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Auswertung zum Versuch Quanten-Hall-Effekt im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums zur Einführung in die Festkörperphysik an der Leibniz Universität Hannover von Jule Heier (3231530) und Alexander Fufaev (3153800)

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Auswertung zum Versuch

Quanten-Hall-Effekt

im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums

zur Einführung in die Festkörperphysik

an der Leibniz Universität Hannover

von Jule Heier (3231530)

und Alexander Fufaev (3153800)

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Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev

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Inhalt

1 Einleitung ........................................................................................................................................................................... 3

2 Theoretische Grundlagen ............................................................................................................................................ 4

2.1 Klassischer Halleffekt ........................................................................................................................................... 4

2.2 Zweidimensionales Elektronengas (2DEG) ................................................................................................ 5

2.3 Magnetotransport im 2DEG ............................................................................................................................... 5

2.4 Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen ............................................................................. 6

2.5 (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild ........................................................................................... 6

2.5.1 (de)lokalisierte Zustände ........................................................................................................................... 6

2.5.2 Randkanalbild ................................................................................................................................................. 7

2.6 Elektronenkonzentration und -beweglichkeit ........................................................................................... 7

3 Messaufbau ....................................................................................................................................................................... 8

3.1 Bond-Schemata der Proben ............................................................................................................................ 10

4 Messungen und Auswertung .................................................................................................................................. 13

4.1 Magnetotransportmessungen ....................................................................................................................... 13

4.1.1 Messergebnisse der Magnetotransportmessungen ..................................................................... 13

4.1.2 Bestimmung der Elektronenkonzentration .................................................................................... 15

4.1.3 Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit ..................................................................................... 17

4.1.4 Fraktionale Füllfaktoren .......................................................................................................................... 17

4.2 Dauerhafter Photoeffekt .................................................................................................................................. 17

4.2.1 Messergebnisse nach Beleuchtung ..................................................................................................... 18

4.2.2 Elektronenkonzentration und –beweglichkeit nach Beleuchtung......................................... 18

5 Zusammenfassung ...................................................................................................................................................... 19

Literaturverzeichnis ...................................................................................................................................................... 20

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Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev

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1 Einleitung

In diesem Bericht wird der Quanten-Hall-Effekt (QHE) sowie der Einfluss des Photoeffekts auf diesen

untersucht. Außerdem werden mithilfe des QHE die Eigenschaften der verwendeten Proben

(Elektronenmobilität und Elektronenkonzentration) bestimmt.

Der Quantenhalleffekt wurde 1980 von Klaus von Klitzing entdeckt, wofür dieser 1985 den

Nobelpreis für Physik erhielt.

Das Interessante an diesem Experiment ist, dass aufgrund der Verwendung eines zweidimensionalen

Elektronengases und starker Magnetfelder andere physikalische Zusammenhänge zum Vorschein

kommen, als beim klassischen Hall-Effekt. Bei diesem wird nämlich ein linearer Zusammenhang

zwischen dem Querwiderstand und der magnetischen Flussdichte erwartet, sowie ein konstanter

Längswiderstand über den ganzen Magnetfeld-Wertebereich. Bei Einschränkung der

Elektronenbewegung auf zwei Dimensionen sowie Verwendung starker Magnetfelder jedoch, bilden

sich Plateaus (konstante -Werte) im Querwiderstand für bestimmte Wertebereiche des

Magnetfeldes aus, genannt Hall-Plateaus. Und der Längswiderstand bleibt bei Änderung des

Magnetfeldes überhaupt nicht konstant, sondern oszilliert, wobei er immer dann ein Minimum

annimmt, wenn auch ein neues Hall-Plateau auftritt.

Abbildung 1: Verlauf von spezifischem Längs- und Querwiderstand beim klassichen Hall-Effekt

Abbildung 2: Verlauf von spezifischen Längs- und Querwiderstand beim Quanten-Hall-Effekt

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2 Theoretische Grundlagen

2.1 Klassischer Halleffekt

Beim klassischen Hall-Effekt wird ein dreidimensionales Plättchen (z.B. aus Halbleitermaterial)

benutzt, an dessen beiden Enden eine Spannung angelegt wird, die einen konstanten elektrischen

Strom verursacht. Senkrecht zum Plättchen wird ein homogenes Magnetfeld angelegt, welches

die Ladungsträger (Elektronen oder Löcher) aufgrund der magnetischen Kraft zu einer

Kreisbewegung zwingt. Bei schwachem B-Feld und aufgrund der endlichen Breite des Plättchens

bildet sich keine Kreisbewegung aus, sondern die Ladungsträger werden – je nach ihrem Vorzeichen -

zum oberen bzw. unteren Rand des Plättchens abgelenkt. Dadurch entsteht ein

Ladungsträgerunterschied zwischen den beiden Rändern, weshalb sich ein elektrisches Feld

(Hall-Feld) senkrecht zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ausbildet. Die daraus resultierende

elektrische Kraft wirkt solange entgegen der magnetischen Kraft , bis sich ein

Kräftegleichgewicht einstellt:

Eine elektrische Spannung quer zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger kann nun zwischen

den beiden Rändern des Plättchens gemessen werden. Diese wird Hall-Spannung genannt und kann

aus der Beziehung – mit dem Drude-Modell - hergeleitet werden:

: Hall-Konstante, : Dicke des Plättchens, : Strom in Längsrichtung

Mit Driftgeschwindigkeit

, sowie und folgt mit für die

elektrische Resistivität:

Außerdem kann im Rahmen des Drude-Modells gezeigt werden, dass für den Längswiderstand

(el. Resistivität entlang des Plättchens) folgt:

An und ist zu erkennen, dass beim klassischen Hall-Effekt linear mit dem B-Feld ansteigt

und sich mit dem B-Feld nicht ändert.

Diese theoretisch hergeleiteten Beziehungen lassen sich im Experiment beobachteten, solange die

Probe nur schwachen B-Feldern ausgesetzt ist.

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2.2 Zweidimensionales Elektronengas (2DEG)

Beim 2DEG handelt es sich, wie der Name schon sagt, um ein Elektronengas, dessen Bewegung durch

Potentialbarrieren auf eine zweidimensionale Ebene eingeschränkt ist. Diese Einschränkung wird

experimentell mithilfe einer Halbleiter-Heterostruktur realisiert. Dabei bildet sich das 2DEG an der

Grenzfläche zwischen zwei Halbleitern unterschiedlicher Bandlücke aus.

Bei der quantenmechanischen Betrachtung des zweidimensionalen Elektronengases in einem

externen Magnetfeld in -Richtung ist die Elektronenbewegung anders als in der klassischen

Sichtweise auch in der -Ebene quantisiert. Die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-

Gleichung eines freien Ladungsträgers im externen Magnetfeld

liefert folgende Energiezustände [Gro14]:

wobei der erste Summand in die Energieniveaus eines harmonisches Oszillators mit der

Zyklotronfrequenz in der -Ebene darstellt und der zweite Summand die kinetische Energie in B-

Feld-Richtung.

Die Energiezustände aus bilden in Abhängigkeit von der Wellenzahl parabelförmige Subbänder,

die aufgrund des externen B-Feldes in diskrete Energieniveaus, sogenannte Landau-Niveaus

aufgespalten sind, die einen Abstand von zueinander haben. Diese erstrecken sich beim

absoluten Temperaturnullpunkt bis zur Fermi-Energie des Elektronengases.

Während die Zustandsdichte eines freien 2DEG für beliebige Energien konstant ist, weist die

Zustandsdichte freier Ladungsträger im Magnetfeld -Peaks auf, die bei Vorhandensein von

Gitterdefekten gaußförmig verbreitert sind.

2.3 Magnetotransport im 2DEG

Da die Elektronenbewegung im 2DEG auf die -Ebene beschänkt ist, sind Leitfähigkeit und

spezifischer Widerstand Tensoren zweiter Stufe. Beachtet man, dass das 2DEG isotrop ist, so können

sie in der Form

dargestellt werden können. Die Größen und können experimentell über den

Längswiderstand und den Querwiderstand bestimmt werden. Durch Betrachtung der

auftretenden Spannungen an der Hallgeometrie findet man folgende Zusammenhänge [Tng16]:

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wobei die Breite der Hallbar in -Richtung und der Abstand der beiden Kontakte ist, an denen in

Längsrichtung gemessen wird.

Der Fall kleiner Magnetfelder wurde bereits beim klassischen Hall-Effekt behandelt. Beim Quanten-

Hall-Effekt treten andere Erscheinungen auf.

2.4 Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-Oszillationen

Bei auseichend starken Magnetfeldern steigt der Querwiderstand nicht mehr linear mit dem

Magnetfeld an, sondern es tauchen Plateaus auf, die Hall-Plateaus genannt werden. Sie treten bei

ganz bestimmten Werten von auf:

wobei der bei allen Probematerialien gleiche Elementarwiderstand und

eine ganze positive Zahl ist. Die Zahl wird Füllfaktor genannt.

Auch der Längswiderstand verhält sich anders. Anstatt konstant zu bleiben bei Veränderung des

Magnetfeldes, beobachtet man Oszillationen, die genau dann Minima annehmen, wenn am

Querwiderstand die Hall-Plateaus auftreten. Diese Oszillationen werden Shubnikov-de Haas-

Oszillationen (SdH-Oszillationen) genannt.

2.5 (de)lokalisierte Zustände und Randkanalbild

Um das Auftreten der Hall-Plateaus und der Shubnikov-de Haas-Oszillationen zu erklären, werden

zwei Modelle herangezogen:

2.5.1 (de)lokalisierte Zustände

Die möglichen Energiezustände der Elektronen werden in zwei Kategorien unterteilt, delokalisierte

und lokalisierte. Die delokalisierten Zustände sind in der Mitte der verbreiterten -Peaks der

Zustandsdichte zu finden. Dies sind Quantenzustände, bei denen die Wellenfunktion über den

ganzen Halbleiter ausgedehnt ist und die somit zum Stromtransport beitragen. An den verbreiterten

Rändern der Delta-Peaks befinden sich die lokalisierten Zustände. Sie sind aufgrund der Streuung an

Kristalldefekten u.Ä. relativ beschränkt auf einen Aufenthaltsort und tragen daher nicht zum

Stromtransport bei.

Dieses Bild erklärt nun den Quanten-Hall-Effekt auf folgende Art: Durch Veränderung des

Magnetfeldes verschiebt sich die energetische Lage der -Peaks in der Zustandsdichte. Somit

durchlaufen abwechselnd lokalisierte und delokalisierte Zustände die Fermi-Energie. Da

Ladungstransport im Wesentlichen nur am Ferminiveau stattfindet, verändert sich somit auch die

Leitfähigkeit. Immer, wenn sich ein lokalisierter Zustand an der Fermi-Energie befindet, geht die

Leitfähigkeit gegen Null und damit auch der Längswiderstand. Es kommt zu einem Minimum in

und einem Hall-Plateau in .

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2.5.2 Randkanalbild

Das Randkanalbild bietet eine klassische und eine quantenmechanische Weise zum Verständnis des

QHE an. Eine quantitative Beschreibung liefert nur letztere, daher wird sie hier nun näher erläutert.

Die Hallbar hat nur eine endliche Ausdehnung. Wird dies berücksichtigt, so müssen an den

Probenränder hohe Potentialwände vorliegen. Dadurch werden die Landau-Niveaus an den Rändern

der Hallbar hochgebogen. Diese Krümmung führt dazu, dass die Landau-Niveaus, die vorher

unterhalb des chemischen Potentials lagen, dieses nun schneiden. So entstehen an den

Schnittpunkten der Energien eindimensionale Leitungskanäle, die sogenannten Randkanäle. Ihre

Anzahl hängt von dem Magnetfeld ab, da dies die Lage des chemischen Potentials beeinflusst und

somit die Anzahl von Landau-Niveaus, die unterhalb davon liegen. Da jeder Kanal mit zur

Leitfähigkeit beiträgt [Gro14], können hiermit die Hall-Plateaus erklärt werden. Die genaue

mathematische Berechnung erfolgt mit dem Landauer-Büttiker-Formalismus, auf den hier nicht

näher eingegangen wird.

2.6 Elektronenkonzentration und -beweglichkeit

Der Quanten-Hall-Effekt kann genutzt werden, um die Eigenschaften der Probe zu charakterisieren.

Im Folgenden sollen drei Methoden vorgestellt werden, wie die Elektronenkonzentration aus

Messgrößen bestimmt werden kann, sowie eine Formel zur Bestimmung der

Elektronenbeweglichkeit.

1. Methode: Beim klassischen Halleffekt haben wir gesehen, dass der spezifische Widerstand

mit der Elektronenkonzentration im 2DEG über

zusammenhängt (siehe ). Setzt man für

nun die Definition des Füllfaktors ein (Gl. ), so erhält man die Formel:

Damit ist nun die Bestimmung der Elektronenkonzentration mittels B-Feld und Füllfaktor an den Hall-

Plateaus möglich.

2. Methode: Ist das SdH-Minimum zu breit für eine genaue Bestimmung des Magnetfelds , dann

kann die Elektronenkonzentration aus der Periodizität der 1/B-Oszillationen berechnet werden:

wobei der Magnetfeld-Wert am Maximum bzw. Minimum ist und der Magnetfeld-Wert am

benachbarten Maximum bzw. Minimum. Diese Beziehung resultiert daraus, dass die Delta-Peaks in

der Zustandsdichte äquidistant sind, und sich ihr Abstand mit steigendem Magnetfeld gleichmäßig

verändert. Daher ergibt sich für die SdH-Oszillationen, dass der Abstand der Minima bzw. Maxima in

ebenfalls äquidistant ist. Aus diesem Abstand kann dann die der obige Zusammenhang

mit der Elektronenkonzentration hergeleitet werden.

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3.Methode: Bei kleinen Magnetfeldern oder hohen Temperaturen kann die Steigung des

Querwiderstands benutzt werden, um Elektronenkonzentration zu berechnen, da dort

näherungsweise nur der klassische Hall-Effekt auftritt. Dieser liefert wie in Kap. 2.1 gezeigt

. Im Falle eines Verlaufs mit ist

und kann daher im klassischen

Bereich hierdurch ersetzt werden. Damit folgt:

wobei hier wie gesagt nur der Bereich des Querwiderstandes bei kleinen Magnetfeldern betrachtet

werden darf.

Für die Elektronenbeweglichkeit lässt sich ebenfalls eine Formel herleiten, die die Bestimmung mit

Messgrößen ermöglicht. Es gilt

. Nach dem Drude-Modell gilt außerdem für die

Leitfähigkeit . Setzt man in ein und formt nach um, so ergibt sich:

Nach hängt der spezifische Längswiderstand durch einen Geometriefaktor mit dem

Längswiderstand zusammen. Setzt man dies in ein, so ergibt sich:

Dabei wurde beachtet, dass dieser Zusammenhang nur im klassischen Bereich, d.h idealerweise bei

gilt.

3 Messaufbau

Zur Messung des integralen Quanten-Hall-Effekts wurde eine Hallbar eingesetzt. Eine Hallbar ist eine

Halbleiterheterostruktur, d.h. sie wird aus aufeinander aufgedampften Halbleitern unterschiedlicher

Bandlücke hergestellt, zwischen denen sich ein zweidimensionales Elektronengas ausbildet. In

diesem Versuch beträgt die Breite der Hallbar .

An der Halbleiter-Probe, die in einem Probenhalter angeklebt ist, befinden sich Ohmsche Kontakte,

die mit den Kontakten des Probenhalters durch einen Golddraht verbunden sind. Zwei benachbarte

Längskontakte haben einen Abstand von . An diesen Kontakten wird der elektrische

Strom und die Spannung in Längsrichtung gemessen; an gegenüberliegenden Kontakten wird

die Hallspannung in Querrichtung gemessen.

Damit der integrale Quanten-Hall-Effekt überhaupt nachgewiesen kann, werden tiefe Temperaturen

und hohe externe Magnetfelder gebraucht. Um diese extremen Bedingungen zu gewährleisten, wird

zuerst der Probenhalter, auf dem sich die Hallbar befindet, ans Ende eines Probenführungsrohrs

gesteckt, welches anschließend in einen Magnetprobenstab hineingebracht wird. Am Ende des

Magnetprobenstabs befindet sich eine Spule, durch die bei der Versuchsdurchführung ein

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elektrischer Strom fließen wird, um ein Magnetfeld zu erzeugen. Im Inneren der Spule wird sich dann

die - mittels des Probenführungsrohrs hineingebrachte - Hallbar befinden.

Anschließend wird der Magnetprobenstab in eine Kanne eingetaucht, die flüssiges Helium bei einer

Temperatur um enthält. Durch niedrige Temperaturen wird die Magnetspule supraleitend

und kann Magnetfelder - in diesem Messaufbau - bis zu 5 Tesla erzeugen.

Der Magnetprobenstab wird mit dem Keithley 2400 verbunden, der bei Versuchsdurchführung als

eine konstante Stromquelle dienen soll. Außerdem wird der Stab zur Messung der Hall- und

Längsspannung mit zwei Spannungsmessern vom Typ Keithley 2000 vernetzt. Die beiden Messgeräte

werden dann die aktuelle Quer- und Längsspannung anzeigen, die an der Hallbar entstehen. Durch

die Vier-Punkt-Messung der beiden Spannungen werden Kontakt- und Leitungswiderstände

vernachlässigbar klein.

Um nun die aktuellen Spannungsmesswerte abzuspeichern, werden das Keithley 2400 und die

beiden Keithley 2000 mit

dem PC verbunden. An

diesem wurde ein

LabView-Programm

erstellt, das die Daten der

Messgeräte empfängt,

diese in Widerstands-

werte umwandelt und in

einer Textdatei abspei-

chert. Außerdem wird mit

dem Programm der Strom

I und die Sweep-Rate,

also die Änderungsrate des

Magnetfeldes, eingestellt.

Das hier vermessene Probenmaterial besteht aus einer Verbindung von Elementen der III. und V.

Hauptgruppe des Periodensystems, und zwar . Bei diesem Halbleiter ist es möglich, durch

Variation des Aluminium-Anteils einen direkten Halbleiter mit einer relativ großen Bandlücke zu

realisieren. Dies ermöglicht einfache Untersuchungen zum Photoeffekt.

Abbildung 3: Einblick in das verwendete LabVIEW-Programm, welches den Messablauf steuert.

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3.1 Bond-Schemata der Proben

Bevor mit den Messungen begonnen wird, muss die Kontaktierung der Proben ermittelt werden.

Dazu wurden Aufnahmen mit dem Mikroskop gemacht und Bond-Schemata angefertigt. Es wurden

drei Proben angeschaut, wobei nur zwei davon später für Messungen verwendet wurden.

Probe 4 (keine Messungen):

Abbildung 4: Mikroskopaufnahme von Probe 4 Abbildung 5: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 4

Abbildung 6: Bond-Schema für Probe 4

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Probe 6:

Abbildung 7: Mikroskopaufnahme von Probe 6

Abbildung 8: Mikroskopaufnahme der Kontakte von Probe 6

Abbildung 9: Bond-Schema für Probe 6

Die Mikroskopaufnahmen lassen vermuten, dass Kontakt 07 beschädigt ist (Abb. 8). Dies bestätigte

sich später bei den Messungen. Es wurde ebenfalls festgestellt, dass Kontakt 17 defekt ist.

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Probe 7:

Abbildung 10: Mikroskopaufnahme von Probe 7

Abbildung 11: Mikroskopaufname der oberen Kontakte von Probe 7

Abbildung 12: Bond-Schema für Probe 7

Die Mikroskopaufname in Abb. 11 zeigt, dass der Bond-Draht zu Kontakt 02 abgerissen ist, und der

Kontakt somit defekt ist. Dies bestätigte sich bei den Messungen.

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4 Messungen und Auswertung

4.1 Magnetotransportmessungen

Zuerst wurden Längs- und Querwiderstand bei zwei verschiedenen Proben an unterschiedlichen

Kontaktpaaren über den gesamten Magnetfeldbereich gemessen.

Die Kontaktpaare werden ab jetzt auf folgende Weise notiert: K1K2/K3K4/K5K6 - dabei bezeichnen K1

und K2 das Kontaktpaar, an dem der Strom angeschlossen wird, K3 und K4 das Kontaktpaar, an dem

der Längswiderstand Rxx gemessen wird, und K5 und K6 das Kontaktpaar, an dem der Querwiderstand

Rxy gemessen wird.

Es wurde zunächst versucht, folgende Proben und Kontaktpaare zu vermessen:

Probe 6: 0313/1618/1608 0313/1817/1807 0313/0708/1608 0313/1716/1608

Probe 7: 1106/0907/0901 1106/0102/0802 1115/1213/1814 1115/2018/1913 1115/2014/1218

4.1.1 Messergebnisse der Magnetotransportmessungen

Für Probe 6:

Die Messung an den Kontakten 0313/1817/1807 ist hier nicht dargestellt, da bei der Durchführung

aufgrund von extrem hohen Widerstandswerten ( ) festgestellt wurde, dass die Kontakte

17 und 07 defekt waren, wie man anhand der Mikroskopaufnahmen teilweise schon vermuten

konnte. Deshalb wurde die Messung abgebrochen und auch die Messung an den Kontakten

0313/1716/1608 nicht mehr durchgeführt.

Abbildung 2: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1618/1608 von Probe 6

Abbildung 14: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1716/1608 von Probe 6

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Für Probe 7:

Die Messung 1106/0102/0802 ist nicht dargestellt, da auch hier festgestellt wurde, dass Kontakt 02

defekt ist. Dies konnte man bereits am Mikroskopbild sehen – der Bond-Draht ist vom Kontaktfeld

abgerissen.

In der letzten Messung (1115/2014/1218, Abb. 18) wurden nicht Längs- und Querwiderstand

gemessen, sondern schräg über die Hallbar, was einer Überlagerung von beiden Widerständen

entspricht. Diese Überlagerung ist am Diagramm sehr gut erkennbar, denn es treten sowohl ein fast

linearer Anstieg als auch Oszillationen des Widerstands auf. Da die Richtungen, in die der Längsanteil

des Widerstandes gemessen wurde, bei den beiden Kontaktpaaren 2014 und 1812 entgegengesetzt

sind, oszillieren die Widerstandskurven auch in entgegengesetzte Richtungen. Die Richtung, in die

der Queranteil des Widerstandes gemessen wurde, ist jedoch bei beiden Kontaktpaaren gleich, daher

haben beide Kurven eine (im Mittel) positive Steigung.

Abbildung 15: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1106/0907/0901 von Probe 7

Abbildung 16: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/1213/1814 von Probe 7

Abbildung 17: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 1115/2018/1913 von Probe 7

Abbildung 18: Messung der Widerstände an den Kontakten 1115/2014/1812 von Probe 7

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An den anderen Messungen sind sehr gut die erwarteten Effekte erkennbar: Bei schwachem

Magnetfeld (etwa unter ) verhalten sich die Widerstände noch klassisch: steigt proportional

zum B-Feld, bleibt konstant. Bei stärkeren Feldern jedoch tritt der Quantenhalleffekt zutage: Es

bilden sich Hall-Plateaus im Querwiderstand bei den Werten

aus und Oszillationen im

Längswiderstand. Für eine Messung (Probe 7, 1115/2018/1913, Abb. 14) sind beispielhaft einige der

zugehörigen Füllfaktoren eingetragen. Der kleinste Füllfaktor, der im Rahmen dieser Messung

beobachtet werden konnte, war .

4.1.2 Bestimmung der Elektronenkonzentration

Um die Elektronenbeweglichkeit zu bestimmen, können (wie in Kapitel 2.6 beschrieben) drei

verschiedene Methoden genutzt werden. Für jede Methode werden unterschiedliche Messgrößen

gebraucht. Die Ergebnisse sind am Ende in Tabellenform aufgelistet.

1. Methode - mithilfe des Füllfaktors:

Hierzu wurden aus den Messdaten die Werte der magnetischen Flussdichte bestimmt, bei denen

der Längswiderstand ein Minimum annahm. Aus dem Querwiderstand wurde dann mittels

der Füllfaktor bestimmt. Daraus errechnet sich dann die Elektronenkonzentration . Dies wurde pro

Messung für mehrere Füllfaktoren durchgeführt. Das Messergebnis erhält man dann durch den

Mittelwert und die Unsicherheit durch die Standardabweichung der verschiedenen errechneten

Werte. Eine graphische Darstellung zu den Füllfaktoren findet man in Abb. 14.

2. Methode - mithilfe der Periodizität der Shubnikov-de Haas-Oszillationen:

Hierbei muss die Periode der

Oszillationen des Längswiderstandes

bestimmt werden. Dazu ist es unerheblich,

ob der Abstand zwischen zwei Minima oder

zwei Maxima ermittelt wird. Da in Methode 1

bereits die Minima bestimmt wurden,

werden sie hier weiter verwendet. In der

Graphik (Abb. 19) ist beispielhaft für eine

Messung dargestellt, wie die Periodizität der

Oszillationen ermittelt werden kann. Skaliert

man die B-Achse reziprok, so sind die

Abstände der Minima äquidistant. Daher

konnten auch hier anhand der Messdaten

mehrere Abstände bestimmt werden,

sodass das Endergebnis für die Elektronenkonzentrationen sich wieder aus dem Mittelwert und die

Unsicherheit aus der Standardabweichung ergibt.

Abbildung 19: zur Bestimmung der Elektronenkonzentration mithilfe der 1/B-Periodizität der SdH-Oszillationen.

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3. Methode - mithilfe der Steigung des Hallwiderstandes im klassischen Bereich:

Hierzu muss die Steigung

im

klassischen Bereich, d.h. bei schwachen

Magnetfeldern, bestimmt werden. Hier wurde

dafür der Bereich gewählt, da hier die

Hall-Plateaus und Shubnikov-de Haas-

Oszillationen noch kaum sichtbar ausgebildet

sind. In diesem Wertebereich wurde dann ein

linearer Fit an die Messwerte des

Querwiderstandes angepasst und daraus

die Steigung abgelesen. Dies ist beispielshaft

in Abb. 20 dargestellt.

Die mathematisch bestimmte Unsicherheit

des Fits haben wir verwendet, um daraus die

Unsicherheit der Elektronenkonzentration zu

berechnen.

Ergebnisse:

Messung aus Methode … in -

1 2 3

P06 - 0313/1618/1608 6428.0 ±33.0 6618.1 ±0.8 6293.2 ±35.2

P06 - 0313/1716/1608 6398.0 ±68.3 6608.3 ±0.7 6117.3 ±377.6

P07 - 1106/0907/0901 4673.5 ±6.5 4623.9 ±1.0 4660.8 ±52.6

P07 - 1115/1213/1814 4647.2 ±6.7 4507.0 ±0.6 4629.9 ±16.9

P07 - 1115/2018/1913 4616.0 ±12.8 4586.5 ±0.9 4577.5 ±25.7 Tabelle 1: Elektronenkonzentrationen der verschiedenen Proben und Kontaktpaare.

Wie man sieht, sind die Messergebnisse nicht konsistent. Dies kann entweder auf systematische

Fehler hindeuten oder darauf, dass die verwendeten Formeln nicht alle den physikalischen

Zusammenhang genau beschreiben. Beispielsweise wurde zur Herleitung der Formel zu Methode 1

das Drude-Modell benutzt – dies ist jedoch keine exakte Beschreibung des elektrischen Transports.

Wie zu erwarten war, befindet sich die Elektronenkonzentrationen der einzelnen Proben etwa im

gleichen Bereich, unabhängig davon, welche Kontakte verwendet wurden. Außerdem ist erkennbar,

dass in Probe 6 eine höhere Elektronenkonzentration vorhanden ist als in Probe 7.

Abbildung 20: Zur Bestimmung der Elektronenkonzentration mithilfe der Steigung des Querwiderstandes Rxy(B) im klassischen Bereich

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4.1.3 Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit

Zur Bestimmung der Elektronenbeweglichkeit haben wir Formel 16 verwendet. Für die Breite b der

Hallbar haben wir eine relativ große Unsicherheit angenommen, da von der Hallbar kleine Arme zu

den Kontakten führen, deren Länge wir nicht genau kennen. Daher ergibt sich eine große

Unsicherheit für die Elektronenbeweglichkeit.

Messung in in

P06 - 0313/1618/1608 ±9 664 ±5

P06 - 0313/1716/1608 nicht möglich wegen defektem Kontakt

P07 - 1106/0907/0901 ±46 183 ±5

P07 - 1115/1213/1814 ±54 79 ±5

P07 - 1115/2018/1913 ±52 167 ±5 Tabelle 2: Elektronenbeweglichkeiten in den verschieden Proben an verschiedenen Kontaktpaaren.

An den Messergebnissen ist erkennbar, dass am vermessenen Kontaktpaar von Probe 6 eine

vergleichsweise geringe Mobilität gegeben ist.

Die Kontaktpaare von Probe 7 weisen im Rahmen der Messgenauigkeit in etwa dieselbe

Elektronenmobilität auf. Sie liegt wesentlich höher als bei Probe 6.

4.1.4 Fraktionale Füllfaktoren

Bestimmt man für alle Messungen die zu den Hall-Plateaus gehöreigen Füllfaktoren, so stellt man

fest, dass der kleinste hier messbare Füllfaktor beträgt. Es lassen sich keine kleineren

ganzzahligen oder gar fraktionalen Füllfaktoren beobachten. Dies liegt daran, dass dafür einfach noch

wesentlich stärkere Magnetfelder nötig wären, als die in diesem Versuchsaufbau verwendeten.

4.2 Dauerhafter Photoeffekt

Für diesen Versuchsteil wurde die Probe vor Beginn der Messungen bei B = 0 mit einer LED

beleuchtet ( ) und anschließend etwa eine halbe Stunde abgewartet. Durch den

persistenten Photoeffekt wird nun erwartet, dass sich die Elektronenkonzentration sowie die

Elektronenbeweglichkeit erhöht. Wird die Messung zweimal durchgeführt mit unterschiedlichen

Sweep-Raten, um festzustellen, ob diese einen Unterschied macht.

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Praktikumsauswertung Quanten-Hall-Effekt Jule Heier und Alexander Fufaev

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4.2.1 Messergebnisse nach Beleuchtung

Es ist erkennbar, dass die Sweep-Rate keinen Einfluss auf den Verlauf von und hat.

An den Graphen fällt auf, dass der Querwiderstand nicht mehr so hohe Werte erreicht wie ohne

Beleuchtung. Was das über die Probeneigenschaften aussagt, sieht man nach Berechnung von

Elektronenkonzentration und -beweglichkeit.

4.2.2 Elektronenkonzentration und –beweglichkeit nach Beleuchtung

Messung aus Methode … in -

1 2 3

P06-0313/1816/1608-B035 9811.7 ±154.7 9622.6 ±1.1 8913.6 ±42.4

P06-0313/1816/ 1608-B050 9778.0 ±152.2 9625.6 ±4.0 8891.2 ±19.0 Tabelle 3: Elektronenkonzentration nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate.

Messung in in

P06-0313/1816/1608-B035 52.1 ±13.4 317 ±5

P06-0313/1816/ 1608-B050 51.9 ±13.4 319 ±5 Tabelle 4: Elektronenbeweglichkeit nach Beleuchtung für die Kontakte 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei langsamer und schneller Sweep-Rate.

Wie erwartet wurde eine Erhöhung von Elektronenkonzentration und -beweglichkeit beobachtet.

Beide erhöhten sich um etwa die Hälfte des vorherigen Wertes.

Abbildung 21: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.35 T/min.

Abbildung 22: Messung von Quer- und Längswiderstand an den Kontakten 0313/1816/1608 von Probe 6 nach Beleuchtung bei einer Sweep-Rate von 0.50 T/min.

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5 Zusammenfassung

Es wurden Magnetotransportmessungen bei tiefen Temperaturen an zwei Proben durchgeführt, die

eine Hallbar aus einer Halbleiterheterostruktur enthalten. Dabei konnte der integrale Quanten-Hall-

Effekt beobachtet werden mit Füllfaktoren bis minimal . Mithilfe der Messungen wurden

Elektronenkonzentration und -beweglichkeit in den Proben ermittelt. Dabei konnten Unterschiede in

der Qualität der Proben festgestellt werden.

Außerdem wurde der Einfluss des persistenten Photoeffekts auf die Probeneigenschaften

untersucht. Es zeigte sich, dass nach Beleuchtung die Elektronenkonzentration sowie die

Elektronenbeweglichkeit erhöht waren.

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Literaturverzeichnis

[Gro14] – Rudolph Gross, Achim Marx; Festkörperphysik, de Gruyter, Berlin 2014

[Tng16] – David Tong; The Quantum Hall Effect, TIFR Infosys Lectures, 2016,

http://damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe.html