Eine Erklärung der mathematischenKonstante π

M. N. G. Einstein 16. September, 2015

Für Tobias J. und Stephan M. aufgrund ihrer wissbegierigenAnteilnahme an der Mathematik.

Was ist π?

Nun, die klassische Einführung von π findet in der Elementarmathematik bei derKreisberechnung statt. Nachdem Archimedes (287 − 212 v. Chr.) erkannt hatte,dass das Verhältnis des Umfangs U zum Durchmesser d = 2 · r und das Verhältnisdes Flächeninhalts A zum Quadrat des Radius r zu ein und derselben Konstantengleichbleibend ist:

U = 2 · r · π, A = r2 · π

begann die Untersuchung dieser Zahl. Erst seit Meister Euler bezeichnet man dieseKonstante mit π.

Wichtig ist vor allen Dingen die Erkenntnis, dass diese Zahl unabhängig von derGröße des Kreises ist und somit tatsächlich eine Konstante ist! Ansonsten würdedie Zahl selbst schwanken und sich mit der Kreisgröße (ver)ändern.

Die Begutachtung dieser Zahl beinhaltete die wesentlichen Fragen nach ihremCharakter. Am wichtigsten dabei war, neben der Darstellungsform und −weise,die nach rationalität und transzendenz; wobei eine rationale − Q, jene Zahl ist,

1

welche sich als Bruch von ganzen Zahlen Z darstellen lässt, wie zum Beispiel ZZ

oder 34; und eine transzendente − T, nunmehr eine Zahl ist, welche in ihren Dezi-

malstellen unendlich fortgeführt werden kann ohne eine Periode aufzuweisen (alsokein Ende besitzt, ergo kann man sie auch nicht mithilfe eines Polynoms der Form0 6= p ∈ Q[X]\0 oder p(x) = anx

n + · · · + a1x + a0 6= 0 darstellen). Immerhinkannten die Griechen schon

√2; ebenfalls eine sehr wichtige rationale Zahl. Lei-

der war es den Mathematikern jener Zeit nicht möglich jene Fragen zu beantworten.

Es dauerte bis zum achtzehnten Jahrhundert bis diese und weitere Fragen beant-wortet wurden. In dieser Zeit fand man auch einen anderen Zugang zu π, nämlichdie komplexen Zahlen. Man kann sie auch mithilfe der komplexen Exponential-funktion einführen:

ez = 1 +z

1!+z

2!+ . . . z ∈ C

Es gibt eine (eindeutig bestimmte) reele Zahl π > 0, so dass genau die Zahlen2 · n · π · i, n ∈ Z, vermöge ez auf 1 abgebildet werden:

{w ∈ C : ew = 1} = 2 · π · i · Z

Allerdings gibt es auch sogenannte analytische Formeln. Die erste davon fand Vieta1579 in form des unendlichen Produktes:

2

π=

√1

2·

√1

2+

1

2

√1

2·

√√√√1

2+

1

2·

√1

2+

1

2

√1

2· . . .

1655 entdeckte Wallis eines der berühmtesten Produkte überhaupt:

π

2=

2 · 21 · 3

· 4 · 43 · 5

· . . . · 2n · 2n(2n− 1) · (2n+ 1)

· . . .

Die erste Reihendarstellung wurde erst 1671 von Gregory gefunden und lautet:

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

Mithilfe der Integralrechnung die im siebzehnten Jahrhundert errichtet wurde,kann man π ebenfalls definieren. Dafür muss man allerdings wissen, dass der Ein-heitskreis durch x2 + y2 = 1 beschrieben wird. Daraus folgt als Berechnung derBogenlänge, welche definiert wird als:

L(a, b) =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx

2

seiner oberen Hälfte:∫ 1

−1

√1 + (y′)2 dx =

∫ 1

−1

1√1− x2

dx = π

Desweiteren kann man sich die Formel für den Flächeninhalt zunutze machen,wobei man: ∫ 1

−1y dx =

∫ 1

−1

√1− x2 dx =

π

2

erhält. Weierstrass, der alte Fuchs, ging sogar noch weiter und definierte π übersogenannte uneigentliche Integrale wie:

π :=

∫ ∞−∞

dx

1 + x2

Was schon erstaunlich anmutet, kann man sogar noch weiter treiben. Mithilfe desKerns des Exponentialhomomorphismus kann man π ebenfalls definieren. Dafürbraucht man zunächst die additive Untergruppe:

Kern(exp) = {w ∈ C : exp w = ew = 1} von C

Mit ihr folgt, dass es eine eindeutig bestimmte, positive reele Zahl π gibt, so dassgilt:

Kern(exp) = 2 · π · i · Z

Der vollständigkeitshalber, auch wenn diese Liste wohl nur einen groben Überblickverschaffen dürfte, darf eine wichtige Definition nicht fehlen:∫

S1

dz

z= 2 · π · i

wobei S1 die (multiplikative) Kreisgruppe bezeichnet. Darüberhinaus ist die kom-plexe Eigenschaft:

eiπ2 = i und eiπ = −1

von fundamentaler Bedeutung, denn damit gelang es Bernoulli 1702 π in der Form:

π = 2loge i

i

darzustellen.

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