Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren

LiteraturNewbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983.

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Zeitreihen

in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y1, y2, …, yt, …, (yn) eines Merkmals Y

Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer

Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer

Aktiengesellschaft

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Aufgaben der Zeitreihenanalyse

Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung

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Komponenten von Zeitreihen

Trend Saisonale (und/oder zyklische)

Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm,

noise)

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Modelle für Zeitreihen

additives Modell yt = Tt + St + Ut

multiplikatives Modell yt = Tt * St * Ut

mit Tt: Trend St: Saisonalität Ut: Störterm

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Tt = a + b.t (linearer Trend) Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer

Trend) Tt = a exp {b.t} (exponentieller Trend) Tt = a/[1 + b exp {– g.t}]

(Sättigungsmodell)

Modelle für den Trend

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Schätzen der Trendkomponente

Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate

Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte

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Schätzen der Saisonkomponenten

Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends Tt Abziehen des Trends liefert (näherungs-

weise) St + Ut, Durchschnitt der Werte jeder Saison-

komponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten

(Abziehen des Durchschnitts)

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Autokorrelation

Autokorrelation rk: Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k (oder yt-k)

rk = sk/s2 mit

sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n

(k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 = s0

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Autokorrelationsfunktion

r(k) = rk, k=0,1,2,…

die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt

gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität

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Prognose

oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r:

ŷn(r)

n: Prognosezeitpunktr: Prognosehorizont

Prognoseintervall ŷn(r) ± c

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Aufgabe der Prognoserechnung

Bestimmung von ŷn(r) und c

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Prognosemethoden

Univariate Methoden exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle

Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane

Gleichungssysteme) Judgmental Methods

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Wahl der Prognosemethode

entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität

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Kein Trend, keine Saisonalität

yt = + ut

: Niveau, ut: Störterm, noise

1. Konstantes Niveau ŷn(r) = ybar für alle r

2. Variables Niveau ŷn(r) = Ln für alle r

geschätztes Niveau: Ln= yn + (1–)Ln-1

(Methode des Exponentiellen Glättens)

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Exponentielles Glätten

Rekursion zum „Update“ des SchätzersLn= yn + (1–)Ln-1

Langschreibweise:Ln = [yn + (1–) yn-1 + (1–)2 yn-2+ …]

Exponentiell abnehmende Gewichte(1–), (1–)2, …

Glättungskonstante

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Beispiel

y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8 Anfangswert: L1 = y1

Glättungskonstante: = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L2 = y2 + (1-)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5) =

4.8 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc.

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Beispiel, Forts.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7

y_t

L_t

yhat_t

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Korean. Exporte, 70/1-86/2

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

10000,0

12000,0

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Glättungskonstante

Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ ≤ 1 Übliche Werte: 0.1 ≤ ≤ 0.3 durch Minimieren der Summe der

quadrierten einstufigen PrognosefehlerSSE = [yt – ŷt-1(1)]2

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Glättungskonstante , Forts

Extreme Werte für : = 1:

ŷn(r) = Ln = yn

Naive Prognose, „random walk“ Prognose = 0:

ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen

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Trend, keine Saisonalität

yt = + t + ut

: Niveau, : Anstieg der Trendge-raden, ut: Störterm, noise

Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt):

ŷn(r) = Ln + r Tn für alle rLn: geschätztes Niveau

Tn: geschätzte Trendkomponente

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„Update“ der Schätzer

Ln = 1 yn + (1 – 1) [Ln-1 + Tn-1]

Tn = 2 [Ln – Ln-1] + (1 – 2) Tn-1

1, 2: Glättungskonstante 0 ≤ 1 ≤ 1, 0 ≤ 2 ≤ 1

großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information

kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht

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„Update“ der Schätzer, Forts.

Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1

Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

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Korean. Exporte, 70/1-86/2

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

10000,0

12000,0

t 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

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Trend und Saisonalität

Exponentielles Glätten nach Holt-Winters

Bei Monatsdaten (s = 12)ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12)

= [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24) = etc.

Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte Trendkomponente, Sn: geschätzte Saisonkomponente

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„Update“ der Schätzer

Ln = 1 [yn/Sn-12] + (1–1) [Ln-1+Tn-1]

Tn = 2 [Ln–Tn-1] + (1–2) Tn-1

Sn = 3 [yn/Ln] + (1–3) Sn-12

1, 2, 3: Glättungskonstante

0 ≤ 1, 2, 3 ≤ 1

Wahl der i: durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

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Prognoseintervall

für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler

yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r) Varianz der Prognosefehler

sr2 = [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r)

95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für yn+r:

ŷn-r(r) ± 2sr

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Autoregressive Modelle

AR(1)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ut

AR(2)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + 2 yt2 + ut

AR(p)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ... + p ytp + ut

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Analyse der AR-Modelle

Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p

Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet

Prognose

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AR(1)-Modell: Prognose

ŷn(1) = b0 + b1 yn

ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1)

...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r 2

mit bi: Schätzer von i

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AR(2)-Modell: Prognose

ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1

ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn

ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1)

...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r 3