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Zum Noether'schen Fundamentalsatze der Theorie der algebraischen Functionen.

Von Wilhelm Weiss in :Prag.

Sind ~ (s~ z) und f (s , z) ganze Functionen~ welche in s ~---0, z = 0 beziehungsweise einen r-fachen und k-fachen Punkt mit ge- trennten Zweigen besitzen~ so hat eine weitere Function /~'(s~ z)~ um in der Form A ~ -~- B f darstellbar zu sein~ nach dem Noether- schen Fundamentalsatze an dieser Stelle k.r Bedingungsgleichnngen zu erfitllen.

Diese sind s~mmtlich identisch erftfllt~ wenn F in s ~ 0~ z = 0 einen r -~- k-- 1 - fachen Punkt hat (Noether~ Mathem. Annal.~ Bd. VI).

Noether hat aber in der grundlcgenden Arbeit (~ath. Annal. Bd. XV) noch ein anderes~ weniger specielles Vcrhalten far f f an- gegeben~ dutch welches jene Bedingungsgleichungen theilweise oder s~tmmtlich zu erftillen sind. Allein, da far die dortigen Zweck% weil in der Natur der Sache gelegeu~ nnr jene Bestimmung yon F in Betracht kommen konnte, gelangt man so night zu tier allge- meinen Function mit ahnlichem geometrischem Verhalten.

Indem die vorliegende Note hier ihrcn Ausgangspunkt nimmt~ wird versucht die allgemeinste Function dieser Art~ welche alle Bedingungsgleichungen identisch erfiillt~ auch wirklich darzustcllen.

Und welter, uncl darauf mSchte der Nachdruck zu lcgen sein: wird~ abweichend yon dem Vorgange bci Noethcr (1. c. pug. 511) diese Art der Erftillung aller Bedingungsgleichungen auf die un- mittelbar evident% identischc Erftillung durch einen r-~-k--l-fachcn Punkt yon F zurtickgefithrt.

Dadurch erhi~lt z. B.: um yon den Anwendungen nur die wichtigste hervorzuheben~ die Behandlung der nichtadjungierten Schaarcn auf einer a]gebraisehen Curve (Rests~ttzc) dieselbe Durch- sichtigkeit, welche die dcr adjungierten Sehaarcn auszeichnet.

1. Es babe r in s ~ 0 ~ z = 0 eincn gew~hnlichen r-fachen Punkt

(~, z) = % + %+~ -5 %+~ + . . . .

Es sei welter r (s~ z) die allgemeinste Funetion~ welehe an tier Stelle s = 0~ z ~ 0 keiner anderen Bedingung zu gentigen hat~ als dcr folgenden: r hat ebenso wie ~ daselbst einen r-fachcn Punkt, u n d e s soll je ein Zweig yon ~ mit einem Zweige yon ~ noch ~: weitere zusammenfallende Punktc gemeinsam haben:

r ~ ) = % + % + ~ + . . . . ~ o n a t s h . f. 5~athematik u. :Physik. VII. Jahrg . 2].

322 Wilhelm Weiss.

Wegen der obigen Voraussetzungen~ und well die Ordnung yon q) unbestiramt bleibt~ sind far jedes der Glieder: O.~ q) O+~_1 genau r Bedingungen vorhanden~ so dass dieselben noeh beziehungsweise 1~ 2~ 3~ .. .~ ~ freie Constanten enthalten. r + ist ganz willktMieh.

2. Wir betr&chten die ~'unetion:

(s, = L (s, (s, § M(s, z),

worin L die Stelle s ~ 0~ z-~-0 nicht enth~lt~ und M a n derselben r @ ~- fach versehwindet.

L ( 6 z ) = L o @ L 1 @ L s @ . . .

(s, = + . . . .

hat wegen L o ~: 0 in s ~---0~ z = 0 einen r-faehen Punkt mit getrennten Zweigen~ well dieses far ~p vorausgesetzt wurde. Da aber an dieser Stelle irgend ein Zweig der Function cp yon ebenso in r @ ~ zusammenfallenden Punkten getroffen werden muss~ wie yon M, so folgt~ dass ~ and ,5 daselbst Zweig ftir Zweig noeh �9 weitere zusammenfallende Punkte gemeinsam haben.

Es hat daher ~, an der r-faehen Stelle yon qo das unter 1. besehriebene Verhalten. Aber es lasst sieh welter zeigen~ d a s s d ie a l l g e m e i n s t e F u n c t i o n d ieser Ar t ist.

In s = 0 ~ z ~ 0 hat man:

,2 ~=~,+*rq_l+~l,r. .}_2+' ' '+~r.~z__l+ ,r_}_z+ ''~ worin :

~,.+<~-L~t~-}-L~ ~ + ~ - ~ - . . . - } - L o ~ , + ~ ftir i = 0 , 1, 2, x-1.

Daher enthalten ~ ~,~+1~ �9 "'~ ~+~-~ die 1, 2~ 3~ . . o~ ~ s Constanten yon Lo~ Ll~ L ~ . . . ~ L _ r

Da nun d iese Cons tan ten auch wirkl ic 'h a l le a.uf- treten~ und die G l i e d e r y o n der D i m e n s i o n r @ z v s l l i g w i l l k t i r l i ch sind~ ist die obige Behauptung erwiesen.

3. Eine Function 4' (6 z) kann in s ~ 0~ z ~ 0 jeden Zweig yon ~ in r-@ �9 zusammenfallenden Punkten noch auf mannigfache andere Weise treffen, als es in 1. besehrieben ist. Es braueht dazu ~' dort nur einen hSheren als r-fachen Punkt zu besitzen und die Zweige yon ~ in entsprechend tiiedrigerer Ordnung zu beriihren.

Es mSge 4' dasetbst einen r --~ ~-faehen Punkt end mit jeclem Zweige yon ~p noeh x - -p weitere zusammenfallende Punkte ge- meiusam haben.

Zum Noether~schen Ftmdamentalsatze der Theorle etc. 3 2 3

Ist jetzt in s~O~ z = O

L~., z ) = L + L + 1 + L § M(., ~) = M.+~ + M.+~+ 1 +...,

so ergibt sieh gerade wie in 2., dass

~' (% z) : L (s, z) ~ q- M (% z)

die a l l g e m e i n s t e Function mit dem obigen geometrischen Ver- halten ist~ da die Glieder ( rq -P ~-i) t'r Dimension:

L +~%-~L +~_~%+~-...-JFL %+~ i - - - - -0~1 : . . . , ~ - -0 - -1

P-Jc i-4-1 s Constante enthalten~ und diese aueh wirklich alle auftreten.

)[an kann dan beiden vorstehenden Beweisen~ ohne deren Grundgedanken zu iindern~ eine etwas andere Form geben~ indem man successive vorgeht. 1)

Es sei in s ~ 0 ~ z ~ 0 :

~ %.+~ q- %+~+~ q- ~,.+~+~ if-...

Soll ~ mit q~ Zweig fttr Zweig e i n e n weiteren Punkt gemeinsam haben, so muss ,~ +e-~-~Le. q~ sein.

Daher besteht:

~J - - 4 q0 ~ ~(1) ~ r r + . - . , , ~+~+i-] L ,~+~+~ �9

Soll q~ daselbst Zweig fiir Zweig mit q~ z w e i weitere zusammen- fallende Punkte gemein haben~ so is~ nothwendig und hinreiehend~ dass ,4 (~) einen hat.

r den Factor besitzen~ also ~ (~) - - Deshalb muss ,~+o+1 % %+~+~-- L + ~ r sein.

Daher:

~0-) __ 4 + :[ ~ ~ ~('~) - - - ~(')) 'b(~) , , . + ~ + ~ , . + o + s ~ L ' ' ' l i n d :

~b (~) t~(2) ,r + L+I)~ = ~.+~+, § ,.+~+, +...

u. s. w. I:Iat daher ~ mit q~ in s~O~ z~--O~ Zweig fiir Zweig -c--p weitere zusammgnfallende Punkte: so muss bestehen:

Setzt man :

4,('-e)

~) Diese Bemerkung schrleb mh" Herr P~:of. No e t h e r~ dem ich den InhaIt dieser ~ote mitgetheilt habe. 21"

3~4 Wilhelm Weiss.

so hat man die Darstellung:

= ( L @ L o + I @ . . . @ L _ I ) ~ @ M .

Dies ist die Gleiehung in 3. and far p-~-0 jene in 2.

4. Es miSgen wit fr[iher q~ (s~ z) and f(s, z) in s ~--0, z ~ 0 einen r-faehen~ bezw. k-faehen Punkt mit getrennten Zweigen besitzen.

Sell ffir eine Function F(s, z) die Identit~t bestehen:

so kann man die dazu in s = 0 ~ z ~ 0 nothwendigen und hin- reichenden Bedingungen naeh No e t h e r (Math. Annul., Bd. XV, pag. 509) so aussprechea: Es muss dureh F(s~ z) msglich sein, in der Umgebung dieser Stelle die Identit~tt zu erfttllen:

F(s, B'Z wenn A' uncl B' unbegrenzte Entwiekelnngen in s, z sind.

Diese Bedingungen sincl ftir eine Function N(s~ z), we]ehe in s~ -0 , z ~ 0 einen r @ k - - 1 faehen Punkt hat und sonst ganz beliebig ist, bekanntlieh identiseh erfttllt (vergl. 1. c.).

Ist daher z ) = + + [- ...,

so besteht sieher die Identit~tt:

N(8,

Hat nun L die frtthere Bedeutung~ so bestehen mit der vor- stehenden offenbar aueh die beiden tolgenden Identitaten:

N(s, z) @- L~ ~_ (A '@ L) ~ @- B ' f ~ A" ~ _jz B ' f N(s, z) -~- L f ~ A'~ @ (B' @ L ) / ~ A'~, @ B"fl.

Vergleicht man die linken Seiten mit den Darstellungen yon resp. ~' in Nr. 2. and 3., so ergibt sieh:

Die zur D a r s t e l l u n g e ine r ]) 'unction F in der F o r m Acr @ B f an der g e m e i n s a m e n ~'-fachen, b e z i e h n n g s w e i s e ]c - faehen S t e l l e y o n q~ u n d f n o t h w e n c l i g e n uncl h in re i - chenclen ]3edingungen~ s ind alle daclureh zu er~ttllen, dass man F an d i e se r g te l l e ~olgendes g e o m e t r i s e h e Ver- ha l t en g iebt : e inen r - f a e h e n P u n k t und mit ~ Zweig fttr Zweig noeh /c--1 z u s a m m e n f a l l e n d e we i t e r e P u n k t e , ode r e inen /c-faehen P u n k t uncl Zweig fttr Zweig m i t f n o c h r - - 1 z n s a m m e n f a l l e n d e P n n k t % oder e n d l i c h ein d iesem n a e h Nr. 3 en t s lo reehendes aber spee ie l l e s Verha l t en .