. Audio) nach MPEG 2• 4-5 Mbit/s für Qualität von Standard-TV• Ca. 20 Mbit/s für HDTV - Qualität• Viele Zwischenwerte möglich
• Digitale Übertragung in bisher für analoges Fernsehen genutztenBändern
Kanalbandbreiten und Störabstände
Kabelkanäle• Feste Kanalbreite von 8 MHz• SNR > 28 dB kann garantiert werden
Satellitenkanäle• Transponderbandbreiten von 26-54 MHz (typisch 26 und 33 MHz)• Abstrahlung z.B. bei 11-12 GHz (Astra 1D)• Gesamtleistung des Satelliten gegrenzt.
Der Betreiber möchte möglichst viele TV-Programme senden
• Beim Kabel begrenzt die Bandbreite die Zahl der Programme
• Beim Satelliten begrenzt die Leistung die Zahl der Programme
DVB: Anforderungen an die Übertragungssicherheit
• Anforderung: Praktisch störungsfreier Empfang (QEF=Quasi Error Free)
• Jeder Fehler kann zu einer sichtbaren Störung führen
• Forderung im Standard: Höchstens ein Fehler pro Stunde =>
30 Mbit/s ≈ 1011 bit/h
=> Forderung im Standard:
BER < 10-11
• Praktisch ist dies uncodiert und auch mit Faltungscode nicht erreichbar
=> RS(204,188) = Verkürzter Reed-Solomon-Code als äußerer Blockcode
DVB: Äußerer RS-Code
Blöcke 188 Bytes Blöcke 204 BytesRS(204,188)
Kanal:evtl. innerer CodeModulationAWGN-Kanal
Blöcke 188 Bytes Blöcke 204 BytesRS(204,188)
BER < 2·10-4
(Forderung ETS) BER < 10-11
(Forderung ETS)
Korrekturfähigkeit: 8 Bytefehler
Restfehlerrate des Reed-Somomon-Codes
10-4 10-3 10-210-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
BER nach Vite rbi-Decoder
Res
tfehl
erw
ahrs
chei
nlic
hkei
tBlockfehler
Bitfehler
Annahme: Ein Bitfehler pro Bytefehler
Wie oft treten Fehler auf?
10-4 10-3 10-210-4
10-2
100
102
104
106
108
BER nach Vite rbi-Decoder
Zeit
zwis
chen
Feh
lerb
löck
en [s
]
5 Mbit/s
Einmal pro Monat
Zweimal pro Minute
Wie kommt die Diskrepanz zustande ?
• Man sagt: QEF=1 Fehler pro Stunde • Dies entspricht BER=1e-11 bei einzelnen
Bitfehlern und Datenrate 30 Mbit/s• Wahrscheinlichstes Fehlerereignis: 17 Bytefehler
=> ca. 70 Bitfehler• Außerdem: Faktor 6 in der Datenrate• Muß Kurve für RS(204,188) statt RS(255,239)
nehmen
Systemparameter DVB-C (Kabel)
• Trägermodulation mit QAM • Nyquistpulse mit kleinem Rolloff: α=0.15
=> Symbolrate = 1/TS= 6.96 MSymb/s
QAM)-(64 dB 20
QAM)-(16 dB 22
QAM)-(4 dB 25
dB 28
0
0
0
0
=
=
=
⇒==
NENENE
NESNR
b
b
b
S Die Spezifikation sieht vor:
16-QAM => 25.6 Mbit/s Video
32-QAM => 32 Mbit/s Video
64-QAM => 38.5 Mbit/s Video
Die geforderte Bitfehlerrate wird damit sicher unterschritten!
Innere Codierung DVB-S (Satellit)
• Trägermodulation mit 4-QAM (=QPSK)• Nyquistpulse mit etwas größerem Rolloff: α=0.27
• Äußere Faltungscodierung mit (133,171)oct (Planetary Standard)
• Durch Punktierung mehrere Coderaten möglich: 1/2, 2/3, 3/4, 5/6, 7/8
• Äußeres Byte-Interleaving nötig wegen Fehlerbündelung nach Viterbi
RS(204,188) Encoder
Äußerer Code
Byte-Interleaver
Äußerer Interleaver
Faltungs-Coder
Innerer Code mit (133,171)oct
QPSK
Modulator
Äußerer Byte-Interleaver bei DVB
.....
.....
.....
...............
.....
Seriell/Parallel
M
3 M
10 M
11 M
1 Block Delay
Parallel/Seriell
2 Blöcke Delay3 Blöcke Delay
10 Blöcke Delay
11 Blöcke Delay
9 M 9 Blöcke Delay
2 M
Faltungsinterleaver mit I=12 und M=17
Systemparameter DVB-S (Satellit)
Bitfehlerkurven bei BER = 2·10-4 :8 dB uncodiert → 3.3 dB codiert mit (133,171)oct(nicht vergessen: Implementationsverluste und Redundanz im RS-Code → Eb/No=4.5 dB)
4.7 dB Codierungsgewinn: Leistungsersparnis um den Faktor 3Coderate 1/2: Bandbreitenexpansion um den Faktor 2
Damit lassen sich
24 Mbit/s Video in 33 MHz Transponderbandbreite
übertragen.
PSK (Phase-Shift Keying)
( )
ljSlll
lSl
eEjyxz
lTtgztjQtI
ϕ⋅=+=
−=+ ∑)()(Komplexes Basisband (wie QAM):
Komplexes Modulationssymbol:
M-PSK = M-stufige digitale Phasenmodulation
• Die Information steckt in der Phase, z.B.
• Die Amplitude bleibt konstantSE
−∈
MM
MMlπππϕ 2)1(,...,4,2,0
2-PSK = BPSK (Binary Phase-Shift Keying )
{ }πϕ ,0∈l BPSK = 2-ASK mit Trägermodulation
{ }Sj
Sl EeEz l ±∈⋅= ϕ
bS EE =
°=⇒= 1801 lla ϕ °=⇒= 00 lla ϕ
SE
4-PSK = QPSK (Quaternary Phase-Shift Keying ) = 4-QAM
( )
±±⋅∈⋅= jEeEz SjSl
l 12
ϕ{ }°°°°∈ 315,225,135,45lϕ
bS EE 2=
lx
ly
bS EEd == 2/SE
0010
0111
8-PSK
ljSl eEz ϕ⋅={ }°°°°∈ 315,...,90,45,0lϕ
bS EE 3=
lx
ly
SE
⋅⋅=
8sin22 π
SEd
000
001
011
010
110
111
101100
Fehlerwahrscheinlichkeit bei 8-PSK
Symbolfehlerwahrscheinlichkeit (enge obere Schranke):
⋅=
8sin π
SEd
⋅
⋅=
⋅
=
≤
0
2
0
2
8sin3erfc
8sinerfc2
NE
NEdQP
b
SS
π
πσ
Entscheiderschwelle
Bitfehlerwahrscheinlichkeit (Näherung Gray Mapping):
⋅
⋅≈
0
2
8sin3erfc
31
NEP b
bπ
dB 6.344.08
sin3 2 −≈≈
⋅π => ca. 3.6 dB Verlust gegenüber QPSK
Fehlerwahrscheinlichkeit bei M-PSK
0 5 10 15 2010-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
Eb/No [dB]
BE
R
4-PSK
8-PSK 16-PSK
( ) ( )
⋅
⋅≈
0
22
2
sinlogerfclog
1NE
MM
MP b
bπ
Vergleich der Bandbreiten- und Leistungseffizienz
0 5 10 15 20100
101
Eb/No [dB]
Spe
ktru
mse
ffizi
enz
[bit/
s/H
z]
4-PSK =4-QAM
8-PSK
2-PSK
16-QAM16-PSK
64-QAMShannon-Grenze
Vergleich von PSK und QAM
• Eine höherstufige QAM ist (in der Theorie) immer effizienter als eine vergleichbare PSK, aber in der Implementation schwieriger
• Ein PSK-Empfänger benötigt nur eine Phasenregelung, der QAM-Empfänger benötigt Amplituden- und Phasenregelung
• QAM stellt höhere Anforderungen an die Linearität der Sender-Endstufen
• Bei terrestrischen, stationären Anwendungen (Richtfunk, Kabel) ist QAM (zur Zeit bis etwas 256-QAM) immer erste Wahl
• Eine Kanalcodierung mit viel Redundanz kann bei höherstufiger Modulation eine Verschlechterung bringen. Wenn eine sehr niedrige Restfehlerrate gefordert ist: Blockcode mit wenig Redundanz
• Für mobile und Satelliten-Anwendungen empfiehlt sich 4-PSK (höchstens 8-PSK) mit starker Kanalcodierung (CPM, s.u.)
Trägerregelung und Phasensynchronisation
• Problemstellung: Gewinne aus einem modulierten und verrauschten Träger mit unbekannter Phase für den Quadraturdemodulator eine saubere Trägerschwingung mit richtiger Phase.
• 1. Problem: Die Trägerphase ist nicht konstant, sondern moduliert
• 2. Problem: Regelung (Anbindung) eines Oszillators (VCOs) durch eine verrauschte Sinusschwingung
Betrachte zunächst das regelungstechnische Problem 2 => Standardlösung:
PLL (Phase-Locked Loop) = Phasenregelschleife
Phase-Locked Loop (PLL)
Aufgabe: Phasengenaue Anbindung der Schwingung eines VCO an eine(verrauschte) Referenzschwingung
(Output)Referenz (Input) Loop Filter
TP VCO ( )θπ ˆ2sin 0 +tf
geschätzte Phase
( )θπ +tf02cos
unbekannte Phase
( ) 2/ˆ θθ −≈)(te
( ) ( )( ) ( )θθπθθ
θπθπˆ4sinˆsin
ˆ2sin2cos2)(2
0
00
+++−=
++=
tf
tftfte „Fehlersignal“
Squaring Loop für BPSK
TP VCO
( )θπ +± tf02cos
( )θπ ˆ24sin 0 +tf
90°
2÷
( )θπ ˆ2cos)( 0 +− tf
( )θπ ˆ24cos 0 +− tf
ST
( )θπ 24cos 0 +tf
PLL bei 2f0
BPSK-DemodulatorMF
( . )2
BP bei2f0
BPSK: Kohärenter Empfänger mit Squaring Loop
• Durch das Quadrieren wird die Modulation („+“ oder „-“ ) entfernt. Dadurch entsteht gleichzeitig eine Phasenunsicherheit von 180° beim zurück gewonnenen Träger. Konsequenz:
• Möglicherweise sind alle Bits invertiert.
Mögliche Gegenmaßnahmen:
• Periodisch wiederkehrende bekannte Bitfolge. Nachteil: BenötigtEnergie und belegt Bandbreite
oder
• Differentielle Vorcodierung. Nachteil: Verschlechterung der Bitfehlerrate durch Doppelfehler
Differentielle BPSK (DBPSK)
Sender:
DifferentiellerEncoder
ljSl eEz ϕ⋅=
ll
lll aϕϕ
ϕϕ∆+=
⋅°+=
−
−
1
1 1801−⊕= lll bab
Infobit steckt in Phasendifferenz
la BPSK-Modulator
Kohärenter Empfänger:
1ˆˆˆ −⊕= lll bba
lbBPSK-Demodulator
DifferentiellerDecoder
Differentieller Empfänger:
Phasendifferenz-Detektor
la
Differentieller PSK-Empfänger
Sendesymbol: ljSl eEz ϕ⋅=
Empfangssymbol: RauscheneEeu ljS
jl +⋅= Θ ϕ
Θ: unbekannte Trägerphase
( ) RauscheneEuu lljSll +⋅= −−
−1*
1ϕϕ
TS (.)*
lu *1−lluu
PSK-Demod.
1−lu
Differentieller PSK-Modulator: DPSK
Information in Phasendifferenz aufeinanderfolgender Symbole, z.B.
{ }°°°°∈ 315,225,135,45lϕ{ }°°°°∈∆ 315,225,135,45lϕ
QPSK:lll ϕϕϕ ∆+= −1
Info
DQPSK:
ljl eq ϕ∆=
lll qzz 1−=
ljSl eEz ϕ⋅=
TS
M-PSK-Modulatorlj
l eq ϕ∆=
11
−⋅=−lj
Sl eEz ϕ
la
Phasenstern π/4- DQPSK
{ }°°°°∈ 315,225,135,45lϕ{ }°°°°∈∆ 315,225,135,45lϕ
QPSK:DQPSK:
000110
11
Keine Nulldurchgänge =>besser bei nichtlinearenVerstärkern
QPSK
1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
Q(t)
I(t)
t
t
Offset-QPSK
Zeitversatz um Tb zwischen den Quadraturkomponenten:
1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
Q(t)
Tb TS
I(t)
t
t
Phasensterne und Übergänge QPSK und OQPSK
QPSK OQPSK
1 Übergang pro Symboltakt 2 Übergänge pro Symboltakt
Keine Nulldurchgänge =>besser bei nichtlinearenVerstärkern
Offset-QPSK mit Sinus-Halbwelle als Pulsform: MSK
0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0
Tb
TS
S
S
TE
I(t)
t
Q(t)
t
t=0
Offset-QPSK mit Sinus-Halbwelle als Pulsform: MSK
0 1 2 3 4 5 6 7 8-2
-1
0
1
2Inphase
t/Ts
0 1 2 3 4 5 6 7 8-2
-1
0
1
2
t/Ts
Quadra tur
Offset-QPSK mit Sinus-Halbwelle als Pulsform: MSK
( ) ( )( )∑ −−+−=l
bSlSl TlTtgjylTtgxts )(
( )
±∈
=
=
∫
2,
1
rectcos2)(
2
Sll
SSS
Eyx
dttg
Tt
Tt
Ttg π
TS
Einhüllende:
( ))(exp)()( 2 tjTEtsP
TEts
S
SS
S
S Φ=⇒==
MSK: Phasenverlauf
1=lx
1=ly
1−=lx
1−=ly
S
S
TEtQtI =+ 22 )()(
{ }{ }
( )122
12:2/2:,0
)(
1 ±=+Φ=±Φ=Φ
+=±=
∈Φ=Φ
+ iiiii
bi lili
iT
βπβπππ
Geradzahlige Bittakte Modulation von I mit 1±=lx
Ungeradzahlige Bittakte Modulation von Q mit 1±=ly
(Bitenergie auf 1 normiert)
MSK: Phasenverlauf
-2-1
01
2
-2-1
01
20
5
10
15
20
InphaseQuadra tur
t/Tb
MSK: Phasenverlauf
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1P hasentre llis
t/Tb
Pha
se/p
i
TS
MSK: Relative Augenblicksfrequenz
[ )( )bbib
i
bM
TiiTtfT
Tttf
)1(,21
41
41)(
21)(
+∈∆==
±=Φ=∆•
ββ
π
21
=⋅∆= bTfhMSK ist eine FSK mit Modulationsindex
Man kann zeigen: Dies ist der kleinste Modulationsindex, bei dem die (reellen) Pulsformen orthogonal sind. Deshalb:
MSK=Minimum Shift Keying
21
=⋅∆= bTfhMSK als Frequenzmodulation mit
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/Tb
MSK als Frequenzmodulation mit 21
=⋅∆= bTfh
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1ZF-S igna l
t/Tb
MSK: Modulationssymbole
Umbenennung der Modulationssymbole:
+==
=12:
2:
9
4
8
4
7
3
6
3
5
2
4
2
3
1
2
1
1
0
0
0
liylix
yxyxyxyxyx
l
liα
αααααααααα K
K
a
Geradzahlige Bittakte Modulation von I mit 12 ±=lα
Ungeradzahlige Bittakte Modulation von Q mit 112 ±=+lα
(Bitenergie auf 1 normiert)
MSK: Modulationssymbole und Frequenzen
Die Augenblicksfrequenz des i-ten Bit-Taktes wird durch zwei aufeinanderfolgende Modulationssymbole
festgelegt: ( )1, +ii αα
)(tfM∆ bb TitiT )1( +<<
+−−+∆
−+−+=
−−++=
=
+ ))(sgn(gerade) ( 2
1 tfyxili
Mlili αα
−++−∆
−+−+=
−−++=
+=
++ ))(sgn(ungerade) ( 12
11 tfxyili
Mlili αα
( ) ( )( )
+=−=
=∆=+
++∈ 12:sgn
2:sgn)(sgn
1
1))1(,[ li
litf
ii
iiTiiTtMi
bb αααα
β
MSK: Differentielle Codierung
+=⊕=⊕
=+
+
12:2:
1
1
liaaliaa
bii
iii
Differentieller Decoder Negation bei ungeradem Takt
Umkehrung:
+=⊕=⊕
=+ 12:2:
1 libaliba
aii
iii
( ) bii Ea21−=α OQPSK mit cos-Pulsform
ii b21−=β FSK mit h=1/2 (=MSK)
MSK:Darstellung als Frequenzmodulation
Im FM-Basisband digitale (ASK)Modulation mit
)()( bi
iM iTtpftf −∆=∆ ∑β
−=
21rect
21)(
bTttp rechteckiger Pulsform
f∆t
)(tfM∆( )
∫ Φ+∆=Φ
Φ+=
t
M
b
bPB
dft
tjtfjTEts
00
0
)(2)(
)(2exp)(
ττπ
πVCO
MSK:Phase als Stammfunktion der Augenblicksfrequenz
00
00
)(2
)(2)(
Φ+−∆=
Φ+∆=Φ
∫∑
∫t
bi
i
t
M
diTpf
dft
ττβπ
ττπ
MSK: Empfängertypen
• Modulation als FSK, aber Quadraturdemodulation als OQPSK => Bitfehlerrate wie kohärente QPSK
• Jede Art von FSK-Demodulation möglich => große Vielfalt an suboptimalen Empfängertypen
Diff.Decoder
ib OQPSK-DeMod.
iaia FSK-Mod.
CPFSK (Continuous Phase FSK) CPM (Continuous Phase Modulation)
Φ+∆+ ∫
t
Mb
b dfjtfjTE
000 )(22exp ττππ
t)(
)(
bi
i
M
iTtpftf
−∆=
∆
∑βPuls-formungs-Filter
FM-Mod.(VCO)
• p(t) ist i.a. „glatte“ Pulsform => bessere spektrale Eigenschaften
• Große Vielfalt an Möglichkeiten; interessante Empfängertypen
• Berühmtestes Beispiel: GMSK (Anwendungen: GSM, DECT) = MSK mit Gaußfilter zur Pulsformung
GMSK
0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t/Tb
Mom
enta
nfre
quen
zGMS K-S igna l BT= 0.5
GMSK
-2-1
01
2
-2-1
01
20
5
10
15
InphaseQuadra tur
t/Tb
GMS K-S igna l BT= 0.5
GMSK
0 2 4 6 8 10 12 14 16-2
-1
0
1
2GMS K-S igna l BT= 0.5 Inphase
t/Tb
0 2 4 6 8 10 12 14 16-2
-1
0
1
2
t/Tb
GMS K-S igna l BT= 0.5 Quadra tur
GMSK
0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1GMS K-S igna l BT= 0.5 P hasentre llis
t/Tb
Pha
se/p
i
Das Konzept der Multiträgermodulation
1 MHz für 106 QAM-Symbole pro Sekunde
1 Träger =>TS = 1 µs
Frequenz
10 Unter-Träger =>TS = 10 µs
Frequenz
100 Unter-Träger =>TS = 100 µs
Frequenz
Wie eng kann man die Träger im Frequenzbereich packen?
Rechteck-Spektrum<=> si-PulseBkTS =1
FrequenzBk=1/ TS
Nyquist-PulseBkTS = 1+α
FrequenzBk=(1+α)/ TS
Wie eng kann man die Träger im Frequenzbereich packen?
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
FrequenzBk=1/ TS
si -Spektrum<=> Rechteck -PulseBkTS =1
OFDM
OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)
• Überlappende Spektren der Unterträger, trotzdem keine gegenseitige Störung wegen Orthogonalität der Signale
• Keine Nachbarkanal- Interferenz <=> „Nyquist-Bedingung im Frequenzbereich“
OFDM-Symbol (= Signal für die Dauer eines Symboltaktes) ist eine Fourier-Reihe:
∑−=
−⋅=
2/
2/
/2
21rect1)(
K
Kk
TktjkOFDM T
tezT
ts π
Die Information wird durch den Fourierkoeffizienten zk (QAM oder PSK-Symbol) auf die Frequenz fk =k/T des k-ten Unterträgers moduliert.
OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)
][)()(
)()(
21rect1)(
)()(
0
*
0
*
/2
2/
2/
mkdttgtg
dttstgz
Tte
Ttg
tgzts
T
mk
T
OFDMkk
Tktjk
K
KkkkOFDM
−=
=
−⋅=
=
∫
∫
∑−=
δ
π
Modulation durch Fourier-Synthesezk : Modulationssymbole (=Info)Basis-Signal des k-ten Trägers: rect-Puls bei der Frequenz fk =k/T
Demodulation durch Fourier-Analyse
Orthogonalität der Basispulse
∑ ∑−=
−=l
K
Kkkkl lTtgzts
2/
2/)()( Fortlaufendes OFDM-Signal
l=Zeitindex
OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)
Basis-Signal des k-ten Trägers: rect-Puls bei der Frequenz fk =k/T
−⋅=
21rect1)( /2
Tte
Ttg Tktj
kπ
2 Sichtweisen möglich:
1. Rechteck-Puls jeweils auf K+1verschiedene Frequenzen moduliert=> „Multiträger-Multiplex“
2. K+1 verschiedene (komplexe) Basisband-Pulsformen => „Multipuls-Multiplex“
Die 2. Sichtweise ist näher an der Implementation durch FFT
OFDM als Multiträgermodulation
tfj ke 12 −π....
S/Pklz )(0 tg
)(0 tg
)(0 tg
klz
lkz ,1−
lkz ,1+
Σtfj ke π2
tfj ke 12 +π
....
OFDM als Multipulsmodulation
....
S/Pklz )(tg k
klz
lkz ,1−
lkz ,1+
Σ
)(1 tgk−
)(1 tgk+
....
OFDM - Signal im Frequenzbereich (K=96)
-60 -40 -20 0 20 40 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fT fA/2•T
K>>1 => Das Signal ist näherungsweise bandbegrenzt (Rechteck)=> Zeitdiskrete Signalerzeugung
OFDM - Zeitdiskrete Signalgenerierung durch FFT
N muss groß genug sein, damit die Bedingung des Abtasttheoremsnäherungsweise erfüllt ist.
Beispiele: K=192, N=256; K=384, N=512; K=1536, N=2048;
IFFT
FFT
D/A
A/D
Sender
Empfänger
zk
zk ‘
OFDM mit Schutzintervall
• Echos und Synchronisationsfehler stören die Orthogonalität => Verlängere das Sendesymbol gegenüber dem FFT-Fenster
T: Fensterlänge der Fourier-Analyse TS=T+∆: OFDM-Symboldauer∆: Schutzintervall
T
Analyse-Fenster
Signal ohne
TS
mit
Schutzintervall
OFDM: Periodisch fortgesetzter Basispuls mit Schutzintervall
TS
T
t
t
t
−⋅=
21rect1)( /2
Tte
Ttg Tktj
kπ
−
∆+⋅=
21rect1)( /2
S
Tktjk T
teT
tg π
t =0
−⋅=
21rect1)( /2
S
Tktjk T
teT
tg π
t
−⋅= ∆−
21rect1)( /)(2
S
Ttkjk T
teT
tg π
OFDM mit Schutzintervall: Auswirkung eines Echos
( ) klfj zec k ⋅⋅+ − τπ21
τπfjec 2−⋅
OFDM-MOD
klz OFDM-MOD
Signal+Echo Echo
SignalUnter der Bedingung gilt:
Der Mehrwegekanal bewirkt einen multiplikativen komplexen Faktor.
Bei differentieller (De)Modulation (z.B. bei DAB) ist dieser irrelevant.
Bei kohärenter (De)Modulation (z.B. bei DVB-T) muss er bestimmt (geschätzt) werden .
∆<τ
OFDM-Parameter bei IEEE802.11a bzw. g
Symboldauer TS=4µs; T=3.2 µs; 52 Träger, davon 48 Nutzträger
