Wht d EtiklWachstum und Entwicklung und Entwicklung... · Grundsätzlich ist nun zwischen der...

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W h t d E t i klWachstum und EntwicklungNeoklassische Wachstumstheorie –Th i ti l W h tTheorie optimalen Wachstums

Prof. Dr. Wolfgang StröbeleIn Zusammenarbeit mit Dipl.-Math. Eric Meyer

Lehrstuhl für VolkswirtschaftstheorieUniversität Münster

Variable Sparquote 2

Bislang wurde eine konstante Sparquote (s = const ) angenommenBislang wurde eine konstante Sparquote (s = const.) angenommen.Der Konsum ist jedoch einer eigenen Optimierung unterworfen, ausdem Konsum zieht man Nutzen, der zu maximieren ist:

∫∞

δ−⋅0

t

)t(Cdte))t(C(Umax

Frage: Wie kann so ein Problem gelöst werden?→ Dynamische Optimierung

Dynamische Optimierung 3

ProblemstellungBisher:Bisher:Gegeben ist eine Funktion

2)2x()x(f −−=die zu maximieren ist:

)x(fmaxoder)2x(maxx

2

x−−

Jetzt:∫ dt))t(x(fmax ∫ dt))t(x(fmax

)t(x

Zu maximieren ist ein Integral bzgl. einer Funktion (nicht wie zuvor bzgl. einer Variablen)einer Variablen).Außerdem gibt es als Nebenbedingung eine Differentialgleichung.


Die Aufgabe

Ein typisches dynamische Optimierungsproblem sieht wie folgt aus:

( ) ( )( )∫T

dtttutxImax( )

( ) ( )( )∫t

tu0

dtt,tu,txImax

( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&s.t.: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) T00 xTx,xtx ==


„Zutaten“1 Die Variablen1. Die VariablenMan unterscheidet Kontrollvariablen (hier u(t)) und Zustandsvariablen(hier x(t)).

Kontrollvariablen: Sie stehen dem Optimierer jederzeit als Einflußgrößenzur Verfügung. Mit ihrer Hilfe versucht er sein Zielfunktional zu optimieren. Beispiele: Konsum, Investitionen, …

Zustandsvariablen: Sie werden durch die Kontrollvariablen, sich selbst d U i t Z itt b i fl t d i k l B tä dund u.U. einem autonomen Zeitterm beeinflusst und wirken als Bestände

intertemporal. Beispiele: Kapital, Ressourcenbestand, …


„Zutaten“2 Das Zielfunktional2. Das ZielfunktionalIm Zielfunktional werden die Gewinne bzw. der Nutzen aus allen PeriodenAddiert. Im kontinuierlichen Fall bedeutet das die Integration.

Endlicher Zeithorizont:

∫T

Ohne Restwert ( ) ( )∫=t0

dtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ

( ) ( ) ( )TSdtt)t()t(It)t()t(JT

∫Mit Restwert

Unendlicher Zeithorizont:

( ) ( ) ( )T,xSdtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ Tt0

+= ∫

Unendlicher Zeithorizont:( ) ( )∫

∞

=0t

dtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ mit ( )∫∞

∞<0t

dtt,u,xI


„Zutaten“3 Die Bewegungsgleichung3. Die BewegungsgleichungSie beschreibt die Veränderung der Zustandsvariable und wird durch denZustand, die Kontrollvariable und einen autonomen Zeitterm beeinflusst.

( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&


„Zutaten“4 Die End oder Transversalitätsbedingungen4. Die End- oder Transversalitätsbedingungen

x

xT

x Man unterscheidet:a) Feste Endzeit T, fester Endwert x(T)

x0 x0

) , ( )b) Feste Ebndzeit T, freier Endwert x(T)c) Erreichen einer Hyperebene f(x(T),T=0d) Optimale Endzeit

Tt0t Tt0 t

Hyperebene

) p

Die Transversalitätsbedingungen„spannen“ die Differentialgleichungen

x x

xT

Hyperebenef(x,t) ein und picken die Lösungen aus einer

Kurvenschar heraus.

ö S

Tt t

x0

t t

x0 Analog könnte man auch Start-bedingungen formulieren

Tt0 t t0t


Die Aufgabe

Das dynamische Optimierungsproblem lautet:

( ) ( )( )∫T

dtttutxImax( )

( ) ( )( )∫t

tu0

dtt,tu,txImax

( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&s.t.: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) T00 xTx,xtx ==


Hamilton-Funktion

Zur Lösung bildet man zunächst die Hamilton-Funktion

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ttutxftttutxItttutxH λ+λ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t,tu,txftt,tu,txIt,t,tu,txH ⋅λ+=λ

IntegrandIntegrand

Schattenpreis

Bewegungsbeschreibung


LösungSatz: Maximumprinzip (Notwendige Bedingung für ein Maximum)Satz: Maximumprinzip (Notwendige Bedingung für ein Maximum)Sei u*(t) eine stückweise stetige Funktion auf [t0, T], die das obige Optimierungsproblem löst, und sei x*(t) der mit u*(t) assoziierte Pfad der Zustandsvariablen Dann existiert eine stückweise stetig differenzierbareZustandsvariablen. Dann existiert eine stückweise stetig differenzierbare Funktion λ(t), so dass für alle t ∈ [t0, T] gilt: 1.) Maximierungsbedingung *(t) i i t H( *(t) (t) λ(t) t)u*(t) maximiert H(x*(t), u(t), λ(t), t)

Meist heißt dieses, dass gilt ( ) 0tu

H=

∂∂

2. ) Kanonische Gleichungen

( ) ( )txt

H&=

λ∂∂ ( )

( ) ( )ttx

Hλ=

∂∂

− &


Lösung

Zur Lösung eines dynamischen Optimierungsproblems sind also drei Dinge zu tun:1.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach u(t), d.h. man maximiert die

Hamilton-Funktion nach der Variablen u(t).2.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach dem Schattenpreis. Dieses

reproduziert die Bewegungsgleichung.3.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach der Bestandsgröße x(t). Man

erhält eine Bewegungsgleichung für den Schattenpreis.g g g g p

Insgesamt ergeben sich damit zwei Differentialgleichungen, die dieLösungspfade für die Kontrollvariable und den Bestand charakterisierenLösungspfade für die Kontrollvariable und den Bestand charakterisieren.


Interpretation1 D S h tt iDer Schattenpreis λ(t) gibt zu jedem Zeitpunkt t an, welchenW t“ i i l V ä d d B t d h t

1. Der Schattenpreis

„Wert“ eine marginale Veränderung des Bestandes hat.

• D.h. der Schattenpreis nennt eine Preis, den man für eine weitereD.h. der Schattenpreis nennt eine Preis, den man für eine weitere Bestandseinheit bereit ist zu zahlen.

• Der Wert bemisst sich dabei aus der Zielfunktion im Integral• Der Wert bemisst sich dabei aus der Zielfunktion im Integral

• Zentrale Bedeutung bei der Interpretation

• Der Schattenpreis „verknüpft“ alle Zeitpunkte.


Interpretation2 Di H ilt F kti2. Die Hamilton-Funktion

( ) ( )43421321 t,u,xft,u,xIH ⋅λ+=21

1 Aktuelle Profitrate

d M i l Ä d d B t d2 Zukünftiger Profit

)t,u,x(fx dtdx ==&

dx: Marginale Änderung des Bestandes bei marginaler Änderung der Zeit

dtdx⋅λ

)(dt

: Preis für eine marginale Bestandseinheit mal eine marginale Bestandseinheit ergibt den Wert

Hamilton-Funktion gibt den Gesamtwert zu einem Zeitpunkt t an, bestehend aus der aktuellen Profitrate und dem zukünftigen Profit


Interpretation3 Di M i i b di3. Die Maximierungsbedingung

fIbzw0fI0Hλ==

∂λ+

∂⇒=

∂

{uu

21

fI.bzw0uu

0u

⋅λ−==∂⋅λ+

∂⇒=

∂ 321

1 M i l Ä d d kt ll P fit t1 Marginale Änderung der aktuellen Profitrate2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits

Aussage:Eine marginale Änderung der aktuellen Profitrate muss gleich dermarginalen Änderung des zukünftigen Profits seinmarginalen Änderung des zukünftigen Profits sein.Andernfalls lohnt sich eine Reallokation zwischen Gegenwart und Zukunft.


Interpretation4 Di k i h Gl i h4. Die kanonischen Gleichungen

x)t,u,x(fxH&& =⇒=

λ∂∂λ∂

Reproduktion der Bewegungsgleichung

{ {λ−=⋅λ+λ−=

∂∂⋅λ+

∂∂

⇒λ=∂∂

− &&

321

&xx

321

fI.bzwxf

xI

xH

1 Marginale Änderung der aktuellen Profitrate2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits3 Entwertungsrate3 Entwertungsrate

Momentanwertform vs. 17

GegenwartswertformHä fi d b i d i h P bl di W t di k ti tHäufig werden bei dynamischen Problemen die Werte diskontiert, um Zahlungsströme besser vergleichen zu können. Das dynamische Optimierungsproblem könnte dann diese Form annehmen:

( ) dtet,u,xImaxT

t

t

u0

∫ δ−⋅

)t,u,x(fx:.t.s =&

( ) ( ) T00 xTx,xtx ==Diskontierung

Die Zielfunktion liegt hier in Gegenwartswerten vor.

Das obige Lösungsverfahren lässt sich analog mit dem IntegrandenI(x,u,t)·e-δt anwenden.


GegenwartswertformGrundsätzlich ist nun zwischen der Hamilton-Funktion in GegenwartswertenGrundsätzlich ist nun zwischen der Hamilton Funktion in Gegenwartswertenund in Momentanwerten zu unterscheiden.

( ) ( )t,u,xfet,u,xIH tG ⋅λ+= δ− Gegenwartswertform

Multiplikation/Aufzinsung mit eδt ergibt dann:HeH G

t= δ

( ) ( )( ) ( )t,u,xft,u,xI

t,u,xfet,u,xI

HeHt

GM

⋅μ+=⋅λ+=

=δ Momentanwertform

mit λ=μ δte( ) ( ),u,,u, μ mit μ

Man beachte:λ i t d S h tt i i G t t d i t d S h tt iλ ist der Schattenpreis in Gegenwartswerten und μ ist der Schattenpreis in Momentanwerten


Gegenwartswertform

( ) ( )t,u,xfet,u,xIH tG ⋅λ+= δ− ( ) ( )t,u,xft,u,xIHM ⋅μ+=

Gegenwartswertform Momentanwertform

0feIu

Hu

tu

G =⋅λ+⋅=∂∂ δ− 0fI

uH

uuM =μ+=

∂∂

I.

( ) xt,u,xfHG &==λ∂

∂ ( ) xt,u,xfHM &==μ∂

∂

∂H ∂H

II.

λ=λ−−=∂∂

− δ− &x

tx

G feIx

Hδμ−μ=μ−−=

∂∂

− &xxM fI

xH

Rein technisch kann man also die Momentanwertform bilden (d h man

III.

Rein technisch kann man also die Momentanwertform bilden (d.h. man notiert nur I(x,u,t)) und bildet dann die drei Gleichungen rechts, wobei sich nur bei der Bewegungsgleichung des Schattenpreises etwas ändert.

Phasendiagrammtechnik 20

Häufig kommt es vor dass sich ein System von zwei DifferentialgleichungenHäufig kommt es vor, dass sich ein System von zwei Differentialgleichungen nicht mehr geschlossen lösen lässt.In solchen Fällen kann mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik das qualitative Verhalten der betrachteten Größen untersucht werdenVerhalten der betrachteten Größen untersucht werden.

Diese Technik soll am folgenden Beispiel erläutert werden:

)x,x(g:xx2x)x,x(f:x2x612x

21212

21211

=−+−==−−=

&

&

),(g 21212

Frage: Wie bewegen sich die Größen x1 und x2?


Schritt 1: Isoklinen ermitteln

Id Eli i i di itli h Abl itIdee: Eliminiere die zeitlichen Ableitungen → Ermittle jene Punkte (x1,x2), in denen sich entweder x1 oder x2 nicht bewegen, mithin wo also 0x1 =& oder 0x2 =& gilt. g , 1 2 gIm bedeutet dieses

211 x2x6120:0x −−==&

212 xx20:0x −+−==&

Diese beiden Gleichungen kann man nach x2 auflösen und erhält damit die Funktionsgleichungen für die beiden Isoklinen 0x& und 0x& :die Funktionsgleichungen für die beiden Isoklinen 0x1 = und 0x2 = :

122

121

x2x:0xx36x:0x

+−==−==

&

&

122 x2x:0x +


Schritt 2: Eintragen in ein x1-x2-Diagramm

0x2 =&

x2

6

B 0x2

2

1A

C

x121

0x1 =&-2D


Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren

Analysiere getrennt die Bewegung in x1 und x2 Richtung mit Hilfe derAnalysiere getrennt die Bewegung in x1- und x2-Richtung mit Hilfe der jeweils zugehörigen Differentialgleichung: Bewegung in x1-Richtung: i) Gehe auf die Isokline 0x1 =& Hi ilt fü di d 02612& fü llHier gilt für die x1 und x2 0x2x612x 211 =−−=& für alle x.ii) Bewege Dich in den Sektor A hinein Um sich von der Isokline 0x =& in den Sektor A hineinzubewegen mussUm sich von der Isokline 0x1 = in den Sektor A hineinzubewegen muss man x1 oder x2 erhöhen. Auf der Isokline galt: 0x2x612x 211 =−−=& . Wenn man x1 oder x2 erhöht, so subtrahiert man mehr als vorher auf der I kli 0& lt Al 0& lt d h h ftIsokline, wo 0x1 =& galt. Also muss nun 0x1 <& gelten, d.h. x1 schrumpft. Dieses symbolisiert man durch einen Pfeil nach links im Diagramm.



Bewegung in x Richtung:Bewegung in x2-Richtung:i) Gehe auf die Isokline 0x2 =& Hier gilt für x1 und x2: 0yx2x2 =−+−=&Hier gilt für x1 und x2: 0yx2x2 =+= . ii) Bewege Dich in de Sektor A hinein Um sich von der Isokline 0x2 =& in den Sektor A hineinzubewegen muss 2 gman x1 erhöhen oder x2 verringern. Auf der Isokline galt:

0yx2x2 =−+−=& . Wenn man x1 erhöht oder x2 verringert, so addiert man mehr oder subtrahiert man weniger als vorher auf der Isokline woman mehr oder subtrahiert man weniger als vorher auf der Isokline, wo

0x2 =& galt. Also muss nun 0x2 >& gelten, d.h. x2 wächst. Dieses symbolisiert man durch einen Pfeil nach oben im Diagramm.



x2

0x2 =&

6

B

2

1A

C

x121

0x1 =&-2 D

Modell optimalen Wachstums 26

(1) U(C) Nutzenfunktion (abhängig vom( ) ( ) ( g g Konsum) (2) Y = F (K, L) Produktionsfunktion

F(K L) erfülle die F(K,L) erfülle die Inada-Bedingungen (3) w = FL Faktorpreisfestlegung r = i = FK (4) I = S (Ersatz für eine)

Investitionsfunktion Investitionsfunktion(5) =K& I = F(K,L) – C Bewegungsgleichungen für Kapitalstock K (6) LnL ⋅=& Bewegungsgleichung für Arbeit L Gegeben sind: K0, L0; n ≥ 0 (zunächst sei n=0)


E ilt d N t d K i i t dEs gilt, den Nutzen aus dem Konsum zu maximieren, unter der Nebenbedingung der Bewegungsgleichung für das Kapital. Gesucht istalso der optimale Konsumpfad C(t).

∫∞

δ− ⋅= t

)t(Cdt))t(C(UeWmax ∫

0)t(C

Nebenbedingung: )t(C)L,K(FK −=& mit δ > 0, 0)C(U >′ , 0)C(U <′′ ,

0)C(Ulim,)C(UlimC0C

=′∞=′∞→→

Beachte: Zunächst wird von einer konstanten Bevölkerung ausgegangen, also n=0also n 0.


Die Hamilton-Funktion lautet: H = U (C(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [F (K(t), L ) – C(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:

(1) )t(e))t(C(U:0)t(C

H t λ=⋅′=∂∂ δ−

)(Die kanonische Gleichung lautet:

(2) λ−=⋅λλ−=∂∂ &&

KF)t(:KH


Wir ermitteln die Wachstumsraten der Gleichung (1) durch logarithmisches Differenzieren:(3) λ=δ−′ ˆ)C(U Aus Gleichung (2) erhält man:Aus Gleichung (2) erhält man:(4) λ−= ˆFK Aus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen (5) δ−=′− KF)C(U

)C(U′ lässt sich auch schreiben als &

)C(U′ = )C(UC)C(U

′⋅′′

Damit folgt:Damit folgt:

(6) δ−=′

⋅′′− KF

)C(UC)C(U &


Erweitern mit C und Verwendung der Grenznutzenelastizität g

))t(C(UC))t(C(U

′⋅′′

=η− ergibt:

(7) δ−=η⋅ KFC woraus die Ramsey-Regel für die Wachstumsrate des Konsumsauf dem Optimalpfad folgt:p p g

(8) ηδ−

= KFC

Ramsey-Regel31

InvestitionskalkülDer Ramsey-Regel liegt ein Investitionskalkül zugrunde ob eine Gütereinheit

( )1

Der Ramsey-Regel liegt ein Investitionskalkül zugrunde, ob eine Gütereinheit heute investiert werden soll.

Heute Morgen( ))1t(F1))1t(C(U

11

K ++⋅+′δ+

Durch die Investition steigt das

Investition heute führt zu einemNutzenverlust durch Minderkonsumbewertet durch die Nutzenfunktion:

))t(C(U′)1t(FK +

Durch die Investition steigt dasEinkommen:(1)Außerdem wurde gestern schon

bewertet durch die Nutzenfunktion:

Außerdem wurde gestern schon investiert, diese Einheit muss nunnicht mehr investiert werden.(2) 1(2) 1Insgesamt erhält man bewertet indiskontierten Nutzeneinheiten:

Ramsey-Regel 32

InvestitionskalkülDer heutige Nutzenverlust muss genau durch den morgigen NutzengewinnDer heutige Nutzenverlust muss genau durch den morgigen Nutzengewinn ausgeglichen werden:

U’(C(t)) = 1 U’(C(t+1)) (1 + FK (t +1))( ( ))δ+1

( ( )) ( K ( ))

Der Grenznutzen U’(C(t)) lässt sich durch eine Taylor-Reiehnentwicklung Approximieren: pp

δ+Δ

+′′−+′≈′1

C))1t(C(U))1t(C(U))t(C(U

Einsetzen ergibt g (1 + δ) U’(C(t+1)) - ΔC U’’(C(t+1)) = U’(C(t+1)) (1 + FK (t +1)) bzw.

′′Δ )C(UC(10.15) δ−=′′′⋅Δ

− KF)C(U

)C(UC

Ramsey-Regel 33

Investitionskalkül

Einsetzen der Grenznutzenelastizität: C)C(U: ⋅′′

=η− )C(U

:′

η

ergibt wieder die Ramsey-Regel bei konstanter Bevölkerung δ−KFˆ

ηδ

= KFC

Exkurs: Grenznutzenelastizität 34

und isoelastische Nutzenfunktion1 Die Grenznutzenelastizität ist die Inverse der intertemporalen

1ätl ti itG t

1. Die Grenznutzenelastizität ist die Inverse der intertemporalenSubsitutionselastizität:

itätonselastizSubstitutiraleIntertempoätnelastizitGrenznutze =

D.h.: Je größer die Grenznutzenelastizität ist, desto schwieriger ist esg , gden Konsum zwischen zwei Perioden hin- und herzuschieben.Umgekehrt: Je kleiner die Grenznutzenelastizität ist desto leichterlässt sich der Konsum zwischen den Perioden verschiebenlässt sich der Konsum zwischen den Perioden verschieben


und isoelastische Nutzenfunktion

Häufig wird mit isoelastischen Nutzenfunktionen gearbeitet, bei denen die Grenznutzenelastizität konstant ist:

C)C(''UC))C('U(d ⋅ .const)C('UC)C(U

)C('UC

dC))C(U(d: =

⋅=⋅=η−

Di d lti d N t f kti h b di FDie daraus resultierenden Nutzenfunktionen haben die Form:

U(C) = ⎪⎪⎨

⎧ ≠η⋅η−

η− 1 C1

A 1

U(C) =

⎪⎪⎩

⎨

=η⋅

η

1 ClnA


und isoelastische Nutzenfunktion

Verläufe isoelastischer Nutzenfunktionen für verschiedene η

η <1U(C)

η = 1

1

Cη >1

1

Ramsey-Regel 37

Bewegung von Kapital und Konsum

P blProblem:Die Ramsey-Regel bestimmt zwar die Determinanten der Konsum-wachstumsrate (und damit indirekt auch den Konsumpfad an. Jedoch hängt dieser immer noch via FK von der Entwicklung des Kapital-bestandes ab.

Frage:Wie kann man die Bewegung des Konsums und des Kapitals außerhalb des Gleichgewichts und die gleichgewichtige Wachstumsrate bestimmendes Gleichgewichts und die gleichgewichtige Wachstumsrate bestimmen.

Ramsey-Regel 38


Es seien nun folgende funktionelle Vereinfachungen angenommeng g g(1) Isoelastische Nutzenfunktion

( ) =η−CCU

1

(2) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

( )η−1

CU

D b i h di b id B l i h

( ) aa1 LKL,KF −=

Daraus ergeben sich die beiden Bewegungsgleichungen

( ) CLKa1Caa

⋅η

δ−−=

−& aus der Ramsey-Regel

ηCLKK aa1 −= −& aus der Kapitalbewegungsgleichung

Ramsey-Regel 39


Das Bewegungsverhalten lässt sich mit Hilfe der PhasendiagrammtechnikDas Bewegungsverhalten lässt sich mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik ermitteln.

Bildung der Isoklinen-Gleichungen:

L*K0Ca1

−

⎟⎞

⎜⎛ δ& L

a1*K:0C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

==

aa1 LKC0K −& aa1 LKC:0K ==

Ramsey-Regel 40


C 0=&C

K 0=&

20C

30C

K0 K

10C0

Ramsey-Regel 41

Ergebnisse:


Ergebnisse:1. Bei gegebenem Anfangskapitalbestand führt nur ein bestimmter Anfangskonsum zu einem Pfad der in das Gleichgewicht führt. Für andereHöhen des Anfangskonsums kommt es entweder zu einer ÜberHöhen des Anfangskonsums kommt es entweder zu einer Über-Akkumulation des Kapitals (C0 zu klein) oder zu einem Überkonsum (C0 zu hoch). Wohlbemerkt: bei nutzenmaximierendem Verhalten.2 I Gl i h i ht h K d K it l k t t W t2. Im Gleichgewicht nehmen Konsum und Kapital konstante Werte an:

L*Ka1

−

⎟⎞

⎜⎛ δ

= L*Ca

1a−

⎟⎞

⎜⎛ δ

=

3. Der Kapitalbestand passt sich so an, dass der Zinssatz (Grenz-

La1

K ⎟⎠

⎜⎝ −

= La1

C ⎟⎠

⎜⎝ −

=

p p , (Produktivität des Kapitals) langfristig im Gleichgewicht gleich der Zeitpräferenzrate δ ist.

Ramsey-Regel 42


4. Außerhalb des Gleichgewichts wird die Wachstumsrate beeinflusst durch die Zeitpräferenzrate, die Grenznutzenelastizität und indirekt durchdie Produktionselastizität.die Produktionselastizität.

Ramsey-Regel bei43

wachsender BevölkerungEs sei nun angenommen dass die Bevölkerung mit der Rate n wachse

nt0eL)t(L.bzwnLL ==&

Es sei nun angenommen, dass die Bevölkerung mit der Rate n wachse,also:

CKY

Entsprechend werden alle Größen wieder pro Kopf angegeben:

LCc;

LKk;

LYy ===

nkc)k(fk −−=&

Für die Bewegungsgleichung der Kapitalintensität gilt dann:

Ramsey-Regel bei 44

wachsender BevölkerungD it ibt i h d f l d O ti i bl

∫∞

δ− ⋅=0

t

)t(cdt))t(c(UeWmax

Damit ergibt sich nun das folgende Optimierungsproblem:

0

Nebenbedingung: )t(kn)t(c))t(k(f)t(k ⋅−−=& mit δ > 0, 0)c(U >′ , 0)c(U <′′ ,

0)c(Ulim,)c(UlimC0C

=′∞=′∞→→

Ramsey-Regel bei 45

wachsender BevölkerungDie Hamilton-Funktion lautet dann:Die Hamilton Funktion lautet dann: H = U (c(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – nk(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:

(1) )t(e))t(c(U:0)t(c

H t λ=⋅′=∂∂ δ−

)t(c∂Die kanonische Gleichung lautet:

(2) ( ) λ−=−′⋅λλ−=∂∂ && n)k(f)t(:kH

Ramsey-Regel bei 46

wachsender BevölkerungDamit erhält man wie zuvor: (3) λ=δ−′ ˆ)c(U Aus Gleichung (2) erhält man: (4) λ′ ˆn)k(f(4) λ−=−′ n)k(fAus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen (5) δ−−′=′− n)k(f)c(U(5) δ)()(UMit dem Einsetzen der Grenznutzenelastizität ergibt sich dann für dieRamsey-Regel bei wachsender Bevölkerung:

(6) η

δ−−′=

n)k(fc

Ramsey-Regel 47

Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität

Die Bewegung wird nun wieder durch zwei Differentialgleichungen Gesteuert. Wieder wird eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion und Ei k t t G t l ti ität t t lltEine konstante Grenznutzenelastizität unterstellt.

Bewegung des Pro-Kopf-Konsums:

( ) cnka1ca

⋅η

δ−−−=

−&

Bewegung der Kapitalintensität:

nkckk a1 −−= −&

Ramsey-Regel 48


Damit erhält man die folgenden Isoklinen für die Phasendiagrammanalyse:

a1

na1*k:0c ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ+−

==&

nkkc:0k a1 −== −&

Ramsey-Regel 49


c &c = 0

c

P

*c(b)

maxc&k < 0

&k = 0 (a)

0IIIc

0IIc

&k > 0

k0 kk∗

0c0Ic

k max k

Ramsey-Regel 50

Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität - Ergebnisse

1. Steady-State-Wachstumsrate ist n.

2. Die Charakterisierung des Steady-State-Niveaus ist die Bedingung:

ensitätintKapitalStateSteady*kmitn*)k(f −−=δ+=′

g y g g

→„Goldener Nutzenpfad“→„Goldener Nutzenpfad

3. Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Steady-State-Kapitalintensität:

a1

na1*k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δ+−

=

Kapitalintensität:

n)k(f max =′4. Für die maximal mögliche Kapitalintensität erhält man die Bedingung:

Ramsey-Regel 51


Parametervariationen:

Erhöhung von δ:gGleichgewichtige Kapitalintensität und der gleichgewichtige Pro-Kopf-Konsum sinken.

Erhöhung von n:Isokline für c verschiebt sich nach links, Isokline für k wird „nach untengebogen“:gebogen :→ Niveau des Pro-Kopf-Konsums im Steady-State verringert sich, Steady-

State-Kapitalintensität verringert sich.

Ramsey-Regel mit technischem 52

Fortschritt

)LeK(F)ALK(FY mt

Es sei nun arbeitsvermehrender technischer Fortschritt unterstellt, der mit der Rate m wächst. Für die Produktionsfunktion heißt das:

)Le,K(F)AL,K(FY mt==

CKY

Entsprechend werden die Pro-Kopf-Größen in Effizienzeinheiten notiert:

ALCc;

ALKk;

ALYy ===

Intensitäten in natürlichen“ Einheiten werden so notiert:

LCc;

LKk;

LYy natnatnat ===

Intensitäten in „natürlichen Einheiten werden so notiert:


FortschrittD O ti i bl i t d it

∫∞

δ−= t dt))t(c(UeWmax

Das Optimierungsproblem ist damit:

∫ ⋅=0

nat)t(cdt))t(c(UeWmax

Nebenbedingung: )t(k)mn()t(c))t(k(f)t(k ⋅+−−=& Beachte:

Bewegungsgleichung in EffizienzeinheitenAber: Maximierung in natürlichen Einheiten


FortschrittDie Hamilton-Funktion lautet dann:Die Hamilton Funktion lautet dann: H = U (cnat(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – (n+m)·k(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. c:

(1) )t(eA))t(c(U:0)t(c

H tnat λ=⋅⋅′=

∂∂ δ−

)t(c∂Die kanonische Gleichung lautet:

(2) ( ) λ−=+−′⋅λλ−=∂∂ && )mn()k(f)t(:kH


Fortschritt(1) formt man um in Wachstumsraten und erhält:(1) formt man um in Wachstumsraten und erhält: λ=δ−+′ ˆA)c(U nat (3) δ−+⋅η−=λ⇒ mcˆ

t(3) δ+ηλ⇒ mcnat

Aus (2) erhält man. (4) )k(f)mn(ˆ ′−+=λ Gleichsetzen der Wachstumsraten für λ ergibt dann folgende modifizierte Ramsey-Regel:

−δ−′ n)k(f(5)ηδ

=n)k(fcnat Ramsey-Regel mit technischem Fortschritt

In Effizienzeinheiten lautet die Regel:

(6) η

η−−δ−′=

mn)k(fc


FortschrittFrage mit welchen Raten wachsen Kapital Sozialprodukt und KonsumFrage mit welchen Raten wachsen Kapital, Sozialprodukt und Konsum im Steady-State:

Im Steady State müssen die Wachstumsraten konstant sein UnterstelltIm Steady-State müssen die Wachstumsraten konstant sein. Unterstelltman eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gilt:

K)1(a

δ⎟⎞

⎜⎛

−

.constn

Le)a1(

cmt

nat =η

−δ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

mLKknat =−=

Das kann nur gelten, wenn gilt:

nat


Fortschritt

Aus der Produktionsfunktion erhält man dann die Wachstumsrate des Sozialproduktes

ˆˆˆ

mn)mn(a)mn()a1()mL(aK)a1(Y

+=+⋅++⋅−=+⋅+⋅−=

Aus der Verwendungsgleichung des Sozialproduktes folgt:Aus der Verwendungsgleichung des Sozialproduktes folgt:

KK

KC

KYKCY

&& +=⇒+=

D it hältDamit erhält man mnKC +== Also muss die Wachstumsrate des Konsums pro natürlichen Kopf m sein p p mcnat =


Fortschritt

cnatc

W-rate ( )′ = + +f k n mδ η

mn)k(f ++δ=′m

( )

W-rate m knat k

Steady-State-Bedingung ist:


Fortschritt - Ergebnis

Bei exogen gegebenem technischen Fortschritt ist im Steady-State die Veränderung der Kapitalausstattung und des Konsums pro effizienter Arbeitseinheit gleich Null Im Steady State gilt dann mn)k(f ++δ′Arbeitseinheit gleich Null. Im Steady-State gilt dann mn)k(f η++δ=′ . Der Konsum pro natürlichem Kopf kann hingegen mit der Rate m des technischen Fortschritts gesteigert werden. Sowohl der Anpassungspfad von C0 bis zum letztendlich erreichten C* im Steady-State als auch die Niveauwerte Y*, K* und C* hängen y , gendogen von den Parametern der Produktions- und Nutzenfunktion ab. Die Steady-State-Wachstumsrate in K* ist hingegen immer von den exogen gegebenen Parametern m + n abhängig.e oge gegebe e a a ete ab ä g g


Die Marktlösung

(1)dte))t(c(UWmax

0

t

)t(c ∫∞

δ−⋅= Intertemporale Nutzenmaximierung der Haushalte

0

(2) )t(na)t(c)t(raw)t(a −−+=&

Bewegungsgleichung des Vermögens der Haushalte

(3) Y=F(K L) Produktionsfunktion der Unternehmen(3) Y=F(K,L) Produktionsfunktion der Unternehmen (erfüllt die Inada-Bedingungen)

(4) nLL =& Bewegungsgleichung der BevölkerungszahlBevölkerungszahl


Die Marktlösung

Haushalte:1.) Maximieren ihren Nutzen aus dem Konsum2.) Bewegungsgleichung des Vermögens (a = Pro-Kopf-Vermögen)) g g g g g ( p g )

)t(na)t(c)t(raw)t(a −−+=&

Pro-Kopf-Lohneinkommen

Pro-Kopf-Kapitaleinkommen

Pro-Kopf-Konsum

„Asset-widening“

Aus dem Hamiltonansatz ergibt sich dann die Ramsey-Regel

δη

δ−−=

nrc


Die Marktlösung

Unternehmen: Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn (statisch).

)wLrK()LK(FGmax +

))wrk()k(f(L

)wLrK()L,K(FGmaxk

+−⋅=

+−=

Ableiten von G nach k und Nullsetzen ergibt als Bedingung für eineAbleiten von G nach k und Nullsetzen ergibt als Bedingung für einegewinnmaximierende Kapitalintensität k: r)k(f =′


Die Marktlösung

Da in einer geschlossenen Volkswirtschaft der Kapitalstock immer irgend-jemandem gehören muss, muss gelten:

ka=k

Dann folgt jedoch für die Bewegungsgleichung und die Ramsey-Regel:

nkcrkwk −−+=&

δ−−′ n)k(fcη

=c

Da w + rk = f(k) ist, entspricht dieses dem Ergebnis für den gesamtwirtschaftlichen Optimierer.

Wht d EtiklWachstum und Entwicklung und Entwicklung... · Grundsätzlich ist nun zwischen der...

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