Wirtschaftsmathematik im Mathematikunterricht der ... Wirtschaftsmathematik im Mathematikunterricht

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  • Wirtschaftsmathematik im Mathematikunterricht

    der Sekundarstufen I und II

    Eine Analyse mathematischer und okonomischer Inhalte zur Konzeption

    von Unterrichtseinheiten mit wirtschaftsmathematischer Aufgabenstellung

    Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades der Philosophie (Dr. phil.)

    im Fachbereich Mathematik und ihre Didaktik an der Europa-Universitat

    Flensburg

    Vorgelegt von: Jens Dennhard

    im November 2016

  • Erstgutachterin: Frau Prof. Dr. Peggy Daume

    Zweitgutachter: Herr Prof. Dr. Armin Wiedemann

  • Inhaltsverzeichnis

    Einleitung 1

    I Grundlagen der Wirtschaftsmathematik 5

    1 Okonomische Funktionen mit einer Variablen 61.1 Was sind Markte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Preisbildung auf verschiedenen Markten . . . . . . . . . . . . 81.3 Erlos, Kosten und Gewinn auf Unternehmensseite . . . . . . . 14

    1.3.1 Preis-Absatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Erlos und Erlosfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Kosten und Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.4 Gewinn und Gewinnfunktion . . . . . . . . . . . . . . 28

    2 Differenzialrechnung im Umfeld okonomischerFunktionen mit einer Variablen 342.1 Ableitung okonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.1.1 Zur okonomischen Interpretation der ersten Ableitung 342.1.2 Ableitungsfunktion als Grenzfunktion . . . . . . . . . 382.1.3 Taylorpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.2 Anwendungen der Differenzialrechnung auf okonomische Funk-tionen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.2 Betriebsminimum und -optimum . . . . . . . . . . . . 522.2.3 Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion 562.2.4 Elastizitat im Umfeld okonomischer Funktionen . . . . 57

    3 Funktionen mit zwei Variablen 693.1 Okonomische Funktionen mit zwei Variablen . . . . . . . . . 693.2 Differenzialrechnung fur Funktionen mit zwei Variablen . . . 743.3 Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen . . . . . . . 77

    3.3.1 Notwendiges Kriterium zur Extremwertbestimmung . 773.3.2 Hinreichendes Kriterium zur Extremwertbestimmung . 78

    3.4 Anwendungen der Differenzialrechnung fur okonomische Funk-tionen mit zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    II Wirtschaftsmathematik im Unterricht 87

    4 Allgemeinbildender Mathematikunterricht 884.1 Mathematik und Allgemeinbildung . . . . . . . . . . . . . . . 884.2 Mathematik und okonomische Allgemeinbildung . . . . . . . 914.3 Konsequenzen fur die Unterrichtsentwicklung . . . . . . . . . 94

  • 5 Bildungsstandards Mathematik 985.1 Zu den Begriffen Leitidee und Kompetenz . . . . . . . . . . . 985.2 Die Leitidee funktionaler Zusammenhang . . . . . . . . . . . 1015.3 Allgemeine mathematische Kompetenz Modellieren . . . . . . 1035.4 Konsequenzen fur die Unterrichtsentwicklung . . . . . . . . . 105

    6 Didaktik der Analysis 1096.1 Historischer Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Fundamentale Ideen der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Zur Vermittlung des Ableitungsbegriffs im Mathematikunter-

    richt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4 Konsequenzen fur die Unterrichtsentwicklung . . . . . . . . . 118

    7 Der Rechner im Mathematikunterricht 1227.1 Einsatz von Rechnern im Mathematikunterricht . . . . . . . . 1227.2 Diskussion zum Einsatz von Rechnern im Mathematikunterricht1237.3 Konsequenzen fur die Unterrichtsentwicklung . . . . . . . . . 125

    8 Analyse ausgewahlter Aufgaben 1288.1 Analyse ausgewahlter Aufgaben aus Schulbuchern . . . . . . 1288.2 Analyse ausgewahlter Abituraufgaben . . . . . . . . . . . . . 131

    8.2.1 Baden-Wurttemberg 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.2 Hamburg 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    8.3 Konsequenzen aus der Analyse ausgewahlter Aufgaben . . . . 134

    IIIUnterrichtseinheiten 137

    9 Von Markten und Unternehmen 1389.1 Inhaltliche und konzeptionelle Zusammenfassung . . . . . . . 1389.2 Das Basismodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    9.2.1 Okonomische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.2.2 Preisbildung im Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2.3 Preisbildung im Polypol . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.2.4 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung . . . . . . 155

    9.3 Die Erganzungsmodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.3.1 Modellierungskreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.3.2 Preisbildung unter monopolistischer Konkurrenz . . . 163

    10 Anderung okonomischer Funktionen I 16710.1 Inhaltliche und konzeptionelle Zusammenfassung . . . . . . . 16710.2 Das Basismodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    10.2.1 Ableitung okonomischer Funktionen . . . . . . . . . . 16810.2.2 Erlos- und Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . 17410.2.3 Betriebsminimum und -optimum . . . . . . . . . . . . 17710.2.4 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung . . . . . . 183

  • 10.3 Die Erganzungsmodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.3.1 Die Ableitung als lokale Linearisierung . . . . . . . . . 18810.3.2 Gewinnmaximierung unter monopolistischer Konkur-

    renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.3.3 Preis-Elastizitat der Nachfrage . . . . . . . . . . . . . 193

    11 Anderung okonomischer Funktionen II 20211.1 Inhaltliche und konzeptionelle Zusammenfassung . . . . . . . 20211.2 Das Basismodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    11.2.1 Analyse ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen mittelszweiter Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    11.2.2 Die naturliche Exponentialfunktion als okonomischeFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

    11.2.3 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung . . . . . . 21011.3 Die Erganzungsmodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

    11.3.1 Analyse von Elastizitatsfunktionen (GTR) . . . . . . . 21311.3.2 Approximation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . 21611.3.3 Okonomische Funktionen mit zwei Variablen . . . . . 221

    IV Praktische Erprobungen 230

    12 Schulische Erprobungen 23112.1 Umsetzung I: Von Markten und Unternehmen . . . . . . . . . 231

    12.1.1 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.1.2 Durchfuhrung der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.1.3 Analyse der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

    12.2 Umsetzung II: Preis-Elastizitat der Nachfrage . . . . . . . . . 23312.2.1 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23312.2.2 Durchfuhrung der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . 23312.2.3 Analyse der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

    12.3 Umsetzung III: Koeffizienten einer ertragsgesetzlichen Kos-tenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.3.1 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.3.2 Durchfuhrung der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.3.3 Analyse der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    13 Auerschulische Erprobungen 23713.1 Projekt 1: Wurth-Bildungspreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 23813.2 Projekt 2: Vorbereitungskurs Freudenberg . . . . . . . . . . . 240

    14 Zusammenfassung 243

  • Anhang 247

    A Grundlagen der Differenzialrechnung fur Funktionen mit ei-ner Variablen 247A.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247A.2 Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.3 Krummungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

    B Auszuge aus dem Schriftverkehr zu den Zusammenhangenim Umfeld von Elastizitatsfunktionen aus Abschnitt 2.2.4 254

    C Auszug aus dem Mathematikabitur 2007 Baden-Wurttem-berg - Wahlteil Analysis Aufgabe I 1 255

    D Abituraufgabe Grundkurs Mathematik Hamburg 2011 - Ana-lysis 1 256

    E Schulerlosungen zu ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen 258

    Eidesstattliche Erklarung 269

  • Abbildungsverzeichnis

    1.1 (a) Preis-Mengen-Diagramm der Datenpaare aus Tabelle 1.2und (b) Modellierung dieser Datenpaare als lineare Funktion 9

    1.2 Preis-Mengen-Diagramm der Datenpaare aus Tabelle 1.2 mit(a) exponentieller und (b) logarithmischer Regression . . . . . 10

    1.3 (a) Datenpaare des Preises und zugehoriger angebotener Men-ge als Punktwolke und (b) Modellierung dieser Datenpaare alslineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Preis-Mengen-Diagramm der Datenpaare aus Tabelle 1.3 mit(a) exponentieller und (b) logarithmischer Regression . . . . . 13

    1.5 Graphen von Angebots- und Nachfragefunktion . . . . . . . . 131.6 Graph einer (linearen) Preis-Absatz-Funktion eines Unter-

    nehmens im (a) Monopol und (b) Polypol . . . . . . . . . . . 161.7 Graph einer doppelt geknickten Preis-Absatz-Funktion . . . . 171.8 Graph einer (a) linearen Erlosfunktion im Polypol und einer

    (b) quadratischen Erlosfunktion im Monopol . . . . . . . . . 181.9 Graph einer Erlosfunktion eines polypolistischen Anbieters

    mit monopolistischem Preisspielraum . . . . . . . . . . . . . . 191.10 Verschiedene Kostenentwicklungen variabler Kosten in Ab-

    hangigkeit von der Beschaftigung . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11 Graphen von (a) semi-proportionalen Kosten und (b) S-for-

    migen Kosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12 Extremwertmethode zur Schatzung einer Kostenfunktion . . . 261.13 Graph einer (a) linearen Funktion und (b) ganzrationalen

    Funktion dritten Grades als Kostenfunktion . . . . . . . . . . 271.14 Graphen von Erlos- und Kostenfunktion im (a) Monopol und

    (b)