Zur differentialgleichung der ellipsoidfunktionen

Zur Differentialgleicbung der Ellipsoidfunktionen DIETER SCHMIDT

Vorgelegt yon A. ERD~LY!

O. Einleitung Transformiert man die in karthesischen Koordinaten (xl, x2, x3) vorliegende

Schwingungsgleichung

2 ~ 2 ~ 2 2

auf elliptische Koordinaten (zl, z2, z3), die - bei festem reellen Modul co (0<o)< t) - mit den karthesischen Koordinaten (x~, x2, x3) tiber

x~ ~- _~ = t (ie{1, 2, 3}), zt z~-- l/co

0<~rl < 1 < z2 <co- l <z3 < oo, 0 < x i < c~3 (i~{1, 2, 3})

zusammenhgngen, so tritt fiir die Funktionen y~ des Separationsansatzes

w(xl, x2, x3)= y~ (z0 y2(z2) y3 (z3)

jeweils die gew6hnliche Differentialgleichung

,, ( ! + I + co l po+pl,oz+p2co z 2 (0.2) y ( z ) + - ~ ~ ~ ] y ' ( z ) . ~ 4 z ( z - l ) ( o z - 1 ) y(z)=0

mit P2 =x2[ co und den Separationsparametern Pound Pl auf. Die unabh/ingige Veranderliche z ist hier reell und variiert jeweils in den Intervallen ]0,1[, ]l,1/oo[ und ]l/co, oo[.

(0.1) ist die algebraische Form der Differentialgleichung der Ellipsoidfunk- tionen (Lam6's wave equation; ellipsoidal wave equation). Sie ist ftir die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik von flbergeordneter Bedeu- tung, da sie s~imtliche der bei der Separation der Schwingungsgleichung in den bekannten orthogonalen Koordinatensystemen vorkommenden spezielten Diffe- rentialgleichungen umfaBt.

Wir betrachten die Differentialgleichung (0.1) im folgenden bei festem reellen Modul co (0<o9<1) und komplexen Parametern Po, Pl, P2 in der komplexen z-Ebene. Sie hat dana offenbar die singul/iren Stellen 0, 1, 1/co und ~ . Die iibrigen Punkte der komplexen Ebene bilden ihr Regularit~itsgebiet. 0, 1 und 1/co sind ein-

Ellipsoidfunktionen 41

fache Singularit[iten, und zwar jeweils mit den Indizes 0 und 1/2. Zu jeder dieser einfachen Singuladt[iten existiert daher ein Fundamentalsystem Floquetscher L6sungen, welches sich an der entsprechenden Stelle ,,bestimmt" verh/ilt, sich also um diese in eine (verallgemeinerte) Potenzreihe entwickeln lgBt. oo ist im all- gemeinen ein Pol 2. Ordnung; fiir P2 = 0 (also insbesondere im Fall der Potential- gleichung r2=0) wird auch oo eine einfache Singularit[it und damit (0.1) zur Lam6schen Differentialgleichung.

Zur Untersuchung des globalen analytischen Verhaltens der L6sungen der Differentialgleichung (0.1), insbesondere zur Beherrschung des Transformations- verhaltens der L6sungen bei beliebiger analytischer Fortsetzung im Regularit~itsgebiet der Differentialgleichung ist die Kenntnis der jeweils zwischen den Flo- quetschen Fundamentalsystemen zu den eirdachen Singularit/iten 0, 1 und 1/o~ bestehenden Zusammenhangsrelationen yon grundlegender Bedeutung. Dabei ge- niigt es offenbar, die Zusammenhangsrelationen (z.B.) zwischen den Floquet- schen Fundamentalsystemen zu 0 und zu 1 sowie die zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zu 1 und zu 1/~o zu kennen; die entsprechenden Zusammen- hangsrelationen zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zu 0 und zu 1/co ergeben sich dann in naheliegender Weise. Nun kann man abet die Zusammen- hangsrelationen zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zu 1 und zu 1/co aus den entsprechenden Zusammenhangsrelationen zwischen den Floquet- schen Fundamentalsystemen zu 0 und zu 1 durch elementare Umrechungen ge- winnen; man hat die Differentialgleichung (0.1) dazu nur der Transformation

c o + ~ = l ,

o z + ~ = l ,

y(z)--~(~)

zu unterwerfen, wobei bekannflich deren Struktur erhalten bleibt und die einfachen Singulafit~ten 1 und 1/co in die einfachen Singularit~ten 1 und 0 iibergehen. Daher kann man sich insgesamt darauf beschr~nken, die Zusammenhangsrelatio- nen zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zur einfachen Singulari- t~t 0 und zur einfachen Singularit~t 1 zu studieren. Dies ist der Gegenstand der folgenden Untersuchungen.

Es wird hier eine - anscheinend - neue Darstellung der Koeffizienten der genannten Zusammenhangsrelationen gegeben. Sie zeichnet sich insbesondere dadurch aus, dab sie eine einfache numerische Handhabung gestattet: Die entsprechenden Koeffizienten lassen sich mittels 4-gliedriger linearer Rekursionen berechnen. Hieran lassen sich unmittelbar l~lbedegungen zur Gewinnung numeri- scher Verfahren mit befriedigender Konvergenzgfite anschlieBen. Diesbeziiglich k6nnen wir jedoch auf die Behandlung entsprechender Probleme bei der Berech- nung yon charakteristischen Exponenten in [4], [5], [6], [3] verweisen.

1. Allgemeine Grtmdlagen Wir betrachten die Differentialgleichung (0.1) im folgenden bei festem reellen

Modul 09 (0 <09 < 1) und variablen komplexen Parametern Po, P l, P2 in der offe-

42 D. SCHMIDT

nen Kreisscheibe

(1.1) R = { z e C : Iz[<l/o9}.

Diese enth~lt auBer den beiden einfachen Singularifftten 0 und 1 keine weiteren Singularit~iten der Differentialgleichung. Zur Beschreibung des analytischen Ver- haltens der L6sungen schneiden wir R zweckm~Bigerweise geeignet auf, und zwar jeweils liings der reellen Achse einmal von 1 nach 1/o9 und zum anderen von 0 nach - 1/o9. Wir bezeichnen dementsprechend

~1 = R \ { x e l R : 1 =<x< 1/o9}, (1.2)

~2~---~{X~R: -- 1/O9<X<0} sowie noch

(1.3) (5 = (51 n ffi 2.

Auf 6i 1 legen wir ( 1 - z) 1 / 2 und auf (]5 2 entsprechend z ~ / 2 dutch Wahl der j eweiligen Hauptwerte eindeutig fest. Damit wird dann insbesondere

(1 .4 ) o ( z ) = z 1/2 (1 - z ) ~/2 (1 - o9 z ) 1/~

- wobei ffir (1-ogz) ~/2 auf R ebenfalls der Hauptwert gew/ihlt sei - eine in ~5 holomorphe Funktion. Hiermit fftgt sich die Differentialgleichung (0.1) auf (5 in der Form

(1.5) (a(Z) d-~-)2y(z)+�88 schreiben.

Wir wollen in diesem Abschnitt die Differentialgleichung (0.1) ausschlieBlich auf ffi - und dabei mit Vorteil in der Form (1.5) - betrachten und die bekannten grundlegenden Eigenschaften ihrer L6sungen zusammenstellen.

Da ffi einfach-zusammenh/ingend ist und die Differentialgleichung (1.5) in (5 keine Singularitaten besitzt, sind deren L6sungen dort holomorphe Funktio- nen. Diese sind als (lokale) L6sungen der Differentialgleichung (0.1) in deren Regularifiitsgebiet C\{0, 1, l/w} beliebig - also insbesondere in R fiber die jeweiligen Schnitte von 1 nach 1/o9 und yon 0 nach -1]o9 hinweg - analytisch fortsetzbar.

Zu jeweils zwei L6sungen y~, Y2 der Differentialgleichung (1.5) existiert eine Konstante [Yl, Y2] eC, so dab

(1.6) o(z)(y,(z)y'2(z)-y'l(z)y2(z))=[y~, Y2] (ze~) gilt. [Yl, Y2] ist offenbar bilinear und alternierend sowie genau dann von Null verschieden, wenn y~ und Y2 ein Fundamentalsystem bilden. Damit weist man leicht ffir jeweils drei L6sungen y, y~, Y2 der Differentialgleichung (1.5) die Zusammen- hangsrelation

(1.7) [Y~, Y2] y(z) = [y, Y2] Y~ ( z ) - [y, Yl] Y2 (z) (z e ffi)

nach.

Von grundlegender Bedeutung fiir unsere Clbedegungen ist die genaue Kennt- nis der analytischen Struktur der Floquetschen Fundamentalsysteme zu den einfachen Singularifiiten 0 und 1.


(1.8) Satz. (i) Zur einfachen Singularitiit 0 existiert genau ein Fundamentalsystem Floquetscher L6sungen

mit

Yl l (z; Po, Pl, P2)=h11(z; Po, Pl, P2) Y12(z; Po, Pl, P2)=zl /2hl2(z ; Po, Pl, P2) ( z ~ b )

hlj holomorph bezi~glich (z; Po, Pl, P2)~ffil • C3

hi j(0, Po, Px, P2) = 1. (j---- I, 2)

(ii) Zur einfachen Singularitdt 1 existiert genau ein Fundamentalsystem Floquet- scher L6sungen

Y21 (z; Po, Pl, P2)--h21 (z; Po, Pl, P2) (ze~)

Y22(z; Po, Px, P 2 ) = ( l - z ) 112 h22(z; Po, Pl, P2) mit

h2j holomorph bezi~glich (z; Po, Pl, P2)E(~2 • Ca h2j(1 ; Po, Pl, P2) = 1. ( j = l, 2)

(iii) Jeweils fiir ~ = 1, 2 ist h~ j ( j = 1, 2) als ganze Funktion in po, Pl, P2 yon einer Wachstumsordnung nicht gr6fler als �89 und zwar gilt dies lokal-gleichm~iflig be- z~glich ze (5~.

Aus (1.8) ergeben sich nun leicht die grundlegenden Eigenschaften der Ko- effizienten [y~i, Yp j] der Zusammenhangsrelationen zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zu 0 und zu 1.

(1.9) Satz. (i) Mit r 1 -co gilt

[yi~, y~] =�89 [y~,, y~] = -�89

(ii) Fiir i , je { 1,2} sind [Yl ~, Y2j] holomorphe Funktionen bezi~glich (Po, Px,P2) e C a ; diese sind als ganze Funktionen in Po, Pl,P2 yon einer Wachstumsordnung nicht gr6fler als �89

(iii) Es seien x, p, 2e{0, 1, 2} paarweise verschieden und i, je{1, 2}. Dann gilt: Bei festen p~,ppelR besitzt [Yl i, Y2j] als ganze Funktion in p z e C h6chstens einfache -- und zwar reelle - Nullstellen.

(i) und (ii) sind mit (1.8) unmittelbar zu verifizieren. Zum Beweis yon (i/i) sei (po, pl, p 2 ) e C ~ o o a mit I m p ~ 1 7 6 und [yl~,y2~](p~176176 gegeben. Dann sind . o o y l i ( . , p o , pl , p ~ u n d y 2 j ( . ; o o o Po, Pi, P2) linear abh/ingig. Folglich gilt mit einem VeC\{0} und einer in R holomorphen Funktion ~ sowie/~1, #2e{0, 1/2}

( . ) y ( z ) :=y l~(z ; pO, pO, pO)=vy2y(z; pO, pO, pO) = z~1(1 _ z ) ~ h(z).

Durch partielle Integration folgt

t t Z 1 = ~ (z ) (y (z ) y (z ) - y (z ) y - ~ ) I, == o = o

44 D. SCHMIDT

und mithin fiber die Differentialgleichung (1.5)

2 1 Z Imp~176 a(z)- 1 zm lY(z)[ 2 dz=O.

m=0 0

I m o o p~ =Impp = 0 impliziert daher Imp ~ =0. Ffir den weiteren Beweis ziehen wir die in bekannter Weise leicht zu verifizierende Identitat

(x) c[Yxi, Y2j] (Po, P l , P2)

Opa 2 1

- 4 o po, po,

heran. Mit (*) folgt

( ,) 63['Yli, Y2j] (pO, 0 0 02 X -1 Op,z pl, p2)=-4~-y ~o Z a(z) y(z)2 dz.

Nach dem oben Bewiesenen sind die Parameter p~ o o Pl, P2 reell. Dann ist jedoch auch die L6sung y im Intervall ]0, 1 [ reellwertig. Daher ist die rechte Seite in (*) von Null verschieden.

2. Charakteristische Exponenten und zugehfirige Floquetsche Lfisungen Wir betrachten in diesem Abschnitt die Differentialgleichung (0.1) auf dem

- durch Aufschneiden von R l~ings der reellen Achse von 0 nach 1 erhaltenen - Gebiet

(2.1) (5o=R\{x E]R: 0_<x_< 1}.

~o ist offenbar zweifach-zusammenh~ingend und enth~ilt keine der Singulari- t~iten der Differentialgleichung. Folglich existiert aufgrund des Floquetschen Theorems eine komplexe Zahl v und eine in (5 o holomorphe Funktion h, derart, dab

(2.2) y(z) = z v h(z)

eine nicht-triviale L6sung der Differentialgleichung (0.1) auf (der Riemannschen Fl~iche von log(z) fiber) t5 o liefert, v wird dann als charakteristiseher Exponent der Differentialgleichung (0.1) auf (~o und y als Floquetsche L6sung zum charakte- ristisehen Exponenten v bezeichnet.

Wir geben hier zun~ichst eine Darstellung der charakteristischen Exponenten, die die Koeffizienten [Yl i, Y2j] der Zusammenhangsrelationen zwischen den Flo- quetschen Fundamentalsystemen zu den einfachen Singuladt~iten 0 und 1 ver- wendet. Diese erh~ilt man in bekannter, naheliegender Weise, wenn man das Transformationsverhalten der L6sungen der Differentialgleichung (0.1) bei analytischer Fortsetzung in R\{0, 1} mit Hilfe der Floquetschen Fundamentalsysteme Y~I,Y,,2 ( x = l , 2) aus (1.8) beschreibt. (Man beachte z.B. die entspreehenden Obedegungen fiir die Sph~iroiddifferentialgleichung in [1], S. 265-266.)


(2.3) auf15 o sind dutch

(2.4)

sowie dutch

(2.5)

Satz. Die charakteristischen Exponenten v der Differentialgleichung (0.1)

sin (nv)2 = [ell , Y21] [Y12, Y22] I-Yll, el2] [Y21, Y22]

cos(nv)2= I'Yll, Y22][Y12, Y21] [Yl~, Yx2] [Y2~, Y,+2]

bestimmt.

Mit wlE sind folglich gerade auch v+n und - v + n (he Z) charakteristische Exponenten.

Mit der Obedegung, die zu (2.3) fiihrt, erh~ilt man sogIeich auch

(2.6) Satz. Es sei v charakteristischer Exponent der Differentialgleichung (0.1) auf15 o.

(i) Gilt 2v~ Z, so existiert ein Fundamentalsystem aus Floquetschen LSsungen auf 15 o. Ion diesen gehdrt eine zu den charakteristischen Exponenten v + n (ne Z), die andere zu - v + n (n ~ Z).

(ii) Gilt 2re Z, so sind 4 F?ille zu unterscheiden:

(I) lm Fall [yll, Y21]=0 ist v=0 (modulo 1) und

[-Yl 1, Yz2] Yll (z) = I-Y21, Y22] Yzl (z) = h (z)

eine zugeh~rige Floquetsche L~sung.

(II) Im Fall [Y12, Y21] =0 ist v=�89 (modulo 1) und

[Yl2, Y22] yl2(z)= [Y21, Y22] Y21(z)=zll2 h(z)

eine zugeh~rige Floquetsche Lgsung.

(III) Im Fall [yll, Y22]=O ist v=�89 (modulo 1) und

[Yll, Y21] yll(Z)= [Y21, Y22] Y22(z)=(1-z)l/2 h(z)


(IV) Im Fall [Y12, Y22] =0 ist v=O (modulo 1) und

[Y12, Y21] Yl2(Z)= [Y21, Y22] Y22(Z)=Z1/2(1--Z)1/2 h(z)


Dabei stellt ~ in jedem der 4 Fiille eine in ~ holomorphe Funktion dar.

Fin Fundamentalsystem aus Floquetschen L:Ssungen auf 150 existiert hier genau dann, wenn

[YlI, Y21] = [Y12, Y2~] =0

46 D. SCHMIDT

oder [-Yi t, Y22"] = [Y12, Y21"1 = 0

gilt. Wir wollen nun die Floquetschen L6sungen der Differentialgleichung (0.1)

auf ffi o in (verallgemeinerte) Laurentreihen entwickeln und die Asymptotik sowie die Rekursion der entspreehenden Entwicklungskoeffizienten herleiten.

Es sei v charakteristischer Exponent der Differentialgleichung (0.1) auf ffi o und y gem/iB (2.2) eine zugeh6rige Floquetsche L6sung. Dann 1/iBt sieh h in eine { 1} im Kreisring zO12 : 1 < Izl <-~- konvergente Laurentreihe

(2.7) h(z)= Z c. zn n E Z

entwiekeln. Die Koeffizienten sind dureh

(2.8) c.=2-~z !h(z)z-"-ldz (neZ)

bestimmt, wobei c einen geschlossenen Weg in ffi o bezeichnet, der die Punkte xe [0, 1] genau einmal positiv uml~iuft.

Bekanntlich gilt

(2.9)

und

(2.10)

limsup I c. 11/" s o~ n.-* co

limsup I c_. I ~/~_< 1.

Wir wollen die asymptotische Aussage (2.10) unter Benutzung yon (2.8) ver- sch~rfen.

Wegen der Beschr~nktheit von y bei 0 - man betrachte dazu das in (1.8) (i) angegebene Fundamentalsystem Yl 1, Y12 - k6nnen wir in der Integralformel (2.8) speziell fiir ne Z mit R e ( v + n ) < 0 den in (2.11) skizzierten Weg w~hlen.

C

(2.11) 0 ~ ---,~1

Wir stellen nun h mittels der Funktionen h 21 und h 2 2 aus (1.8) (ii) dar. Dazu legen wir zun/ichst z -v und ( z - 1 ) 1/2 auf r eindeutig durch ihre Hauptwerte lest. Es existieren dann eindeutig Konstanten (zx, ~2) elE2, mit denen fiir n ~ Z mit R e ( v + n ) < 0

2~ 1 3 2 cn----~--~-/: z - v - " - I h21(zldz+-~--~-Sz-v-"-l(z-111/2 h22(z) dz

gilt. Aufgrund des Cauchyschen Integralsatzes verschwindet jedoch das erste Integral. Das zweite Integral ist mit Hilfe des Watsonschen Lemmas aus der Theorie der Laplace-Transformation (vgl. z.B. [7]) auszuwerten. Danach gilt mit

EUipsoidhmktionen 47

einer Konstanten c~tE\{O} f i i rn --* - oo

Nach dem Obigen ist hier genau dann ~2=0, wenn [Y11, Y21] [Y12, Y21] = 0 gilt - also der Fall (I) oder (II) aus Satz (2.6) vorliegt - und y ein Vielfaches yon Y21 ist.

Wesentlich ftir das Folgende ist die Feststellung, dab die Folge {c~},~z der Entwicklungskoeffizienten eine lineare 4-gliedrige Rekursion effiillt. Nach Ein- setzen der Reihenentwicklung yon y in die Differentialgleichung bestgtigt man durch Koeffizientenvergleich

(Vq- n q- �89 (v q- n q- 1) Cn+ 1 --(1 d- 60) (V q- n) 2 c n (2.13) 2

+60(v+n-�89188 ~. p~60~ c._~=0 (neZ).

Es erweist sich im folgenden als zweckm~iBig, an Stelle yon (2.13) eine hierzu ~iquivalente Rekursion zu studieren.

3. Untersuchung einer linearen 4-gliedrigen Rekursion

Es bezeichne fiir w e , 60~03(1601 < 1) und (Po, Pl, P2) ~Ca

60 ~(v)=

(2v-2)(2v) ' (3.1)

fl~(v)=P,60" (21-21v--~v) jOl (1 2 v 1 2 j )

Wir setzen fiir - n ~ N ~.(v) =0

und fiir n e ]N o

(3.2)

(x = 0, 1, 2).

r/. (v) - (1 + 09) ~/._1 (v) + (60 + ~ (v + 2 - n)) ~/._ 2 (v) 2

+ ~ fl~(v+l-n)rl._l_~(v)=6.o. ;r

Offenbar ist fiir jedes n ~ N ~/. beziiglich v eine in C\{0, 1 . . . . . n - 1 } holomorphe Funktion mit Polen h6chstens 2. Ordnung in {0, 1 . . . . . n - 1}.

Wir zeigen:

(3.3) Hiltssatz. Fiir nE Z gilt

rl.(v+n)-(l +60)tl._1(v+n-1)+(60+~(v+n))~l._2(v+n--2) 2

+ ~, fl~(v+n-x)rl._l_~(v+n-l--r)=6.o. / r

Beweis. Fiir - n ~ N ist die Behauptung trivial. Seien also n ~ N o und k, IE{0, 1 . . . . . n}. Ersetzt man in (3.2) fiir k>l (n,v) durch (k-l ,v+n-l) , so

48 D. SCHMIDT

folgt rlk_t(v+n -- I)--(1 + co--flo (v + n-- k+ 1)) ~/k- 1 -S(V+ n -- l)

(*) + ( o g + ~ ( v + n - k + 2 ) + f l l ( v + n - k + l))~lk_E_l(v+n-l)

+ fl2(v+ n- -k + l)~k-3-1(v + n--l)=~kV

Fiir k < list dies trivial. Setzt man

Sk~=6k~--(l +og--[30(v+n--k + l))fk--l~

+(og+ct (v+n-k + 2 ) + f l l ( v + n - k + l ) )6k -2~+f l2 (v+n-k + l)6k-a~ sowie

t~t=~l~_t(v + n-- l), so bedeutet (.) gerade

Folglich gilt insbesondere t r

• t n r S x o = t ~ n O �9

1 t : = 0

Das aber ist wegen S~o=0 fiir ~ { 0 , 1, 2, 3} genau die Behauptung. Wir untersuchen nunmehr das Konvergenzverhalten der Folge {~,(v)}~o.

Die definierende Rekursion (3.2) stellt offenbar eine Poincardsche Differenzen- gleichung mit den charakteristischen Wurzeln 1, o~, 0 dar. Auf diese l~iBt sich fast unmittelbar der Konvergenzsatz yon R. MENNICI~N in [2], Abschnitt 3 anwenden. Man erh~ilt.

(3.4) Satz. Fiir w C \ N o , co~C(Icol < 1)und (Po, P~,P2) ~ 3 existiert

r/(v) = lim q,(v). n--~ oo

Dabei ist die Konvergenz auf jedem Bereich

(veC: Rev<2), m i n l v - n l > e } x {toeC: Io~l_<_p} n e l ' , /0

x po, pl, p2)sC3: maxlP~l=<K 7 r

mit 7, e, p, KEIR (e>O, O<p< 1, K>_O) gleichmiiflig. ~l ist folglich eine holomorphe Funktion der Variablen (v, 09,po, pl , p2), die

bezi~glich v in ]N o hSchstens Pole 2. Ordnung besitzt. Bei festem v und 09 ist die Ordnung yon ~l als ganze Funktion von Po, Pl,P2

nicht gr6fler als �89 ~l ist auf jedem Bereich

{v~C: min lv -n l>5} x { o ~ r Icol__<p} n~No

x (po, pl, p2)sCa: maxlp~l_-<K

mit 5, p, K~IR (5>0, 0<.o<1, K=>O) beschriinkt.

Ellipsoidfunkfionen 49

Wir untersuchen kurz das asymptotische Verhalten von t/ fiir [Imv[ ~oo . Dazu sch/itzt man fiJr n~]N o

] 1 r/n(v) 1--off+l] ofl+l [ ' / (0 - l_---s- ~- <l~ / (v ) -~ , (v ) l+ 1-a~ + -i--z--d -

ab. Nun braucht man nur noch beziJglich des ersten Summanden die Konvergenz- aussage von Satz (3.4) zu beriicksichtigen und beziiglich des zweiten Summanden die definierende Rekursion (3.2) heranzuziehen. Man erh~lt.

(3.5) Bemerkuag. Fiir [Imvl ~ o o gilt 1

r/(v) -> 1-o9 gleichmiiflig beziiglich Re v < 7 (Y ~ ~) .

Ersetzt man in der Rekursion aus Hilfssatz (3.3) (n,v) durch (n+l, v - l ) , so folgt

ll~+t(v + n)--( l + og)~l,- l +l(v + n--1) + (o) + ct(v + n))~l~_2 +z(v + n-- 2) 2

+ ~, f l ~ ( v + n - x ) ~ h - l - ~ + z ( v + n - l - x ) = 6 _ z ~ . ~ = 0

Mit l ~ + oo ergibt sich fiir ne Z

~l(v + n ) - ( l + og)rl(v + n - 1 ) + (o~ + ~(v + n))tl(v + n - 2)

(3.6) 2 + ~ f l ~ ( v + n - x ) ~ l ( v + n - l - x ) = O .

to=0

Dies ist nun fiir n ~ + oo wiederum eine Poincar6sche Differenzengleichung mit den charakteristischen Wurzeln 1, 09, 0, auf die man ebenfalls den oben zitierten Konvergenzsatz aus [2] anwenden kann. Man erh/ilt:

(3.7) Satz. Fiir w ~ \ Z , ~o~C(1o91<1) und (po, Pt, P 2 ) ~ 3 existiert

6 (v) = lim ~/(v + n).

Dabei ist die Konvergenz auf jedem Bereich

{veC: R e v > y , rain Iv-nl>8} • ( t o ~ : Iog[___<p} n e Z

x po, Pl, P2)~lEa: maxlp~l=<K

mit ~, e, p, K~IR (~>0, O < p < 1, K~>O) gleichm~flig.

~ ist folglich eine holomorphe Funktion der Variablen (v, m, 1)0, Pl, P2), die beziiglich v 1-periodisch ist

~(v+l)=~(v) (v~r

und die in 7Z. h~chstens Pole 2. Ordnung besitzt.

Bei festem v und 09 ist die Ordnung yon ~ als ganze Funktion in Po, Pl, P2 nicht griifler als �89

4 Arch. Rational Mech. Anal. , Vol. 53

50 D. SCHMIDT

Mit (3.5) und der Konvergenzaussage von Satz (3.7) ergibt sich

(3.8) Bemerkung. Fiir I l m v l - ~ gilt 1

~(v)-~ 1 -co

gleichmiiflig beziiglich Yl ~ Re v < 72 (Yl, Y2 e 1R, Yl < Y2).

Es erweist sich als zweckm~iBig, an Stelle von 5

(3.9) A (v) = sin (n v) 2 5 (v)

zu studieren. A �89 beztiglich v eine 1-periodische ganze Funktion und folglich

A (v) = ~ ~k~ exp (2 n i v n) (v e r neZ

entwickelbar, wobei die Fourier-Koeffizienten durch

1+i~ ~ = ~ A(t)exp(-2xitn)dt (~e]R)

bestimmt sind. ~--*+oo bzw. r

~=~_~--

Damit gilt

(3.10) A (v)=~/o

1 1 ~/.=0 4 1 -o9 '

Unter Berticksichtigung von (3.8) und (3.9) folgt jeweils mit

(neZ , Inl>2).

1 1 2 1-o9 cos(21rv), ~/o=A(�88

Eine einfache Umrechnung ergibt

(3.11) ,~ (v) = z (o) + ~ ~ir, ( . vy = ,~ (3) - - i _ - ~ Cos (,~ v) ~

Wir wollen nun A (0) und A (3) in geeigneter Weise darstellen. Dazu betrachten wir noch einmal die Rekursion (3.6). Multiplizieren wir

diese zunachst mit v 2, so ergibt sich mit v ~ 0 fiir neNo

lim V 2/1 (Y "-1- n ) -~- •n/+ 1 ~/( - - 1), V~0

wobei die y~ durch

Y~ +�88 ~-(l+co-flo(1))y~+~plco=O,

(3.12) ~-(1+cO-#o(2))r~ +(co+~(2)+#1(1))r~ +~p~ o~2 =o, 2

1 r,+~-(l+co)y~+(co+~(n))y~,_~+ ~,fl,(n-x)r,~_~=O (n>3) g=O

bestimmt sind. Mit v ~ �89 erhalten wir entsprechend tiber

o.,+,x(�89 =,a~ ( - �89 =,8~ ( - O =/h ( - �89 = o


fiir n e ( - 1} w]lqo ,t(�89 + n)=72+ l ~(-�89

wobei die 7 2 durch 2 ?o z = 1, 71 - (1 + co- flo (�89 7g=O,

(3.13) 71- ( l +o~-flo(~))?~ +(co+a(~)+ fll (�89 2

Z r.-~=0 (n_->2) I r

bestimmt sind. Da nun aber

limv2rl(v+n)~A(n-~O), ~/ (�89 + n) -+A (�89 ( n ~ +oo) V---~ 0

gilt, folgt analog zu Satz (3.7)

(3.14) Satz. 0) Far coer (leo[ < 1) und (po, pl,p2)~<E 3 existieren die Grenzwerte

? I = lim 7~, 7 2 = tim 7. '2. It--+' cc PI'-I" OD

Dabei ist die Konvergenz jeweils lokal-gleichm+flig. 7 t und ? + sind folglich holomorphe Funktionen der Variablen (co, Po, Pl, P2). Bei festem 09 ist die Ordnung von ? 1 sowie yon 7 2 als ganze Funktion in Po, Pl, P2 nicht grSfler als �89

(ii) Es gelten die Darstellungen

A (0)=re2 71 r / ( - 1), (3.15) A (�89 = 7 2 r / ( - �89

4. Darstellung der Koeffizienten der Zusammenhangsrelationen

Wir behandeln zun~ichst ein Teilproblem und leiten eine weitere Darstellung der charakteristischen Exponenten der Differentialgleichung (0.1) auf {5 o her.

Wir schlieBen dazu zunw an 2. an. Es sei v charakteristischer Exponent der Differentialgleichung (0.1) auf {5o - wobei wir o. B. d.A. - �89 < Re v < �89 annehmen k6nnen - und {c,},~ z die Folge der Entwicklungskoeffizienten der (verallgemei- nerten) Laurentreihe einer zugeh6rigen Floquetschen L6sung y.

Wir betrachten dann im Fall 2v~ Z for n~ Z und irn Fall 2v~ Z (also w{0, �89 ftir - n e ] q o

/ ' ( 1 - v - n ) (v+n)c,. (4.1) r "= l'(�89

Die entsprechende Transformation von (2.13) ergibt, dab die Folge {y,} die Rekursion

2

(4.2) 7,+1 - (1 +co) ? ,+ (co+ a(v + n))?,-1 + Efl~(v+n-tc)7,-~=O, 1 r

- und zwar im Fall 2v~ Z fiir n~ Z und im Fall 2 w Z fiir - n ~ l N - erfiillt. Aus der entsprechenden Umrechnung yon (2.12) flieBt unter Beriicksichtigung der Stirlingschen Formel, dab die 7, fiir n ~ - oo beschr~inkt bleiben.

Wir ziehen nun zus~itzlich die Resultate aus 3. heran. Gem~iB (3.6) wird die Rekursion (4.2) auch von der Folge (~/(v+n-1)} erfiillt, und zwar wieder im

4 *

52 D. S C ~ T

Fall 2vr Z fiir n~ 2E und im Fall 2 r e Z ffir - n ~ N . Nach Satz (3.4) bleiben auch die r/(v + n - 1) fiir n ~ - oo beschr~inkt.

Die Rekursion (4.2) besitzt jedoch ffir n ~ - oo (bis auf multiplikative Vielfache) h6chstens eine nicht-triviale beschr/inkte L6sung (vgl. [8], S. 92-93) . Da im Fall 2v~ Z sowie in den F~illen (III) und (IV) aus Satz (2.6) - wo speziell Y=Y22 ge- w~ihlt sei - {?,} aufgrund yon (2.12) eine nicht-triviale L6sung von (4.2) ist, gilt mit einem ~ E C jeweils ffir n e 2E bzw. - n e N o

r / (v+n-- 1)=~?,.

Hieraus folgt im Fall 2vr ~E unter Beriicksichtigung von (2.9) und der Stirling- schen Formel mit n ~ + oo fiber ?n ~ 0 und r / ( v + n - 1 ) ~ ~(v)

A (v) = O.

Im Fall 2v~ 7z ist nach (4.1) offenbar ~o=0. Damit erh~ilt man fiir Fall (III)

(4.3) [Yll, Y22]-~ 0 =~ ~/(-- �89 = 0

und entsprechend fiir Fall (IV)

(4.4) [Yl2, Y22] = 0 = ~ / ( - 1)=0.

Aufgrund von (3.15) hat man also auch bier jeweils A (v)= 0.

Es sind nun lediglich noch die F~ille (I) und (II) aus Satz (2.6) zu untersuchen. Hier sei im Fall (I) Y=Yll und im Fall (II) Y=Yl2 gew~ihlt. Man hat dann c o = 1 und c , = 0 for - n e N . Fiir h e n best~itigt man durch Transformation von (2.13) und Vergleich mit (3.12) bzw. (3.13) dab im Fall (I)

r(�89 r(n) nCn

und im Fall (II)

~ 2 = ~ / 2 r ( l + n ) ( 2 n + 1 ) c , r(�89 n)

gilt. Aufgrund von (2.9) folgt hieraus unter Beachtung der Stirlingschen Formel

(4.5) [Yll, Y21] =0=>? 1 = 0

und

(4.6) [Yl2, Y21] = 0 =r ? 2=0.

Ober (3.15) erh~ilt man also auch hier A (v)= 0.

Damit ist generell gezeigt, dab ffir die charakteristischen Exponenten v stets A (v)=0 gilt. Dies impliziert jedoch fiber (3.11), (3.15) und (2.3) die Identitaten

[Y,,, Y21]I-Y,2, Y22] _&n2),,r/(_ I), [Yll, Y,2] EYe,, Y22] =

(4.7) [Y~,Y22][Y,2, Y2,] _&y2r/(_�89 '

[ y , , , y ,2 ] =

wobei wieder co + r = 1 gesetzt ist.


Da Satz (2.3) die charakteristischen Exponenten der Differentialgleichung (0.1) auf 15o vollst~indig charakterisiert, folgt mit (4.7)

(4.8) Satz. Die charakteristischen Exponenten v der Differentialgleichung (0.1) auf t5 0 sind durch

sin (•v) 2 = - - O ~ 7 ~ 2 7 1 / ' ] ( - 1) sowie dutch

cos(~v)2=~72~(-�89 bestimmt. Dabei ist co + Co = 1.

Mit den bereitgestellten Hilfsmitteln 1/iBt sich nun leicht das folgende wesent- liche Resultat, die Darstellungen der Koeffizienten der Zusammenhangsrelationen zwischen den Floquetschen Fundamentalsystemen zu den einfachen Singuladt~iten 0 und 1 mittels der Funktionen r / ( -1) , r /(-1/2), yl und y 2, herleiten.

(4.9) Satz. Mit og+r~= 1 gelten die Identitiiten

[Yl 1, Y21] = _ 2re t51/271, [-Yll, Y12]

[Y12, Y2i] ---- _(~1/272 ' FyH, y12]

zum Beweis setzen wir abkiirzend

f 7 i,

Ai j=/~(- - �89 I.,i ( - 1),

[Yll, Y22] =f~l/2~(__�89 [Y21, Y22]

[Y12, Y22] =2~51/2~(_1) . [Y21, Y~2]

( ie {1, 2} , j= 1), ( i = l , j = 2 ) , ( i = 2 , j = 2 ) .

Es seien dann x, p, 2e{0, 1, 2} paarweise verschieden mit x < p . Gem~iB (1.9) (iii) sind die [Yl ~, Y2j] (i, j~{ 1, 2}) bei festen p~, pp e IR ganze Funktionen in px e 113 mit h6chstens einfachen Nullstellen. Wegen (4.3), (4.4), (4.5) und (4.6) sind daher auch die Quotienten

Aij ( i , j~ {1, 2}) [Yl~, Y2j]

bei festen p~, pp e IR ganze Funktionen in pxe r die aufgrund von (4.7) keine Null- stellen besitzen. Da Nenner und Z~ihler nach (1.9) (ii) und (3.4), (3.14) von einer Ordnung nicht gr68er als �89 sind, h~ingen die vier Quotienten bei festen p~, ppelR nicht mehr von p a e ~ ab. Mithin existieren Funktionen ~ �9 IR 2 qhj. -~ C, so dab fiir p~, ppe IR, p ~ e ~

(*) A,i (Po, Pl, P2)= ~0,~ (p~, pp)[Yl,, Y2s] (Po, Pl, P2)

gilt. Die r sind offenbar stetig. Durch Beschr~inkung auf reelle Parameter in (.) folgt

r (P,, P2) = r (Po, P2) = cP~ (Po, Pl) = ~o,j e C (Po, P,, P2 e ~.).

Wit bilden nun die Differenzen

Aij-r Y2j] (i, j e (1, 2}).

54 D. SCHMIDT

Dies sind gauze Funktionen in (Po, Pl, P2)E C 3, die fiir (Po, Pl, P2) 6 jR'3 verschwinden. Nach dem Identit~itssatz verschwinden sie daher identisch in 033.

Es sind nun noch die Konstanten q~j zu bestimmen. Dazu w~ihlen wir speziell Po = P l =172 = 0. Dann wird die Differentialgleichung (0.1) elementar integrierbar. Es gilt offenbar

Yl 1 (z) = 1,

Y21 (z) = 1,

und damit insbesondere

yl2(z)=�89 dt (zeff}) o

Z

Y22(Z) = -�89 dt (Ze~) 1

y12(z)- I -~- l /2 Y22(Z)---- S(1--a7 sin(t)2) -1/2 d r = : K. 0

Folglich wird

[Yll, Y21]=0

[Yll, Y22] ---- --�89 t~l/2,

Mit ( x ) aus 1. folgt

[Y12, Y21] = --�89

[y12, Y22] = -- �89

~[Y11, Y21] 1 OPo =~-K.

Betrachten wit die zugeh6rigen A ~j, so ergibt sich nach (3.2), (3.12), (3.13)

~A tl - - = --~A22 , A21 =d12.

dpo

Unter Beriicksichtigung von (4.7) folgt

-- I--~--- ) 2 1 1 2, A12 =-=-- co

l~ber die Vorzeichen verschafft man sich mittels der Grenzbetrachtung co--,0 Klarheit. Man erh~dt

Damit folgt schlieBlich

A22= 2K &- l /2 , 7~

~1 t = - (~ ~ 1 / 2 ) - 1

( I-1 ~ 0 2 1 ~ - -

A12 =(~ -1/2

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Math. 16, 452-464 (1965) 3. Mm~,~cI~N, R., & D. S C ~ T , Untersuchungen fiber lineare Differentialgleichtmgen mit

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4. SCH32KE, F.W., Ein Verfahren zur Berechnung des charakteristischen Exponenten der Mathieuschen Diffcrentialgleichung I. Num. Math. 3, 30--38 (1961)

5. SCH~KB, F. W., R. EBERT, & H. GROH, Ein Verfahren zur Berechnung des charaktedstischen Exponentcn der Mathicuschen Diffcrentialgleichung II. Num. Math. 4, 1 - 7 (1962)

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(Eingegangen am 26. September 1973)

Fachbereich Mathematik Universitiit Konstanz

Zur differentialgleichung der ellipsoidfunktionen

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