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WS 98/99 Simulation, Kp. 9 1 Universität Stuttgart IKE Institut für Kernenergetik und Energiesysteme Simulation komplexer technischer Anlagen Teil II: Elemente zum Bau virtueller Anlagenkomponenten Kapitel 9: Algorithmen 3: Gewöhnliche Differentialgleichungen Inhalt • Gewöhnliche Differentialgleichungen • Euler-Verfahren • Runge-Kutta-Verfahren • Adams-Verfahren • Gear-Verfahren • Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
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WS 98/99 Simulation, Kp. 9 1
Universität StuttgartIKE Institut für Kernenergetik
und Energiesysteme
Simulation komplexer technischer Anlagen
Teil II: Elemente zum Bau virtueller Anlagenkomponenten
Kapitel 9: Algorithmen 3:
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Inhalt• Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Euler-Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Adams-Verfahren
• Gear-Verfahren
• Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
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Gewöhnliche Differentialgleichungen
),( tyfydtd
in a t b
Zu lösen sei mit y(a) = yo
Typischerweise hat bei solchen Problemen die unabhängige Variable die Bedeutung der Zeit. yo ist dann ein Anfangswert.
Von den Problemen, die im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden, fordern wir:
a) Sie müssen eine eindeutige Lösung y(t) haben.
b) Die Lösung darf nur vom Anfangswert abhängen.
c) Sie darf sich nur wenig ändern, wenn yo oder f wenig (z.B. durch Rundungsfehler) geändert werden.
Ein System der Ordnung m ist durch m-Gleichungen definiert.
Diskretisiert man dieses System, so erhält man ein System von Gleichungen, das man vorteilhaft mit Hilfe von
Matrizen und Vektoren beschreibt.
),...,,2,1(11 tymyyfydt
d
),...,,2,1(22 tymyyfydt
d
),...,,2,1( tymyyf mymdt
d
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Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Integriert man
so erhält man
Das Intervall tn bis tn+1 heißt Zeitschritt n+1 für einen Zeitschritt gilt:
Daraus ergeben sich folgende Möglichkeiten, yn+1 zu bestimmen:
1. Integration der rechten Seite nach dem Newton-Verfahren Euler- und Runge-Verfahren.
2. Entwicklung der rechten Seite nach Lagrange-Funktionen und anschließende Integration
Adams-Verfahren.
3. Näherung der Ableitung (linke Seite) durch eine Approximation der Ordnung n
Gear-Verfahren.
Die Verfahren werden in den folgenden Abschnitten kurz erläutert.
btamittyfydt
d ),(
1
12
1......a ),(),(
),()()(
tt t
t dttyfdttyf
dttyfbaayby
1 ),(1tt dttyfyy nn
nn
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Euler-VerfahrenDer Integrand wird durch einen konstanten Wert genähert. Dazu gibt es drei Möglichkeiten:
a) f (y,t) = f (yn,tn)
b) f (y,t) = f (yn+1, tn+1)
c) f (y,t) = f (yn+, tn+ ) mit 0 1
Die rechte Seite wird damit
Daraus folgen 3 Bestimmungsgleichungen für
a) explizites Verfahren: yn+1 = yn + h • f (yn, tn)
b) implizites Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+1, tn+1) (entspricht Iterationsvorschrift)
c) modifiziertes Euler-Verfahren: yn+1 = yn + h f (yn+ , tn+)
Setzt man = 0, 5, so folgt Prediktorschritt
Korrektorschritt yn+1 = yn + h f (yn+1/2, t n+1/2)
Euler-Verfahren entsprechen der Differenzennäherung
),(2
22/1 tnynfh
yyn
1 n hf fdt nt
nt
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Die Wärmeleitgleichung als BeispielDie Wärmeleitgleichung ist eigentlich eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet
Diskretisiert man zunächst den x-Raum, so erhält man x xi, T Ti und
oder am Ortspunkt i
Das ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, allerdings aus einem System von Differentialgleichungen für alle diskreten Punkte des Ortsraumes.
Zur Lösung des Problems benötigen wir
• Die Länge des Stabes
• Die Zahl der Punkte i
• Werte für T am linken und rechten Rand
• Einen Wert von
• Die Dauer der Simulation
• Die Zahl der Zeitschritte
• Die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt 0.
Die Diskretisierung ist konsistent, wenn Orts- und Zeitableitung am gleichen Raum-Zeit-Punkt erfolgen.
2
2
t x
TT
21
21
xiTiTi
T
dtiT
2121/i
2
2
x
iTiTiT
dx
T
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Die Wärmeleitgleichung in diskreter Form
Explizites Verfahren
Implizites Verfahren
Gemischtes Verfahren (Zwischenschrittverfahren)
Fehlerfortpflanzung beim expliziten Verfahren
Für cond g = verringert sich Fehler
wegen
folgt, daß beschränkt ist, t und x hängen also voneinander ab.
2mit )121(1 txTniTniTniTniTni
)11
1211(1 TniTniTniTniTni
)121(1 TniTniTniTniTni
TnTnTngTn )(1
1)(
'1
Tng
gTn
)'(1' Tng
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Runge-Kutta-Verfahren
Verwendet man zur Integration der rechten Seite Verfahren höherer Ordnung, so erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
a) Integration mit Trapez-Regel
Verfahren von Heun
Lösung iterativ mit Startwert
b) Iteration mit Simpson-Regel
Die Simpson-Regel verwendet die Punkte tn,tn+1/2 und t n+1 zur Integration, f (y,t) muß also an diesen Punkten genähert werden. Dies leistet gerade das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4.
Die Zwischenwerte werden wie folgt genähert:
Für f (y,t) = f (t) degeneriert das Verfahren zur Simpson-Formel.
)),(),((2
111 tytyyy nnnnnn ffh
),(1 tyyy nnn
o
n fh
),(),2
(2
),2
(2),(6/1
43
21 (
ytyt
ytytyy
hfh
f
hffh
nn
nnnnn
),(
),2
(2/1
),2
(2/1
34
23
12
1
ytyy
ytyy
ytyy
yy
hfh
hfh
hfh
nn
nn
nn
n
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Beispiel zum Runge-Kutta-Verfahren
Gegeben sei das Anfangswertproblem: = y2
y (0) = -
0 t 0,3
h = 0,1
y
Und für den Schritt n+1 folgt:
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Adams-Verfahren
Eine weitere Verbesserung der Bestimmung der rechten Seite erhält man dadurch, daß man denIntegranden über eine Funktionsentwicklung darstellt.
Als Entwicklungskoeffizienten können die Werte der diskreten Zeitpunkte verwendet werden.Entwicklungsfunktionen sind dann wieder die Lagrange-Polynome i
n. Zum Zeitschritt n ist folgendeEntwicklung möglich:
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Baskford-Adams-Verfahren
Man unterscheidet zwei Fälle:
a) j = 1 Verfahren nach Adams-Baskford
Bestimmung von yn+1:
Integration zwischen tn und tn+1
Entwicklung von f bis zur Stelle tn
Aus Entwicklung bis tn wird Verlauf extrapoliert - Prediktor-Schritt. Für die Integrale n; gilt
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Adams-Moulton-Verfahrenb) j = 0 Verfahren nach Adams-Moulton
Bestimmung von yn+1
Integration zwischen tn und tn+1
Entwicklung von f bis zur Stelle tn+1 (ersetze n durch n+1 in allgemeiner Formel)
Entwicklung verwendet schon Endwert - Korrektor-Schritt oder implizit.
Lösungen nur iterativ.
Für die Integrale von ni gilt
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Gear-Verfahren - 1
Die Klasse der Gear-Verfahren erhält man, wenn man nicht den Integranden, sonderndie Lösung nach Lagrange-Funktionen entwickelt und anschließend ableitet
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Gear-Verfahren - 2
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StabilitätDrei Fehlerquellen können auftreten
a) Näherung von ydtd
b) Näherung des Integrals der rechten Seite.c) Bestimmung von y,
Werden Fehler durch die Zeitfortschaltung verkleinert,so heißt ein Verfahren stabil. Analog der notwendigenBedingung für die Verkleinerung von Fehlern bei derIteration gilt auch bei der Zeitfortschaltung .
e Verfahren nach Adam und Gear sind stabil. Die Verfahren von Runge-Kutta sind schwach stabil. Explizite Euler-Verfahren sind für große Zeitschritte instabil.
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Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen
Ein System der Ordnung m wird durch m Gleichungen definiert
Diskretisiert man dieses System, so kann man für jede Gleichung eine der beschriebenen Methoden verwenden. Die Auswahl muß nach physikalischen Gesichtspunkten geschehen.
Haben die Gleichung verschiedene Zeitkonstanten, wird das Gleichungssystem "steif". Dann breiten sich Fehler stark aus (implizite Lösugnen). Hat man Nichtlinearitäten zu betrachten, so müssen Newton- oder Newton-Raphson-Methoden zur Lösung verwendet werden.
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Lösung von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
Die zugehörige Jakobi- oder Hesse-Matrix erhält man durch
Ableitung der Ausgangsgleichung. Sie hat folgende Elemente:
Es sei yK ein Näherungsvektor zum Iterationaschritt K, Dann gilt
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Aufbau eines Programms zur Lösung von Differentialgleichungen
Die numerische Lösung von Differentialgleichungen kann - zumindest für einfache Probleme - schnell und übersichtlich programmiert werden. Im Folgenden ist ein typisches Flußdiagramm gezeigt.
Zeitfortschaltung, Eigenwertiteration,
Nichtlinearität
Lösung des Gleichungssystems
Berechnung der rechten Seiten
Neue
Matrizen
Nicht linear
ja
nein
neinja (bei Quellrechnung,
Endzeitpunkt, Endgenauigkeit)
Eingabe und ihre Verarbietung Geometrie, Materialdaten, Randbedingungen,
Anfangswerte
Ausgabe
Nein linear
Erzeugung des Gleichungssystems
Ende
