Zusammenfassung Mathe III1. Rechenregeln mit Vektoren
Verbindung zweier Punkte

Addition zweier Vektoren: + = Kommutativgesetz: Für alle Vektoren und gilt: + + Assoziativgesetz: Für alle Vektoren , und gilt : ( ) + = + ( + ) Nullvektor: 0 nennt man denjenigen Vektor, der durch die identische Abbildung in der Menge der
Verschiebung beschrieben wird. Für jeden Vektor gilt: + 0 = 0 + = Entgegengesetzter Vektor: - eines Vektors ist derjenige Vektor, dessen Pfeile im Vergleich zu
denen von gleich lang, parallel, aber entgegengesetzt orientiert sind.
Subtraktion zweier Vektoren: - = + (-) Vervielfachung r · eines Vektors: mit einer reelen Zahl r multipliziert,
r > 0: gleich gerichtet, r-fache Länge
r < 0: entgegengesetzt gerichtet, | r |-fache Länge
r = 0: 0 = 0 (Für r = 1 erhält man 1 = ) Rechnen mit Vervielfachungen: Für alle reelen Zahlen r und s sowie für alle Vektoren und gilt:
r(s) = (rs) (r + s) = r + s r( + ) = r + r Rechnen mit Beträgen von Vektoren: | | ≥ 0 | r | = | r | · | | | + | = | | + | |
2.Parallelität, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren
Parallelität: Ein Vektor ist genau dann zu einem Vektor parallel ( || ), wenn es eine reelle Zahl r
oder eine reelle Zahl s gibt, sodass = r oder = s gilt
kollineare Vektoren: Vektoren, deren Pfeile (Repräsentanten) auf einer Geraden liegen können. Solche
Vektoren sind somit paarweise parallel
komplanare Vektoren: Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden.
3. Betrag und Länge eines Vektors
4. Lineare Abhängigkeit und lineare
Unabhängigkeit
Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform) : Die Gerade g, die durch den Punkt P0 mit dem
Ortsvektor = 0P und den Richtungsvektor ( 0) bestimmt ist, kann durch die Gleichung
= + t (t )
beschrieben werden.
7. Lagebeziehung zweier Geraden im Raum
echt parallel: Die Geraden verlaufen so, dass sie einander nie schneiden würden, egal wie weit man sie
verlängert. Skizze:
identisch: Die Geraden verlaufen praktisch übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
eine Lösung.
Schnittpunkt: Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt S
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
unabhängig von einander. Gleichsetzen
eindeutigen Lösung.
orthogonal: Die beiden Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel (90°)
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
unabhängig von einander. Gleichsetzen ·
eindeutigen Lösung. Skalarprodukt der
windschief: Die beiden Geraden verlaufen nicht parallel und haben kein Schnittpunkt, sie laufen hinter
einander im Raum.
Lösung.
Punktrichtungsgleichung einer Ebene (Vektorform): Ist P0 ein Punkt des Raumes mit dem zugehörigen
Ortsvektor und sind und zwei nicht parallele Vektoren, so wird die dadurch eindeutig
bestimmte Ebene ε durch die Gleichung: = + r + s (r, s ) beschrieben.
9. Lagebeziehungen Ebene und Ebene
echt parallel: Die zwei Ebenen liegen so, dass sie einander niemals schneiden würden, egal wie weit
man sie verlängert.
übereinander und schneiden sich an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
eine Lösung.
in einer Geraden.
Ebenengleichungen führt zu einer
10. Lagebeziehungen Gerade und Ebene
echt parallel: Die Gerade und Ebene liegen so, dass sie sich niemals schneiden würden, egal wie weit
man sie verlängert.
auf der Ebene und schneidet sie an jeder Stelle.
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
eine Lösung.
Berechnung: Richtungsvektoren sind Skizze:
Gleichungen ergibt eine eindeutige Lösung.
11. Schnittwinkelberechnung
· ||·||
12. Matrizen
Matrix: Eine rechteckige Anordnung von m · n Zahlen aik in m Zeilen und n Spalten wird Matrix vom
Typ (m; n) bzw. (m; n)-Matrix genannt. Man schreibt:
! ! " … $" … $! ! !% % %" … %$&
Die Zahlen aik heißen Elemente (oder Komponenten) von A. Matrizen vom Typ (1; n) heißen
Zeilenvektoren und )m; 1)-Matrizen Spaltenvektoren.
Stimmt die Anzahl der Zeilen und Spalten überein, so nennt man diese Matrix quadratisch,
also ist m = n, eine quadratische Matrix vom Typ (n; n) oder n-reihige Matrix.
Nullmatrix: Bei einer Nullmatrix sind alle
Elemente 0, d.h. aik = 0 für jedes i und k.
Transponierte Matrix: Schreibt man die
Zeilen einer Matrix A vom Typ (m; n) als
Spalten einer Matrix A T , so nennt man A
T
A ! ! " … $" … $! ! !% % %" … %$&
A( ) *+ … …" " …
Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt; sie
heißt schiefsymmetrisch, wenn die Elemente ihrer Transponierten entgegengesetzte Vorzeichen haben.
13. Rechnen mit Matrizen
Addition von Matrizen gleichen Typs: A = (aik) und B = (bik) seien (m / n)-Matrizen. dann versteht
man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C
A(m / n) + B(m / n) = C(m / n) = cik aik + bik = cik
Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl):
A = (aik) sei eine (m / n)-Matrix und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen r A
von Matrix A eine Matrix C vom selben Typ wie A.
r · A(m / n) = C(m / n) = cik
r · A 0 · 0 · 0 · 0 · ! ! 0 · " … 0 · $0 · " … 0 · $! ! !0 · % 0 · % 0 · %" … 0 · %$&
Multiplikation von Matrizen:
Verknüpfungsbedingungen für A · B:
Anzahl der Spalten von A ist gleich der Anzahl von Zeilen von B
Bilden Inverser Matrizen:
quadratische Matrizen und
die zu
Matrix A versteht man die maximale Anzahl
linear unabhängiger Zeilen- bzw.
Spaltenvektoren. Man schreibt auch:
14. lineare Abbildungen
Eine Abbildung f vom Vektorraum $ in den Vektorraum % heißt genau dann linear, wenn für alle , $ und r gilt:
(1) f( + ) = f() + f(), d.h., f ist additiv,
(2) F(r) = r f(), d.h., f ist homogen.