Zwei und mehr Freiheitsgrade [Kompatibilitätsmodus] · Der Ritz-Ansatz muss mindestens die...

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baudynamik (Master) – SS 2014

3. Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der Schwingungsgleichungen3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen

3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen

3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme



3.3 Gedämpfte freie Schwingungen3.3.1 Eigenwertproblem3.3.2 Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung

3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen3.4.1 Direkte Lösungsmethode3.4.2 Methode der Modaltransformation

3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation

3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden3.6.1 Modale Reduktion3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode



3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen

3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen


3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen

=x + x 0δΜ

Zwei Freiheitsgrade:

oder

: Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix: Steifigkeitsmatrix: Massenmatrix

δΚΜ

+ =x x 0Κ Μ

cos( )tω α= ⋅ −x ALösungsansatz:


Eigenfrequenzen und Eigenformen

2

1ω

⋅ =

I A 0δ Μ −

Eigengleichungen:

oder

: Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix: Steifigkeitsmatrix: Massenmatrix

: Einheitsmatrix: Eigenfrequenzen: Eingenvektoren, Eigenformen

ω

δΚΜΙ

Α

( )2ω =M A 0Κ −



1 2 1 2 , ( )<Eigenfrequenzen : ω ω ω ω

Bedingung für nicht-triviale Lösungen:

Charakteristische Gleichung für die Eigenfrequenzen

2

1Det 0ω

⋅ =

Iδ Μ − ( )2Det 0ω =MΚ −oder

1 2 ,Eigenvektoren : A A


( )( )

21 1

22 2

ω

ω

=

=

M A 0

M A 0

Κ −

Κ −

Bemerkungen:

Eigenfrequenzen und Eigenformen sind wichtige dynamische Systemeigenschaften.

Die Eigenfrequenzen sind die Eigenwerte des Eigenwert-problems.

Die Eigenvektoren werden häufig als Eigenformen oder Eigenmoden bezeichnet.



1 1 1 1 2 2 2 2cos( ) cos( )c t c tω α ω α− + −x = A A

Lösung:

Insgesamt 4 Unbekannten aus 4 Anfangsbedingungen (pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!

10 101 1

20 202 2

(0) (0)(0) , (0)

(0) (0)x vx xx vx x

= =

x = x =

Homogene Lösung

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Bemerkungen zu Freiheitsgraden

Kontinuierliches System: Unendlich viele Freiheitsgrade

Diskretes System:Endlich viele Freiheitsgrade

Methode der verallgemeinerten

Koordinaten

Methode der konzentrierten

Massen

1 2 n, ,...,m m m1

( ) ( ) ( )n

i ii

w x a t xϕ=

=

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

UNIVERSITÄT SIEGEN

Bemerkungen zu Freiheitsgraden

Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleichder Anzahl der Massen.

Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme(dehnstarr, dehnbar, etc.).

Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von derstatischen Unbestimmtheit und der geometrischen Unbe-stimmtheit.

Je mehr Freiheitsgrade, desto genauer sind die Ergebnisse,desto aufwendiger ist die dynamische Berechnung.



n Freiheitsgrade:

+ =x x 0Κ Μcos( )tω α= ⋅ −x A

( )2ω =M A 0Κ −

( )2Det 0ω =MΚ −

1 2 n, ,...,ω ω ωEigenfrequenzen :

1 2 n , ,...,Eigenvektoren : A A A



1 1 1 1 2 2 2 2 n n n ncos( ) cos( ) ... cos( )c t c t c tω α ω α ω α− + − + + −x = A A A

Lösung:

Insgesamt 2xn Unbekannten aus 2xn Anfangsbedingungen

(pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!

10 10

20 20

n0 n0

(0) , (0)

x vx v

x v

x = x =

Homogene Lösung



3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen



Die Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung bei großen Matrizen (größer als 3x3)ist meistens sehr aufwendig. Daher werden häufig numerische Näherungsverfahren angewendet.Dazu gehören numerische Methoden für symmetrische Matrizen und dünnbesetzte große Matrizen:

• Potenzmethode• Inverse Iteration• Lanczos-Verfahren• Arnoldi-Verfahren• Jacobi-Verfahren• Jacobi-Davidson-Verfahren

Satz für die Eigenfrequenzen:

Wenn M und K reell, symmetrisch und positiv definit sind, dannexistieren n positive reelle Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheits-grade).

Wenn M reell, symmetrisch und positiv definit, und K reell,symmetrisch und semi-positiv definit ist, dann existieren n nicht-negative Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheitsgrade).

Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen



Eine Matrix ist positiv definit, falls ihre quadratische Formpositiv ist, d.h.

T 0>x Kx

Eine Matrix ist semi-positiv definit, falls ihre quadratischeForm nicht negativ ist, d.h.

T 0≥x Kx



Eigenschaften der Eigenformen: Die Elemente der Eigenvektoren Ai sind nicht unabhängig

voneinander und können nicht eindeutig bestimmt werden. Aikönnen nur für ihre Verhältnisse oder mit einer Normierungbestimmt werden.

Häufig verwendete Normierungen:

1 n

T

T

1.) 1 oder 1 (Ingenieurnormierung)

2.) 1 (Massennormiert, wichtig für Modalanalyse)

3.) 1 (Steifigkeitsnormiert, manchmal numerisch vorteilhaft)

i i

iM iM

iK iK

A A= =

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

A M AA K A

TUmrechnung: i

iM

i i⋅ ⋅AA =

A M A


T

T

1.) 0 ( ) 1. Orthogonalität

2.) 0 ( ) 2. Orthogonalitäti j

i j

i j

i j

⋅ ⋅ = ≠

⋅ ⋅ = ≠

A M A

A K A

Orthogonalität:

Die Orthogonalitätseigenschaft der Eigenvektoren wird häufigbei iterativen Bestimmungen der Eigenvektoren ausgenutzt.


Physikalische Bedeutung:

Schwingt ein System in einer bestimmten Eigenform, leistenseine Trägheitskräfte keine Arbeit auf andere Eigenformen.Seine Energie kann also nicht auf andere Eigenformenübertragen werden.




3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation


Eigenmatrix oder Modalmatrix:

[ ]11 12 1n

21 22 2n1 2 n

n1 n2 nn

A A AA A A

, ,...,

A A A

= =

A A A

Φ

T

T

1 (Massennormiert)

0 (Orthogonalität)i i

i j

⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ =

A M AA M A

!)i iM(hier : A A

T ⋅ ⋅ =M IΦ Φ

( )2i iω =M A 0Κ −

( )

( )

T 2 T 2 T

1

T 2 T 2 T

0

i i i i i i i i

i j j i j j i j

ω ω

ω ω

= − =

= − =

A M A A A A A 0

A M A A A A A 0

Κ − Κ Μ

Κ − Κ Μ

21

T 2 22

0 00 00 0

ωω

⋅ ⋅ = =

K

Φ Φ ω

Modalmatrix


Modaltransformation:x = qΦ

⋅ + =q q 0Κ Φ ΜΦ

2

T T+ =I

q q 0 ω

Φ ΚΦ Φ ΜΦ

2+ =q q 0 ω Entkoppelte Differentialgleichungen!

x = qΦ

qRücktransformation

: Physikalische Koordinaten: Modale Koordinaten

xq

Modale Transformation


0

0

2222

1211

=+

=+

qωq

qωq 1 1 1 1

2 2 2 2

cos( )cos( )

q c tq c t

ω αω α

= −= −

01-1-

01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq ====

Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen(pro Masse 2)!

T -1 T= Φ MΦ I Φ = Φ MBeachte:

Modale Transformation

Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auchnach der Rücktransformation durchgeführt werden!


Die Methode der modalen Transformation wird häufig auchals Modalanalyse bezeichnet.

Die grundlegende Idee der Modalanalyse besteht darin,Schwingungen von Mehrfreiheitsgradsystemen als Super-position der Schwingungen von mehreren Einfreiheitsgrad-systemen darzustellen.

Modalanalyse

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3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen

3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme


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Lord Rayleigh (12.11.1842-30.06.1919) Walter Ritz (22.02.1878-07.07.1909)

Rayleigh und Ritz

Quelle: http://www.wikipedia.org



2

2

1Potentielle Energie: 21Kinetische Energie: 2

p

k

E kx

E mx

=

=

T

T

1212

p

k

E

E

=

=

x Kx

x Mx

cos( )tω α= −x AT 2

T 2 2

1 cos ( )21 sin ( )2

p

k

E t

E t

ω α

ω ω α

= ⋅ −

= ⋅ −

A KA

A MA

T,max

T 2,max

1212

p

k

E

E ω

=

= ⋅

A KA

A MA

,max ,maxp kE E=

T2

Tω = A KAA MA

Energieerhaltung:

Rayleigh-Quotient

Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme


T2

Ti i

ii i

ω = A KAA MA

2 2,i i exaktω ω≥

Bemerkungen:Falls der exakte Eigenvektor A verwendet wird, dann erhält man auch die exakteEigenfrequenz.

Falls nur eine Näherungslösung für den Eigenvektor verwendet wird, dann erhält maneine Näherungslösung für die Eigenfrequenz:

Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer alsdie exakte Eigenfrequenz ist:

Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenzverwendet.

Als Näherungslösung für den Eigenvektor kann die statische Lösung verwendetwerden.

Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme


[ ]

[ ]

22

0 0

2

0

1 1Formänderungsenergie: ( ) ( , )2 ( ) 2

1Kinetische Energie: ( ) ( , )2

l l

p

l

k

ME U dx EI x w x t dxEI x

E m x w x t dx

′′= = = ⋅

= ⋅

( ) cos( )w W x tω α= −

,max ,maxp kE E=

Rayleigh-Quotient

Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme

[ ]

[ ]

22

0

22 2

0

1 cos ( ) ( ) ( )2

1 sin ( ) ( ) ( )2

l

p

l

k

E U t EI x W x dx

E t m x W x dx

ω α

ω ω α

′′= = − ⋅ ⋅

= − ⋅

[ ][ ]

2

2 02

0

( ) ( )

( ) ( )

l

l

EI x W x dx

m x W x dxω

′′⋅=

⋅


Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme

2

2 02

0

( ) ( )

( ) ( )

l

i l

EI x W x dx

m x W x dxω

′′⋅ = ⋅


Bemerkungen:Falls die exakte Biegelinie W(x) verwendet wird, dann erhält man auch die exakte Eigenfrequenz.

Falls nur eine Näherungslösung für die Biegelinie verwendet wird, dann erhält man auch nur eineNäherungslösung für die Eigenfrequenz:

Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer als die exakteEigenfrequenz ist:

Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz verwendet.

Als Näherungslösung für die Biegelinie kann die statische Biegelinie verwendet werden.

Je weniger die Näherungslösung von der exakten Biegelinie abweicht, desto genauer ist dieabgeschätzte Eigenfrequenz im Rayleigh-Verfahren.

Die Näherungslösung für die Biegelinie soll mindestens die geometrischen Randbedingungenerfüllen.


Das Ritz-Verfahren ist eine Erweiterung des Rayleigh-Verfahrens (daher auch als Rayleigh-Ritz-Verfahren bekannt) , indem man einen mehrgliederigen Ansatz macht:

Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme

1( ) ( )

n

i ii

W x a xϕ=

=ai werden als verallgemeinerte Koordinaten und ϕi(x) werden als Ritz-Basisfunktionen oderFormfunktionen bezeichnet. n entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Mit der Energiebetrachtungerhält man nun den Rayleigh-Quotienten:

2

012

2

01

( ) ( )( )

( ) ( )

nl

i ii

i nl

i ii

EI x a x dxUR aE

m x a x dx

ϕω

ϕ

=

=

′′⋅ = = = ⋅

Damit der Fehler minimal bleibt, muss gelten:

2

2

( ) 1 0 0 i

i i i i i

R a U U E U U Ea E a a a E aE

ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂



1 10

1 10

2 ( ) ( ) ( ) 2

2 ( ) ( ) ( ) 2

ln n

j j i ij jj ji

ln n

j j i ij jj ji

U a EI x x x dx k aa

E a m x x x dx m aa

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= =

= =

∂ ′′ ′′= =∂

∂ = =∂

Daraus ergibt sich:

( )2

1

0n

ij ij jj

k m aω=

− =Oder in Matrizenschreibweise:

( )2 0ω− =K M a



0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

l

ij i j

l

ij i j

k EI x x x dx

m m x x x dx

ϕ ϕ

ϕ ϕ

′′ ′′=

=

Die verallgemeinerte Steifigkeitsmatrix K und die verallgemeinerteMassenmatrix M können aus den folgenden Gleichungen bestimmtwerden:

UNIVERSITÄT SIEGEN

Bemerkungen:Falls nur ein Glied im Ritz-Ansatz verwendet wird, dann ergibt sich als Sonderfall das Rayleigh-Verfahren.

Das Rayleigh-Verfahren ist nur für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz geeignet, während das Ritz-Verfahren auch für höhere Frequenzen geeignet ist.

Man kann zeigen, dass die Eigenfrequenzen aus dem Ritz-Verfahren immer größer als dieexakten Werte sind:

Je mehr Glieder verwendet werden, desto genauer sind die Ergebnisse, desto aufwendiger ist dieBerechnung.

Der Ritz-Ansatz muss mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen.

Wird das Ritz-Verfahren nicht auf die gesamte Struktur, sondern nur auf ein Element angewendet,dann ist das Ritz-Verfahren identisch mit der finiten Elemente Methode (FEM).




UNIVERSITÄT SIEGEN

FEM

1 1 2 2 3 3 4 4

2 3

1

2

2

2 3

3

2

4

( )

( ) 1 3 2

( ) 1 2

( ) 3 2

( )

w x a a a a

x xxl l

x xx xl l

x xxl l

x xx xl l

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= + + +

= − +

= − +

= − = − +

1ϕ

2ϕ

3ϕ

4ϕ1

1

/x l

1a

2a3a

4a, ,EI m l


UNIVERSITÄT SIEGEN

FEM

0

2

( ) ( )

12 126 6

6 4 6 212 126 6

6 2 6 4

l

ij i jk EI x x dx

l ll lEI

ll l

l l

ϕ ϕ′′ ′′= ⋅ ⋅

−

− = − − − −

K

0

2 2

2 2

( ) ( )

156 22 54 1322 4 13 354 13 156 2242013 3 22 4

l

ij i jm m x x dx

l ll l l lm

l ll l l l

= ⋅ ⋅

− − = − − − −

M

ϕ ϕ

1 2 3 4

2 1 3 4

3 1 2 4

4 1 2 3

(0) 1, (0) (0) (0) 0(0) 1, (0) (0) (0) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0l l l ll l l l

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

= = = =′ ′ ′ ′= = = =

= = = =′ ′ ′ ′= = = =

Eigenschaften der Formfunktionen:



3.3 Gedämpfte freie Schwingungen

3.3.1 Eigenwertproblem



0xMxDKx =++ teλAx =

0AMDK =++ ][ 2λλ

0)(Det 2 =++ MDK λλ

,i 1 2 nj j d j (j , ,..., )λ δ ω= − =Komplex konjugierte Eigenwerte:

Eigenwertproblem

21 0+ + 0n

na a aλ λ + =

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Bemerkungen: Die Eigenwertberechnung bei gedämpften Systemen ist im Allgemeinen sehr

aufwendig.

Falls δj positiv (schwache Dämpfung) ist, dann hat man eine gedämpfteSchwingung mit abklingenden Amplituden. Falls δi negativ (starkeDämpfung) ist, dann hat man keine Schwingung (Kriechbewegung).

D ist im Allgemeinen symmetrisch.

Die Modalmatrix Φ kann die Steifigkeitsmatrix K, aber nicht die Dämpfungs-matrix D diagonalisieren. D.h., eine Entkoppelung der Schwingungs-gleichungen ist durch eine Modaltransformation bei gedämpften Schwin-gungen im Allgemeinen nicht möglich.

Nur durch spezielle Annahmen für die Dämpfung (modale Dämpfung undRayleigh-Dämpfung, siehe später) können die Schwingungsgleichungendurch eine Modaltransformation entkoppelt werden.

Eigenwertproblem


UNIVERSITÄT SIEGEN

Φqx =

0+ + =K q D q M q Φ Φ Φ

0xMxDKx =++


Τ Τ Τ

diagonal i. A. nicht diagonal diagonal

0+ + =K q D q M q Φ Φ Φ Φ Φ Φ

Entkoppelung der Gleichungen i. A. nicht möglich!

Eigenwertproblem

Dämpfung:• Stahlbeton: 5%• Stahl: etwa 1%-2%

Τ

Τ

Τ

modale Steifigkeitsmatrix: modale Massenmatrix: modale Dämpfungsmatrix

KMD

Φ Φ :Φ ΦΦ Φ


3.3 Gedämpfte freie Schwingungen

3.3.2 Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung



0qωq =+ 2

21 1 1 1 1 1

22 2 2 2 2 2

0

0

q 2D q ω q

q 2D q ω q

ωω

+ + =

+ + =

0qωqdq =++ 2

1 1

2 2

2 0 0d 0 2 0

DD

ω = ω

Ungedämpft:

Gedämpft:

Modale Dämpfung!

Modale Dämpfung!

Modale Dämpfung

Modale Dämpfung: In jeder modalen Gleichung wird ein Dämpfungsterm addiert!


1

2

1 1 1 1

2 2 2 2

cos( )

cos( )

t

t

q c e t

q c e t

δ

δ

ω αω α

−

−

= −

= −

Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen (pro Masse 2)!

01-1-

01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq ====

Φqx =Rücktransformation:

Lösung:

Modale Dämpfung

Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auchnach der Rücktransformation durchgeführt werden!


KMD βα +=

Φqx =

0qMΦΦq)KΦΦMΦΦqKΦΦIωIω 22

=+++ TTTT βα(

0qMqK)MqK =+++ ΦΦΦ βα(

d

0qωqdq =++ 2

0xMxDKx =++

Rayleigh-Dämpfung

Rayleigh-Dämpfung: (Proportionale Dämpfung, Bequemlichkeitshypothese)


12j j

j

D α βωω

= +

1 1

2 2

2 0 0d 0 2 0

DD

=

ωω

Rayleigh-Dämpfung

cos( ), ( 1, 2,..., n)iti i i iq c e t iδ ω α−= − =

Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen (pro Masse 2)!

01-1-

01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq ====

Φqx =Rücktransformation:

Lösung:

1 2 1 2 2 12 22 1

2 2 1 12 22 1

2 ( )

2( )

D D

D D

ω ω ω ωαω ω

ω ωβω ω

−=−

−=−Im Modalraum ist die modale Dämpfung also

identisch mit der Rayleigh-Dämpfung!


3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen

3.4.1 Direkte Lösungsmethode3.4.2 Methode der Modaltransformation



+ =x x FΚ Μ( ) cos( )t t= ΩF F

( ) cos( )p pt t α= Ω −x x

( )2

dyn

pΩ =K

x FΚ − Μ

Dynamische Steifigkeitsmatrix

1

dyn

p dyn−= ⋅x K F

δ

Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix

( ) 11 2dyn

−−Ω = Ω = = − Ω( ) H( ) K K Mδ Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix Hoder Übertragungsmatrix bezeichnet.

Harmonischer Lastvektor:

Direkte Lösungsmethode

( ) ( ) ( )t t t= +h px x xGesamtlösung:

Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!:

Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite


+ =x x FΚ Μ

( ) cos( )t t= ΩF Fq q = FΚΦ + ΜΦHarmonische Erregung

Methode der Modaltransformation

=x qΦ

2 T=q + q F ω Φ

h p= +q q q

=x qΦ Rücktransformation

( )T Tq q = FΦ ΚΦ + ΜΦ Φ


( ) cos( )p t t α= Ω −q q


2 Tp p =q + q F ω Φ

Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!:

Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite

n1 1 2 2 n n2 2 2 2 2 2 2 2

11 2 n

dyn

TT T TiM iMM M M M M M

pi iω ω ω ω=

= + + + ⋅ − Ω − Ω − Ω − Ω

A AA A A A A Ax F = F

δ

2 2

TiM

ipi

qω

=− Ω

A F



3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen

3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation


h h h+ + =x Dx x 0 Κ Μ

( )h tx

Direkte Lösungsmethode: Homogene Lösung

Bemerkung:Die homogene Lösung bei gedämpften Systemen klingt mit der Zeit rasch ab, so dass nach kurzer Zeit (im eingeschwungenen Zustand) nur die Partikularlösung maßgebend bleibt.

vgl.: Gedämpfte freie Schwingungen!


p p p+ + =x Dx x F Κ Μ

( )2i p+ Ω Ω =D - x FΚ Μ

( ) i tt e Ω=F F

Direkte Lösungsmethode: Partikularlösung

( ) i tp pt e Ω=x x

( )2i

dyn

pΩ Ω =K

D x FΚ + − Μ

Dynamische Steifigkeitsmatrix

1

dyn

p dyn−= ⋅x K F

δ

Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix

( ) 11 2idyn

−−Ω = Ω = = Ω − Ω( ) H( ) K K + M Mδ Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix Hoder Übertragungsmatrix bezeichnet.


+ + =x Dx x F Κ Μ

* *( ) cos( )t t= ΩF F

=x qΦ

2 *=q + dq + q F ω

+ =q D q + q F ΚΦ Φ ΜΦ

( ) *

T T+ =F

q D q + q F Φ ΚΦ Φ ΜΦ Φ ( ) cos( )t t= ΩF F

2 *2 cos( )i i i i i i iq D q q F tω ω = Ω+ +

2 * 22 / ) ( / ) cos( )i i i i i i i iq D q q F tω ω ω= ⋅ Ω/ + ( +


(vgl. gedämpfter Einmassenschwinger!)


h p+q = q q

=x qΦ Rücktransformation

( )2 22 2 2

2 1tan( ) , 1 1 4

i ii i

ii i i

D VD

ηαη η η

= =− − +

* 2( ) ( / ) cos( )ip i i i iq t V F tω α= ⋅ Ω −Partikularlösung

( )h tq

( )p tq


2( ) cos( )n

T ip iM iM i

i i

Vt t αω

= Ω −x A A F

* Ti iMF = A F

( )h ht =x qΦ



3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden

3.6.1 Modale Reduktion

3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode


Modale Reduktion

1 1 2 2 1 1( ) N N N N n nt q q q q q+ += = + + + + + +x q A A A A A Φ

Modale Reduktion

Wichtig! Weniger wichtig!

1 1 2 2 ( )N N N Nq q q ×≅ + + + =x A A A q Φ

Die Lösung einer Schwingung ist die gewichtete Superposition derEigenschwingungen (Eigenformen, Eigenmoden). Daher wird die Methodeder Modaltransformation auch als Methode der Modalsuperposition oderModalsuperpositionsmethode bezeichnet.

Niedrige Eigenformen leisten größere Beiträge und höhere Eigenformen haben kleinere Beiträge.

Große Rechenaufwandsreduzierung falls N<<n!


Modale Reduktion

Modale Reduktion reduziert den Rechenaufwand, aber wie bestimmt man dieGrenze N?

Faustregel:

[ ]min max

max

Frequenzband der Erregung: ,Obergrenze der Eigenfrequenzen: 1,5iω

Ω ∈ Ω Ω≤ Ω


Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode

Direkte Methode Modale Methode

Dämpfung Beliebig. Beliebig.

Entkoppelung Nein. Ja, nur mit Annahme (modal oder Rayleigh).

Aufwand Groß, da Kdyn für jede Anregungsfrequenz neu zu berechnen und zu invertieren ist.

Klein, wenn Entkoppelung oder modale Reduktion (N<<n).

Genauigkeit Hoch. Hoch wenn keine modale Reduktion. Niedrig bei modaler Reduktion.

Linearität Anwendbar auch bei Nichtlinearität.

Nur anwendbar bei Linearität.

Empfehlung Bei Stoß (schmallbandig) (direkte Zeit-Integration)

Bei Erdbeben, Wind (breitbandig)

Zwei und mehr Freiheitsgrade [Kompatibilitätsmodus] · Der Ritz-Ansatz muss mindestens die...

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