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HDT V0941 Wind auf Tanks E-H030-10-469-0 22.03.2011 Essen Seite 1/42

Ingenieurbüro Dr. Knödel Vordersteig 52, D-76275 Ettlingen Peterhofstr. 3 b, D-86438 Kissing [email protected] +49(0) 7243 – 32 40 913; Fax 76 54 16 +49(0) 8233 – 73 54 36 – 0; Fax – 3 Bearbeitungsstand: 23.03.2011 pk C:\user-pra\Buero\Proj\V0941_HDT\Tanks\txt\V0941-Wind_11-03-23.doc 23.03.11 12:52

Windengineering –

Drucklose Tanks unter Windlasten

Dr.-Ing. Peter Knödel, SFI/IWE Beratender Ingenieur

ö.b.u.v. Sachverständiger für „Schweißtechnik – Sonderbauten in Metall“ Professor für Stahlbau an der FH Augsburg

www.peterknoedel.de

Seminar am 22. März 2011

Haus der Technik

Hollestrasse 1, D-45127 Essen

Haus der Technik GmbH, Essen

www.hdt-essen.de



0.1 Inhalt

0.1 Inhalt 2 0.2 Verzeichnis der Anhänge 4

1. Einleitung 5

2. Begriffe / Abkürzungen / Namen 6

3. Der natürliche Wind 9 3.1 Potentialströmung 9 3.2 Turbulente Strömung 10 3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán 11 3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern 12 3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last 13

4. Innendruck bei belüfteten Behältern 14

5. Schnittgrößen in Schalentragwerken 15 5.1 Allgemeines 15 5.2 Die Fourier-Harmonischen 15 5.3 Dehnungslose Verformungen 17 5.4 Einfluss der Randbedingungen 19

6. Stabilität 21 6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen 21 6.2 Rechnerische Beulnachweise 23 6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau 24 6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen 25

7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode 26 7.1 Zur Einstimmung 26 7.2 Elementierung – Konvergenzstudien 26 7.3 Lineare Berechnungen 26 7.4 Klassische Verzweigungslasten 26 7.5 Nichtlineare Berechnungen 27 7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse 28 7.7 Nachbeulverhalten 29

8. Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps 31 8.1 Ermittlung der Beulwiderstände als Erstes 31 8.2 Rezept gegen Leersaugen 31 8.3 Argument für überkritischen Zustand 31 8.4 Nachträglich eingeschweißte Stutzen 32 8.5 VdTÜV–960 als Leitdokument 33 8.6 Blechdicken–Untermaße nach ISO 9445 34 8.7 Ausnutzungsgrad bei Interaktionsformeln 35 8.8 Flaches Kegeldach 35 8.9 Diskontinuierlich befestigte Ringsteifen 35 8.10 E-Modul von Austeniten im Außendruckbeulnachweis: 2,1 36



9. Quellen und Literaturhinweise 37 9.1 Normen und Regelwerke 37 9.2 Fachliteratur 39 9.3 Sonstiges 42



0.2 Verzeichnis der Anhänge

- Dokumentation zu kármánschen Wirbeln, 4 Seiten

- Rechenblatt mit Fourier-Darstellung der Windlasten, 4 Seiten

- Rechenblatt Leersaugen eines Tanks, 2 Seiten

- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis unter Axialdruck, 6 Seiten

- Rechenblatt EC3-1-6 Beulnachweis unter Umfangsdruck, 6 Seiten

- Rechenblatt Ringsteifen nach Herber-Czerwenka, 5 Seiten

- Veröffentlichung Ummenhofer/Knoedel 2000: Boundary Conditions ... , 15 Seiten

- Veröffentlichung Knoedel/Ummenhofer 2004: Squat Tanks ... , 8 Seiten

- Veröffentlichung Knödel/Ummenhofer 2006: Ankerkräfte ... , 6 Seiten

- Veröffentlichung Rotter 2003: Shallow Conical Shells ... , 7 Seiten



1. Einleitung Dünnwandige Schalentragwerke sind anders gegen Windlasten zu bemessen, als z.B. schlanke

Schornsteine. Für den Beulnachweis auf der Luvseite muss der örtlich begrenzte Winddruck in ei-

nen gleichmäßig um den Umfang wirkenden Ersatz-Außendruck umgerechnet werden. Bei belüfte-

ten Behältern entsteht zusätzlich aus Leersaugen noch ein innerer Unterdruck, zu dem es in den ver-

schiedenen Regelwerken widersprüchliche Festlegungen gibt. Schließlich kann noch das „gutarti-

ge“ überkritische Tragverhalten in die Bewertung des Beulnachweises einfließen.

Der Teilnehmer versteht die Umströmung des Behälters im natürlichen Wind und die daraus entste-

henden Lasten und Schnittgrößen. Er kann die gängigen Berechnungsmethoden hinsichtlich ihrer

Realitätsnähe beurteilen und anwenden.

Einzelthemen

- Der natürliche Wind und seine ingenieurmäßige Beschreibung als "Last".

- Aerodynamische Effekte beim Umströmen von Zylindern – die karmansche Wirbelerre-gung.

- Innendruckentwicklung bei belüfteten Behältern.

- Schnittgrößen in Schalentragwerken aus Windlasten.

- Einfluss der Randbedingungen.

- Einsatz der Finite-Elemente-Methode, überkritisches Tragverhalten.

- Praxisnahe Rechenverfahren, Beulnachweise.

- Fallbeispiele, Schadensfälle, Praxistipps.

Sofern nicht anders angegeben, liegen die Urheberrechte für Text, Skizzen, Fotos, usw. beim Ver-

fasser.



2. Begriffe / Abkürzungen / Namen Bernoulli Daniel Bernoulli (1700-1782) schweizer Mathematiker und Physiker.

(Nicht zu verwechseln mit Jakob Bernoulli mit der Balkenbiegung,

das war sein Onkel)

Breitenkreis siehe Meridian

Folgelasten, follower loads Folgelasten, sie stehen immer senkrecht auf der Bauteiloberfläche,

auch wenn diese große Verformungen und Tangentenverdrehungen

macht; Beispiel: Flüssigkeitsdruck auf einer Behälterwand.

Das Gegenteil sind richtungstreue Lasten.

Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), französischer Mathemati-

ker und Physiker, erfand die Fourier-Reihe (siehe Text)

von Kármán Theodor von Kármán (1881-1963), ungarischer Aerodynamiker

siehe hierzu (Knödel 2003)

Kesselformel Allzweckwaffe, um den Zusammenhang zwischen radialen Lasten

und Umfangslasten an einem gekrümmten Bauteil zu beschreiben:

N = p * R

Lee windabgewandte Seite (lee), siehe auch Luv

Luv windzugewandte Seite (luff), siehe auch Lee;

ich verwende den Begriff verallgemeinert für die Seite des Lastangrif-

fes, z.B. auch bei Erdbeben, Schiefstellung, usw.



Meridian, Erzeugende, Geriatrix

wie von unserer Erdkugel gewohnt werden Rotationsschalen in Brei-

tenkreise und Meridiane unterteilt. Die Meridiane werden auch als

„Erzeugende“ (Geriatrix) bezeichnet, weil ihre Kontur beim Rotieren

um die Rotationsachse die Form der Rotationsschale erzeugt.

Bei Zylinderschalen sind die Meridiane gerade und parallel zur Rota-

tionsachse, alle Breitenkreise haben den gleichen Radius.

Mittragende Breite b,m = 0,778 * √(R * T) ... und nichts anderes!

(Vorsicht: FALSCHE Veröffentlichung von Bär 1983)

Re Reynoldszahl, nach dem ... Reynolds

Die Reynoldszahl ist ein Parameter der, Massenträgheit und Zähigkeit

eines Fluids beschreibt

Re = d * v / ν (d mal vau durch ny)

d ist eine charakteristische Länge, bei Zylindern der Durchmesser;

ν ist z.B. die Zähigkeit der Luft, mit dem Zahlenwert 1,5 * 10–5 m2/s

nach EC1-1-4 Abs. E.1.3.4 Gl. (E.5).

Richtungstreue Lasten behalten ihre Richtung bei, auch wenn das Bauteil starken Verfor-

mungen unterliegt. Beispiel: Trägheitskräfte

Schalenmittelflächenradius Bei dünnwandigen Schalen werden die Membrantheorie, die Biege-

theorie und die Stabilitätstheorie jeweils für die Schalenmittelfläche

beschrieben; dies entspricht in der technischen Biegelehre – der Bal-

kenbiegetheorie – dem Bezug des Balkens auf die Schwerlinie. Daher

müsste man eigentlich jeweils mit dem Schalenmittelflächenradius

R,m rechnen. Technisch gesehen ist der Unterschied jedoch vernach-

lässigbar, so dass üblicherweise in den Berechnungen nur vom Radius

R gesprochen wird, und erst die Konstruktionszeichnungen erkennen

lassen, ob damit R,i, R,m oder R,a gemeint ist.

Beispiel: R,i = 2000 mm; T = 8 mm; R,m = 2004 mm; der Fehler bei

Verwendung von R,i statt R,m beträgt 2%o.



tragende Bauteile „Bauteile für tragende Zwecke zur Sicherstellung der mechanischen

Festigkeit und Standsicherheit und/oder des Feuerwiderstandes sowie

der Dauerhaftigkeit und der Gebrauchstauglichkeit eines Bauwerks.

Tragende Bauteile können direkt im Lieferzustand verwendet werden

oder zum Einbau in ein Bauwerk vorgesehen sein.“

(DIN EN 1090-1 Abs. 3.1.9)

Venturi Giovanni Battista Venturi (1746-1822), italienischer Physiker, erfand

die Venturi-Düse

Zylinderkoordinaten R, φ, L

Schreibweise Indizes werden vereinfachend durch Komma abgetrennt, z.B. γ,M2 = γM2 lies: gamma Index M2 α,T = αT lies: alpha Index T



3. Der natürliche Wind

3.1 Potentialströmung

Sofern die Strömungsgeschwindigkeit klein genug ist, werden in der Strömung liegende Gegens-

tände laminar umströmt. (Bei Zylindern ist dies möglicherweise bei Re < 30 der Fall.)

Für die Umströmung eines unendlich langen Zylinders ergibt sich dabei eine doppelt-symmetrische

Druckverteilung, die durch

cp = 1 – 4 sin2 φ

beschrieben wird (Ruscheweyh I 1982).

Verlauf des Druckbeiwertes bei Potentialströmung



3.2 Turbulente Strömung

Tatsächlich ist ein Geschwindigkeitsprofil des natürlichen Windes im Höhen- oder Breitenprofil in-

homogen. Strömungstechnisch wird das aufgefasst als Böenwalzen, die in Richtung des mittleren

Windes gerollt werden, mathematisch wird es beschrieben durch eine mittlere Windgeschwindig-

keit (Stundenmittel, 10-Min-Mittel), der Geschwindigkeitsvarianzen mit beiden Vorzeichen überla-

gert sind. Die Summe über die Varianzen ergibt Null, der langfristige Mittelwert der Momentange-

schwindigkeiten ist identisch mit der mittleren Windgeschwindigkeit.

Am Mast Gartow gemessenes Windgeschwindigkeitsprofil über 20 s

Messung am 25.01.1990 „Vivian“, siehe (Nölle 1991, Peil/Nölle 1995)

Quelle: www.wtg-dach.org

Das Lastkollektiv der Windgeschwindigkeiten einschließlich der Böen ist dabei derart, dass aus der

veränderlichen Beanspruchung in Windrichtung keine ermüdungsrelevante Beanspruchung entsteht.

Das geht aus einer Untersuchung von Ibach (1988) über die Windbelastung von turmartigen Bau-

werken hervor.



3.3 Umströmung von geschlossenen Zylindern – Th. v. Kármán

Potentialströmung um einen langen Zylinder

(www.mathlab.de 12.03.2011)

Kármánsche Wirbelstraße für unterschiedliche Reynoldszahlen

(aus Petersen Stahlbau 1997)



3.4 Umströmung von oben offenen Zylindern

Bild auf der Rückseite eines Tagungsbandes (Krupka 2003)

Ein oben offener Zylinder wird durch das Überstömen „leergesaugt“. Als Folge steht auf der Luv-

seite der luvseitigen Behälterwand der Staudruck an (vielleicht auch nur mit cp = +0,8, weil die

Luft über die Kante abströmen kann), auf der Leeseite der luvseitigen Behälterwand entsteht ein

Rückseitensog, wie wir ihn auch von Gebäuden kennen. Dieser Rückseitensog wird üblicherweise

mit einem Druckbeiwert von cp = –0,5 ... –0,6 beziffert.

Möglicherweise steht die Luvwand also unter einer effektiven Last von 1,6 * w,0.

Gleichzeitig sinkt der Beulwiderstand des Zylinders gegenüber dem am oberen Rand radial gehal-

tenen um den Faktor 4.

Siehe hierzu z.B. Eßlinger/Ahmed/Schroeder (1971).



3.5 Der Wind als ingenieurmäßige Last

Den tatsächlichen Verhältnissen nicht entsprechende, symmetrische Druckverteilung

(aus Knödel 2003)

Windlasten sind zwischenzeitlich in der Grundnorm EC1-1-4 geregelt, wobei auch die dynamische

Antwort schwingungsanfälliger Bauwerke geregelt ist, die früher nur in Fachnormen wie z.B. DIN

4133 enthalten war. Nachteilig ist z.B. dass der Böenreaktionsfaktor auf das 10-Min-Mittel bezogen

wird; dies ist insofern eine ungeschickten Beschreibung, als das Bauwerk nicht auf das 10-Min-

Mittel reagiert, sondern auf die 5-Sek-Bö. Insofern enthält der Böenreaktionsfaktor nach EC1-1-4

implizit den „Abstand“ der Böenlast zum 10-Min-Mittel, was zumindest umständlich und unge-

schickt ist.



5. Schnittgrößen in Schalentragwerken

5.1 Allgemeines

5.2 Die Fourier-Harmonischen

(Bronstein 1974)



Funktionsgleichungen für die nachfolgende Grafik

(die Ziffern 6 und 2 sind willkürlich gewählt)

Grafische Darstellung der ersten Fourier-Glieder am Vollkreis



5.3 Dehnungslose Verformungen

Einfach gekrümmte Schalen, wie z.B. Zylinder oder Kegelschalen, sind „abwickelbar“. Nach dem

Auftrennen eines Meridians lässt sich der Mantel in eine Ebene rollen.

Diese Eigenschaft ist sehr vorteilhaft für die Herstellungstechnologie von Schalen im Metallbau

(Schornsteine, Silos, Tanks, usw.). Nachteilig ist, dass diese Schalen äußerst empfänglich für Ver-

formungen aus der Schalenebene sind, da sie in dieser Richtung wegen

R und L >> T

und I,x ~ T3

nur über sehr geringe Steifigkeit verfügen.

Für die folgende Darstellung eines cos-2φ-Verformungszustandes wurde ein Rechenblatt von Kotan

(1994) verwendet, welches für die Behälterbau-Vorlesung Knödel (2003) überarbeitet wurde.

Dehnungslose Verformungen für eine am unteren Rand aufgeprägte

Verformung der Form u,max * cos(N * φ)



Dehnungslose Verformungen, Ansicht und Draufsicht

Dehnungslose Verformungen, perspektivisch

Die dargestellte Verformungsfigur erzeugt in der Schale keine Membran-Schnittkräfte, weil eben

auch keine Membrandehnungen auftreten (daher: dehnungslose Verformungen, strainless mode).

Aus der Krümmung der Schalenwand in Umfangsrichtung entstehen natürlich Randfaserdehnungen

und Biegemomente, diese sind jedoch sehr gering, weil die Schale dünnwandig vorausgesetzt ist.

Die dargestellte Verformung, bei der am unteren Rand vertikale Verschiebungen u aufgeprägt sind,

könnten z.B. durch entlang des Umfangs ungleichförmige Setzungen des Behälterfußes auftreten.



5.4 Einfluss der Randbedingungen

Werden die im vorigen Abschnitt gezeigten Verformungen dadurch unterdrückt, das die Zylinder-

schale eine in radialer Richtung unendlich steife Dachscheibe erhält, sind dehnungslose Verfor-

mungen nicht mehr möglich. Der Zylinder wird dadurch so steif, dass er (zunächst) nur noch Starr-

körperbewegungen macht. Ungleichförmige Vertikalverschiebungen des Behälterfußes erzeugen

jetzt große Membranschnittkräfte.

Radiale Flächenlasten in Form einer Fourier-Harmonischen erzeugen jetzt ebenfalls große Memb-

ran-Schnittgrößen, wenn der untere Schalenrand am Behälterfuß unverschieblich aufgelagert ist.

Unter Windbelastung ergeben sich dabei Meridiankräfte, die 8 mal größer als die Werte nach Bal-

ken-Biegetheorie werden können (Ummenhofer/Knödel 2000).

Im nachfolgenden (akademischen) Beispiel wird ein Zylinder mit D = 10000 mm; H = 10000 mm;

T = 1 mm und einer Kopfringsteife 100x10 mm gezeigt, der unter einer harmonischen Randlast

mit Maximalwerten von 10 kN/m steht.

Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!)

Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm



Harmonisch 8-fach alternierende horizontale Randlast von 10 N/mm (!)

Verschiebungen in mm; D und L = 10000 mm, T = 1 mm, Kopfsteife 100x10 mm

Die Horizontalverformungen am Kopf betragen ca. 100 mm, die Beträge der Spannungen liegen bei

knapp 40 N/mm2.

Geht man von einer in vertikaler Richtung elastischen Lagerung aus, was z.B. durch die Nachgie-

bigkeit von Ankern oder die Verformung des Fußbleches der Fall sein kann, dann entspannen sich

diese hohen Schnittgrößen wieder, dazu genügen oft schon Verformungen im Millimeterbereich

(Knödel/Ummenhofer 2006).

Diese Membrankräfte verhalten sich daher wie Zwangsschnittgrößen – sie werden geringer, wenn

man die Anschlusssteifigkeiten reduziert.



6. Stabilität

6.1 Stabilitätstheorie dünnwandiger Schalen

Die erste Lösung des Stabilitätsproblems der axialgedrückten Zylinderschale wird Lorenz (1908)

und Timoshenko (1910) zugeschrieben. Sie gelangen durch Linearisieren der Differentialgleichun-

gen und anderen Vereinfachungen zu einer Indifferenzbedingung für die kritischen Membrandeh-

nungen (siehe Knödel 1995):

σ,kl / E = 1 / λ2 + λ2 * (T/R)2 / [12*(1 – ν2)]

Durch Minimieren nach

λ = m * π R/L

mit m als Anzahl der Längshalbwellen

erhält man unter Verwendung von ν = 0,3 den auch heute noch verwendeten Bezugswert

σ,kl / E ≈ 0,605 * T/R

Ein etwas wirklichkeitsnäherer, ebenfalls heute als „klassisch“ empfundener Ansatz besteht aus ei-

nem schachbrettartigen Beulmuster der Form

w = A * cos (n * φ) * sin (m * π * x / L)

Offensichtlich ist hierbei n die Anzahl der Umfangsvollwellen, während m die Anzahl der Längs-

halbwellen ist (Knödel 1995). Unter Verzicht auf einige der obigen Vereinfachungen erhält Flügge

(1932) hieraus Beziehungen für eine Kurvenschar von Indifferenzbedingungen in Abhängigkeit von

m und n, deren untere Hüllkurve als kleinsten Wert wiederum den oben angegebenen Term „0,605

...“ annimmt.



aus Knödel 1995

Der Umstand, dass die klassische Verzweigungstheorie ein axialsymmetrisches Ringbeulmuster o-

der ein schachbrettartiges Muster vorhersagt, im Versuch aber Beulformen mit rautenförmigen, e-

her breitgestreckten Beulen beobachtet werden, wird von Esslinger (1970) erklärt:

Filmaufnahmen mit einer Hochgeschwindigkeitskamera zeigen den Beulvorgang eines Mylarzylin-

ders. Es ist erkennbar, dass beim ersten Verzweigen tatsächlich ein Schachbrettmuster auftritt, das

sich mit zunehmender Stauchung des Zylinders in der Weise verändert, dass jeweils sprungartig

entweder die Umfangswellenzahl um einen Zähler abnimmt oder die Längswellenzahl um einen

Zähler zunimmt. Auf diese Weise entstehen Beulen, die immer niedriger und breiter werden.



6.2 Rechnerische Beulnachweise

Stellen, für die F Festigkeits- und S Stabilitätsnachweise zu führen sind

An folgenden Stellen des Tankmantels sind Festigkeitsnachweise zu führen:

1 Nachweis der Ringzugspannungen aus Füllung, diese sind wegen des nach unten zuneh-menden Flüssigkeitsdruckes am unteren Rand am größten.

3 Nachweis der Meridianzuspannungen aus Wind-Kippmoment am leeren Tank, diese sind wegen des nach unten zunehmenden Biegemomentes am unteren Rand am größten.

An folgenden Stellen des Tankmantels sind Stabilitätsnachweise zu führen:

2 Beulnachweis der Umfangsdruckspannungen aus Wind und innerem Unterdruck; der Stau-druck ist oben am größten, der Mantel ist möglicherweise oben am dünnsten.

4 Beulnachweis der Längsdruckspannungen aus Wind-Kippmoment, Eigengewicht, Schnee und innerem Unterdruck; das Eigengewicht ist unten am größten.

5, 6 Interaktion der Beulnachweise: wenn dort Umfangsdruckspannungen auftreten (Hecksog er-zeugt Zugspannungen, aber Leersaugen oder innerer betrieblicher Unterdruck könnte größer sein); dazu die zu dieser Lastkombination zugehörigen Längsdruckspannungen.



Interessant ist ein Vergleich zwischen den Nachweisen nach DIN 18800-4 und denen nach EC3-1-

6, der hier unkommentiert wiedergegeben wird.

Beispiel: D = 10000 mm; L = 10000 mm; T = 5 mm; S235

Axialbeulen Umfangsbeulen

DIN 18800-4 σ,xS,Rd = 20,9 N/mm2 σ,φS,Rd = 2,64 N/mm2

EC3-1-6:

Klasse A exzellent σ,x,Rd = 30,3 N/mm2 σ,θ,Rd = 2,08 N/mm2

Klasse B hoch σ,x,Rd = 19,5 N/mm2 σ,θ,Rd = 1,81 N/mm2

Klasse C normal σ,x,Rd = 11,7 N/mm2 σ,θ,Rd = 1,39 N/mm2

6.3 Ringsteifen aus dem Flugzeugbau

Der Nachteil der konventionellen Stabilitätsnachweise für Ringsteifen ist, dass man mangels besse-

rer Werkzeuge stark auf der sicheren Seite liegend von einem freien Kreisringträger ausgeht.

Für diesen – wie für das unendlich lange Rohr unter Außendruck (follower loads!) – wird die kriti-

sche Beulform durch cos-2φ beschrieben („plattgedrücktes Rohr“) mit der Knicklänge

s,k = 0,5 * 2πR / √3

und der kritischen Normalkraft

N,ki = 3EI / R2

bzw. der kritischen Linienlast

p,ki = 3 EI / R3

Hinweis:

Die Ziffer 3 kann gedeutet werden als Minimum aus (N2 – 1) Umfangswellen.

Für richtungstreue Lasten wird aus der Ziffer 3 jeweils die Ziffer 4, daher

s,k = 0,5 * 2πR / 2 = 0,25 * 2πR

N,ki = 4EI / R2

p,ki = 4 EI / R3

Durch den konservativen Ansatz der Knicklast ergeben sich bei der Tragwerksplanung entspre-

chend große – rechnerisch erforderliche – Ringsteifen.



Hier helfen Czerwenka (1961) aus dem Flugzeugbau und Herber (1966), der dieses Verfahren im

Tankbau bekannt gemacht hat. Die große Errungenschaft ist die Möglichkeit, die tatsächliche Um-

fangswellenzahl N > 2 zu bestimmen; daraus ergeben sich dann entsprechend höhere Beullasten

(siehe Rechenblatt im Anhang).

6.4 Mindeststeifigkeit von Ringsteifen

Jede Branche hat bei Bedarf irgend eine obskure Formel für die Mindeststeifigkeit von Ringsteifen

„hinterlassen“. Vergleicht man diese, so stellt man fest, dass sie häufig nur auf einen bestimmten

Parameterbereich zugeschnitten sind, z.B. relativ dickwandige Schornsteine oder extrem dünnwan-

dige Tanks.

Beispiele:

DIN 15018-1:1984 Abs. 7.3.2 unter Rückgriff auf DIN 4114-2:1953 Ri 18.12 I = 0,5 * R * T3 * √(R/T) Beispiel: R = 10000 mm; T = 10 mm; I = 15800 cm4 das entspricht einem IPE 360

Eine strukturierte Aufarbeitung dieses Chaos findet sich bei Binder (1996).



7. Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode

7.1 Zur Einstimmung

„But remember my dear colleagues: a finite element calculation is per definition wrong!“ Prof. Arbocz während eines Vortrages auf dem EUROMECH Colloquium 317, University of Liverpool, 21.-23. March 1994.

7.2 Elementierung – Konvergenzstudien

Für 4-Knoten-Elemente mit linearen Ansatzfunktionen gilt, dass man je Halbwelle einer Verfor-

mungs- oder Beulfigur mindestens 5 Elemente verwenden soll. Detaillierte Hinweise sind in Knö-

del (2003) gegeben.

Erfahrungsgemäß können Spannungen schon bei gröberer Einteilung konvergieren, Verformungen

reagieren jedoch empfindlicher (Knödel 2011).

7.3 Lineare Berechnungen

Bei einer linearen Berechnung postuliert man einen linearen Zusammenhang zwischen den Lasten P

und den Verformungen U, das Proportionalglied ist die Steifigkeitsmatrix K der Struktur

U * K = P

7.4 Klassische Verzweigungslasten

Die klassischen Verzweigungslasten erhält man als lineare Eigenwertanalyse für eine sehr klein an-

genommene Last.

Schwierig ist die Modellierung der Randbedingungen, da in der klassischen Verzweigungstheorie

z.B. unter Axiallast ein unendlich langer Zylinder angenommen wird, der dann vollständig dem be-

reits oben beschriebenen Beulmuster unterliegt. Die Ränder des numerischen Modells dürfen dabei

in radialer Richtung nicht gehalten sein, da sonst unter Axiallast aufgrund der Querdehnungsbehin-

derung eine Randstörwelle entstehen würde, die die Verzweigungslast erfahrungsgemäß um 15 %



herabsetzt (Knödel/Maierhöfer 1989). Ebensowenig darf daher einer der beiden Ränder in Längs-

richtung starr aufgelagert sein.

7.5 Nichtlineare Berechnungen

Bei nichtlinearen Berechnungen wird der Gleichgewichtszustand nachiteriert, dabei stellen sich mit

steigender Anzahl der Iterationsschritte größere oder kleinere Verformungen ein, als bei der linea-

ren Lösung. Aus der Technischen Mechanik ist dieses Phänomen als „Theorie II. Ordnung“ oder

„Theorie III. Ordnung“ bekannt.

Üblicherweise prägt man der Zylinderschale dabei radiale Imperfektionen auf. Diese haben die

Aufgabe geometrischer Ersatz-Imperfektionen und sollen stellvertretend auch für strukturelle Im-

perfektionen stehen, wie z.B. Werkstoffinhomogenitäten und Eigenspannungen. Demzufolge sind

diese rechnerisch angesetzten Imperfektionen größer, als die nach den technischen Lieferbedingun-

gen oder Herstellnormen zulässigen Formabweichungen. Als Faustformel gilt, die erlaubten Ampli-

tuden der Formabweichungen zu verdoppeln, jedoch kann hierzu im Moment keine Quelle angege-

ben werden. Eine weitaus komplexere Frage ist die nach dem zu verwendenden „ungünstigsten“

Muster. Aus gutem Grund sind in den einschlägigen Normen hierzu keine weiteren Angaben ent-

halten; es wird sogar bezweifelt, dass es diese „ungünstigsten“ Muster überhaupt gibt (Schneider

2004, 2006).

Die aufgeprägten Imperfektionen und gegebenenfalls auch die Berücksichtigung der Fließgrenze

des Werkstoffes führen in der strukturmechanischen Berechnung zu einer progressiven Abnahme

der Steifigkeit, so dass irgendwann eine horizontale Tangente im Last-Verformungs-Pfad erreicht

wird. Diese Last wird als Traglast (ultimate load) interpretiert.

Je nach verwendetem Gleichungslöser, dem verwendeten Pfadverfolgungs-Algorithmus, den ver-

wendeten Schrittweiten, dem verwendeten Element, der verwendeten Maschenweite, der verwende-

ten Netzform, dem verwendeten Werkstoffgesetz, aber auch der klugen Manipulation der in den

Programmen voreingestellten Konvergenzschranken ist es für die Software unterschiedlich schwie-

rig, Traglasten genügend genau zu bestimmen.

In diesem Zusammenhang bietet sich an, die üblichen, eindringlichen, warnenden Anmerkungen

und Ermahnungen auszusprechen:



- Es ist offensichtlich, dass man sein Werkzeug (das FE-Programm) genau kennen muss, sonst weiß man nicht, auf welchem Weg man zu den Ergebnissen kommt, die man gerne hätte („it does not give the right answer“).

- Es ist ebenso offensichtlich, dass man schon vorher wissen muss, was qualitativ und quanti-tativ zumindest ungefähr herauskommen muss, sonst kann man die Brauchbarkeit der Er-gebnisse nicht beurteilen. Das klingt in diesem Zusammenhang vielleicht ketzerisch – aber der Baustatik-Unterricht beschränkt sich auch nicht darauf, dem Adepten die drei Gleichgewichtsbedingungen zu vermitteln, sondern man lernt ganz konkret, wie die Momentenlinie eines Durchlaufträgers auszusehen hat. DIESE erlernten, vorkonfektionierten Muster für verschiedene Grundtypen benutzen wir später in unserem Alltagsgeschäft, um unsere Ergebnisse zu verifizieren. Des-halb müssen wir hinsichtlich unserer Kenntnisse des Tragverhaltens von dünnwandigen Schalen auf das gleiche Niveau kommen.

- Die nächste Ermahnung heißt: verifizieren, verifizieren und nochmals verifizieren. Es ist dem Verfasser schon bewusst, dass man die FE-Methode gerade dann braucht, wenn man eigentlich vorher nicht weiß, was herauskommt, weil die Geometrie oder die Belastung oder beides von den bekannten Grundformen abweicht. Dies erfordert nach Ansicht des Verfassers ein parametrisiertes Modell, an dem man testen kann, ob z.B. für gleichmäßigen Innendruck gleichmäßig verteilte Spannungen mit dem richtigen Betrag und den richtigen Umfangsdehnungen herauskommen. Im Bereich der Stabilität wird es noch sportlicher: warum sollte man seine eigenen Ergeb-nisse glauben, wenn man nicht vorher einen einfachen, leeren Zylinder unter Axiallast zur richtigen Beullast „geführt“ hat?

- Die vorläufig letzte Ermahnung heißt: Gründliche Kenntnisse der Schalenstabilität sind er-forderlich – woher weiß man sonst, was die „richtige“ Beullast ist? Warum kommen für den Zylinder unter Axiallast Ergebnisse heraus, die jeweils 15% unter den klassischen liegen? Warum ist es so schwer, als rechnerisches Ergebnis ein Schachbrettbeulmuster zu erhalten?

7.6 Nichtlineare Berechnungen mit begleitender Eigenwertanalyse

Um rechnerisch zutreffende Stabilitätslasten zu erhalten, ist eine nichtlineare Berechnung – mögli-

cherweise unter Einbeziehung geometrischer Imperfektionen – erforderlich, bei der zusätzlich be-

gleitend (d.h. während des „Hochrechnens“) Eigenwerte bestimmt werden.



- Hinweis: Im ANSYS Handbuch steht im Kapitel Eigenwertermittlung quasi als Schlussempfehlung: Man solle sich doch diesen ganzen Stress nicht machen, sondern einfach Imperfektionen aufgeben und nichtlinear hochrechnen, dann würde man ebenso zuverlässig die Tragfähig-keit einer Struktur finden. Diese Aussage ist aus Sicht der Technischen Mechanik richtig und sie mag auch für Stab-werke in allen Fällen zutreffen. Bei Zylinderschalen unter Axiallast ist diese Aussage falsch, möglicherweise ist sie in einzelnen Spezialfällen zufällig richtig.

7.7 Nachbeulverhalten

Soll das Nachbeulverhalten untersucht werden, sind in der Regel beträchtliche Anstrengungen er-

forderlich, um in der Rechnung vom Vorbeulpfad auf den Nachbeulpfad zu wechseln, da zu beiden

Pfaden unterschiedliche Verformungsfiguren gehören. Mit dem gewünschten Wechsel des Pfades

ist also ein Umsteigen von der unterkritischen auf die überkritische Verformungsfigur erforderlich

(mode change).

In manchen Fällen gelingt dies „versehentlich“, siehe nachfolgendes Last-Verformungsdiagramm.

versehentlicher Pfadwechsel (Knoedel/Ummenhofer 2004)



Zylinder unter Windlast, vermeintlich unterkritische Verformungsfigur

letzte Konvergenz aus dem vorigen Last-Verformungs-Diagramm

(Knoedel/Ummenhofer 2004)



9. Quellen und Literaturhinweise

9.1 Normen und Regelwerke

Hinweis: Die nachfolgend angegebenen Normen dienen als Hintergrundinformation; bei Bedarf bitte selbst klären, ob diese noch aktuell sind, z.B. über www.beuth.de.

[1] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-30.3-6: Erzeugnisse, Verbindungsmittel und Bau-teile aus nichtrostenden Stählen. Deutsches Institut für Bautechnik, Berlin, 20.04.09. Geltungsdauer bis 30.04.2014. Sonderdruck 862, Informationsstelle Edelstahl Rostfrei, Düsseldorf www.edelstahl-rostfrei.de

[2] DASt Richtlinie 017: Beulsicherheitsnachweise für Schalen – spezielle Fälle – . Entwurf 1992. Deutscher Ausschuß für Stahlbau, Stahlbau-Verlagsgesellschaft.

[3] DIN EN 1991-1: Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Eurocode 1: Ein-wirkungen auf Tragwerke. Teil 1-4: Allgemeine Einwirkungen – Windlasten. Entwurf September 2008.

[4] DIN EN 1991 (EC1): Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke. Actions on structures. Teil 1-4:2005-07 Allgemeine Einwirkungen; Windlasten. Deutsche Fassung EN 1991-1-4:2005. Part 1-4: General actions; Wind actions; German version EN 1991-1-4:2005. Publication date: 2005-07. Teil 4: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter. Deutsche Fassung EN 1991-4:2006. Ausgabe Dezember 2006. Entwurf Nationaler Anhang Juli 2007. Part 4: Silos and tanks; German version EN 1991-4:2006. Publication date 2006-12. Draft National Annex July 2007.

[5] DIN EN 1993/NA (EC3): Nationaler Anhang – National festgelegte Parameter – Euroco-de 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Entwurf Oktober 2007. Teil 4-2: Tankbauwerke. Entwurf Oktober 2009. Teil 4-3: Rohrleitungen. Entwurf Januar 2009.

[6] DIN EN 1993 Eurocode 3 (EC3): Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten. Design of steel structures. Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau. Deutsche Fassung EN 1993-1-1:2005. Ausgabe Juli 2005. General rules and rules for buildings. Berichtigung 1 zu Teil 1-1. Berichtigungen zu DIN EN 1993-1-1:2005-07; Deutsche Fas-sung EN 1993-1-1:2005/AC:2006. Ausgabe Mai 2006. Teil 1-3: Allgemeine Regeln – Ergänzende Regeln für kaltgeformte dünnwandige Bauteile und Bleche; Deutsche Fassung EN 1993-1-3:2006. Ausgabe Februar 2007. Part 1-3: Supplementary rules for cold-formed members and sheeting; German version EN



1993-1-3:2006. Issued February 2007. Berichtigung 1 vom November 2009. Corrigendum 1 from November 2009. Teil 1-6: Festigkeit und Stabilität von Schalen; Deutsche Fassung EN 1993-1-6:2007. Aus-gabe Juli 2007. Part 1-6: Strength and stability of shell structures; German version EN 1993-1-6:2007. Pub-lication Date July 2007. Teil 4-1: Silos. Juli 2007. Deutsche Fassung EN 1993-4-1:2007. Berichtigung 1 September 2009. Part 4-1: Silos. German version EN 1993-4-1- :2007. Corrigendum 1 September 2009. Teil 4-2: Tankbauwerke; Deutsche Fassung EN 1993-4-2:2007. August 2007. Berichtigung 1 Mai 2010. Part 4-2: Tanks. German version EN 1993-4-2:2007. August 2007. Corrigendum 1 May 2010. Teil 4-3: Rohrleitungen. Deutsche Fassung EN 1993-4-3:2007. Juli 2007. Berichtigung 1 September 2009. Part 4-3: Pipelines. German version EN 1993-4-3:2007. July 2007. Corrigendum 1 September 2009.

[7] DIN 4119: Oberirdische zylindrische Flachboden-Tankbauwerke aus metallischen Werk-stoffen. Above ground cylindrical flat bottom-tanks, constructed of metallic materials. Teil 1: Grundlagen, Ausführung, Prüfungen. Juni 1979. Part 1: General regulations, construction, tests. Teil 2: Berechnung. Februar 1980. In LTB 2004 Baden-Württemberg aufgeführt Stand 30.12.04 – Anlage 2.4/1 verweist auf die Anpassungsrichtlinie. Für Teil 1 verweist diese auf – DIN 18800 Teile 1, 2, 4, 7, DIN 18801, DIN EN 10025, DIN EN 287-1 – enthält eine Tabelle mit Stahlsorten und Werkstoffbescheinigungen – Doppelboden für wassergefährdende Flüssigkeiten Für Teil 2 verweist diese auf – Lastannahmen sind charakteristisch, Unterscheidung von H und HZ entfällt – „Abs. 4.2.3.4 Die Festlegung p,us = 0,4 q0 gilt ungeachtet der Regeln in DIN 18800-4 Elm 424.“ – Teilsicherheitsbeiwerte mit 1,35 für kontrollierten Flüssigkeitspegel)

[8] DIN 4133: Schornsteine aus Stahl. November 1991. („altes“ Rechenverfahren für den Böenreaktionsfaktor!)

[9] DIN EN ISO 9445 Kontinuierlich kaltgewalzter nichtrostender Stahl – Grenzabmaße und Formtoleranzen. Continuously cold-rolled stainless steel – Tolerances on dimensions and form. Teil 1: Kaltband und Kaltband in Stäben (ISO 9445-1:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO 9445-1:2009. Entwurf August 2009. Part 1: Narrow strip and cut lengths. Teil 2: Kaltbreitband und Blech (ISO 9445-2:2009); Deutsche Fassung FprEN ISO 9445-2:2009. Entwurf August 2009. Part 2: Wide strip and plate/sheet.



[10] DIN EN ISO 9445:2006-05 Kontinuierlich gewalztes Kaltband, Kaltbreitband, Blech und Kaltband in Stäben aus nicht rostenden Stählen – Grenzabmaße und Formtoleranzen (ISO 9445: 2002); Deutsche Fassung EN ISO 9445:2006.

[11] DIN EN 14015: Auslegung und Herstellung standortgefertigter, oberirdischer, stehender, zylindrischer, geschweißter Flachboden-Stahltanks für die Lagerung von Flüssigkeiten bei Umgebungstemperatur und höheren Temperaturen; Deutsche Fassung EN 14015:2004. Feb-ruar 2005. Spezification for the design and manufacture of site built, vertical, cylindrical, flat-bottomed, above ground, welded, steel tanks for the storage of liquids at ambient tempera-ture and above.

[12] DIN 18800: Stahlbauten. Steel structures. Teil 1:2008-11 Bemessung und Konstruktion. Design and construction. Teil 4:2008-11 Stabilitätsfälle – Schalenbeulen. Stability – Analysis of safety against buck-ling of shells.

[13] Verband der Technischen Überwachungs-Vereine e.V. (Hrsg): AD-Merkblätter, Taschenbuch-Ausgabe 2002. Stand Mai 2002. Heymanns Verlag, Köln / Beuth Verlag, Berlin.

[14] VdTÜV-Merkblatt Tankanlagen 960-2002/1: Richtlinie für die Herstellung von Flachboden-tanks mit besonderen Anforderungen. Dezember 2002.

9.2 Fachliteratur

[15] Bär, A.: Zur Berechnung von Aussteifungsringen dünnwandiger Stahlbehälter mit schiefem, hängendem Kreiskegelboden. Bautechnik (1983), Heft 9, S. 321-327. hier steht die von Schwaigerer falsch abgeschriebene mittragende Breite von 1,85 * √RT (!)

[16] Binder, B.: Stabilität einseitig offener, verankerter, außendruckbelasteter Kreiszylinderscha-len unter besonderer Berücksichtigung des Nachbeulverhaltens. Diss. Essen 1996. Stability of onesided open, anchored circular cylindrical shells under external pressure with special consideration of the post-buckling behaviour.

[17] Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. 14. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/Main, 1974. (neuere Auflage vorhanden)

[18] Calladine, C.R.: Theory of Shell Structures. Cambridge University Press 1983.

[19] Czerwenka, G.: Untersuchungen von dünnen kurzen Zylindern, die durch Ring-Kleinstprofil enger und mittlerer Teilung verstärkt sind und unter Manteldruck stehen. Z. Flugwiss. 9 (1961), Heft 6, S. 163-190.

[20] Dinkler, D., Pontow, J.: Imperfektionsempfindlichkeit und Grenzlasten von Schalentrag-werken. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 694-700.

[21] Esslinger, M.: Hochgeschwindigkeitsaufnahmen vom Beulvorgang dünnwandiger, axialbe-lasteter Zylinder. Stahlbau 39 (1970), 73-76.

[22] Eßlinger, M., Ahmed, S.R., Schroeder, H.-H.: Stationäre Windbelastung offener und ge-schlossener kreiszylindrischer Silos. Stahlbau 40 (1971), Heft 12, S. 361-368.



[23] Feifel, E., Saal, H.: Tragverhalten axial belasteter Stutzen in Kreiszylinderschalen unter Be-rücksichtigung geometrischer und werkstofflicher Nichtlinearitäten. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 701-707.

[24] Feifel, E.: Kreiszylinderschalen unter Einwirkung von Momenten und radialen Einzellasten. Diss. Karlsruhe 2007.

[25] Flügge, W.: Die Stabilität der Kreiszylinderschale. Ingenieur-Archiv 3 (1932), 463-506.

[26] Flügge, W.: Statik und Dynamik der Schalen. 3. Auflage, Springer-Verlag, Ber-lin/Göttingen/Heidelberg 1982.

[27] Gehrig, H.: Verankerungskräfte windbelasteter Kreiszylinderschalen. Stahlbau 71 (2002), Heft 1, S. 39–46.

[28] Girkmann, K.: Flächentragwerke. Dritte Auflage, Springer, Wien 1954. 6. Aufl. 1963, unveränderter Nachdruck der 5. Aufl.

[29] Greiner, R.: Zum Beulnachweis von Zylinderschalen unter Winddruck bei abgestuftem Wanddickenverlauf. Stahlbau 50 (1981), Heft 6, S. 176-179.

[30] Greiner, R.: Cylindrical shells: wind loading. Chapter 17 in C.J. Brown, J. Nielsen (eds): Si-los – Fundamentals of theory, behaviour and design. E&FN Spon, London 1998.

[31] Hampe, E.: Rotationssymmetrische Flächentragwerke. Einführung in das Tragverhalten. Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin 1981.

[32] Herber, K.-H.: Vorschlag von Berechnungsgrundlagen für Beul- und Traglasten von Scha-len. Stahlbau 35 (1966), Heft 5, S. 142-151.

[33] U. Hornung (2000), "Beulen von Tankbauwerken unter Außendruck", Diss. Universität Karlsruhe.

[34] Ibach, D.: Untersuchungen zur Windbelastung turmartiger Bauwerke. Vertieferarbeit bei Prof. Dr.-Ing. F. Mang, Versuchsanstalt für Stahl, Holz und Steine, Universität Karlsruhe, 1988. (Betreuer: Dipl.-Ing. Peter Knödel)

[35] Knödel, P., Maierhöfer, D.: Zur Stabilität von Zylindern unter Axiallast und Randmomen-ten. Stahlbau 58 (1989), H. 3, S. 81-86.

[36] Knödel, P.: Stabilitätsuntersuchungen an kreiszylindrischen stählernen Siloschüssen. Disser-tation, Universität Karlsruhe 1995.

[37] Knoedel, P., Ummenhofer, T., Schulz, U.: On the Modelling of Different Types of Imperfec-tions in Silo Shells. EUROMECH Colloquium 317, University of Liverpool, 21.-23. March 1994. Thin-Walled Structures 23 (1995), pp. 283-293.

[38] Knoedel, P., Ummenhofer, T.: Substitute Imperfections for the Prediction of Buckling Loads in Shell Design. Proceedings, Imperfections in Metal Silos - Measurement, Characterisation and Strength Analysis, pp. 87-101. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working Group 3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96.

[39] Knödel, P.: Lehrmaterialien zur Vorlesung Behälterbau an der Fachhochschule Karlsruhe, erreichbar unter www.peterknoedel.de/lehre/lehre.htm, von März 2003 bis Januar 2006 lau-fend aktualisiert. L_Wind_050925, Lasten aus Wind, 7 Seiten. FEM_05-09-25, Finite Elemente Methode (FEM); Bestimmung sinnvoller Elementgrößen, mit Übungsaufgaben.



Projekte P_Baurecht_NRW_05-04-02, Technisches Baurecht NRW am Beispiel eines Silos, 15 Seiten. Projekte P_FEM_aussen_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder unter Außendruck, 7 Seiten. Projekte P_FEM_axial_05-09-25, FEM-Beullasten, Zylinder unter Axiallast, 6 Seiten. Projekte P_Karman_11-03-15, Karmansche Wirbel, 4 Seiten.

[40] Knoedel, P., Ummenhofer, Th.: Design of Squat Steel Tanks with R/T > 5000. TP056 in Motro, R. (ed.): Proc., IASS Symposium: Shell and Spatial Structures from Mod-els to Realization, Montpellier, 20-24 September 2004.

[41] Knödel, P., Ummenhofer, Th.: Ankerkräfte bei kurzen Zylinderschalen. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 723-728.

[42] Knödel, P.: Schweißgerechtes Konstruieren an ausgewählten Beispielen. Vortrag an der SL-Eslohe am 26.10.2006, herunterladbar unter www.peterknoedel.de.

[43] Knoedel, P.: Recent Silo Codes – and still Structural Failure? pp 113-122 in: Chen, J.F., Ooi, J.Y., Teng, J.G. (eds): Structures and Granular Solids – From Scientific Principles to Engineering Applications. An international conference in celebration of the 60th birthday of Prof. J. Michael Rotter, The Royal Society of Edinburgh, Scotland, UK, 1-2 July 2008. Taylor & Francis Group, London 2008. (invited lecture)

[44] Knoedel, P.: Stability of a Thin-Walled Silo Hopper – Case Study. International Workshop on Thermal Forming and Welding Distortion, Bremen, April 06-07, 2011.

[45] Kollár, L., Dulácska, E: Schalenbeulung. Theorie und Ergebnisse der Stabilität gekrümmter Flächentragwerke. Werner-Verlag, Düsseldorf 1975.

[46] Kotan, E.: Auswirkungen unplanmäßiger Ovalisierungen bei zylindrischen Behältern. Dip-lomarbeit am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau, Universität Karlsruhe 1994.

[47] Krupka, V. (ed): Proc., Int. Conf. Design, Inspection, Maintenance and Operation of Cylin-drical Steel Tanks and Pipelines, Prague, Czech Republic, 8.-11. Oct. 2003.

[48] Lorenz, R.: Achsensymmetrische Verzerrungen in dünnwandigen Hohlzylindern. Z-VDI 52 (1908), 1706-1713.

[49] Nölle, H.: Schwingungsverhalten abgespannter Maste in böigem Wind. Dissertation Karls-ruhe 1991.

[50] Peil, U., Nölle, H.: Ermittlung der Lebensdauer hoher windbeanspruchter Bauwerke. Bauin-genieur 70 (1995).

[51] Petersen, Chr.: Stahlbau, 3. überarbeitete und erweiterte Auflage, 2. durchgesehener Nach-druck. Vieweg, Braunschweig 1997.

[52] Rotter, J.M.: Buckling of shallow conical shell roofs for small diameter tanks and silos. Proc., International conference on design, inspection and maintenance of cylindrical steel tanks and pipelines, Prague, Czech Republic, Oct 9-11th 2003, pp 169-175.

[53] Ruscheweyh, H.: Dynamische Windwirkung an Bauwerken. Bauverlag GmbH, Berlin 1982. Band 1: Grundlagen. Band 2: Praktische Anwendungen.

[54] Saal, H.: Persönliche Mitteilung an P. Knödel. 03.06.2008.

[55] H. Schmidt, B. Binder, H. Lange (1998), "Postbuckling strength design of open thin-walled cylindrical tanks under wind load", Thin-Walled Structures (1998) 203-220.



[56] Schmidt, H., Hautala, K.T.: Beulstabilität axialgedrückter Kreiszylinderschalen aus austeni-tischen nichtrostenden Stählen bei normalen und erhöhten Temperaturen. Bauingenieur Band 76 (2001), Heft 10, S. 464–473.

[57] W. Schneider (2004), "Konsistente geometrische Ersatzimperfektionen für den numerisch gestützten Beulsicherheitsnachweis axial gedrückter Schalen", Stahlbau 73 (2004), Heft 4.

[58] Schneider, W.: Die „ungünstigste“ Imperfektionsform bei stählernen Schalentragwerken – eine Fiktion? Submitted to Bauingenieur 79 (2004) - cited after [57].

[59] Schneider, W.: Ersatzimperfektionen für den numerischen Beulsicherheitsnachweis stähler-ner Schalentragwerke – State of the Art. Stahlbau 75 (2006), Heft 9, S. 754-760.

[60] Sockel, H.: Aerodynamik der Bauwerke. Vieweg, Braunschweig 1984.

[61] Timoshenko, S.P.: Einige Stabilitätsprobleme der Elastizitätstheorie. Zeitschrift für Mathe-matik und Physik 58 (1910), S. 337-385.

[62] Ummenhofer, T.: Stabilitätsverhalten imperfekter zylindrischer Stahlsiloschalen – experi-mentelle und theoretische Untersuchungen. Dissertation Universität Karlsruhe 1996.

[63] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (1996), "Typical Imperfections of Steel Silo Shells in Civil Engineering", Proc., Imperfections in Metal Silos – Measurement, Characterisation and Strength Analysis, pp. 103-118. BRITE/EURAM concerted action CA-Silo Working Group 3: Metal Silo Structures. International Workshop, INSA, Lyon, 19.04.96.

[64] Th. Ummenhofer, P. Knoedel (2000), "Modelling of Boundary Conditions for Cylindrical Steel Structures in Natural Wind", Paper No. 57 in M. Papadrakakis, A. Samartin, E. Onate (eds.): Proc., Fourth Int. Coll. on Computational Methods for Shell and Spatial Structures IASS-IACM, June 4-7, 2000, Chania-Crete, Greece.

[65] Van Ommen, J.: Stand der Normung für Flachbodentanks für Lagerung bei Umgebungstem-peratur. Technische Überwachung Band 46 (2005), Nr. 4 – April, S. 26-27. Anmerkung: Hinsichtlich der nicht-mehr-Gültigkeit von DIN 4119 irrt Herr van Ommen: in der LTB BW 2009 ist DIN 4119 Teil 1 (1979) und Teil 2 (1980) immer noch uneingeschränkt aufgeführt. (aber das ist vielleicht ein Problem der unterschiedlichen Weltsicht von Bauingenieuren und Maschinenbauern)

9.3 Sonstiges

[66] N.N.: Strömungsmechanik in der Mathematischen Modellierung; Proseminar im WS 2005/06, Universität Stuttgart. (ohne Verfasser) www.mathlab.de/mathematik/seminare/stroemungsmechanik/index.html (12.03.2011)

[67] Windtechnologische Gesellschaft e.V., Aachen http://www.wtg-dach.org/index.php?id=205 (15.03.2011)

[68] http://de.wikipedia.org (verschiedene Daten zu Personen))

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