zeitreihenanalyise mit Eviews Bachelorarbeit.pdf

Humboldt-Universitt zu BerlinWirtschaftswissenschaftliche Fakultt

Ladislaus von Bortkiewicz Chair of Statistics

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07.01.2012file://C:\arbeit\timeseries\case.gif

Anwendung der Methoden und Modelle derZeitreihenanalyse auf Spot- und

KraftstoffpreiseApplying Time Series Methods and Modells to Spot and Gasoline Prices

Bachelorarbeit

von

Iryna Karpenka

zur Erlangung des Akademischen Grades

Bachelor in Science (B.Sc.)

in Betriebswirtschaftslehre

Matrikel-Nr. 513416

Prfer: Prof. Dr. Wolfgang HRDLE

Prof. Dr. Ostap OKHRIN

Betreuer: Dr. Sigbert KLINKE

8.01.2012, Berlin

Inhaltsverzeichnis1 Einfhrung 2

2 Analytische Grundlagen und Methoden 42.1 Zeitreihen und Zeitreihenmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Stationaritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Deterministische und stochastische Trends . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Einheitswurzel-Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Residuen-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Saisonalitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Saisonbereinigung von Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Modelle fr saisonale Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Transformation von Zeitreihen durch Filter . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.1 Methode der gleitenden Durchschnitte . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Methode des Differenzenfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Modellschtzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.1 ARMA-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5.2 AR(p)-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.3 MA-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Analyse der Zeitreihen auf Stationaritt 183.1 Vorbereitung der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Vorlufige Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Einheitswurzel-Tests auf Stationaritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Erweiterter Dickey-Fuller-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test . . . . . . . . . . . . . 22

4 Periodizitt und Saisonalitt 254.1 Analyse der Zeitreihen auf Periodizitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Saisonale Zerlegung der Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Multiplikatives und additives Modell . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Anwendung des additiven Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Modellschtzung 395.1 Modellbildung der Spotpreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Modellbildung der Dieselpreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Korrelation zwischen den Kraftstoffpreisen und den Spotpreisen . . . . 44

6 Zusammenfassung 48

7 Literaturverzeichnis 50

8 Anhang 52

1

1 EinfhrungEs wird in der Presse oft diskutiert, ob und wie die Spotpreise die Kraftstoffpreise anden Tankstellen beeinflussen. Man merkt oft, wie zum Wochenende die Kraftstoffpreisean den Tankstellen steigen und danach wieder fallen. Zu betonen ist auch die Tatsache,dass die Preise am Wochenende im Durchschnitt hher als werktags sind. In diesemZusammenhang wre es fr den Endverbraucher sinnvoll, im Voraus zu planen, an wel-chen Tagen man am besten tanken wird. Die Schuld an solchem Verhalten der Preisewird oft den Tankstellen zugeschrieben, weil sie den Endpreis des an den Konsumentenzu verkaufenden Kraftstoffes bestimmen.

Die kurzfristige nderung des Kraftstoffpreises an der Zapfsule hngt von den Tank-stellen selbst ab, das langfristige Verhalten wird aber durch den Welterdlpreis und diefnf groen Minerallunternehmen BP (Aral), ConocoPhilipps (Jet), ExxonMobil (Es-so), Shell und Total bestimmt. Die Macht dieser fnf groen Konzerne in Deutschlandhat in den letzten Jahren sehr zugenommen. Das Bundeskartellamt hat eine umfang-reiche Recherche durchfhren lassen. In dem am 26. Mai 2011 verffentlichten Ab-schlussbericht zur Sektoruntersuchung der Kraftstoffe wurde eine eingehende Analyseder Wettbewerbsverhltnisse auf den Tankstellenmrkten in Deutschland durchgefhrt.Der Prsident des Bundeskartellamtes Andreas Mundt hat dazu folgende Stellung be-zogen: Die fnf groen Tankstellenbetreiber in Deutschland machen sich gegenseitigkeinen wesentlichen Wettbewerb, sie bilden ein marktbeherrschendes Oligopol. UnsereStudie weist im Einzelnen nach, wie die Mechanismen der Preissetzung funktionieren. Esbedarf bei solchen Marktstrukturen nicht zwingend einer Absprache. Die Unternehmenverstehen sich ohne Worte. Das fhrt zu berhhten Preisen (Bundeskartellamt, 2011).

Das Ziel dieser Arbeit besteht in dem Aufzeigen vom Verhalten der Kraftstoffpreiseund deren Zusammenhangs mit den Spotpreisen anhand der Zeitreihenanalysemetho-den und mittels der spezialisierten Software (Excel und Eviews) zu analysieren. Dadie zur Verfgung stehenden empirischen Daten whrend eines Zeitraums von etwasmehr als einem Jahr erhoben wurden, wird mehr auf das wchentliche Verhalten derKraftstoffpreise eingegangen. Es wird nach dem Modell gesucht, das optimalerweise dieempirischen Daten beschreibt und eine gut geeignete Prognose liefert.

Das Bundeskartellamt hat festgestellt, dass die Freitagspreise fr die Dieselpreise amhchsten sind. Am Sonntag sinken die Preise, so dass sie sonntags und montags amniedrigsten sind (Bundeskartellamt, 2011). So lautet die erste Hypothese, die im Rah-men dieser Arbeit berprft wird:

Hypothese 1: Der Freitagspreis der Kraftstoffpreise ist der hchste Preis der Woche.

Darber hinaus hat das Bundeskartellamt festgestellt, dass die Spotpreise die Kraft-stoffpreise mit einer Verzgerung beeinflussen (Bundeskartellamt, 2011). Insbesonde-

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re schlagen die Rohlpreissteigerungen schneller auf die Kraftstoffpreise durch als dieRohlpreissenkungen (Wettbewerbskommission, 2008; Dudenhfer, 2011).

Hypothese 2: Die Spotpreise beeinflussen die Benzinpreise mit einer Verzgerung.

Im zweiten Kapitel werden die modelltheoretischen Grundlagen und Methoden dar-gestellt. Es werden Stationaritt und Saisonalitt als wichtigste Charakteristika sowiedie Grundlagen der Modellbildung der Zeitreihen vorgestellt.

Im dritten Kapitel wird die Analyse der empirischen Daten mittels Einheitswurzel-Testsauf Stationaritt durchgefhrt. Das Eliminieren der Nicht-Stationaritt der Zeitreihenist die Voraussetzung fr eine gute Modellschtzung.

Im vierten Kapitel werden solche Charakteristika der Zeitreihen wie Periodizitt undSaisonalitt detailliert untersucht. Basierend auf den Ergebnissen dieser Untersuchungwird die Entscheidung zwischen dem additiven und multiplikativen Modell getroffen,um ein geeignetes Modell fr die saisonbereinigte Zeitreihe zu generieren.

Im fnften Kapitel werden die Modelle gebildet, die die Entwicklung von Spotpreisenund Kraftstoffpreisen am Beispiel der Dieselpreise beschreiben. Der Zusammenhangzwischen den Spotpreisen und den Kraftstoffpreisen wird mittels eines Regressionsmo-dells geschtzt.

In der Zusammenfassung werden die Ergebnisse der Arbeit vorgestellt. Im Anhangfinden sich die detaillierten Tabellen der Resultate der Tests auf Stationaritt.

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2 Analytische Grundlagen und Methoden

2.1 Zeitreihen und Zeitreihenmodelle

Die Daten, die der konometer in den Modellen analysiert, sind zum grten TeilZeitreihen, also Folgen von Beobachtungen von Merkmalen, die in meist regelmigenZeitpunkten erhoben werden. Nachdem die Beobachtungen in zeitlicher Ordnung er-hoben werden, muss damit gerechnet werden, dass die jeweils aktuelle BeobachtungInformation ber die Vergangenheit enthlt. Das aktuelle Konsumverhalten wird sichvon dem in den letzten Perioden nicht allzu sehr unterscheiden. hnliches gilt fr In-vestitionen oder andere konomische Variable. Wenn aber die Beobachtungen der jn-geren Vergangenheit zur Erklrung des aktuellen Verhaltens beitragen knnen, werdensie bei der Modellierung zu bercksichtigen sein, wenn von der in den Daten verfgba-ren Information in effizienter Weise Gebrauch gemacht werden soll. Zeitreihen-Modelle,die von der Abhngigkeitsstruktur Gebrauch machen, haben sich insbesondere fr dasPrognostizieren von konomischen Variablen als sehr erfolgreich erwiesen (Hackl, 2005).

Die ARMA-Modelle einschlielich AR- und MA-Modelle beschreiben die aktuelle Beob-achtung imWesentlichen als gewichtete Summe verzgerter Realisationen der interessie-renden Variablen. Zum begriichen Hintergrund von Zeitreihen-Modellen gehren diestochastischen Prozesse, ihre Eigenschaften wie die Stationaritt und ihre Charakteristi-ka wie die Autokorrelations- oder AC-Funktion und die Partielle Autokorrelations- oderPAC-Funktion sowie deren graphische Gegenstcke, das Korrelogramm und das Partiel-le Korrelogramm. Letztere eignen sich besonders zur Visualisierung der Abhngigkeits-struktur der Variablen. Den Zeitreihen-Modellen wie den ARMA-Modellen entsprechenbestimmte Formen der Abhngigkeitsstruktur der Variablen, die durch die AC- undPAC- Funktionen charakterisiert werden knnen. Aus der Form dieser Funktionen kannauf den Modelltyp rckgeschlossen werden, durch den die Zeitreihe dargestellt werdenkann.

Unter einer Zeitreihe versteht man eine Folge von Beobachtungen einer ZufallsvariablenY , beispielsweise die jhrlichen Werte des BIP, die quartalsweisen Zuwchse des Kapi-talbestandes oder die monatlichen Importe. Hat man n solche Beobachtungen, so kannman sie als Realisationen der Zufallsvariablen Y1, ..., Yn schreiben. Bei einer Zeitreihespricht man auch von der Realisation eines stochastischen Prozesses; die der Zeitreiheentsprechenden Zufallsvariablen Y1, ..., Yn sind ein Ausschnitt aus der unendlichen Folge{Yt, t = , ...,} von Zufallsvariablen, die den stochastischen Prozess reprsentiert(Hackl, 2005).

Von einem Zeitreihen-Modell erwartet man, dass es in der Lage ist, die Charakteristikawie Trend, Saisonalitt und irregulre Fluktuationen darzustellen. Dazu stehen unter-schiedliche Typen oder Klassen von Modellen zur Verfgung. Ein Modell kann daraufzielen, den Verlauf der Zeitreihe in globaler Weise zu beschreiben. Fr die Entwicklung

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des persnlich verfgbaren Einkommens Y knnte ein Modell lauten:

Yt = t +4i=1

i Dit + ut, (2.1)

wobei die i-te Dummy-Variable Dit den Wert Eins hat, wenn t dem Quartal i entspricht,und ansonsten den Wert Null hat. Andere Modelle beschreiben nur das lokale Verhaltenund passen sich flexibel den sich ndernden Trends, Saisonmuster etc. an (Hackl, 2005).

2.2 Stationaritt

Die Variablen Yt entwickeln sich typischerweise in Abhngigkeit voneinander, wobeidiese Abhngigkeit durch eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung p(y1, ..., yn)beschrieben wird. Das wesentliche Charakteristikum der Verteilung p(.) ist der Verlaufdes Erwartungswertes t=E {Yt}. Dieser Verlauf wird zum Extrapolieren einer Zeitreihezum Zweck der Prognose verwendet. Fr die Beurteilung eines Prozesses wichtigsteInformation enthalten

die Varianzen V ar {Yt} und Kovarianzen Cov {Yt, Yt+k} = E {(Yt - t)(Ytk - tk)},

die man fr jedes Paar von Zeitpunkten t und t+k mit beliebigem k aus der Verteilungp(.) ableiten kann. Wenn die Kovarianz-Funktion t, k = Cov {Yt,Yt+k}, k = 0, 1,fr alle t die gleiche ist, heit die Abhngigkeitsstruktur der Variablen Yt fr jede Folgevon Zeitpunkten {t,..., t+ k} - fr beliebiges t und k die gleiche ist, dann spricht manvon Stationaritt.

Ein stochastischer Prozess {Yt, t = , ...,+} ist stationr, wenn:

E {Yt} = t Cov {Yt, Yt+k} = k fr alle t und alle k. Die Kovarianz-Funktion des stationren

Prozesses k hngt also nur von k ab (Hackl, 2005).

2.2.1 Deterministische und stochastische Trends

konomische Zeitreihen sind Realisationen von stochastischen Prozessen. Die meis-ten konomischen Zeitreihen zeigen einen Trend und sind die Realisation eines nicht-stationren Prozesses. Die Regressionsmodelle bilden den Zusammenhang zwischen denabhngigen Variablen und ihren erklrenden Regressoren als statische Beziehung ab.Das Vorhandensein der speziellen Abhngigkeitsstruktur und von Trends legt es abernahe, die in diesen Spezifika der Daten enthaltene Information in der Modellierung zu

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bercksichtigen. Entsprechende Modelle werden seit etwa 25 Jahren in groem Umfangeingesetzt und diskutiert.

Wenn die Nicht-Stationaritt in einem Trend besteht, unterscheidet man zwischentrend-stationren und differenz-stationren Prozessen. Beide sind nicht-stationre Pro-zesse, doch unterscheiden sich in der Art, wie die Nicht-Stationaritt in der Modellierungbercksichtigt werden kann (Hackl, 2005).

konomische Gren wie Einkommen, Konsum, Geldmengen etc. weisen in den meis-ten Wirtschaftsrumen ein stetes Wachstum auf. Demographische, technologische undandere Faktoren sind die Ursachen dafr. Die Verknappung der Erdlressourcen kanneinen wichtigen Grund fr das Wachstum der Benzinpreise sein. Das Darstellen vonTrends ist eine zentrale Aufgabe der konometrischen Modellierung. Ein Fall von Nicht-Stationaritt ist Nicht-Konstanz des Erwartungswertes. Wenn die Nicht-Konstanz beiFortschreiten der Zeit zu immer greren oder immer kleineren Erwartungswerten fhrt,so spricht man von einem Trend.

Ein deterministischer Trend eines Prozesses Yt ist eine Funktion ft der Zeit t, dieden Erwartungswert von Y oder eine Komponente von Y beschreibt. Yt kann man alsYt=f(t)+ut mit Weiem Rauschen u darstellen; die Varianz der ut ist 2. Ein hu-fig verwendetes Modell fr einen Prozess mit deterministischem Trend ist der lineareTrend:

Yt= + t + ut (2.2)

Die Koeffizienten und geben den Wachstumspfad vor; der Trend kann ein steigender( > 0) oder ein fallender sein. Die Funktion f(t) kann ein quadratisches Polynom in toder eine Exponentialfunktion oder eine andere Funktion von t sein (Hackl, 2005).

Stochastischer Trend im Modell

Yt=+Yt1+ut (2.3)

oder 4Yt=Yt-Yt1=+ut mit Weiem Rauschen u beschreibt ein irregulres oder zu-flliges Fluktuieren der Differenzen 4Yt um den Erwartungswert . Ein Prozess, derdiesem Modell folgt, heit Random walk mit Trend. Das Einsetzen der Modellgleichungfr Yt1, Yt2 etc. liefert die Beziehung

Yt=Y0+ t+itui, (2.4)

wobei den Trendparameter darstellt. Der Prozess setzt sich aus zwei Komponentenzusammen, aus dem Wachstumspfad Y0+ t und den kumulierten Strgren

i ui

(Hackl, 2005).

Die Eigenschaften von Random Walk sind:

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fr den Erwartungswert E{Yt} =Y0+ t kein fixer Wert fr alle t fr die Varianz der kumulierten Strgren it ui bzw. fr die Varianz von Yt

ergibt sich V ar{Yt} =2 t; die Varianz von Yt wird mit wachsendem t beliebiggro

Korrelation zwischen Yt und Ytk ist %t,k = Corr{Yt,Ytk}=

1 kt

Fr fixes k sind die Yt und Ytk umso strker korreliert, je grer t ist. Fr wachsendesk strebt %t,k gegen den Wert Null. Allerdings ist die Geschwindigkeit dieser Konvergenzumso kleiner, je grer t wird. Man sagt, der Random Walk hat ein langes Gedchtnis.Nicht-Konstanz betrifft Erwartungswert, Varianz und Abhngigkeitsstruktur.

Das Eliminieren des Trends hat das Ziel, Y in einen stationren Prozess zu berfhren.Im Fall von einem Random Walk, Yt=+Yt1+ut, einem differenz-stationren Prozess,kann man einen stationren Prozess4Yt=+ut durch das Bilden von ersten Differenzenableiten. Die Ordnung der Integration ist Eins, wenn die ersten Differenzen ein statio-nrer Prozess sind (Hackl, 2005).

2.2.2 Einheitswurzel-Tests

Wenn ein Trend in einem Modell korrekt bercksichtigt werden soll, muss bekannt sein,ob es sich um einen deterministischen oder einen stochastischen Trend handelt. Einwichtiges Hilfsmittel dazu sind die Einheitswurzel-Tests, mit deren Hilfe das Vorliegenvon nicht-stationren Zeitreihen diagnostiziert werden kann.

Man geht von einer Variablen Y aus, welche die Realisation eines Prozesses ist, derdem Modell Yt= Yt1+ut folgt; u ist Weies Rauschen mit der Varianz 2. Ist Y eindifferenz-stationrer Prozess, so hat den Wert Eins: Y ist dann ein Random Walk.Zum Prfen, ob es zutrifft, dass Y ein Random Walk ist, testet man die NullhypotheseH0: = 1 gegen die Alternative H1: < 1.

Der OLS-Schtzer von ergibt sich zu: =

nt=2

YtYt1nt=2

Y 2t1. Zum Testen von H0 bietet

sich die t-Statistik an: = 1se()

. se () ist der Standardfehler des Schtzers . Wenn|| < 1, ist Yt stationr, so ist die Teststatistik des t-Tests: t(n 1). Ist Ytnicht-stationr, so gilt =1, so folgt auch bei Zutreffen der Nullhypothese nicht dert-Verteilung. Fuller (1976) gibt Perzentile fr die Verteilung von unter H0 an, dieaus Monte Carlo Simulationen geschtzt worden sind. Auf der Basis von kritischenSchranken nach Fuller kann die Entscheidung zwischen H0: =1 und H1:

zum Modell Yt = Yt1 + ut, (z) = 1 z die Wurzel z1 = 1 hat (Hackl, 2005).

Der Einheitswuzel-Test wurde erstmals von Dickey & Fuller (1979) diskutiert; daherwird der Test auch als Dickey-Fuller-Test bezeichnet. Das Modell

Yt=Yt1+ut (2.5)

kann man auch schreiben als

Yt=( 1)Yt1+ut=Yt1+ut. (2.6)Der Test von H0: =0 gegen die Alternative H1: < 0 ist quivalent dem oben ge-schriebenen Einheitswuzel-Test von H0: =1 und H1:

Beim Dickey-Fuller-Test nimmt man an, dass die Strgren unabhngig sind und bereine konstante Varianz verfgen. Im diesem Zusammenhang treten einige Probleme auf:

1. der Schtzer fr und Standardfehler ist ungenau, bis alle AR-Prozesse in derSchtzungsgleichung bercksichtigt sind. Anders gesagt, wenn man die genaueOrdnung des AR-Prozesses nicht kennt, tritt das Problem der richtigen Wahl derAnzahl von p.

2. Der Dickey-Fuller-Test bercksichtigt nur eine Einheitswurzel. Das heit, ein Pro-zess mit p Ordnungen und d

wenn man von vornherein ein gemeinsames Modell fr Trend und Saison unterstellt.Man achte bei einer Zeichnung der ut gegen t insbesondere auf sogenannte Strukturbr-che, d.h. tiefgreifende Vernderungen des Gesamtbildes (Schlittgen & Streitberg, 1989).

Die Unabhngigkeitsannahme impliziert insbesondere, dass die Strungen ut nicht au-tokorreliert sind. Die Residuen sollten zufllig um 0 schwanken. Allzu langsame Schwan-kungen deuten auf positive, allzu schnelle und regelmige Schwankungen auf negativeAutokorrelation hin.

Ein Test auf Autokorrelation zum Lag (Verzgerung) 1 ist der Durbin-Watson-Test.Die Teststatistik ist

d=Nt=2

(ut ut1)2/Nt=1

ut2 (2.11)

Die asymptotische Verteilung von d unter der Nullhypothese unkorrelierter Strungenist bei Kendall (1971) angegeben. Werte von d, die nahe bei 2 liegen, deuten auf Unkor-reliertheit hin, solche nahe bei 0 auf positive und Werte nahe 4 auf negative Korrelation.Insbesondere die Annahme der Unabhngigkeit ist in der Zeitreihenanalyse praktischniemals erfllt. Dies hat zu einem gewissen Misstrauen gegenber Komponentenmodel-len gefhrt und wesentlich die Hinwendung zur Theorie schwach stationrer Prozessemotiviert (Schlittgen & Streitberg, 1989).

2.3 Saisonalitt

Saisonale Einflsse gehren zu den markantesten Kennzeichen wirtschaftsstatistischerZeitreihen. Vor allem quantitative Variablen (Einkommen, Konsum, Produktionsleis-tung, Lagerhaltung, Staatsausgaben, Beschftigung, Geldmenge etc.) weisen ein zykli-sches Verhalten innerhalb einzelner Jahre auf. Barsky & Miron (1989) zeigen anhandvon Quartalsdaten fr die USA im Zeitraum 1948-1985, dass die Standardabweichungengeschtzter saisonaler Dummy-Koeffizienten (s) einer einfachen Regression nach derMethode der Kleinsten-Quadrate (KQ-Schtzung)

xt=Ss=1

Ds(t) s + %t (2.12)

Groteile der Streuung quantitativer Variablen xt erklren (beispielsweise beim Kon-sum nichtdauerhafter Gter erklrten deterministische Saisonfiguren rund 97 Prozentder Variablenstreuung). Dabei waren xt erste Differenzen logarithmierter Daten und%t ein als stationr unterstellter Residualprozess. Ds(t) reprsentiert eine sogenanntesaisonale Dummy-Variable fr eine Teilperiode s, die den Wert eins annimmt, wennt zu eben dieser Teilperiode gehrt und ansonsten gleich Null ist. Fr Preisvariablenwie insbesondere Zinsen und Lhne spielten deterministische Saisoneinflsse kaum eineRolle bei der Varianzzerlegung. Bei Nominal-und Realzins betrugen die Streuungsan-teile, z.B. nur 1 bzw. 6 Prozent (Herwatz, 1995).

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Der Verwendung saisonaler Dummy-Variablen liegt die Vorstellung einer deterministi-schen Saisonfigur zugrunde, die strukturkonstant im Periodenverlauf beibehalten wird.Ein sich allmhlich vernderndes saisonales Aktivittsmuster kann so nicht reprsentiertwerden. Schtzt man die obige Gleichung sukzessive fr steigende StichprobenumfngeT=S, S+1, S+2,..., T (rekursive KQ-Schtzung), so zeigen die Schtzkoeffizienten sfr bestimmte Variablen eine deutliche Bewegung im Zeitablauf. Streuungszerlegungenin der Art von Barsky & Miron (1989) bleiben damit rein deskriptiv.

Mgliche Ursachen fr ein saisonal geprgtes Verlaufsmuster von Zeitreihen sind viel-fltig, selten isoliert wirksam und zumeist einer wirtschaftspolitischen Steuerung ent-zogen. Sie reichen von Kalendereffekten (z.B. Weihnachtsfeiertage) und sogenanntentiming decisions (Ferienzeiten, Termine von Gewinnausschttungen etc.) ber klima-tische Einflsse bis hin zu Erwartungen ber saisonales Verhalten der Wirtschaftssub-jekte. Man beachte, dass sich einige dieser Verursacher im Zeitablauf verndern knnen,a priori spricht einiges fr ein im Zeitablauf variables Bild saisonaler Strukturen.

In der spektralen Darstellung der Zeitreihe entspricht das beschriebene zyklische Ver-laufsmuster einem hohen Anteil spektraler Dichte im Bereich der saisonalen Frequenzen.Derartige Spitzen im Zeitreihenspektrum definieren eine gegebene Zeitreihe als saisonal.

Fr die Erklrung konomischer Zusammenhnge wird saisonalen Schwankungen zu-meist wenig Bedeutung beigemessen. Saisonale Einflsse gelten oft als Variablenfehler,zu deren Identifikation angenommen wird, dass sie ausschlielich zur spektralen Massean saisonalen Frequenzen (bzw. zu einem engen umliegenden Frequenzband) beitragen.Implizit geht man also davon aus, dass Saisonzyklen einerseits und lngerfristige Zyklenandererseits unabhngig voneinander sind (Orthogonalittsannahme). Begrndet liegtdiese Minderschtzung saisonaler Verlaufsmuster sicher mit in dem hohen Interesse derquantitativen Forschung an Wachstums- und Konjunkturmodellen. Vor diesem Hin-tergrund ist es verstndlich, dass vergleichsweise gut prognostizierbare Niveauschwan-kungen innerhalb einer Periode geringere Bedeutung erhalten als eine als dauerhaftunterstellte Vernderung aggregierter wirtschaftlicher Aktivitt (Herwatz, 1995).

2.3.1 Saisonbereinigung von Zeitreihen

Vielen traditionellen statistischen Modellen zufolge zerfallen konomische Zeitreihenin zwei unkorrelierte Komponenten, eine saisonale und eine nicht saisonale. Fr beideKomponenten werden unterschiedliche datengenerierende Modelle angenommen. Ent-sprechend verbreitet ist die saisonale Bereinigung konomischer Zeitreihen.

Die Modellierung saisonal bereinigter Daten kann den Vorteil haben, dass die Anpas-sung des Modells an die Daten nicht dominiert wird von der Konzentration spektralerDichte an saisonalen zuungunsten anderer Frequenzen. Dies ist insbesondere bei sol-

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chen Schtzungen nicht der Fall, die den Daten ein restringiertes Modell anpassen.Sims (1974) zeigt mit Hilfe der Fouriertransformation der Modellkoeffizienten im soge-nannten distributed-lag-Modell fr zwei Zeitreihen konomischer Variablen wt, xt,

wt=+xt 0+xt1 1+...+ut, (2.13)

das auf beobachtbare, von saisonalen Einflssen geprgte Daten angewendet wird, dieGrenordnung der Abweichung von wahren d.h. hier saisonfreien Wirkungszusam-menhang. Die Tatsache, dass saisonale Komponenten die spektrale Dichte annahmege-m nur an saisonalen Frequenzen beeintrchtigen, hat zur Folge, dass die Verzerrungder Schtzkoeffizienten nur an saisonalen Frequenzen von Bedeutung ist. Besondersschwerwiegend kann diese Verzerrung werden, falls den Schtzkoeffizienten Restriktio-nen auferlegt werden. Unter bestimmten Bedingungen werden saisonal bedingte Ver-zerrungen abgemildert:

1. Der strukturelle Zusammenhang ist fr die interessierenden d.h. saisonbereinigtenVariablen der gleiche wie fr die saisonalen Komponenten. Eine Verzerrung trittnicht auf.

2. Die Saisonkomponenten der abhngigen Variablen einerseits und der unabhn-gigen Variablen andererseits korrelieren nicht oder kaum miteinander (Herwatz,1995).

Der Bereinigung saisonaler Daten liegt die Annahme zugrunde, dass saisonale Daten-variationen fr eine Reihe von Fragestellungen der empirischen oder auch theoretischenArbeit von untergeordneter Bedeutung sind. Die Bereinigung saisonaler Einflsse istjedoch z.B. von folgenden Problemen belastet:

1. Selbst wenn saisonale Einflsse als Variablenfehler einzelner Zeitreihen behandeltwerden knnen, so ist dennoch die Annahme kritisch, dass diese Fehler unabhn-gig voneinander in verschiedenen Zeitreihen auftreten. Bei abhngigen Fehlernberaubt sich aber die quantitative Analyse im multiplen Modell von vornhereinbereits mglicher Erkenntnisse struktureller Zusammenhnge.

2. Zeitreihenfilter zur Saisonbereinigung beziehen in aller Regel fr jeden Zeitpunktt, sowohl vergangene als auch zuknftige Realisierungen von xt ein (z.B. gleitendeDurchschnitte). Zumeist sind derartige Filter symmetrisch, d.h. die Beobachtun-gen xt+h und xth, h=0,1,2.. erhalten bei der Kalkulation des saisonbereinigtenWertes xt jeweils gleiche Gewichte. Die Verwendung eines solchen zweiseitigenlinearen Filters zum Erhalt der saisonbereinigten Reihe xt = a (B)xt ist amaktuellen Rand der Zeitreihe nicht mglich. Einseitige Filter dienen in diesem Be-reich zur Ermittlung vorlufiger Werte, die gegebenenfalls dann spter korrigiertwerden mssen (Herwatz, 1995).

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2.3.2 Modelle fr saisonale Daten

Die Box-Jenkins Technik fr die Modellierung der saisonalen Daten ist etwas andere alsdie fr die nicht-saisonalen Daten. Die Saisonalitt in den Daten mit der Periode s ent-steht eher durch die saisonalen Koeffizienten der AC-Funktion und der PAC-Funktionder zeitlichen Verzgerungen s, 2s, 3s, ..., als die der 1, 2, 3. Zwei reine saisonale Modelleder Quartalsdaten sind in den Gleichungen 2.14 und 2.15 dargestellt.

yt=a4 yt4 + t, a4 < 1 und (2.14)yt=t + 4 t4 (2.15)

Das theoretische Korrelogramm fr die erste Gleichung zeigt, dass p = (a4)i/4, wenn i/4ein Integer ist und pi = 0, wenn sonst. Die AC-Funktion weist eine Spitze an den Verz-gerungsstellen 4, 8, 12, ... auf. In der Praxis wird die Identifikation durch die Tatsacheerschwert, dass die saisonale Komponente mit der nicht-saisonalen Komponente in denDaten in Verbindung gert. Die AC- und PAC-Funktionen widerspiegeln zugleich beideKomponenten. Fr Quartalsdaten, der saisonale MA-Term wird folgende Form haben:

yt=a1 yt1 + t + 1 t1 + 4 t4 (2.16)

Eine Alternative wre, von dem autoregressiven Koeffizienten der 4. VerzgerungsstelleGebrauch zu machen, um die Saisonalitt zu erfassen:

yt=a1 yt1 + a4 yt4 + t + 1 t1 (2.17)

Beide Methoden in den Gleichungen 2.16 und 2.17 sind additive Methoden der saisona-len Koeffizienten: ein AR- oder MA-Koeffizient wurde in der Saisonalitt bercksichtigt.Die multiplikative Methode ermglicht das Zusammenwirken vom ARMA-Modell undder saisonalen Effekte, siehe Gleichung 2.18 (Enders, 2010).

(1a1L)yt = (1+1L)(1+4L4) t (2.18)

2.4 Transformation von Zeitreihen durch Filter

2.4.1 Methode der gleitenden Durchschnitte

Neben der Bestimmung des globalen Trends ist oft eine Glttung der Zeitreihe vonInteresse. Glttung bedeutet Ausschaltung von irregulren Schwankungen durch loka-le Approximationen. Der Vorteil liegt u.a. darin, dass man mit Polynomen niedrigenGrades auskommt. Im klassischen Komponentenmodell entspricht dies der nherungs-weisen Bestimmung der glatten Komponente. Es ist naheliegend, im ersten Ansatz zumGltten einer Zeitreihe die Beobachtung xt durch ein lokales arithmetisches Mittel ytzu ersetzen:

yt = 12q+1q

u=qxtu, t = q + 1, ..., N q (2.19)

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Dies ist ein Beispiel fr eine lineare Transformation einer Zeitreihe (xt) in eine andere(yt). Eine lineare Transformation L einer Zeitreihe (xt) in eine andere (yt) gem

yt = L xt =s

u=qau xtu, t = s+ 1, ..., N q (2.20)

wird als linearer Filter L bezeichnet. Anstatt durch das formale Symbol L wird derFilter auch durch seine Gewichte au in der Form (aq, ..., as) bzw. (au) angegeben. DieAnwendung eines Filters auf eine Zeitreihe (xt) wird als Filtration der Reihe bezeichnet.(xt) heit auch der Input und die gefilterte Reihe (yt) der Output des Filters. Bei derFiltration einer Zeitreihe (xt) ist zu beachten, dass die gefilterte Reihe (yt) krzer alsdie Input-Reihe ist. Im Fall s > 0 wird der Anfang, im Fall q > 0 das Ende gekappt(Schlittgen & Streitberg, 1989).

Dieses Verfahren zur Glttung der Zeitreihen wird als einfacher gleitender Durch-schnitt bezeichnet. Der entsprechende Filter hat die Gewichte au = 1/(2q + 1) mitau = 1. Ein linearer Filter (au) mit

au = 1 heit ein gleitender Durchschnitt. Im

Fall au = 1/(2q + 1), u = q, ..., q, spricht man von einem einfachen gleitenden Durch-schnitt. Beispiel von zwei einfachen gleitenden Durchschnitten, bei denen je drei bzw.fnf Werte einbezogen wurden, sieht folgenderweise aus:

yt=xt1+xt+xt+13 zt=xt2+xt1+xt+xt+1+xt+25

Einfache gleitende Durchschnitte knnen auch fr gerade Anzahlen von Werten be-stimmt werden. Der Output ist dann aber jeweils der Mitte zwischen zwei Zeitpunktenzugeordnet, so etwa 1/4(x1+x2+x3) dem Zeitpunkt 2.5. Man kann diesen ungewnsch-ten Effekt dadurch vermeiden, dass man jeweils ber zwei aufeinander folgende Wertedes Outputs mittelt:

y2.5=x1+x2+x3+x44 und y3.5=x2+x3+x4+x54 , als Mittelwert entsteht y3=1/2y2.5 + 1/2y3.5=1/8x1 + 1/4x2 + 1/4x3 + 1/4x4 + 1/8x5.

Die lokale Approximation einer Zeitreihe durch Polynome fhrt ebenfalls zu gleitendenDurchschnitten, wenn jeweils nur der fr den mittleren Zeitpunkt erhaltene Wert yt desPolynoms als gegltteter Wert anstelle von xt genommen wird (Schlittgen & Streitberg,1989).

14

2.4.2 Methode des Differenzenfilters

Bei der Anpassung eines Polynoms an eine Zeitreihe und bei der lokalen Glttungdurch Polynome stellte sich die Frage, welcher Grad fr das Polynom gewhlt wer-den soll. f(t) sei ein Polynom vom Grade p > 0: f(t)=a0 + a1t + ... + aptp. Dann istg(t) = f(t)f(t1) ein Polynom vom Grade hchstens p-1. Die Differenzenbildung re-duziert den Polynomgrad um 1. Wird das Verfahren p-1-mal angewendet, so erhlt manbei einem Polynom p-ten Grades einen konstanten Wert. Die Anwendung der Differen-zenbildung auf Zeitreihen fhrt wieder auf eine lineare Transformation oder Filtration.

Der lineare Filter , der definiert ist durch xt = xt xt1, t = 2, 3, ..., N heitDifferenzenfilter 1. Ordnung. Differenzenfilter p-ter Ordnung, p>1, sind rekursiv defi-niert durch pxt=p1xtp1xt1, t = p+1, ..., N . Ist bei dem der Trendbestimmungzugrundegelegten Ansatz ein Polynom, so lsst sich durch Differenzenbildung der Trendeliminieren bzw. der Grad des Polynoms bestimmen.

Fr konomische Zeitreihen ist es oft ausreichend, die Differenzen 1. Ordnung zu bilden,um Vernderungen im Niveau zu beseitigen. Da die ersten Differenzen als Zuwchse auchinhaltlich bedeutsam sind, wird dieses Vorgehen hufig praktiziert. Falls ntig, werdendie zweiten Differenzen gebildet, um zustzliche Nicht-Stationaritt der Steigungen zubeseitigen (Schlittgen & Streitberg, 1989).

2.5 Modellschtzung

2.5.1 ARMA-Modelle

Eine sehr allgemeine Klasse von Modellen sind die ARMA-Modelle. Die ARMA-Modellesind eine Klasse von Zeitreihen-Modellen, die beispielsweise fr die Prognose eine wich-tige Rolle spielen. Ihre Bedeutung verdanken sie auch der von Box und Jenkins (1976)entwickelten Technik, die in der Literatur umfassend dokumentiert ist und deren An-wendung durch die Verfgbarkeit von exzellenten Software-Paketen untersttzt wird.Fr die Zwecke der trigonometrischen Modellierung sind die Mglichkeiten der ARMA-Modelle als Analyseverfahren weniger interessant als die mit den Modellen verbundenenAC- und PAC-Funktionen, die ein wichtiges Instrument zum Spezifizieren eines geeig-neten Modells ist (Hackl, 2005).

Es ist mglich zum ARMA-Modell zu gelangen, indem man den Moving-Average Pro-zess mit der linearen Differentialgleichung zusammenfhrt. Wenn man die p-Ordnungder Differentialgleichung bercksichtigt, so sieht das Modell wie in der Gleichung 2.21aus.

yt=a0+pi=1

aiyti+xt, (2.21)

15

Und wenn xt ein Moving Average Prozess von der Ordnung q ist, wird das Modellfolgende Form haben:

yt=a0+pi=1

aiyti+qi=0

iti (2.22)

Wenn sich die charakteristischen Wurzeln der zweiten Gleichung im Einheitskreis be-finden, liegt ein ARMA-Modell fr yt vor. Der autoregressive Teil des Modells ist dieDifferentialgleichung, gegeben durch den homogenen Teil der ersten Gleichung. Wenner die p-Ordnung enthlt und das Modell fr xt der q-Ordnung ist, heit das Modell dasARMA (p,q)-Modell. Wenn q=0 ist, so ist es ein reiner autoregressiver Prozess AR(p),und wenn p=0, liegt ein reiner moving-average Prozess MA(q). Wenn sich die charak-teristischen Wurzel der zweiten Gleichung nicht im Einheitskreis befinden, so ist yt einautoregressiver integrierter moving-average (ARIMA) Modell (Enders, 2010).

Wie aus einem ARMA-Modell ein AR-Modell und MA-Modell hergeleitet werden kann,wird im folgenden dargestellt. Die allgemeine Form eines ARMA(p,q)-Modells lautet:

Yt = + 1 Yt1 + ... + p Ytp + t,t = ut - 1 ut1 - ... - q utq, (2.23)

wobei die Variablen u Weies Rauschen sind, also identisch und unabhngig verteilteVariable mit Erwartungswert Null und Varianz 2.

Voraussetzung fr die Darstellbarkeit des ARMA(p,q)-Prozesses als MA()-Prozessist die Stationaritt des AR-Teils Yt=Yt1+t. u wird als gewichtete Summe von ver-zgerten Komponenten des Weien Rauschens dargestellt, indem man wiederholt dieModellgleichung verwendet, um verzgerte us zu eliminieren:

Yt = o +i=1

o uti (2.24)

i=1

2i < als notwendige Bedingung fr die Stationaritt von Y , erfllt wenn fr

die Wurzeln zi, i = 1, ..., p des Charakteristischen Polynoms (z)= 1- 1z-...- pzp gilt|zi| > 1. Die Koeffizienten sind Funktionen der Parameter 1, ..., p und 1, ..., q.

Voraussetzung fr die Darstellbarkeit des ARMA(p,q)-Prozesses als AR()-Prozess istdie Invertierbarkeit des MA-Teils Yt=

i=1 ti. Dann lsst sich das AR()-Modell

als unendliche Summe verzgerter Yt1 darstellen. Diese Umformung setzt voraus, dassfr die Wurzeln zi, i = 1, ..., p des Charakteristischen Polynoms (z)= 1- 1z-...- pzpgilt |zi| > 1. Diese Bedingung heit Invertierbarkeits-Bedingung (Hackl, 2005).

2.5.2 AR(p)-Prozess

Folgt Y einem AR(p)-Prozess, so gilt fr Yt die Beziehung

Yt = + 1 Yt1 + ... + p Ytp + ut, ut IID(0,2) (2.25)

16

Die Variable Y wird also auf ihre eigenen verzgerten Werte regressiert. Fr den AR(p)-Prozess ist die Invertierbarkeit immer gegeben. Fr den AR(1)-Prozess mssen be-stimmte Stationaritts-Bedingungen erfllt sein: Fr die Wurzeln zi des Charakteristi-schen Polynoms (z)= 1- 1z-...- pzp muss gelten:|zi| > 1, i = 1,...,p.

Die AC-Funktion des AR(p)-Prozesses verluft exponentiell abnehmend mit oder oh-ne alternierende Werte oder in Form einer gedmpften Sinusschwingung. Die PAC-Funktion ist nur fr k p von Null verschieden. Ab k = p + 1 hat sie den Wert Null;die PAC-Funktion bricht also in p ab (Hackl, 2005).

2.5.3 MA-Prozess

Der Name MA-Modell kommt von moving average, also gleitende Mittelung, jene Ope-ration, welche die Generierung der Y charakterisiert. Unter dem MA(q)-Modell verstehtman ein ARMA(p,q)-Modell mit p=0, also ein Modell, das die Variable als gewichteteSumme von verzgerten Komponenten des Weien Rauschens beschreibt. Der entspre-chende MA-Prozess ist eine Folge von Zufallsvariablen Yt, t=1,...,n, die entsprechenddem MA-Modell generiert werden.

Der MA(1)-Prozess ist eine Folge von Zufallsvariablen Yt, fr die gilt

Yt = + ut - ut1 , ut IID(0,2) (2.26)Die Verallgemeinerung des MA(1)-Prozesses ergibt den MA(q)-Prozess

Yt = + ut - ut1 - ... - q utq , ut IID(0,2). (2.27)Er hat folgende Eigenschaften:

Der MA(q)-Prozess ist stationr. Seine AC-Funktion bricht mit q ab: k=0 fr k>q.

Fr die praktische Anwendung ist das Abbrechen der AC-Funktion mit q ein wichtigesMerkmal (Hackl, 2005).

17

3 Analyse der Zeitreihen auf Stationaritt

3.1 Vorbereitung der Daten

Die Daten zu den Diesel-, Benzin-,und SuperPluspreisen wurden im Zeitraum von31.05.2009 bis 20.08.2010 von einer freien Tankstelle Nitrol in Lengerich im Bundes-land Nordrhein-Westfalen erhoben. Das Ablesen der Daten hat jeweils tglich um 18:00erfolgt.

Der Datensatz zu Spotpreisen des Rohstoffes Erdl (Dollar per Barrel) wurde fr dengleichen Zeitraum von der Datenbank auf der Holding Webseite (Holding CompanyFinam) heruntergeladen. Es wurde festgestellt, dass die Datenbanken keine Informa-tionen ber die Samstagpreise liefern. Im Zeitraum von 31.05.2009 bis 20.08.2010 steheninsgesamt 384 Beobachtungen zur Verfgung. Zunchst wurde die Whrungsumrech-nung Dollar in Euro durchgefhrt, um die den Einfluss der Wechselkursschwankungenim Modell auszuschlieen. Die Wechselkursdaten sind der gleichen Datenbank entnom-men. Die Maumrechnung Barrel in Liter wurde mit 1 Barrel = 158,98722 Liter vollen-det.

Den Datensatz zu den Diesel-, Benzin-, und SuperPluspreisen wurde an den Daten-satz der Spotpreise durch das Eliminieren von Samstagpreisen angepasst und um dieSteuerkomponente bereinigt. Im Zeitraum der Datenerhebung hat keine nderung derEnergiesteuerstze erfolgt, somit ist die Steuerkomponente konstant und kann eliminiertwerden. Der Benzinpreis am 23. Mai 2009 um 18:00 betrgt 1,299 Euro/Liter. Durch dasEliminieren der Mehrwertsteuer in der Hhe von 19 Prozent vom Produktpreis und derMinerallsteuer mit kosteuer, die konstant auf jeden Liter des bereinigten um Mehr-wertsteuer Produktpreises erhoben werden, kommt man rund auf 0,4371 Euro/Liter.Somit ergibt sich der Steueranteil von 0,636 Prozent. Aus dem Beispiel kann man gutschlieen, dass die Steuerpolitik eine der wichtigsten Rollen in der Benzinpreiszusam-mensetzung spielt (Energieportal).

3.2 Vorlufige Analyse

Am Anfang ist die graphische Darstellung der Diesel-, Benzin-, Superplus- und Spot-preisen zu analysieren. In der Abbildung 1 sind die Originaldaten der Benzin-, Diesel-,SuperPluspreise per Liter dargestellt, die um die konstante Steuerkomponente bereinigtsind, und die Spotpreise in Euro auch per Liter. Man sieht deutlich an der Graphik,dass alle drei Kraftstoffpreise den Verlauf voneinander wiederholen. Es ist fast immerder gleiche Prozentsatz, um welchen sie sich voneinander unterscheiden. Man beobach-tet auch einen hnlichen Verlauf der Kraftstoffpreise und der Spotpreise. Es ist einenpositiven Trend zu erkennen, der sich zum Ende des Zeitraums abschwcht. Im nchs-ten Schritt werden die Zeitreihen auf die Stationaritt untersucht, um mgliche Trendsoder Saisonalitten festzustellen.

18

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

SpotpreisNetto_DieselNetto_BenzinNetto_SP

Abbildung 1: Bereinigte Benzin-, Diesel-, SuperPluspreise und Spotpreise in Euro

3.3 Einheitswurzel-Tests auf Stationaritt

3.3.1 Erweiterter Dickey-Fuller-Test

Mit Eviews wird der erweiterten Dickey-Fuller-Test (Augmented Dickey-Fuller-Test),ein Einheitswurzel-Test auf Stationaritt durchgefhrt. Die Ordnung p des AR(p)- Pro-zesses, den man dem Modell des erweiterten DF-Tests zugrunde legt, ist unbekannt. MitEviews wird p automatisch berechnet:

fr den Benzinpreis p = 12, pmax = 16 fr den Spotpreis p = 0, pmax = 16

Die Nullhypothese sagt aus, dass die Zeitreihe differenz-stationr ist. Die Alternativ-hypothese, dass eine stationre Zeitreihe vorliegt. Es wird in Eviews der Test mit demTrend und der Konstante gewhlt, da in diesem Fall der deterministische Trend auchmitbercksichtigt wird, was ein genaueres Ergebnis bedeutet.

Der Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test fr den Benzinpreis in der Abbildung 2zeigt, dass die t-Statistic von 2, 853337 grer als der kritische Wert bei 5 Prozent3, 424579 ist. Das bedeutet, dass die Entscheidung im Bereich der Annahme von H0

19

liegt. Es gibt mindestens eine Einheitswurzel und somit liegt eine differenz-stationreZeitreihe vor.

Null Hypothesis: BENZIN has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 12 (Automatic - based on SIC, maxlag=16)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.853337 0.1795Test critical values: 1% level -3.988333

5% level -3.42457910% level -3.135349

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Abbildung 2: Erweiterter Dickey-Fuller Test fr den Benzinpreis

Null Hypothesis: SPOT has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=16)

t-Statistic Prob.*


5% level -3.42232110% level -3.134016


Abbildung 3: Erweiterter Dickey-Fuller Test fr den Spotpreis

Der Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test fr den Spotpreis in der Abbildung 3zeigt, dass die t-Statistic von 2, 754462 grer als der kritische Wert bei 5 Pro-zent 3, 422321 ist. Das heit, die Entscheidung liegt im Bereich der Annahme von H0.Die Zeitreihe hat wiederum mindestens eine Einheitswurzel und es liegt eine differenz-stationre Zeitreihe vor.

Das Eliminieren der Nicht-Stationaritt der Zeitreihen ist die Voraussetzung fr eine gu-te Modellschtzung. Um aus einer nicht-stationren Zeitreihe eine stationre Zeitreihezu bekommen, werden die Zeitreihen mittels Differenzierung transformiert.

20

Null Hypothesis: D(BENZIN) has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 11 (Automatic - based on SIC, maxlag=16)

t-Statistic Prob.*


5% level -3.42457910% level -3.135349


Abbildung 4: Erweiterter Dickey-Fuller Test fr die erste Differenz der Benzinpreise

Null Hypothesis: D(SPOT) has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=16)

t-Statistic Prob.*


5% level -3.42271610% level -3.134249


Abbildung 5: Erweiterter Dickey-Fuller Test fr die erste Differenz der Spotpreise

Der Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test fr den Benzinpreis in der Abbildung 4zeigt, dass t-Statistic von 6, 275240 kleiner als der kritische Wert bei 5 Prozent3, 424579 ist. Das heit, die Entscheidung liegt im Bereich der Annahme von H1. Esliegt eine stationre Zeitreihe vor.

Der P-Wert gleich 0, 000 deutet auf die Signifikanz der Ergebnisse. Es ist die Wahr-scheinlichkeit, einen so groen oder greren (Absolut-)Wert der Teststatistik wie denbeobachteten Wert bei Zutreffen der Nullhypothese zu realisieren. Die Nullhypothesebesagt, dass die Variable keinen erklrenden Beitrag leistet, dass also der -Koeffizientgleich Null ist. Die Alternativhypothese besagt, dass ungleich Null ist. Die Nullhypo-

21

these wird verworfen, wenn p-Wert sehr klein ist (Hackl, 2005).Der Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test fr den Spotpreis in der Abbildung 5zeigt, dass t-Statistic von 18, 96369 kleiner als der kritische Wert bei 5 Prozent3, 422716 ist. Das heit, die Entscheidung liegt im Bereich der Annahme von H1. Esliegt eine stationre Zeitreihe vor. Der P-Wert gleich 0, 000 deutet auf die Signifikanzder Ergebnisse.

3.3.2 Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test

Der Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test wird angewendet, um das obige Ergebnisdes erweiterten Dickey-Fuller Tests zu berprfen. In diesem Einheitswurzel-Test sagtdie Nullhypothese aus, dass die Zeitreihe stationr ist. Die Alternativhypothese besagt,dass es eine nicht-stationre Zeitreihe vorliegt. In Eviews wird der Test mit dem Trendund mit der Konstante gewhlt, da in diesem Fall der deterministische Trend auch mit-bercksichtigt wird und somit ein genaueres Ergebnis liefert.

Null Hypothesis: BENZIN is stationaryExogenous: Constant, Linear TrendBandwidth: 14 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

LM-Stat.

Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic 0.219196Asymptotic critical values*: 1% level 0.216000

5% level 0.14600010% level 0.119000

*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)

Abbildung 6: KPSS-Test fr den Benzinpreis

Das Ergebnis vom Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test fr den Benzinpreis, dar-gestellt in der Abbildung 6 , zeigt, dass kpss-test-Statistic von 0, 219196 grerals der kritische Wert bei 5 Prozent 0, 146000 ist. Das heit, die Entscheidung liegt imBereich der Annahme von H1. Es liegt eine nicht-stationre Zeitreihe vor.

Der Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin Test fr den Spotpreis in der Abbildung 7 zeigt,dass kpss-test-Statistic von 0, 166831 grer als der kritische Wert bei 5 Prozent0, 146000 ist. Das bedeutet, die Entscheidung liegt im Bereich der Annahme von H1.Es liegt eine nicht-stationre Zeitreihe vor.

22

Null Hypothesis: SPOT is stationaryExogenous: Constant, Linear TrendBandwidth: 15 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

LM-Stat.


5% level 0.14600010% level 0.119000


Abbildung 7: KPSS-Test fr den Spotpreis

Das Ergebnis fr die erste Differenz der Zeitreihe Benzinpreis, wie in der Abbildung8 vorgestellt, zeigt, dass kpss test statistics von 0, 050980 kleiner als testcriticalvalues bei 5 Prozent 0, 146000 ist. Das heit, die Entscheidung liegt im Bereich derAnnahme von H0. Die ersten Differenzen liefern die Stationaritt.

Das Ergebnis fr die erste Differenz der Zeitreihe Spotpreis in der Abbildung 9 zeigt,dass kpss test statistics von 0, 048129 kleiner als testcritical values bei 5 Prozent0, 146000 ist. Das heit, die Entscheidung liegt im Bereich der Annahme von H0. Dieersten Differenzen liefern wiederum die Stationaritt.

23

Null Hypothesis: D(BENZIN) is stationaryExogenous: Constant, Linear TrendBandwidth: 31 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

LM-Stat.


5% level 0.14600010% level 0.119000


Abbildung 8: KPSS-Test fr die erste Differenz der Benzinpreise

Null Hypothesis: D(SPOT) is stationaryExogenous: Constant, Linear TrendBandwidth: 8 (Newey-West automatic) using Bartlett kernel

LM-Stat.


5% level 0.14600010% level 0.119000


Abbildung 9: KPSS-Test fr die erste Differenz der Spotpreise

24

4 Periodizitt und Saisonalitt

4.1 Analyse der Zeitreihen auf Periodizitt

In diesem Kapitel werden die Daten auf Periodizitt und Saisonalitt untersucht.

Um die Abhngigkeit der Nachbarelemente zu eliminieren, werden die ersten Diffe-renzen der Zeitreihen gebildet. Danach werden die Korrelogramme fr die ersten Dif-ferenzen mit der Formel fr die Autokorrelationsfunktion berechnet (siehe 4.1). Frdas Beschreiben des Verhaltens eines stochastischen Prozesses ist die AC-Funktion gutgeeignet, da sie unabhngig von der Maeinheit ist. Die graphische Darstellung derAC-Funktion nennt man Korrelogramm (Hackl, 2005). Die Gre der Spitze rk im Kor-relogramm charakterisiert die Korrelation zwischen dem Wert der Zeitreihe im Momentt und dem Wert der Zeitreihe im Moment tk. Die Strichlinien bedeuten zwei Grenzendes doppelten Standardfehlers 2/T (Shumway & Stoffer, 2000).

k=

Tt=k+1

(yty)(ytkytk)/(Tk)Tt=1

(yty)2/T, ytk =

ytk/T k (4.1)

-2,00E-01

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Corrcoef_FirstDiff_Spot

Abbildung 10: Korrelationsfunktion der ersten Differenzen der Spotpreise. Excel

25

Included observations: 361

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

1 -0.020 -0.020 0.1492 0.699

2 0.057 0.057 1.3364 0.513

3 -0.055 -0.053 2.4618 0.482

4 -0.095 -0.101 5.7693 0.217

5 0.005 0.007 5.7768 0.329

6 -0.015 -0.007 5.8636 0.439

7 -0.001 -0.013 5.8637 0.556

8 -0.003 -0.011 5.8665 0.662

9 -0.005 -0.004 5.8749 0.752

10 0.018 0.016 5.9981 0.815

11 0.013 0.013 6.0641 0.869

12 -0.001 -0.004 6.0644 0.913

13 0.012 0.011 6.1166 0.942

14 -0.009 -0.003 6.1459 0.963

15 0.078 0.080 8.4788 0.903

16 0.017 0.022 8.5886 0.929

17 -0.053 -0.062 9.6711 0.917

18 -0.107 -0.107 14.056 0.725

19 -0.043 -0.023 14.755 0.738

20 -0.047 -0.040 15.620 0.740

21 -0.010 -0.031 15.658 0.789

22 -0.017 -0.038 15.775 0.827

23 -0.009 -0.020 15.809 0.863

24 -0.016 -0.027 15.913 0.891

25 -0.060 -0.073 17.300 0.871

26 -0.063 -0.082 18.857 0.842

27 -0.025 -0.031 19.110 0.866

28 -0.049 -0.056 20.055 0.862

29 0.021 0.003 20.226 0.886

30 0.045 0.032 21.014 0.887

31 -0.104 -0.125 25.342 0.752

32 0.053 0.038 26.465 0.743

33 -0.047 -0.008 27.342 0.745

34 -0.002 -0.014 27.343 0.784

35 0.045 0.028 28.152 0.788

36 -0.011 -0.010 28.205 0.820

37 0.096 0.085 31.917 0.706

38 0.038 0.048 32.515 0.721

39 -0.005 -0.015 32.526 0.758

40 -0.016 -0.016 32.627 0.790

41 -0.018 0.012 32.765 0.817

42 0.025 0.029 33.025 0.838

43 -0.025 -0.043 33.289 0.857

44 -0.072 -0.113 35.435 0.818

45 -0.069 -0.117 37.429 0.781

46 0.029 0.029 37.781 0.800

47 -0.003 -0.027 37.785 0.829

48 0.155 0.106 47.785 0.482

49 0.033 0.003 48.230 0.504

50 0.062 0.040 49.844 0.480

51 -0.030 -0.038 50.232 0.504

52 -0.050 -0.060 51.302 0.501

53 0.028 0.013 51.636 0.527

54 -0.019 0.006 51.782 0.560

55 -0.027 -0.003 52.093 0.586

56 -0.027 -0.019 52.397 0.612

57 0.028 0.035 52.743 0.635

58 -0.021 -0.026 52.928 0.664

59 -0.025 -0.037 53.194 0.688

60 -0.012 0.016 53.258 0.719

61 0.037 0.041 53.843 0.730

62 0.054 0.032 55.118 0.720

63 0.026 0.010 55.421 0.740

64 -0.026 -0.049 55.714 0.760

65 -0.015 -0.014 55.812 0.785

66 0.012 0.060 55.871 0.808

67 0.003 0.015 55.876 0.832

68 -0.021 -0.002 56.073 0.849

69 0.029 0.013 56.445 0.861

70 0.022 0.018 56.662 0.875

71 0.072 0.074 59.000 0.845

72 0.014 -0.010 59.092 0.862

73 -0.010 0.002 59.141 0.880

74 -0.041 -0.005 59.898 0.882

75 -0.108 -0.097 65.250 0.782

76 0.064 0.056 67.130 0.756

77 0.021 0.019 67.335 0.776

78 0.031 -0.018 67.785 0.789

79 -0.063 -0.046 69.649 0.765

80 -0.047 -0.044 70.693 0.762

Abbildung 11: Korrelogramm der ersten Differenzen der Spotpreise. Eviews

26

Die Korrelationsfunktion der ersten Differenzen der Spotpreise in Excel in der Abbil-dung 10 sowie das Korrelogramm in Eviews 11 (Abbildung 11 )zeigen zwei Spitzenan den Verzgerungsstellen 48 und 75. Die Werte dieser Spitzen befinden sich aber inden Grenzen des Standardfehlers (in den Grenzen der Strichlinie). Deswegen kann mandiese Spitzen auer Acht lassen und behaupten, dass es keine klare Periodizitt derSpotpreise vorhanden ist.

Die Korrelogramme der ersten Differenzen der Diesel-, Benzin-, SuperPluspreise sindin den Abbildungen 13, 14 und 15 dargestellt. Es ist interessant zu beobachten, dassalle drei Korrelogramme groe Spitzen an den durch 6 teilbaren Verzgerungsstellenaufweisen. Zu bemerken ist, dass diese Spitzen bedeutend grer als der doppelte Stan-dardfehler sind. Diese Tatsache besagt, dass es eine Periodizitt mit einer Verzgerung6 vorhanden ist. Da die Daten nur 6 Tage die Woche beinhalten, das heit alle Wo-chentage auer Samstag, muss man schlieen, dass es sich hier um eine wchentlichePeriodizitt handelt. Die in Excel generierte Korrelationsfunktion am Beispiel der Die-selpreise verdeutlicht das gleiche Ergebnis einer Verzgerung 6 (Abbildung 12).

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

Corrcoef_FirstDiff_Diesel

Abbildung 12: Korrelationsfunktion der ersten Differenzen der Dieselpreise. Excel

27


1 -0.471 -0.471 85.728 0.000

2 0.062 -0.206 87.218 0.000

3 -0.144 -0.276 95.254 0.000

4 0.079 -0.172 97.676 0.000

5 -0.280 -0.517 128.17 0.000

6 0.559 0.199 250.52 0.000

7 -0.290 0.065 283.53 0.000

8 0.076 0.058 285.79 0.000

9 -0.138 -0.004 293.31 0.000

10 0.051 -0.076 294.33 0.000

11 -0.249 -0.277 318.81 0.000

12 0.542 0.139 435.78 0.000

13 -0.296 0.030 470.77 0.000

14 0.083 0.024 473.56 0.000

15 -0.111 0.049 478.53 0.000

16 0.032 -0.011 478.95 0.000

17 -0.245 -0.177 503.05 0.000

18 0.521 0.080 612.91 0.000

19 -0.281 0.026 644.83 0.000

20 0.112 0.086 649.89 0.000

21 -0.146 0.028 658.56 0.000

22 0.027 -0.032 658.84 0.000

23 -0.227 -0.142 679.98 0.000

24 0.507 0.047 785.70 0.000

25 -0.266 0.045 814.82 0.000

26 0.055 -0.075 816.06 0.000

27 -0.120 -0.091 822.03 0.000

28 0.051 -0.036 823.11 0.000

29 -0.234 -0.136 845.88 0.000

30 0.494 0.012 948.01 0.000

31 -0.254 0.023 975.12 0.000

32 0.067 -0.022 977.00 0.000

33 -0.143 -0.085 985.63 0.000

34 0.035 -0.116 986.15 0.000

35 -0.193 -0.136 1001.9 0.000

36 0.479 -0.003 1099.4 0.000

Abbildung 13: Korrelogramm der ersten Differenzen der Dieselpreise. Eviews

28


1 -0.460 -0.460 81.756 0.000

2 0.042 -0.215 82.448 0.000

3 -0.125 -0.266 88.494 0.000

4 0.066 -0.169 90.202 0.000

5 -0.277 -0.514 120.18 0.000

6 0.569 0.229 246.86 0.000

7 -0.301 0.048 282.49 0.000

8 0.062 0.036 284.01 0.000

9 -0.111 -0.004 288.87 0.000

10 0.042 -0.070 289.57 0.000

11 -0.255 -0.275 315.29 0.000

12 0.558 0.159 438.88 0.000

13 -0.302 0.044 475.18 0.000

14 0.058 0.013 476.53 0.000

15 -0.072 0.071 478.63 0.000

16 -0.001 -0.049 478.64 0.000

17 -0.222 -0.162 498.49 0.000

18 0.520 0.084 607.59 0.000

19 -0.287 0.017 641.01 0.000

20 0.107 0.119 645.64 0.000

21 -0.136 0.007 653.17 0.000

22 0.028 -0.003 653.48 0.000

23 -0.237 -0.148 676.41 0.000

24 0.517 0.035 786.01 0.000

25 -0.274 0.033 816.85 0.000

26 0.055 -0.057 818.09 0.000

27 -0.104 -0.063 822.62 0.000

28 0.027 -0.047 822.93 0.000

29 -0.232 -0.163 845.32 0.000

30 0.504 -0.015 951.44 0.000

31 -0.250 0.040 977.52 0.000

32 0.040 -0.059 978.19 0.000

33 -0.103 -0.061 982.69 0.000

34 0.007 -0.109 982.71 0.000

35 -0.174 -0.097 995.56 0.000

36 0.477 0.038 1092.4 0.000

Abbildung 14: Korrelogramm der ersten Differenzen der Benzinpreise. Eviews

29


1 -0.461 -0.461 82.065 0.000

2 0.040 -0.220 82.677 0.000

3 -0.115 -0.258 87.789 0.000

4 0.058 -0.168 89.117 0.000

5 -0.269 -0.503 117.38 0.000

6 0.559 0.226 239.39 0.000

7 -0.299 0.049 274.34 0.000

8 0.052 0.017 275.40 0.000

9 -0.091 -0.004 278.67 0.000

10 0.034 -0.063 279.13 0.000

11 -0.252 -0.278 304.34 0.000

12 0.551 0.158 424.89 0.000

13 -0.293 0.059 459.13 0.000

14 0.045 0.015 459.93 0.000

15 -0.058 0.065 461.30 0.000

16 -0.008 -0.048 461.32 0.000

17 -0.217 -0.166 480.33 0.000

18 0.501 0.056 581.79 0.000

19 -0.262 0.031 609.70 0.000

20 0.086 0.117 612.71 0.000

21 -0.118 0.011 618.34 0.000

22 0.016 -0.007 618.44 0.000

23 -0.226 -0.143 639.38 0.000

24 0.503 0.037 743.12 0.000

25 -0.257 0.038 770.39 0.000

26 0.032 -0.061 770.81 0.000

27 -0.084 -0.066 773.73 0.000

28 0.018 -0.047 773.87 0.000

29 -0.219 -0.153 793.89 0.000

30 0.486 -0.012 892.37 0.000

31 -0.235 0.034 915.44 0.000

32 0.019 -0.065 915.58 0.000

33 -0.077 -0.055 918.07 0.000

34 -0.012 -0.121 918.13 0.000

35 -0.166 -0.115 929.81 0.000

36 0.479 0.066 1027.4 0.000

Abbildung 15: Korrelogramm der ersten Differenzen der SuperPluspreise. Eviews

30

4.2 Saisonale Zerlegung der Zeitreihen

Bei der Analyse der Zeitreihe auf Periodizitt ist es von Vorteil, die Zeitreihe in einigeKomponenten zu teilen. Man muss aus den Originaldaten Komponenten eliminieren,die dazu fhren, dass es groe Spitzen in den Korrelogrammen gibt. Sie spielen in derPeriodizitt eine dominante Rolle, da diese Spitzen auch andere Spitzen unterdrckenknnen, die durch die anderen saisonalen und periodischen Komponenten hervorgerufenwerden.

Bei der Modellierung besteht die Wahl zwischen einem additiven oder einem multi-plikativen Modell. Die Idee dieser Modelle besteht darin, dass die Prognosen nicht nurauf den Beobachtungen selbst beruhen, sondern auch auf den Zeitverzgerungen (Lags),so dass man die saisonale und die Trendkomponenten unabhngig voneinander schtzenkann.

Die Idee von einem additiven und multiplikativen Modell kann man am Beispiel desSpielzeugverkaufs darstellen. Der Verkauf an Spielzeugen steigt im Dezember vor Weih-nachten oder whrend der Sommerferien. Das heit, es wird jedes Jahr eine groe Spitzeim Dezember geben und eine kleinere im Zeitraum der Sommerferien. Diese saisonaleAbhngigkeit wiederholt sich jedes Jahr. An diesem Beispiel kann man den Unterschiedzwischen der additiven und multiplikativen Komponenten beobachten. Zum Beispielsteigt im Dezember der Verkauf an Spielzeugen um 3 Millionen Euro. Um die saisonaleKomponente zu bercksichtigen, kann man in die Prognose fr den Dezember 3 Millio-nen Euro hinzufgen. In diesem Fall wre die Saisonalitt additiv.

Der Verkauf an Spielzeugen kann aber auch im Dezember um 40 Prozent steigen, dasbedeutet mit 1,4 multipliziert. Wenn der Durchschnittsumsatz (in Euro) an Spielzeu-gen gering ist, so ist der absolute Zuwachs der Verkufe im Dezember auch gering (derprozentuale Zuwachs ist konstant). Wenn Spielzeuge gut verkauft werden, dann fllt derprozentuale Zuwachs (in Euro) deutlich grer aus. Der Umsatz steigt 1,4 mal und esliegt eine multiplikative Saisonalitt vor. In diesem Fall wre der Parameter der multi-plikativen saisonalen Komponente gleich 1,4. Graphisch gesehen, wre der Unterschiedzwischen den beiden Saisonalitten folgenderweise zu beurteilen: im additiven Modellwerden die saisonalen Schwankungen konstant sein, deren Gre vom allgemeinen Ni-veau der Werte der Reihe nicht abhngig ist, in einem multiplikativen Modell wird aberdie Gre der Schwankungen vom allgemeinen Niveau der Werte der Reihe abhngen.

Additives Modell

Xt=Tt+Zt+St+ItMultiplikatives Modell

Xt=TZt+St+It

31

Die Zeitreihe besteht aus vier verschiedenen Komponenten: der saisonalen KomponenteSt im Moment t, des Trends Tt, der zyklischen Komponente Ct und der zuflligen, nichtregulren Komponente oder Fluktuationen It. Die saisonale Komponente hat einen re-gulren (saisonalen) Verlauf, die zyklische hat aber eher einen lngerfristigen Effekt,der sich zyklisch ndern kann. Xt bedeutet den Wert der Zeitreihe im Moment t.

Um die periodische (additive und multiplikative) Komponente zu bestimmen, muss manzuerst die Originalzeitreihe gltten, um irregulre Schwankungen zu eliminieren. Mitdiesem Ziel wird die Methode der gleitenden Durchschnitte angewendet. Dies geschiehtmit der Formel 4.2. Die erzeugte Reihe wird als MA6 bezeichnet.

MAt(k)=xt(k1)+xt(k2)+...+xt

kMAt(6)=xt5+xt4+...+xt6 (4.2)

4.2.1 Multiplikatives und additives Modell

Im weiteren werden die Kraftstoffpreise am Beispiel des Dieselpreises untersucht. ImFall von einem multiplikativen Modell nimmt man das Verhltnis der Originalzeitrei-he der Dieselpreise zum gleitenden Durchschnitt der Zeitreihe der Dieselpreise TS/MA6.Die Variationen der Durchschnittswerte von TS/MA6 fr jeweils jeden Wochentag (auerSamstag) fr jeweils jeden Monat des Jahres sind graphisch in der Abbildung 16 dar-gestellt. Es ist interessant zu beobachten, wie sich die durchschnittlichen monatlichenWerte von TS/MA6 im Zeitverlauf verndern.

0,9

0,95

1

1,05

1,1

Jun

09

Jul

09

Aug

09

Sep

09

Okt

09

Nov

09

Dez

09

Jan

10

Feb

10

Mrz

10

Apr

10

Mai

10

Jun

10

Jul

10

Aug

10

Sunday

Monday

Tuesday

Wednesday

Thursday

Friday

Abbildung 16: TS/MA6. Monatlich. Excel

Beim Vergleich der Jahre 2009 und 2010 fllt auf, dass die mittleren Wochentagspreis-schwankungen im Jahr 2009 deutlich grer als deren Schwankungen im Jahr 2010. Esist auch interessant, dass die Montagspreisnderungen parallel zu den Sonntagspreis-nderungen im Jahr 2009 verlaufen, indem im Jahr 2010 die Montagsschwankungen

32

eher einen negativen Trend haben und die Sonntagspreisnderungen eher einen positi-ven Trend. Die Dienstagspreisnderungen weisen ber den ganzen Zeitraum eher einennegativen Trend auf.

Die Werte von TS/MA6 liegen generell zwischen Sonntags- und Freitagspreisen. Soist an der Graphik deutlich zu sehen, dass die Freitagspreise viel hher als die Durch-schnittspreise sind und das ca. um 2,5 bis 7,5 Prozent ber dem Durchschnitt. Dieprozentualen Sonntagspreisschwankungen liegen ca. 1 bis 8 Prozent unter dem Durch-schnitt.

Auf diese Weise entsteht ein so genannter Kanal, in dem sich die Werte von TS/MA6 ver-ndern. Man merkt, dass die Breite dieses Kanals im Winter enger als im Sommer ist.Das heit, dass die Variabilitt in den Preisschwankungen im Sommer grer ist als imWinter. Deswegen ist es sinnvoll, die Durchschnittswerte von TS/MA6 fr jeweils jedenWochentag (auer Samstag) fr jeweils jeden Zeitabschnitt des Jahres darzustellen, sodie Abbildung 17.

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

1,04

1,06

1,08

Summer 09 Autumn 09 Winter 09 Spring 10 Summer 10

Sunday

Monday

Tuesday

Wednesday

Thursday

Friday

Abbildung 17: TS/MA6. Saisonweise. Excel

Im Fall mit einem additiven Modell werden die Differenzen der Originalzeitreihe derDieselpreise zum gleitenden Durchschnitt der Zeitreihe der Dieselpreise TS-MA6 unter-sucht. Die Variationen der Durchschnittswerte von TS-MA6 fr jeweils jeden Wochentag(auer Samstag) fr jeweils jeden Monat des Jahres sind graphisch in der Abbildung 18dargestellt. Es ist interessant, wie sich die durchschnittlichen monatlichen Werte vonTS-MA6 im Zeitverlauf verndern.

33

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

Jun

09

Jul

09

Aug

09

Sep

09

Okt

09

Nov

09

Dez

09

Jan

10

Feb

10

Mrz

10

Apr

10

Mai

10

Jun

10

Jul

10

Aug

10

Sunday

Monday

Tuesday

Wednesday

Thursday

Friday

Abbildung 18: TS-MA6. Monatlich. Excel

Man sieht, dass das Bild auf dieser Graphik den oben beschriebenen Verlauf der Preis-schwankungen des multiplikativen Modells wiederholt. Die Durchschnittswerte von TS-MA6fr jeweils jeden Wochentag (auer Samstag) fr jeweils jeden Zeitabschnitt des Jahresin der Abbildung 19 weisen wieder das gleiche Verhalten wie die der Durchschnittswerteim multiplikativen Modell auf. Deswegen kann keine Aussage bezglich der Art des Mo-dells getroffen werden. Die beiden Modelle haben aber gezeigt, dass der Freitagspreisim Wochenverlauf am hchsten ist. Dies besttigt die erste aufgestellte Hypothese.

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

Summer 09 Autumn 09 Winter 09 Spring 10 Summer 10

Sunday

Monday

Tuesday

Wednesday

Thursday

Friday

Abbildung 19: TS-MA6. Saisonal. Excel

Anhand der beiden Graphiken in den Abbildungen 20 und 21 wird zwischen den bei-den Modellen entschieden. Hier wird die Bildung der Differenz zwischen den durch-

34

schnittlichen monatlichen Freitags- und Sonntagspreisen vollzogen. Man sieht an dergraphischen Abbildung fr additives Modell eine klarere saisonale Abhngigkeit, weilder Durchschnittswert der Breite des Kanals im Sommer 2009 dem Durchschnittswertder Breite des Kanals im Sommer 2010 im additiven Modell hnlicher ist. Deswegenwird das additive Modell dem multiplikativen Modell vorgezogen.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

Jun

09

Jul

09

Aug

09

Sep

09

Okt

09

Nov

09

Dez

09

Jan

10

Feb

10

Mrz

10

Apr

10

Mai

10

Jun

10

Jul

10

Aug

10

MA6_additives model

Abbildung 20: Additives Modell. Excel

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Jun

09

Jul

09

Aug

09

Sep

09

Okt

09

Nov

09

Dez

09

Jan

10

Feb

10

Mrz

10

Apr

10

Mai

10

Jun

10

Jul

10

Aug

10

MA6_multiplikatives model

Abbildung 21: Multiplikatives Excel

35

4.2.2 Anwendung des additiven Modells

Die additive Komponente muss jetzt gebildet werden. Mithilfe der Tabelle in der Abbil-dung 22 bestimmt man den theoretischen Prozess TeorDiffDiesel der saisonalen Kom-ponente. In jeder Zelle befindet sich der durchschnittliche Wert der Differenz TS-MA6fr jeden Wochentag fr jede Jahreszeit.

Sommer Herbst Winter FruhlingSonntag 0, 02678 0, 02844 0, 01443 0, 02747Montag 0, 01102 0, 02068 0, 01120 0, 00926Dienstag 0, 00163 0, 00646 0, 00301 0, 00312Mittwoch 0, 01283 0, 01217 0, 00926 0, 00592Donnerstag 0, 00058 0, 01357 0, 01141 0, 00678Freitag 0, 02480 0, 02154 0, 01583 0, 01734

Abbildung 22: Durchschnittswerte der Differenz TS-MA6

Anhand der Tabelle wird die Matrix Dij gebildet, wo die Werte i der Nummer der Zeile(1 bis 6) und die Werte j der Nummer der Spalte (1 bis 4) entsprechen. Die saisonalenEffekte werden in einem Modell mittels Dummy-Variablen beschrieben. Es werden dieDummy-Variablen AjT und BiT eingefhrt:

A1T

{1, wenn Monat(T) = Dezember, Januar oder Februar0, wenn Monat(T) 6= Dezember, Januar oder Februar

A2T

{1, wenn Monat(T) = Mrz, April, Mai0, wenn Monat(T) 6= Mrz, April, Mai

A3T

{1, wenn Monat(T) = Juni, Juli, August0, wenn Monat(T) 6= Juni, Juli, August

A4T

{1, wenn Monat(T) = September, Oktober, November0, wenn Monat(T) 6= September, Oktober, November

B1T

{1, wenn Wochentag(T) = Sonntag0, wenn Wochentag(T) 6= Sonntag

B2T

{1, wenn Wochentag(T) = Montag0, wenn Wochentag(T) 6= Montag

B3T

{1, wenn Wochentag(T) = Dienstag0, wenn Wochentag(T) 6= Dienstag

36

B4T

{1, wenn Wochentag(T) = Mittwoch0, wenn Wochentag(T) 6= Mittwoch

B5T

{1, wenn Wochentag(T) = Donnerstag0, wenn Wochentag(T) 6= Donnerstag

B6T

{1, wenn Wochentag(T) = Freitag0, wenn Wochentag(T) 6= Freitag

Auf diese Weise wird die saisonale Komponente St ermittelt, die mit der Formel 4.3berechnet wird. Danach wird die saisonale Komponente St von der Originalzeitreiheder Dieselpreise subtrahiert. Die neue Zeitreihe TS_Teordiffdiesel ist saisonberei-nigt. Zu beachten ist, dass im Korrelogramm der ersten Differenzen der saisonbereinig-ten Zeitreihe TS_Teordiffdiesel in der Abbildung 23 keine Spitzen an den durch 6teilbaren Verzgerungsstellen zu sehen sind. Das Ziel der saisonalen Zerlegung wurdeerreicht. Das ARMA-Modell wird im weiteren auf die neue saisonbereinigte Zeitreiheangewendet.

St=4j=1

6i=1

Bit Ajt Dij (4.3)

37

Included observations: 383


1 -0.457 -0.457 80.523 0.000

2 -0.021 -0.290 80.686 0.000

3 0.017 -0.175 80.803 0.000

4 0.043 -0.048 81.526 0.000

5 -0.081 -0.103 84.091 0.000

6 0.088 0.013 87.146 0.000

7 -0.076 -0.053 89.398 0.000

8 0.025 -0.035 89.634 0.000

9 -0.005 -0.030 89.642 0.000

10 0.004 -0.027 89.647 0.000

11 -0.017 -0.029 89.760 0.000

12 0.051 0.029 90.783 0.000

13 -0.074 -0.043 92.962 0.000

14 0.029 -0.034 93.294 0.000

15 0.046 0.039 94.151 0.000

16 -0.029 0.024 94.479 0.000

17 -0.031 -0.016 94.854 0.000

18 0.039 0.002 95.457 0.000

19 -0.070 -0.078 97.450 0.000

20 0.128 0.082 104.12 0.000

21 -0.057 0.052 105.42 0.000

22 -0.035 -0.006 105.91 0.000

23 0.002 -0.028 105.92 0.000

24 0.035 -0.010 106.43 0.000

25 -0.068 -0.058 108.36 0.000

26 0.016 -0.083 108.46 0.000

27 -0.005 -0.074 108.47 0.000

28 0.020 -0.025 108.65 0.000

29 -0.027 -0.041 108.96 0.000

30 0.025 -0.027 109.21 0.000

31 -0.034 -0.049 109.70 0.000

32 0.027 -0.034 110.01 0.000

33 -0.023 -0.037 110.23 0.000

34 -0.030 -0.092 110.61 0.000

35 0.056 -0.035 111.93 0.000

36 -0.004 -0.010 111.93 0.000

Abbildung 23: Korrelogramm der ersten Differenzen von TS_Teordiffdiesel

38

5 Modellschtzung

5.1 Modellbildung der Spotpreise

Am Anfang wird das Modell fr den Spotpreis gebildet. Fr die Bildung der ARMA-Modelle werden die ersten und die zweiten Differenzen untersucht. Beide Zeitreihenweisen die Stationaritt auf und sind fr die Modellbildung geeignet.

Abbildung 24: Histogramm der Verteilung der ersten Differenz der Spotpreise

Abbildung 25: Histogramm der Verteilung der zweiten Differenz der Spotpreise

Die Histogramme in den Abbildungen 24 und 25 zeigen die empirischen Verteilungender ersten und der zweiten Differenzen der Spotpreise. Man sieht, dass die Verteilungen

39

symmetrisch sind. Die beiden Verteilungen werden auf die Schiefe Skewness und dieWlbung Kurtosis der Dichtefunktion geprft und mit der Schiefe und der Wlbungder Normalverteilung verglichen. Es wird diejenige Zeitreihe fr die Modellbildung be-vorzugt, deren Wlbung der Dichtefunktion einer Normalverteilung hnlicher ist undderen Schiefe am geringsten ist (Weigend & Gershenfeld, 1994).

Die Wlbung 2 misst die Steilheit der Dichtedunktion. Die Normalverteilung hatdie Wlbung von 2 = 3. Die Schiefe v zeigt, ob die Verteilung rechts- oder links-schief ist. Die Normalverteilung weist eine Schiefe von Null auf. Die beiden Mazahlen

werden nach den Formeln 2=3/3 und v=4/4 mit =n

i=1

(Xi X

)2/N ,

3 =(Xi X

)3/N , 4 =

(Xi X

)4/N und X =

ni=1Xi/N berechnet (Agung,

2010).

Skewness der zweiten Differenzen hat den Wert 0, 004380 und ist nher an 0 alsSkewness der ersten Differenzen mit dem Wert von 0, 079631. Kurtosis der zwei-ten Differenzen hat den Wert 3, 280693 und ist nher an 3 als Kurtosis der erstenDifferenzen mit dem Wert von 3, 332442. Aus diesem Grund wird die zweite Differenzder Spotpreise fr den ARMA-Modellbau bevorzugt.

Dependent Variable: N_D2SPOTPREISMethod: Least SquaresDate: 12/30/11 Time: 13:26Sample (adjusted): 6/02/2009 8/20/2010Included observations: 382 after adjustmentsConvergence achieved after 13 iterationsMA Backcast: 6/01/2009

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 7.77E-06 3.00E-06 2.594081 0.0099MA(1) -0.995859 0.003449 -288.7182 0.0000

R-squared 0.509672 Mean dependent var -3.92E-09Adjusted R-squared 0.508381 S.D. dependent var 0.008286S.E. of regression 0.005810 Akaike info criterion -7.453421Sum squared resid 0.012825 Schwarz criterion -7.432765Log likelihood 1425.603 Hannan-Quinn criter. -7.445226F-statistic 394.9908 Durbin-Watson stat 2.037616Prob(F-statistic) 0.000000Inverted MA Roots 1.00

Abbildung 26: Modellierung des MA-Prozesses fr die zweite Differenz der Spotpreise

Die zweite Differenz der Spotpreise wird mit dem ARMA-Modell (2,0,1) approximiert,das heit mit dem MA-Prozess (p = 0). Aus der Abbildung 26 ist ersichtlich, dass derMA-Prozess mit der Ordnung 1 fr die Beschreibung der zweiten Differenzen der Spot-preise signifikant ist, denn die p-Werte von MA(1) und C nah an 0 sind. Durbin-Watson-Stat

40

mit dem Wert von 2, 037616 ist nah an 2.

-.6

-.4

-.2

.0

.2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

A ut o

c or r

el a

t i on

-.6

-.4

-.2

.0

.2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

P ar t i

a l

a ut o

c or r

e la t

i on

Abbildung 27: Autocorrelogramm der zweiten Differenzen der Spotpreise

In der Abbildung 27 sieht man eine bereinstimmung zwischen dem Korrelogramm frden MA-Prozess der 1. Ordnung und dem Korrelogramm fr die zweiten Differenzender Spotpreise. Dies bedeutet, es liegt ein hoch signifikantes Modell vor (Weigend &Gershenfeld, 1994).

Die Zeitreihe der zweiten Differenzen der Spotpreise wird als Zt bezeichnet. Das ge-bildete Modell fr diese Zeitreihe sieht folgenderweise aus:

Zt=+ c+ t1 + t=0, 00000891 + 0, 00000777 0, 995859t1 + t (5.1)Mittels Integralrechung wird das Modell fr die Originalreihe der SpotpreiseXt gebildet:

Xt=X0 + t (X1 X0) +t

=1

(t1=

(+ + +)) (5.2)

Man setzt und in die Formel 5.2 ein und bekommt folgendes Modell:

Xt=X0 + t (X1 X0) +t

=1

(t1=

(0, 00000891 + 0, 995859 + +)) (5.3)

41

Dies ist das gesuchte Modell fr die Originalzeitreihe der Dieselpreise, das man frdie Prognose verwenden kann. Wenn man ber die Beobachtungswerte der vorherigenPerioden t=0,1,2 verfgt, kann man eine Vorhersage fr die Werte vonXt ab der Periodet=5 machen.

5.2 Modellbildung der Dieselpreise

Im Weiteren wird nach dem Modell fr die Kraftstoffpreise am Beispiel der Dieselpreisegesucht. Fr die Modellbildung nimmt man die zweite Differenz der saisonbereinigtenZeitreihe der Dieselpreise.

Dependent Variable: N_D2TEORDIESELMethod: Least SquaresDate: 12/30/11 Time: 16:20Sample (adjusted): 6/05/2009 8/20/2010Included observations: 379 after adjustmentsConvergence achieved after 15 iterationsMA Backcast: 6/04/2009


C 6.18E-05 5.34E-06 11.55575 0.0000AR(1) -0.652585 0.050772 -12.85317 0.0000AR(2) -0.393598 0.057060 -6.897959 0.0000AR(3) -0.172214 0.050773 -3.391823 0.0008MA(1) -0.992617 0.003104 -319.7419 0.0000

R-squared 0.760435 Mean dependent var -7.63E-05Adjusted R-squared 0.757873 S.D. dependent var 0.038206S.E. of regression 0.018800 Akaike info criterion -5.096853Sum squared resid 0.132181 Schwarz criterion -5.044907Log likelihood 970.8537 Hannan-Quinn criter. -5.076239F-statistic 296.7907 Durbin-Watson stat 2.016632Prob(F-statistic) 0.000000Inverted AR Roots -.06-.57i -.06+.57i -.53Inverted MA Roots .99

Abbildung 28: Modellierung des ARMA-Prozesses fr die zweite Differenz der Spotprei-se

Die zweite Differenz der Dieselpreise wird mit dem ARMA-Modell (2,3,1) approximiert.Aus der Abbildung 28 ist ersichtlich, dass das ARMA-Modell (2,3,1) fr die Beschrei-bung der zweiten Differenzen der Dieselpreise signifikant ist, denn die p-Werte vonAR(1), AR(2), AR(3), MA(1) und C nah an 0 sind. Durbin-Watson-Stat mit demWert von 2, 016 ist nah an 2.

In der Abbildung 29 sieht man eine bereinstimmung zwischen dem Korrelogrammfr ARMA-Modell(2,3,1) und dem Korrelogramm fr die zweiten Differenzen der Die-selpreise. Dies bedeutet, es liegt ein hoch signifikantes Modell vor.

42

Abbildung 29: Autokorrelogramm der zweiten Differenzen der Dieselpreise

Die Zeitreihe der zweiten Differenzen der Dieselpreise wird als Zt bezeichnet. Das ge-bildete ARMA-Modell(2,3,1) fr diese Zeitreihe sieht folgenderweise aus:

Zt = + 1Zt1 + 2Zt2 + 3Zt3 + t1 + t (5.4)Mittels Integralrechung wird das Modell fr die Originalreihe der Dieselpreise Xt gebil-det:

Xt = X4 +t1=5

((X4 X3) +t1=

(+ 1(X1 X2) (1 2)(X2 X3)

(2 3)(X3 X4) 3(X4 X5) + 1 + ))(5.5)

Man setzt , , 1, 2 und 3 in die Formel 5.5 ein und bekommt folgendes Modell:

43

Xt = X4 +t1=5

((X4 X3) +t1=

(0, 0000000498 0, 652585(X1 X2)

(-0,652585+0,393598)(X2 X3) (0, 393598 + 0, 172214)(X3 X4)(-0,172214)(X4 X5) 0, 9926171 + ))

(5.6)Dies ist das gesuchte Modell fr die Originalzeitreihe der Dieseltpreise, das man frdie Prognose verwenden kann. Wenn man ber die Beobachtungswerte der vorherigenPerioden t=0, 1, 2, 3, 4 verfgt, kann man eine Prognose fr die Werte von Xt ab derPeriode t=5 vorhersagen.

5.3 Korrelation zwischen den Kraftstoffpreisen und den Spot-preisen

In der Abbildung 30 sind gleitende Durchschnitte MA6 der Kraftstoffpreise und dieOriginalzeitreihe der Spotpreise dargestellt. Es ist deutlich eine Gesetzmigkeit zuerkennen: wenn sich die Spotpreise ndern, dauert es ungefhr eine Woche, bis sichdie Kraftstoffpreise ndern. Dies wird in Acht genommen und im Weiteren untersucht.Darber hinaus merkt man, dass die Erhhungsschritte schneller durchschlagen als dieSenkungssschritte.

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

Spot

MA6_Diesel

MA6_Benzin

MA6_Super

Abbildung 30: Gleitende Durchschnitte MA6 und Spotpreise

44

In der Abbildung 31 ist das Korrelogramm der Kreuzkorrelationsfunktion dargestellt.Es ist die Spitze an der Verzgerungsstelle 6 sehr gut sichtbar. Diese Tatsache best-tigt, dass das Verhalten der Spotpreise die Kraftstoffpreise mit einer Verzgerung von 6Tagen beeinflusst. Da der Samstag nicht einbezogen wurde, entspricht das einer Woche.

Es wird das Regressionsmodell fr die Diesel- und die Spotpreise gebildet, siehe Abbil-dung 32. Die Zeitreihe der Spotpreise ist fr genau eine Woche vorgerckt. Die Ergeb-nisse des Modells sind der Abbildung 33 zu entnehmen.

In der Spalte t-statistic wird fr die Spotpreise der Wert 44, 24 angegeben. Es han-delt sich um den Wert der Teststatistik des t-Tests, mit dem die Nullhypothese H0: = 0 berprft wird. Der zugehrige p-Wert wird in der Spalte Prob. mit 0.0000, ergibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Wert mit einem Absolutbetrag von mindestens44, 24 zu erhalten, wenn die Nullhypothese zutrifft. Das Zutreffen der Nullhypothese isthier also extrem unwahrscheinlich; man wird sie verwerfen und es als zutreffend anse-hen, dass die Spotpreise ein Erklrungspotential fr die Beobachtungen der Dieselpreisehaben (Hackl, 2005).

Fr die Gre R-squared ist der Wert 0, 8388 angegeben. Es handelt sich dabei um dassogenannte Bestimmtheitsma, dass man als das Quadrat des Korrelationskoeffizientenzwischen den beobachteten Werten und den Schtzwerten, die die angepasste Regressi-onsbeziehung gibt, bzw. als Quadrat des Korrelationskoeffizienten zwischen den Spot-und Dieselpreisen interpretieren kann. Das Erklrungspotential der Spotpreise fr dieDieselpreise ist entsprechend hoch einzuschtzen (Hackl, 2005).

Durbin-Watson stat von 1, 199 deutet auf eine schwach positive Autokorrelation derResiduen. Dies kann daran liegen, dass die steigenden Spotpreise generell schneller aufdie Dieselpreise durchschlagen, dabei ist der Zeitraum kleiner als der sonst von einerWoche. Die fallenden Spotpreise wirken sich aber langsamer auf die Dieselpreise aus,der Zeitraum ist grer als der sonst von einer Woche (Bundeskartellamt, 2011).

Demzufolge wurde ein Modell generiert, das zeigt, dass die Spotpreise auf die Ben-zinpreise mit einer Verzgerung von etwa einer Woche durchschlagen. Dies besttigtdie zweite Hypothese.

45

Correlations are asymptotically consistent approximations

DTEORDIESEL,DSPOTPR DTEORDIESEL,DSPOTPR i lag lead

0 0.0415 0.04151 -0.0450 0.02692 0.0880 -0.04253 0.0821 -0.00444 0.1064 0.01675 -0.0337 -0.07856 0.0327 0.11557 -0.0515 -0.03478 0.0290 -0.04609 0.0218 0.0275

10 -0.0826 -0.040911 0.0212 0.052712 0.0206 0.007413 -0.0162 -0.042814 0.0473 -0.073715 -0.0703 0.032516 0.0021 0.023717 0.0356 -0.054718 -0.0441 0.098519 0.0843 -0.048320 -0.0033 -0.024421 -0.0712 -0.002122 0.0105 0.000523 0.0907 -0.040124 -0.0748 -0.020725 -0.0366 -0.029026 -0.0256 0.079327 -0.0443 -0.073328 0.0017 0.031429 0.0172 -0.035630 -0.0302 0.004931 -0.0042 0.006032 -0.0111 0.036933 0.0447 -0.051234 -0.0859 0.027835 0.0904 0.037536 -0.0582 0.0128

Abbildung 31: Kreuzkorrelationsfunktion

46

Abbildung 32: Scatterplot

Dependent Variable: TS_TEORDIFFDIESELMethod: Least SquaresDate: 01/03/12 Time: 20:40Sample (adjusted): 6/07/2009 8/20/2010Included observations: 378 after adjustments


C 0.037043 0.010412 3.557547 0.0004SPOTPREIS(-6) 1.333410 0.030138 44.24308 0.0000

R-squared 0.838865 Mean dependent var 0.495140Adjusted R-squared 0.838437 S.D. dependent var 0.053243S.E. of regression 0.021401 Akaike info criterion -4.845466Sum squared resid 0.172212 Schwarz criterion -4.824646Log likelihood 917.7930 Hannan-Quinn criter. -4.837203F-statistic 1957.450 Durbin-Watson stat 1.199158Prob(F-statistic) 0.000000

Abbildung 33: Regressionsmodell

47

6 ZusammenfassungViele empirische Untersuchungen basieren auf der Analyse von Zeitreihen. In dieserArbeit wurde das Verhalten von Spot- und Kraftstoffpreisen mittels Zeitreihenanalyseuntersucht. Die erhobenen Spot-, Diesel-, Benzin- sowie SuperPluspreise umfassen denZeitraum von 31.05.2009 bis 20.08.2010. Die Vorbereitung und die Bereinigung der Da-ten forderte einen wesentlichen Zeitaufwand. Die vorlufige Analyse hat ergeben, dassalle drei Kraftstoffpreise den Verlauf voneinander wiederholen. Aus diesem Grund kannfr eine zeitaufwendige Analyse eine Sorte der Kraftstoffe untersucht werden, die eingltiges Ergebnis fr alle Kraftstoffpreise liefert.

Am Anfang werden die Einheitswurzel-Tests, der erweiterte Dickey-Fuller-Test undder Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test auf die Spotpreise und die Kraftstoffpreiseam Beispiel der Benzinpreise angewendet. Die beiden Tests zeigen, dass die Original-zeitreihen der Benzin- und Spotpreise Nicht-Stationaritt aufweisen. Deswegen werdendie ersten Differenzen der Zeitreihen auf Stationaritt geprft. Die ersten Differenzender Zeitreihen weisen nach der Durchfhrung des erweiterten Dickey-Fuller-Tests unddes Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Tests Stationaritt auf. Diese Eigenschaft derZeitreihe wird einer aus statistischer Sicht guten Prognose vorausgesetzt.

Fr die Spot- und Kraftstoffpreise erfolgt eine weitere Analyse auf Periodizitt. DasKorrelogramm fr die ersten Differenzen der Spotpreise weist keine klare Periodizittauf, da die Werte der Spitzen an den Verzgerungsstellen 48 und 75 in den Grenzendes Standardfehlers sind. Dies lsst jegliche Periodizitt der Spotpreise bezweifeln. DieKorrelogramme fr die ersten Differenzen aller Kraftstoffpreise zeigten dagegen groeSpitzen an den durch 6 teilbaren Verzgerungsstellen. Dies deutete von einer wchent-lichen Periodizitt. Genau dieses Problem hatte Enders (2010) im Zusammenhang mitdem Dickey-Fuller Test angesprochen:Es gibt Zeitreihen, die erste Differenzierung undauch solche, die eine saisonale Differenzierung bentigen. Man muss eine Methode entwi-ckeln, die zwischen den beiden Arten von Einheitswurzelprozessen unterscheiden kann.

Wenn die Korrelogramme groe Spitzen aufweisen, die die kleinen dominieren kn-nen, knnen die Ergebnisse des Modells dadurch beeinflusst sein. Deswegen wird diesaisonale Zerlegung der Dieselpreise durchgefhrt. Im ersten Schritt werden gleiten-de Durchschnitte fr die Zeitreihe der Dieselpreise generiert und in beiden Modellen -additivem und multiplikativem - getestet. Es wird nicht einfach zwischen den beidenModellen zu entscheiden. Zum Vorschein kommt das Problem des relativ kurzen Zeit-raumes, der sich als nicht ausreichend fr eine detaillierte saisonale Analyse erweist.Die beiden Modelle zeigen aber, dass der Freitagspreis im Wochenverlauf am hchstenist. Dies besttigt die erste Hypothese. Im Weiteren wird das additive Modell aufgrunddeutlicherer saisonaler Abhngigkeiten bevorzugt. Die saisonale Komponente wird mit-tels eines Modells mit Dummy-Variablen ermittelt und eliminiert. Damit ist eine weitereVoraussetzung fr die Modellbildung erfllt. Die neue saisonbereinigte Zeitreihe wird

48

im Regressionsmodell angewendet.

Der Groteil der Arbeit liegt in der Modellbildung fr die Diesel- und Spotpreise mitder Software Eviews. Es wird festgestellt, dass die Spotpreise durch den MA-Prozessder 1. Ordnung und die Dieselpreise durch den ARMA-Prozess (2,3,1) gut beschriebenwerden. Mithilfe der Kreuzkorrelationsfunktion wird deutlich, dass das Verhalten derDieselpreise das Verhalten der Spotpreise wiederholt. Das Regressionsmodell der Diesel-preise und der Spotpreise mit einer vorgerckten Woche besttigt, dass die Spotpreiseauf die Kraftstoffpreise in einem Zeitabstand von ca. einer Woche durchschlagen. Diezweite Hypothese wird besttigt.

49

7 Literaturverzeichnis

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[18] Wettbewerbskomission (2008), Gutachten der Wettbewerbskommission gem 16 Abs. 1 Wettbewerbsgesetz an den Bundesminister fr Wirtschaft und Arbeit,Wien

51

8 Anhang

Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on BENZIN

Null Hypothesis: BENZIN has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 12 (Automatic - based on SIC, maxlag=16)

t-Statistic Prob.*


5% level -3.42457910% level -3.135349


Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent

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