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- Präsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E) -

Essen, 14. Mai 2011

Alexander Pech (Matrikel-Nummer 278645)

Präsentation Finanzmathematik

Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen

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Inhaltsverzeichnis

1Präsentation Finanzmathematik

• Einleitung

• Finanzmathematischer Wert einer Anleihe

• Duration und relative Veränderung einer Anleihe

• Macaulay-Duration

• Duration als Elastizitätswert

• Übungsaufgabe

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Einleitung

2Präsentation Finanzmathematik

Betrachtung: Risiko festverzinslicher Wertpapiere:• Bonitätsrisiko vernachlässigbar• Restrisiko: Zinsrisiko (Änderung des Kurses bei

Marktzinsschwankungen)• Marktzinserhöhung Kurs sinkt/ Endwert steigt• Marktzinserhöhung Kurs steigt/ Endwert sinktWie stark ändert sich der Kurs festverzinslicher

Wertpapiere bei Änderung des Marktzinses?

Suche nach einer Laufzeit, die die Zinseffekte überkompensiert

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Finanzmathematischer Wert einer Anleihe

3Präsentation Finanzmathematik

• Bei einer Anleihe mit feststehenden Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk ergibt sich im Zeitpunkt t0 der finanzmathematische Wert (Barwert) C0

• In der letzten Zahlung sei der Rücknahmekurs Cn enthalten

• C0 erhällt man durch Abzinsung der künftigen Zahlungen• Unterscheidung zwischen stetiger und diskreter Verzinsung

Stetig:

Diskret:

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

4Präsentation Finanzmathematik

• Die Änderung von C0 bei einer Änderung des Marktzinses i erhält man durch die erste Ableitung C‘0(i) bzw. das Differnzial dC0=C‘0(i) * di

• zunächst: Anwendung der stetigen Verzinsung

Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der Zinsänderung di:

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

5Präsentation Finanzmathematik

Zwischenergebnis (bei Anwendung der stetigen Zinsformel):1. Die Duration einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z2,…Zn beim Marktzinsniveau i ist die Zahl D mit

2. Die resultierende relative Änderung von C0 ist gegeben durch:

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

6Präsentation Finanzmathematik

Umgekehrt lässt sich die Duration aus der Definition definieren als:

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

7Präsentation Finanzmathematik

Der eigentliche Bedeutung des Wortes Duration ist Länge/Laufzeit Daher kann die Duration auch anders erklärt werden:

• Der geklammerte Term ist der Barwertanteil der k‘ten Zahlung.

• Jeder zukünftitige Zahlungszeitpunkt wird entsprechend des Barwertanteils

der zugehörigen Zahlung gewichtet

Die Duration ist der gewogene Durchschnitt aller Laufzeiten

Durchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals bis Ende der

Laufzeit

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

8Präsentation Finanzmathematik

Beispiel:

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Duration und relative Veränderung einer Anleihe

9Präsentation Finanzmathematik

Beispiel:

Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)

C0 sinkt um 0,41982% von 106,6156 € auf 106,1680 €

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Macaulay-Duration

10Präsentation Finanzmathematik

Macaulay: Einführung des Durationsbegriffs unter Verwendung der diskreten

Zinsformel:

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Macaulay-Duration

11Präsentation Finanzmathematik

Relative Änderung (ergibt sich wieder aus der ersten Ableitung):

Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der

Zinsänderung di bei diskreter Verzinsung:

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Macaulay-Duration

12Präsentation Finanzmathematik

Relative Änderung von C0 im Vergleich:

Bei stetiger Verzinsung:

Bei diskreter Verzinsung:

Der Term wird auch als „modifizierte Duration“ MD bezeichnet

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Macaulay-Duration

13Präsentation Finanzmathematik

Beispiel:

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14Präsentation Finanzmathematik

Beispiel:

Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)

C0 sinkt um 0,38923% von 107,9854 € auf 107,5651 €

Macaulay-Duration

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Duration als Elastizitätswert

15Präsentation Finanzmathematik

Frage: Wie hoch ist die relative (prozentuale) Veränderung beider

Variablen?• Durch den Elastizitätsbegriff lassen sich der Veränderungen beider Variablen

erklären:

• Unter der Elastizität des Anleihepreises C0 in Bezug auf den

Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen

Veränderungen der beiden Variablen C0 und q

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Duration als Elastizitätswert

16Präsentation Finanzmathematik

Die Macaulay-Duration beschreibt die prozentuale Änderung des

Anleihewertes C0 bei Änderung des Zinsfaktors um ein Prozent

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Duration als Elastizitätswert

17Präsentation Finanzmathematik

Beispiel:

Die Zunahme des Marktzinses auf 8,1% stellt eine Zunahme des Zinsfaktors q in

Höhe von 0,092592% dar.

Aus folgt:

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Übungsaufgabe

18Präsentation Finanzmathematik

15 15 15 15 150

Stetiger/diskreter Marktzins = 5 %

1. Berechnen Sie den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t0 unter Verwendunga) der stetigen Zinsformelb) der diskreten Zinsformel

2. Berechnen Sie die Duration und die prozentuale Veränderung von C0, wenn der Marktzins auf 5,3 % steigt, unter Anwendunga) der stetigen Zinsformelb) der diskreten Zinsformel

3. Wie hoch ist die Elastizität?

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Übungsaufgabe (Lösung)

19Präsentation Finanzmathematik

stetige Verzinsung diskrete Verzinsung

Zeitpunkt Zahlung Barwert Zeitpunkt x Barwert Barwert Zeitpunkt x Barwert1 15 14,2684 14,2684 14,2857 14,28572 15 13,5726 27,1451 13,6054 27,21093 15 12,9106 38,7319 12,9576 38,87274 15 12,2810 49,1238 12,3405 49,36215 150 116,8201 584,1006 117,5289 587,6446

Summe 169,8527 713,3699 170,7182 717,3761Duration   D= 4,1999 MD= 4,2021

di=0,003 0,003

d*C0/C0= stetig -1,2600%

d*C0/C0= diskret -1,2569%

Elastizität=-D= -4,2021