1

4. Mechanik des starren Körpers

4.1. Model starrer Körper

- aufgebaut aus Massenelementen mi mit Volumen Vi

und mit festen Abständen untereinander constrr ji

Modell:

- Gesamtmasse: N

iimM

dVrdm

mit

- Massenelemente mi können wie Punktmassen

behandelt werden

- Gesamtvolumen: N

iiVV

- Dichte: iii Vmr /

N

i V

NVii dVrMVrM i

,0

N

i M

Nmi dmMmM i ,0

x

y

z

irjr

kr

km

jmim

2

Schwerpunkt:M

rm

m

rm

r

N

iii

N

ii

N

iii

S

homogener Körper:

VM

S dVrrM

dmrM

r

11

V

S dVrV

r 1

V

Mconstr

dVrdm

4.2. Schwerpunkt des starren Körpers

x

y

z

irjr

kr

km

Sr jm

imS

S - Schwerpunkt

N , mi 0

da

wenn (homogener Körper)

(siehe 3.2.2)

Sr

( - Ortsvektor des Schwerpunktes)

3

Beispiel Schwerpunt H2O Molekül (Atome als Punktmassen):

Molekül in xy-Ebene

(alle Koordinaten zS = 0)

mH = 1,66 10-27

mO = 16 mH

ii

i iiiii

iii

SSSSm

zmymxm

zyxr

;;

;;

02

21

OH

OOHHHHS

mm

zmzmzmz

pmmm

xmxmxmx

OH

OOHHHHS 6,6

2

21

x

y

H1 H2

xO = 0; xH1,2 = rOH cos 52,2° = 96 pmrOH = 96 pm

02

21

OH

OOHHHHS

mm

xmymymy

yO = 0; yH1 = rOH sin 52,2°; yH1 = - rOH sin 52,2°

pmrS 0;0;6,6 Schwerpunkt liegt innerhalb

des Sauerstoffatoms

44

Bewegung des Schwerpunkts:

SS

N

i

ii

S pvMdt

rdm

dt

rdM

G

SS Fdt

pd

dt

rdM

2

2

Exp.: Drehmomentkörper, Doppelkegel

N

iiiS

N

iii

S rmrMM

rm

r

(Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems ( )

entspricht dem Impuls des Schwerpunktes

und ist konstant)

(vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.)

0GF

Sp

- Schwerpunkt des starren Körpers bewegt sich wie PM mit Masse M unter Einfluss einer

äußeren Gesamtkraft .GF

- Schwerpunkt des starren Körpers bewegt sich als ob in ihm die gesamte Masse M des

Körpers vereinigt wäre und die resultierende aller Kräfte wirkt.GF

- Falls 0GF

constpS

constvS

Geschwindigkeit des Schwerpunktes

M

rm

r

N

iii

S

5

4.3. Rotationsbewegung des starren Körpers

S

x

y

z

irSr

iSr

im

iv

iP

AS – Drehachse durch S

entlang Symmetrieachse

des Körpers

iv

– Bahngeschwindigkeit von im

S

- Pi mit führt Kreisbewegung

um A und S aus mit Winkel-

Geschwindigkeit

im

iv

constrconstr iSiS 2

,

SiiS

iS vvdt

rdv

- relative Geschwindigkeit von

bzgl. SiSv

im

- starrer Körper (feste Abstände):

02

2

iSiSiS vr

dt

rd

iSiSiS vrv

iSiS rv

vgl. mit gleichförmiger Drehbewegung

SiiS rrr

- Gesamtgeschwindigkeit von :

6

iv

Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translations-

bewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durch

den Schwerpunkt

im

iSSi rvv

iSSi vvv

gilt für beliebiges des starren Körpersim

Exp.: Drehmomentkörper auf Tisch

- Freiheitsgrade f des starren Körpers:

Translation:

Rotation:

SSSSS zyxrv ,,

zyx ,,

f = 3

f = 3

Der starre Körper besitzt f = 3 Freiheitsgrade der Bewegung

7

4.4. Drehmoment des starren Körpers

Exp.: Drehmoment und Drehtisch

Drehmoment FrT

[T] = Nm

- Drehmoment als Maß für die Effektivität der angreifenden Kraft bzgl. der DrehbewegungT

,FT

,rT

sinT

sinrFT

a) Drehmoment

FrT

- ist Ursache für Drehbewegung (siehe 3.3)

gibt Drehachse und Drehsinn an

„rechte Hand-Regel

||T

T

r

T

F

T

Exp.: Drehmoment

8

Exp.: folgsame Rolle

FrT

r

F

T

r

F

T

9

Drehmoment und Schraubenschlüssel

Schraubenschlüssel

Drehmoment ist bedingt durch

Länge des Schraubenschlüssels

und angewandte Kraft

Drehmomentschlüssel

Exp.: Video Reifenwechsel

sinrFT

r =

F = =90°

Drehmoment wird eingestellt

oder gemessen durch internen

Mechanismus (mechanisch

oder elektronisch)

10

b) Gleichgewichtsbedingung des starren Körpers

Gleichgewichtsbedingung 0i

iT

Drehmomente auf dmi:

iSr ,

gdmF iig

,

iTd

idmS

A – Drehachse fest,

durch S

V

iTdT

gdmrT iiSi

,

Drehmomente auf gesamten Körper:

igiSi FrT ,,

S

VV

rMgdmrgdmgrT

mit V

S dmrM

r 1

Hier ist aber 0Sr

0T

11

𝐹1 = 𝑚1 𝑔 𝐹2 = 𝑚2 𝑔𝑇1 𝑇2

𝑟1 𝑟2

𝑚1 𝑚2

Exp.: zweiarmiger Hebel,

Schwerpunkt Besenstiel

Zweiarmiger Hebel:

0i

iT

021 TT

0212211 FrFrFrFr

1

2

1

2

2

1

m

m

F

F

r

r

12

c) Kräftepaar – starrer Körper ohne feste Drehachse

1,Sr

1F

S P12F

3F

Kraft greift im Punkt P1 an:1F

1F

321 FFF

2F

3F

Addiere zu greift im Punkt zwei antiparallel Kräfte und

mit im Schwerpunkt S

Da ändern und den Bewegungszustand

des Körpers nicht!

032 FF

2F

3F

Kombiniere Kräfte in zwei Gruppen:

31 FF

2F

Führt zu geradlinig beschleunigter Bewegung des Schwerpunktes S

Bilden Kräftepaar, dass keine Beschleunigung verursacht, da

aber zu Drehmoment bzgl. Schwerpunkt führt:

031 FF

11, FrT S

Wenn eine Kraft auf einen starren Körper nicht in seinem Schwerpunkt angreift,

resultiert diese in einem Drehmoment bzgl. seines Schwerpunktes und einer

Beschleunigung des Schwerpunktes.

13

4.5. Rotationsenergie und Trägheitsmoment

r - Abstand dm von Drehachse A

Feste Drehachse AS durch Scherpunkt S entlang Symmetrieachse des Körpers

2

,,2

1iiirotikin vmEE

iSSi rvv

mit

siniSi rv ir

22

,2

1 iiirot rmE

ir

im

ir

S

AS0Sv

isr

Rotationsenergie von mi:

Gesamte Rotationsenergie des Körpers:

N

i

iirot rmE1

22

2

1

N , mi

M

rot dmrE 22

2

1

Trägheitsmoment I:

[I] = kg m2

M

dmrI 2

Rotationsenergie Erot:

2

2

1IErot

[tErot] = Nm

14

a) Beispiel für Berechnung von Trägheitsmomenten: homogener Vollzylinder

Drehachse AS ist Zylinderachse

= const., R – Radius, h – Höhe, m - Masse

VM

dVrdmrI 22 dVdm mit

Volumenelement dV ist Kreisring mit Radius r, Dicke dr, Höhe h:

(dV entspricht Zylindersymmetrie des Körpers)

rhdrdV 2

AS

z

rR

h

dV

422

4

0

32 RhdrrhdVrI

Rr

rV

mit folgthrVm 2

2

2

1mRI

15

Trägheitsmomente

16

Zylindermantel:2

2

1mRIVZ Vollzylinder:

2mRIZM

Energieerhaltungssatz: 000)( ,, zEzEzEhzEE rotvkingeskinpotges S

00)( , zEzEhzE rotvkinpot S

22

2

1

2

1Imvmgh s

0 hzvs ss vzv 0

Ekin des

Schwerpunkts

Erot des starren

Körpers

z

z = h

z = 0

)(zvS

)0( zvS

RSr

b) Rollbewegung: Zylindermantel und homogener Vollzylinder auf schiefer Ebene

zusammengesetzte Bewegung: Rotation mit um Schwerpunkt S + Translation von S mit Sv

2

1

2

12

22

R

vIvmmgh S

v

- Bahngeschwindigkeit auf

Manteloberfläche

RvvS

Bedingung für Rollen ohne Rutschen: 2

22

2

1

2

1

R

vIvmmgh S

S

Rs (aus )

s

2

2

R

IM

MghvS

Vollzylinder

ghv VS3

4, ghv MS ,>

Exp.: Zylinder, Zylindermantel auf

schiefer Ebene

17

c) Steinerscher Satz

Problem: Feste Drehachse A geht nicht durch Schwerpunkt,

aber A || AS

dm

S

AS

r

A

a

R

MM

A dmardmRI22

Trägheitsmoment IA bzgl. Drehachse A:

MMM

A rdmadmadmrI 222

Ma2I bzgl. S

bzw. AS

0, da S

M

mrrdm mit rS = 0

maII A 2 Steinerscher Satz

18

Beispiel Steinerscher Satz: Dünner Stab mit Drehachse A am Stabende

S

l

l/2 l/2

A

Trägheitsmoment bzgl. S:

maII A 2

12

2mlI

Steinerscher Satz:

mlml

I A

412

22

mit a = l/2

3

2mlI A

19

4.6. Drehimpuls und Bewegungsgleichung des starren Körpers

Feste Drehachse AS durch Schwerpunkt S entlang Symmetrieachse des Körpers

Berechne Komponente von Drehimpuls des Massenelementes entlang bzw. Drehachse AS:

𝐿𝑖

im

iii prL

90cos, iizi prL

iiiiizi vmrprL ,,,

iii prL

2

,, iizi rmL

ii rv

sinii rv

,ii rv

2

,, iizi rmL

N

i

ii

N

i

zi rmLL1

2

1

, N , mi

M

dmrL 2

IL

ir

im

S AS0Sv

ir

𝐿𝑖 𝐿𝑖,𝑧

iii prL

𝑣𝑖 , 𝑝𝑖

iF

iiSS rrr

:0

20

In Analogie ergibt sich Drehmoment auf starren Körper (Kap. 3.3.):

iiii

ii

ziTFr

dt

vdrm

dt

Ld

,,

,

N

i

ziN

i

idt

LdTT

1

,

1

N , mi

dt

LdT

Bewegungsgleichung des starren Körpers

dt

IdT

2

2

dt

dI

dt

dIT

mit Drehwinkel ,

Winkelgeschwindigkeit , dt

d

Winkelbeschleunigung2

2

dt

d

Drehimpulserhaltung bei: 0T

.constL

weiterhin gilt:I

LIErot

22

1 22

und

21

22

0Stuhl

0Stuhl

KreiselStuhl

fi II

M

dmrI 2

0T

constIL

ffii II

if

Exp.: Drehimpulserhaltung

rT

S

23

a) Drehschwingungen um feste Achse:

Torsionspendel:

Bewegungsgleichung des starren Körpers - Anwendungen

Verdrillung des Drahtes um Winkel führt zu rücktreibenden

Drehmoment rT

rr DT Dr – Richtmoment des Drahtes [Dr] = kgm2s-2

Bewegungsgleichung:

rr Ddt

dI

dt

dI

dt

dLT

2

22

02

22

I

D

dt

d rentspricht Bewegungsgleichung des

harmonischen Oszillators

Lösung:

tsin0I

Dr2mit

Schwingungsdauer:rD

IT

2

2

Exp.: Drehschwingung, Torsionspendel

a

K

A

24

Drehtisch: Bestimmung von unbekannten Trägheitsmoment I von Körper K mit Masse m

I0 - Trägheitsmoment von leeren Drehtisch

Dr – Direktionsmoment von Rückstellfeder an Drehtisch

Gesamtträgheitsmoment von Drehtisch und Köper K: maIII ges 2

0

IA = I + a2m - Trägheitsmoment von Körper K im Abstand a von

Drehachse (Steinerscher Satz)

Schwingungsdauer:rr

ges

D

maII

D

IT

2

022

IID

aD

mT

rr

0

22

22 44

22 afT

T2

a2

IIDr

0

24rD

m24Anstieg:

Exp.: Drehtisch

S

SrA

gmFg

rT

25

b) Physikalisches Pendel:

Freie Oszillation eines horizontal aufgehängten Körpers unter Einfluss seiner Gewichtskraft

sinSr mgrT

gSr FrT

Rücktreibendes Drehmoment:

Bewegungsgleichung:

sin2

22

S

AA

r mgrdt

dI

dt

dI

dt

dLT

0sin2

22

AI

mgr

dt

d0

2

22

AI

mgr

dt

d1sin entspricht Bewegungsgleichung des

harmonischen Oszillators

Lösung:

tsin0

Schwingungsdauer:S

S

S

A

mgr

mrI

mgr

IT

2

222

A

S

I

mgr2mit

Exp.: Vergleich Stabpendel und mathematisches Pendel mit reduzierter Pendellänge

26

Physikalisches Pendel und mathematisches Pendel mit reduzierter Pendellänge:

Mathematisches Pendel mit reduzierter Pendellänge lred hat selbe Schwingungsdauer wie physikalisches Pendel

S

S

S

A

red

mgr

mrI

mgr

I

g

l 2

222

physmath TT

S

A

S

Sred

mr

I

mr

mrIl

2

Beispiel: Stab als physikalisches Pendel

A

2

lrS

2

3

1mlI A

llred3

2

Exp.: Vergleich Stabpendel und mathematisches Pendel mit reduzierter Pendellänge

27

c) Rollbewegung und Reibung:

T

xF

RF

NF

R

S

x

Reibungskraft FR infolge der Haftreibung FH ist notwendig

für Rollbewegung

Bedingung für FR : cosmgFFF HNHHR

sinmgFx

Reibungskraft FR führt zu Drehmoment RFRT

und somit zu Änderung des Drehimpulses

dt

dI

dt

dLT

und Zunahme der Winkelgeschwindigkeit 0dt

d

nach Bewegungsgleichung:

Bewegungsgleichung des starren KörpersRRFdt

dI

RRxS FmgFF

dt

xdm sin

2

2

Bewegungsgleichung des Schwerpunktes des starren Körpers

dt

dR

dt

xd S

2

2

Bedingung für Rollen ohne Rutschen

Es ergeben sich drei Gleichungen zur Bestimmung der zum Rollen ohne Rutschen notwendigen

Reibungskraft FR und der Beschleunigung des Schwerpunktes des starren Körpers2

2

dt

xd S

28

d) Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle – starrer Rotator

1) Trägheitsmoment

Bsp.: CO, NO, H2, O2, …

Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0

Rotationsachse durch Schwerpunkt

21

02

mm

rm

m

rm

rN

ii

N

iii

S

Schwerpunkt:

2022

1 SS rrmrmI

C

r = r0

rr = 0

m1 m2

O

r = rS

20

21

2120 r

mm

mmrI

21

02

mm

rmrS

reduzierte Masse:21

21

mm

mm

= 15.74 10-47 kg m2

12C16O

r0 = 0.115 nm

13C16O

= 0.115 nm

I = 15.05 10-47 kg m2

Bsp.:

Exp.: Rotation um freie Achsen

(Quader, Zylinder)

2

ii

irmI

Atome als PM

Trägheitsmoment:

29

2) Rotationsenergie

I

LErot

2

2

Quantenmechanik:

(Quantisierung des Drehimpulses) 122 JJL mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, …

12

2

, JJI

E Jrot

JrotE ,

1E

2E

3E

0,0 0 EJ

IEJ

2

1,1

IEJ

2

2

3,2

IEJ

2

3

6,3

JJJ EEE 1

1212

2

JJJJI

12

JI

3) Rotationsspektrum:

Bestimmung von I

und r0

aus LinienabstandI

2äquidistante Linien

Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz

20

21

2120 r

mm

mmrI

mit

J = 0 1 2 3 4

I

2

I

2

I

2

I

2

E = h

I

2

30

4.7. Der Kreisel

Kreisel – starrer Körper, der um freie, nicht feste Achse rotiert

4.7.1. Kräftefreier Kreisel

S

gF

L

Scheibe (Kreisel) ist im Schwerpunkt S unterstützt und

Koordinatenursprung in S : 0Sr

0 gS FrT

dt

LdT

0 constL

IL

||L const

Drehachse ist raumfest und Winkelgeschwindigkeit konstant

Bedingung: Drehachse entlang Symmetrieachse des Körpers

Exp.: kräftefreier Kreisel

31

4.7.1. Kreisel mit Drehmoment - Präzession

Exp.: Kreisel – Rad mit Achse

Nicht rotierendes Rad kippt um. Rotierendes Rad präzediert, da 0dt

LdT

gS FrT

Drehmoment auf rotierenden Körper durch Gewichtskraft

führt zu Änderung seines Drehimpulses entsprechend Bewegungsgleichungdt

LdT

Ld

mit TLd

||

LL,

T

und rotieren um z Achse

IL

gmF

SrS

T

L

LddtT

LdL

cosLLz

sinLL p

p

32

constLLz cos sinLL

dLdLdLdL sin

pLdt

dL

dt

dL

dt

dLT

sinsin mit Präzessionsgeschwindigkeit

dt

dp

sinsin mgrFrT SgS und IL

pS Imgr sinsin

I

mgrSp

da undpLT sin TLTp

,

LT p

Exp.: Präzession Kreisel,

aufgehangenes Rad

p

T

L