Wellenoptik

Maxwell-Gleichungen elektromagnetische Wellen (z.B. Licht)

Spezialfall: ebene monochromatische elektromagnetische Welle

Dispersionsrelation: (Vakuum) (Medium) kcω kcω k

n

cω

k

n

cω

Ausbreitungsrichtung: Vakuum: BES 00

BES 00

k||S

k||S

tωrki0

tωrki0

eBB

eEE

tωrki0

tωrki0

eBB

eEE

300 CB,E

| BRe,ERe

physikalisch relevant:

kDBk

kEBk

00

00

im Vakuum

im neutralen Medium

1. Polarisation1.1. Vorbemerkungen

Beispiel:

schwingende Ladung

Hertzscher Dipol E

Polarisation || Dipolachse

Glühbirne statistisch verteilte Hertzsche Dipole unpolarisiertes Licht

tωrki0

tωrki0

eBB

eEE

tωrki0

tωrki0

eBB

eEE

Die Auszeichnung einer Schwingungsebene des E-Feldes heißt Polarisation

E Definition:

Umformulierung:

e

0

eb

a

EE xtωzkii0

e

0

eb

a

EE xtωzkii0

0

0

0

0

20

200

xy

E

Eb,

E

Ea

EEE

yx

yx

0

0

0

0

20

200

xy

E

Eb,

E

Ea

EEE

yx

yx

mit

1.2. Polarisationszustände; Jones-Vektoren ( Vakuum )

(o.B.d.A.: )0Eekk zz

y

y

x

x

tωzki0y

tωzki0x

eEE

eEE

0

eE

eE

E y

y

x

x

i0

i0

0

komplex

reell E ,E wobei ,yx 00

Jones-Vektor zur Beschreibung der Polarisation (im Anfangszustand)

pp

Bemerkung: Umdefinition von x und E0 Klasse äquivalenter Jones-Vektoren Cκ,pκp

|

1.2.1. Definitionen

Konvention:

epEE xtωzki0

epEE xtωzki

0

• einlaufender Strahl: a, b reell,

Lichtintensität:

1bappp 222

EpEEI 20

220

2

0

• auslaufender Strahl: eeba

p ii

eeba

p ii

a, b reell

222bap

Bruchteil der auslaufenden Strahlintensität

neue relative Phase zwischen Ey und Ex gemeinsamer Phasenschub für Ex und Ey

0eba

p i

0eba

p i

Zerlegung in Basiszustände (Beispiele):

10

e01

e yx

10

e01

e yx

eebeap yi

x

eebeap y

ix

i

1

2

1e

i1

2

1e LR

i1

2

1e

i1

2

1e LR

eebiaeebiap Li

21

Ri

21

eebiaeebiap Li

21

Ri

21

yx eαsineαcosαsinαcos

pbap0

x

y

p

E

Zeitlich und räumlich feste

Schwingungsebene

1.2.2. Lineare Polarisation

1ba 22

Horizontale Polarisierung

xe||p0α

y2π e||pα

Vertikale Polarisierung

LR,iLR, ei

1

2

1e1

2

1p

2

1ba ,

2

π2π

2π rechts-zirkular polarisiert

Nach Photon-Spin (Quantenmechanik)... (optische Nomenklatur genau umgekehrt )

2π links-zirkular polarisiert

yInterpretation:

x2

E

x2

Ex

zktωcos

tωzkcosERe

0

0

x2

E

2π

x2

Ey

zktωsin

tωzkcosERe

0

0

t

const.x

ERe

z

const.z

const. 2

π

2

π

t const. umgekehrte Drehbewegung

Drehende Rechts-/Linksspirale entlang

z-Achse

Drehende Rechts-/Linksspirale entlang

z-Achse

1.2.3. Zirkulare Polarisation

1.2.4. Elliptische Polarisation (1)

ie

1

2

1p

2

1ba , ππ,

:0 :0

04

π3

4

π

2

π π

:0 :0

04

π3

4

π

2

π π

bia

p0,1ba, , 2

π

ba0 ba0 ab0

: 2π : 2π

ba0 ab0

ba0 ba0 ab0

: 2π : 2π

ba0 ab0

1.2.5. Elliptische Polarisation (2)

Beispiel: Linear polarisierte Basis Zirkular polarisierte Basis

0ee ee 1ee ee

10

e01

e

xyyxyyxx

yx

1.2.6. Wechsel der Orthonormalbasis

Linear:

0eeee 1eeee

i

1

2

1e

i1

2

1e

LRLRLLRR

LR

Zirkular:

eee

eee

LR2i

y

LR21

x

eee

eee

LR2i

y

LR21

x

2i

2i

21

21

Ein linear polarisierter Lichtstrahl kann als Superposition eines rechts- und eines links-zirkular polarisierten Strahls jeweils

halber Intensität aufgefasst werden.

Basiswechsel: Lichtzerlegung:

eee y2i

x21

LR,

eee y2

ix2

1LR,

2i

21

2i

21

Ein zirkular polarisierter Lichtstrahl kann als Superposition eines horizontal und eines vertikal linear polarisierten Strahls

jeweils halber Intensität aufgefasst werden.

Basiswechsel: Lichtzerlegung:

Def.: pMp pMp

M Jones-Matrix C C

| |

optisches System

p

p

s

• Achtung: Matrixelemente ( Darstellung ) von M hängen von Basiswahl ab!

Bei uns ab jetzt stets Standardbasis yx e,e

Bemerkung:

• Verkettung optischer Systeme:s

MMM 12tot MMM 12tot M2 M1

1.2.7. Polarisationstransport

Exkurs: Über Basiswechsel

IUUUU UU eUe jk

2

1jjjkk

mit unitär, d.h.

U U T U U T Basiswechsel:

U

mmmm

Ummmm

M2212

2111

2212

2111

Transformation der Komponenten der Jones-Matrizen:

2

1

2

12211 p

pU

pp

epepp

Transformation der Komponenten der Jones-Vektoren:

U unitär Intensität bleibt bei Basiswechsel erhaltenpp

Beispiel: Linear-Polarisator (Linear-Polarisationsfilter)

x-Orientierung:

00

10M

01

01M

x

x

0001M x

y-Orientierung:

10

10M

00

01M

y

y

1000M y

Beispiel: Polarisationsdreher

xe

ye

p

p

M Drehmatrix

αcosαsinαsinαcos

M

αcosαsinαsinαcos

M

Beispiel: Allgemeiner Linear-Polarisator

αcosαsinαsinαcos

0001

αcosαsinαsinαcos

M α

xe

ye

Polarisator-Achse

Aufspaltung in Sub-Systeme:

1. Drehung um

2. Horizontal-Polarisator

3. Rückdrehung um

αcosαsin

αsinαcos

0001

αcosαsinαsinαcos

αsinαcosαsin

αcosαsinαcosM 2

2

α

Beispiel: Polarisator-Analysator

0αcosαsin0αcos

0001

αsinαcosαsinαcosαsinαcos

MMM 2

2

2

xα

0αsin0αcos

αcosM

s M Mx

Horizontal-Polarisator

um gedrehter Analysator-Polfilter

parallele Ausrichtung MMx

9 gekreuzte Ausrichtung M0

Beispiel: Polarisator-Regenerator-Analysator

αcosαsin0100

αcos0αsin0αcos

1000

MMMM xαy

0100

α2sinM 21

s

Horizontal-Polarisator

um gedrehter Regenerator

gekreuzter Analysator

Mx M My

, 90 M0, Auslöschung

45

0100

2

1M

Polarisationstransfer x y

Intensitätsabschwächung auf ¼

Polarisationstransfer x y

Intensitätsabschwächung auf ¼

Paradox (?)Hinzufügen des mittleren

Filters führt zur Aufhellung Quantenmechanik

Paradox (?)Hinzufügen des mittleren

Filters führt zur Aufhellung Quantenmechanik

1.3. Erzeugung von polarisiertem Licht

Materie mit anisotropen

Eigenschaften

bevorzugte Schwingungsrichtung

atomarer Dipole

Polarisierung von transmittiertem Licht

eeee tωiκtωzωitωzki czn

czω

cε

k ε

cω k

ε

cω

Dämpfung ebene Welle

Anisotrope Absorption: z.B.

(Teil-) Polarisation

yyxx epκκκepκ

1.3.1. Dichroismus selektive Absorption

Mathematische Beschreibung der Absorption:

komplexer Brechungsindex κ inε

Technische Reaslisierung des Dichroismus:• Polarisationsfolien mit in Gelatine eingelagerten, ausgerichteten

dichroitischen Kristallen (z.B. Turmalin)• Kunststoffolien aus ausgerichteten, leitfähigen MolekülkettenBemerkung: Die Vorzugsrichtung der Polarisation heißt optische Achse

Nachteile:• hohe Absorption auch in Vorzugsrichtung

( z.B. Belichtungszeitverlängerung bei Fotografie mit Polfiltern)

• Hitzeempfindlichkeit ( z.B. kritisch bei Laser-Anwendungen)Analogon für cm-Wellen: Drahtgitter, Drahtabstand d

E

dλ Strom entlang Teilabsorption Totalabsorption

E

dλ

E

kein Stromfluss entlang Voll-Transmission

E

d2sΔ P

Beispiel: Zirkularpolarisator für cm-Wellen

45

linear polarisiert ( )

P||

11

2

1pin

Phasensprung Phasensprung

dPhasensprung 0Phasensprung 0

Phasensprünge (für P und P) für Reflexion an Grenzschichten zwischen zwei Medien mit

unterschiedlichen Brechungsindizes aus Fresnelschen Formeln Theorie-VL

01

2

1p 1

out

Δskπi

2out e

0

2

1p

24

λd

d2πΔskπ 2π

λπ2

23

falls

i1

2

1pout

zirkular polarisiert

Folgerungen:• Vollständige -Polarisation bei Reflexion unter Brewster-Winkel• Schwache -Polarisation (typisch ) des transmittierten Strahls

• Vollständige -Polarisation bei hinreichend langer Folge von Brewster-Reflexionen

1.3.2. Polarisation durch Reflexion

n1

n2 ( n1 )

reflektierter Teilstrahl

Strahlebene

transmittierter Teilstrahl

Fresnelsche Formeln Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für Intensitäten

2

in

2

trans

2

in

2

ref

E

ET,

E

ER

... qualitativ:

R

0

1

0 2π

RR

: Polarisation bzgl. Strahlebene

Brewster-Winkel

Anwendung: Polfilter in Fotografie (Vermeidung oder Betonung von Spiegelungen)

Anschauliche Herleitung des Brewster-Winkels:

n1

n2 ( n1 )

reflektierter Teilstrahl

Strahlebene

transmittierter Teilstrahl

Schwingender Hertzscher

Dipol

P

Hertzscher Dipol strahlt senkrecht zur Dipolachse

R ist stets P

Hertzscher Dipol strahlt nicht entlang der Dipolachse R wenn reflektierter

Strahl senkrecht zum transmittierten Strahl

verlaufen würde

Bedingung für Brewster-Winkel90βα

1.3.3. Polarisation durch StreuungStreuung von Sonnenlicht an Stickstoff- und Sauerstoff-Atomen der Atmosphäre

E

Elektronenhülle eines Atoms

Schingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol

θcosωθI 24

Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols

• Blau viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel

• Streuung azimutal symmetrisch• Keine Streuung entlang der

Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls

von Sonne

weißunpolarisiert

rötlichunpolarisiert

bläulichvoll polarisiert

Polfilter-Anwendung in Fotografie:

• Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung

• Veränderung des Farbkontrasts

1.3.4. Doppelbrechung

a) Lichtausbreitung in anisotropen Medien (ohne Absorption)

Eε̂εPEεD 00

relative Dielektrizitätskonstante

positiv definiter, symmetrischer Tensor 2. Stufe vollkommen analog zum Trägheitstensor

ε̂

E D i.a.

Wahl des ( orthogonalen ) Koordinatensystems:

• Hauptachsensystem:

• Konvention der Achsennummerierung:

n000n000n

ε000ε000ε

ε̂ 23

22

21

3

2

1

n000n000n

ε000ε000ε

ε̂ 23

22

21

3

2

1

nnnεεε

321

321

nnnεεε

321

321

Der Brechungsindex ( die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes) hängt in anisotropen Medien von der Polarisation des Lichtes ab

lineares Medium

b) Wellengleichung des E-Feldes (aus Maxwell-Gleichungen)

t

E

c

ε̂EΔ

2

2

2

t

E

c

ε̂EΔ

2

2

2

allgem. Lösung Superposition ebener Wellen

Ebene-Wellen-Lösung:

000

tωrki0

tωrki0 Eε̂εDmit eDD ,eEE

000

tωrki0

tωrki0 Eε̂εDmit eDD ,eEE

reell D , E 00

22

222 ωˆ

t , ωiˆ

t , kˆΔ , kiˆ

r

02

2022

22

2

22 Eω

c

ε̂EkEω

c

ε̂

t

E

c

ε̂EΔEk

2D

1D

22202

2

01

02

02

2

012 ωeε̂eckD

c

ωDε̂DkD

c

ωDε̂k

kn

cω

21

D1

D eε̂en

polarisationsabhängiger Brechungsindex

0

0D

D

Demit

(analoge Gleichung für B-Feld)

c) Relative Ausrichtungen von und k ,D ,B ,E

BES

• ungeladenes Medium 00 Dk0Dki0D

• 00 Bk0Bki0B

• 0000 BEBωiEkit

BE

• 000000 BDDμωiBkit

DμB0j ,1μ

• SB,SEBES 00

liegen alle in der Ebene00 D ,E ,S ,k

0B

0B

0D

k

0E

S

Ausbreitungsrichtung der Phasenfläche

Ausbreitungsrichtung des Lichtstrahls, d.h.

Fussrichtung der Energie

d) Indexellipsoid:

r2

r1

r3

n1

n3

k

kD0

n

Schnittellipse k

1rε̂r 11

n

r

n

r

n

r23

23

22

22

21

21

Hauptachsen-

System

1enε̂eneε̂en D1

DD1

D21

liegt auf IndexellipsoidDen

n2n2

e) Optische Achsen:

-Richtungen, in denen Schnittellipse zum Kreis entartetk

k

Konstruktion mit Indexellipsoid:

Blickrichtung entlang mittlerer Hauptachse ( r2 )

r3

r1

n1

n3

Ellipsoidquerschnitt

Kreis mit Radius n2

Optische Achse 1

Optische Achse 2

• n1n2n3n1 genau 2 optische Achsen (zweiachsige Kristalle)

• n2 n1 oder n2 n3 genau 1 optische Achse (einachsige Kristalle), identisch mit der kleinen oder großen Hauptachse

• || optische Achse n unabhängig von Richtung von (isotroper Fall) die zur optischen Achse senkrechte Komponente ist stets ||

• auf beiden optischen Achsen || Hauptachse 2

k

keD

E

D

D

D

S||kD||E

n2n2 r3

r1

n1

n3

Ellipsoidquerschnitt

Kreis mit Radius n2

Optische Achse 1

Optische Achse 2

f) Spezialfall: Einachsige Kristalle

1. Fall: n n1n2n3 n|| optisch positiver Kristall

2. Fall: n|| n1n2n3 n optisch negativer Kristall

Definition: optische Achse (OA)

nn||

Ordentlicher Strahl (OS): optische Achse, nOSn0D

OSk

0DnOS

AOSk 0D

nAOS

OS: auf Ebene der optischen Achsen0D

AOS: in Ebene der optischen Achsen0DFür zweiachsige Kristalle:

(falls in OA-Ebene) k

Außerordentl. Strahl (AOS): in Ebene (OA, ) , nAOS n|| nk

0D

g) Doppelbrechung (einachsiger Kristall):

0E OS

AOS

Optische Achse

AOS:

k

S

0E 0D

D0-Komponente senkrecht zur

Oberfläche ist stetig

D0-Komponente senkrecht zur

Oberfläche ist stetig

0D Optische Achse

0D

||0D

0D

DE

DE

0nε1

0

0nε1

0

20

||2||0||

DE

DE

0nε1

0

0nε1

0

20

||2||0||

k

0E S

E0-Komponenten parallel zur

Oberfläche sind stetig

E0-Komponenten parallel zur

Oberfläche sind stetig

OS: S||kD||E

wie isotropes Medium

Beispiel: Kalkspat Ca C O3

Rhomboeder

120°

Optische Achse

Aufsicht entlang der optischen Achse

CaC

O

OO

Die Bindungselektronen sind stärker in der CO3-Ebene gebunden als senkrecht dazu

1.4.1. Doppelbrechende Polarisatorena) Nicolsches Prisma aus Kalkspat:

Optische Achse

Kanadabalsam nK 1,54OS

OS: nOS 1,66 nK Totalreflexion

AOS

AOS: nAOS 1,49 nK Transmission und Parallelverschiebung

1.4. Anwendungen

b)Glan-Thompson-Polarisator aus Kalkspat:

Optische AchseKanadabalsam

nK 1,54

OS: nOS 1,66 nK Totalreflexion

AOS: nAOS 1,49 nK Transmission ohne Parallelverschiebung

AOS

OS

c) Zirkular-Polarisatonswandler( - Plättchen) Optische

Achse

d

k

kcω

nn

1

4

λd

||

nn

1

4

λd

||

Vakuum-Wellenzahl: kWellenzahl im Medium:Phase bei fester Zeit t: k(n) z t

knnk ncω

Phasenvorschub durch Platte (t fest):

dnλ

π2dnkdnkδ:E

dnλ

π2dnkdnkδ:E ||||||||||

Relativer Phasenversatz:2

πnn

λ

dπ2nndkδδΔ ||||||

Optische Achse

ein0E i

12

1e1

2

1p1

12

1p

2πiausein

i

12

1e1

2

1p1

12

1p

2πiausein

1.4.2. Polarisationsdreher Optische Achse

d

k

kcω

nn

1

2

λd

||

nn

1

2

λd

||

- PlättchenRelativer Phasenversatz: (wie -Platte)

πnnλ

dπ2δδΔ ||||

αsin

αcosp ein

αsin

αcosp ein

Optische

Achse

0E

αsin

αcos

αsine

αcosp πiaus

αsin

αcos

αsine

αcosp πiaus

Optische

Achse

0E

Drehwinkel

1.4.3. Optische Aktivität

In optisch aktiven Medien wird Polarisationsrichtung von linear po-larisiertem Licht gedreht, unabhängig von anfänglicher Polarisation.

Ursache: Drehsinn von Molekülen ( z.B. Bio-Makromoleküle)

Beispiel: helikale Strukturen

Folgerung: Brechungsindizes für R/L-zirkular pol. Licht nn LR nn LR Folgerung: Drehwinkel ist proportional zur Schichtdicke d.

dαα s dαα s

d

Spezifisches Drehvermögen:

nnα RLλπ

s Beweis (graphisch):

RL

kzconst.

2

1

Lnλ

dπ2

Rnλ

dπ2

2

1

dnnλ

πRL

1.4.4. Spannungsdoppelbrechung

äußerer Druck / Zug in Festkörpern

Doppelbrechung durch innere Verspannung

s

Horizontal-Polarisator

Werkstück (verspannt)

gekreuzter Analysator

MxMy

Auslöschung ohne Verspannung

Auslöschung ohne Verspannung

• Wichtige Methode zur Untersuchung der Qualität von Werkstücken

• Abhilfe gegen Verspannungen Tempern