Weiches Chaos - Am Beispiel des Hénon-Heiles-Potentialsmielke/ws1718p20171201.pdf · Weiches Chaos...

Weiches ChaosAm Beispiel des Henon-Heiles-Potentials

Eugen Dizer Mathieu Kaltschmidt

Universitat Heidelberg

01 Dezember 2017

Eugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 1

Beispiel Doppelpendel

Fur Interessierte

httpsavtibeumedia14902



Fur Interessierte



Gliederung

1 Integrabilitat und Chaos

2 Das Henon-Heiles-PotentialBewegung von Sternen in GalaxienPoincare-SchnitteHenon-Heiles-PotentialAnalyse fur verschiedene EnergienWeiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung


2 Das Henon-Heiles-Potential

Bewegung von Sternen in GalaxienPoincare-SchnitteHenon-Heiles-PotentialAnalyse fur verschiedene EnergienWeiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung


2 Das Henon-Heiles-PotentialBewegung von Sternen in Galaxien

Poincare-SchnitteHenon-Heiles-PotentialAnalyse fur verschiedene EnergienWeiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung


2 Das Henon-Heiles-PotentialBewegung von Sternen in GalaxienPoincare-Schnitte

Henon-Heiles-PotentialAnalyse fur verschiedene EnergienWeiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung


2 Das Henon-Heiles-PotentialBewegung von Sternen in GalaxienPoincare-SchnitteHenon-Heiles-Potential

Analyse fur verschiedene EnergienWeiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung


2 Das Henon-Heiles-PotentialBewegung von Sternen in GalaxienPoincare-SchnitteHenon-Heiles-PotentialAnalyse fur verschiedene Energien

Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Integrabilitat und Chaos

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung

PhasenraumDer Zustand eines Systems wird durch die Lage im Phasenraumbeschrieben

ξξξ(t) = (qqq(t)ppp(t)) = (q1(t) qn(t) p1(t) pn(t)) (1)

Integrale der BewegungEine physikalische Groszlige f = f (qqqppp t) die fur alle Zeiten denselbenWert hat

dfdt = 0 lArrrArr f ist ein Integral der Bewegung (2)



Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat

DefinitionEin System mit n unabhangigen Freiheitsgraden heiszligt integrabel fallsmindestens n linear unabhangige Erhaltungsgroszligen Jα existierensodass samtliche Poissonklammern verschwinden

Jα Jβ = 0 forallα β isin 1 n (3)

Fur integrable Systeme lasst sich stets eine kanonischeTransformation

qqqppp minusrarr θθθ(qqqppp)JJJ(qqqppp) (4)

finden sodass Jα die neuen kanonischen Impulse sind



Integrabilitat





finden sodass Jα die neuen kanonischen Impulse sindEugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 6


Integrabilitat

Nach der Transformation sind alle Impulse Jα konstant und damit alleθαrsquos zyklisch

Jα = 0 = minus partHpartθα

rArr Jα = constα (5)

rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem

θα = partH(JJJ)partJα

= θα(J1 Jn) rArr θα = constα = ωα (7)

rArr θα = ωαt + θ0α (8)



Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Darstellung als Torus

Die Bewegung eines integrablen Systems mit n Freiheitsgraden im2n-Phasenraum lasst sich als eine Bewegung auf einemn-dimensionalen Torus beschreiben

Abbildung Beschreibung als Torus 1

1Quelle [9] (bearbeitet)Eugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 8







Darstellung als TorusTorusvariablenDie Jα nennt man die Wirkungsvariablen die θα heiszligenWinkelvariablen

Abbildung Torusvariablen 2







Darstellung als TorusRationale und irrationale Tori

Fur periodische Bahnen muss gelten

n middot∆θ2 = 2π middotm (9)

mit ω1

ω2= m

n rational (10)81 Coexistence of Regular and Irregular Motion 165

Figure 128 Torus in phase space

For irrational frequency ratios the orbit never repeats itself but approaches every point onthe two-dimensional manifold infinitesimally close in the course of time In other words themotion is ergodic on the torus (Note that the dimension 2 of the torus is different from thedimension 3 of the manifold defined by H(p q) = E = const)

812 Perturbation Theory and Vanishing Denominators

Let us now add to H0 a perturbation εH1 and see how it affects the previously regular motionthat is we consider the Hamiltonian

H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)

(where we expressed H1 in the action-angle variables J = (J1 J2) θ = (θ1 θ2) of the unper-turbed system) and we try to solve the HamiltonndashJacobi equation

H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)

Writing the generating function S as

S(Jprime θ) = θ middot Jprime + εS1(Jprime θ) (820)

and expanding M to order ε we obtain

H0(Jprime)+ εpartH0

partJmiddot partS1(Jprime θ)

partθ+ εH1( jprime θ)+O(ε2) = H00(Jprime) (821)

S1 is determined by requiring that the left-hand side in (821) is independent of θ i e

ω middot partS1(Jprime θ)

partθ= minusH1(Jprime θ) (822)

Abbildung Tori [8]



Darstellung als TorusRationale und irrationale ToriFur periodische Bahnen muss gelten


mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos

Kleine Anderungen δqqq(t0) und δppp(t0) in den Anfangsbedingungenhaben enorme Auswirkungen auf die zeitliche Entwicklung derBewegung

periodische Bahnendliche Menge vonPunktenrsquorationale Torirsquo

aperiodische Bahndichte Mengersquoirrationale Torirsquo

p

q

bull Charakteristisch fur chaotische Bahnen ist dass eine kleine Anderungδq(t0) δp(t0) der Anfangsbedingungen nach kurzer Zeit zu groszligen Abwei-chungen von der ursprunglichen Bahn fuhrt Bei regularen Bahnen bleibendagegen die Abweichungen klein (vgl Abschn 74)

t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn

711 Spezialfall N = 2

In einem zweidimensionalen System (N = 2) ergibt sich fur den Poincare-SchnittFolgendes Aufgrund der Energieerhaltung

H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)

liegen die Bahnen ξ(t) auf einer dreidimensionalen Energieschale R3E Einer der

Impulse zB px wird dadurch festgelegt

px = px(E py x y) = plusmn

2mE minus p2y minus 2mV (x y) (163)

und kann eliminiert werden Eine weitere Variable wird durch Wahl der Poin-care-Schnittflache festgelegt (oder umgekehrt) zB x = 0 Damit verbleibennoch zwei freie Variablen welche die Punkte (y py) isin Σ bilden Ein Punkt(y py)(t0) legt demnach eine Bahn ξ(t) eindeutig fest (bei vorgegebener EnergieE) Der Poincare-Schnitt ergibt also ein vollstandiges Portrait der Bahn Wirdeine genugend groszlige Zahl von Anfangspunkten (und damit von verschiedenenBahnen) gewahlt so erhalt man ein mehr oder weniger komplettes Portrait vonder Dynamik des untersuchten Systems Praktisch sieht das bei der Wahl derSchnittflache (y py) (mit x = 0) so aus

35

Abbildung Trajektorien fur kleine Storung in den Anfangsbedingungen [2]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35



Das Henon-Heiles-Potential

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das Henon-Heiles-Potential Bewegung von Sternen in Galaxien

Bewegung von Sternen in Galaxien

BeschreibungZylinderkoordinatenR θ z

AnnahmenGravitationspotential Ug ist

zeitunabhangigzylindersymmetrisch

rArr Ug (R z)Abbildung Beschreibung derSternenbewegung 3

3Quelle httpsdewikipediaorgwikiSombrerogalaxie (bearbeitet)Eugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 13


Betrachtung im PhasenraumZielWelchen Teil des 6-dimensionalen Phasenraums (R θ z R θ z) fulltdie Trajektorie eines Sterns wenn man ihn fur eine lange Zeitverfolgt

Benotigen6 Erhaltungsgroszligen Jα(R θ z R θ z) = constαJede Erhaltungsgroszlige reprasentiert eine HyperflacheTrajektorie ist die Schnittkurve aller Hyperflachen

Wir kennenJ1 = Ug (R z) + 1

2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ

=rArr Gibt es noch andere






2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ

=rArr Gibt es noch andereEugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 14


Betrachtung im Phasenraum Vereinfachungen

Fuhre Funktion einU(R z) = Ug (R z) + L2

2R2 (L Drehimpuls)

Problem wird unabhangig von θ

=rArr Ersetze R und z durch x und y

ResultatPhasenraum ist 4-dimensional (x y x y)J1 = U(x y) + 1

2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)



Betrachtung im Phasenraum Darstellung

Prinzipiell moglich dennWir kennen eine ErhaltungsgroszligeBrauchen drei Koordinaten und konnen die vierte aus derErhaltungsgroszlige berechnenKonnen 3-dimensionalen Phasenraum plotten und untersuchen

Aber





Aber





Aber




132 2 Beispiele mechanischer Systeme

In [14] = pic2=KCPlot [ sol

In [15] = Show [

x[t] y[t] py[t] AxesLabel-gt

x[t] y[t] Subscript[py] [t]

DisplayFunction-gt Identity

] j

pic2 Graphics3D[RGBColor[OOl]hc] Axes-gtTrue DisplayFunction-gt

$DisplayFunction ViewPoint-gt1563-2885O829

] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]

Die Projektion der Tra-jektorie im Dreidimen-sionalen darstellen

Beide Darstellungen ge-meinsam anzeigen Die Kurve in der Ebene z = 0 soll dabei blau gezeichnet werden

Abb 220 Eine regulaumlre Phasentrajektorie des Henon-Heiles-Systems aus dem vierdimensionalen Phasenraum sind zur Darstellung die x y und Pli Komponente ausgewaumlhlt worden In der Pli = -12 Ebene die zweidimensionale Projektion Abbildung Bewegung im Phasenraum [5]


Das Henon-Heiles-Potential Poincare-Schnitte

Poincare-Schnitte

DefinitionSchnitte der Kurve ξξξ(t) mit einer(2n minus 1)-dimensionalenHyperflachesum

qi = ξξξ isin R2n qi = q(0)i

Dies ergibt ein stroboskopischesAbbild der Trajektorie mit einerdiskreten Folge von Punkten ξξξ(tn) Abbildung Poincare-Schnitt

[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-SchnitteIn unserem Fall


Abb 221 Die Ebene x = 0 und die dreidimensionale Projektion der Trajektorie Die Schnittpunkte der Kurve mit der Ebene bilden den Poincare-Schnitt

02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03

Abb 222 Die Schnittpunkte (y Pli) fuumlr die Trajektorie aus der Abb 221



02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03


Abbildung Poincare-Schnitt beim Henon-Heiles-Potential [5]


Das Henon-Heiles-Potential Henon-Heiles-Potential

Henon-Heiles-Potential


U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸

Harmonischer Oszillator

+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)

Eigenschaftenanalytisch einfachkompliziert genugreprasentiert den allgemeinen Fall





U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials

Abbildung Henon-Heiles-Potential 4

4Quelle httpsenwikipediaorgwikiHenonndashHeiles systemEugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 21


Bewegung im Potential

Mit FFF = minusnablaU folgen die Bewegungsgleichungen

x = minuspartUpartx = minusx minus 2xy (12)

y = minuspartUparty = minusy minus x2 + y 2 (13)

=rArr Nicht integrabel=rArr Aber Numerische Untersuchung der Bewegung moglich







=rArr Nicht integrabel

=rArr Aber Numerische Untersuchung der Bewegung moglich









Das Henon-Heiles-Potential Analyse fur verschiedene Energien

Niedrige Energien

Abbildung Ergebnisse fur E = 112 [4]

Was ist zu sehenSets aus Punkten rarr aperiodische Bahnengesamter energetisch verfugbarer Raum ausgefulltstabile Bewegung



Niedrige Energien


Was ist zu sehen

Sets aus Punkten rarr aperiodische Bahnengesamter energetisch verfugbarer Raum ausgefulltstabile Bewegung



Niedrige Energien





Erhohung der Energie


Was hat sich verandertimmer noch einige Punkte-Sets erkennbarscheinbar willkurlich verteilte isolierte Durchstoszligpunktevon Bahnen uberdeckte Flache nimmt ab





Was hat sich verandert

immer noch einige Punkte-Sets erkennbarscheinbar willkurlich verteilte isolierte Durchstoszligpunktevon Bahnen uberdeckte Flache nimmt ab








Erneute Erhohung der Energie


kaum Punkte-Sets zu erkennenchaotische Trajektorie bedeckt nahezu gesamten Bereich rarrergodische Bewegunguberdeckte Flache nimmt weiter ab








Wann findet dieser Ubergang stattExistenz einer kritischen Energie Ekrit

Berechnung fur das untersuchte Henon-Heiles-PotentialEkrit 011

Abbildung Relativ uberdeckte Schnittflache der Bewegung fur dasHenon-Heiles-Potential [4]







Das Henon-Heiles-Potential Weiches Chaos

Weiches Chaos

Weiches Chaos bezeichnet im Allgemeinen die Koexistenz regularerund irregularer chaotischer Bewegungen im Poincare-SchnittEine weitere charakteristische Eigenschaft ist wie zuvor festgestelltdas Abnehmen der Bahnkurven-Dichte im energetisch zugelassenenBereich 6

FIG 3 A Poincare Surface of Section for the perturbed Earth-Sun orbit system demonstrating the KAM theorem The regionswhere our points appear to lie on deformed circles are created by slicing through the stretched squeezed and twisted versions ofthe invariant tori left over as guaranteed by the KAM theorem The chaotic regions occur where points appear to be scatteredrandomly Note that the chaos is ldquocontainedrdquo and does not spread throughout the full phase space this is soft chaos

the phase space picture of classical mechanics the invari-ant torus structure leads to an extremely simple pictureof time evolution of a regular system in phase space In-deed it turns out that the path traced out by time evolv-ing some initial point in phase space (using Hamiltonrsquosequations) can be thought of as ldquowindingrdquo around the in-variant torus it lies on More precisely if we think of theinvariant torus as the set of n angles described above andlet (ϕ1(0)ϕ2(0) middot middot middot ϕ3n(0)) represent the initial setupfor our regular system on this invariant torus we have thevery simple time evolution

ϕi(t) = ωit + ϕi(0)

where ωi is a constant Thus we can think of each ϕi aswinding around a circle with an angular velocity of ωiWe call the ordered tuple

ω = (ω1ω2 middot middot middot ω3n)

the winding number for the time evolution of our initialpoint With some thought one can see that we end upback at our initial point after some time if and only ifeach ωi is a rational multiple of one another ie we canfind integers k1 k2 middot middot middot k3n such that

k1ω1 + k2ω2 + middot middot middot + k3nω3n = 0

In such a case the path traced out in phase space by timeevolving the initial point is a closed curve on our invarianttorus In the case of a two-dimensional invariant torusthis would look like Fig 2b (where we are looking fromthe ldquotoprdquo down on our torus) If ω does not satisfy thecondition above then it turns out that the path traced outby time evolving our initial point not only never closes upon itself it ldquofillsrdquo up the entire torus To get a feeling forwhat this means physically assume we place our (regular)physical system in an initial setup represented by a point

on some invariant torus Then choose a phase space pointon the same invariant torus representing some other setupB of our system Then if the winding number does notsatisfy the condition above if we wait long enough thesystem will at some point in time look as arbitrarily closeas we want to the setup B

It turns out that the winding number is independentof our choice of initial point on the invariant torus Thatis a single winding number is assigned to each invarianttorus every initial point on that torus time evolves withthe same winding number If the winding number for ourinvariant torus satisfies the condition above (the compo-nents ωi are rational multiples of one another) then theinvariant torus is said to be rational (sometimes also re-ferred to as resonant) otherwise our invariant torus issaid to be irrational Just as the rational numbers forma negligible set compared to the irrational numbers (therational numbers are said to form a set of measure zero)in a regular system rational tori will be extremely rarecompared to irrational tori [13]

We conclude this discussion of invariant tori by con-trasting these structure with the phase space for thegeneric case of non-regular systems Indeed non-regularsystems do not contain many symmetries of the motionand hence the path formed by time evolving some ini-tial point in phase space does not necessarily lie on asubspace in the generic case the path can flow aroundin the full 6n-dimensional phase space Thus our sim-ple characterization of the time-evolution of a physicalsystem in terms of winding numbers does not hold fornon-regular systems Indeed most of the time we cannoteven write down explicit equations governing our time-evolution and computers are necessary to numericallyplot the time-evolution path in phase space These prop-erties of non-regular systems are the foundations for sen-sitive dependence on initial conditions and many other

Abbildung Poincare-Schnitt des durch Jupiter gestortenSonne-Erde-Orbits [6]



Weiches Chaos

Weiches Chaos bezeichnet im Allgemeinen die Koexistenz regularerund irregularer chaotischer Bewegungen im Poincare-SchnittEine weitere charakteristische Eigenschaft ist wie zuvor festgestelltdas Abnehmen der Bahnkurven-Dichte im energetisch zugelassenenBereich

6















Weiches Chaos













Abbildung Poincare-Schnitt des durch Jupiter gestortenSonne-Erde-Orbits [6]Eugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 27

Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem

StorungstheorieBetrachte integrables System mit kleinem Storterm

H(JJJ θθθ) = H0(JJJ) + εH1(JJJ θθθ) (14)

FrageUnter welchen Bedingungen bleibt das System in erster Ordnungintegrabel

Wir suchen eine kanonische Transformation Tε (JJJ θθθ) minusrarr (JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast)nahe der Identitat sodass der gestorte Hamiltonian in den neuenVariablen in erster Ordnung nur von JlowastJlowastJlowast abhangt

H prime(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) = H0(JlowastJlowastJlowast) + εH prime1(JlowastJlowastJlowast) +O(ε2) (15)


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie

Wir finden dass die erzeugende Funktion der kanonischenTransformation folgende Form haben muss

S1(JJJ θlowastθlowastθlowast) = minusisum

nnnisinZn

hn(JJJ)DH0(JJJ)nnne innnθlowastθlowastθlowast

(16)

wobei hn(JJJ) die Fouriertransformierte von H1(JJJ θlowastθlowastθlowast) ist und DH0(JJJ) = ωωω(JJJ)

Der Nenner darf nicht Null werden da sonst die Reihe sicherdivergiertDie Bahn darf also nicht periodisch (geschlossen) sein

ωωω(JJJ) middot nnn 6= 0 fur alle nnn isin Zn 0 (17)


Das KAM-Theorem

StorungstheorieWir finden dass die erzeugende Funktion der kanonischenTransformation folgende Form haben muss


nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)


Der Nenner darf nicht Null werden da sonst die Reihe sicherdivergiert

Die Bahn darf also nicht periodisch (geschlossen) sein



Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem

Aussagen des KAM-TheoremsWir erhalten wertvolle Aussagen uber das Verhalten der Tori unterStorung O(ε)

Rationale ToriDie rationalen Tori die periodische Bahnen charakterisieren werdendurch die Storung zerstort

Irrationale ToriDie irrationalen Tori verschwinden nicht sondern werden lediglichdeformiert

Verhalten in der Nahe irrationaler ToriVermeintlich chaotische Trajektorien deren Initialzustande imPhasenraum nahe an irrationalen Tori liegen folgen deren Bahnzumindest fur einige Zeit und bleiben somit kontrollierbar


Das KAM-Theorem

Aussagen des KAM-TheoremsWir erhalten wertvolle Aussagen uber das Verhalten der Tori unterStorung O(ε)Rationale ToriDie rationalen Tori die periodische Bahnen charakterisieren werdendurch die Storung zerstort




Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem



Verhalten in der Nahe irrationaler ToriVermeintlich chaotische Trajektorien deren Initialzustande imPhasenraum nahe an irrationalen Tori liegen folgen deren Bahnzumindest fur einige Zeit und bleiben somit kontrollierbarEugen Dizer Mathieu Kaltschmidt Weiches Chaos 31

Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen

Unter einer hinreichend kleinen Storung bleiben diejenigen Torierhalten deren Frequenzverhaltnis ω1ω2 genugend irrational ist∣∣∣∣ω1

ω2minus r

s

∣∣∣∣ gt k(ε)s25 r s isin Z 0


Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 DimensionenUnter einer hinreichend kleinen Storung bleiben diejenigen Torierhalten deren Frequenzverhaltnis ω1ω2 genugend irrational ist∣∣∣∣ω1

ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung

Poincare-SchnittePoincare-Schnitte liefern neue Methode Bewegungen im Phasenraumgenauer zu analysieren

Weiches ChaosKoexistenz regularer und chaotischer Bewegung fur variierendeInitialbedingung moglich

KAM-TheoremDas KAM-Theorem liefert Aussagen uber die Phasenraum-Dynamikphysikalischer Systeme unter Storung O(ε)


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I

Arnold V IMathematische Methoden der klassischen MechanikBerlin Heidelberg New York Springer-Verlag 2013 ndashISBN 978ndash3ndash034ndash86669ndash9Brack MNichtlineare Dynamik (Vorlesungsskript)Regensburg WS 0102

Hebecker ATheoretische Physik II - Analytische Mechanik ampThermodynamikStatistikHeidelberg SS 2017


Quellen

Quellen II

Henon M Heiles CThe Applicability of the Third Integral Of Motion SomeNumerical ExperimentsIn The Astronomical Journal 69 (1964) Nr 1

Kuska Jens-PeerMathematica Rcopy und C in der modernen Theoretischen Physik -mit Schwerpunkt QuantenmechanikBerlin Heidelberg New York Springer-Verlag 2013 ndashISBN 978ndash3ndash642ndash60494ndash2Mainiero TSoft Chaos amp the KAM TheoremPasadena [httpsitesugcscaltechedu˜mainieroarticleskamthmpdf]


Quellen

Quellen III

Nolting WolfgangGrundkurs Theoretische Physik 2 - Analytische MechanikBerlin Heidelberg New York Springer-Verlag 2014 ndashISBN 978ndash3ndash642ndash41980ndash5Schuster H G Just WDeterministic Chaos - An IntroductionNew York John Wiley amp Sons 2006 ndashISBN 978ndash3ndash527ndash60641ndash2Teufel StefanMathematische Physik Klassische MechanikTubingen WS 1516


Anhang

Anhang StorungstheorieDie zugehorigen Bewegungsgleichungen zum gestorten Hamiltonian sind

θθθ = partH0(JJJ)partJJJ + ε

partH1(θθθJJJ)partJJJ

JJJ = εpartH1(θθθJJJ)

partθθθ

Wir suchen eine kanonische Transformation Tε (JJJ θθθ) minusrarr (JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) nahe derIdentitat sodass der gestorte Hamiltonian in den neuen Variablen in ersterOrdnung nur von JlowastJlowastJlowast abhangt

H prime(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) = (H Tminus1ε )(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) = H0(JlowastJlowastJlowast) + εH prime1(JlowastJlowastJlowast) +O(ε2)

Denn dann ware ∣∣∣∣ ddt JlowastJlowastJlowast

∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang

Anhang Storungstheorie

Um eine solche kanonische Transformation zu finden wenden wir die Methodeder erzeugenden Funktion an Da wir nahe der Identitat liegen wollen wahlen wir

S(JJJ θlowastθlowastθlowast) = JJJ middot θlowastθlowastθlowast + εS1(JJJ θlowastθlowastθlowast)

Also

JlowastJlowastJlowast = partSpartθlowastθlowastθlowast

= JJJ + εpartS1partθlowastθlowastθlowast

θθθ = partSpartJJJ = θlowastθlowastθlowast + ε

partS1partJJJ


Anhang


Einsetzen in die Hamiltonfunktion und Taylorentwicklung fur kleine ε liefert

H prime(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) = H (JJJ(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast) θθθ(JlowastJlowastJlowast θlowastθlowastθlowast))

= H(

JlowastJlowastJlowast minus εpartS1partθlowastθlowastθlowast

θlowastθlowastθlowast + εpartS1partJJJ

)= H0(JlowastJlowastJlowast minus εpartS1

partθlowastθlowastθlowast) + εH1(JJJ θlowastθlowastθlowast) +O(ε2)

= H0(JlowastJlowastJlowast)minus εDH0(JlowastJlowastJlowast) middot partS1partθlowastθlowastθlowast

+ εH1(JJJ θlowastθlowastθlowast) +O(ε2)

= H0(JlowastJlowastJlowast) + ε

(H1(JJJ θlowastθlowastθlowast)minus DH0(JJJ) middot partS1

partθlowastθlowastθlowast

)+O(ε2)

=rArr Wir mussen S also so wahlen dass(H1(JJJ θlowastθlowastθlowast)minusωωω(JJJ) middot partS1


)unabhangig von

θlowastθlowastθlowast ist=rArr Nullsetzen


Anhang


Es liegt nahe die Fourierreihen zu betrachten

H1(JJJ θlowastθlowastθlowast) =sumnnnisinZn

hn(JJJ)e innnθlowastθlowastθlowast

S1(JJJ θlowastθlowastθlowast) =sumnnnisinZn

sn(JJJ)e innnθlowastθlowastθlowast

Mit

partS1partθlowastθlowastθlowast

= isumnnnisinZn

sn(JJJ)nnne innnθlowastθlowastθlowast

ergibt sich die Bedingung

hn(JJJ)minus isn(JJJ)ωωω(JJJ)nnn = 0 forallnnn isin Zn


Anhang


Wir konnen also die erzeugende Funktion durch ihre Fourierkoeffizientendefinieren

S1(JJJ θlowastθlowastθlowast) = minusisumnnnisinZn

hn(JJJ)ωωω(JJJ)nnne innnθlowastθlowastθlowast

Der Nenner darf nicht Null werden da die Reihe dann sicher divergiertDie Bahn darf also nicht periodisch (geschlossen) sein

ωωω(JJJ) middot nnn 6= 0 fur alle nnn isin Zn 0

=rArr Wie irrational das Verhaltnis der ωrsquos sein muss liefert das KAM-Theorem


Anhang

Anhang KAM-Theorem

Kommentar zum KAM-TheoremrdquoIn honor of its discoverer and those who proved it Komolgorovrsquostheorem is referred to the KAM (Komolgorov-Arnold-Moser) theoremand it helped to not only show that physicists and engineers cancontinue using regular models to approximate systems but itrevolutionized the understanding of classical mechanics In particularthe KAM theorem and results rooted in this theorem now play anessential role in the study of chaos in classical systems Indeed weoften see both chaotic and regular dynamics in arbitrary physicalsystems even those which are not derived from some perturbedmodelrdquo [6]


Integrabilitaumlt und Chaos

Das Heacutenon-Heiles-Potential


Poincareacute-Schnitte

Heacutenon-Heiles-Potential

Analyse fuumlr verschiedene Energien

Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Fur Interessierte




Fur Interessierte



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Fur Interessierte



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung




3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



Weiches Chaos

3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen



Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Einfuhrung







Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Einfuhrung







Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Einfuhrung







Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Integrabilitat








Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Integrabilitat







Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem






Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Integrabilitat




rArr H = H(JJJ) (6)

Auszligerdem



























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen























mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]





mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




mit ω1

ω2= m






H(J θ) = H0(J)+ εH1(J θ) (818)


H

partS

partθ θ

= H00(Jprime) (819)










Abbildung Tori [8]



Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Chaos




p

q


t

t

t(q p )0 0

ξ (t)

ξ(t)+δξ (t)1

ξ(t)+δξ (t)2

chaotische Bahn

ξ(t)+δξ (t)2

ξ(t)+δξ (t)1

ξ (t)

tt t

(q p )0 0

regulaere Bahn



H =1

2m(p2

x + p2y) + V (x y) = E (162)






35




Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen













2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen












2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen





2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen





2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ







2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen





2 (R2 + R2θ2 + z2)J2 = R2θ





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




2R2 (L Drehimpuls)




2 (x2 + y 2)





Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




Aber





Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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3 Das KAM-Theorem

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5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




Aber





Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




Aber






In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







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nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen





In [15] = Show [




] j



] j

y[t ]

02

o

02

04

x [ t ]






Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)



Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Poincare-Schnitte




[2] (bearbeitet)






02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen





02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03




02

01 I I I I

0

I

0 1

0 2

-01 0 01 0 2 03







U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)






U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen




U(x y) = 12(x2 + y 2

)︸︷︷︸


+ ε(

x2y minus 13y 3

)(11)




Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Form des Potentials


























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen
























Niedrige Energien





Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

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Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Niedrige Energien


Was ist zu sehen




Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Niedrige Energien









































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



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Zusammenfassung

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Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen






































Weiches Chaos
















Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



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Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen


Weiches Chaos


6















Weiches Chaos














Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

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Zusammenfassung

Quellen


Weiches Chaos














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Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



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Zusammenfassung





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Zusammenfassung





Zusammenfassung

Zusammenfassung





Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





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Zusammenfassung





Zusammenfassung

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Quellen

Gliederung



3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

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Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

s



Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Zusammenfassung

Zusammenfassung





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Quellen

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3 Das KAM-Theorem

4 Zusammenfassung

5 Quellen


Quellen

Quellen I




Quellen

Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem







Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

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Zusammenfassung

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Quellen

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




Quellen

Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem

Storungstheorie



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem



nnnisinZn


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Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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Zusammenfassung

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



Anhang







Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

Zusammenfassung

Quellen

Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)






Das KAM-Theorem



nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


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3 Das KAM-Theorem

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Quellen I




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


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= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

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nnnisinZn


(16)





Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









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Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem






Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


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3 Das KAM-Theorem

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen I




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∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





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Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


Anhang




Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem





Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen

Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





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Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem




Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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Quellen I




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Quellen II




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Quellen III



Anhang





partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


Anhang




= H(










)+O(ε2)



)unabhangig von



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Mit


= isumnnnisinZn





Anhang









Anhang

Anhang KAM-Theorem









Weiches Chaos

Das KAM-Theorem

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Das KAM-Theorem

KAM-Theorem

Fur 2 Dimensionen


ω2minus r

s



Das KAM-Theorem

KAM-Theorem


ω2minus r

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3 Das KAM-Theorem

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∣∣∣∣ = O(ε2)


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= H(










)+O(ε2)



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Anhang

Anhang KAM-Theorem









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)+O(ε2)



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∣∣∣∣ = O(ε2)


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)+O(ε2)



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∣∣∣∣ = O(ε2)


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Zusammenfassung

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∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


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= H(










)+O(ε2)



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Mit


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Weiches Chaos

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partθθθ




∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


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= H(










)+O(ε2)



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= isumnnnisinZn





Anhang









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Anhang KAM-Theorem









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∣∣∣∣ = O(ε2)


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Also




partS1partJJJ


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= H(










)+O(ε2)



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= isumnnnisinZn





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)+O(ε2)



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= isumnnnisinZn





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