Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung...

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ZeitreihenanalyseWS 2004/2005

• Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften

• Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen

• Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum

• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse

• Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis

• Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden

• Skalierung, (Multi-)Fraktale

• Komplexität und Information von Zeitreihen

• Wavelets

Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

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Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m)(R. Heer, Uni

Hannover)

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Kumulatives Periodogramm

Periodogramm:

Kumulatives Periodogramm:(normiert auf Summe = 1)

2/

11

/N

ll

k

llk IIS

2

)( 22 NbaI kkk

Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1)

=> Signifikanztest gegen weißes Rauschen!

ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden:

mit ε 0,01 0,05 0,10 0,25

dε 1,63 1,36 1,22 1,02

21N

dCI

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Kumulatives Periodogramm: Beispiel

Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f (1/d)

Regen

Nitrat

Temperatur

Abfluss

weisses Rauschen

95% Sig. Linie

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Endliches weißes Rauschen

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Spektrale Dichte: Varianz der Schätzung

(W.W

.S.

Wei, T

ime S

eri

es

Analy

sis,

Add

ison

Wesl

ey 1

990

)

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Periodogramm als Schätzer

Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses:

• positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe

• negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, da neu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt:

• Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile

• Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte.

=> verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden

Prozeßspektrums gesucht

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Spektogramm

= Darstellung der Spektraldichten

• erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer

• Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten

• in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster

• in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

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Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

Daniell

Bartlett

Tukey

Hamming

Parzen

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Fouriertransformation

N

t

tN

t

t

Nk

tNx

iNk

tNx

kF11

2sin2cos)(

Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen:

=> Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter:

•Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile

•Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile

•Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

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Fast Fourier Transformation (FFT)

• Numerisch schnelles Verfahren

• für Werte:

lediglich statt Multiplikationen

erforderlich

• Prinzip:

Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der

Länge N

ist gleich

der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der

Länge N/2

(getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

pN 2ppNp 2 pN 22 2

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Fast Fourier Transformation (FFT)

Ni

uk

kgk

N

jj

NikjN

j

kj

Nikj

N

jj

NjikN

jj

Njik

N

jj

Nijk

eW

FWF

feWfe

fefe

fekF

/2

12/

012

)2//(212/

02

)2//(2

12/

012

/)12(212/

02

/)2(2

1

0

/2)(

Index g: für geradzahlige t

Index u: für ungeradzahlige t

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Fouriertransformation

deftx ti

21

)(

Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen

Merkmale:• umkehrbar• existiert für absolut integrierbare Funktionen• zeitglobal• Stationarität prinzipiell erforderlich

k

tik etxf

21

)( Spektrum von tx

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Powerspektrum

• = Leistungsspektrum = Power Spectral Density (PSD)

• = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen

• methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

• übliche Darstellung: doppelt-logarithmischer Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik)

• bitte beachten: im Detail uneinheitliche Nomenklatur (z.B. Art der Normalisierung, Berücksichtigung negativer Frequenzen, etc.)

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Powerspektrum = Leistungsspektrum

Def.: Energie eines Signals

k

ktxE2

)(

df

detxf

deftx

txtxtx

k

tik

ti

kk

kkk

kk

2

*

*

*2

2

2

)(

2 fI Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,...

Nachteil: keine Phaseninformation mehr =>Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

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Faltungstheorem

Faltung (Convolution) zweier Funktionen:

s. Orthogonalität / Korrelation! dttgtfh

Anwendung:

gfh Faltungstheorem:

Die Fouriertransformation der Faltung zweier Funktionen ist gleich

dem Produkt der Fouriertransformationen der einzelnen Funktionen.

Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation

(Wiener-Khintchin-Theorem)

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Powerspektrum= Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

-10

0

10

20

30

40

31.12.80 10.04.81 19.07.81 27.10.81

t [Tage]

x(t)

-1

0

1

0 365 730

Time Lag [Tage]

Au

tok

orr

ela

tio

n

0 100 200 300 400 500

Time Lag [Tage]

Sp

ektr

ale

Dic

hte

0 100 200 300 400 500

Time Lag [Tage]

Sp

ektr

ale

Dic

hte

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Farbiges Rauschen

Klassifizierung nach Steigung der an den abfallenden Ast der

Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade

= 0 weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur,

frequenzunabhängige spektrale Energiedichte

0 < < 1 rotes Rauschen: größere Varianz der langperiodischen

(niederfrequenten) Anteile => Tiefpassfilter; autokorrelierte

Daten ("Trägheit")

-1 < < 0 blaues Rauschen: größere Varianz der

kurzperiodischen (hochfrequenten) Anteile => Hochpassfilter

1/f Rauschen: spektrale Dichte ist umgekehrt proportional zur

Frequenz

(1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen: = 1 bzw. 0,5 < < 1,5)

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Beispiele für Powerspektren I

0 . 1

1

1 0

1 0 0

0 . 0 1 0 . 1

f ( 1 / d )

Regen, β = 0.36

Abfluss, β = 1.15

Lehstenbach/Fichtelgebirge

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Beispiele für Powerspektren II

Lange Bramke/Harz

10 -4

10 -3

0.01

0.1

10 -3 0.01 0.1f (1/d)

Regen, β = 0.28

Abfluss, β = 1.53

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Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete(Kirchner et al. 2000)

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Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete(Kirchner et al. 2000)

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Powerspektren für nicht-

äquidistante Daten: Lomb-Scargle-

NormalisierungMessungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten tj :

N

jj

N

jjj

N

jj

N

jjj

LS

t

tx

t

tx

P

1

2

2

1

1

2

2

1

sin

sin

cos

cos

2

1

für und

N

jj

N

jj

N

jj

N

jj

t

t

t

t

1

1

1

1

)2cos(

)2sin(

arctan2

1

2cos

2sin

2tan

= beste (im least squares Sinne) Approximation

1)(

0)(2

x

xEx

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Ein ziemlich lückiger Datensatz...

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...und sein Spektrum

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Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

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Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

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Ausblick auf weitere Fouriermethoden

• Multivariate Fouriertransformationen

• Kreuzspektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen)

• Skalierung, Potenzgesetze

• Behandlung langreichweitiger Spektren

• Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets

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Beispiel: Kreuzspektrum(Mercube-Einzugsgebiet; Molénat et al. 1991)

Niederschlag Abfluss

Kreuz-spektrum

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Aufgabe

1. Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur-Abfluss-Datensatzes durch.

2. Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen.

3. Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot.