Wir wollen den Flächeninhalt der krummlinig begrenzten Fläche genau berechnen.
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Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006 Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006 1 Riem annLow er: 1.42 Integral: 1.54 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x y Wir wollen den Flächeninhalt der krummlinig begrenzten Fläche genau berechnen.
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Wir wollen den Flächeninhalt der krummlinig begrenzten Fläche genau berechnen. Bestimmung der Rechtecksbreite bei n Rechtecken. Jedes Rechteck hat die Breite. Bestimmung der Rechteckshöhen. Höhe des ersten Rechtecks:. Höhe des zweiten Rechtecks:. Höhe des letzten Rechtecks:. - PowerPoint PPT Presentation
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Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006 Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006
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RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
Wir wollen den Flächeninhalt der krummlinig begrenzten Fläche genau
berechnen.
Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006 Plenum Mathe 12; Braun, Klöppner, Hagel; Johannes-Kepler-Gymnasium 2006
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Bestimmung der Bestimmung der Rechtecksbreite bei n Rechtecksbreite bei n
RechteckenRechteckenRiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y Jedes Rechteck hat die Breite
nx
4,2
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Bestimmung der Bestimmung der RechteckshöhenRechteckshöhen
RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
yHöhe des ersten Rechtecks:
222
14,2
3
14,21
3
14,21
nnnf
Höhe des zweiten Rechtecks:
Höhe des letzten Rechtecks:
. . .
222
24,2
3
14,22
3
14,22
nnnf
222
)1(4,2
3
14,2)1(
3
14,2)1(
n
nnn
nnf
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Bestimmung der einzelnen RechtecksflächenBestimmung der einzelnen Rechtecksflächen
RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
yFläche des ersten Rechtecks:
23
32
2
13
14,21
4,2
3
14,2
nnn
Fläche des zweiten Rechtecks:
Fläche des letzten Rechtecks:
. . .2
3
32
2
23
14,22
4,2
3
14,2
nnn
23
32
2
)1(3
14,2)1(
4,2
3
14,2
n
nn
nn
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Die Summe der RechtecksflächenDie Summe der Rechtecksflächen
23
32
3
32
3
3
)1(3
14,2...2
3
14,21
3
14,2 n
nnn 222
3
3
)1(...213
14,2 n
n
6
)12()1(...321 2222
mmm
mLaut Laut FormelsammlungFormelsammlung gilt:gilt:
Wir ersetzen in der Formel m durch (n-1) und Wir ersetzen in der Formel m durch (n-1) und erhalten:erhalten:
6
)12()()1()1(...321 2222
nnn
n
6
)12()1(
3
14,23
3
nnn
n 3
3 )12()1(
18
4,2
n
nnn
2
3 )12()1(
18
4,2
n
nn
2
23 132
18
4,2
n
nn
²
132
18
4,2 3
nn
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GrenzwertbetrachtungGrenzwertbetrachtung
Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, größer werden,
²
132
18
4,2 3
nn
536,1
dann nähert sich der Wert in der Klammer immer mehr der dann nähert sich der Wert in der Klammer immer mehr der Zahl 2.Zahl 2.
Der Flächeninhalt unserer Der Flächeninhalt unserer Grundfläche beträgt also Grundfläche beträgt also 2,496 + 1,536 = 4,0322,496 + 1,536 = 4,032
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VolumenberechnungVolumenberechnung
Das Volumen der Skateboardrampe beträgt also Das Volumen der Skateboardrampe beträgt also 4,032 m² * 3,6 m = 14,5152 m³.4,032 m² * 3,6 m = 14,5152 m³.
Der Preis der Rampe beträgt Der Preis der Rampe beträgt 14,5152 * 6000,- € = 87091,20 €.14,5152 * 6000,- € = 87091,20 €.
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RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
yWas hätten wir erhalten, wenn wir die Rechtecke über
den Graphen gezeichnet hätten?
RiemannUpper: 1.65Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
yRiemannUpper: 1.65 Integral: 1.54RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
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Obersumme RiemannUpper: 1.65 Integral: 1.54RiemannLower: 1.42Integral: 1.54
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
Die Breite der Rechtecke bleibt gleich. Es kommt lediglich ein Rechteck mit dem Flächeninhaltdazu .
22
3
3
14,2n
n
Verfolgt man den vorgestellten Weg für die Untersumme, so erhält man auch für die Obersumme 1,536 als Grenzwert. Die Ober- und Untersumme stimmen also überein.
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Drei Fragen
Wie funktioniert das Rechteckverfahren?
Was hängen Unter- und Obersumme?
Wie kann man beim Rechteckverfahren erreichen, dass die Fläche genauer bestimmt wird?
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Hausaufgabe
Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über dem Intervall [0; 2] als Grenzwert der Untersumme.
a) f(x) = x³ b) f(x) = x
Verwende die folgenden Formeln.
)1(2
1...321 mmm
22 )1(4
1³...³3³2³1 mmm
