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Prof. Dr. Stefan Nickel Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler WS 2008 / 2009 Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden

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Prof. Dr. Stefan NickelDipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler

WS 2008 / 2009

Wissenschaftliches ArbeitenQuantitative Methoden

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Gliederung

I. Motivation

II. Lesen mathematischer Symbole

III. Wissenschaftliche Argumentation

IV. Matrizenrechnung

V. Metriken

VI. Algorithmen

VII. Optimierungsprobleme & Optimierungsverfahren

VIII. Praktischer Umgang mit Daten

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Gliederung

I. Motivation

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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung

Was ist das Ziel dieser Veranstaltung?

Das Ziel ist die „Verbesserung der Fähigkeiten zum selbständigenwissenschaftlichen Arbeiten“.

Wie sieht die Zielgruppe aus?

Der Kurs ist vor Allem auf Studierende ausgelegt, die gerade mit dem Hauptstudium beginnen / begonnen haben.

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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung

Wie wird das Ziel erreicht? Welche Vorteile bringt diese Veranstaltung mir, als Student?

Im Rahmen des Kurses werden grundlegende mathematische Kenntnisse vermittelt und elementare Verfahrensweisen zum wissenschaftlichen Arbeiten vorgestellt. Diese erleichtern im weiteren Verlauf des Studiums

• das Verständnis des Vorlesungsstoffs

• das Lesen wissenschaftlicher Arbeiten(in Hinblick auf die zukünftige Seminararbeit)

• das eigenständige Erstellen wissenschaftlicher Texte(in Hinblick auf die zukünftige Diplomarbeit)

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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung

Am Ende des Semesters gibt es eine Abschlussprüfung.

Jeder Kursteilnehmer, der diese Prüfung besteht, erhält einen Schein (mit Note) über die erfolgreiche Teilnahme am Kurs.

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Gliederung

I. Motivation

II. Lesen mathematischer Symbole

i. Das griechische Alphabet

ii. Aussagen

iii. Mengen

iv. Summen

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II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet

alpha lambda phi

beta my chi

gamma ny psi

delta xi omega

epsilon o

zeta pi

eta rho

theta sigma

iota tau

kappa upsilon

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II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet

Gamma

Delta

Theta

Lambda

Pi

Sigma

Phi

Psi

Omega

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Definition:

„Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natürlichen oder künstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Man spricht vom Prinzip der Zweiwertigkeit. Man nennt „wahr“ bzw. „falsch“ den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W (oder 1) bzw. F (oder 0).“

[vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001]

„Eine Aussage ist die Zuerkennung eines n-stelligen Prädikates an n Subjekte. Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert W = wahr oder F = falsch zugeordnet, und zwar nur einer von beiden.“

[vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972]

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

• Dieses Kind ist 7 Jahre alt.1 Subjekt: Kind1 Prädikat: …ist 7 Jahre alt

• Max ist älter als Moritz2 Subjekte: Max, Moritz1 Prädikat: …ist älter als…

• Max ist größer als Moritz und kleiner als 1.80m3 Subjekte: Max, Moritz, 1.80m2 Prädikate: …ist größer als…, …ist kleiner als…

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Operationen mit Aussagen

• Negation: Sei A eine Aussage, dann wird die Negation von A mit bzw. bezeichnet. Da A entweder wahr oder falsch ist, wird die Negation durch die folgende Wahrheitstafel definiert:

Sprechweise: „Nicht A“

Beispiele:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Operationen mit Aussagen

• Konjunktion: Sind A und B zwei Aussagen, so kann man eine zusammen-gesetzte Aussage bilden, die nur dann wahr ist, wennA „und“ B gleichzeitig wahr sind. „und“ wird mit bezeichnet.

Sprechweise: „A und B“

Bemerkung:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag und minimieren den Faktoreinsatz.“

„5 ist gerade und 7 ist durch 2 teilbar.“

„Heute habe ich Uni und morgen ist Freitag.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Operationen mit Aussagen

• Disjunktion: Für zwei Aussagen A und B heißt die Disjunktion A „oder“ B:, d.h. ist wahr, wenn mindestens eine der

Aussagen wahr ist.

Sprechweise: „A oder B“

Bemerkung:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag oder minimieren den Faktoreinsatz.“

„5 ist gerade oder 7 ist durch 2 teilbar.“

„Heute habe ich Uni oder morgen ist Freitag.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Operationen mit Aussagen

• Implikation: Die Aussage A impliziert logisch die Aussage B.

Sprechweise: „Wenn A, dann B“„A impliziert B“„Aus A folgt B“„B ist notwendig für A“„A ist hinreichend für B“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen minimieren den Faktoreinsatz, wenn sie den Faktorertrag maximieren.“

„5 ist gerade ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist.“

„Morgen ist Freitag ist eine notwendige Bedingung dafür, dass ich heute Uni habe.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Operationen mit Aussagen

• Äquivalenz: Die Aussagen A und B heißen logisch äquivalent, wenn entweder A und B wahr oder A und B falsch sind.

Sprechweise: „A ist äquivalent mit B“„A dann und nur dann, wenn B“„A genau dann, wenn B“„A ist notwendig und hinreichend für B“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag genau dann, wenn sie den Faktoreinsatz minimieren.“

„5 ist gerade ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist.“

„Ich habe heute Uni ist äquivalent mit der Aussage, dass morgen Freitag ist.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beschränkte Quantifizierungen:

Häufig ist es vorteilhaft, sich bei Quantifizierungen nur auf die Elemente einer vorgegebenen nichtleeren Menge zu beziehen:

All-Quantor „für alle Elemente aus der Menge …“

Existenz-Quantor „es gibt ein Element aus der Menge …“

Bemerkung:„Es ist nicht wahr, dass für alle Elemente in M die Aussage p(x) gilt.“ist äquivalent zu „Es existiert ein Element in M, für die die Aussage p(x) nicht gilt.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen

Beispiele:

„Für alle Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen gilt, dass sie gerade sind.“

„Es existiert mindestens eine Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen für die gilt, dass sie gerade ist.“

„Egal durch welche Zahl aus der Menge M man 10 dividiert, das Ergebnis ist immer kleiner als 3.“

„In der Menge M gibt es Zahlen, durch die man 10 dividieren kann, um ein Ergebnis zu erhalten, das kleiner als 3 ist.“

„Alle Zahlen zwischen 2 und 4 sind gleich 5 sind.“

„Die Zahl 5 liegt zwischen 2 und 4.“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Definition:

„Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohldefinierter Objekte a unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge ... Mengen können beschrieben werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge zukommt.“

[vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001]

„Eine Menge ist die Zusammenfassung wohldefinierter Objekte, die Elemente der Menge. Sie wird entweder durch Aufzählung oder durch Aussagen, die Zugehörigkeiten eindeutig festlegen, gegeben.“

[vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972]

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Beispiele:

•3 Elemente: 2, 4, 7

•4 Elemente: Uwe, Gabi, Elke, Claudia

•Unendlich viele Elemente: alle reellen Zahlen

•2 Elemente: 2, 4

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Teilmenge: Sind A und B Mengen und gilt

so heißt A Teilmenge von B: . Mit anderen Worten: A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch zu B gehören.

Gibt es für in B weitere Elemente, die nicht in A vorkommen, so heißt A echte Teilmenge von B, und man schreibt:

Beispiel: ,C ist echte Teilmenge von A.

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Operationen mit Mengen

• Vereinigung: Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge oderVereinigung ist definiert durch

Sprechweise: „A vereinigt mit B“

Bemerkung:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Beispiele:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

• Durchschnitt: Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge oderder Durchschnitt ist definiert durch

Sprechweise: „A geschnitten mit B“

Bemerkung:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Beispiele:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

• Komplement: Das relative Komplement einer Menge B bzgl. einer Menge A oder die Differenz von A und B, bezeichnet mit , ist die Menge all der Elemente, die in A, aber nicht in B liegen:

Das absolute Komplement einer Menge A, bezeichnet mit ist das relative Komplement von A bzgl. der universellen Menge U (auch häufig mit Grundgesamtheit G bezeichnet), nämlich die Menge all der Elemente, die nicht in A liegen(aber in U):

Sprechweise: „A ohne B“

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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen

Beispiele:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen

Die wichtigsten Summenformeln:

• Arithmetische Summen:

Wichtiger Spezialfall:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen

• Geometrische Summe:

Wichtiger Spezialfall:

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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen

• Sonstige wichtige Summen: