Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene
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Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene Oberseminar über spezielle Methoden in der Feldtheorie 18. Januar 2005 (mit J. Loikkanen, Universität Helsinki)
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Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-kommutativen Moyal Ebene. Oberseminar über spezielle Methoden in der Feldtheorie 18. Januar 2005. (mit J. Loikkanen, Universität Helsinki). Ergebnis. Klein-Gordon-Operator auf nichtkommutativer Moyal-Ebene - PowerPoint PPT Presentation
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Yang-Mills-Wirkung aus Bosonen in minimaler Kopplung auf der nicht-
kommutativen Moyal Ebene
Oberseminar über spezielle Methoden in der Feldtheorie
18. Januar 2005
(mit J. Loikkanen, Universität Helsinki)
Ergebnis
• Klein-Gordon-Operator auf nichtkommutativer Moyal-Ebene
• Asymptotische Entwicklung der effektiven Wirkung im Impulsregulator
• Logarithmisch divergenter Term
FFxdc
R
4
2 tr4
961
log
.log
loglog
log12
2
22 }{constccc
mmtr A
4
1,,
AAA DD
AiDA,
AAAAAA
DDiF AA
],[ ,,
• Determinanten von Differentialoperatoren entstehen auf Ein-Schleifen-Niveau der QFT
• Regularisierung notwendig– „log det B = tr log B“– Regularisierung der Spur
• Asymptotische Entwicklung in Λ ergibt Term – Wichtige Rolle bei Renormierung– Verbindung zum Wodzicki-Residuum von
Pseudodifferentialoperatoren• In diesem Vortrag:
Motivation
BB ))((trtr 2 loglogc
22 loglogtr mmA
Moyal-Ebene
• Integralformel
• „Moyal multiplier algebras“ [Gayral et al. `03]– Ausdehnung der Integralformel auf Distributionen– Spektrales Tripel der Dimension 4
• Eigenschaften– kommutatives Produkt auf R4
– Unschärferelation– –
44
4 )()()( 21)(44
)2(1
RR
yxi ygxfedydxgf
01
10),S(R,
2
24 gf
0 ixx ],[
qp xxgf
||1
||1 ~,~
ipxip epxfxef )()( 21
qpxgf
||1~
44
4 )()()( 21)(44
)2(1
RR
yxi yxfedydxf
Pseudodifferentialoperatoren
• Integralformel
• Asymptotische Entwicklung
• Beispiel: -Multiplikation
44
4 )(),]([)( )(44
)2(1
RR
yxip ypxBepdydxB
...),(),(),]([ 1 pxpxpxB mm 1),,(),( pxpx k
kk
Homogenitätsgrad
fRLRLf ),()(: 4242
)(),]([ 21 pxfpxf
44 RR ),]([tr 44
)2(1
4 pxBxdpdB
Regularisierte Spur
• Spur eines PsDO B
• Wodzicki-Residuum
),( Res 44
1)2(
1
4
4 pxxddBRp
p
.log Res),(444
)2(1
4 constBpxxdpdp
|p| ≤
Asymptotische Entwicklung der Determinante
• Integraldarstellung des Logarithmus
• Rekursionsformel für die Resolvente
• Reihenentwicklung
• Praktische Kurzformel
• Mischung von x- und p-Abhängigkeit
1
01
1 )1()1log( sBsdsB
A
R 1
),]([211
),]([ ),()(22 21
21 pxRDpi
pppxR pApA
121
~),]([ ),()(0
12 21
21
n
pApAn
n Dpip
pxR
1)2(log""),)]([log( ),()(222
21
21
pApAA Dipmppxm
Divergente Beiträge
• Term n=1:
• Naive Substitution
„relevante“ und „irrelevante“ p-Abhängigkeiten• Für Schwartz-Felder A(x) gilt
• Welche Terme tragen bei?
)(2))(())(( 21
21
211
22 pxAppxAApxAimp
)()( 4214 xfxdpxfxd
peratorGlättungso),]([
)(),]([
,0
21
,
pxD
pxAipipxDA
R
pp exdxe22
41 2exp 2
41exp p
• Beispiel: Betrachte den Glättungsoperator mit Symbol
• x-Integration liefert
→Spur existiert nicht!• Auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten räumliches
Abfallverhalten wichtig
2
241
1
pe
pe
Probleme auf nichtkompakten Mannigfaltigkeiten
2412 2
exp),]([ pexpxB p 241exp~ p
R
pxBdx ),]([
])[( NA R ][2 2
),()( 21
21 NpApA RpDpi
12)(
11
1
),()(12 21
21
N
pApANDip
p
Abschätzung des Restterms
• Betrachte trunkiertes Symbol
• Beobachtungen
– erfüllt
– die Resolvente R ist beschränkt
→Trunkierung erlaubt
121
~),]([ ),()(0
12 21
21
n
pApA
N
nnN Dpi
ppxR
NA R)(
Spur existiert
spurklassespurklasse))(( RRRRRR NAN
Der logarithmisch divergente Anteil
• Trunkierte Reihe
• Power-counting: in 4D nur Beiträge von N≤4 zum logarithmisch divergenten Term
• Regularisierte Spur hat asymptotische Entwicklung in Λ
• Koeffizient clog ergibt sich zu
...121
~),]([ ),()(0
12 21
21
n
pApA
N
nn Dpi
ppxR
FFxdc
R
4
2 tr4
961
log
Bemerkungen
• Angepasstes power-counting
• Kommutative Variable
• Eichinvarianz des Ergebnisses mit naivem Argument:
Wodzicki-Residuum verschwindet auf Kommutatoren (Vorsicht: Randterme!)
),]([ statt),]([ 21 pxBppxB
0)(,)( 2221
21 iiipxpx
Zusammenfassung
• Asymptotische Entwicklung der effektiven Wirkung im Abschneide-Parameter
• Heuristische Formel
• Angepasstes power-counting
• Probleme mit Nicht-Kompaktheit, Trunkierung abschätzbar
1)2(log""),)]([log( ),()(222
21
21
pApAA Dipmppxm
),]([ statt),]([ 21 pxBppxB
Ausblick
• Weitere Beispiele für nicht-kommutative Mannigfaltigkeiten– Abelsche, isometrische Wirkungen auf Mannigfaltigkeiten
– Kotangentenbündel auf Lie-Gruppen
• Variable Metrik– Funktionenkalkül bei variablem Hauptsymbol?
• Residuumskalkül für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten– Randterme bei partieller Integration
– Indextheoreme
– ζ-Funktions-Regularisierung
