Wpf Bs Spannbeton

Universität DortmundFakultät Bauwesen

Lehrstuhl für Beton- und StahlbetonbauProf. Dr.-Ing. H.G. Schäfer

Diplom – Hausübung

Thema:Spannbetonbinder

Betreut von:Dipl.-Ing. Bäätjer

Bearbeitet von:Carsten LinkaMatr.Nr. 62887

INHALTSVERZEICHNIS

Seite

1. System und Belastung , Baustoffe 1

2. Bestimmung der Querschnittswerte 3

3. Schnittgrößenermittlung 6

4. Vordimensionierung 8

5. Spanngliedanordnung 11

6. Ideelle Querschnittswerte 13

7. Einwirkung infolge Vorspannung 15

8. Bemessung in den GdT 19

9. Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit 30

10. Bewehrungsführung und bauliche Durchbildung 38

11. Bewehrungsplan und Stahlliste 39

12. Literaturverzeichnis 40

Bearbeitet von: Carsten Linka Spannbeton - Balken Seite: 1

1. System und Belastung , Baustoffe

System : Ansicht(überhöht)

s

dg

g

Elastomerlager 20/20 cm 20 cm L=24 m 20 cm

Querschnitt: bo= 50 cm

do=15cm

7.6 cm

bw=12cm 98,4 cm h=145cm

9 cm

du=15cm

bu=30 cm


Baustoffe :

Beton C 50/60 fck = 50 N/mm²

fctm = 5,8 N/mm²

Ecm = 37000 N/mm²

Betonstahl Bst 500 S fyk = 500 N/mm²

Es = 200000 N/mm²

Spannstahllitzen St 1570/1770 fp,0.1,k = 1500 N/mm²

fp,k = 1770 n/mm²

Es = 190000 N/mm²

Nenndurchmesser 12.5 mm

Nennquerschnitt 93 mm²

Umweltbedingungen : Umweltklasse 1 gemäß EC2,Tab.4.1

Drahtführung : horizontal, geradlinig, sofortiger Verbund

Teilsicherheits- und Kombinationswerte:

- für ständige Einwirkungen : ungünstig wirkend γG = 1.35günstig wirkend γG = 1.00

- für veränderliche Einwirkung : ungünstig wirkend γQ = 1.50

- für Einwirkungen infolge Vorspannung : γP = 1.00

- für Beton : γC = 1.50

- für Betonstahl und Spannstahl : γS = 1.15


2. Bestimmung der Querschnittswerte

Berechnung des Schwerpunktes des Querschnitts :

1

2 y

3

4

5

Aufteilung in Teilflächen 1-5

Bestimmung der Schwerpunkte der Teilflächen 2 und 4 :

h ys ys = h / 3 ⋅ (a+2b) / (a+b)

c b c

a

Teilfläche 2 : ys = 7,6 / 3 ⋅ (50+2 ⋅ 12) / (50+12)= 3,02 cm

Teilfläche 4 : ys = 9 / 3 ⋅ (30+2 ⋅12) / (30+12) = 3,86 cm


Flächeninhalt der Teilflächen Ai :

A1 = 50 ⋅ 15 = 750,0 cm²

A2 = (50+12) / 2 ⋅ 7,6 = 235,6 cm²

A3 = 98,4 ⋅ 12 = 1.180,8 cm²

A4 = (30+12) / 2 ⋅ 9 = 189,0 cm²

A5 = 30 ⋅ 15 = 450,0 cm²

Ermittlung der Gesamtschwerpunktskoordinate ys :

Teilfläche Ai [ cm² ] ysi [cm ] Ai ⋅ ysi [ cm³ ]1 750,0 7,5 5.625,02 235,6 18,02 4.245,513 1.180,8 71,8 84.781,444 189,0 126,14 23.840,465 450,0 137,5 61.875,0Σ 2.805,4 - 180.367,41

Gesamtschwerpunkt :

ys = (ΣAi ⋅ ysi) / (ΣAi) = 180.367,41 / 2.805,4 = 64,29 cm

Bestimmung des Flächenmomentes 2. Grades :

Berechnung des Flächenmomentes 2. Grades der Teilflächen Iyi

allgemein: - für Rechteckquerschnitte Iyi = 1/12 ⋅ b ⋅ h³- für Dreiecksquerschnitte Iyi = 1/36 ⋅ b ⋅ h³

Iy,1 = 1/12 ⋅ 50 ⋅ 15³ = 14.062,5 cm4

Iy,2 = 1/12 ⋅ 12 ⋅ 7,6³ + 2 ⋅ (1/36 ⋅ 19 ⋅ 7,6³) = 902,3 cm4

Iy,3 = 1/12 ⋅ 12 ⋅ 98,4³ = 952.763,9 cm4

Iy,4 = 1/12 ⋅12 ⋅ 9³ + 2 ⋅ (1/36 ⋅ 9 ⋅ 9³) = 1.093,5 cm4

Iy,5 = 1/12 ⋅ 30 ⋅ 15³ = 8.437,5 cm4


Ermittlung des Flächenmomentes 2. Grades des Gesamtquerschnitts :

Teilflächen Ai [cm²] ysi [cm] Ai⋅ysi² [cm³] Iyi [cm4]1 750,0 -56,79 2.418.828,1 14.062,52 235,6 -46,27 504.399,1 902,33 1.180,8 7,51 66.597,2 952.763,94 189,0 61,85 723.004,9 1.093,55 450,0 73,21 2.411.866,9 8.437,5Σ 2.805,4 - 6.124.696,2 977.259,7

Flächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts :

Iy = Σ Iyi + Σ Ai ⋅ ysi²

= 7.101.955,9 cm4

Bestimmung der Widerstandsmomente Wb

allgemein : W = I / z

zct = 64,29 cm

=> Wct = Ic / zct = 7.101.955,9 / 64,29 = 110.467,5 cm³

zcb = 145 – 64,29 = 80,71 cm

=> Wcb = 7.101.955,9 / 80,71 = 87.993,5 cm³

Zusammenfassung der Querschnittswerte :

Ac = 2.805,4 cm²Ic = 7.101.955,9 cm4

zct = 64,29 cmzcb = 80,71 cmWct = 110.467,5 cm³Wcb = 87.993,5 cm³


3. Schnittgrößenermittlung

Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und im Grenzzustand der Tragfähigkeitwerden die Schnittgrößen jeweils

- linear-elastisch ohne Umlagerung (Elastizitätstheorie)

ermittelt .

3.1 Charakteristische Werte der Schnittgrößen :

Belastung :

Eigenlast des Binders 0,28054 ⋅ 25 = gk = 7,01 kN/mEigenlast der Dachkonstruktion dgk = 15,00 kN/mSchneelast qk = 5,00 kN/m

Da es sich um ein einfaches System (Einfeldträger) mit horizontalerSpanngliedführung handelt, genügt es, die maximalen Schnittgrößen zu bestimmen .

max. Ms,k =1/8 ⋅ (gk+dgk+qk) ⋅ l² = 1/8 ⋅ 27,01 ⋅ 24,0² = 1.944,72 kNm

max. Vs,k = 1/2 ⋅ (gk+dgk+qk) ⋅ l = 1/2 ⋅ 27,01 ⋅ 24,0 = 324,12 kN

Graphische Darstellung der Schnittgrößen:

324,12

+ - Vs,k [kN]

324,12

+ + Ms,k[kNm]

1.944,72


3.2 Bemessungswerte der Schnitttgrössen :

Belastung :

Eigenlast des Binders: gd,1 = γg ⋅ gk,1 = 1.35 ⋅ 7,01 = 9,46 kN/mEigenlast der Dachkonstruktion: ∆gd = γg ⋅ ∆gk = 1.35 ⋅ 15 = 20,25 kN/mSchneelast: qd = γq ⋅ qk = 1.5 ⋅ 5 = 7.50 kN/m

max. Schnittgrössen :

max. Msd = 1/8 ⋅ (gd+ ∆gd+qd) ⋅ l² = 1/8 ⋅ 37,21 ⋅ 24,0² = 2.679,12 kNm

max. Vsd = 1/2 ⋅ (gd+ ∆gd+qd) ⋅ l = 1/2 ⋅ 37,21 ⋅ 24,0 = 446,52 kN

446,52

+

- Vsd[kN]

446,52

+ + Msd[kNm]

2.679,12


4. Vordimensionierung, Ermittlung der Vorspannkraft

4.1 Spannkraftverluste

Annahmen im Rahmen einer Vorbemessung:

∆Pc = Verlust infolge elastischer Betonzusammendrückung beim Übertragen derSpannkraft auf den Beton

Annahme : ca. 10 % bezogen auf den „Mittelwert“ der Vorspannkraft

∆Pt = zeitabhängige Verluste als Folge von Schwinden (s) und Kriechen (k) plus∆Pir (Verlust infolge Kurzzeitrelaxation (initial relaxation))

Annahme : ca. 15 % bezogen auf den „Mittelwert“ der Vorspannkraft

4.2 „Mittelwert“ der Vorspannkraft Pm,t

charakteristischer Wert der Vorspannkraft Pk

Pk,sup = 1.1 ⋅ Pm,tPk,inf = 0.9 ⋅ Pm,t

der jeweils ungünstigere Wert ist maßgebend

Als Kriterium für die Vorbemessung ist die Einhaltung einer Beton-Zugspannungs-bedingung Pk,inf maßgebend .

Pk,∞ = 0.9 * 0.9 * 0.85 * P0 = 0.689 P0

aus Annahme Annahme Pk,inf ∆Pc ∆Pt

Es wird also ein Gesamt-Spannkraftverlust von ca. 30 % angenommen.

4.3 Spannungsbedingung (Bemessungskriterium)

Da für die Umweltbedingungen die Umweltklasse 1 gemäß EC2,Tab.4.1 gilt , muß fürden Grenzzustand der Rißbildung keine Dekompression (alle Teile des Spannstahlsmüssen wenigstens 25 mm innerhalb des gedrückten Betons liegen) nachgewiesenwerden .Für die Vorbemessung ist es sinnvoll vorzugeben , daß unter „quasi-ständiger“ Lastam unteren Rand keine Zugspannungen auftreten .


Moment unter „häufiger“ Last (ψ = 0,2)

Mg+ψs = (7,01 + 15 + 0.2 ⋅ 5) ⋅ 24² / 8 = 1.656,72 kNm

NcPk∞ = - PkP∞ = - 0.689 ⋅ P0

zcp = zcb - zpb = 80,71 - 8,5 = 72,21 cm

Mcpk∞ = - Pk∞ ⋅ zcp = -0,689 P0 ⋅ 0,7221 = -0,4975 P0

Bemessungskriterium :

(Mg+ψs + Mcpk∞) / Wcb + NcPk∞ / Ac ≤ 0

(1.656,72 - 0,4975 P0) / 0,0879935 - 0.689 P0 / 0,28054 ≤ 0

=> req. P0 ≥ 2.321,6 kN

4.4 Spanngliedwahl:

zulässige Spannkraft während des Anspannens :

P0 ≤ Ap ⋅ σ0,max

P0 : maximale auf das Spannglied aufgebrachte Spannkraft beim Anspannen

Ap: Querschnittsfläche der Spannglieder

σ0,max: maximal auf das Spannglied aufgebrachte Spannung beim Anspannen

0,80 fp,k = 0,80 ⋅ 1770 = 1416 N/mm²σ0,max ≤ 0,90 fp,0.1,k = 0,90 ⋅ 1500 = 1350 N/mm² (maßgebend)

erforderliche Querschnittsfläche der Spannglieder :

req. Ap = P0 / σ0,max = 2.321,6 / 135 = 17,2 cm²


Spannstahllitzen St 1570 / 1770 :

fp,k = 1770 N/mm²fp,0.1,k = 1500 N/mm²Ep = 190000 N/mm²

Nenndurchmesser 12.5 mmNennquerschnitt 93 mm²

4.5 erforderliche Spanndrahtanzahl :

n = 17,2 / 0,93 = 18,49

gewählt : 19 Litzen mit Ap = 17,67 cm²


5. Spanngliedanordnung

5.1 Betondeckung

nom c = min c + ∆h

nom c : Nennmaß der Betondeckung , maßgebendes Maß auf den Bewehrungszeichnungen

min c : Mindestmaß der Betondeckung

∆h : Vorhaltemaß zum Ausgleich von Maßabweichungen

5.2 Spannstahl

min c zur Sicherung des Verbundes [ EC2,4.1.3.3 (5) ]

min c ≥ 2 ds = 25 mm

min c zum Schutz vor Korrosion [ EC2,4.1.3.3. (6) ]

min c ≥ 25 mm Umweltklasse 1 gemäß EC2,Tab.4.1

∆h = 5 mm

⇒ nom c = 25 + 5 = 30 mm

lichte Stababstände : für Spannglieder mit sofortigem Verbund [ EC2,5.3.3.1 ]

horizontal : ≥ dg + 5 mm ≥ ∅ = 12,5 mm ⇒ ≥ 21 mm ≥ 20 mm

vertikal : ≥ dg ≥ ∅ = 12,5 mm ⇒ ≥ 16 mm ≥ 10 mm

dg = Größtkorndurchmesser = 16 mm


Anordnung der Spannglieder:

1 Spanngliedlage á 6 Litzen, 1 Spanngliedlagen á 7 Litzen1 Spanngliedlage á 2 Litzen, 1 Spanngliedlagen á 4 Litzen

Bestimmung des Spannstahlschwerpunktes ys:

Ai [cm²] ysi [cm] Ai ⋅ ysi [cm³]6 ∅ 12.5 5,58 11,65 657 ∅ 12.5 6,51 8,65 562 ∅ 12.5 1,86 5,65 114 ∅ 12.5 3,72 4,25 16Σ 17,67 148

ys = (Σ Ai ⋅ ysi) / ΣAi = 148 / 17,67 = 8,375 cm

vorher angenommen : 8,5 cm > 8,375 cm ⇒ Rechnung auf sicherer Seite


6. Ideelle Querschnittswerte

- ideelle Querschnittsfläche :

Ac,i = Ac + (α - 1) Ap mit α = Ep / Ec = 190.000 / 37.000 = 5,135

- Schwerlinie des Verbundquerschnitts :

Ac,i ⋅ zc,i = (α - 1) ⋅ Ap ⋅ zcp

zc,i = zcp ⋅ (α -1) ⋅ Ap / Ac,i

- ideelles Trägheitsmoment 2. Grades :

Ic,i = Ic + (α - 1) ⋅ Ap ⋅ zcp² - Ac,i ⋅ zc,i²

Ermittlung der Werte :

Ac,i = 0,28054 + 5,135 ⋅ 17,67 ⋅ 10-4 = 0,28961 m²

zcp = zcb - ys = 80,71 – 8,375 = 72,34 cm

zc,i = zcp ⋅ (α - 1) Ap / Ac,i = 0,7234 ⋅ 5.135 ⋅ 0.001767 / 0,28961 = 0,0227 m = 2,27 cm

zct,i = zct + zc,i = 64,29 + 2,27 = 66,56 cm

zcb,i = zcb + (- zc,i) = 80,71 – 2,27 = 78,44 cm

zcp,i = zcp - zc,i = 72,34 – 2,27 = 70,07 cm

Ic,i = 7.101.955,9 + 5.135 ⋅ 17,67 ⋅ 72,34² - 2896,1 ⋅ 2,27² = 7.561.858,1 cm4

Wct,i = Ic,i / zct,i = 7.561.858,1 / 66,56 = 113.609,7 cm³

Wcb,i = Ic,i / zcb,i = 7.561.858,1 / 78,44 = 96.403,1 cm³

Wcp,i = Ic,i / zcp,i = 7.561.858,1 / 70,07 = 107.918,6 cm³

Da die Spannglieder im Spannbett eingebaut werden, sind keine Netto-Querschnittswerte zu berechnen .


Skizze :


7. Einwirkungen infolge Vorspannung

Bei der Berechnung der Vorspannkräfte sind Spannkraftverluste zu berücksichtigen .Für vorgespannte Bauteile mit sofortigem Verbund gilt :

Pm,t(x) = P0 - ∆Pc - ∆Pµ(x) - ∆Pt(t)

Pm,t(x): Mittelwert der Vorspannkraft zur Zeit an der Stelle x

P0: Vorspannkraft unmittelbar nach dem Vorspannen

∆Pµ(x): Spannkraftverluste infolge Reibung

∆Pt(t): Spannkraftverlust infolge Kriechen , Schwinden , Relaxation

7.1 Berechnung der Vorspannkraft Pm,0(unmittelbar nach dem Spannen für Bauteile mit sofortigem Verbund)

Pm,0(x) = P0 - ∆Pc - Pir

Pir : Verlust infolge Kurzzeitrelaxation

0.80 fp,k = 0.80 ⋅ 1770 = 1416 N/mm²σ0,max ≤ 0.90 fp,0.1,k = 0.90 ⋅ 1500 = 1350 N/mm²

⇒ zul. Spannkraft während des Anspannens : σ0,max = 1350 N/mm²

⇒ max. Vorspannkraft am aktiven Ende des Spannglieds unmittelbar nach dem Vorspannen :

max. P0 = σ0,max ⋅ Ap = 135 ⋅ 17,67 = 2.385,45 kN


Ermittlung des Spannkraftverlustes ∆Pir (Relaxationsverlust)

nach EC2 , 4.2.3.4.1

σp0 / fpk = 1350 / 1770 = 0.76

⇒ Relaxationsverlust ∆Pir = 6%

⇒ P0ir = 0.94 ⋅ P0 = 0.94 ⋅ 2.385,5 = 2.242,4 kN

⇒ Pm0 = P0ir ⋅ (Acnet / Aci) = 2.242,4 ⋅ (0,28054 / 0,28961) = 2.172,2 kN

⇒ σσσσPm0 = 2,1722 / 0.001767 = 1.229,3 N/mm²

mit Pm,0 = mittlere Vorspannkraft unmittelbar nach dem Anspannen σPm0 = mittlere Spannung unmittelbar nach dem Anspannen

Spannungen im Lastfall Vorspannung :

Betonspannungen:

σcb,p = - P0ir / Aci - P0ir ⋅ zcp,i / Wcb,i = -2.242,4/0,28961 - 2.242,4 ⋅ 0,7007 / 0.096403= -24.041,6 kN/m²

= -24,04 N/mm²

σct,p = -P0ir / Ac,i + P0ir ⋅ zcp,i / Wct,i = -2.242,4/0,28961 + 2.242,4 ⋅ 0,7007 / 0,1136097 = 6.087,4 kN/m² = 6,09 N/mm² (Zug)

⇒ nicht zulässig , Eigengewicht und Montagebewehrung wirken jedoch demgeringen Zug entgegen, daher wird angenommen, daß der Beton gedrückt ist .

σcp,p = -P0ir / Ac,i - P0ir ⋅ zcp,i / Wcp,i = -2.242,4/0,28961 - 2.242,4 ⋅ 0,7007 / 0,1079186 = -22.302,4 kN/m² = -22,30 N/mm²

Spannstahlspannungen :

σpp = σpp0ir + α ⋅ σcp,p = 2.242,4⋅103 / 1.767 + 5.135 ⋅ 22,3 = 1383,6 N/mm²

Schnittgrößen infolge Vorspannkraft :

Mp0 = Pm,0 ⋅ zcp = 2.172,2 ⋅ 0,7007 = 1.522,1 kNm


7.2 Berechnung der Vorspannkraft Pm,∞∞∞∞(mit zeitabhängigen Spannkraftverlusten aus Schwinden , Kriechen ,Relaxation)

Zu den vorhin behandelten Spannkraftverlusten , die sich nach dem Aufbringen derVorspannung einstellen , kommen im Laufe der Lebensdauer eines vorgespanntenBauteils noch die zeitabhängigen Spannkraftverluste ∆Pt(t) hinzu , die durchAuswirkungen von :

- Betonkriechen- Betonschwinden- Spannstahlrelaxation

entstehen .

Es gilt :

σP,csr = εcs( t - ts) ⋅ Es + ∆σpr + α ⋅ ϕ(t,t0) ⋅ ( σcg + σcP0 ) 1 + α ⋅ Ap / Ac ⋅ (1 + Ac/Ic ⋅ zcp²) ⋅ (1 + 0.8 ⋅ ϕ(t,t0) )

[EC2,3.1.2.5.5 (2)] ermöglicht die Anwendung von [EC2,3.1.2.5.5,Tab. 3.3 bzw. 3.4 ]zur Ermittlung der Endkriechzahl ϕ(∞,t0) und des Endschwindmaßes εcs∞ , falls keinegrößere Genauigkeit erforderlich ist .

a) Endkriechzahl

Eingangswerte zur Anwendung von Tabelle 3.3 :

-relative Luftfeuchte : Innenbauteil , trockene Umgebungsbedingung , RH = 50 %

-wirksame Bauteildicke : Ac = 0,28054 m² u = 50+2⋅15+2⋅20,5+2⋅98,4+2⋅12,7+2⋅15+30 = 403.2 cm ho = 2 ⋅ Ac / u = 2 ⋅ 0,28054⋅10³ / 4,032 = 139 mm

-Alter bei Belastung : 1 Tag (Herstellung im Spannbett)

⇒ abgelesene Endkriechzahl aus Tab. 3.3. :

ϕ(∞,t0) = 4,67 (interpoliert)

b) Endschwindmaß

Eingangswerte :

- relative Luftfeuchte : 50 %- wirksame Bauteildicke : 132 mm

⇒ abgelesenes Endschwindmaß aus Tab. 3.4 :

εcs∞ = -0,60 (%0)


Im Falle des gewöhnlichen Hochbaus darf σp = 0.85 ⋅ σpg0 gewählt werden.

σp = 0.85 ⋅ σpg0 = 0.85 ⋅ (Pm,0 / Ap + Mdgk⋅ α / Wcp,i) = 0.85⋅(2.172,2 / 0.001776 + 5,135 ⋅ 22,01 ⋅ 24² / (8⋅0,1079182)) = 1.109.012 kN/m² = 1.109 N/mm²

σp/fpk = 1.109 / 1770 = 0,627

∆σpr,1000 / σp = 1 %

⇒ ∆σpr,1000 = 0.01*1.109 = 11,1 N/mm²

Die Langzeitwerte für die Relaxationsverluste dürfen gemäß [EC2 , 4.2.3.4 (2)]dreimal so hoch angenommen werden wie die nach 1000 h.

∆σpr = 3 ⋅ ∆σpr,1000 = 3 ⋅ 11,1 = 33,3 N/mm²

σcg = (Mg+ψs) / Wcp,i = 1.656,72 / 0,1079182 ⋅10-3= 15,4 N/mm²

σcp0 = -22,3 N/mm²

σcg + σcp0 = 15,4 - 22,3 = - 6,9 N/mm²

Damit errechnet sich der Spannkraftverlust infolge Kriechen , Schwinden , Relaxationzu :

σP,csr = εcs( t - ts ) ⋅ Es + ∆σpr + α ⋅ ϕ(t,t0) ⋅ (σcg + σcP0 ) 1 + α ⋅ Ap/Ac ⋅ (1 + Ac/Ic ⋅ zcp²) (1 + 0.8 ϕ(t,t0) )

= -0,60 ⋅10-3 ⋅ 190.000 – 33,3 + 5,135 ⋅ 4,67 ⋅ (-6,9)______________________ 1 + 5,135 ⋅ 0.001767 / 0,28054⋅[1+0,28054/0,07101956 ⋅0,7234²]⋅[1+0.8⋅4,67]

= -212,8 N/mm²

Die mittlere Spannung in den Spanngliedern zum Zeitpunkt t = t∞ beträgt :

σPm,∞ = σPm,0 - ∆σP,csr = 1.229,32 – 212,8 = 1.016,5 N/mm²

⇒ Pm,∞∞∞∞ = 1.016,5 ⋅ 17,67 ⋅ 10-1 = 1.796,2 kN

⇒ Mp,∞∞∞∞ = 1.796,2 ⋅ 0,7234 = 1.299,4 kNm


8. Bemessung in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit

Die Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit sind mit dencharakteristischen Werten der Vorspannkraft zu führen (bzw. γp = 0).Möglicherweise wird eine zusätzliche Schlaffbewehrung nötig .

8.1 Bemessungswerte der Baustoffe

fcd = fck/γc = 50 / 1,5 = 33 N/mm²

fyd = fyk/γs = 500 / 1,15 = 435 N/mm²

fpd = 0,9 ⋅ fpk/γs = 0,9 ⋅ 1.770 / 1,15 = 1.385 N/mm²

8.2 Bemessung für Biegung und Längskraft

Bemessungsquerschnitt Zeitpunkt Äußere Lasten Vorspannung

Auflager to γg ⋅ gk γp⋅rinf⋅Pm,0γp⋅rsup⋅Pm,0

Feld to γg ⋅ gk γp⋅rinf⋅Pm,0γp⋅rsup⋅Pm,0

Feld t∞ γg ⋅(gk+dgk)+ γq⋅qk γp⋅rinf⋅Pm,∞γp⋅rsup⋅Pm,∞

Der Nachweis am Auflager zum Zeitpunkt t=t0 wird geführt, weil dort keine günstigwirkenden Momente aus dem Eigengewicht auftreten.

8.2.1 Zeitpunkt t = to

Dieser Nachweis bezieht sich auf die kombinierte Beanspruchung infolge Vor-spannung und Eigenlast [EC2,2.3.3.1 (5)], also im vorliegenden Fall auf den Zeit-punkt kurz nach dem Anspannen. Hierbei wird die erforderliche Stahlquerschnitts-fläche für den Obergurt errechnet.

[EC2,2.3.3.1 (5)] legt im Fall der Belastungskombination Eigenlast und Vorspannungdie folgenden Teilsicherheitsbeiwerte fest :

- Eigenlast im Fall günstiger Wirkung : γg = 1.0- Vorspannung : γp = 1.0

Die Bemessung erfolgt mit Hilfe des „allgemeinen Bemessungsdiagramms fürRechteckquerschnitte“. Diese Tafel beschränkt die zulässige Stahldehnung aufεs1 = 2 %, so daß die zulässigen Spannungen in der Spannstahlbewehrung auffpd = 0.9*fpk/γs begrenzt werden.Durch Vergleich der Druckzonenhöhe x mit der Obergurthöhe muß überprüft werden,ob bemessungstechnisch ein Rechteckquerschnitt vorliegt.


Nachweis im Feld:Kann entfallen, weil der ungünstigste Fall hier am Auflager ist.

Nachweis am Auflager:

rsup = 1,1 (maßgebend)

Msd = Mgd + Mpd

Mgd = 0 kNmMpd = 1,0 ⋅ MP0 = 1,0 ⋅ (-1.522,1) = -1.522,1 kNm

Msd = 0 – 1.522,1 = -1.522,1 kNm

Msds = Msd - Nsd ⋅ zcs = Msd - γp ⋅ rsup ⋅ Np ⋅ zcs

mit: zcs = zct,i - ds1

ds1 = nom c + ½ ∅ dsl = 3,5 + 0,5 ⋅ 2,0 = 4,5 cm

zcs = 0,6656 - 0,045 = 0,6206 m

Msds = -1.522,1 - 1,1 ⋅ 1,1 ⋅ (-2.172,2) ⋅ (-0,6206) = -3.153,3 kNm

ds = 1,45 – 0,045 = 1,405 mbw = 0.30 m

µµµµsds = Msds / (bw ⋅ ds² ⋅ fcd) = 3.153,3 ⋅ 10-3 / (0.3 ⋅ 1,405² ⋅ 33,33) = 0,16

abgelesen wird :

ξ = x/d = 0,261 ⇒ x = 1,405 ⋅ 0,261 = 0,37 mes muß eine genauere Untersuchung des Grenzzustandesvorgenommen werden, damit im Querschnitt Gleichgewichtherrscht.

ζ = z/d = 0,892 ⇒ z = 1,405 ⋅ 0,892 = 1,25 m

εs1 = 9,92 ‰

req. As = 1 /σs1 ⋅ (Msds /z + Nsd) = 1 /43,5 ⋅ (3153,3 /1,25 – 2172,2) = 8,06 cm2

Nachweis der Rotationsfähigkeit

Für Beton der Festigkeitsklasse C 40/50 und höher muß folgende Bedingung erfülltsein :

ξ = x /d ≤ 0,35

vorh. ξξξξ = x /d = 0,261 ≤≤≤≤ 0,35


Ermittlung der Druckkraftresultierenden und des Widerstandmomentes

Bemessungsvorgaben εc2 = -3,50‰εs1 = 9,92‰

Ermittlung von Fcd und MRd

ξ = x / d = 0,26

x = ξ * d = 36,53cm Druckzonenhöhe

0,8 * x = 29,22cm [EC2, 4.2.1 (Bild 4.4)]

Ac = 702cm² Druckzonenfläche

a = 11,11cm Lage der Druckkraftresultierenden

z = ds - a = 129,39cm Innerer Hebelarm

Fcd = 1,98877MN Druckkraftresultierende

MRd = 2,57327MNm < Msd = 3,51533 MN

Die Lage der Nulllinie muß hier nach oben verschoben werden, bzw. dieStahldehnung wurde iterativ bis auf 5,14 ‰ reduziert bis MRd ≥ MSds ist..

Bemessungsvorgaben εc2 = -3,50‰εs1 = 5,14‰

Ermittlung von Fcd und MRd

ξ = x / d = 0,41

x = ξ * d = 57,61cm Druckzonenhöhe

0,8 * x = 46,09cm [EC2, 4.2.1 (Bild 4.4)]

Ac = 904cm² Druckzonenfläche

a = 17,06cm Lage der Druckkraftresultierenden

z = ds - a = 123,44cm Innerer Hebelarm

Fcd = 2,56103MN Druckkraftresultierende

MRd = 3,16134MNm > Msd = 3,51533 MN

⇒ req. As = 1 /σs1 ⋅ (Msds /z + Nsd)= 1 /43,5 ⋅ (3161,34 /1,23 – 2172,2) = 8,94 cm2


8.2.2 Zeitpunkt t = t∞∞∞∞

Da der Spannstahlquerschnitt bereits vorgegeben ist und demnach nur noch ein evtl.erforderlicher Betonstahlquerschnitt gesucht wird , werden die Schnittgrößenzweckmäßigerweise auf die Höhenlage von As1 bezogen und die Vorspannkraft wieeine äußere Last behandelt .Die Bemessung erfolgt mit Hilfe der Tafel 'Allgemeines Bemessungsdiagramm fürRechteckquerschnitte'.

Bemessungsschnittgrößen :

rinf = 0.9 (maßgebend)

Nsd = Pm∞ = -1.796,2 KN

ds - dp = 1,405 – (1,45 – 0,08375) = 0,03875 m

Msds = Mg+dg+q,d + M'P∞,d - Nsd ⋅ (ds - dp)

Mg+dg+q,d = 2.679,12 kNmM'P∞,d = rinf ⋅ Mpd∞ = 0.9 ⋅ 1.299,4 = -1.169,5 kNmNsd ⋅ (ds - dp) = -1.796,2 ⋅ 0,03875 = -69,6 kNm

Msds = 2.679,12 + (-1.169,5) - (-69,8) = 1.579,4 kNm

µµµµsds = Msds / (bw⋅ds² ⋅ fcd) = 1.579,4 ⋅10-3 / (0,50 ⋅ 1,405² ⋅ 33,33) = 0,048

abgelesen wird :

ξ = x/d = 0,089 ⇒ x = 1,405 ⋅ 0,089 = 0,125 m(Druckbereich wird als komplett im Untergurt angesehen)

ζ = z/d = 0,967 ⇒ z = 1,405 ⋅ 0,967 = 1,36 m

req. As = 1/σs1 ⋅ (Msds/z + Nsd) = 1 / 43,5 ⋅ (1.579,8 / 1,36 – 1.796,2) < 0

Nachweis der Rotationsfähigkeit

Für Beton der Festigkeitsklasse C 40/50 und höher muß folgende Bedingung erfülltsein :

ξ = x /d ≤ 0,35

vorh. ξξξξ = x /d = 0,089 ≤≤≤≤ 0,35

Eine zusätzliche Betonstahlbewehrung ist für diesen Grenzzustand nicht erforderlich.


8.2.3 Mindestbewehrungsquerschnittder Betonstahlbewehrung nach [EC 2, 5.4.2.1.1]

min As = 0,6 ⋅ bw ⋅ d ⋅ 1 / fyk max. Wert ist maßgebend

min As = 0,0015 ⋅ bw ⋅ d

Auflager: t=t0

Oben:

bt = bw = 0,5 md = ds = 1,405 m

min As = 0,6 ⋅ 50 ⋅ 140,5 / 500 = 8,43 cm²min As = 0,0015 ⋅ 50 ⋅ 140,5 = 10,54 cm² (maßgebend)

min As > erf As ⇒⇒⇒⇒ min As = 10,54 cm² ist einzulegen

gew. : 7 ∅∅∅∅ 14 prov. As= 10,78 cm² > req. As = 10,54 cm² (Mindestbewehrung)

Feld:

Unten:

bt = bw = 0,3 md = ds = 1,405 m

min As = 0,6 ⋅ 30 ⋅ 140,5 / 500 = 5,08 cm²min As = 0,0015 ⋅ 30 ⋅ 140,5 = 6,35 cm² (maßgebend)

min As < erf As = vorh Ap = 17.67 cm2


8.3 Bemessung für Querkraft

Nachweisformat :

VSd ≤ VRd

VSd : Bemessungswert der einwirkenden QuerkraftVRd : Bemessungswert des WiderstandesVRd1 : Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Bauteils ohne

SchubbewehrungVRd2 : höchster Bemessungswert der Querkraft, die ohne Versagen der

Betondruckstreben aufgenommen werden kannVRd3 : Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Querschnitts in einem

Bauteil mit Schubbewehrung

Nachweisverfahren : Standardverfahren [EC2 , 4.3.2.4.3]

Der Nachweis wird am Auflager A für die Lastkombination gd + dgd + qd geführt .

Bemessungswert der einwirkenden Querkraft :

Bei direkter Lagerung darf die einwirkende Querkraft im Abstand 1.0 d vomAuflagerrand ermittelt werden .

d = 1,41 m, Auflagertiefe: a = 20 cm d + ½ a = 1,51 m

max. VSd = 446,52 kN

maßgebend: VSd = 446,52 – 37,21 ⋅ (1,51) = 390,33 kN

8.3.1 Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit (VRd2)

VRd2 = 0,5 ⋅ ν ⋅ fcd ⋅ bw ⋅ z

ν : Wirksamkeitsfaktor der Festigkeit der Betondruckstreben gemäß[EC2,4.3.2.4.2(3)] zur Begrenzung der Spannung in denBetondruckstreben auf :

σc ≤ ν ⋅ fcd

ν = 0,7 - fck /200 ≥ 0,5ν = 0,7 -50 /200 = 0,45 ⇒ ν = 0.5bw = 0,12 mz ≅ 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 1,41 = 1,27 m

VRd2 = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 33,33 ⋅ 0,12 ⋅ 1,27

= 1,2699 MN

= 1.269,9 kN


Berücksichtigung der Längsdruckkraft :

Die Wirkung einer Längsdruckkraft aus Last bzw. Vorspannung soll gemäß

[EC2,4.3.2. (4)] in einer Verringerung des Bemessungswiderstandes der

Druckdiagonalen VRd2 auf VRd2,red Berücksichtigung finden .

VRd2,red = 1,67 ⋅ VRd2 ⋅ (1 - σcp,eff / fcd ) ≤ VRd2

σcp,eff: wirksame mittlere Betonspannung

σcp,eff = Nsd /Ac = 2.185,5 / 2.805,4 ⋅ 10 = 7,79 N/mm²

VRd2,red = 1.67 ⋅ VRd2 ⋅ (1 – 7,79 / 33,33)

= 1,28 ⋅ VRd2 > VRd2

VRd2,red = VRd2

Die Wirkung der Vorspannung hat somit keinen Einfluß auf die Druckstreben-tragfähigkeit .

Nachweis:

VSd / VRd2 = 390,33 / 1.269,9 = 0,31 < 1

8.3.2 Nachweis der Schubbewehrung

[EC2 , 4.3.2.4.3 (1)] gibt die Querkrafttragfähigkeit eines Querschnitts an mit:

VRd3 = Vcd + Vwd

Vcd : Bemessungswert der aufnehmbaren Querkraft eines Querschnitts in einemBauteil ohne Schubbewehrung

Vwd : Bemessungswert des Anteils der Querkraft, der von der Schubbewehrungaufgenommen wird

Vcd = VRd1 = [τRd ⋅ k ⋅ (1,2 + 40 ⋅ ρl) + 0,15 ⋅ σcp] ⋅ bw ⋅ d

τRd : Grundwert der Bemessungssteifigkeit bei Bauteilen ohne SchubbewehrungτRd = 0,33 MN/m² für Beton C 50/60

k : Beiwert zur Berücksichtigung der Bauteildickek = 1,6 - d = 1,6 - 1,41 ≥ 1 k = 1

ρl : Längsbewehrungsgrad (aus GDT : 11,78 cm2)ρl = Asl / (bw ⋅ d) = 11,78 / (12 ⋅ 141) = 0,00696 ≤ 0,02

σcp = 7,79 N/mm² (s. o.)


Vcd = [0,33 ⋅1,0 ⋅(1,2+40⋅0,00696)+0,15 ⋅ 7,79] ⋅ 0,12 ⋅ 1,41

= 0,2978 MN = 280,3 kNdurch die Schubbewehrung aufzunehmender Querkraftanteil :

VRd3 = Vcd + Vwd = VSd

Vwd = VSd - Vcd = 390,33 – 280,3 = 110,03 kN

erforderliche Schubbewehrung :

Bei Anordnung von lotrechten Bügeln (α = 90°) erhält man die erforderlicheSchubbewehrung aus [EC2 , 4.3.2.4.3 (2)] zu :

Vwd = Asw / s ⋅ 0,9 ⋅ d ⋅ fywd

req. Asw/s = Vwd / (0,9 ⋅ d ⋅ fywd) = [110,03 / (0,9 ⋅ 1,41 ⋅ 43,5)] = 1,99 cm²/m

8.3.3 Wahl der Schubbewehrung

Die Bewehrungswahl erfolgt unter Berücksichtigung der nach [EC2 , 5.4.2.2]geforderten Mindestschubbewehrung.

Längsabstand :

Vsd / VRd = 390,33 / 1.269,9 = 0,31

Für 1/5 VRd2 ≤ Vsd ≤ 2/3 VRd2 gilt :

0,6 d = 84,6 cmsmax ≤

30 cm (maßgebend)

Nach [EC2 , 5.4.4.2 (9)] gilt für den Querabstand das gleiche wie für denLängsabstand .

Mindestschubbewehrungsgrad :

[EC2 ,5,4,4,2 (5)] legt den Mindestwert des Schubbewehrungsgrades ρw inAbhängigkeit der Betonfestigkeitsklasse C50/60 und der Stahlfestigkeitsklasse BSt500 fest zu :

min ρw = 0,0013 = 13 cm²/m

min ρw = min Asw / (s ⋅ bw)

min Asw= min ρw ⋅ bw = 13 ⋅ 0,12 = 1,56 cm²/m

gewählte Bügel : 2-schnittige Bügel ∅∅∅∅ 6, s = 25 cm

vorh. As =2,26 cm²/m > req. As = 1,56 cm²/m


8.3.4 Anschluß an den mitwirkenden Trägergurt

Nachweisformat :

Der mittlere aufzunehmende Längsschub je Längeneinheit νsd darf die ebenfalls aufdie Längeneinheit bezogene Betondruckstrebentragfähigkeit νRd2 bzw.Zugstrebentragfähigkeit νRd3 nicht überschreiten . [EC2 , 4.3.2.5 (4)]

νsd ≤ νRd2 bzw. νRd3

Bemessungswert der je Längeneinheit aufzunehmenden Querkraft :

νsd = ∆Fd / av

∆Fd : Längskraftdifferenz über die Länge av (Druck oder Zug), die in einem ein-seitigen Gurtabschnitt zwischen Steg und Gurt wirkt.

av : Abstand zwischen Momentennullpunkt und dem Querschnitt mit demGrößtmoment Mmax

Bemessungswert der Druckstrebentragfähigkeit :

νRd2= 0,2 ⋅ fcd ⋅ hf

Bemessungswert der Zugstrebentragfähigkeit :

νRd3= 2,5 ⋅ τRd ⋅ hf + Asf / sf ⋅ fyd (Anschluß eines Druckgurtes)

νRd3= Asf / sf ⋅ fyd (Anschluß eines Zuggurtes)

8.3.4.1 Anschluß der mitwirkenden TrägergurteZum Zeitpunkt t = to

Schnittgrößen infolge Vorspannung und Eigengewicht :

Msd = γp ⋅ rsup ⋅ Mp + γg ⋅ Mgk

= 1,0 ⋅ 1,1 ⋅ (-1.522,1) + 0

= -1.674,3 kNm

Bereich 0 ≤ x ≤ 12 m

Nachweis der Zuggurtanschnitte :

Es erübrigt sich die Berechnung , da keine statisch notwendige Bewehrungvorhanden ist .


Nachweis der Druckgurtanschnitte :

Aus Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit für den Zeitpunkt t = t0 (s.S.21):

z = 1,23 m

Die einzuleitende Schubkraft ∆Fd kann unter Zuhilfenahme nachstehender Gleichungermittelt werden :

∆Fd = Fcd ⋅ Aca / Acc

Aca/Acc = 0,5 (bf-bw) /bf = 0,5 ⋅ (0,3 - 0,12) / 0,3 = 0,3

Fcd = Msd /z = 1.674,3 / 1,23 = 1361,2 KN = 1,3612 MN

∆Fd = 0,3 ⋅ 1,3612= 0,408 MN

Für den mittleren aufzunehmenden Längsschub νsd gilt :

νsd = ∆Fd /av = 0,408 / 12 = 0,034 MN/m

Nachweis der Druckstrebentragfähigkeit :

νRd2 = 0,2 ⋅ fcd ⋅ hf

= 0,2 ⋅ 33,33 ⋅ 0,15

= 1,0 MN/m

ννννsd /ννννRd2 = 0,034 /1,0 = 0,034 < 1

Nachweis der Zugstrebentragfähigkeit :!

νRd3 = 2,5 ⋅ τRd ⋅ hf + Asf /sf ⋅ fyd = νsd = 0,034

Annahme : Die Gurtplatte des Trägers wird durch eine Zugkraft infolge einesBiegemomentes senkrecht zum Balkensteg beansprucht .

∆νRd3 = 2,5 ⋅ τRd ⋅ hf = 0

νRd3 = Asf /sf ⋅ fyd = 0,034 MN/m

Asf,req /sf = 0,034 /435 ⋅104 = 0,78 cm²/m

In den Gurten wird die gleiche Schubbewehrung angeordnet wie im Steg .

2-schnittige Bügel ∅∅∅∅ 6 , s = 25 cm , mit prov. As = 2,26 cm²/m


8.3.4.2 Anschluß der mitwirkenden Trägergurtezum Zeitpunkt t = t∞∞∞∞

Schnittgrößen infolge Vorspannung , Eigen- und Zusatzeigengewicht , Verkehrslast.

Msd = γp ⋅ rinf ⋅ Mp,∞ + γg ⋅ (Mgk + Mdgk) + γq ⋅ Mqk

= 1,0 ⋅ 0,9 ⋅ (-1.299,4) + 1,35 ⋅ ( 22,01 ⋅ 24² / 8 ) + 1,5 ⋅ ( 5 ⋅ 24² / 8 )

= 1.509,7 kNm

Bereich 0 ≤ x ≤ 12 m

Nachweis der Zuggurtanschnitte :

∆Fd = Ap1a /Ap ⋅ Fp1d,max

Ap1a = 5,58 cm² (6 Spannstahllitzen)

Ap = 17,67 cm² (19 Spannstahllitzen)

Fp1d,max = Pm,∞ = 1.796,2 kN

∆Fd = 5,58 / 17,67 ⋅ 1.796,2 = 576,2 kN

Für die mittlere aufzunehmende Längsschubkraft νsd gilt :

νsd = ∆Fd / av = 0,5762 / 12 = 0,048 MN/m

Bemessungswert der Druckstrebentragfähigkeit :

νRd2 = 0,2 ⋅ fcd ⋅ hf

= 0,2 ⋅ 33,33 ⋅ 0,15

= 1,0 MN/m

ννννsd /ννννRd2 = 0,048 / 1,0 = 0,048 < 1

Bemessungswert der Zugstrebentragfähigkeit : !νRd3 = Asf /sf ⋅ fyd = 0,048 MN/m = νsd

Asf,req / s = νsd /fyd = 0,048 / 435 ⋅104 = 1,10 cm²/m

In den Gurten wird die gleiche Schubbewehrung angeordnet wie im Steg mit

prov. As = 2,26 cm²/m > req. As = 1,10 cm²/m .

Nachweis der Druckgurtanschnitte :

Es erübrigt sich ein rechnerischer Nachweis, da keine statisch notwendigeBewehrung erforderlich ist .


9. Nachweise in den Grenzzuständen der Gebrauchstauglichkeit

Nachweise :

• Begrenzung der Spannungen(Beton- , Stahl- und Spannstahlspannungen)

• Begrenzung der Rißbreiten• Begrenzung der Durchbiegungen

9.1 Nachweise der Spannungen

Die Nachweise zur Begrenzung der Spannungen (mit Ausnahme der Nachweise derSpannstahlspannungen) unter Gebrauchslasten sind nicht erforderlich, wennfolgende Forderungen nach [EC2 , 4.4.1.2 (2)] Beachtung finden :

• Bemessung für den GdT nach [EC2 , 4.3]• Einhaltung der Mindestbewehrung nach [EC2 , 4.4.2.2]• Berücksichtigung der konstruktiven Regeln für die bauliche Durchbildung nach

[EC2 , 5]• Begrenzung der Umlagerung der Biegemomente in den Nachweisen des

Grenzzustandes der Tragfähigkeit auf 30 % , d.h. auf einen Umlagerungsfaktor0.7 ≤ δ ≤ 1.0

Zulässige Spannstahlspannungen :

Zur Vermeidung nichtelastischer Verformungen des Spannstahls im Gebrauchszu-stand können die Stahlzugspannungen für die seltene Einwirkungskombination wiefolgt begrenzt werden [EC2 , 4.4.1.1 (7)]:

σp ≤ 0,75 fpk

Die Spannstahlspannungen setzen sich zusammen aus :

σp = σpm∞ + ∆σp

• Spannungszuwachs im Spannstahl :

∆σp = αp ⋅ σcp = Ep / Ec ⋅ σcp

Ep/ Ec = 190000 / 37000 = 5,135

σcp = Mdgk / Wcp,i + Mqk / Wcp,i

Die an der Spannpresse abgelesene Vorspannkraft enthält bereits den Anteil ausVorspannung und Eigengewicht , daher darf in der Berechnung des Spannungs-zuwachses ∆σp nur noch die Wirkung der nachfolgend einwirkenden äußeren Lastenberücksichtigt werden:

Mdgk = 15 ⋅ 24² / 8 = 1080,0 kNm


Mqk = 5 ⋅ 24² / 8 = 360,0 kNm

Wcp,i = 0,107919 m³

σcp = ( 1,08 + 0,360 ) / 0, 107919 = 13,34 MN/m²

∆σp = 5,135 ⋅ 13,34 = 68,5 MN/m²

σpm∞ = 1.016,5 MN/m²

σσσσp = σpm∞ + ∆σp = 1.016,5 + 68,5 = 1.085 MN/m²

Nachweis :

σσσσp / (0,75 fpk) = 1.085 / (0,75 ⋅⋅⋅⋅1770) = 0,82 < 1

9.2 Nachweise zur Rißbreitenbeschränkung

• Anforderungen :

Nach [EC2 , 4.4.2.1 , Tab. 4.10] gilt für vorgespannte Bauteile mit sofortigemVerbund der Umweltklasse 1:max. Rißbreite: wk = 0;2 mm

• Nachweisführung :

Das Prinzip zur Beschränkung der Rißbreite im EC2 umfaßt 2 Kriterien :

• Beachtung der Mindestbewehrung in allen Stahlbeton- bzw.Spannbetonquerschnitten

• Einhaltung der zulässigen Rißbreite ohne direkten Nachweis durch Begrenzungder Abstände bzw. Durchmesser der Bewehrungsstäbe [EC2 , 4.4.2.3]

9.2.1 Mindestbewehrung zur Beschränkung der Rißbreite

Die Mindestbewehrung läßt sich nach [EC2 , 4.4.2.2 (3)] berechnen zu :

min As= kc ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅ Act / σs

Es gibt zwei Bedingungen, bei denen in Spannbetonbauteilen auf eineMindestbewehrung verzichtet werden kann:

1. Bedingung :

Da in Spannbetonbauteilen die Mindestbewehrung nicht in den Bereichenerforderlich ist, in denen der Beton bei seltener Lastkombination und denmaßgebenden charakteristischen Werten der Vorspannung unter Druck verbleibt[EC2 , 4.4.2.2 (6)], kann demnach bei ausschließlichen Druckspannungen gänzlichauf eine Mindestbewehrung verzichtet werden.


2. Bedingung :

In Rechteckquerschnitten darf ebenfalls auf eine Mindestbewehrung verzichtetwerden, wenn unter Einwirkung des maßgebenden charakteristischen Wertes derVorspannung die Höhe der Zugzone, die unter der Annahme eines gerissenenQuerschnitts unter den Lastbedingungen der Erstrißbildung berechnet wurde, denkleineren Wert von h/2 oder 0.5 m nicht überschreitet [EC2 , 4.4.2.2 (7)].

9.2.1.1 Zeitpunkt t=to

Überprüfung einer erf. Mindestbewehrung nach Bedingung 1 :

Mgk = 7,01 ⋅ 24² / 8 ⋅ 10-3= 0,505 MNm

rsup = 1,1

σσσσct = rsup ⋅ Np0 / Ac,i + rsup ⋅ Mp0 / Wct,i + Mgk / Wct,i

= 1,1 ⋅ (-2,172) / 0,28961 + 1.1 ⋅ 1,5221 / 0,11361 + (-0,505) / 0,11361

= 2,04 N/mm² (Zug)

σσσσcb = rsup ⋅ Np0 / Ac,i + rsup ⋅ Mp0 / Wcb,i + Mgk / Wcb,i

= 1,1 ⋅ (-2,172) / 0,28961 + 1.1 ⋅ (-1,5221) / 0,096403 + 0,505 / 0,096403

= -20,38 N/mm²

Der Querschnitt verbleibt Bereichsweise unter Zugspannungen, Bed. 1 ist nichterfüllt.

Überprüfung der erforderlichen Mindestbewehrung nach Bed. 2 :

Unter Hinweis auf [3 , 10.2.2.1] kann für Stege von Spannbetonbauteilen dieBedingung als erfüllt angesehen werden, wenn:

|σcs| = Pk / Ac ≥ h ⋅ fct,eff (Bauteilhöhe ≥ 1,0 m)

fct,eff= fctm = 0,30 fck2/3= 0,30 ⋅ 50 2/3 = 4,07 N/mm²

Pk /Ac = 2,172 / 0,28054 = 7,74 N/mm²

Nachweis :

7,74 N/mm² ≥≥≥≥ 1,45 ⋅⋅⋅⋅ 4,07 = 5,90 N/mm²

Die zweite Bedingung ist erfüllt, es kann daher für den Zeitpunkt t = t0 auf eineMindestbewehrung verzichtet werden .


9.2.1.2 Zeitpunkt t = t∞∞∞∞

Überprüfen der erforderlichen Mindestbewehrung anhand Bedingung 1:

rinf = 0,9

σσσσct = rinf ⋅ Np∞ / Ac,i + rinf ⋅ Mp∞ / Wct,i + Mg+dg+qk / Wct,i

= 0,9 ⋅ (-1,7962) / 0,28961 + 0,9 ⋅ 1,2994 / 0,11361 + (-1,945) / 0,11361

= -12,41 N/mm²

σσσσcb = rinf ⋅ Np∞ / Ac,i + rinf ⋅ Mp∞ / Wcb,i + Mg+dg+gk / Wcb,i

= 0,9 ⋅ (-1,7962) / 0,28961 + 0,9 ⋅ (-1,2994) / 0,096403 + 1,945 / 0,096403

= 2,46 N/mm²

Der Querschnitt verbleibt bereichsweise unter Zugspannungen. Es ist keine Mindest-bewehrung erforderlich, da Bedingung 2 erfüllt ist (wie Zeitpunkt t=t0).

9.2.1.3 Stegseitenlängsbewehrung

Bemessung :

Die erforderliche Bewehrungsmenge wird mit folgender Formel bestimmt :

min As= kc ⋅ k ⋅ fct,eff ⋅ Act / σs

kc : = 0,4 für Stegek : bei Zugspannungen infolge inneren Zwangs k = 0,5 für h > 80 cmσs : σs = 500 MN/m²Act: Stegfläche Act = 0,984 ⋅ 0,12 = 0,1181 m²

req. As = 0,4 ⋅ 0,5 ⋅ 4,07 ⋅ 0,01181 ⋅ 104 / 500 = 1,92 cm²

gewählt: ∅∅∅∅ 8 , s = 20 cm , mit prov. As = 2,51 cm²/m


9.2.2 Beschränkung der Rißbildung ohne direkte Berechnung

Bei überwiegender Lastbeanspruchung ist gemäß [EC2 , 4.4.2.3 (2)] dieBetonstahlspannung in Spannbetonbauteilen unter häufiger Lastkombinationwahlweise durch Begrenzung von Stabdurchmessern [EC2 , 4.4.2.3 ,Tab.4.11] oderdurch Einhaltung von Stababständen [EC2 , 4.4.2.3 ,Tab.4.12] nachzuweisen .Bei vorgespannten Bauteilen sollten die Spannungen in der Bewehrung berechnetwerden, indem die Vorspannung als äußere Kraft betrachtet wird ohneBerücksichtigung des Spannungszuwachses in den Spanngliedern infolge äußererBelastung [EC2 , 4.4.2.3 (2)]

Nachweisformat:

σs ≤ 0 ⇒ Keine Einschränkung der Grenzdurchmesser

Spannung:

σσσσcp = Np∞ / Ac,i + Mp∞ / Wcp,i + Mg+ψs / Wcp,i

= (-1,7962) / 0,28961 + (-1,2994) / 0,107919 + 1,6567 / 0,107919

= -2,89 N/mm² < 0

Es sind keine Einschränkung der Grenzdurchmesser zu beachten.

.


9.3 Grenzzustände der Verformung

Anforderungen : [EC2 , 4.4.3]

Um das Erscheinungsbild und die Gebrauchstauglichkeit eines Tragwerks (Balken,Platte, Kragbalken) nicht zu beeinträchtigen, sollte die Durchbiegung unter quasi-ständigen Lasten folgenden Werten genügen:

f ≤ leff / 250

Führt eine übermäßige Verformung gar zu Folgeschäden, so sollte die rechnerischeDurchbiegung nicht größer sein als:

f ≤ leff / 500

Nachweisverfahren:

EC2 bietet zwei Möglichkeiten zum Nachweis des Grenzzustandes derVerformungen an:

1) Anwendung vereinfachter Regeln, wie z.B. Einhaltung bestimmterBiegeschlankheiten für Stahlbetonteile. [EC2 , 4.4.3.2]

2) Gegenüberstellung der rechnerisch ermittelten und der zulässigen Durchbiegung.[EC2 , 4.4.3.3]

Für Spannbetonbauteile gibt es leider keine vereinfachten Regeln im EC2. Daherwird mit Hilfe von [EC2 , Anhang 4] die Durchbiegung rechnerisch ermittelt.

Rechnerischer Nachweis der Durchbiegung:

Bei den in Kapitel 9.2 (Nachweise zur Rißbreitenbeschränkung) ermitteltenBetonspannungen unter quasi-ständiger Einwirkungskombination ergibt sich:

• alle Zugspannungen im Beton sind kleiner als die Betonzugfestigkeit vonfctm= 4,07 N/mm².

Der Querschnitt bleibt demnach im ungerissenen Zustand. Stahl und Beton wirkenalso sowohl unter Zug als auch unter Druck elastisch zusammen.

Berücksichtigung der Kriechverformungen :

Die rechnerische Erfassung der aus der Kriechwilligkeit des Betons resultierendenDurchbiegung erfolgt durch die Benutzung eines wirksamen E-Moduls:

Ec,eff = Ecm / ( 1 + ϕt) Ecm = 37000 MN/m²= 37000 / ( 1+ 4,67) ϕ∞ = 4,67= 6525,6 MN/m²


Momentenverlauf unter quasi-ständiger Einwirkungskombination infolgeVorspannung und äußeren Lasten :

ψ2 = 0 für Schneelasten

Med = Mp,∞ + Mg,k + Mdg,k + ψ2 ⋅ Mq,k

= -1.299,4 + 504,7 + 1080,0 + 0

= 285,3 kNm

Momentenverlauf M' unter "1"-Last in Feldmitte (l = 24 m):

M' = "1" ⋅ l / 4 = 6,0 m

Berechnung der Durchbiegung unter Beachtung der Kriechverformung:(Überlagerung mit Hilfe der Integraltabellen aus Betonkalender)

Ec,eff = 6.525.573 kN/m²

Ic = 0,07101956 m4

Ec,eff ⋅ Ic ⋅ δ Ed ⋅ M' dx = (5 / 12 ⋅ 285,3 ⋅ 6,0 ) ⋅ 24 = 17.118δδδδ = 17.118 / (6.525.573 ⋅ 0,07101956) = 0,0369 m

= 37 mm

Durchbiegung infolge Schwindkrümmung :

[EC2, Anhang 4, A4.3 (1)] gibt Hinweise zur Abschätzung der Schwindkrümmungen.

(1/x)cs = εcs ⋅ αc ⋅ S / I

(1/x)cs : Krümmung infolge Schwindenεcs : freie Schwinddehnung ; εcs = εcs∞ = -0,60 ⋅ 10-3

Flächenmoment 2. Grades: I = 0,07101956 m4

αc : Verhältnis der E-Moduli Es /Ec,eff = 190000 / 6.525,6 = 29,12S : Statisches Moment

Statische Momente :

Betonstahl

Sso ≅ [7∅14⋅(-62,06) + 2∅8 ⋅(-54,56) + 2∅8 ⋅(-46,89)

+ 2∅8 ⋅ (-26,89) + 2∅8 ⋅ (-6,89)] ⋅10-6

= [10,78 ⋅ (-62,06) + 1,01 ⋅(-54,56 - 46,89 - 26,89 -6,89 )] ⋅10-6

= -8,056 ⋅ 10-4 m3


Ssu ≅ [2∅8⋅(13,11) + 2∅8 ⋅(33,11) + 2∅8 ⋅(53,11)] ⋅10-6

= [1,01 ⋅ (13,11 + 33,11 + 53,11)] ⋅10-6

= 1,003 ⋅ 10-4 m3

Spannstahl

Spu = 17,67 ⋅ 70,07 ⋅ 10-6 = 12,381 ⋅ 10-4 m³

⇒ S = (Sso + Ss

u + Spu) / 2 = 5,328 ⋅⋅⋅⋅ 10-4 m³

(1/x)cs = εcs ⋅ αc ⋅ S /I

= 0,60⋅10-3 ⋅ 29,12 ⋅ 5,328 ⋅10-4/0,07101956

= 1,311 ⋅10-4 1/m

⇒ δδδδ = (1 /x)cs ⋅ M' dx= (5 /12 ⋅ 1,311 ⋅10-4 ⋅ 6,0) ⋅24

= 0,0079 m

= 7,9 mm

resultierende Gesamtdurchbiegung in Feldmitte :

δδδδ = 36 + 7,9 = 44,9 mm < leff /250 = 96 mm


10. Bewehrungsführung und bauliche Durchbildung

Betonstahlbewehrung [EC2 , 5.2]

Grundmaß der Verankerungslänge :

fbd = 4,3 N/mm² (gute Verbundbedingung)

fbd = 0,7 ⋅ 4,3 = 3,0 N/mm² (mäßige Verbundbedingung)

lb = ∅ /4 ⋅ fyd /fbd = 1,4 /4 ⋅ 435 / 4,3 = 36 cm (gute Verbundbedingung)

lb = ∅ /4 ⋅ fyd/ fbd = 1,4 /4 ⋅ 435 / 3,0 = 51 cm (mäßige Verbundbedingung)

Festlegen der Verbundbedingungen [EC2 , 5.2.2.1 (2)] :

m 30

g 150

[cm]

m = mäßiger Verbundg = guter Verbund

erforderliche Verankerungslänge :

mit As,req / As,prov = 1 auf der sicheren Seite

lb,net = αa ⋅ lb ⋅ (As,req / As,prov) ≥ lb,min

= 1,0 ⋅ 51 ⋅ 1,0

= 51 cm (mäßige Verbundbedingung)

lb,net = αa ⋅ lb ⋅ (As,req / As,prov) ≥ lb,min

= 1,0 ⋅ 36 ⋅ 1,0

= 36 cm (gute Verbundbedingung)

notwendige Übergreifungslänge :

ls = α1 ⋅ lb,net= 36 bzw. 51 cm


11. Bewehrungsplan und Stahlliste

Stahlliste:

----------------------------------------------------------------------------------------Pos. ∅ Anz. Länge [m] ges. [m] g [kg/m] ges. [kg]----------------------------------------------------------------------------------------Betonstahl 1 14 7 12,30 86,10 1,210 104,18 2 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 3 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 4 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 5 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 6 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 7 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 8 8 2 12,15 24,30 0,395 9,60 9 6 10 4,96 49,60 0,222 11,01 10 6 44 4,96 218,24 0,222 48,45----------------------------------------------------------------------------------------Spannstahl I 12,5 19 24,40 463,60 0,733 339,82----------------------------------------------------------------------------------------


12. Literaturverzeichnis

[1] Skript BS IV, Universität Dortmund, Lehrstuhl für Beton- und Stahlbeton

[2] DIN V ENV 1992, Eurocode 2, Planung von Stahlbeton- undSpannbetontragwerken, Teil 1

[3] DafStb., Heft 425: Bemessungshilfsmittel zu Eurocode 2 Teil 1

[4] DafStb., Heft 399: Das Bewehren von Stahlbetonbauteilen

[5] DafStb., Heft 240: Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen undFormänderungen von Stahlbetontragwerken, nach DIN 1045 Ausgabe Juli 1988

[6] Euro-Stahlbetonbau in Beispielen, Teil 1 und 2, Bemessung nach DIN V ENV1992, Prof. Dr.-Ing. Ralf Avak, Werner Verlag

[7] Schneider Bautabellen, 12. Auflage, Werner Verlag

[8] Autocad 14 Grundlagen, RRZN Hannover

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