WIPF SCHE FORMELSAMMLUNG - Lernen INTERAKTIV

Verfasser: Wipf Mario

Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen

Fach: Maschinendynamik

Umfang: Hauptstudium

Fassung vom: 04.10.13

WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG

Maschinen- dynamik

Formelsammlung: M.Wipf Thema: Fachbereich:

Seite 3 04.10.13

Maschinendynamik

Harmonische Analyse in der Maschinenmechanik

Einführung in die Schwingungslehre

∑−

=⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+=

1

10

2sin2cos)(N

nnn t

TnBt

TnAAtF ππ Merke: Diese Darstellung kann als eine

Summenschreibweise der altbekannten Fourierreihe betrachtet werden

( ) ( )∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=

12

0

12

0

cos12cos1 N

i

N

iin i

NniF

Nt

TniF

NA ππ

( ) ( )∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=

12

0

12

0

sin12sin1 N

i

N

iin i

NniF

Nt

TniF

NB ππ

( )∑−

=

⋅=12

00 2

1 N

iiF

NA

Pi= 3,14159265N= 6 An Bn A0n= 1T= 6,28318531

i F(i)0 0,5 0 0,5 0 0,51 0,33 0,523598776 0,285788383 0,165 0,332 0,19 1,047197551 0,095 0,164544827 0,193 1 1,570796327 6,12574E-17 1 14 1,54 2,094395102 -0,77 1,333679122 1,545 0,67 2,617993878 -0,580237021 0,335 0,676 -0,5 3,141592654 0,5 -6,12574E-17 -0,57 -0,67 3,665191429 0,580237021 0,335 -0,678 -0,54 4,188790205 0,27 0,467653718 -0,549 -1 4,71238898 1,83772E-16 1 -1

10 -1,19 5,235987756 -0,595 1,030570231 -1,1911 -0,33 5,759586532 -0,285788383 0,165 -0,33

1,9984E-15 5,996447897 4,996E-16

Divided by N= 6 An= 3,33067E-16 Bn= 0,999407983 Divided by 2N= 12 4,16334E-17

F(T)= 0,908759107 t= 2

Cn= 0,999407983 Phin= 3E-16 ° 1

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12

Reihe1

iNn ⋅⋅π ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πcos ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πsin

∑−

=⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+=

1

10

2s in2c o s)(N

nnn t

TnBt

TnAAtF ππ

( )iF

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅+= nn t

TnCAtF ϕπ2sin)( 0 T

n⋅⋅ π2

Merke: Für eine effiziente Erstellung der entsprechenden Summanden ist es von Vorteil, sich eine Excel-Tabelle, wie die links abgebildete zu generieren

Typische Bauformen einer Schwingung

( )( )( ) )(sinˆ)(

cosˆ)(sinˆ)(

2000

20

000

00

tytyty

tytytyty

⋅−=+⋅⋅⋅−=

+⋅⋅⋅=+⋅⋅=

ωϕωω

ϕωωϕω

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tBtAty

tBtAtytBtAty

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

0000

0000

0000

sincos)(cossin)(sincos)(

ωωωωωωωω

ωωωω

ϕϕϕ

cossintan ==

BA

22ˆ BAy +=


Seite 4 04.10.13

Maschinendynamik

Harmonische Analyse in der Maschinenmechanik

Einführung in die Schwingungslehre

∑−

=⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+=

1

10

2sin2cos)(N

nnn t

TnBt

TnAAtF ππ

( ) ( )∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=

12

0

12

0

cos12cos1 N

i

N

iin i

NniF

Nt

TniF

NA ππ

( ) ( )∑∑−

=

−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅=

12

0

12

0

sin12sin1 N

i

N

iin i

NniF

Nt

TniF

NB ππ

( )∑−

=

⋅=12

00 2

1 N

iiF

NA

Pi= 3,14159265 i Auszuwertende Stelle (Teilung) F(i) bzw. F(t)N= 15n= 3 0 0 4,5 0 4,5 0 4,5T= 6,28318531 1 0,20943951 4,75317635 0,62831853 3,84540044 2,79384696 4,75317635

2 0,41887902 3,97650777 1,25663706 1,22880848 3,78188362 3,976507773 0,628318531 2,6465737 1,88495559 -0,81783625 2,51704116 2,64657374 0,837758041 1,54079352 2,51327412 -1,24652814 0,90565571 1,540793525 1,047197551 1,23205081 3,14159265 -1,23205081 6,9808E-16 1,232050816 1,256637061 1,80252419 3,76991118 -1,45827271 -1,05949714 1,802524197 1,466076572 2,97295562 4,39822972 -0,91869381 -2,82744882 2,972955628 1,675516082 4,37109428 5,02654825 1,35074242 -4,1571577 4,371094289 1,884955592 5,60984504 5,65486678 4,53845997 -3,29738418 5,60984504

10 2,094395102 6,23205081 6,28318531 6,23205081 -7,0622E-15 6,2320508111 2,303834613 5,82364262 6,91150384 4,71142585 3,42305125 5,8236426212 2,513274123 4,33860499 7,53982237 1,34070267 4,12625854 4,3386049913 2,722713633 2,28447648 8,1681409 -0,70594206 2,17266624 2,2844764814 2,932153143 0,47032725 8,79645943 -0,38050274 0,27645142 0,4703272515 3,141592654 -0,5 9,42477796 0,5 -1,8377E-16 -0,516 3,351032164 -0,51541222 10,0530965 0,41697725 0,3029517 -0,5154122217 3,560471674 0,17043855 10,681415 -0,05266841 -0,16209669 0,1704385518 3,769911184 1,20647999 11,3097336 0,37282282 -1,14743065 1,2064799919 3,979350695 2,22144235 11,9380521 1,79718462 -1,30573105 2,2214423520 4,188790205 2,76794919 12,5663706 2,76794919 -6,2733E-15 2,7679491921 4,398229715 2,43523994 13,1946891 1,97015049 1,43139812 2,4352399422 4,607669225 1,17399069 13,8230077 0,36278307 1,1165315 1,1739906923 4,817108736 -0,51804059 14,4513262 0,16008335 -0,49268588 -0,5180405924 5,026548246 -1,84760917 15,0796447 1,49474721 -1,08599742 -1,8476091725 5,235987756 -2,23205081 15,7079633 2,23205081 -1,3673E-15 -2,2320508126 5,445427266 -1,58587849 16,3362818 1,28300265 0,93215599 -1,5858784927 5,654866776 -0,19165867 16,9646003 0,05922579 0,18227823 -0,1916586728 5,864306287 1,5685772 17,5929189 0,48471701 -1,49180557 1,5685772

imax 29 6,073745797 3,29190862 18,2212374 2,66321002 -1,93493534 3,29190862

37,5 5 60Schrittweite (T/(imax+1)): 0,20943951 Divided by N An 2,5 Bn 0,33333333 A0 2

Cn 2,52212433

Phin(rad) 1,43824479 Phin° 82,4053566

Konzept:

1.) In der Spalte F sind ganzzahlig nummeriert die Messpunkte der Reihe nach aufgelistet2.) Nun muss die "Schrittweite" zwischen den einzelnen Messpunkten errechnet werden S=T/(imax+1) 3.) (Falls Funktion gegeben)In einem nächsten Schritt sind in Spalte G die Auswertepunkte aufzulisten jedes Feld errechnet sich aus dem Inhalt des direkt darüberliegenden plus eine Schrittweite4.) (Falls Funktion gegeben) Es soll nun in Spalte H die zu rekonstruierende Funktion in Abhängigkeit der entsprechenden Zelleninhalte aus Spalte H einzutragen

(Falls Messwerte gegeben) sollen diese direkt hier eingetragen werden5.) Nun ist der Quotient in Spalte J gemäss darüber stehender Formel zu bilden6.) Es können nun die Spalten L und N unter zuhilfenahme des in Punkt 5 errechneten Quotienten ermittelt werden7.) Nun soll die Summe der beiden zuletzt erstellten Spalten (L, N) gebildet werden8.) Diese Summe ist durch N zu dividieren9.) Durch verändern des Wertes n können nun die Frequenzabhängigen Anteile ermittelt werden10.) Die Koeffizienten sind gemäss dieser Formel zu verwenden (Achtung: Ausdruck in Klammern von Sin und Cos beachten!!!)

-

iNn ⋅⋅π ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πcos ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅ iNniF πsin

22 TNNT =⇒=

Periode wird in 2N gleiche Teile zerlegt. Dies bedeutet, wenn zwölf Teile vorhanden sind wird N=6 gesetztbzw. in diesem Beispiel 30Teile also N=15

∑ ∑

2.)

1.) 3.) 4.)5.) 6.) 6.)

7.)8.)

Merke: Um sinnvole Werte (Amplituden für Cos und Sin Terme) erhalten zu können muss die Auflösung bzw. die Anzahl Messpunkte entsprechend hoch gewählt werden.Es kann keine sinvolle Berechnung erfolgen, wenn überlagerte Oberwellen zwischen zwei Messpunken Nulldurchgänge haben, somit würden diese nicht berücksichtigt

9.)

∑−

=⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅+=

1

10

2sin2cos)(N

nnn t

TnBt

TnAAtF ππ10.)

)( tf

∑

f(t)=2+2*SIN(G7)+1/3*SIN(3*G7)+2,5*COS(3*G7)+1/8*SIN(6*G7)


Seite 5 04.10.13

Maschinendynamik

Längsschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)

Freie ungedämpfte Schwingung

FstatFFF

TF

GF

m

y

Für die Bewegung des Massenpunktes gilt allgemein:

D‘Alembertsche Trägheitskraft:

Federkraft dynamisch:

Federkraft statisch (fst steht für statische Auslenkung):

Gewichtskraft:

ymF ⋅=

ymFT ⋅=

ycFF ⋅=

stFstat fcF ⋅=

gmFG ⋅=

gmfcycymFFFF

F

st

GFstatFT

⋅−⋅+⋅+⋅=−++⇒

=∑

0

0

Da die Feder durch die Gewichtskraft statisch verlängert wird, gilt folgender Sachverhalt:

0=+⇒

⋅=⋅=

ymcy

fcgmF stG

Da es sich in der Oben aufgeführten Gleichung um eine DGL 2.Ordnung handelt ist bekannt dass:

Des weiteren wird im Skript hergeleitet, dass in diesem Fall für die Koeffizienten folgendes gilt:

Dies kann durch Einsetzen in die Gleichung in ihrer Grundform oder ihrer Ableitungen verifiziert werden

mc=0ω

( ) ( )tBtAty ⋅⋅+⋅⋅= 00 cossin)( ωω

0

0

ωvA = 0yB =

Merke:

- Eine Schwingung erfolgt immer um die statische Ruhelage

- Der Schwingungsvorgang wird nicht durch eine Vorspannung des elastischen Elementes beeinflusst (z.B. Gewichtskraft)

- Wird eine Schwingung auf die Null-Lage bezogen, dann brauchen Vorspannkräfte nicht berücksichtigt zu werden

-  Soll der Einfluss der mitschwingenden Federmasse berücksichtigt werden, so kann mit Faktoren hinreichend genau gerechnet werden

( ) ( ) ( ) Energiekinetische

0

Energiepot.

0 000 vyvyy ===Anfangsbedingungen


Seite 6 04.10.13

Maschinendynamik Freie ungedämpfte Schwingung

Längsschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)

y

l/2

F Ziel

Ziel dieses Beispieles ist es, die Eigenfrequenz eines beliebigen Balkens zu ermitteln. Da es sich hierbei ebenfalls um einen Feder-Masse-Oszillator handelt, wird diese identisch zum vorangehenden Beispiel ermittelt. Da diese kritische Frequenz von zwei Grössen abhängig ist (c,m) und die Masse bereits bekannt ist, soll nun die Federkonstante für den Biegebalken errechnet werden, um über diese wiederum auf die Resonanzfrequenz schliessen zu können.

Konzept

•  Zu Beginn muss die für die vorliegende Einspannsituation entsprechende Durchbiegung infolge angreifender Kraft ermittelt werden (für den vorliegenden Fall wäre dies):

•  Es kann nun gemäss unten stehender Beziehung die Federkonstante errechnet werden. Wobei anzumerken ist, dass es sich bei Ff um die angreifende Kraft handelt. Es kann demnach der oben ermittelte Term nach F aufgelöst und im unten stehenden mathematischen Zusammenhang eingefügt werden:

•  Um diese Federkonstante nun als konkreten Wert ermitteln zu können, muss vorab noch das Flächenträgheitsmoment (die Grösse des geometrischen Widerstandes gegen Verbiegung) errechnet werden. Dargestellt für den oben illustrierten Fall:

•  Da nun alle Grössen bekannt sind, kann die kritische Kreisfrequenz gemäss unten stehender Formel errechnet werden:

•  Über die bekannten mathematischen Zusammenhänge kann entsprechend auf verwandte Grössen geschlossen werden:

IElFy⋅⋅

⋅=48

3

yFc F= 3

48lIE ⋅⋅=

b

h

12

3hbI ⋅=

211101,2mNE ⋅=

mc=0ω ml

IE⋅⋅⋅= 3

48

Tfn πππω ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 222

3

48l

IEyF ⋅⋅⋅=⇒

Achtung: SI-Einheiten !!!

64

4 π⋅= dI

b

h

12

3hbI ⋅=


Seite 7 04.10.13


Drehschwingungen (Feder-Masse-Oszillator)

d

l

0J

ϕFM

ϕ⋅J

Ziel

Es soll die Kreisfrequenz dieses Feder-Masse-Drehschwingers eruiert werden. Vereinfachend wird hier das Massenträgheitsmoment der Welle vernachlässigt [Verdrehwinkel f(l) ], dies ist insofern zulässig als in praktischen Fällen der Wellendurchmesser im Vergleich zur Scheibe sehr dünn ist und dieser in der 4.Potenz in das MTM hineinverrechnet wird.

Konzept

•  Die angreifenden Momente an der Scheibe sind:

•  Durch aufstellen der Momentengleichung kann die unten aufgestellte Form erreicht werden, die wiederum die Gestalt einer DGL 2.Ordnung aufweist

•  Hieraus kann gemäss dem linearen Massefederoszillator auf die Kreisfrequenz geschlossen werden:

ϕ

ϕ

⋅=

⋅⋅=

0:omentTrägheitsm

:omentRückstellm

JMlIGM

T

PF ( ) GE

dI KreisP

⋅+⋅=

⋅=

ν

π

1232

4

210101,8mNGStahl ⋅=

0

:0

0

00

=⋅⋅

+

=⋅

+⋅

ϕϕ

ϕϕ

lJIG

JlIG

J

p

p

lJIG

Jc P

⋅⋅==00

ω

lIG

c p⋅=

l

Mathematisches Pendel

lg=ω

Merke: Beim mathematischen Pendel hat die Masse keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer bzw. die Eigenfrequenz

20 2

1 rmJ ⋅⋅=


Seite 8 04.10.13

Physisches Pendel

srgmJT⋅⋅

⋅= 02π


00 J

rgm s⋅⋅=ωsr

mJ ,0mrJJ sS ⋅+= 20

][tan:][.:

][.:2

20

mtrumSchwenkzenzutSchwerpunkdAbsrmkgtSchwerpunkbzglMTMJmkgtrumSchwenkzenbzglMTMJ

s

S ⋅

⋅

Feder-Masse (Rolle)-Oszillator yyy ,,

Ziel

Es soll die Resonanzfrequenz des obigen Schwingkreises eruiert werden.

Konzept

•  Es wird die Summe aller am System vorhanden Energien gebildet und konstant gesetzt

•  Mit dem Einsetzen der entsprechenden Gleichungen ergibt sich hieraus:

.,,, constEEE Federpottranskinrelrot =++

( )

( ) ( ) ( )

0

32

23:0

23

:02212

43

)('))(('))((.21

43

.21

43

.21

42

4

.21

21

221

.21

21

21

2

22

'22

222

2222

222

=⋅⋅⋅+

=⋅+⋅

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅=′=′⋅+⋅′

=⋅+⋅

=⋅++

=⋅+⋅+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⋅

=⋅+⋅+⋅

ymcy

mycym

yyycyym

xhxhgxhgconstycmy

constycmy

constycymym

constycymryrm

constycvmJ

ω

ω

ry=ω yv =

2

2mrJWalze =


Seite 9 04.10.13

Berücksichtigung der Federmasse


Fm m

Fers mmm41+=

2Fm m

2Fm

Fers mmm21+=

Konzept: Gemäss dem bekannten Feder-Masse-Schwinger kann nun die Masse durch eine Ersatzmasse ersetzt werden, welche das Eigengewicht der Feder berücksichtigt. Hierbei ist zu erwähnen, dass vernünftige Ergebnisse nur dann erzielt werden können, wenn die Masse der Feder die eigentliche Masse nicht übersteigt.

mc=0ω

Kombinationen von Federn

c1

c2

c1 c2

Serieschaltungen Parallelschaltungen

ners cccc1...111

21

+++= ners cccc +++= ...2121

21

cccccers +⋅=

Merke: Beide Federn gleiche Auslenkung è Parallelschaltung

Beide Federn gleiche Kraft è Serieschaltung

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅

⋅⋅=Fmml

IE

21

483

0ω

!!!

Achtung!!!

64

4 π⋅= dI

b

h

12

3hbI ⋅=

Achtung: Dieses FTM-Moment und nicht das polare verwenden

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅

⋅⋅=Fmml

IE

41

33

0ω

!!!


Seite 10 04.10.13



Seite 11 04.10.13

Freie gedämpfte Schwingung

Maschinendynamik Freie gedämpfte Schwingung

portional)igkeitspro(geschwindxkFD ⋅=

mc=0ω

δ

mk⋅

=2

δ

Der Dämpfungsgrad wird als praktisch wichtigster Begriff eingeführt. Mittels diesem können einzelne Fälle unterschieden werden:

0ωδϑ =

Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

20

220 1 ϑωδωω −⋅=−=d

Logarithmisches Dekrement:

2122

ϑϑπ

ωπδδ

−⋅⋅=⋅⋅=⋅=Λ

ddT

02 20 =⋅+⋅⋅+ yyy ωδ

FallherAperiodisc1GrenzfallherAperiodisc1FallerPeriodisch1

>=<

ϑϑϑ

Homogene DGL eines Feder-Masse-Schwingers mit Geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung

0=⋅+⋅+⋅ ycykym 0=⋅+⋅+ ymcy

mky

Die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung lauete:

Weiter wird der Abklingkoeffizient mit der Dämpfungskonstanten k definiert:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡s1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡s1 Hinweis: Der Abklingkoeffizient beschreibt

die Abnahme der Amplituden der Schwingung

Zusammenhang Eigenkreisfrequenz gedämpft / ungedämpft und Dämpfungsgrad

122

0

220

2 =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒−= ϑ

ωωδωω d

d

2

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωωd

2ϑ1

1 Hinweis: Aus diesem, über eine Kreisfunktion des mit Radius eins gegebenen Kreises, wird ersichtlich, dass für kleine Werte des Dämpfungsgrades die Kreisfrequenz des gedämpften Systems nicht gross von der, des ungedämpften Systems, abweicht.

Nächste Seite [ ]−

220 dωδω +=


Seite 12 04.10.13


Periodischer Fall 0=ϑ( ) ( )tBtAy ⋅⋅+⋅⋅= 00 cossin ωω

( )ϕω +⋅⋅= tyy 0sinˆ

10 <<ϑ nur sehr geringe Dämpfung vorhanden

mc

mk =<⋅

= 02:geltees ωδ

( ) ( )[ ]tBtAex ddt ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− ωωδ sincos

( )ϕωδ +⋅⋅⋅= ⋅− txex dt sinˆ

20

220 1: ϑωδωω −⋅=−=dwobei

1=ϑ

( )tCCey t ⋅+⋅= ⋅−21

δ

1>ϑ

( ) ( ) tt eCeCy ⋅+−⋅−− ⋅+⋅= κδκδ21

0ωδϑ =

Aperiodischer Grenzfall

Aperiodischer Fall

( )212 CCtCey t +⋅−⋅⋅−⋅= ⋅− δδδ

Unterscheidung der Bauform der Lösungsgleichung in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad

( ) ( )tBtAy ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 0000 sincos ωωωω

( )ϕωω +⋅⋅⋅= tyy 00 cosˆ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⋅⋅⋅=

2sinˆ 00

πϕωω ty

( )ϕωω +⋅⋅⋅−= tyy 020 sinˆ ( )ty⋅−= 2

0ω

BA=ϕtan

22ˆ BAy +=

1:geltees 0 =⇒= ϑωδ

( ) tt eCtCCey ⋅−⋅− ⋅+⋅+⋅⋅−= δδδ 221

( ) ( ) 000für 0 == yundyy 02

01

yCyC⋅=

=δ

( ) ( ) 000für 0 == yundyy 0

0

yB

yA

d

⋅=

=

ωδs t

e i

g e

n d

e r

D ä

m p

f u

n g

s g r

a d

( ) ( ) 000für 0 == yundyy

02

01

2

2

yC

yC

⋅⋅−=

⋅⋅+=

κκδκκδ

0:geltees ωδ >20

2 ωδκ −=

( ) ( ) teyty ⋅−−⋅⋅+⋅= κδ

κκδ

20

Für ist das zweite Glied vernachlässigbar klein und es kann vereinfacht werden:

10 >⋅tω


Seite 13 04.10.13

2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

0∈y

2∈y4∈y

4∈y6∈y 8∈y

10∈y

1∈y3∈y

( )Perioden6z =⋅ zTd

Logarithmisches Dekrement


( )d

zn

n

d

Tyy

z⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

−⋅⋅=⋅⋅=Λ

⋅+∈

∈ δϑϑπ

ωπδ

22

ln1122

[ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

∈

sSystemsgedämpftendesenzKreisfrequ

sSystemsgedämpftendesuerPeriodendaTnStelleanertFunktionswy

PeriodenAnzahlz

d

d

n

1:

::

][:

ω

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅=

⇓

⋅+∈

∈

zn

n

d yy

Tz 2

ln1δ

Die Dämpfung des Systems errechnet sich:

Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems:

dd T

πω ⋅= 2

0=⋅+⋅+⋅ ycykym

Differentialgleichungen lösen mit CAS (TI-89)

0=⋅+⋅+ ymcy

mky

Es sei eine homogene Differentialgleichung von folgender Form gegeben:

Für aufwändige Terme von k und c ist sie in die Normalform zu überführen:

Und kann wie folgt in den Taschenrechner (TI-89) eingegeben werden:

deSolve(m*y‘‘+k*y‘+c*y=0,t,y)

Sind des weiteren Randbedingungen definiert und Werte für k und c bekannt, so wird die Eingabe erweitert zu:

deSolve(m*y‘‘+k*y‘+c*y=0 and y‘(0)=0 and y(0)=y0,t,y) | m=5 and c=6 and k=7

ny∈

2nz =


Seite 14 04.10.13

Maschinendynamik Gedämpfte Schwingung

2GF

1GF

FF

DF

ϕTrägheitM

ϕ sin⋅⋅=⋅= lkxkFD ϕϕϕ cossincos 2 ⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅= lkxklFM DD

Das Moment verursacht durch die Dämpfung errechnet sich wie folgt:

Das Moment verursacht durch die Federkraft wobei hier zu beachten ist, dass zwei Federn vorhanden sind (daher Faktor zwei):

ϕsin2

22 ⋅⋅⋅=⋅⋅= lcxcFF ϕϕϕ cossin2

cos2

2

⋅⋅⋅=⋅⋅= lclFM FF

In vertikaler Richtung greifen zwei Momente in folge der an den beiden Punktmassen wirkenden Gewichtskräfte an:

gmgmFG ⋅+⋅= 2112 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

2sinsin

2sin 2

12112mmlglgmlgmMG ϕϕϕ

Um das Trägheitsmoment errechnen zu können muss zuerst das MTM des exzentrischen(mit Satz vom Steiner aus Rotationsachse rechnen) Stabes und das der Punktmasse gerechnet werden.

ϕ⋅= ersTrägheit JM

( )212

21

22

22

222

2

222

2

211

331

31

123

12212

mmlJJJ

mlmllmmllmJ

lmJ

ers +⋅⋅⋅=+=

⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⋅=

⋅= Satz von Steiner

Es kann nun aufgrund der in der Graphik dargestellten Pfeilrichtungen das Momentengleichgewicht erstellt werden:

∑ +++= GDFTrM MMMM0

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅

2sincossincossin

42

12

2 mmlglklcJers ϕϕϕϕϕϕ

Für kleine Auslenkungen also kleine Phi kann sin Phi =Phi und cos Phi =1 gesetzt werden

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

222

12

2 mmlglklcJers ϕϕϕϕ

Es wird nun durch das Ersatzmassenträgheitsmoment dividiert. Dieses wird jetzt auch effektiv angeschrieben:

( )( )

( ) 032

23333

21

21

21

=⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+ ϕϕϕ

mmlmmglc

mmk

( ) ( ) ( ) 033

32

3

323

2121

21

21

=⋅+⋅⋅+

+⋅⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅⋅

⋅+⋅+⋅⋅

⋅+ ϕϕϕϕ mmk

mml

mmg

mmc

20ωδ⋅2

Beispiel eines Feder-Dämpfer-pendels

Hinweis: Hier kommt die Formel für einen dünnen Stab zum Zug. Der zweite Summand ist für die Verschiebung des Stabes aus der Schwerpunktsachse zuständig (Satz von Steiner)


Seite 15 04.10.13

Maschinendynamik Reibungsformen

Formen der Reibung

- Coulomb‘sche Reibung

Flüssige Reibung (im laminaren Bereich)

- Flüssige Reibung (im turbulenten Bereich)

yyk

yyFF nD

⋅=⋅⋅= µ y

+F

−F

ykFD ⋅=

y

DF

DF

yyykFD

⋅⋅= 2

νlw ⋅=

>

Re

2320Rewennturbulent,

y

DF

νlw ⋅=

<

Re

2320Rewennlaminar,


Seite 16 04.10.13

Achtung: Gemäss Skript soll diese Formel nur Gültigkeit haben für kleine Werte von Theta

Federkrafterregung

Maschinendynamik

12

0

22

0

1

21

1ˆV

Nry ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

ωωϑ

ωω

( )[m]egungErregerbewderRadius:r

ktionErregerfun:tonungsfunktiVergrösser:V

winkelNullphasen:equenzResonanzfr:

SchwingunggedämpftenderenzEigenfrequ:ungedämpftfrequenzEigenkreis:

nzreisfreque /ErregerkenzKreisfrequ aktuelle:plitudeResonanzam:ˆ

1

d

0

η

ϕωωωω

r

y

2

12

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒ωω

ϑ

2

0

0

1

2arctan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

ωωωωϑ

ϕ

Merke: Die Resonanzfrequenz zeichnet sich dadurch aus, dass sich an dieser Stelle ein Amplitudenmaximum einstellt. Der letzte Formelausdruck wurde aus der Maximumssuche (Ableitung=0) ermittelt

Erzwungene Schwingung (Federkrafterregt)

( ) ( )trt ⋅⋅= ωη sin

( )( ) 0sin =⋅⋅−+⋅+⋅ trycykym ω

( )tryyy ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ωωωδ sin2 20

20

( )trmcy

mcy

mky ⋅⋅⋅=+⋅+ ωsin

Die Phasenverschiebung in Funktion von der Erregerkreisfrequenz ergibt (Phasengang):

Die Amplitude bezogen auf den Erregerradius und die Resonanzfrequenz (Frequenzgang) (Vergrösserungsfunktion V1) y-Dach ist der Betrag der Amplitude, die sich im eingeschwungenen Zustand einstellen wird

Siehe nächste Seite

Bewegt sich nun das System im Resonanzbereich d.h. Dann kann der obige Ausdruck vereinfacht werden zu: 0ωω =

ϑωω ⋅=

→ 21ˆ

lim0 ry

Die Resonanzfrequenz berechnet sich wie folgt:

2

0

21 ϑωω ⋅−=r

(2)

(1)

Hinweis:Die Resonanzamplitude gewinnt man durch einsetzen des errechneten Quotienten in Gleichung (2)

0ωωrDurch Einsetzen von (3) in (2) erhält man:

(3)

2121ˆ

ϑϑ −⋅⋅=

ry

121 2 <<⋅

= ϑϑwenn

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

Merke: Die Federanteile müssen unbedingt als Differenz vom Weg der Masse und demjenigen der Erregung formuliert werden.(Eingang – Ausgang)

Hinweis: Diese Funktion gibt an um wie viel die Masse gegenüber der Erregung phasenverschoben ist.

Die Lösungsfunktion setzt sich zusammen aus einem Lösungsanteil der homogenen DGL (zuvor behandelt) und einem partikulären Anteil:

ph yyy +=( )ϕω −⋅⋅= tyy ep sinˆ

( )SchwingunggedämpftesiehevonabhängigBauform ϑhy

2

0

12

1

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒<<

ωω

ϑe

V

!

220

2arctanωωωδϕ

−⋅⋅=


Seite 17 04.10.13

1 2 3 4

w

w0

1

2

3

4

5

6

ymr

1 2 3 4

w

w0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ymr

Maschinendynamik

2=ϑ

8,1=ϑ6,1=ϑ

4,1=ϑ

2,1=ϑ

1=ϑ

8,0=ϑ 6,0=ϑ

4,0=ϑ

2,0=ϑ

0=ϑ

0=ϑ

1,0=ϑ

2,0=ϑ

3,0=ϑ

4,0=ϑ5,0=ϑ

Frequenzgang bei Federkrafterregung



Seite 18 04.10.13

Frequenzgang bei Federkrafterregung

Maschinendynamik

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

=1/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)

we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1 1,0101 1,0093 1,0068 1,0028 0,9972 0,9901 0,9365 0,8638 0,7856 0,71070,2 1,0417 1,0381 1,0275 1,0106 0,9882 0,9615 0,8002 0,6507 0,5359 0,45080,3 1,0989 1,0895 1,0626 1,0218 0,9720 0,9174 0,6640 0,4958 0,3896 0,31900,4 1,1905 1,1695 1,1125 1,0336 0,9469 0,8621 0,5534 0,3933 0,3023 0,24470,5 1,3333 1,2883 1,1765 1,0412 0,9119 0,8000 0,4682 0,3234 0,2457 0,19780,6 1,5625 1,4630 1,2500 1,0381 0,8667 0,7353 0,4026 0,2735 0,2065 0,16570,7 1,9608 1,7188 1,3203 1,0176 0,8126 0,6711 0,3514 0,2364 0,1778 0,14250,8 2,7778 2,0761 1,3618 0,9753 0,7521 0,6098 0,3105 0,2077 0,1560 0,12490,9 5,2632 2,4566 1,3429 0,9119 0,6885 0,5525 0,2774 0,1851 0,1388 0,11111 50,0000 2,5000 1,2500 0,8333 0,6250 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250 0,1000

1,1 4,7619 2,0511 1,1053 0,7482 0,5642 0,4525 0,2270 0,1514 0,1136 0,09091,2 2,2727 1,5357 0,9469 0,6641 0,5077 0,4098 0,2075 0,1386 0,1041 0,08331,3 1,4493 1,1574 0,8012 0,5862 0,4563 0,3717 0,1906 0,1277 0,0959 0,07681,4 1,0417 0,8998 0,6779 0,5168 0,4103 0,3378 0,1760 0,1183 0,0890 0,07131,5 0,8000 0,7212 0,5771 0,4563 0,3695 0,3077 0,1632 0,1101 0,0829 0,06641,6 0,6410 0,5931 0,4956 0,4042 0,3336 0,2809 0,1518 0,1028 0,0776 0,06221,7 0,5291 0,4979 0,4295 0,3596 0,3019 0,2571 0,1417 0,0964 0,0728 0,05851,8 0,4464 0,4250 0,3755 0,3214 0,2741 0,2358 0,1326 0,0907 0,0686 0,05511,9 0,3831 0,3679 0,3311 0,2885 0,2496 0,2169 0,1244 0,0855 0,0648 0,05212 0,3333 0,3221 0,2941 0,2603 0,2280 0,2000 0,1170 0,0808 0,0614 0,0494

2,1 0,2933 0,2847 0,2631 0,2358 0,2089 0,1848 0,1103 0,0766 0,0583 0,04702,2 0,2604 0,2538 0,2367 0,2146 0,1920 0,1712 0,1042 0,0727 0,0555 0,04482,3 0,2331 0,2279 0,2142 0,1960 0,1769 0,1590 0,0985 0,0692 0,0529 0,04272,4 0,2101 0,2059 0,1948 0,1797 0,1635 0,1479 0,0933 0,0659 0,0506 0,04092,5 0,1905 0,1871 0,1780 0,1654 0,1515 0,1379 0,0885 0,0629 0,0484 0,0391

ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d !


∞

0ωωe


Seite 19 04.10.13

Frequenzgang bei Massenkraft oder Fliehkrafterregung

Maschinendynamik

f

g

e

e

mMassedertSchwerpunk:

[m]standerpunktsabGesamtschw:SFliehkraftftErregerkra:F̂

s1 hzahlErregerdre:n

isfrequenzErregerkre:

S

e

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ω

ee n⋅⋅= πω 2

( )22 2ˆeeeee nememF ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= πω

( )tFycykymym eeef ⋅⋅=⋅+⋅+⋅+⋅ ωsinˆ

Bewegungsgleichung in vertikaler Richtung:

( )tmm

emymmcy

mmky e

ef

ee

efef

⋅⋅+⋅⋅=⋅

++⋅

++ ωω sin

2

Darstellung in Normalform:

( )tsyyy e ⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅+ ωωωδ sin2 220

Für die Koeffizienten der Normalform gilt unter Berücksichtigung der zuvor angeschriebenen Gleichung:

ef mmk+

=⋅δ2ef mm

c+

=20ωef

e

mmems

+⋅=

S ist der Abstand des Gesamtschwerpunktes Sg von dem Schwerpunkt S der Masse mf, wenn man den Drehpunkt der Scheibe aus Abb. 4.4 auf den Schwerpunkt der Masse mf legt.

ef

e

mmems

+⋅=

tot

e

ef

e

mm

mmm

es =

+=

eS gS fS

se

Die Lösung der oben angeschriebenen Differentialgleichung lautet:

( ) ( )ϕω −⋅⋅= tyty esinˆ22

0

2tane

e

ωωωδϕ

−⋅⋅= ( ) ( )2222

0

2

2ˆ

ee

esyωδωω

ω

⋅⋅+−

⋅=

Und bezogen auf den Schwerpunktsabstand s und die Erregerkreisfrequenz auf die Eigenkreisfrequenz:

2

0

0

1

2arctan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅=

ωωωωϑ

ϕe

e

2

0

22

0

2

0

21

ˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ωωϑ

ωω

ωω

ee

e

sy

Siehe nächste Seite

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

Die Resonanzfrequenz errechnet sich über die Extremalstellen der Funktion aus Gleichung (2) und es gilt demzufolge:

(2)

(1)

20 21

1ϑω

ω⋅−

=r(3)

Erzwungene Schwingung (Massenkrafterregt)

Achtung: me repräsentiert die Gesamtmasse, die häufig noch durch zwei dividiert werden muss für die Einzelmassen ! !

2

0

2

01

2

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⇒<<

ωω

ωω

ϑe

e

V

!

totef mmm =+

220

2arctane

e

ωωωδϕ

−⋅⋅=


Seite 20 04.10.13

Maschinendynamik

Die Resonanzamplituden können errechnet werden durch einsetzen des Quotienten aus (3) in (2) die ergibt:

2121ˆ

ϑϑ −⋅⋅=

syr

01 ωωϑ ≈⇒<< rfür

Es wird, wie bei der Federkrafterregung, die Vergrösserungsfunktion V3 definiert

2

0

22

0

2

0

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

ωωϑ

ωω

ωωe

2

013

ˆ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅+

=ωωe

fe

eV

emm

myV

Es wird des weiteren die Unwucht eingeführt:

iii rmU ⋅= Definition:Unwucht ist definiert als das Produkt aus einer Punktmasse und deren Abstand von der Drehachse

Die resultierende Fliehkraft einer rotierenden Punktmasse errechnet sich gemäss der folgenden Beziehung:

22 ωω ⋅=⋅⋅= iiii UrmF

Zur Kennzeichnung des Wuchtzustandes wird die massenunabhängige Exzentrizität eingeführt

mU

mrms uu =⋅=



Seite 21 04.10.13

we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,1 0,0101 0,0101 0,0101 0,0100 0,0100 0,0099 0,0094 0,0086 0,0079 0,00710,2 0,0417 0,0415 0,0411 0,0404 0,0395 0,0385 0,0320 0,0260 0,0214 0,01800,3 0,0989 0,0981 0,0956 0,0920 0,0875 0,0826 0,0598 0,0446 0,0351 0,02870,4 0,1905 0,1871 0,1780 0,1654 0,1515 0,1379 0,0885 0,0629 0,0484 0,03910,5 0,3333 0,3221 0,2941 0,2603 0,2280 0,2000 0,1170 0,0808 0,0614 0,04940,6 0,5625 0,5267 0,4500 0,3737 0,3120 0,2647 0,1449 0,0985 0,0743 0,05970,7 0,9608 0,8422 0,6469 0,4986 0,3982 0,3289 0,1722 0,1158 0,0871 0,06980,8 1,7778 1,3287 0,8716 0,6242 0,4813 0,3902 0,1987 0,1330 0,0998 0,07990,9 4,2632 1,9899 1,0878 0,7387 0,5577 0,4475 0,2247 0,1499 0,1125 0,09001 50,0000 2,5000 1,2500 0,8333 0,6250 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250 0,1000

1,1 5,7619 2,4818 1,3374 0,9053 0,6827 0,5475 0,2747 0,1832 0,1375 0,11001,2 3,2727 2,2115 1,3636 0,9564 0,7310 0,5902 0,2987 0,1996 0,1498 0,11991,3 2,4493 1,9560 1,3541 0,9907 0,7712 0,6283 0,3222 0,2158 0,1621 0,12981,4 2,0417 1,7635 1,3287 1,0130 0,8043 0,6622 0,3450 0,2318 0,1744 0,13971,5 1,8000 1,6227 1,2985 1,0267 0,8315 0,6923 0,3671 0,2476 0,1865 0,14951,6 1,6410 1,5182 1,2686 1,0348 0,8539 0,7191 0,3886 0,2632 0,1985 0,15921,7 1,5291 1,4388 1,2412 1,0392 0,8725 0,7429 0,4095 0,2786 0,2105 0,16901,8 1,4464 1,3770 1,2167 1,0412 0,8880 0,7642 0,4297 0,2937 0,2223 0,17861,9 1,3831 1,3280 1,1952 1,0417 0,9010 0,7831 0,4492 0,3087 0,2341 0,18822 1,3333 1,2883 1,1765 1,0412 0,9119 0,8000 0,4682 0,3234 0,2457 0,1978

2,1 1,2933 1,2557 1,1601 1,0401 0,9212 0,8152 0,4864 0,3378 0,2573 0,20732,2 1,2604 1,2286 1,1458 1,0386 0,9291 0,8288 0,5041 0,3521 0,2687 0,21672,3 1,2331 1,2057 1,1333 1,0370 0,9359 0,8410 0,5211 0,3661 0,2800 0,22612,4 1,2101 1,1862 1,1222 1,0353 0,9418 0,8521 0,5375 0,3798 0,2912 0,23542,5 1,1905 1,1695 1,1125 1,0336 0,9469 0,8621 0,5534 0,3933 0,3023 0,2447

Massenkraft- oder Fliehkrafterregung (Vergrösserungsfunktion V3)

Maschinendynamik

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

=$A2^2/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)

ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d !


∞

0ωωe


Seite 22 04.10.13

Durchlässigkeit, Schwingungsleitfähigkeit VD

Maschinendynamik Erzwungene Schwingung

Es wird der Begriff der Durchlässigkeit VD eingeführt. Dieser repräsentiert den Zusammenhang zwischen der Erregerkraft Fe und der, auf die Umgebung übertragenen, Kraft Fg

][gkeitDurchlässi:][Krafeübertragen:ˆ

[N]FliehkraftftErregerkra:F̂

s1 hzahlErregerdre:n

isfrequenzErregerkre:

e

e

−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

D

G

e

VNtF

ω

e

GD F

FV ˆˆ

=

Ein weiterer Zusammenhang wird in folgender Formel dargestellt (Durchlässigkeit):

2

0

21 41 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⋅=ωωϑ e

D VV

2

0

2

22

0

2

0

2

41

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

=

ωωϑ

ωω

ωωϑ

ee

e

DV

Die Phasenverschiebung von Erregerkraft zu der an die Umgebung übertragenen Kraft beträgt:

2

0

2

0

3

0

21

2arctan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=

ωωϑ

ωω

ωωϑ

ϕee

e

Anstelle von Durchlässigkeit wird auch vom Isolierfaktor i gesprochen:

DVi −=1e

G

FFˆˆ

1−=

2

0

2

1

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒<<

ωω

ϑe

DV

! Siehe nächste Seite

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

Merke: Mit einer kleinen Dämpfung ist keine bzw. nur eine schlechte Schwingungsisolierung realisierbar

Merke: i repräsentiert den prozentualen abgeschirmten Teil der Erregerschwingung, somit ist die Differenz zwischen 100 und i gleich dem effektiv weitergeleiteten Teil der Schwingung

V1: Definiert in Federkrafterregung

Merke: über die Eigenfrequenz ist die Federrate R bzw. die Federkonstante c errechenbar über die bekannte Beziehung

Merke: Soll bei einer bestimmten Dämpfung (Bsp.: 0,2) der Resonanzfall bei einer bestimmten Erregerfrequenz eintreten, so ist über die Graphik auf der Nachfolgeseite das Verhältniss von Erreger zu Eigenkreisfrequenz gleich 0,9(bei Dämpfungsgrad 0,2) und dementsprechend kann über diese Beziehung die Eigenkreisfrequenz bestimmt werden

mc=20ω


Seite 23 04.10.13

Durchlässigkeit, Schwingungsleitfähigkeit VD

Maschinendynamik Erzwungene Schwingung

=WURZEL(1+4*B$1^2*$A2^2)/WURZEL((1-$A2^2)^2+(2*B$1*$A2)^2)

we/wo 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 50 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,1 1,0101 1,0101 1,0100 1,0100 1,0098 1,0097 1,0087 1,0074 1,0061 1,00500,2 1,0417 1,0414 1,0406 1,0393 1,0376 1,0356 1,0248 1,0165 1,0112 1,00790,3 1,0989 1,0973 1,0927 1,0860 1,0781 1,0699 1,0372 1,0209 1,0130 1,00870,4 1,1905 1,1843 1,1681 1,1465 1,1243 1,1040 1,0441 1,0225 1,0134 1,00880,5 1,3333 1,3138 1,2671 1,2142 1,1678 1,1314 1,0468 1,0226 1,0131 1,00850,6 1,5625 1,5046 1,3865 1,2791 1,2015 1,1486 1,0468 1,0218 1,0125 1,00810,7 1,9608 1,7849 1,5132 1,3290 1,2201 1,1547 1,0447 1,0205 1,0116 1,00750,8 2,7778 2,1798 1,6169 1,3520 1,2216 1,1505 1,0411 1,0186 1,0105 1,00680,9 5,2632 2,6110 1,6548 1,3422 1,2070 1,1376 1,0364 1,0164 1,0092 1,00591 50,0000 2,6926 1,6008 1,3017 1,1792 1,1180 1,0308 1,0138 1,0078 1,0050

1,1 4,7619 2,2409 1,4724 1,2390 1,1420 1,0935 1,0243 1,0109 1,0061 1,00391,2 2,2727 1,7035 1,3127 1,1643 1,0990 1,0656 1,0172 1,0077 1,0044 1,00281,3 1,4493 1,3045 1,1560 1,0863 1,0531 1,0356 1,0095 1,0043 1,0024 1,00151,4 1,0417 1,0312 1,0179 1,0104 1,0066 1,0045 1,0012 1,0005 1,0003 1,00021,5 0,8000 0,8411 0,9015 0,9396 0,9608 0,9730 0,9925 0,9966 0,9981 0,99881,6 0,6410 0,7041 0,8049 0,8751 0,9168 0,9417 0,9833 0,9924 0,9957 0,99721,7 0,5291 0,6021 0,7250 0,8170 0,8750 0,9111 0,9738 0,9880 0,9932 0,99561,8 0,4464 0,5237 0,6584 0,7649 0,8356 0,8812 0,9640 0,9833 0,9905 0,99391,9 0,3831 0,4620 0,6024 0,7184 0,7987 0,8524 0,9539 0,9785 0,9877 0,99212 0,3333 0,4125 0,5549 0,6768 0,7643 0,8246 0,9436 0,9735 0,9848 0,9902

2,1 0,2933 0,3719 0,5143 0,6394 0,7323 0,7980 0,9331 0,9683 0,9818 0,98822,2 0,2604 0,3381 0,4792 0,6058 0,7025 0,7726 0,9224 0,9629 0,9786 0,98612,3 0,2331 0,3097 0,4486 0,5755 0,6747 0,7484 0,9116 0,9574 0,9753 0,98402,4 0,2101 0,2855 0,4218 0,5480 0,6488 0,7253 0,9008 0,9518 0,9719 0,98172,5 0,1905 0,2646 0,3980 0,5230 0,6247 0,7033 0,8898 0,9460 0,9684 0,9794

ϑs t e i g e n d e r D ä m p f u n g s g r a d

0ωωe!

∞

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

0

0,2

1

5

2

immer Verstärkung immer Dämpfung

Merke: Schwingisolierung erst ab diesem Bereich möglich


Seite 24 04.10.13

Energie und Lagrange

Maschinendynamik Energie und Lagrange

Die gesamte Energie setzt sich im Reibungsfreien System stets aus kinetischer und potentieller Energiezusammen:

pkges WWW +=Hierbei ist die kinetische Energie:

2

21 ymW ntranslatiok ⋅⋅=

und die potentielle Energie:

2

21

21

21 ycyycyFW

ntranslatiop ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=

2

21 ϕ⋅⋅= JW

rotationk

2

21 ϕ⋅⋅= cW

rotationp

Ist nun, wie oben erwähnt, das System nicht gedämpft oder erregt, dann kann geschrieben werden:

constycym =⋅⋅=⋅⋅ 22

21

21

Für konservative Systeme erhält man die Lagrange‘schen Gleichungen zweiter Art durch partielle Differentiation:

0=∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ii qL

qL

dtd

0=

∂∂−

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ii qL

qL

Merke: Die Koordinaten qk können Längen, Winkel, irgendwelche Verhältnisse usw. sein.

Betrachtung von Lagrange am Feder-Masse-Schwinger

Die Lagrange‘sche Funktion lautet mit den verallgemeinerten Koordinaten qi und den Freiheitsgraden f, dabei ist i=1…f:

( ) ( ) ( )fffpffk qqqqLqqWqqqqW ...;.........;... 11111 =−

22

21

21 ycymWWL pk ⋅⋅−⋅⋅=−= Merke: Hier gibt es nur einen Freiheitsgrad:

q=y

1.  Es sind die Zuordnungen der Freiheitsgrade zu den Systemparametern zu erstellen:

2.  Durch partielle Differentiation ist der erste Quotient zu bilden:

3.  Nun ist der oben aufgeführte Term gemäss der Grundformel nach der Zeit abzuleiten:

4.  Ebenso ist die Grundgleichung von Lagrange nach dem nicht abgeleiteten Freiheitsgrad qi abzuleiten:

5.  Die Einzelnen Terme gemäss der Grundgleichung nun wieder zusammengefügt ergeben:

ymymqL

i

⋅=⋅⋅⋅=∂∂ 2

21

yqyq =

=

( ) ymymdtd

qL

dtd

i

⋅=⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ycycycqL

i

⋅−=⋅⋅⋅−=⋅⋅−=∂∂ 2

21

21 2

( ) 00 =⋅−−⋅=∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂= ycym

qL

qL

dtd

ii

0=⋅+⇒ y

mcy

Achtung:Vorzeichen aus der Lagrange Gleichung berücksichtigen !!!


Seite 25 04.10.13

Beispiel zu Energie und Lagrange (über kombinierten aus Ansatz Translation + Rotation)


SJm,1l 2lS

1c 2c

1l 2l

Sϕ

1F2F

y

Konzept: In dieser Lösungsvariante wird ein kombinierter Ansatz aus Translationsbewegung des ganzen Balkens und Rotationsbewegung um den Balkenschwerpunkt zu Hilfe genommen. Es sind die potentiellen und kinetischen Energien unter Berücksichtigung dieses Ansatzes zu Hilfe zu ziehen.

Lösung:

1.  Es wird die kinetische Energie, wiederum zusammengesetzt aus Translation in vertikaler Richtung und Rotation um den Schwerpunkt aufgestellt:

2.  Das selbe wird nun auch für die potentielle Energie durchgeführt, hier wird erkennbar, das die Stauchungen bzw. die Dehnungen der Federn entsprechend den Längenverhältnissen der Hebel zum Ausdruck gebracht werden müssen:

3.  Der oben aufgeführte Ausdruck wird nun über die Längen und Winkelbeziehungen neu formuliert es ist anzumerken, dass hier vereinfachend die Winkelfunktionen ausser acht gelassen werden somit die resultierende Differentialgleichung aber nur als gute Näherung für kleine Winkel gelten wird:

4.  Nun wird die Lagrange Funktion gemäss Definition auf der Vorseite angewendet: Gemäss dem auf der Vorseite beschriebenen Beispiel wird nun vorgegangen wie folgt:

22

21

21 ϕ ⋅⋅+⋅⋅= sk JymW

222

2112211 2

121

21

21 ycycyFyFWp ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( )2222

1122

11

21

21 lyclycW

lyylyy

p ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅=⎭⎬⎫

⋅−=⋅+=

ϕϕϕϕ

( ) ( )2222

1122

21

21

21

21 lyclycJymWWL spk ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−= ϕϕϕ

myyL ⋅=∂∂

myyL

dtd ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

( ) ( )2211 lyclycyL ⋅−⋅+⋅+⋅−=∂∂ ϕϕ

( ) ( ) 022111 =⋅−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ lyclycycmy

yL

yL

dtd ϕϕ


Seite 26 04.10.13


Lösung:

5.  Der gleiche Ansatz hat nun auch für die zweite Systemvariablen (Phi) durchgeführt zu werden: Durch umformen der beiden zum Schluss erhaltenen Systemgleichungen (nach y und nach Phi) erhält man:

6.  Und diese überführt in Matrizenschreibweise ergibt demnach:

( ) ( )2222

1122

21

21

21

21 lyclycJymWWL spk ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−= ϕϕϕ

ϕϕ

⋅=∂∂

sJL

ϕϕ

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

sJL

dtd

( ) ( ) 222111 llycllycL ⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅−=∂∂ ϕϕϕ

( ) ( ) 0222111 =⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅=∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ llycllycJLL

dtd

s ϕϕϕϕϕ

( ) ( )( ) ( ) 0

0222

2112211

221121

=⋅⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅

=⋅⋅−⋅+⋅++⋅

ϕϕϕlclcylclcJ

lclcyccym

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

00

00

222

2112211

221121

qitsmatrixSteiffigkeqmatrixMassen

s

ylclclclclclcccy

Jm

ϕϕ


Seite 27 04.10.13

Maschinendynamik Torsionsschwingungen

Mehrmassenschwinger (Mehrfach besetzte Welle) Masseloser dünner Stab: (J=0)

Starre Scheibe; (l=0 bzw. c=unendlich)

Kombiniertes Stück:

Getriebepaarung:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛=

10

1

10

11pa IG

lcU

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

==101

212 ωJUUa

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅−⋅−

⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−==

p

pa

IGlJJ

IGl

cJJ

cUU 22

22

12

1

1

1

11

ωωωω

Beispiel Mehrmassenschwinger 1J 2J

c

0 1 2

Gesucht: Ua=?, Ub=?

Konzept:

1.  Es ist die Übertragungsfunktion der Starren Scheibe und des kombinierten Stückes aufzustellen:

2.  Um die Gesamtübertragungsfunktion bestimmen zu können, sind die einzelnen Matrizen in umgekehrter Reihenfolge in Matrizenmultiplikation miteinander zu verrechnen:

3.  Die Ausgangsgrösse z2 in Abhängigkeit von z0 lässt sich nun formulieren gemäss unten aufgelisteter Beziehung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=103,001

101

221 ωωJ

Ua⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−=

1,6015,01015,0

1,611

1

112

22

222

ωωωωc

JJ

cUb

NmckgmJkgmJ

1,6015,0

03,02

2

21

==

=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−−⋅

⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

⋅⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−=⋅=

222

2

222 002459,01610000074,0

163934,0004918,01103,001

1,6015,01015,0

1,611

ωωωω

ωωωabges UUU

02 zUz ges ⋅=

!!!umgekehrt!!!

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−==

iiiJJiUUa

22

12 '

01

ω

J

'J

'r

r

rri ':wobei =

1 2

1 2

1 2

1 2

Achtung Vorzeichen beachten !!!


Seite 28 04.10.13


Mehrmassenschwinger (Mit Verlauf der Eigenform)

l [m] d [m] J [kgm2] 1/c [m/N] 0-1 Ua 0 - 0,4 0

1-2 Ub 0,1 0,04 0 4,97359*10-6

2-3 Uc 0,3 0,05 0,9 6,11155*10-6

3-4 Ud 0,5 0,05 0,6 1,0060164*10-5

32

4dI KreisP⋅= π

210101,8mNGStahl ⋅=

pIGl

c ⋅=1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

=14,001

101

22 ωωJUa

0 1 2 3 4

0 100 300 500

aU bU cU dU

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛=

−

101097359,41

10

11 6

cUb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅−

⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−=

−

−

262

6

22 105004,519,0

1011155,61

1

11

ωωωωc

JJ

cUc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−⋅−

⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅−=

−

−

262

5

22 1011155,616,0

100060164,11

1

11

ωωωωc

JJ

cUd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅⋅=

2221

1211

uuuu

UUUUU abcdGesGemäss Randbedingungen ist u21=0 (Tabelle S.71)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅⋅−

=⋅⋅⋅= −22

10242111211

107904,759846910439,2 uuu

UUUUU abcdGes ωωω

( )0444,437053,638

0107904,759846910439,2

0

321

102421121

===⇒

=⋅+⋅−⋅⋅−

=−

xxx

u

CAS

ωωω

Dies sind die Eigenkreisfrequenzen des Gesamtsystems

Achtung Vorzeichen beachten !!!


Seite 29 04.10.13


Weiteres Vorgehen:

Es sollen nun die entstehenden Winkeldifferenzen zwischen Eingang und Ausgang (des Gesamtsystems) aufgrund der Superposition der einzelnen Winkelauslenkungen ermittelt werden.

Dazu muss in den zuvor aufgestellten Übertragungsmatrizen die jeweilige Frequenz (in diesem Fall zwei an der Zahl: 638 und 437 eingefügt werden)

Es wird nun willkürlich ein Eingangsspaltenvektor z0 angenommen mit Nullphase=1 und Nullmoment = 0, damit am Schluss aufgrund der resultierenden Phasenlage ein Verhältniss mit dem Eingang gebildet werden kann:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−

==19.7654201

14,001

44,437 2ωωaU

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⋅==9,76542

119.7654201

01

19.7654201

444,4370

001 MzUz a

ϕω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅==

−

9,76542619307,0

9,765421

101097359,41

444,4376

12 zUz b ω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅=⋅==

−

102636151511,0

9,76542619307,0

052541,01722221011155,61

444,4376

13 zUz c ω

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅=⋅==

−

0788.0881,0

102636151511,0

169489.01148141000601,11

444,4375

14 zUz d ω

Merke: Da wir als Randbedingung festgelegt haben, dass weder am Eingang noch am Ausgang ein Moment anliegen soll, muss dieser Wert zwingen wieder in der Grössenordnung von NULL zu liegen kommen, was aber aufgrund von Rundungsungenauigkeiten mit dem Taschenrechner nie exakt erreicht werden wird.

0 1 2 3 4

1 0,619

0151511

-0,881

Merke: Einzelne Punkte sind mit Geraden zu verbinden


Seite 30 04.10.13


Energiemethode von Rayleigh

∑

∑=

=

=

=

⋅

⋅⋅= ni

iii

ni

iii

ym

ymg

1

2

10ω

Konzept:

1.  Als erstes muss die für den Einspannfall der gegebenen Problemstellung zutreffende Biegelinie w(x) aus der entsprechenden Literatur herbeigezogen werden, oder aber selbst hergeleitet werden. Es handelt sich in diesem Beispiel um Folgenden mathematischen Zusammenhang

2.  In einem nächsten Schritt muss die gegebene Problemstellung diskretisiert werden. Sind mehrere Massen wirkend, so sind die Einzelformänderungen zu bestimmen. Das heisst es ist die Durchbiegung an mehreren Stellen aufgrund der Masse 1 zu ermitteln, danach die Durchbiegung an den selben Stellen wie zuvor, jedoch jetzt aber hervorgerufen durch die Masse zwei usw. Speziell muss hier auf die Indizes geachtet werden: 1. Index à der Ort der Formänderung 2. Index à der Ort des Kraftangriffes

3.  Nun resultiert die Gesamtdurchbiegung an den jeweiligen Stellen durch das Superpositionsprinzip der Einzelformänderungen an den gerade erwähnten Stellen gemäss unten aufgeführtem Zusammenhang:

4.  Die nun resultierende niedrigste Eigenfrequenz errechet sich gemäss folgendem Zusammenhang:

5.  Für den Fall von kontinuierlichen Lastverteilungen z.B. in Form eine Linienlast, kommt folgender Zusammenhang zu Zuge:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

⋅⋅⋅⋅⋅=

22

16 s

xsb

IExsbFxw

n

n

n

yyyy

yyyyyyyy

321

2322212

1312111

12111 yyy +=

22212 yyy +=

32313 yyy +=

21 nnn yyy +=

( )nn

nn

mymymymymymyg⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅= 2

2221

21

2211

......

+

=

( )

( )∫

∫

⋅=

⋅⋅=

dmxyW

dxIExMW

k

y

bp

2

2

21

21

k

p

WW

=0ω


Seite 31 04.10.13


Energiemethode von Rayleigh (Beispiel)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

22

16 s

xsb

IExsbFy

a b s

x

y

200 400 300

m1 m2

gmFmxmb

sx

sb

IExsbFy

⋅===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

2

22

12 2,03,0

16

gmFmxmb

sx

sb

IExsbFy

⋅===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

2

22

22 6,03,0

16

gmFmxmb

sx

sb

IExsbFy

⋅===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

1

22

11 2,07,0

16

gmFmxmb

sx

sb

IExsbFy

⋅===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

1

22

21 3,02,0

16

Auslenkungen infolge des Kraftangriffes durch die Masse 2

Auslenkungen infolge des Kraftangriffes durch die Masse 1

m1 m2

m1 m2

m1 m2

Die die Biegelinie nur korrekte Werte liefert für x-Werte bis zum Kraftangriff, muss für die Berechnung der Durchbiegung hinter der Masse 1 die Laufvariable x von der Gegenseite her laufen gelassen werden. Dementsprechend müssen auch a und b miteinander vertauscht werden

m1 m2

b

x

b

x

b

b

x

x

x

y

x

y

x

y

x

y

y12

y22

y11

y21

x

y


Seite 32 04.10.13


Biegeschwingungen mit Übertragungsmatrizen

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

IEm

IEmmm

IEIE

IEIE

Uem

61

2

100

210

621

232222

2

32

ωωωω

m1

211101,2

04,02

mNE

mdm

⋅=

==

Konzept:

1.  In einem ersten Schritt muss das vorliegende System diskretisiert werden. Dies muss so geschehen, dass entweder nur Balkenstücke m=0 vorliegen, oder nur Massenelemente l=0 vorliegen, oder nur kombinierte Elemente m,l !=0. Angewandt auf den obigen Fall, ist es nun am einfachsten, das System in ein Kombiniertes Element und ein Balkenstück aufzuteilen:

2.  Nun müssen die Zustandsvektoren am Anfang des Systems und am Schluss des Systems aufgestellt werden. Dies geschieht unabhängig von der Anzahl der Elemente, in die das Gesamtsystem aufgeteilt wird. Es müssen immer nur der Zustandsvektor am linken und derjenige am rechten Rand aufgestellt werden.

3.  Durch Einsetzen der Randbedingungen von Seite 92 oder bekannt aus der technischen Mechanik ergeben sich für den obigen Fall folgende beiden Vektoren.

4.  Es müssen nun die beiden Teilübertragungsmatrizen aufgestellt werden, welche danach in umgekehrter Reihenfolge (von rechts nach links) miteinander multipliziert werden.

0 1 2

0 1 1 2

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

0

0

0

0

0

q

b

FM

w

zϕ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

2

2

2

2

2

q

b

FM

w

zϕ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

00 0

0

qF

zϕ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

22 0

0

qF

zϕ Merke: Bei den Randbedingungen

sind immer zwei von insgesamt vier Merkmalen gleich Null

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

IEm

IEmmm

IEIE

IEIE

U

61

2

100

210

621

232222

2

32

01

ωωωω

Merke: Da von Punkt Null nach eins ein kombiniertes Stück gewählt wurde, bleiben in der Übertragungsmatrix sämtliche Parameter erhalten


Seite 33 04.10.13


Konzept:

5.  Die Übertragungsmatrix für Das Balkenstück:

6.  Die Gesamtübertragungsmatrix errechnet sich nun wie folgt:

7.  Die obige Matrizenrechnung mit dem Taschenrechner, dem CAS oder sonstigen Hilfsmitteln ausgeführt ergibt:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=

01000

100

210

621

2

32

12

IEIE

IEIE

U

Merke: Da das Balkenstück masselos ist, können sämtliche Einträge, in welchen m vorkommt, Null gesetzt werden

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=⋅=⋅=

IEm

IEmmm

IEIE

IEIE

IEIE

IEIE

UUUUU ab

61

2

100

210

621

01000

100

210

621

232222

2

32

2

32

0112

ωωωω

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

44434241

34333231

24232221

14131211

uuuuuuuuuuuuuuuu

U

( )( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅

=

162

6121

2

12242

41

22

36482

122

61

6

232222

2323222

22

232

22

242322

22

2332

22

252423

IEm

IEmmm

IEIEm

IEmmm

IEIEm

IEIEm

IEm

IEm

IEIEm

IEIEml

IEml

IEml

U

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωω


Seite 34 04.10.13


Konzept:

8.  Um den Zustand am rechten Ende beschreiben zu können, muss lediglich die Gesamtübertragungsfunktion mit dem Zustandsvektor an der Stelle Null multipliziert werden

9.  Die oben aufgestellte Matrizengleichung lautet in ausmultiplizierter Form:

10.  Um die Eigenkreisfrequenz bestimmen zu können, muss nun die Determinante einer noch aufzustellenden Matrix Null gesetzt werden. Die noch aufzustellende Matrix beinhaltet vier Koeffizienten, die aus der obigen Darstellung zu entnehmen sind. Und zwar handelt es sich hierbei um diejenigen Koeffizienten, die sich in einer Gleichung befinden, die Null gesetzt wird.

11.  Wenn nun noch die Eigenformen zu den entsprechenden Eigenfrequenzen gesucht sein sollten, so muss lediglich die Kreisfrequenz, zu welcher die Eigenform gesucht ist, in die einzelnen Übertragungsfunktionen übernommen werden (nicht in Gesamtübertragungsfunktion) und dann kann Schritt für Schritt gemäss dem Verfahren aus dem Kapitel Drehschwingungen, vorgegangen werden.

- Im Zustandsvektor an der Stelle Null sind alle Grössen, die nicht gleich Null sind durch eine eins zu substituieren.

Dieser Wert steht für 100 %, um zu sehen, wie die Amplituden relativ zu dieser Stelle stehen

- Zustandsvektor an der Stelle Null multiplizieren mit Übertragungsmatrix von Null nach eins

- Das erhaltene Ergebnis wiederum multiplizieren mit der Übertragungsmatrix von eins nach zwei… usw.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

44434241

34333231

24232221

14131211

2

2

0

0

0

0

Fuuuuuuuuuuuuuuuu

F

ϕϕ

0440422

034032

0240222

0140120141301211

0

000

FuuFFuuFuuFuuFuuuu

⋅+⋅==⋅+⋅==⋅+⋅==⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=

ϕϕϕϕϕϕ

…

…

… ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3432

1412

uuuu

Uω

nuuuuuuuu

U ωωωω ,...,0det0)det( 10143234123432

1412 ⇒=⋅−⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

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