1 Wiederholung: Fadenpendel und mechanischeSchwingungen

1.1 Ungedämpfter harmonischer Oszillator

Ein Fadenpendel besteht aus einer Masse m, die am

Abbildung 1.1 – Das (mathemati-sche) Fadenpendel.

Ende eines Fadens der Länge ` aufgehängt ist. Der Fa-den wird dabei als masselos und die schwingende Masseals punktförmig betrachtet, so daß ` im wesentlichenden Schwerpunktsabstand angibt.

Auf die Masse wirkt ihre Gewichtskraft im Schwerefeld:

G = −mg ey (1.1)

Diese kann in einen radialen Anteil Grad zerlegt wer-den, der in Richtung des Fadens zeigt, sowie in einentangentialen Anteil Gtan, der in Bahnrichtung zeigt.Die Kräfte sind in Abb. 1.1 veranschaulicht. Für ihreBeträge gilt:

Grad = −mg cos θ Gtan = −mg sin θ (1.2)

Dabei beschreibt θ = θ(t) den zeitabhängigen Auslenkungswinkel des Pendelkörpers. Der zu-rückgelegte Weg des Pendels lässt sich im Bogenmaß berechnen durch

s(t) = ` θ(t) (1.3)

woraus unmittelbar die auf ihn wirkende Beschleunigung durch

atan(t) = d2s

dt2 = `d2θ

dt2 (1.4)

folgt. Für kleine Winkel lässt sich der Sinuswert des Winkels durch seinen Betrag im Bogenmaßnähern (lineare Näherung), dann gilt sin θ ≈ θ, so daß für die tangentiale Beschleunigung aufdie Masse gilt:

atan(t) ≈ −g θ(t) (1.5)

Gleichsetzen von Gl. (1.4) und Gl. (1.5) liefert dann eine Bewegungsgleichung für die Pendel-masse, die sog. Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

1

d2θ(t)dt2 = −g

`θ(t) (1.6)

Diese kann gelöst mit einem Lösungsansatz

θ(t) = θ0 cos (ωt+ φ0) (1.7)

mit der Amplitude θ0, der Kreisfrequenz ω und der Phasenverschiebung φ0 gelöst werden. Ein-setzen in Gl. (1.6) liefert dann:

− ω2θ0 sin (ωt+ φ0) = −g`θ0 sin (ωt+ φ0) ⇐⇒

(ω2 − g

`

)sin (ωt+ φ0) = 0 (1.8)

Da im allgemeinen der Sinus-Ausdruck nur für spezielle Werte von t den Wert 0 annimmt, mußder geklammerte Ausdruck identisch 0 sein, um die Differentialgleichung zu lösen. Man hat sodie Kreisfrequenz des Oszillators als

ω =√g

`=⇒ T = 2π

√`

g(1.9)

bestimmt. Die Amplitude und die Phasenverschiebung folgen, indem man die Anfangsbedingun-gen

θ(t = 0) = 10θ(t = 0) = 0

(1.10)

in den Ansatz Gl. (1.7) einsetzt und nachrechnet, als θ0 = 10 und φ0 = 0. Die Schwingung istdurch die blaue Kurve in Abb. 1.2 veranschaulicht.

1.2 Gedämpfter harmonischer Oszillator

Berücksichtigt man zusätzlich die Reibung, die auf die Masse wirkt, so muß auf der rechten Seitevon Gl. (1.6) noch ein Dämpfungsterm

aReib = −2γdθdt (1.11)

eingefügt werden. Dabei bezeichnet man γ als Reibungskoeffizienten. Man erhält dann die Dif-ferentialgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators:

d2θ

dt2 + 2γdθdt + ω2

0θ = 0 (1.12)

Sie wird durch einen Ansatz

θ(t) = θ0 e−γt sin (ωgedt+ φ0) (1.13)

2

Abbildung 1.2 – Bewegung eines gedämpften und eines ungedämpften harmonischen Oszilla-tors.

gelöst, die Amplitude fällt also, im Gegensatz zum ungedämpften Oszillator, exponentiell ab (s.Vergleich der Weg-Zeit-Gesetze in Abb. 1.2). Die Dämpfung beeinflusst auch die Frequenz derSchwingung, diese nimmt mit zunehmender Dämpfung immer weiter ab, es gilt hierbei:

ωged =√ω2

0 − γ2 (1.14)

Für schwache Dämpfungen ist dieser Effekt jedoch vernachlässigbar.

3

2 Drehbewegungen

Man betrachtet einen Wägebalken, an dessen einer

Abbildung 2.1 – Kräfte beim Ziehen aneiner Waage.

Seite ein Gewicht aufgehängt ist, und an dessen an-derer Seite eine beliebig gerichtete Kraft ansetzt.Ausprobieren führt dann schnell zu der Erkenntnis,daß nur der Kraftanteil, der senkrecht zum Wäge-balken steht, hilft, diesen in der horizontalen zu hal-ten. Dieser Kraftanteil bewirkt nämlich ein Dreh-moment, welches das durch das Gewichtsstück ver-ursachte Drehmoment kompensiert.

2.1 Drehmoment und Drehimpuls

Abb. 2.2 zeigt einen Massenpunkt, der sich an ei-

Abbildung 2.2 – Kraft auf einen Masse-punkt

nem Ort r(t) befindet, und auf den eine Kraft Feinwirkt. Diese Kraft entspricht der zeitlichen Än-derung seines Impulses,

F = mdvdt (2.1)

Multipliziert man vektoriell auf beiden Seiten derGleichung den Ortsvektor r an, so erhält man:

r× F = md (r× v)

dt

= mdrdt × v︸ ︷︷ ︸

=0

+m r× dvdt

(2.2)

Der erste Term rechts des Gleichheitszeichens ent-fällt hierbei, da dr

dt = v ist, und das Kreuzprodukt identischer Vektoren den Nullvektor liefert.Der zweite Term enthält den Drehimpuls L:

L = m r× v = r× p (2.3)

Den Term links des Gleichheitszeichens nennt man Drehmoment M:

M = r× F (2.4)

4

Aus dieser Betrachtung folgt auch, daß der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist. Betrachtetman erneut Gl. (2.2) und setzt Gln. (2.3), (2.4) ein, so erhält man eine Gleichung analog zum2. Newton’schen Axiom:

M = dLdt (2.5)

2.2 Trägheitsmoment

Betrachtet man einen Massenpunkt auf einer kreisförmi-

Abbildung 2.3 – Veranschauli-chung der Kreisgeschwindigkeit.

gen Bahn mit Radius r (Ortsvektor r) und der Bahnge-schwindigkeit v, so kann ihm die Kreisgeschwindigkeit ωzugeordnet werden, die durch ω = r× v definiert ist.

Betrachtet man nun einen komplexen Körper, der aus vie-len Massepunkten mi aufgebaut ist, die durch Ortsvekto-ren ri adressiert werden und sich mit Bahngeschwindigkei-ten vi bewegen, so ergibt sich für den Drehimpuls diesesKörpers:

L =∑

imiri × v =

∑imiri × (ω × ri)

= ω

(∑imir

2i,⊥

)︸ ︷︷ ︸

=I

(2.6)

Den Ausdruck

I =∑

imir

2i,⊥ (2.7)

bezeichnet man als das Trägheitsmoment des Körpers. Mit ihm lassen sich analog zur Transla-tionsbewegung Rotationsenergie und Drehimpuls schreiben als:

L = I ω

Erot = 12mr

2⊥ω

2 = 12Iω

2 (2.8)

2.3 Das physikalische Pendel

Für einen ausgedehnten Körper kann man seinen Schwerpunkt (SP) definieren. Lagert man einenKörper außerhalb seines Schwerpunkts, wie in Abb. 2.4 gezeigt, so führt die im Schwerpunktangreifende Gewichtskraft G zu einem Drehmoment um den Drehpunkt (DP). Es gilt dann:

dLdt = d (IDP ω)

dt = IDPd2θ

dt2 (2.9)

5

In Analogie zum Fadenpendel kann man dann die Bewegungsgleichung für den Körper durcheine Drehmomentenbilanz aufstellen. Das Drehmoment ist dann gegeben durch:

Abbildung 2.4 – Dasphysikalische Pendel.

M = IDPd2θ(t)

dt2 = r×G = −mg ` sin θ(t) ≈ −mg ` θ(t) (2.10)

Dies ist wieder eine Differentialgleichung des harmonischen Oszilla-tors, man löst sie analog zu Gl. (1.6). Für die Kreisfrequenz findetsich diesmal

ω =√mg `

IDP(2.11)

Hierbei bezeichnet IDP das Trägheitsmoment bezüglich der Drehach-se. Dieses lässt sich aus dem Satz von Steiner berechnen:

IDP = ISP +Ma2 (2.12)

mit dem Trägheitsmoment bei Rotation um den Schwerpunkt, ISP, der Masse M des Körpersund dem Abstand a der Verbindungslinie von Dreh- und Schwerpunkt.

2.4 Der Mathieu-Oszillator

Ein interessanter Fall ist nun der, daß man die Gewichtskraft des Körpers “moduliert”. Diesentspricht dem Ingangsetzen einer Schaukel durch eine ständige Auf- und Abbewegung desSchaukelnden, also einer Modulation der Schwerpunktlage.

Mathematisch lässt sich dieses Verhalten durch Addition einer modulierten Beschleunigung zumSchwerefeld erfassen, man erhält die “effektive Schwerkraft”:

geff(t) = g + a sin Ωt (2.13)

Man erhält dann die Differentialgleichung:

I d2θ(t)dt2 + 2γ′dθ(t)dt +m`θ(t) (g + a sin Ωt) (2.14)

Division durch I liefert dann die Differentialgleichung des sog. Mathieu-Oszillators:

d2θ(t)dt2 + 2 γdθ(t)

dt + ω20

(1 + a

gsin Ωt

)= 0 (2.15)

mit der Anregungsfrequenz Ω. Diese Differentialgleichung ist analytisch nicht lösbar.

Man kann allerdings für verschiedene Werte der Anregungsfrequenz Ω und der Anregungsam-plitude a das Verhalten des Systems auf (In-)stabilität hin untersuchen, die Ergebnisse sind inAbb. 2.5 zusammengefasst.

6

Anre

gend

e Kra

ft a

stabil

Anregende Frequenz

inst

ab

il

inst

ab

il 7Hz

Anre

gend

e Kra

ft a

stabil

instabil

Anregende Frequenz

Abbildung 2.5 – Verhalten des Mathieu-Oszillators für verschiedene Anregungen. Links:Ω/ω0 ≥ 0, Rechts: Ω/ω0 < 0

Es stellt sich heraus, daß für die eine Kombination von Anregungsfrequenz und -amplitude dasSystem instabil wird. Im instabilen Zustand genügen kleinste Störungen, um das Pendel ausseiner Ruhelage auszulenken. So gerät es bei Anregung mit ca. 7 Hz ohne Eingreifen durch denExperimentator in Schwingung. Für noch höhere Frequenzen und Anregungskräfte lässt sich dasPendel sogar auf den Kopf stellen.

7

Experimente zur

Selbstorganisation

Modelle für den Kosmos und

die belebte Natur

Das Phänomen

Wellen Wirbel Wanderdünen

Aus: www-imk.physik.uni-karlsruhe.de

Kosmologische Strukturen

Modell des Urknalls Numerische Simulation der Supernova 1987A

Chemie und Biologie?

Belousov-Zabatinski (chemische Reaktion)

Schleimpilze (Dictyostelium)

Physik und Biologie?

Eiskristalle

(dentritisches Wachstum)

Bakterienkultur

Modelle

Fragestellung

1.) Verwunderung über regelmäßige,

symmetrische Strukturen in der Natur

2.) Technische Fragestellungen:

Probleme bei der Fertigung (Vermeidung!)

3.) Kann die klassische Wissenschaft der unbelebten Materie bei dem

Verständnis der belebten Natur hilfreich sein?

Tatsache: Belebte Natur neigt zur Strukturbildung

Mechanismen

Genetik

Zufall

Physik. + Chem.

Gesetze

Lebensform

Ingredienzen

1.) Energieaustausch mit der Umgebung (Antrieb)

2.) Instabilität

3 Zutaten

3.) Nichtlinearität bestimmt Musterselektion

Antrieb

Str

uk

tur

B

A

Kleiner Antrieb: Keine Struktur !!!

Starke Nichtlinearität:

Chaos

Die Welt schwingt: Das physikalische Pendel

2

02 0g

Die Welt schwingt: Das physikalische Pendel

sing g a t

2

02 0g

2

02 1 sin 0a

tg

Der Mathieuoszillator

Die Welt schwingt

Anr

egen

de K

raft

a

stabil

Anregende Frequenz

ins

tab

il

ins

tab

il

7Hz

Die Welt schwingt auf dem Kopf

Anr

egen

de K

raft

a

stabil

instabil

Anregende Frequenz

Wellen:2 Beispiele

3 Zutaten ?

Das Faraday Experiment

Lautsprecher Verstärker Frequenzgenerator

Wellen:Theorie

Wellenlänge durch antreibende

Frequenz einstellbar

=> Dispersionsrelation Frequenz [Hz]

Wel

lenlä

nge

[m]

Stehende Wellen

Muster:Theorie

N=1->Linien N=2->Quadrate N=3-> hexagones

Ginsburg Landau Gleichung

2* * ( )N

t j j l m lj l j

l

H

Wellen:Experimente !!!

Experimenteller Aufbau

glass plate

vibration exciter

PT-100

accelerometer

CCD

heating filament

DA/AD

temperature controler

IEEE

power amplifier

PC

LED´s

max. shaker elongation: 54 mm

max. force: 4200N

container diameter: 290 mm

-> closed loop algorithm at low

CCD-camera: synchronized

The quantitative determination of the

surface profile

Dye isNiSO4with an

absorption at 6-800nm

1 1

cos * oscN

j j

j i

itH k x