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Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis

zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 1 / 21

Zusammenfassung Physik I Jerome Faist, FS14

1 Inhaltsverzeichnis

Jerome Faist, FS14 .................................................................. 1

2 Spannung und Dehnung ..................................................... 2

3 Flüssigkeiten ....................................................................... 2

3.1 stehende Flüssigkeiten ............................................. 2

3.2 Fluiddynamik ............................................................. 3

3.3 viskose Strömung ...................................................... 3

4 Schwingungen .................................................................... 4

4.1 ungedämpfte Schwingung ........................................ 4

4.1.1 Grundlagen ........................................................... 4

4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingsysteme ................................................................. 5

5 Gedämpfte Schwingungen ................................................. 5

5.1 Grundlagen ............................................................... 5

5.2 gedämpfte Oszillatoren ............................................ 5

5.2.1 überdämpfter Oszillator ....................................... 5

5.2.2 kritisch bedämpfter Oszillator .............................. 6

5.2.3 schwach bedämpfter Oszillator ............................ 6

5.3 Erzwungene Schwingungen und Resonanz ............... 6

6 Ausbreitung von Wellen ..................................................... 7

6.1 Grundlagen ............................................................... 7

6.1.1 Wellentypen ......................................................... 7

6.1.2 Grössen: ................................................................ 7

6.2 Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen Medien) .................................................................................. 8

6.3 Wellenimpedanz ....................................................... 8

6.4 Energiebetrachtungen .............................................. 8

6.5 Wellenausbreitung an Hindernissen ......................... 9

6.6 Wellenausbreitung: Huygens und Fermat ................ 9

7 Überlagerung & stehende Wellen ...................................... 9

7.1 Überlagerung von Wellen ......................................... 9

7.1.1 Doppler-Effekt ...................................................... 9

7.2 Interferenz ..............................................................10

7.3 Stehende Wellen .....................................................10

7.3.1 allgemein ............................................................10

7.3.2 beidseitig eingespannt .......................................10

7.3.3 einseitig eingespannt ..........................................10

8 Thermodynamik ............................................................... 11

8.1 Formen der Zustandsgleichung .............................. 11

8.2 kinetische Gastheorie ............................................. 11

8.3 Wärme und erster Hauptsatz der Thermodynamik 12

8.3.1 Wärmekapazitäten von Gasen ........................... 12

8.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik: .............. 12

8.3.3 Prozesse ............................................................. 12

8.4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie 13

8.5 Entropie .................................................................. 13

8.6 Wärme- / Kältemaschine, Wärmepumpe ............... 13

APPENDIX ............................................................................ 15

9 Mechanik allgemein ......................................................... 15

9.1 Planare Bewegungen .............................................. 15

9.1.1 Impuls ................................................................. 15

9.1.2 Kraft .................................................................... 15

9.1.3 Trägheitskraft ..................................................... 15

9.2 Drehbewegungen ................................................... 15

9.2.1 Winkel ................................................................ 15

9.2.2 Drehimpuls ≅ Impuls, Energie .......................... 15

9.2.3 Drehmoment ≅ Kraft ......................................... 15

9.2.4 Trägheitsmoment ≅ Masse ................................ 15

9.2.5 weitere Kräfte .................................................... 15

9.3 Objekte ................................................................... 16

9.3.1 Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers ...... 16

9.3.2 Feder .................................................................. 16

10 Energieformen ............................................................ 16

Dieser Zusammenfassung liegt die handschriftliche Version von Aldo Tobler zugrunde. Ergänzungen und Korrekturen durch Stefan Rickli.

Koordinaten SORGFÄLTIG wählen! Feder- und Reibungskraftrichtung entsprechend anpassen

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2 Spannung und Dehnung

Dehnung (relative Längenänderung)

Spannung (dem Druck p entgegengesetzt)

Hook’sches Gesetz:

Bis zur Proportionalitätsgrenze findet man einen linearen Zu-sammenhang zwischen Spannung und Dehnung (𝜎 ∝ 휀) Elastizitätsmodul E (Young’s Modulus):

(materialabhängige Konstante) Querkontraktion (Dickeabnahme):

μ: Poissonsche Zahl (𝜇 ≤ 0.5!) Scherspannung 𝜏:

Verhältnis Scherkraft 𝐹𝑡 tangential zur Fläche A

Scherung:

θ: Scherwinkel, Δx: Verschiebung, ℓ: Höhe Schubmodul / Torsionsmodul G:

Beziehung zwischen den Grössen:

Volumenänderung bei Zug- oder Druckbelastung

und damit:

, das heisst 𝜇 ≤ 0.5, damit Δ𝑉 𝑉⁄ ≥ 0 Kompressionsmodul:

Kompressibilität:

(grosser Wert: gut komprimierbar: hohe relative Volumenän-derung auf einen kleinen Druckunterschied)

3 Flüssigkeiten

3.1 stehende Flüssigkeiten

Dichte:

relative Dichte:

Druck:

andere Einheiten:

Gravitationskraft einer Wassersäule

Druckdifferenz oben/unten:

Pascal’sches Prinzip (Spezialfall Bernoulli):

Die Druckänderung einer in einem Behältnis eingeschlossenen Flüssigkeit teilt sich unverändert auf jeden Punkt innerhalb der Flüssigkeit und den Wänden des Behältnisses auf. Hydrostatisches Paradoxon:

- der Wasserspiegel in allen kommunizierenden Röhren ist gleich hoch.

- der Druck hängt nur von der Wasserhöhe ab, nicht von der Form des Gefässes.

휀 =Δℓ

ℓ, [휀] = 1

𝜎 =𝐹𝑁𝐴, [𝜎] =

N

m2= Pa

𝐸 =𝜎

휀=𝐹𝑁 𝐴⁄

Δℓ ℓ⁄, [𝐸] =

N

m2= Pa

Δ𝑑

𝑑= −𝜇

Δℓ

ℓ

𝜏 =𝐹𝑡𝐴, [𝜏] =

N

m2= Pa

𝛾 =Δ𝑥

ℓ= tan𝜃

G =𝜏

𝛾=𝐹𝑇 𝐴⁄

Δ𝑥 ∕ ℓ=𝐹𝑇 𝐴⁄

tan𝜃, [𝐺] =

N

m2= Pa

𝐸 = 2𝐺(1 + 𝜇)

Δ𝑉 ≅ 2𝑑ℓΔ𝑑 + 𝑑2Δℓ

Δ𝑉

𝑉=Δ𝑉

𝑑2ℓ= 2

Δ𝑑

𝑑+Δℓ

ℓ=Δℓ

ℓ(1 − 2𝜇)

𝐾 = −Δ𝑝

ΔV V⁄, [𝐾] =

N

m2= Pa

𝜅 =1

𝐾= −

Δ𝑉 𝑉⁄

Δ𝑝=3(1 − 2𝜇)

𝐸

𝜚 =𝑚

𝑉, [𝜚] =

kg

m3

𝜚𝑟𝑒𝑙 =𝜚

𝜚𝑤, [𝜚𝑟𝑒𝑙] = 1

𝑝 =𝐹

𝐴, [𝑝] =

N

m2= Pa

1bar = 1000 mbar = 105 Pa1atm = 1.01325 bar

𝐹𝐺 = ϱ𝑔Δ𝑉 = 𝜚𝑔𝐴Δℎ

𝑝𝑢 = 𝑝𝑜 + 𝜚𝑔Δℎ

Für Zylinder: Δ𝑥 = 𝑟𝜃

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Gesetz von Boyle-Mariotte:

bei konstanter Temperatur. Archimedisches Prinzip:

Ein Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit ein-taucht, erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Ge-wichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeits-menge ist. Archimedisches Prinzip:

FA: Auftriebskraft der verdrängten Flüssigkeit, ϱF: Dichte der Flüssigkeit, VK: Körpervolumen Folgerungen: (𝑎) 𝜚𝐾 > 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 sinkt (𝑏) 𝜚𝐾 < 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 schwimmt (𝑐) 𝜚𝐾 = 𝜚𝐹 ⇒ 𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 schwebt Hydraulische Hebebühne:

Barometrische Höhenformel:

3.2 Fluiddynamik

Menge Flüssigkeit, die in der Zeit Δ t den Querschnitt A durch-fliesst:

Volumenstrom:

Kontinuitätsgleichung:

Verknüpft die zeitliche Änderung der zu einer Erhaltungsgrösse gehörigen Dichte ϱ mit der räumlichen Änderung ihrer Strom-dichte. (Wiki) Der Volumenstrom durch verschiedene Querschnitte ist kon-stant:

Annahme: Flüssigkeit ist inkompressibel Durchflussmasse:

Gesetz von Torricelli:

Austrittsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit in Höhe Δh ab Flüssigkeitsspiegel

Bernoulli zur Herleitung:

𝑝1 = 𝑝2, 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ⇒𝑣1 = vernachlässigbar

Achtung! Obiges v nicht direkt für Durchfluss verwenden, sondern: Venturi-Rohr:

𝐼 = 𝜋𝑟22𝑣 =

𝜋𝑟12

2⋅ √2𝑔Δℎ

Venturi-Effekt:

Wenn die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit zu-nimmt, geht der Druck zurück.

𝑣2 > 𝑣1 ⇒ 𝑝2 < 𝑝1

Bernoulli-Gleichung:

die Summe der Grössen an jedem Punkt entlang einer

Stromlinie ist konstant. Dynamische Reibungskräfte:

CR: Reibungskoeffizient Dynamischer Auftrieb:

3.3 viskose Strömung

Viskose Reibungskraft:

η: Zähigkeit / Viskosität, v: Geschwindigkeit der Platte, A: Fläche der Platte, d: Plattenabstand

𝑝𝑉 = const 𝑝

𝜚= const

𝐹𝐴 = 𝑝1𝐴 − 𝑝0𝐴 = 𝜚𝐹𝑔 Δℎ𝐴⏟V𝐾

= 𝑔 (𝜚𝐹Δℎ𝐴)⏟ Masse

⏟

Gewichtskraft

𝑝1 =𝐹1𝐴1= 𝑝2 =

𝐹2𝐴2

⇔ 𝐹2 = 𝐹1𝐴2𝐴1

𝑝 = 𝑝0 ⋅ exp (−(𝜚0𝑔ℎ

𝑝0))

Δ𝑉 = 𝐴𝑣Δ𝑡

𝐼𝑉 = 𝐴𝑣 =ⅆ𝑉

ⅆ𝑡, [𝐼𝑉] =

m3

s

Δ𝑉1 = Δ𝑉2 ⇔ 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 = const.

𝐼𝑚 = 𝜚𝑣𝐴 =ⅆ𝑚

ⅆ𝑡, [𝐼𝑚] =

kg

s

𝑣 = √2𝑔Δℎ

𝑝1Δ𝑉⏟ Duckenergie

+ 𝜚𝑔Δ𝑉ℎ1⏟ pot. Energie

+1

2𝜚𝑣1

2Δ𝑉⏟ kin. Energie

=

𝑝2Δ𝑉 + 𝜚𝑔Δ𝑉ℎ2 +1

2𝜚𝑣2

2Δ𝑉

⇒ 𝑝 + 𝜚𝑔ℎ +1

2𝜚𝑣2 = const. an jeⅆem Punkt

𝐹𝑅 =1

2𝐶𝑅𝜚𝑣

2𝐴

𝐹𝐴 =1

2𝐶𝐴𝜚𝑣

2𝐴

𝐹𝐴 = Δ𝑝𝐴

𝐹𝑅 = 𝜂𝑣𝐴

𝑑, allg.: 𝐹 = η

∂v

∂z𝐴, [𝐹𝑅] = Pa s

i.d.R. atm. Druck



Hagen-Poiseuille-Strömung:

Die Geschwindigkeit der zähen Flüssigkeit ist abhängig vom Rand. (parabolisches Geschwindigkeitsgefälle)

Gesetz von Hagen-Poiseuille:

Reynoldszahl:

Gibt Aussage über Turbulenzverhalten einer Strömung

4 Schwingungen

4.1 ungedämpfte Schwingung

4.1.1 Grundlagen

Federkraft in harmonischer Schwingung: Hook’sches Gesetz:

Bedingungen für eine harmonische Schwingung:

Ein Körper führt eine harmonische Schwingung aus, wenn seine Beschleunigung zu seiner Auslenkung aus der Ruhelage und stets zu dieser hin gerichtet ist. Irgendein System, welches sich in einem stabilen Gleichgewicht befindet, lässt sich durch die Gleichung eines harmonischen Oszillators beschreiben! Bewegungs-DGL eines harmonischen Oszillators:

DGL für Drehbewegungen:

I: Trägheitsmoment, D: Direktionsmoment

D bei einer Torsionsbewegung: 𝐷 =𝜋𝐺𝑟4

2ℓ

G: Schubmodul Schwingungsperiode und Frequenz:

Ort-Zeit-Funktion der harmonischen Schwingung:

A: Amplitude, ϕ: Phasenkonstante, ω: Kreisfrequenz Umrechnungen:

Geschwindigkeit-Zeit-Funktion:

Beschleunigungsgesetz:

𝑣(𝑟) =Δ𝑝

4𝜂𝐿(𝑅2 − 𝑟2)

𝐼𝑉 =𝜋𝛥𝑝𝑅4

8𝜂ℓ

Re =2𝑟𝜚𝑣

𝜂

Re = {≥ ~2000 - 3000 turbulent

< 2000 laminar

𝐹𝑥 = −𝑘𝐹𝑥

�̈� +𝑘𝐹𝑚𝑥 = 0 ⇔ �̈� + 𝜔2𝑥 = 0

𝐼�̈� + 𝐷𝜑 = 0 ⇔ �̈� +𝐷

𝐼𝜑 = 0 ⇔ �̈� + 𝜔2𝜑 = 0

𝑓 =1

𝑇, 𝑇 =

2𝜋

𝜔0

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)

cos(𝜔𝑡 + 𝜑) = sin (𝜔𝑡 + 𝜑 +𝜋

2)

𝜑 = 2𝑘𝜋 ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝜑)

𝜑 = (2𝑘 + 1)𝜋 ⇒ 𝑥(𝑡) = −𝑥(𝑡 + 𝜑)

𝑣𝑥(𝑡) =𝜕𝑥(𝑡)

𝜕𝑡= −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑎𝑥(𝑡) =𝜕2𝑥(𝑡)

𝜕𝑡2= −𝜔2𝑥(𝑡)



Kreisfrequenz für einen Federschwinger:

daraus folgt: Frequenz und Schingungsdauer einer harmonischen Schwin-gung sind unabhängig von der Amplitude. Potenzielle Energie der harmonischen Schwingung:

Kinetische Energie der harmonischen Schwingung:

Mechanische Gesamtenergie:

Die mechanische Gesamtenergie der harmonischen Schwin-gung ist proportional zum Amplitudenquadrat.

4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingsysteme

Mathematisches Pendel (Punktmasse):

Achtung: gilt nur für kleine Winkel! ϕ0: Amplitude, Anfangszustand

Schwingungsdauer und Frequenz sind beim mathema-tischen Pendel unabhängig von der Masse.

Physikalisches Pendel:

Achtung: gilt nur für kleine Winkel! ϕ0: Amplitude, Anfangszustand, I: Trägheitsmoment (bezogen vom Schwerpunkt des aufgehängten Objekts zur Aufhängung), ℓ: Abstand von der Aufhängung zum Massenmittelpunkt Das mathematische Pendel ist ein Spezialfall des physikalischen Pendels, wenn 𝐼 = 𝑚ℓ2 und 𝑑 = ℓ (Punktmasse).

5 Gedämpfte Schwingungen

5.1 Grundlagen

Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Energie im Sys-tem mit der Zeit ab. Reibungskraft:

b: Viskosität des Mediums Bei Reibungserscheinungen die x-Koordinate am besten in FR-Richtung wählen. Bewegungs-DGL:

allgemeiner:

mit 𝛾 =1

𝜏=

𝑏

𝑚 und 𝜔0 = √

𝑘𝐹

𝑚 .

DGL mit konstanten Koeffizienten - Ansatz:

𝑥(𝑡) = 𝐴e𝜆𝑡, 𝜆 ∈ ℂ

𝜆2 + (𝑏

𝑚) 𝜆1 + (

𝑘𝐹

𝑚) 𝜆0⏟=1

= 0 ⇒ 𝜆 = −𝑏

2𝑚±√(

𝑏

2𝑚)2

−𝜔02

Für die Ortsfunktion ergeben sich dadurch 3 Fälle: 𝑏

2𝑚> 𝜔0 ⇒ Überdämpftes System

𝑏

2𝑚= 𝜔0 ⇒ kritisch bedämpftes System

𝑏

2𝑚< 𝜔0 ⇒ schwach bedämpftes System

5.2 gedämpfte Oszillatoren

5.2.1 überdämpfter Oszillator

Voraussetzung: 𝑏

2𝑚> 𝜔0 , der Wurzelterm wird reell und damit

gilt 𝑥(𝑡) = 𝐴e(−

𝑏

2𝑚+√(

𝑏

2𝑚)2−𝜔0

2)𝑡+ 𝐵e

−(𝑏

2𝑚+√(

𝑏

2𝑚)2−𝜔0

2)𝑡 .

Es kommt zu keiner Schwingung. Der Oszillator kehrt mit expo-nentieller Abnahme der Auslenkung einfach in die Ruhelage zu-rück.

𝜔 = √𝑘𝐹𝑚

𝐸pot =1

2𝑘𝐹𝑥

2 =1

2𝑘𝐹𝐴

2 cos2(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝐸kin =1

2𝑚𝑣𝑥

2 =1

2𝑚�̇�2 =

1

2𝑘𝐹𝐴

2 sin2(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝐸mech = 𝐸kin + 𝐸pot

𝐸mech =1

2𝐴2𝑘𝐹 (sin

2(𝜔𝑡 + 𝛿) + cos2(𝜔𝑡 + 𝛿))⏞ =1

=1

2𝑘𝐹𝐴

2 =1

2𝑚𝜔2𝐴2

𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝜔 = √𝑔

ℓ

𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝜔 = √𝑚𝑔ℓ

𝐼

𝐹𝑅 = −𝑏𝑣 = −𝑏�̇�(𝑡)

𝑚�̈� = −𝑘𝐹𝑥𝑥(0)⏟

Feder

−𝑏�̇�⏟Reibung

⇔ �̈� +𝑏

𝑚�̇� +

𝑘𝐹𝑚𝑥(0) = 0

�̈� + 𝛾�̇� + 𝑚𝜔02𝑥 = 0

ℓ

mg s

𝑠 = 𝑙 ⋅ 𝜑



5.2.2 kritisch bedämpfter Oszillator

Voraussetzung 𝑏

2𝑚= 𝜔0 , der Wurzelterm wird gleich null (die

NS doppelt) und damit gilt 𝑥(𝑡) = 𝐴e−𝑏

2𝑚𝑡 + 𝐵𝑡e−

𝑏

2𝑚𝑡⏟

2-fache NS

.

Hier kommt es ebenfalls zu keiner Schwingung, aber die Rück-stellzeit ist minimal. Würde die Dämpfung noch kleiner, käme es zu einer Schwingung.

𝑏𝑘 = 2𝑚𝜔0 ⇒ 𝜏𝑘 =𝑚

𝑏𝑘=

1

2𝜔0

Index k: kritisch

5.2.3 schwach bedämpfter Oszillator

Voraussetzung: 𝑏

2𝑚< 𝜔0

Der Wurzelterm wird imaginär und damit die Bewegungsglei-chung:

mit einer Quasi-Kreisfrequenz 𝜔′:

𝑇′: Quasi-Periode, 𝜔0 = √𝑘𝐹

𝑚

𝜔′ sinkt mit steigender Dämp-fung für eine sehr schwache Dämp-fung gilt:

Abnahme der Amplitude:

Zeitkonstante / Zerfallszeit:

𝜏 =𝑚

𝑏 𝛾 =

𝑏

2𝑚 𝜏 =

1

2𝛾

b: Reibungskoeffizient

Die Energie zerfällt mit der Zerfallskonstante τ, da 𝐸~𝑒−𝑡

𝜏 .

Gütefaktor:

Q hoch: langsamer Abfall der Schwingung

Physikalische Interpretation Q-Faktor:

𝑄 =2𝜋

(|Δ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ|

𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ)𝑇= 2𝜋 ⋅

gesamte gespeicherte Energie

Energieverlust pro Schwingungsperioⅆe⏟ NuS-Erklärung

für |Δ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ|

𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ≪ 1

Der Q-Faktor gibt die Zahl der Schwingungen an, nach denen (in Abwesenheit einer äußeren Kraft) die Amplitude auf 𝑒−𝜋 ≅4% des Anfangswerts abgeklungen ist. Energie im System:

5.3 Erzwungene Schwingungen und Resonanz

Antreibende Kraft:

Ist die Frequenz Ω der treibenden Kraft näherungsweise gleich der Eigenfrequenz des Systems, wird das angetriebene System mit einer relativ grossen Amplitude schwingen. (Ω = 𝜔0) Bandbreite:

inhomogene DGL:

mit 𝛾 =𝑏

𝑚 und 𝜔0 = √

𝑘𝑓

𝑚

homogene Lösung: nach entsprechend langer Zeit kann der homogene Teil der Lösung wegen dessen exponenzieller Ab-nahme vernachlässigt werden. ⇒ Einschwingvorgang partikuläre Lösung: stationäre Lösung nach Einschwingen Ortsfunktion des erzwungenen Oszillators:

Ω: Kreisfrequenz der treibenden Kraft Amplitude:

𝑥(𝑡) = 𝐴0e−𝑡2𝜏 cos(ω′𝑡 + 𝜑)

ω′ = 𝜔0√1 − (𝑏

2𝑚𝜔0)2

⇒ 𝑇′ =2𝜋

ω′

(𝑏

2𝑚𝜔0) ≪ 1 ⇒ 𝜔′ = 𝜔0

𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝑡2𝜏

𝑄 = 𝜔0𝜏

𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 =1

2𝑚𝜔0

2𝐴02, 𝑡 = 0

𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,𝑡>0 = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 ⋅ 𝑒−𝑡𝜏, 𝑡 ≠ 0

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(Ωt)

B = Δω =𝜔0𝑄

𝑚�̈� = −𝑘𝐹𝑥⏟ Feder

−𝑏�̇�⏟Reibung

+𝐹0 cos(Ω𝑡)⏟ äussere Kraft

⇒ �̈� +𝑏

𝑚�̇� +

𝑘𝐹

𝑚𝑥 =

𝐹0

𝑚𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡)

⇒ �̈� + 𝛾�̇� + 𝜔02𝑥 =

𝐹0

𝑚cos(Ω𝑡)

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(Ω𝑡 + 𝜑)

𝐴 =𝐹0

√𝑚2(𝜔02 − Ω2)2 + 𝑏2Ω2

=𝐹0𝑚

1

√(𝜔02 − Ω2)2 + 𝛾2Ω2



Phase:

Grenzfälle:

Die Masse „folgt“ der antreibenden Kraft.

Die Auslenkung geht gegen null während die Phase

gegen -180° geht. Die Masse hat somit keine Zeit, der antreibenden Kraft zu folgen.

Im Vergleich mit Ω ≅ 0 ist die Auslenkung um einen

Faktor Q vergrössert.

6 Ausbreitung von Wellen

6.1 Grundlagen

Definition Welle:

Die Erscheinung der Ausbreitung eines Schwingungszustandes im Raum, bei dem eine Energieübertragung, nicht aber ein Massentransport stattfindet. Kennzeichen einer Welle:

Teilchen führen Schwingungen an Ort aus, während sich in-folge Kopplung mit benachbarten Teilchen der Bewegungszu-stand (die Schwingungsenergie) mit konstanter, endlicher Ge-schwindigkeit vom Erregerzentrum wegbewegt. Harmonische Wellen (Gleichung):

- : fortschreitende Welle, + : rückläufige Welle

Die harmonische Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang.

Gleiche Schwingungszustände wiederholen sich in Ausbreitungsrichtung periodisch in bestimmten Ab-ständen, der Wellenlänge λ.

6.1.1 Wellentypen

a) Transversalwellen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. b) Longitudinalwellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung.

Schallwellen:

Können mittels einer Druck- und Auslenkungswelle beschrie-ben werden.

1. Auslenkungswelle: 𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜉 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

2. Druckwelle: 𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑝 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

6.1.2 Grössen:

A: Amplitude [A] = m Phasengeschwindigkeit:

Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen. Kann für ver-schiedene Frequenzen unterschiedlich sein. Mehr dazu: suche nach Stichwort „dispersives Medium“.

λ: Wellenlänge, f: Frequenz Wellenzahl:

Kreisfrequenz:

Transversale Geschwindigkeit:

Transversale Beschleunigung:

eindimensionale Wellengleichung:

In festen Stoffen können sich aufgrund ihrer Gestaltelastizität sowohl reine Transversalwellen als auch aufgrund ihrer Volu-menelastizität reine Longitudinalwellen ausbreiten.

tan𝜑 = −𝑏Ω

𝑚(𝜔02 − Ω2)

Ω ≪ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅𝐹0

𝑘, 𝜑 ≅ 0

Ω ≫ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅𝐹0

𝑚

1

Ω2, 𝜑 ≅ −𝜋

Ω = 𝜔0 ⇒ 𝐴 =𝐹0

𝑘𝑄, 𝜑 ≅ −

𝜋

2

𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 ∓ 𝜔𝑡 + 𝛿)

𝑣 = 𝜆𝑓, [𝑣] =m

s

𝑘 =2𝜋

𝜆

𝜔 = 𝑘𝑣 = 2𝜋𝑓, [𝜔] =raⅆ

s

𝑣𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑡= −𝜔𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑎𝑓 =𝜕2𝑓

𝜕𝑡2= −𝜔2𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2= 𝑓′′ =

1

𝑣2𝜕2𝑓

𝜕𝑡2



6.2 Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen Medien)

Seilwellen / Saiten:

μ: Längendichte [𝜇] = kg m−1 σ: Spannung [𝜎] = N m−2 ϱ: Dichte [𝜚] = kg m−3 Longitudinalwellen elastischen Medien (z.B. Stäbe):

E: Elastizitätsmodul (Young’s Modulus) [𝐸] = N m−2 Longitudinalwellen in dicken Stäben:

K: Kompressionsmodul [𝐾] = N m−2 G: Schubmodul [𝐺] = N m−2 Transversalwellen in Stäben:

G: Schubmodul [𝐺] = N m−2 Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen:

κT: 𝜅𝑇 =

1

𝑝

κS: Kompressibilität von Gasen: 𝜅𝑆 =1

𝛾𝑝

KT: isothermes Kompressionsmodul KS: Kompressionsmodul für adiabatische Zustandsänderung (Kompressionswärme kann nicht abfliessen) T: absolute Temperatur [𝑇] = 𝐾 Umrechnung: {𝑇} = {𝑇𝐶} + 273.15

R: universelle Gaskonstante 𝑅 = 8.314J

mol K

M: molare Masse γ: Adiabatenkoeffizient (für Luft: 𝛾 = 1.2, Tabelle in 8.3.1)

6.3 Wellenimpedanz

Akustische Impedanz:

K: Kompressionsmodul

6.4 Energiebetrachtungen

Leistung:

μ: Längendichte mittlere Leistung:

μ: Längendichte des Mediums Energie:

Intensität:

P: Leistung, A: Fläche:

normalerweise eine Kugelfläche 𝐴 = 4𝜋𝑟2

für Quellenwelle: 𝐼 =𝑝

4𝜋𝑟2 ??

Intensität bei ebenen Wellen (zeitlicher Mittelwert):

ϱ: Dichte, v: Geschwindigkeit, ω: Kreisfrequenz, A0: Amplitude

Daran denken, dass mit 𝑣

𝑣 erweitert werden kann und dann das

obere 𝑣2 mit der quadrierten Mediumgeschwindigkeit

(z.B. 𝑣2 =𝐾

𝜚 ) ersetzt werden kann.

Energiedichte (Herleitung Skript):

Es zeigt sich (Herleitung in Skript), dass

𝑈 = �̅�𝑘𝑖𝑛 + �̅�𝑝𝑜𝑡 mit �̅�𝑘𝑖𝑛 = �̅�𝑝𝑜𝑡 =1

4𝜚𝜔2𝐴0

2

Intensität einer Welle via Impedanz (d’Alembert-Gleichung):

Schallpegel:

Referenzschallintensität: 𝐼0 = 10

−12 W

m2 (Hörschwelle bei 0dB)

Schmerzgrenze: 𝐼 = 120 ⅆB

𝑣 = √|𝐹𝑠|

𝜇= √

𝜎

𝜚

𝑣 = √𝐸

𝜚

𝑣 = √𝐾 +

43𝐺

𝜚

𝑣 = √𝐺

𝜚

𝑣 = √𝐾𝑆𝜚= √

𝛾𝑅𝑇

𝑀⏟ nur Gase

𝑍 =Spannung

Strom

⏞ ET

=Druckⅆifferenz

Geschwinⅆigkeit

⏞ Akustik

𝑍 = 𝑣𝜚 =𝐾

𝑣, [𝑍] =

kg

m2 s=N s

m3

𝑃 = 𝐹𝑣 = −𝜎(𝑥, 𝑡)𝐴𝜕𝑓

𝜕𝑡

𝑃 = 𝜇𝑣𝜔2𝐴2 cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ??

⟨𝑃⟩ =1

2𝜇𝑣𝜔2𝐴2

⟨𝐸⟩ = ⟨𝑃⟩Δ𝑥, Δ𝑥 = 𝑣Δ𝑡

⇒ ⟨𝐸⟩ =1

2𝜇𝜔2𝐴2Δ𝑥

𝐼 =𝑃

𝐴, [𝐼] =

W

m2

𝐼 ̅ =1

2𝜚𝑣𝜔2𝐴0

2

𝑈 =𝐼̅

𝑣=1

2𝜚𝜔2𝐴0

2

𝐼 =1

2𝑍𝜔2𝐴2

𝐼ⅆB = (10ⅆB) log10 (𝐼

𝐼0) , [𝐼ⅆB] = ⅆB



6.5 Wellenausbreitung an Hindernissen

Faktoren für die Berechnung der Amplitude der reflektierten und der durchgelassenen Welle: Transmittivität:

Ai: Eingangsamplitude, At: Amplitude der durchgelassenen Welle Reflektivität:

Ar: Amplitude der reflektierten Welle ⇒ es wird keine Welle reflektiert, falls beide Impedanzen gleich sind. Faktoren für die Berechnung der Intensität der reflektierten und der durchgelassenen Welle: Transmittivität:

i: Input, t: transmittiert Reflektivität:

i: Input, r: reflektriert Intensität der durchgelassenen Welle:

1 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2): 𝐼𝑡 = 𝐼𝑖 ⋅ 𝑇

2 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2 → Z1): 𝐼𝑡 = 𝐼𝑓 ⋅ 𝑇

2

Spezialfälle:

𝑍1 = 𝑍2 ⇒ 𝑅 = 0, 𝑇 = 1 𝑍2 ≫ 𝑍1 ⇒ 𝑅 → 1, 𝑇 → 0

Es gilt Energieerhaltung, d.h.:

𝐼𝑖 = 𝐼𝑟 + 𝐼𝑡 ⇔ 1 =𝐼𝑟𝐼𝑖+𝐼𝑡𝐼𝑖

⇔ 1 = 𝑅 + 𝑇

6.6 Wellenausbreitung: Huygens und Fermat

Huygens: „In jedem Punkt einer Wellenfront sitzt ein Streu-zentrum, von dem wieder eine Kugelwelle ausgeht“ Brechungsgetz (Snellius):

Fermat: „Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten immer so, dass sie möglichst wenig Zeit braucht.“

7 Überlagerung & stehende Wellen

7.1 Überlagerung von Wellen

Superpositionsprinzip:

Wenn zwei oder mehr Wellen sich überlagern, ergibt sich die resultierende Welle als algebraische Summe der einzelnen Aus-lenkungen. Gleichung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber unterschiedlichem Abstand bzw. Phase: 𝜉1(𝑥, 𝑡) + 𝜉2(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿)

ξ: Auslenkung, δ: Phasendifferenz 𝛿 = 𝜑1 − 𝜑2 Schwebung zweier Wellen mit unterschiedlicher Frequenz:

𝜉 = 𝜉1 + 𝜉2 = 2𝐴0 cos (𝜔1 −𝜔2

2𝑡) sin (

𝜔1 +𝜔22

𝑡)

neue Welle schwingt mit Durchschnittsfrequenz 𝑓̅ Schwebungsfrequenz ist Δ𝑓 = |𝑓1 − 𝑓2| Hüllkurvenfrequenz ist Δ𝑓 2⁄

Zusammenhang zwischen Phasendifferenz und Gangunter-schied:

7.1.1 Doppler-Effekt

Quelle und Empfänger nähern sich: Frequenz steigt Quelle und Empfänger entfernen sich: Frequenz sinkt

fQ: Frequenz der ausgesandten Welle,

vc: Schallgeschwindigkeit 𝑣𝑐 = 343m

s @ 20°C

vE: Empfängergeschwindigkeit, vQ: Quellengeschwindigkeit Konvention: vE und vQ zeigen zueinander

𝑡 =𝐴𝑡𝐴𝑖=

2𝑍1𝑍1 + 𝑍2

𝑟 =𝐴𝑟𝐴𝑖=𝑍1 − 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

𝑇 =𝐼𝑡𝐼𝑖=

4𝑍1𝑍2(𝑍1 + 𝑍2)

2

𝑅 =𝐼𝑟𝐼𝑖= (

𝑍1 − 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

)2

𝜆1 =𝑐1𝑓, 𝜆2 =

𝑐2𝑓

sin 𝛼

sin 𝛽=𝑐1𝑐2=𝑛2𝑛1=𝜆1𝜆2

𝜉1+2(𝑥, 𝑡) = 2𝐴 cos (𝛿

2)

⏟ Ampl.moⅆ

sin (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +𝛿

2)

𝜉1+2(𝑥, 𝑡) = 2𝐴0 cos (2𝜋Δ𝑓

2𝑡) sin(2𝜋𝑓̅𝑡)

𝛿

2𝜋=Δ𝑥

𝜆

𝑓𝐸 = 𝑓𝑄 ⋅𝑣𝑐 ± 𝑣𝐸𝑣𝑐 ∓ 𝑣𝑄

𝑍2 < 𝑍1: Reflexionskoeffizient positiv

𝑍2 > 𝑍1: Reflexionskoeffizient positiv

Z1 Z2

Z1 Z2



7.2 Interferenz

Phasendifferenz (Länge):

Interferenzmaxima bei Δℓ = 𝑛𝜆, 𝑛 ∈ ℤ

Interferenzminima bei Δℓ = (𝑛 +1

2) 𝜆, 𝑛 ∈ ℤ

(siehe auch Rezepte 12.9) Phasendifferenz (Zeit):

Konstruktive Interferenz bei Δ𝜑 = 𝑛𝜋, 𝑛 = 0,2,4, … Destruktive Interferenz bei Δ𝜑 = 𝑛𝜋, 𝑛 = 1,3,5, …

7.3 Stehende Wellen

7.3.1 allgemein

Funktion einer stehenden Welle:

Resultierende Amplitude zweier gleicher Wellen, z.B. stehende Wellen:

y0: Amplitude einzelner Wellen, δ: Phasenunterschied

7.3.2 beidseitig eingespannt

1. Harmonische 2. Harmonische 3. Harmonische Bedingung für stehende Wellen:

Resonanzfrequenzen:

n: n-te Harmonische, v: Wellengeschwindigkeit Umformungen:

𝑘𝑛 =𝜔𝑛𝑣=2𝜋

𝜆𝑛⇔ 𝜔𝑛 =

2𝜋𝑣

𝜆𝑛= 𝑘𝑛𝑣

𝜆𝑛 =2ℓ

𝑛=2𝜋

𝑘𝑛

7.3.3 einseitig eingespannt

1. Harmonische 3. Harmonische 5. Harmonische

Es gibt in solchen Systemen keine geradzahligen Har-monischen.

Bedingung für stehende Wellen:

Resonanzfrequenzen:

n: n-te Harmonische, v: Wellengeschwindigkeit Notwendige Bedingungen für stehende Wellen auf einer Saite:

1. Jeder Punkt auf der Saite bleibt entweder in Ruhe o-der schwingt in einer einfachen harmonischen Bewe-gung. (Die in Ruhe befindlichen Punkte sind die Kno-ten)

2. Die Bewegungungen von zwei beliebigen Punkten, welche keine Knoten sind, auf der Saite sind entweder in Phase oder um 180° phasenverschoben.

allgemeine Wellenfunktion für schwingende Saiten:

𝑓(𝑥, 𝑡) =∑𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝛿𝑛)

𝑛

Δφ = 2πΔℓ

λ

Δ𝜑 = 2𝜋Δ𝑡

𝑇

𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡)

𝐴 = 2𝑦0 cos (𝛿

2)

ℓ = 𝑛𝜆𝑛2, 𝑛 ∈ ℤ

𝑓𝑛 = 𝑛𝑣

2ℓ= 𝑛𝑓1, 𝑛 ∈ ℤ

ℓ = 𝑛𝜆𝑛4, 𝑛 = 1,3,5, …

𝑓𝑛 = 𝑛𝑣

4ℓ= 𝑛𝑓1, 𝑛 = 1,3,5, …



8 Thermodynamik

Zustandsgrösse Austauschgrösse U innere Energie Q Wärme V Volumen W Arbeit n Anzahl Mol eines Gases p Druck T Temperatur S Entropie

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik:

Befinden sich zwei Körper in thermischem Gleichgewicht mit einem dritten, so stehen sie auch untereinander in thermi-schem Gleichgewicht. Temperaturskala der absoluten Tempertatur:

p: Druck im zu messenden System p3: Druck des Thermometers (Tripelpunkt H2O) Definition des idealen Gases:

Das ideale Gas ist ein Gas, dessen Verhalten vollständig und uneingeschränkt durch die Gastheorie beschrieben wird. Umrechnung Grad Celsius → Kelvin:

8.1 Formen der Zustandsgleichung

allgemeine Zustandsgleichung für das ideale Gas:

p: Druck V: Volumen n: Anzahl mol des Gases

R: universelle Gaskonstante 𝑅 = 8.314J

mol K= 𝑛𝐴 ⋅ 𝑘𝐵

T: Temperatur N: Anzahl Moleküle nA: Avogadro-Zahl 𝑛𝐴 = 6.022 ⋅ 10

23 ⁄ mol

kB: Boltzmann-Konstante 𝑘𝐵 = 1.381 ⋅ 10−23 J

K

(wandelt Temperaturskala in Energie um) Zustandsgleichung bei bestimmten Konstanten:

Konstante Menge (n = const):

Konstante Menge und Temperatur (n = const., T = const.): Gesetz von Boyle-Mariotte

Reversibler adiabatischer Prozess:

Korrekte Anwendung von Zustandsgleichungen bei Zustands-änderungen:

richtig: Δ𝑛 = 𝑛2 − 𝑛1 =𝑝2𝑉2

𝑅𝑇−𝑝1𝑉1

𝑅𝑇 falsch:

8.2 kinetische Gastheorie

Freiheitsgrad f eines Moleküls / Atoms:

# Atome Bsp. für Gase dieses Typs Freiheitsgrad

1 Argon Helium

Translation: 3

f=3

2 Stickstoff N2 Sauerstoff O2 Kohlenmonoxid CO

Translation: 3 Rotation: 2

f=5

>3 Ammoniak NH3 Kohlendioxid CO2

Wasser H2O

Translation: 3 Rotation: 3

f=6

Adiabatische Konstante:

f: Freiheitsgrad

# Atome Freiheits-

grad cV cp γ

1 3 3

2𝑅

5

2𝑅

5

3

2 5 5

2𝑅

7

2𝑅

7

5

>2 6 3𝑅 4𝑅 4

3

Molekulare Deutung der Temperatur:

Die absolute Temperatur T ist ein Mass für die mittlere kineti-sche Energie der Teilchen im idealen Gas. Mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens:

Innere Energie von n Mol eines Gases:

mit 𝑁 = 𝑛 ⋅ 𝑛𝐴 Die Innere Energie hängt nur von der Temperatur und nicht von Druck oder Volumen ab! quadratisch gemittelte Geschwindigkeit vRMS:

M: molare Masse, 𝑀 = 𝑚 ⋅ 𝑛𝐴 m: Masse eines Teilchens

Δ𝑛 =Δ𝑝V

𝑅𝑇

𝑇 =𝑝

𝑝3⋅ 273.16 K

𝑇𝐾 =𝑇𝐶°C+ 273.15 K

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 = 𝑁𝑘𝐵𝑇, 𝑁 = 𝑛 ⋅ 𝑛𝐴

𝑝1𝑉1𝑇1

=𝑝2𝑉2𝑇2

= 𝑛𝑅 = const.

𝑝1𝑉1 = 𝑝2𝑉2 = 𝑛𝑅𝑇 = const.

𝑝𝑉𝛾 = const

𝛾 =𝑐𝑝𝑐𝑉= 1 +

2

𝑓 ⇔ 𝑓 =

2

𝛾 − 1

⟨𝐸𝑘𝑖𝑛⟩ =1

2𝑚⟨𝑣2⟩ =

𝑓

2𝑘𝐵𝑇

𝑈 = 𝑁 ⋅ ⟨𝐸𝑘𝑖𝑛⟩ =𝑓

2𝑁𝑘𝐵𝑇 =

𝑓

2𝑛𝑅𝑇

𝑣𝑅𝑀𝑆 = √⟨𝑣2⟩ = √

𝑓𝑘𝐵𝑇

𝑚= √

𝑓𝑅𝑇

𝑀



Gleichverteilungsgesetz:

Wenn sich eine Substanz im Gleichgewicht befindet, dann ent-

fällt auf jeden Freiheitsgrad im Mittel eine Energie von 1

2𝑘𝐵𝑇

pro Teilchen bzw 1

2𝑅𝑇 pro Mol

Folgerung auf Geschwindigkeit eines Teilchens:

⟨𝑣𝑥2⟩ = ⟨𝑣𝑦

2⟩ = ⟨𝑣𝑧2⟩

8.3 Wärme und erster Hauptsatz der Thermodynamik

für Temperaturänderung zugeführte Wärmemenge:

Q: zugeführte Wärme,

c: spezifische Wärmekapazität [𝑐] =J

kg K

latente Wärme (Schmelz- / Verdampfvorgang):

m: geschmolzene / verdampfte Masse, λS: spezifische Schmelzwärme

λD: spezifische Verdampfungswärme [𝜆(𝑆,𝐷)] =J

kg

8.3.1 Wärmekapazitäten von Gasen

aufgenommene Wärme:

V = const.: , p = const.: Wärmekapazitäten:

cV: Wärmekapazität bei konstantem Volumen [𝑐𝑃,𝑉] =

J

mol K

cP: Wärmekapazität bei konstantem Druck

8.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik:

Die innere Energie eines Systems ändert sich mit dem Masse wie Wärme zu- bzw. abgeführt wird oder / und wie Arbeit am bzw. vom System verrichtet wird. ΔU: Veränderung der inneren Energie des Systems 𝑊 > 0 ⇒ Umgebung leistet Arbeit, pumpt Energie ins System 𝑊 < 0 ⇒ System / Gas gibt Arbeit ab 𝑄 > 0 ⇒ zugeführte Wärme 𝑄 < 0 ⇒ abgeführte Wärme

Dem Gas zugeführte Volumenarbeit:

V1: Anfangsvolumen, V2: Endvolumen W und Q sind wegabhängig. ΔU ist aber wegunabhängig!

8.3.3 Prozesse

zuge

füh

rte

W

ärm

e

𝑄=𝑛𝑐 𝑝Δ𝑇

𝑄=𝑛𝑐 𝑣Δ𝑇

𝑄=−𝑊

𝑄=0

zuge

füh

rte

V

olu

me

nar

be

it

𝑊=−𝑝(𝑉2−𝑉 1)

𝑊=0

𝑊=−𝑛𝑅𝑇ln(𝑉

2 𝑉 1)

𝑊=𝑛𝑐 𝑉Δ𝑇

𝑊=𝑝2𝑉 2−𝑝1𝑉 1

𝛾−1

𝑝1

𝑝2=(𝑇

1 𝑇 2)

𝛾

𝛾−1

∫1 𝑇𝑑𝑇

𝑇 2 𝑇 1=

−𝑅

𝐶𝑉 ∫

1 𝑉𝑑𝑉

𝑉2

𝑉1

inn

ere

En

erg

ie

Δ𝑈=𝑊+𝑄

𝛥𝑈=𝑄

𝛥𝑈=0

𝛥𝑈=𝑊

𝑝1

𝑝2=(𝑉

2 𝑉 1)𝛾

Vo

lum

en-

bei

Tem

pe

ratu

r-än

der

un

g:

Eige

nh

eit

p =

co

nst

.

V =

co

nst

.

T =

con

st.

kein

Wär

mea

us-

tau

sch

mit

Um

-

geb

un

g

𝑇 1 𝑇 2=(𝑉

2 𝑉 1)𝛾−1

𝐶𝑝𝑑𝑇 𝑇=−𝑅𝑑𝑉 𝑉

Pro

zess

typ

iso

bar

iso

cho

r

iso

the

rm

adia

bat

isch

Ad

iab

ate

n-

gle

ich

un

gen

Ad

iab

aten

-DG

L:

Anmerkung zu isothermem Prozess:

Es gilt 𝑊 = −∫𝑛𝑅𝑇

𝑉𝑑𝑉

𝑉2𝑉1

= −𝑛𝑅𝑇 ln (𝑉2

𝑉1)

isotherme Kompression: W > 0, Ausdehnung: W < 0 Volumenarbeit ist die Fläche unter einem Kurvenstück im pV-Diagramm. ⇒ isochore Zustandsänderung hat Arbeit = 0 Kreisprozess (Stirling):

Gesamt 𝛥𝑈 = 0 Uhrzeigersinn: System leistet Arbeit Gegenuhrzeigersinn: Umgebung leistet Arbeit

1. Isotherme Ausdehnung auf hoher Temperatur:

Gas verrichtet Arbeit Wab ⇒ Wärmezufluss Qzu

2. Isochore Abkühlung:

keine Arbeit, nur Wärmeabfluss 𝑄𝑇1→𝑇2

3. Isotherme Kompression auf tiefer Temperatur:

Gas nimmt Arbeit Wzu auf ⇒ Wärmeabfluss Qab

4. Isochore Erwärmung:

keine Arbeit, nur Wärmezufluss 𝑄𝑇2→𝑇1

𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇, [𝑄] = J

𝑄 = 𝑚𝜆𝑆 (schmelzen)

𝑄 = 𝑚𝜆𝐷 (verdampfen)

Q = ncvΔ𝑇 Q = nc𝑝Δ𝑇

𝑐𝑣 =𝑓

2⋅ 𝑅 𝑐𝑝 = 𝑐𝑣 + 𝑅

Δ𝑈 = 𝑊 +𝑄

𝑊 = −∫ 𝑝𝑑𝑉𝑉2

𝑉1

𝑇1 > 𝑇2



8.4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie Thomson:

Kein System kann Energie in Form von Wärme einem einzelnen Reservoir ent-nehmen und sie vollständig in Arbeit umsetzen, ohne dass gleichzeitig zusätzli-che Veränderungen im System oder in dessen Umgebung eintreten. Clausius:

Ein Prozess, bei dem letztlich nichts anderes geschieht als der Übergang von Wärmeenergie von einem kälteren auf einen wärmeren Gegenstand, ist un-möglich. Wärmekraftmaschine:

Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine zu konstruie-ren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme aus einem einzigen Reser-voir zu entnehmen und eine äquivalente Menge an Arbeit zu verrichten.

8.5 Entropie

Definition der Entropie-Änderung:

z.B. bei Wärmeaustausch: 𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇

a) Bei einem reversiblen Prozess ist die Entropieänderung des Universums gleich null.

b) Bei einem irreversiblen Prozess nimmt die Entropie des Uni-versums zu.

Es gibt keinen Prozess, durch den die Entropie des Univer-sums abnimmt!

Entropieänderung bei idealen Gasen:

Entropieänderung bei verschiedenen Prozessen:

Prozess Entropieänderung

isotherm Δ𝑆 = 𝑛𝑅 ln (𝑉2

𝑉1)

isobar Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑝 ln (𝑇2

𝑇1)

isochor Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑣 ln (𝑇2

𝑇1)

adiabatisch Δ𝑆 = 0 i.d.R. *

Wärmeleitung Δ𝑆 =|𝑄|

𝑇𝑘−|𝑄|

𝑇𝑤

unelastischer Stoss

Δ𝑆 =𝑚𝑔ℎ

𝑇

*: es gibt sowohl isentrope als auch nicht isentrope adiabati-sche Zustandsänderungen

Statistische Definition der Entropie:

Ω: Anzahl von Mikrozuständen für einen Makrozustand n Moleküle links (n1) und rechts (n2) verteilt:

Ω(𝑛1, 𝑛2) =(𝑛1+𝑛2)!

𝑛1!𝑛2!

Entropie und Verfügbarkeit der Energie:

Durch einen irreversiblen Prozess wird die Energiemenge TΔS entwertet, ist also nicht mehr als Arbeit nutzbar. Dabei ist T die Absolute Temperatur des kältesten vorhandenen Reservoirs:

Gültigkeit:

immer nur für reversible Prozesse

𝛥𝑈 = 𝑄 +𝑊 𝑄 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆 Δ𝑈 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆 − 𝑝 ⋅ Δ𝑉 𝑊 = −𝑝 ⋅ Δ𝑉

8.6 Wärme- / Kältemaschine, Wärmepumpe

Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine:

Wnutz: gewonnene Arbeit, * Qzu: Wärme von warmem

Reservoir, (chem. Reakt.) Qab: Wärme von kaltem

Reservoir

*siehe unten, auf Vorzeichen achten!

Thermodynamische Temperatur:

Carnot-Maschine:

Carnot-Prinzip:

Zwischen zwei gegebenen Wärmereservoiren hat die reversibel arbeitende Wärmekraftmaschine den höchstmöglichen Wir-kungsgrad Die Schritte des Carnot-Kreisprozesses:

1. Reversible isotherme Aufnahme von Wärme aus ei-nem wärmeren Reservoir

2. Reversible adiabatische Expansion, bei der die tiefere Temperatur erreicht wird

3. Reversible isotherme Abgabe von Wärme an ein kälte-res Reservoir

4. Reversible adiabatische Kompression, wieder zurück in den Anfangszustand

Carnot-Wirkungsgrad:

Δ𝑆 =𝑄𝑟𝑒𝑣𝑇

Δ𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 = 𝑛𝑅 ln (𝑉2𝑉1) + 𝑛𝑐𝑉 ln (

𝑇2𝑇1)

𝑆 = 𝑘𝐵 ln(Ω)

Δ𝑆 = 𝑘𝐵 ln (Ω𝐵Ω𝐴)

𝑊𝑒𝑛𝑡 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆

𝜂𝑊𝐴𝑀 =|𝑊𝑛𝑢𝑡𝑧|

𝑄𝑧𝑢= 1 −

|𝑄𝑎𝑏|

|𝑄𝑧𝑢|

𝑇𝑘𝑇𝑤=|𝑄𝑘|

𝑄𝑤

Wnutz

𝜂max = 1 −𝑇𝑘𝑇𝑤

=∑𝑊

∑𝑄⏟>0

⏞

vom System gewonnene Arbeit

𝑇𝑤

𝑇𝑘

Q

Wärmeleitung:

WAM

zu

ab

nutz



Wirkungsgrad Kältemaschine (KM) und Wärmepumpe (WP):

𝜂𝑊𝑃 =𝑄𝑎𝑏𝑊

𝜂𝐾𝑀 =𝑄𝑧𝑢𝑊

𝑄𝑎𝑏

𝑄𝑧𝑢

W KM/WP



APPENDIX

9 Mechanik allgemein

9.1 Planare Bewegungen

9.1.1 Impuls

�⃗� = 𝑚�⃗� [𝑝] = N s

9.1.2 Kraft

�⃗� = ma⃗⃗ =ⅆ�⃗�

ⅆ𝑡= �̇⃗� [𝐹] = N =

kg m

s2

9.1.3 Trägheitskraft

D’Alembertsche Trägheitskraft: 𝐹 = 𝑚𝑎 ⇔ 𝐹 −𝑚𝑎 = 0

⇒ 𝐹 − 𝐹𝑇 = 0

9.2 Drehbewegungen

9.2.1 Winkel

ϕ: Drehwinkel, ω: Winkelgeschwindigkeit, α: Winkelbeschleunigung

9.2.2 Drehimpuls ≅ Impuls, Energie

Angular Momentum; Drall, Impulsmoment, Schwung der Drehung Drehimpuls eines Massepunktes:

𝑟: Ortsvektor des Massepunktes p: Impuls des Massepunktes �⃗� = 𝑚�⃗� L ist in trivialen Fällen parallel zu Drehachse. Rotation eines starren Körpers um eine Symmetrieachse:

I: Trägheitsmoment des st. Körpers ω: Kreisfrequenz der Drehung

Massepunktwechsel:

�⃗�: Vektor vom alten zum neuen Massepunkt �⃗�: Impuls des neuen Massepunkts

9.2.3 Drehmoment ≅ Kraft

Torque; Änderungsrate des Drehimpulses

L: Drehimpuls Bei Drehung um eine feste Achse:

�̇⃗⃗⃗� = �⃗� = Winkelbeschleunigung

Bei einer Torsion:

D: Direktionsmoment (siehe 9.3.1) / Federkonstante G: Schubmodul (siehe S.2)

9.2.4 Trägheitsmoment ≅ Masse

Massenträgheitsmoment, Inertialmoment, Moment of inertia; Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse.

vergl. �⃗� = 𝑚�⃗� Allgemeine Definition:

𝑟⊥: der zur Rotationsachse �⃗⃗⃗� (Winkelgeschwindigkeit) senk-rechte Anteil von 𝑟 (also quasi Abstand zur Achse). 𝜌(𝑟): ortsabhängige Dichte. Bei konstanter Dichte kann diese auch vor das Integral gezogen werden. Einige Trägheitsmomente:

Dünner Stab, Drehachse in der Mitte: 𝐼 =1

12𝑚ℓ2

Dünner Stab, Drehachse am Ende: 𝐼 =1

3𝑚ℓ2

Massiver Zylinder, Drehachse längs: 𝐼 =1

2𝑚𝑟2

Vollkugel: 𝐼 ≅2

5𝑚𝑟2

Hohlkugel mit Wandstärke 𝑑 ≪ 𝑟 : 𝐼 =2

3𝑚𝑟2

Bezugsachsenwechsel: Satz von Steiner:

wobei d den Abstand der neuen zur alten parallelen, Bezugs-achse bezeichnet.

9.2.5 weitere Kräfte

Zentripetalkraft (zeigt nach innen):

Gravitationskraft

G: Gravitationskonstante 6.673 ⋅ 10−11m3

kg s2

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡= �̇�, 𝜔 =

𝑑𝜑

𝑑𝑡= �̇�

�⃗⃗� = 𝑟 × �⃗� [𝐿] = N m s

�⃗⃗� = 𝐼�⃗⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗�

�⃗⃗�′ = �⃗⃗� + �⃗� × �⃗�

�⃗⃗⃗� = r⃗ × �⃗� =ⅆ�⃗⃗�

ⅆ𝑡= �̇⃗⃗� [𝑀] = N m

�⃗⃗⃗� = �̇⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗⃗� = 𝐼�⃗�

𝑀 = −𝐷𝜑

�⃗⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗⃗� [𝐼] = kg m2

𝐼 = ∫𝑟⊥2𝜌(𝑟) 𝑑𝑉

𝑉

𝐼2 = 𝐼1 +𝑚𝑑2

𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 =𝑚𝑣2

𝑟

𝐹𝐺 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟2



9.3 Objekte

9.3.1 Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers

allgemein evtl. mit Hohlraum:

G: Schubmodul, θ: Drehwinkel, L: Länge, R/ρ: Radius

9.3.2 Feder

Vorzeichen je nach Koordinaten!

Konstanten:

Konvention: Kraft zeigt immer zu Feder hin. Ersatzfederkonstante bei mehreren Federn: Parallelschaltung:

Serienschaltung:

Potenzielle Energie einer Feder

10 Energieformen

potenzielle Energie

kinetische Energie

11 Diverses

Kleinwinkelapproximation:

für kleine Winkel x.

12 Rezepte

Tipps PVK 1. Einheiten aufschreiben (SI) 2. gegebene Grösse am Anfang auflisten,

richtig indexieren 3. Zahlen erst am Schluss einsetzen 4. Achsen bei Diagrammen beschriften (mit Einheit!)

12.1 Moment auf Hohlzylinder (Torsion)

𝛾(𝑟) = 𝑟𝜃

ℓ

r: Radien des Zylinders, θ: Scherwinkel, ℓ: Länge

12.2 Hook’sches Gesetz im Raum

Permutation x,y,z A: Fläche, F: Elastizitätsmodul

12.3 Kraft auf Wand wegen Druck

1. Fläche auf infinitessimal kleine Stücke aufteilen:

𝑑𝐴 = 𝑓(𝑧) 𝑑𝑧 2. Gleichung für den Druck in Bezug auf die Höhe aufstel-

len p(z). 3. 𝑑𝐹 = 𝑝(𝑧) 𝑑𝐴

𝐹 = ∫ 𝑝(𝑧) 𝑑𝐴𝐴

= ∫ 𝑝(𝑧)𝑓(𝑧) 𝑑𝑧𝑛

0

12.4 Flüssigkeiten

1. Bernoulli oder Poiseuille-Gleichung aufstellen. 2. Kontinutitätsgleichungen aufstellen.

12.5 Viskosität

Röhre mit Länge L und Fläche 𝐴 = 𝜋𝑟2

1. Druckabnahme:

Δ𝑝 =𝜚𝜂𝐿

𝜋𝑟4⋅ 𝐼𝑉

2. Kontinuitätsgleichung: 𝐼𝑉 = 𝐴𝑣

3. Druck ist Kraft pro Fläche:

𝐹𝑉𝐴= Δ𝑝 =

𝜚𝜂𝐿

𝜋𝑟4⋅ 𝐴𝑣

⇒ 𝐹𝑉 =𝜚𝜂𝐿

𝜋𝑟4⋅ 𝐴2𝑣 =

𝜚𝜂𝐿

𝜋𝑟4⋅ 𝜋2𝑟4𝑣

𝑀 =𝜋

2

𝜃𝐺𝑅4

𝐿

𝑀 = 2𝜋𝐺𝜃

𝐿 ∫ 𝜌3 𝑑𝜌

𝑅

𝑟

𝐹𝐹 = −(𝐸𝐴

ℓ) ⋅ Δℓ = −𝑘𝑥

𝑘 =𝐸𝐴

ℓ=𝐹

ℓ, 𝑥 = Δℓ

𝑘tot =∑𝑘𝑖𝑖

1

𝑘tot=∑

1

𝑘𝑖𝑖

𝐸𝑝𝑜𝑡 =1

2𝑘𝑥2

𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔ℎ

𝐸𝑘𝑖𝑛 =1

2𝑚𝑣2

cos 𝑥 ≈ 1

sin 𝑥 ≈ tan 𝑥⏟

gut für 𝑑𝑑𝑥

≈ 𝑥

𝑀 = ∫ ∫ 𝐺𝛾(𝑟)𝑟2 𝑑𝑟2𝜋

0

𝑑𝜑𝑟2

𝑟1

Δ𝐿𝑥𝐿𝑥

=𝐹𝑥𝐴𝑥𝐸

− 𝜇 (𝐹𝑦𝐴𝑦𝐸

+𝐹𝑧𝐴𝑧𝐸

)

𝐹𝑉 = 𝜋𝜚𝜂𝐿𝑣

FF

FN

FF = -FN



12.6 Schwingungen

1. Bewegungsgleichungen aufstellen und in die Form bringen:

�̈� +𝑏

𝑚�̇� + 𝜔2𝑥 = 𝑓(𝑥)

2. homogene und partikuläre Lösung finden. 3. b und Ω direkt von der Gleichung ablesen. 4. für eine U-Röhre:

𝐹𝑤 = (𝑔) (2𝑧(𝑡)) (𝐴) (𝜚)

g: Gravitationsbeschleunigung, A: Fläche, ϱ: Dichte z(t): Änderung der Höhe nach Zeit

5. für ein Pendel:

Geschwindigkeit: 𝑣 = ℓ�̇�

Beschleunigung: 𝑎 = ℓ�̈� 6. Beim Amplitudenabfall muss man auf das Quadrat

aufpassen:

mit Quadrat: 𝐴(𝑡)2 = 𝐴02𝑒−

𝑡

𝜏 ohne Quadrat: 𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒

−𝛾𝑡

12.7 Wellen

1. Gleichungsformen:

𝑦 = 𝐴 sin(𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡)) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

12.8 Umrechnung Auslenkungswelle zu Druckwelle

1. Volumenänderung 𝜎

𝐸= −

Δℓ

ℓ= −

𝐴Δℓ

𝐴Δℓ= −

Δ𝑉

𝑉

2. Koordinatenableitung 휀(𝑥 + Δ𝑥) − 휀(𝑥)

Δ𝑥=𝜎

𝐸

⇒𝑑휀

𝑑𝑥=𝜎

𝐸

3. sei 휀(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ⇒ 𝜎(𝑥, 𝑡) = 𝐸𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

4. Druckänderung im Gas:

Δ𝑝 = −𝑘Δ𝑉

𝑉 mit 𝑘 = 𝛾𝑝

⇒ Δ𝑝 = −𝛾𝑝𝑑휀

𝑑𝑥= −𝛾𝑝𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

5. Anfangsdruck / Amplitude: Δ𝑝0 = 𝛾𝑝𝐴𝑘

6. 𝑣 = √𝛾𝑝

𝜚 ⇒ 𝛾𝑝 = 𝜚𝑣2

⇒ Δ𝑝0 = 𝜚𝑣2𝐴

𝜔

𝑉= 𝜚𝑣𝐴𝜔

7. Auslenkungswellenamplitude: 𝐴 =Δ𝑃0

𝜚𝑣𝜔

12.9 Interferenz

Gangunterschied:

Konstruktive Interferenz (Amax):

Destruktive Interferenz (Amin):

12.10 Geschwindigkeit im Orbit

1. Zentripetalkraft gleich stark wie Gravitationskraft

𝑚𝑣2

𝑟=𝑀𝑚𝑔

𝑟2 ⇒ 𝑣 = √

𝑀𝑔

𝑟

2. Geschwindigkeitsänderung für Zu- oder Abnahme der Orbithöhe r: ⇒ Energieerhaltungssatz:

𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 = const 1

2𝑚𝑣2 −

𝑀𝑚𝑔

𝑟= const

⇒ Potenzielle Energie hat negatives Vorzeichen.

12.11 Thermodynamik

1. Arbeit bei einem adiabatischen Prozess:

𝑊 = ∫ 𝑝𝑑𝑉𝑉2𝑉1

= 𝑐 ∫ 𝑣−𝛾 𝑑𝑉𝑉2𝑉1

(𝑝1𝑉1𝛾= 𝑝2𝑉2

𝛾= const)

=𝑐𝑉21−𝛾

−𝑐𝑉11−𝛾

1−𝛾=𝑝2𝑉2−𝑃1𝑉1

1−𝛾=𝑛𝑅(𝑇1−𝑇2)

1−𝛾= 𝑛𝑐𝑉(𝑇1 − 𝑇2)

13 to do

Δ𝑟 = √ℓ2 + 𝑑2 − ℓ

Δ𝑟 = 𝑘𝜆, 𝑘 ∈ ℤ

Δ𝑟 = (𝑘 +1

2) 𝜆, 𝑘 ∈ ℤ

Formelsammlung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis


Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten1

𝑎𝑛𝑦(𝑛)(𝑥) + 𝑎𝑛−1𝑦

(𝑛−1)(𝑥) + ⋯+ 𝑎0𝑦(0)(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑎 ∈ ℝ

Homogen, falls 𝑓(𝑥) = 0

Inhomogen, falls 𝑓(𝑥) ≠ 0

Allgemeine Lösung: Addition aus homogener und partikulärer Lösung:

𝑦(𝑥) = 𝑦𝐻(𝑥) + 𝑦𝑃(𝑥) 1) Lösung der homogenen DGL:

a. Charakteristisches Polynom aufstellen 𝑎𝑛𝜆

𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 𝜆

0⏟=1

= 0

b. Eigenwerte 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 bestimmen: Nullstellen des Polynoms finden c. Aufstellen der Funktionsgleichung 𝑦𝐻(𝑥)

1. 𝜆 1-fache reelle oder komplexe NS (bei mehreren reellen EW: Werte voneinander verschieden)

𝑦𝐻(𝑥) = 𝐴𝑒𝜆𝑥

2. 𝜆 m-fache reelle/komplexe NS, z.B. (𝜆 − 1)𝑚 = 0

𝑦𝐻(𝑥) = (𝐴1 + 𝐴2𝑥 + ⋯+ 𝐴𝑚𝑥𝑚−1)𝑒𝜆𝑥

3. 𝜆 1-fache komplex konjugierte NS, d.h. 𝜆 = 𝑎 ± 𝑏ⅈ

𝑦𝐻(𝑥) = 𝐴𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) + 𝐵𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥)

4. 𝜆 m-fache komplex konjugierte NS

𝑦𝐻(𝑥) = (𝐴1 + 𝐴2𝑥 + ⋯+ 𝐴𝑚𝑥𝑚−1)𝑒𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) + (𝐵1 + 𝐵2𝑥 +⋯+ 𝐵𝑚𝑥

𝑚−1)𝑒𝑎𝑥 sin(𝑏𝑥)

5. Superposition: Kombination aus 1 – 5

2) Lösung der inhomogenen DGL:

a. Ansatz wählen in Abhängigkeit von f(x)

1. Polynom n-ten Grads: 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑦𝑃(𝑥) = (𝐴𝑛𝑥𝑛 + 𝐴𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝐴0)𝑥𝑡

𝑡 ist Anzahl von 𝜆, welche im charakteristischen Polynom = 0 sind (also 𝜆𝑡(𝜆 − ⋯))

2. Cosinus / Sinus:

𝑦𝑃(𝑥) = 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑥) + 𝐵 ⋅ sin(𝜔𝑥) 𝜔 ist die gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥)

3. Exponentialfunktion:

𝑦𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥𝑡𝑒𝑎𝑥

a ist gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥).

𝑡 ist Anzahl von 𝜆 = 𝑎 im charakteristischen Polynom.

4. Superposition: Kombination aus 1-3 (selten)

Exponent x entspricht μ im gelben Rechenbuch. b. Diesen Ansatz für 𝑦𝑃(𝑥) ohne 𝑦𝐻(𝑥) in DGL einsetzen (n Ableitungen für Grad n berechnen) und c. Koeffizienten von 𝑦𝑃(𝑥) durch Koeffizientenvergleich bestimmen.

d. 𝑦(𝑥) = 𝑦𝐻(𝑥) + 𝑦𝑃(𝑥)

Geometrische Formelsammlung 2D

3D Würfel Quader gerader

Zylinder gerader Kreiskegel

Kugel Ellipsoid Torus

Diagonale 𝑑 = √3𝑎 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑏2

Mantelfläche 𝑀 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑀 = 𝜋𝑟𝑚

Oberfläche 𝑆 = 6𝑎2 𝑆 = (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑆 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ) 𝑆 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑚) 𝑆 = 4𝜋𝑟2 𝑆 = 4𝜋2𝑎𝑟2

Volumen 𝑉 = 𝑎3 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 𝑉 =1

3𝜋𝑟2ℎ 𝑉 =

4

3𝜋𝑟3 𝑉 =

4

3𝜋𝑎𝑏𝑐

𝑉 = 2𝜋𝑎𝑟2

Variablen m: Mantellinie von unterem Rand bis Spitze

a, b, c: Ausdeh-nung in jede primäre Rotati-onsachse

a: Radius bis zum Zentrum des Ringes r: Radius des Ringes selbst

1 GRB S.47, Blatter 3.6 S.243-263, Vorlesung 27.2.14-1a, Serie 2 Vorb. 4.3.14-1b

Dreieck Quadrat Kreis

Diagonale 𝑑 = √2𝑎

Flächeninhalt 𝐴 =1

2𝑎ℎ𝑎 𝐴 = 𝑎2 𝐴 = 𝜋𝑟2

Umfang 𝑢 = 2𝜋𝑟

Bogenlänge 𝑏 = 𝜑𝑟



Trigonometrische Funktionen

Definitionen 𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + ⅈ sin 𝑥

sin 𝑥 =𝑒ⅈ𝑥−𝑒−ⅈ𝑥

2𝑖= ∑

(−1)𝑛

(2𝑛+1)!𝑥2𝑛+1∞

𝑛=0 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!−𝑥7

7!±⋯ sin(𝑥 + ⅈ𝑦) = sin 𝑥 cosh 𝑦 + ⅈ cos 𝑥 sinh 𝑦

cos 𝑥 =𝑒ⅈ𝑥+𝑒−ⅈ𝑥

2= ∑

(−1)𝑛

(2𝑛)!𝑥2𝑛∞

𝑛=0 = 1 −𝑥2

2!+𝑥4

4!−𝑥6

6!±⋯ cos(𝑥 + ⅈ𝑦) = cos 𝑥 cosh 𝑦 + ⅈ sin 𝑥 sinh 𝑦

Gegenseitige Darstellung

tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥 sec 𝑥 =

1

cos 𝑥, csc 𝑥 = cosec 𝑥 =

1

sin 𝑥, cot 𝑥 =

1

tan 𝑥=cos 𝑥

sin 𝑥

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

1 + tan2 𝑥 =1

cos2 𝑥= sec2 𝑥 sec2 𝑥 − tan2 𝑥 = 1

1 + cot2 𝑥 =1

sin2 𝑥= csc2 𝑥 csc2 𝑥 − cot2 𝑥 = 1

Additionstheoreme sin(𝑥 ± 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 ± cos 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦 2 sin 𝑥 sin 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦)

tan(𝑥 ± 𝑦) =tan 𝑥±tan𝑦

1∓tan𝑥 tan𝑦=

sin(𝑥±𝑦)

cos(𝑥±𝑦) 2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)

arctan(𝑥 ± 𝑦) =arctan𝑥 arctan𝑦∓1

arctan 𝑥±arctan𝑦=cos(𝑥±𝑦)

sin(𝑥±𝑦) 2 sin 𝑥 cos 𝑦 = sin(𝑥 − 𝑦) + sin(𝑥 + 𝑦)

Summe zweier trigonometrischer Funktionen sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin

𝑥+𝑦

2cos

𝑥−𝑦

2 cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos

𝑥+𝑦

2cos

𝑥−𝑦

2

sin 𝑥 − sin 𝑦 = 2 sin𝑥−𝑦

2cos

𝑥+𝑦

2 cos 𝑥 − cos 𝑦 = 2 sin

𝑦+𝑥

2sin

𝑦−𝑥

2

Symmetrien sin(−𝑥) = −sin 𝑥 tan(−𝑥) = − tan 𝑥 sec(−𝑥) = +sec 𝑥 cos(−𝑥) = +cos 𝑥 arctan(−𝑥) = −arctan 𝑥 csc(−𝑥) = −csc 𝑥

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen sin(arccos 𝑥) = cos(arcsin 𝑥) = √1 − 𝑥2

sin(arctan 𝑥) =𝑥

√1+𝑥2

cos(arctan 𝑥) =1

√1+𝑥2

tan(arcsin 𝑥) =𝑥

√1−𝑥2

tan(arccos 𝑥) =√1−𝑥2

𝑥

Doppelwinkel sin(2𝑥) = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 =

2 tan𝑥

1+tan2 𝑥

cos(2𝑥) = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 =1−tan2 𝑥

1+tan2 𝑥

cos(2𝑥) cos(𝑥) + sin(2𝑥) sin(𝑥) = cos(𝑥)

tan(2𝑥) =2 tan 𝑥

1−tan2 𝑥=

2

arctan 𝑥−tan𝑥

arctan(2𝑥) =arctan2 𝑥−1

2 arctan𝑥=arctan𝑥−tan𝑥

2

Quadrat von trigonometrischen Funktionen sin2 𝑥 =

1

2(1 − cos(2𝑥))

cos2 𝑥 =1

2(1 + cos(2𝑥))

tan2 𝑥 =1−cos(2𝑥)

1+cos(2𝑥)

Sinussatz 𝑎

sin𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin𝛾=𝑎𝑏𝑐

2𝐴= 2𝑟

α: Winkel gegenüber von a

Cosinussatz

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 γ: Winkel zwischen a und b



Hyperbolische Funktionen

Definitionen

sinh(𝑥) =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2= ∑

1

(2𝑛+1)!𝑥2𝑛+1∞

𝑛=0 = 𝑥 +𝑥3

3!+𝑥5

5!+𝑥7

7!+⋯ , ℝ → ℝ

cosh(𝑥) =𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2= ∑

1

(2𝑛)!𝑥2𝑛∞

𝑛=0 = 1 +𝑥2

2!+𝑥4

4!+𝑥6

6!±⋯ , ℝ → [1,∞)

tanh 𝑥 =sinh 𝑥

cosh𝑥=𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥, ℝ → (−1,1)

arsinh 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥2 + 1) , ℝ → ℝ

arcosh 𝑥 = ln(𝑥 + √𝑥2 − 1) , [1,∞) → ℝ0+

artanh 𝑥 =1

2ln1+𝑥

1−𝑥, ℝ → (−1,1)

Gegenseitige Darstellung cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1

arsinh 𝑥 = sgn 𝑥 arcosh(√𝑥2 + 1)

arcosh 𝑥 = arsinh (√|𝑥|2 − 1) , (𝑥 > 1)

sin(ⅈ𝑧) = ⅈ sinh 𝑧 ⇔ sinh(ⅈ𝑧) = ⅈ sin 𝑧 cos(ⅈ𝑧) = cosh 𝑧 ⇔ cosh(ⅈ𝑧) = cos 𝑧

Additionstheoreme sinh(𝑥 ± 𝑦) = sinh 𝑥 cosh 𝑦 ± cosh 𝑥 sinh 𝑦 cosh(𝑥 ± 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 ± sinh 𝑥 sinh 𝑦

tanh(𝑥 ± 𝑦) =tanh𝑥±tanh𝑦

1±tanh𝑥 tanh𝑦

Symmetrien sinh(−𝑥) = −sinh 𝑥 cosh(−𝑥) = cosh 𝑥

1 diverse nützliche Facts 1.1.1 Werte irrationaler Zahlen

𝜋 ≅ 3.14159… 𝑒 ≅ 2.71828… √2 ≅ 1.41421… √3 ≅ 1.73205… √5 ≅ 2.23607…

1.1.2 Wichtige Winkel

α tan 𝛼

0° 0

0

30° 1 √3⁄ 𝜋

6

45° 1 𝜋

4

60° √3 𝜋

3

90° (∞) 𝜋

2

120° −√3 2𝜋

3

135° −1 3𝜋

4

150° −1 √3⁄ 5𝜋

6

180° 0

𝜋


Zuletzt gespeichert: 02.01.2017, 20:01, Version 71 21 / 21

14 Bemerkungen (V3.1) Notation

Gelbe Markierungen bezeichnen i.d.R. Abschnitte, welche eine Überarbeitung nötig haben, weitere Infos von den markierten Quel-len nötig hätten oder unklar sind. Disclaimer

Meine Formelsammlungen entstehen und wachsen meist über eine längere Zeit. Es besteht immer ein gewisses Risiko, dass sich einige Fehler über zig Iterationen versteckt gehalten haben. Ich freue mich deshalb über jegliche (Fehler-) Verbesserungen, Anmer-kungen, Lob, Dank oder auch Kritik. Meine Zusammenfassungen werden fortlaufend korrigiert und aktualisiert veröffentlicht. Weiterverarbeitung:

Weil ich es nicht ausstehen kann, dass ständig das Rad neu erfunden werden muss, habe ich das Originaldokument mit veröffentlicht mit der Einladung, sich hier für die eigene Formelsammlung zu bedienen. Ihr könnt diese Zusammenfassung also gerne weiterverar-beiten und / oder auch in überarbeiteter Form veröffentlichen. Haltet jedoch die Herkunft der kopierten/übernommenen Teile so gut wie möglich nachvollziehbar, falls ihr weiter veröffentlicht. Obiges gilt auch für alle anderen Formelsammlungen von mir, welche diesen Bemerkungstext (noch) nicht enthalten. Quellenangaben:

Aus Platz- und Zeitgründen (blame the 'Prüfungsstress') fehlen natürlich praktisch jegliche Quellenangaben (worüber ich auch schon ab und zu fluchen musste). Ich versuche jedoch in diesem Abschnitt die Arbeiten zu referenzieren, von denen ich wissentlich kopiert habe: Wesentliche Bestandteile:

allgemeines aus dem Skript "Physik I" von Prof. Jérôme Faist

Grossteil der Zfsg Abschrift und Überarbeitung der handgeschriebenen Zfsg von Aldo Tobler

Revisionsverlauf:

1.0 Sept. 2014 erste Veröffentlichung Stefan Rickli

To Do:

15 Ressourcen zu „Word und Formeleditor“ Es gibt ein paar Ressourcen, welche mir sehr geholfen haben, den Formeleditor in Word zu meistern:

- Microsoft Word formula editor: https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCor-rect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US

- Unicode Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics: http://www.unicode.org/notes/tn28/ o das ist der Standard, an den sich der Editor (fast vollständig) hält. Ist sehr gut beschrieben und dokumen-

tiert. Ausnahme sind Umrahmungen, welche nicht die ganze Funktionalität erhalten haben. - Die Zeichenübersicht des Editors selber: wenn man mit der Maus über ein Zeichen fährt, zeigt es einem den Tastatur-

Shortcut an, den man eingeben kann Nice to know:

- Alt + Shift + 0 erstellt eine neue Formel (durch einen Bug in Office 2016 muss dieser Shortcut neu manuell definiert werden, Stand Mai 2016)

- der Leerschlag ist euer Freund! Er veranlasst den Formeleditor, die Syntax bis zum aktuellen Punkt zu überprüfen und das Zeug fixfertig bis zu dem Punkt, wo ihr seid, darzustellen (ausser es gibt noch offene Klammern).

o verhält sich der Editor mal komisch, liegt es zu 95% daran, dass etwas in der Syntax nicht stimmt. Hier hilft ab und an mal, sich die Formel im linearen Modus anzuschauen, wo alles bis auf Sonderzeichen wieder auseinander genommen wird. Das einzige, mit dem der Editor Mühe hat, sind grosse Eq-Arrays und mehr-zeiliges Zeug.

- Wenn die Formel auf einer eigenen Zeile steht, veranlasst ein Leerschlag ausserhalb nach der Formel (also AUSSERHALB des Formeleditorfelds) den Editor, die Formel im Inline-Modus darzustellen (Formel braucht weniger Platz)

o siehe Tabellen in dieser ZF, dort habe ich das konsequent benutzt. Löscht mal das Leerzeichen nach einer Formel, das ein Integral enthält

- benutzt die Backslash (\) Befehle! Wenn man sich die beiden Dokumente oben ausdruckt und zur Referenz hält, geht es nicht lange, bis man alles mit der Tastatur machen kann und nie absetzen muss, um was mit der Maus zu machen

- \ensp und \emsp können helfen, um grössere, gewollte Abstände zu realisieren - \\eqarray ordnet mit jedem & einmal links und dann wieder rechts an - bastelt euch eure eigenen Shortcuts

o zum Beispiel \La für ⇐ \Ra für ⇒ \Lra für ⇔ oder \to für ein → oder eine leere 4x4 Matrix als \4x4 mit (■(&&&@&&&@&&&@&&&)) und einem Leerschlag

am Ende (damit der Ausdruck gleich aufgebaut wird) etc

o dazu einfach das entsprechende Zeichen in die Zwischenablage kopieren und im Formeleditor unter „Formeloptionen“ (in den Tools als kleiner Pfeil unten rechts zu finden) und „Math. Autokorrektur“ einfü-gen und den entsprechenden Backslashbefehl definieren

o manchmal ist es sinnvoll, noch eigene Funktionsnamen zu definieren, welche der Editor erkennen soll, wenn man sie häufig benutzt. Z.B. Imag()

ansonsten Leerschlag funktionsname\funcapply Leerschlag - die mathematische Autokorrektur ist manchmal auch ausserhalb des Formeleditors nützlich. Ich hab das in den Optio-

nen auch aktiviert - Wenn Word langsam wird wegen vielen anzuzeigenden Formeln, hilft

o 1. die Entwurfsansicht (anstatt Seitenlayout). Wenn man sich damit abfindet, dass dann ab und zu das Lay-out (noch) nicht dargestellt oder updated wird (nicht beirren lassen), kann man gut die kritischen Ab-schnitte bearbeiten. Achtung: Bilder werden NICHT angezeigt, sondern einfach mit einem Leerschlag reprä-sentiert!

o 2. reinzoomen, bis weniger Formeln sichtbar sind.

https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCorrect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US

https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCorrect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US

http://www.unicode.org/notes/tn28/

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