WKB-Näherung und exakte Lösung des Pöschl-Teller-Potentials · PDF filedas...

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  • BACHELORARBEIT zur Erlangung des akademischen Grades

    Bachelor of Science (B.Sc.) am Institut für theoretische Physik

    WKB-Näherung und exakte Lösung des

    Pöschl-Teller-Potentials

    WKB approximation and exact solution of the

    Pöschl-Teller potential

    Münster, den 04.Oktober 2016

    AUTOR Okan Askar

    BETREUER UND THEMENSTELLER Prof. Dr. Gernot Münster

    ZWEITGUTACHTER PD Dr. Jochen Heitger

  • Diese Fassung der Arbeit unterscheidet sich nur geringfügig von der am 28.Sep- tember 2016 dem Prüfungsamt vorgelegten Version.

  • INHALTSVERZEICHNIS i

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 1

    2 Theoretische Grundlagen 3

    2.1 Das Pöschl-Teller-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Die Hypergeometrische Di�erentialgleichung . . . . . . . . . . . . 4

    2.2.1 Reguläre Singularitäten einer Di�erentialgleichung . . . . 5 2.2.2 Lösungen der Hypergeometrischen Di�erentialgleichung . 5

    2.3 Die WKB-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2 Die Bohr-Sommerfeld'sche-Quantisierungsbedingung . . . 9

    2.4 Supersymmetrische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1 Grundlagen der Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.2 SUSY-Operatoren und SUSY-Algebra . . . . . . . . . . . 15 2.4.3 Superpotentiale und die SWKB-Näherung . . . . . . . . . 17

    3 Hauptteil 20

    3.1 Exakte Lösung des Pöschl-Teller-Potentials . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1 Ermittlung der Form der Wellenfunktionen . . . . . . . . 20 3.1.2 Gebundene Zustände des Pöschl-Teller-Potentials . . . . . 23

    3.2 Die WKB-Näherung des Pöschl-Teller-Potentials . . . . . . . . . 28 3.3 Vergleich der beiden Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 SWKB-Näherung der Pöschl-Teller-Potentials . . . . . . . . . . . 40

    4 Zusammenfassung und Ausblick 44

    Literatur 45

  • ABBILDUNGSVERZEICHNIS ii

    Abbildungsverzeichnis

    1 Verlauf des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl der Konstanten zu A = 50 sowie % = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Verlauf des Pöschl-Teller-Potentials für unterschiedliche Werte von % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    3 Darstellung des zu untersuchenden aufwärts gerichteten Potenti- als mit vorgenommener Linearisierung in der Umgebung des klas- sischen Umkehrpunktes. Die Graphik ist aus [Gri12] übernommen. 10

    4 Darstellung der beiden Airy-Funktionen Ai(x) und Bi(x). Darge- stellt sind des Weiteren auch ±M(x) = ±

    √ Ai(x)2 + Bi(x)2 . Die

    Graphik ist [Fun16] entnommen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Darstellung des zu �ickenden Grenzbereichs zwischen den beiden

    links- und rechtsseitigen Überlappregionen. Die Graphik ist aus [Gri12] übernommen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    6 Darstellung des graphischen Verlaufs der reellen Gammafunktion: Die Γ-Funktion verschwindet - wie dargestellt - für kein x ∈ R, weist jedoch einfache Polstellen für alle nicht-positiven ganzen Zahlen auf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    7 Vergleich zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl von A = 254 . Die obere Grenze für n beträgt hier 1. . . . . . 33

    8 Vergleich zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl von A = 10. Die obere Grenze für n beträgt hier n = 2. . . 34

    9 Darstellung der absoluten Abweichung zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl vonA = 20. Die obere Gren- ze für n beträgt hier n = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    10 Darstellung der absoluten Abweichung zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl vonA = 28. Die obere Gren- ze für n beträgt hier n = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    11 Darstellung der absoluten Abweichung zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl vonA = 50. Die obere Gren- ze für n beträgt hier n = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    12 Darstellung der absoluten Abweichung zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller-Potentials für die Wahl von A = 100. Die obere Grenze für n beträgt hier n = 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    13 Expliziter Vergleich zwischen dem exakten und dem durch die WKB-Näherung bestimmten Energiespektrum des Pöschl-Teller- Potentials für die Wahl von A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  • ABBILDUNGSVERZEICHNIS iii

    Symbolverzeichnis

    Z = {...;−2;−1; 0; 1; 2; ...} - Menge aller ganzen Zahlen

    N = {0; 1; 2; ...} - Menge aller nicht-negativen ganzen Zahlen

    N+ = {1; 2; 3; ...} - Menge aller positiven ganzen Zahlen

    C - Menge aller komplexen Zahlen

    R - Menge aller reellen Zahlen

    ~ = h2π - Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

  • 1 EINLEITUNG 1

    1 Einleitung

    If quantum mechanics hasn't profoundly shocked you, you haven't

    understood it yet.

    Niels Bohr

    Die von Niels Bohr und Werner Heisenberg im Jahre 1927 präsentierte Kopen- hagener Interpretation der Quantenmechanik stellte den damals ersten wider- spruchsfrei in sich geschlossenen Versuch dar, das mathematische Fundament, aber auch den bis dahin nicht gänzlich verstandenen - bisweilen als sinnwidrig erscheinenden - Charakter von Quantensystemen, philosophisch zu interpretie- ren. 5 Jahre später - 1932 - war es der US-amerikanische Mathematiker John von Neumann, der in seinem Werk �Mathematical Foundations of Quantum Me- chanics� auf Grundlage der Kopenhagener Deutung den Grundbaustein für eine mathematisch strengere Formulierung der Quantenmechanik und der quanten- mechanischen Postulate legte. Eines der zentralen Postulate der Quantentheorie weist hierbei der (im Allgemeinen) komplexen, quadratintegrablen Wellenfunk- tion Ψ(~r, t) ∈ C eine besondere Bedeutung zu, da der Zustand eines (belie- bigen) quantenmechanischen Systems durch sie vollständig beschrieben wird. Ihre zeitliche Entwicklung in einem (äuÿeren) Potential V ist hierbei (mit dem

    Hamiltonoperator Ĥ = p̂ 2

    2m + V des Systems) durch die (zeitabhängige) Schrö- dingergleichung

    ĤΨ(~r, t) =

    [ p̂2

    2m + V

    ] Ψ(~r, t) = i · ~ · d

    dt Ψ(~r, t) (1.1)

    gegeben, die sich im Falle eines zeitunabhängigen Potentials V = V (~r) mit einem Separationsansatz für die Wellenfunktion der Form Ψ(~r, t) = ψ(~r) ·Θ(t) auf ihre stationäre Form

    Ĥψ(~r) =

    [ p̂2

    2m + V (~r)

    ] ψ(~r) = E · ψ(~r) (1.2)

    reduziert. Das hierbei auftretende Energiespektrum {E} kann sowohl diskre- ter als auch kontinuierlicher Natur sein, wobei hierbei erstgenannte �gebundene Zustände� und letztgenannte �Streuzustände� repräsentieren. Wird der Betrach- tung nun ein eindimensionales Potential V (x) zugrunde gelegt, welches im Un- endlichen abklingt, d.h. also lim|x|→∞ V (x) = 0, so können gebundene Zustände im Potential über die Bedingung E < 0 und Streuzustände über die Bedingung E > 0 gefunden werden.

    Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich speziell mit den gebundenen Zustän- den des so genannten Pöschl-Teller-Potentials, welches für A ∈ R+ und % ∈ R durch

    V (x) = − A cosh2(x% )

    (1.3)

    gegeben ist und eines der wenigen Potentiale darstellt, für die die stationäre Schrödingergleichung aus Gleichung (1.2) analytisch exakt gelöst werden kann.

  • 1 EINLEITUNG 2

    Die so genannte �WKB-Näherung� stellt ein semiklassisches Näherungsverfah- ren dar, mithilfe dessen näherungsweise Lösungen der eindimensionalen statio- nären Schrödingergleichung gefunden werden können. Ein grundsätzliches Ziel dieser Arbeit ist es, die gefundenen exakten Energien der gebundenen Zustände mit den sich aus der WKB- und der aus der supersymmetrischen Quantenme- chanik abgeleiteten SWKB-Methode ergebenden Näherungslösungen zu verglei- chen, um die Güte dieser Näherungsverfahren hinsichtlich ihrer Anwendung auf das Pöschl-Teller-Potential beurteilen zu können.

    Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten analytischen Rechnungen für die exakte Lösung von (1.2) für das durch (1.3) gegebene Pöschl-Teller-Potential stützen sich hierbei auf die in [Flü94] und [Nie78] dargelegten Ausführungen. Die theoretische Aufarbeitung der WKB-Näherung �ndet vor dem Hintergrund der in [Gri12], [Sch98] und [Nap11] aufgeführten Schilderungen statt. Die in Kapitel 2.4 erfolgende Einführung in die Theorie der Supersymmetrie und der Superpotentiale stützt sich weitestgehend auf [Sof97].

  • 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 3

    2 Theoretische Grundlagen

    2.1 Das Pöschl-Teller-Potential

    Das durch die Gleichung (1.3) beschriebene Pöschl-Teller-Potential - benannt nach den beiden Physikern Herta Pöschl und Edward Teller - stellt ein kurz- reichweitiges, attraktives Muldenpotential dar, welches insbesondere für die Be- schreibung des Potentialverlaufs zweiatomiger Moleküle Verwendung �ndet. In Abbildung 1 ist ihr graphischer Verlauf für eine Wahl der Konstanten aus Glei- chung (1.3) zu % = 1 sowie A = 50 exemplar