Zerlegung in Linearfaktoren

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Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 1)(x − 5)

Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 3)2

Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 3)2 + 1

Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 3)2 + 1

Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).

Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 3)2 + 1

Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).

Fur 2 Nullstellen gilt z.B.: 3x2− 18x + 15 = 3(x2

− 6x + 5) = 3(x − 1)(x − 5)

Polynom 2. Grades ax2 + bx + c

1

2

3

4

1 2 3 4 5 x

y

f (x) = (x − 3)2 + 1

Die Zerlegung eines Polynoms 2. Grades richtet sich nach der Anzahlder Nullstellen (2,1 oder 0) der zugehorigen Polynomfunktion (Parabel).

Fur 2 Nullstellen gilt z.B.: 3x2− 18x + 15 = 3(x2

− 6x + 5) = 3(x − 1)(x − 5)

(x − 3)2 + 1 kann nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

5(x + 1)(x − 2)(x − 5)

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

5(x + 1)(x − 4)2

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x + 1)(x2

− 6x + 10)

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

Die Zerlegung eines Polynoms 3. Grades richtet sich nach der Anzahl der Nullstellen

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

Die Zerlegung eines Polynoms 3. Grades richtet sich nach der Anzahl der Nullstellen

(3, 2 oder 1) der zugehorigen Polynomfunktion. Mindestens eine Nullstelle ist vorhanden.

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

Fur eine Zerlegung ist die 1. Nullstelle zu erraten. Fur mogliche weitere Nullstellen ist eine

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

Fur eine Zerlegung ist die 1. Nullstelle zu erraten. Fur mogliche weitere Nullstellen ist eine

Polynomdivision durchzufuhren, z.B.:

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

x3− 7x2 + 8x + 16

x + 1= . . . = x2

− 8x + 16 und x2− 8x + 16 = (x − 4)2 mit der pq-Formel

Polynom 3. Grades ax3 + bx2 + cx + d

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1 x

y

f (x) = 1

4(x − 1)(x2

− 6x + 12)

x3− 7x2 + 8x + 16

x + 1= . . . = x2

− 8x + 16 und x2− 8x + 16 = (x − 4)2 mit der pq-Formel

Insgesamt x3− 7x2 + 8x + 16 = (x + 1)(x − 4)2

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) =

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

− ( )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

− (x3 )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

− (x3− 2x2)

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

− (x3− 2x2)

3x2

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− ( )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2 )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )0

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )0

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) =

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )0

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )0

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2 + x

Polynomdivision

(x3 + x2− 10x + 8) : (x −2) = x2+ 3x −4

− (x3− 2x2)

3x2− 10x

− (3x2− 6x)

− 4x + 8

− ( − 4x + 8 )0

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x + 5) = x2 + x − 2

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) =

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

− ( )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

− (x3 )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

− (x3 + 5x2)

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

− (x3 + 5x2)

x2

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− ( )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

− ( )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

− ( − 2x )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

− ( − 2x − 10 )

Polynomdivision

(x3 + 6x2 + 3x − 10) : (x +5) = x2+ x −2

− (x3 + 5x2)

x2 + 3x

− (x2 + 5x)− 2x − 10

− ( − 2x − 10 )0

Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2 x

y

f (x) =1

10(x + 1)(x − 1)(x − 4)2

Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2 x

y

f (x) =1

5(x − 1)3(x − 4)

Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2 x

y

f (x) =1

5(x − 1)3(x − 4)

In der Umgebung von x = 1 ahnelt der Graph dem verschobenen Graphen von y = −x3.Beachte: In dieser Umgebung ist der Faktor (x − 4) negativ.

Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2 x

y

f (x) =1

3(x − 1)2(x − 4)2

Polynom 4. Grades ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

1

2

3

4

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2 x

y

f (x) =1

3(x − 1)2(x − 4)2

In den Umgebungen von x = 1 und x = 4 ahnelt der Graph dem verschobenen Graphenvon y = x2. In diesen Umgebungen ist jeweils der ubrige quadratische Term positiv.