Zur Theorie und Numerik hyperbolischer Differential ... Anfangs- und Randwerte . Folie 6 Die zur...
27
von Dipl.-Phys. A. KREITER Am 16-01-22 vorgetragen im von Dr. rer. nat. WEISSER abgehaltenen Seminar 'Ein Blick über den Tellerrand.. .' im Fachbereich Mathematik der Universität des Saarlandes zur Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen Zur Theorie und Numerik hyperbolischer Differential- gleichungen, dargestellt am Beispiel der Wellengleichung
Transcript of Zur Theorie und Numerik hyperbolischer Differential ... Anfangs- und Randwerte . Folie 6 Die zur...
von Dipl.-Phys. A. KREITER
Am 16-01-22 vorgetragen im von Dr. rer. nat. WEISSER
abgehaltenen Seminar
'Ein Blick über den Tellerrand...' im Fachbereich Mathematik
der Universität des Saarlandes zur Theorie und
Numerik partieller Differentialgleichungen
Zur Theorie und Numerik hyperbolischer Differential- gleichungen, dargestellt am Beispiel der Wellengleichung
1. Rückblick : elliptische und parabol. Differentialgleichungen (Dgl.)
2. Hyperbolische Differentialgleichungen (hDgl.)
3. Anfangs- und Randwerte
4. Lösbarkeit und Eindeutigkeit
5. Diskretisierung raumartiger Gebiete: Finite Elemente
6. Diskretisierung zeitartiger Intervalle: Finite Differenzen
7. Herleitung und physikalische Beziehungen
8. Besonderheiten
9. Nachweise
10. Code-Erörterung und –Diskussion
Inhalt
LAPLACE- und POISSON-Gleichung 1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
LAPLACE-Gleichung (elliptisch, eDGl) (1) POISSON-Gleichung (eDGl)
(2) Wärmeleitungsgleichung (parabolisch, pDGl)
(3)
wobei x:={xi ,i=1,2,3} ℝ³
)()(² xfxu
0)(:)(² xuxu
Folie 3
)(),(
),( xft
txutxu
Wellengleichung
Folie 4
Die Wellengleichung (WGl) ist wegen c² ℝ+ hyperbolisch:
(4)
Für n=3 beschreibt sie beispielsweise mit der Phasen-
geschwindigkeit c ablaufende raumzeitliche Ausbreitungsvorgänge
(« Wellen ») eines Feldes u(x,t), dessen Quellen oder Senken
gemäß f(x,t) verteilt sind.
Die homogene WGl (f=0) ist als d’ALEMBERT-Gleichung bekannt.
Die Substitution x0 = ct erlaubt die Darstellung
(5) □
mit dem d’ALEMBERT-Operator □.
),(²
²²
²
12
txfx
u
tc
u n
)(:²
02
xfux
un
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Wellengleichung
Folie 5
hDGl müssen nicht notwendigerweise 𝜕²𝑢
𝜕𝑡² enthalten.
Isotrop dissipative Vorgänge können durch einen
Summanden mit η > 0 einbezogen werden:
(6) ),(²
²²
²
02
txfx
u
t
u
tc
u n
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Anfangs- und Randwerte
.
Folie 6
Die zur eindeutigen Lösung der WGl in einem begrenzten Gebiet Ω
erforderlichen Integrationsbedingungen sind in Form von
DIRICHLET-Randwerten,
(7a)
NEUMANN-Randwerten
(7b)
bzw. einer Mischung (CAUCHY) oder Kombination (ROBIN) beider sowie
Anfangswerten
(8a)
(8b)
gegeben.
xxvxt
u
xxuxu
txgtxun
txgtxu
NN
DD
,
,
0 ,: ,
,: ,
N
D
)()0,(
)()0,(
),(
0),(
0
0
ΓN
ΓD Ω
t=T
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion t=0
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Folie 7
Die Beweisführung umfaßt folgende Schritte:
a) Die Wellengleichung wird als Variationsintegral dargestellt (schwache
Differenzierbarkeit im Sinne der partiellen Integration)
b) Zu dessen Berechnung wird eine eindeutige Lösung auf Basis
HILBERTscher Eigenfunktionen verwendet
c) Die Erfüllung der RW/AW-Bedingungen wird verifiziert
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (a) Folie 8
Die Wellengleichung
(3)
wird mit einer Testfunktion v(x) H01(Ω) multipliziert, integriert
(9)
und mit ihren Anfangswerten in die Variationsform gebracht:
(10)
0),(²²
),(²
²
),(²
txf
tc
txu
x
txu
dxxvtxfdxxvtxudt
dxxvtxud
)(),()(),(²
)(),(²
in in
0
0
00
1
0)²()²(
:),(
,:),(
0),(),()),((),(²
²
vdt
tduutu
TtHvvtfvtuavtudt
d
tt
LL
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (b) Folie 9
Theorem: Seien V(Ω) und H (Ω) zwei HILBERT-Räume mit V ⊂ H als
kompakter Einbettung und V dicht in H (üblicherweise V=L² oder V=H01(Ω).
Sei a(u,v) eine symm. stetige, koerzive Bilinearform. Seien eine
Zeitobergrenze T > 0, Anfangswerte u(0)=u0 und du/dt=v0 in Ω gem. (10)
sowie ein Quellterm f (x,t) L²(]0;T[;H) gegeben, dann hat die mit der von t
unabhängigen Testfunktion v(x) in das Variationsintegral
(11)
umgeformte Wellengleichung eine eindeutige Lösung. Weiter existiert eine
nur von Ω und T abhängige obere Schranke C > 0, womit die
Energieabschätzung lautet:
(12) )(
[;;0]²00);;0();;0( 1 HTLHVHTCVTCfvuCuu
TtVvvtfvtuadt
vtud
H
H 0,),(),(²
),(²
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (c)
Nebenbemerkung: Analog zur pDGl ist die schwache Koerzivität für die
Bilinearform a(v,v) für alle v V abschätzbar mit 2 pos. Konstanten und
zu
(13)
Mit dem Ansatz
(14)
wird die Variationsform in
(15)
überführt. Diese Gleichung beschreibt eine abklingenden Welle, kann aber
verallgemeinert werden (η = 0). Damit ist die Voraussetzung der
Koerzivität für a(v,v) in (11) abmilderbar zur schwachen Koerzivität.
Beweis: Analog zu dem der pDGl, wie folgt.
Folie 10
Vvvvvva VH ²²),(
)()( twetut
TtVvvtf
vtwdt
vtwdvtwa
dt
vtwd
H
H
HH
0,),(
),(),(
2),(²
),(²
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (d)
Angenommen, sei eine Lösung von (11).
Dann wird die aus den Eigenfunktionen der Variationsformulierung der eDGl
gebildete HILBERTsche Basis (uk)k>0 verwendet, d.h., die Bedingung
(16)
wird erfüllt. Mit
(17)
wird
(18)
und mit ωk=√λk lautet die eindeutige Lösung zu
(19)
(20)
Folie 11
VvvuvuaVu
Hkkkk ,),(,
HTCVTCu ;;0;;0 1
k
l
ll
k
kk
HkkHkkHkk
ututtu
ututuvuu
k 11
0
1
0
0
)(lim)()(
),()(,,,,
1
0
0
0::
²
²
ktkkt
kkkk
dt
d
,
T[]0; in
k
t
kkkk
k
kkk dsststtt0
10 sin)(sin1
cos)(
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (e)
Somit zu zeigen:
konvergiert. Also zu prüfen, ob die Teilreihen eine CAUCHY-Folge bilden.
Wegen der Orthogonalität der (uj) in H und V ergibt sich für l>k, ∀t eine
Abschätzung der a zu
(21)
Multipliziert man (19) mit und integriert über t, ergibt sich
(22)
und aus (20) ergibt sich die Abschätzung
(23)
Kombiniert man (22) und (23), erhält man
(24)
Folie 12
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
k
k
t
kkkk
k
kk wdsststt
1 0
10 sin)(sin1
cos
l
kj
j
jj
H
klklkl
dt
tdt
dt
wwdwwwwa
12
22
)()(
)(),(
)(tk
dssstt
t
jjjjjjjj )()(2)()(0
20
21
22
dsstt
jjjjj 0
10 )()(
t
jjjjjjj dssttt0
220
21
22
)(2)()(
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen (f)
Mit u0 V, u1 H und f L²(]0;T[;H) ergibt sich
(25)
was zur Folge hat, daß die Reihe der wk auf der rechten Seite von (24) zu
(26)
komvergiert, also das CAUCHY-Kriterium in C1([0,T];H) und C([0,T];V) erfüllt.
Diese Räume sind vollständig, damit konvergieren die wk und definieren
den Grenzwert u. Insbesondere konvergieren die (wk(0), dwk(0)/dt) nach
(u0,v0) in VxH, so daß die Anfangsbedingungen erfüllt sind. Andrerseits
erfüllt u(t) die Variationsformulierung gleichermaßen, da die Reihe für jede
Testfunktion v=uk diese erfüllt. Da (uk/√λk) HILBERT-Basis von V ist, erfüllt
(19) die Variationsformulierung für alle Testfunktionen v V, womit u die gesuchte Lösung von (19) ist.
Folie 13
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
1 0
22
[;;0]
1
212
0
1
20
0,0
2
0
)(
)(
2
j
t
jHTL
j
j
j
jjV
dssf
v
uuau
H
0)()()()(22
,lim
H
kl
V
kl
lk
twtwtwtw maxTt0
Semidiskretisierung im Ortsraum
Konstruktion eines Finite-Elemente-Unterraumes V0h von H01(Ω), in dem
die Variations-Formulierung (11) für die diskretisierte Form uh der Welle näherungsweise dargestellt wird als
(27)
indem man zugleich uh0 und vh0 ansetzt. Zu zeigen ist, daß (27) eine eindeutige und explizit angebbare Lösung hat. Ansatz ist die Verwendung einer zeitunabhängigen (φk )- Basis für V0h ,nach der uh zerlegt werden kann. Man setzt
(28)
...
Folie 14
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
hthhth
hhHhhhHhh
vuuu
TtVvvtfvtuadt
vtud
,00,00
0
,
0,),(),(²
),(²
)²(
1
0
0
1
0
0
1
),()(
)()(
L
h
mh
th
mh
th
mh
h
tftb
Vu
Uu
tUtu
Zeitdiskretisierung - Methode der finiten Differenzen
...und erhält das bereits bekannte lineare System gewöhnlicher Dgl. 2. Ordnung konstanter Koeffizienten mit Massen- (M) und Steifigkeitkeits- (K) Matrizen:
(29)
das als Ausgangspunkt der zeitlichen Diskretisierung dient, indem das Intervall ]0;T[ in n Zeitschritte der Länge τ zerlegt wird, deren jeweiligen Ergebnisse als Ausgangspunkt für den nächsten Schritt dienen. Für die Wellengleichung soll hier das Θ- Schema zur Anwendung kommen
(30)
welches für Θ=0 explizit, für Θ=1 implizit und für Θ=1/2 CRANK- NICOLSON-Schema genannt wird. Für den ersten Schritt werden U0 und U1 aus den Anfangsbedingungen errechnet.
(31)
Folie 15
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
na
VUUU
TttbtUtU
Lh
h
t
hh
t
h
hh
h
h
h
,1,,,,
,
0),()()(
)²(
,0
0
,0
0
KM
KM
11
1111
21
21²
2
tbtbtb
UUUUUU
KM
0
01
0
0 ; vUU
uU
Zur physikalischen Herkunft der Wellengleichung (a) Folie 16
Ausgangspunkt sei ein lokaler Vorgang, bspw. die Bewegung einer
Punktmasse m unter dem Einfluß einer linear von deren
Verschiebung r(t) abhängigen Kraft K, woraus unter dem 2.
NEWTONschen Axiom die Bewegungsgleichung
als lineare DGl. 2. Grades hervorgeht, deren Lösung r(t) einen
zyklischen Vorgang mit der Periodendauer
beschreibt.
)()())(( tmtDt rrrK
D
m
21
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Zur physikalischen Herkunft der Wellengleichung (b) Folie 17
Übergang von der Massendistribution gekoppelter Oszillatoren zur
kontinuierlichen Massendichte ermöglicht die Beschreibung ihrer
Bewegung als raumzeitliche Fluktuation (P-Wellen in homogenen
nichtviskosen Fluiden).
Deren Schnellefelder v(r,t) sind somit wirbelfrei,
weshalb sie als Gradient eines skalaren Potentialfeldes ψ(r)
angesetzt
und eine Wellengleichung anstelle für den Schalldruck p(r)
als deren mit Massendichte ϱ gewichtete Zeitableitung
eingesetzt werden kann:
, v0v
),(2
2 tfc
p r
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Homogene Wellengleichung, Ansatz von d’ALEMBERT Folie 19
Der d‘ALEMBERtsche Ansatz geht dabei von einer partikulären
Lösung der homogenen Wellengleichung der Form
aus, wobei r0 ein konstanter Einheitsvektor ist und Φ ℒ2 eine 2fach differenzierbare Funktion oder Distribution ist
Jede Linearkombination a∙Φ+ +b∙Φ- ist gleichfalls Lösung.
Der innerhalb des durch deren Argument aufgespannten
Doppelkegels liegende Bereich des ℝn∪ℝ wird als Kausalbereich
bezeichnet
)(),( 0 cttu rrr
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Ebene Wellen, Wellenvektor Folie 20
Durch die Gleichung
mit festem k∊R wird eine Ebene definiert, die Lösung u der
Wellengleichung beschreibt daher ebene Wellen.
Das Lot auf diese Wellenebenen ist parallel zu r0 und zeigt
in die Ausbreitungsrichtung von u.
[eindimensionale Lösung].
kct rr0
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Monochrome Wellen, HELMHOLTZ-Gleichung Folie 21
Emittieren die Quellen F monochrome Wellen der Form
mit ω=2πν, kann für das Wellenfeld der Produktansatz
gewählt werden mit w∊ℂ. Durch Einsetzen des Ansatzes
ergibt sich
als HELMHOLTZ-Gleichung, worin die Wellenzahl k durch
definiert ist .
tieftF 2)(),( rr
tiewu )()( rr
)()()(² 2rrr fwkw
ck
22
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
Telegraphengleichung Folie 22
Dissipative Einflüsse, z.B. ohmsche Widerstände werden durch
das Einfügen eines Dämpfungsterms in die Wellengleichung
beschrieben, woraus sich die Telegraphengleichung
mit der Dämpfungskonstanten a ∊ ℝ+ ergibt.
),(),(²),(
2²
),(
²
1 2
tFtut
tua
t
tu
crr
rr
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
SCHRÖDINGER-Gleichung
Die zeitabhängige SCHRÖDINGERgleichung (1926) beschreibt die
raumzeitliche Dispersion eines Materiepaketes
gehört jedoch aufgrund ihrer Charakteristik zu den parabolischen
Differentialgleichungen; ersetzt man das Potential durch dessen
Gesamtenergie, erhält man ihre zeitunabhängige Variante
als Eigenwertgleichung für stationäre Zustände quantenmechanischer
Systeme.
Folie 23
),(),(),(²2
²),(ttVt
m
h
t
t
i
hrrr
r
0),(),(²2
² tEt
m
hrr
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
KLEIN-GORDON-Gleichung
.
Folie 24
Diese relativistische Form der SCHRÖDINGERschen Wellengleichung (1926)
beschreibt die LORENTZ-invariante Dispersion eines Materiepaketes
wenn sich ψ(r)=ϕ′(r’) transformiert.
Sie läßt sich nicht mehr als Wahrscheinlichkeitsamplitude
Interpretieren: Die zu ihrer Stromdichte <ϕ, ϕ > gehörige Größe nimmt die
Form
an.
),,(),(²),(1
2
22
2
2
2t
h
cmt
t
t
crr
r
cccc
mc
hi
22
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
MAXWELL-Gleichungen
.
Folie 25
Aus dem Induktionsgesetz
in Verbindung mit der Quellenfreiheit der Induktion
dem BIOT-SAVARTschenGesetz
den Materialgleichungen und der LORENTZ-Eichung
ergeben sich die Darstellungen
und
mit dem d’ALEMBERT-Operator in vierdimensionaler LAPLACE-Gleichung
0
0
0
0
²²
²²
²²
²²
²
0
tc
tcvA
AED
AE
ABB
BE
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
…auf den Schultern von Riesen Folie 34
i. St. Weißer: Folienvorträge im Seminar, 2015, sowie umfassende Vorbesprechung und Hinweise zur Programmierung
ii. Allaire, Numerical Analysis and Optimization, Kap. 8 (Oxford Science Publications), 2007
iii. F. Hecht, Freefem++ 3rd Edition V3.38-3
iv. A. Prosperetti, Advanced Mathematics for Applications, Cambridge University Press, 2011
v. M. Nicolai & al: Elast. 2dim. Tragwerksberechnung, RWTH Aachen, 2013
vi. sowie aufbauend auf und voraussetzend die Arbeiten der im Seminar (i) Vortragenden K. Jakob, J. Veit und L. Erbelding
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
numerische Simulation: Schwingende Membran Folie 35
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
erstes Video (hDG3b.avi) zeigt zur FEM-Lösung der Wellengleichung im 200x200px-Einheitsquadrat den Gradientenbetrag der Welle u (vergleichbar einer schlieren-optischen Aufnahme) mit NEUMANN-Randbedingung, Anfangsgeschwindigkeit 0 zur Nachbildung einer aus {ii} bekannten Simulation Sourcecode: hdG3b.edb
numerische Simulation: Schwingende Ellipse Folie 36
1. Rückblick: ellipt.
und parabol. Dgl.
2.
Wellengleichung
3. Anfangs- und
Randwerte
4. Lösbarkeit und
Eindeutigkeit
5.Orts-
diskretisierung
6. Zeit-
diskretisierung
7. Herleitung und
Physik
8.Besonderheiten
9. Nachweise
10.Code-
Erörterung und
Diskussion
hDG4a.avi zeigt das Gradientenfeld einer ellipsenförmigen Membran (360 Randpunkte) mit Anfangsimpuls-Mittelpunkt (-1,0) hDG4c.avi zeigt eine Membranauslenkung selbst mit der anisotropen
Anfangsauslenkung 𝑢 0 = 𝑒−4 𝑥+1 2−3(𝑦−0.5)². Die Symmetrie der x-Achse wird im hDG4d.avi dadurch gebrochen, daß die Anfangsauslenkung nicht nur anisotrop, sondern auch parallel zur y-Achse verschoben ist. Die incrementale Zeitbasis tau wird schrittweise verkürzt, um die wachsende Anzahl angeregter Schwingungsmoden ausreichend aufzulösen. Anders als in hDG4c ergibt sich keine "Wiederkehr" des ersten Auseinanderlaufens.
Ω
