Zusammenfassung Mathe III

9
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (eAN) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier Punkte A B (2) mathematisch: Ein Vektor ist ein geordnetes Tupel. x 1 x 2 x 3 = x y z Addition zweier Vektoren: + = Kommutativgesetz: Für alle Vektoren und gilt: + + Assoziativgesetz: Für alle Vektoren , und gilt : ( ) + = + ( + ) Nullvektor: 0 nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge der Verschiebung beschrieben wird. Für jeden Vektor gilt: + 0 = 0 + = Entgegengesetzter Vektor: - eines Vektors ist derjenige Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu denen von gleich lang, parallel, aber entgegengesetzt orientiert sind. Subtraktion zweier Vektoren: - = + (- ) Vervielfachung r · eines Vektors: mit einer reelen Zahl r multipliziert, r > 0: gleich gerichtet, r-fache Länge r < 0: entgegengesetzt gerichtet, | r |-fache Länge r = 0: 0 = 0 (Für r = 1 erhält man 1 = ) Rechnen mit Vervielfachungen: Für alle reelen Zahlen r und s sowie für alle Vektoren und gilt: r(s ) = (rs) (r + s) = r + s r( + ) = r + r Rechnen mit Beträgen von Vektoren: | | 0 | r | = | r | · | | | + | = | | + | | 2.Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren Parallelität: Ein Vektor ist genau dann zu einem Vektor parallel ( || ), wenn es eine reelle Zahl r oder eine reelle Zahl s gibt, sodass = r oder = s gilt kollineare Vektoren: Vektoren, deren Pfeile (Repräsentanten) auf einer Geraden liegen können. Solche Vektoren sind somit paarweise parallel komplanare Vektoren: Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden.

Transcript of Zusammenfassung Mathe III

Zusammenfassung Mathe III

Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (eAN)

1. Rechenregeln mit Vektoren

Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete

Verbindung zweier Punkte

A B

�������� (2) mathematisch: Ein Vektor ist ein geordnetes Tupel.

x1

x2

x3

=

xy

z

Addition zweier Vektoren: �� + ��� = �� Kommutativgesetz: Für alle Vektoren �� und ��� gilt: �� + ��� � ��� + �� Assoziativgesetz: Für alle Vektoren ��, ��� und �� gilt : (�� ���) + �� = �� + (��� + ��) Nullvektor: 0�� nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge der

Verschiebung beschrieben wird. Für jeden Vektor �� gilt: �� + 0�� = 0�� + �� = �� Entgegengesetzter Vektor: -�� eines Vektors �� ist derjenige Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu

denen von �� gleich lang, parallel, aber entgegengesetzt orientiert sind.

Subtraktion zweier Vektoren: �� - ��� = �� + (-���) Vervielfachung r · �� eines Vektors: �� mit einer reelen Zahl r multipliziert,

r > 0: gleich gerichtet, r-fache Länge

r < 0: entgegengesetzt gerichtet, | r |-fache Länge

r = 0: 0 �� = 0�� (Für r = 1 erhält man 1 �� = ��) Rechnen mit Vervielfachungen: Für alle reelen Zahlen r und s sowie für alle Vektoren �� und ��� gilt:

r(s��) = (rs) �� (r + s) �� = r�� + s�� r(�� + ���) = r�� + r��� Rechnen mit Beträgen von Vektoren: | �� | ≥ 0 | r�� | = | r | · | �� | | �� + ��� | = | �� | + | ��� |

2.Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren

Parallelität: Ein Vektor �� ist genau dann zu einem Vektor ��� parallel (�� || ���), wenn es eine reelle Zahl r

oder eine reelle Zahl s gibt, sodass �� = r��� oder ��� = s�� gilt

kollineare Vektoren: Vektoren, deren Pfeile (Repräsentanten) auf einer Geraden liegen können. Solche

Vektoren sind somit paarweise parallel

komplanare Vektoren: Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden.

3. Betrag und Länge eines Vektors

4. Lineare Abhängigkeit und lineare

Unabhängigkeit

5. Skalarprodukt

Orthogonalität:

Das Skalarprodukt

zweier Vektoren

ist genau dann 0,

wenn die beiden

Vektoren

aufeinander

stehen.

6. Geraden in der Ebene und im Raum

Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform) : Die Gerade g, die durch den Punkt P0 mit dem

Ortsvektor � ����� = 0P ������� und den Richtungsvektor �� (�� � 0��) bestimmt ist, kann durch die Gleichung

�� = � ����� + t �� (t � �)

beschrieben werden.

7. Lagebeziehung zweier Geraden im Raum

echt parallel: Die Geraden verlaufen so, dass sie einander nie schneiden würden, egal wie weit man sie

verlängert. Skizze:

Berechnung: Richtungsvektoren sind

abhängig voneinander. Punktprobe ergibt

keine Lösung.

identisch: Die Geraden verlaufen praktisch übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

abhängig von einander. Punktprobe ergibt

eine Lösung.

Schnittpunkt: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt S

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

unabhängig von einander. Gleichsetzen

der Geradengleichungen führt zu einer S

eindeutigen Lösung.

orthogonal: Die beiden Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel (90°)

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

unabhängig von einander. Gleichsetzen ·

der Geradengleichungen führt zu einer

eindeutigen Lösung. Skalarprodukt der

Richtungsvektoren ergibt 0.

windschief: Die beiden Geraden verlaufen nicht parallel und haben kein Schnittpunkt, sie laufen hinter

einander im Raum.

Brechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

unabhängig von einander. Gleichsetzen

der Geradengleichungen führt zu keiner

Lösung.

8. Ebenen im Raum

Punktrichtungsgleichung einer Ebene (Vektorform): Ist P0 ein Punkt des Raumes mit dem zugehörigen

Ortsvektor � ����� und sind ��� und �� zwei nicht parallele Vektoren, so wird die dadurch eindeutig

bestimmte Ebene ε durch die Gleichung: �� = � ����� + r ��� + s �� (r, s � �) beschrieben.

9. Lagebeziehungen Ebene und Ebene

echt parallel: Die zwei Ebenen liegen so, dass sie einander niemals schneiden würden, egal wie weit

man sie verlängert.

Skizze:

Berechnung: Richtungsvektoren sind

abhängig voneinander. Punktprobe ergibt

keine Lösung.

identisch: Die Ebenen verlaufen praktisch

übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

abhängig von einander. Punktprobe ergibt

eine Lösung.

Schnitgerade: Die Ebenen schneiden sich

in einer Geraden.

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

unabhängig von einander. Gleichsetzen der

Ebenengleichungen führt zu einer

Geradengleichung, die Schnittgeraden.

Spezialfälle:

10. Lagebeziehungen Gerade und Ebene

echt parallel: Die Gerade und Ebene liegen so, dass sie sich niemals schneiden würden, egal wie weit

man sie verlängert.

Skizze:

Berechnung: Richtungsvektoren sind

abhängig voneinander. Punktprobe ergibt

keine Lösung.

identisch: Die Gerade verläuft praktisch

auf der Ebene und schneidet sie an jeder Stelle.

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

abhängig von einander. Punktprobe ergibt

eine Lösung.

Schnittpunkt: Die Gerade schneidet die Ebene einem Schnittpunkt S.

Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:

unabhängig von einander. Gleichsetzen der S

Gleichungen ergibt eine eindeutige Lösung.

11. Schnittwinkelberechnung

Schnittwinkel zweier Geraden: Der Schnittwinkel zweier Geraden kann mit Hilfe des Skalarprodukts

ermittelt werden, hierfür benötigt werden die Richtungsvektoren der Geraden, ������� und ������� : cos� =

������� · �������|�������|·|�������|

12. Matrizen

Matrix: Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen aik in m Zeilen und n Spalten wird Matrix vom

Typ (m; n) bzw. (m; n)-Matrix genannt. Man schreibt:

��� ������ ���! ! ��" … ��$��" … ��$! ! !�%� �%� �%" … �%$&

Die Zahlen aik heißen Elemente (oder Komponenten) von A. Matrizen vom Typ (1; n) heißen

Zeilenvektoren und )m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren.

Stimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten überein, so nennt man diese Matrix quadratisch,

also ist m = n, eine quadratische Matrix vom Typ (n; n) oder n-reihige Matrix.

Nullmatrix: Bei einer Nullmatrix sind alle

Elemente 0, d.h. aik = 0 für jedes i und k.

Transponierte Matrix: Schreibt man die

Zeilen einer Matrix A vom Typ (m; n) als

Spalten einer Matrix AT, so nennt man A

T

die zu A transponierte Matrix.

A � ��� ������ ���! ! ��" … ��$��" … ��$! ! !�%� �%� �%" … �%$&

A( � )*+��� ��� …��� ��� …��" ��" …

�%��%��%"! ! !��$ ��$ … !�%$,-.

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt; sie

heißt schiefsymmetrisch, wenn die Elemente ihrer Transponierten entgegengesetzte Vorzeichen haben.

13. Rechnen mit Matrizen

Addition von Matrizen gleichen Typs: A = (aik) und B = (bik) seien (m / n)-Matrizen. dann versteht

man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C

A(m / n) + B(m / n) = C(m / n) = cik aik + bik = cik

Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl):

A = (aik) sei eine (m / n)-Matrix und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen r A

von Matrix A eine Matrix C vom selben Typ wie A.

r · A(m / n) = C(m / n) = cik

r · A � 0 · ��� 0 · ���0 · ��� 0 · ���! ! 0 · ��" … 0 · ��$0 · ��" … 0 · ��$! ! !0 · �%� 0 · �%� 0 · �%" … 0 · �%$&

Multiplikation von Matrizen:

Verknüpfungsbedingungen für A · B:

Anzahl der Spalten von A ist gleich der Anzahl von Zeilen von B

Bilden Inverser Matrizen:

Sind A und A-1

quadratische Matrizen und

gilt A · A-1

= A-1

· A = E, so heißt A-1

die zu

A inverse Matrix.

Rang einer Matrix: Unter dem Rang r einer

Matrix A versteht man die maximale Anzahl

linear unabhängiger Zeilen- bzw.

Spaltenvektoren. Man schreibt auch:

r = rg(A)

14. lineare Abbildungen

Eine Abbildung f vom Vektorraum �$ in den Vektorraum �% heißt genau dann linear, wenn für alle ��, ��� � �$ und r � � gilt:

(1) f(�� + ���) = f(��) + f(���), d.h., f ist additiv,

(2) F(r��) = r f(��), d.h., f ist homogen.

Ist f eine lineare Abbildung vom Vektorraum �$ in den Vektorraum �%, dann gibt es eine

(m / n)-Matrix A so, dass gilt: f(��) = A · �� Die Matrix A heißt Abbildungsmatrix der linearen Abbildung.