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MotivationZufallsmatrizen (Schönwetterversion)

Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Zusammenfassung

Zufallsmatrizen in stürmischen Zeiten

Uwe Jaekel

NEC Europe LtdC&C Research Laboratories

Sankt Augustin

Gemeinsame Arbeit mit Gabriel FrahmUniversität Köln, Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie

Statistische Woche, Dresden, 20. September 2006

Uwe Jaekel Korrelationen



Gliederung

1 MotivationRisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen

2 Zufallsmatrizen (Schönwetterversion)Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung

3 Nichtnormalverteilte Daten (Stürmische Zeiten)Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen

4 Zusammenfassung




RisikostreuungPortfolio-OptimierungZufällige Korrelationen

Risikostreuung bei Investitionen

Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen?

Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B100 000 Air France Air France100 000 Lufthansa Deutsche Telekom100 000 United Airlines WalMart100 000 American Airlines Microsoft100 000 All Nippon Airways Toyota

Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien,verschiedene Sektoren,verschiedene Regionen.





Gleicher Sektor, gleiche Region: Lufthansa – AirFrance





Verschiedene Sektoren und Regionen: Lufthansa –IBM





Portfolio-Optimierung nach Markowitz

Bestimmung des optimalen Gewichtsvektors w fürInvestition in die Einzelwerte.µ′w : Erwartungswert des Portfoliogewinns – Funktion desRenditevektors µ.w ′Σw : Portfolio-Risiko – Funktion der Kovarianzmatrix Σ.Maximiere erwarteten Gewinn bei festgehaltenem Risiko.Problem: Schätzung des Renditevektors und derKovarianzmatrix aus historischen Daten gefährlich.





Korreliert? Unkorreliert?

Erste 100 Tage für einige aus insgesamt 1000 Zeitreihen





Lösung: Alle unkorreliert!

Unkorrelierte synthetische Daten. Die gleichen Zeitreihen über1000 Tage:





Probleme bei Finanzmarktdaten

Im allgemeinen hochdimensional.

Bei d Risikofaktoren gibt es d(d−1)2 Korrelationen. Hohes

Risiko zufälliger Korrelationen.Größe n der Stichprobe oft nicht viel größer als d .Asymptotische Betrachtungen können auch für“große” n problematisch sein!Hier: n →∞,d →∞, n

d → Q ≡ const.




Random Matrix TheoryMarcenko-Pastur-Verteilung

Was tun gegen zufällige Korrelationen?

Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory).Zufällige Korrelationen zeigen sich in einercharakteristischen Verteilung im Eigenwertspektrum derKorrelationsmatrix.Ursprünge in der mathematischen Statistik, 1930er Jahre(Hsu, Wishart).Erste ernsthafte Anwendung der RMT: Energiespektren inder Kernphysik (Wigner, 1955).Viele weitere Anwendungen (Physik, Nachrichtentechnik,Zahlentheorie, . . . )





Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory –RMT)

Kernphysik vs. Ökonomie

Mulhall, PhD thesis Plerou et al., 2002





Beispiel

n = 10 Beobachtungen von d = 5 multivariat normalverteilten,unkorrelierten Risikofaktoren.

Theoretische Stichproben-Korrelationsmatrix korrelationsmatrix SSS

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

1.00 −0.44 0.19 0.22 0.23−0.44 1.00 −0.51 0.12 0.02

0.19 −0.51 1.00 0.28 0.500.22 0.12 0.28 1.00 0.610.23 0.02 0.50 0.61 1.00

Eigenwerte von SSS: 0.1935, 0.3703, 0.8256, 1.4275, 2.1831.





Eigenwertspektren von zufälligen Korrelationen

d = 5,n = 10.λ = 0.1935,0.3703,0.8256,1.4275,2.1831.






d = 50,n = 100.






d = 200,n = 400.






d = 500,n = 1000.





Satz von Marcenko & Pastur

Für d →∞, n →∞, aber n/d = Q = const konvergiert fürnormalverteilte unkorrelierte Daten die Verteilungsfunktionder Eigenwerte der Korrelationsmatrix gegen eineFunktion, die nur von Q abhängt.Die Eigenwerte liegen zwischen λmin und λmax mit

λmin,max = (1±√

1/Q)2

mit Dichte ρ(λ) =Q√

(λmax−λ)(λ−λmin)

2πλ .

Folgerung: Eigenwerte > λmax stammen nicht auszufälligen Korrelationen. Trennung von Signal undRauschen (PCA).





Beispiel für Aktien aus S&P 500

Plerou et al., 2002





Zuordnung Eigenvektoren – Sektoren

Plerou et al., 2002




Finanzzeitreihen: Stilisierte FaktenVerallgemeinerte elliptische VerteilungenRMT für elliptische Verteilungen

Probleme

Renditen sind nicht normalverteilt . . . sind die Annahmen derRMT gerechtfertigt?

Mantegna & Stanley, 1995





Stilisierte Fakten

1 Tagesrenditen sind nicht normalverteilt (“heavytails”/leptokurtisch).

2 Extreme Verluste treten gleichzeitig auf (“tail dependence”,Bsp.: Crash).

3 (Zeitreihen zeigen oft Volatilitätscluster, Gedächtniseffekteund Sprünge.)

Mit diesen Fakten vereinbares Modell in diesem Vortrag:Verallgemeinert elliptische Verteilungen.





Verallgemeinerte elliptische Verteilungen

Definition (Verallgemeinerte elliptische Verteilungen)

Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinertelliptisch verteilt genannt, wenn

ein k -dimensionaler Zufallsvektor U(k), gleichförmig verteiltauf der Einheitssphäre,eine skalare (generierende) R die von U(k) abhängen darfundein Vektor µ ∈ Rd , und eine Matrix Λ ∈ Rd×k existieren, sodass gilt:

X d= µ+RΛU(k).

G. Frahm, dissertation, 2004.Uwe Jaekel Korrelationen




Simulation einer elliptischen Verteilung





Eigenschaften

Sehr große Klasse, die die elliptischen Verteilungenumfasst.Insbesondere

Multivariate Normalverteilungen.Multivariate t-Verteilungen.Multivariate symmetrische verallgemeinert-hyperbolischeVerteilungen.

Für elliptische Verteilungen ist die DispersionsmatrixΣ = ΛΛ′ proportional zur Kovarianzmatrix.Asymmetrien, “heavy tails” und “tail dependence” könnendurch geeignete generierende Verteilung beschriebenwerden.





RMT für elliptische Verteilungen?

Bekannte Verallgemeinerung des Satzes von Marcenko &Pastur (Normalverteilung & unkorrelierte Komponenten):MP-Verteilung gilt auch für Zufallsvektoren mit paarweiseunabhängigen Komponenten mit Mittelwert 0 und Varianz1 (Yin, 1986).Unabhängigkeit und Unkorreliertheit sind nur fürNormalverteilungen äquivalent.Unkorrelierte Komponenten sind bei elliptischenVerteilungen i.d.R. nicht unabhängig. Bsp.: gleichförmigeVerteilung auf dem Einheitskreis.





Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes I

ExampleMultivariate Verteilung(n = 1000, d = 500), wobeijede VektorkomponenteStandard-t-verteilt mit 5Freiheitsgraden ist, und dieKomponenten paarweisestochastisch unabhängig sind.

FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?

AntwortJa!





Verifikation des Marcenko-Pastur-Gesetzes II

ExampleElliptische Verteilung (n = 1000,d = 500) mit t-verteilter (5Freiheitsgrade) generierenderVariablen, und paarweiseunkorrelierten Komponenten.

FrageIst die Eigenwertverteilung derStichprobenkovarianzmatrixkonsistent mit derMP-Verteilung?

AntwortNein!





Lösungsansatz für RMT bei elliptischen Verteilungen

[Frahm & Jaekel, 2005, 2006]Unkorreliertheit impliziert i.a. nicht Unabhängigkeit.Ursprung des Problems: “heavy tails” in der generierendenVerteilung!

Extremwert der radialen (generierenden) Variablen wirktsich selbst für sphärisch verteilte (unkorrelierte) Daten auffast alle Komponenten aus (tail dependence).Dadurch große artifizielle Beiträge extremer Ereignisse zurStichprobenkovarianzmatrix.

Lösung: Verteilungsfreie Schätzung der Kovarianzmatrix(in der Klasse der verallgemeinert elliptischenVerteilungen).





Elimination der generierenden Variablen

Frage

Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für dieDispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinertelliptischen Verteilungen gewinnen?

Hinweis

Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig vonder generierenden Verteilung.






Frage


HinweisSei P (R = 0) = 0, r (Λ) = d , und µ bekannt. Ein verallg. el-liptisch verteilter Zufallsvektor kann per Definition geschriebenwerden als

X d= µ+RΛU(k).







Frage


HinweisDamit gilt:

X − µ

||X − µ||2d=

RΛU(k)

||RΛU(k)||2a.s.= ± ΛU(k)

||ΛU(k)||2=: ±S.






Idee des Spektralschätzers

Die Spektraldichte ψ der projizierten Zufallsvektoren ist:

s 7−→ ψ (s) =Γ

(d2

)2πd/2 ·

√det

(Σ−1

)·√

s′Σ−1s−d, ‖s‖2 = 1,

mit positiv definitem Σ = ΛΛ′.Maximum Likelihood-Schätzer mit projizierten Daten si(i = 1 . . .n) führt zur Fixpunktgleichung

ΣS =dn·

n∑j=1

sjs′js′j Σ

−1S sj

.

Äquivalent zu Tyler´s M-Schätzer.





Vergleich Stichproben- und Spektralschätzer

Farbkodierte Darstellung der “wahren” Kovarianzmatrix (links) und derStichprobenkovarianzmatrix (rechts) für eine multivariat t-verteilteStichprobe (ν = 3).





Der Spektralschätzer bei der Arbeit

Farbkodierte Darstellung der “wahren” Kovarianzmatrix (links) und desSpektralschätzers (rechts) für eine multivariat t-verteilte Stichprobe(ν = 3).





Der Spektralschätzer in der RMT

Vermutung: Der Spektralschätzer führt für beliebigeVerteilungen bei unkorrelierten Daten zuEigenwertverteilung konsistent mit demMarcenko-Pastur-Gesetz.Die Ergebnisse können für einen Spektralschätzer aufunvollständigen Daten erweitert werden.





RMT bei “Fat tails”

Simulation (n = 1000,d = 500) für gemeinsam t-verteilte(ν = 5), unkorrelierte Daten: Stichproben-Kovarianzmatrix führtzu „falschen“ Eigenwerten > MP-Limit.

Stichprobenschätzer Spektralschätzer





Beispiel mit unvollständigen Daten

Simulation (n = 100,d = 50) für gemeinsam t-verteilte (ν = 5),unkorrelierte Daten mit 20% fehlenden Daten.

(Gaußscher) EM-Schätzer verallgemeinerter Spektralschätzer




Die Theorie der Zufallsmatrizen (RMT) wurde alsInstrument zur Trennung von Signal- und Rauschanteilenin hochdimensionalen Finanzzeitreihen vorgeschlagen.Die Voraussetzungen der “klassischen” Theoriewidersprechen den bei Finanzzeitreihen beobachteten“stilisierten Fakten”.Die RMT ist bei Verwendung gewisser “robuster” Schätzerdennoch anwendbar.


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