13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Gleichgewichte in Systemen reversibler chemischer Reaktionen
Prof. Dr. Dieter Bothe,
Matthias Köhne, Alexander Lojewski Center for Computational Engineering Science, RWTH Aachen
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Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Inhaltsverzeichnis
Chemische Grundlagen- Kinetik
• Größen und Konstanten
• Zielsetzung und Ansatz
• Begriffbestimmung
• Massenwirkungskinetik
• kinetische Gastheorie
• Geschwindigkeitskonstante
• Arrhenius-Beziehung
• Reaktionsgeschwindigkeit
• Übersicht Reaktionskinetik
• reversible Reaktionen
• Beispiel: Michaelis-Menten Kinetik
Systeme unabhängiger,reversibler Reaktionen
• Modell
• Kinetik
• Analyse
• Equilibria
• Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
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verwendete Größen
Nomenklatur der verwendeten Größen
Teilchenzahl N
Stoffmenge [n] = mol
Konzentration [c] oder [Spezies] = mol m-3
molare Masse [M] = kg mol-1
Masse [m] = kg
Volumen [V] = m3
Temperatur [T] = K
Geschwindigkeitskonstante k (Einheit abhängig von Ordnung der Reaktion)
mittlere Teilchengeschwindigkeit1
50
smM
RT8c
,
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Konstanten
Avogadro - Konstante NA = 6,023×1023 mol-1
Loschmidt - Konstante NL = 2,687×1025 m-3
Boltzmann-Konstante kB=1,38066×10-23 J K-1
allgemeine Gaskonstante R = kB NA = 8,314 J (mol K)-1
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Ansatzmöglichkeiten
• thermodynamischer Ansatz
• kinetischer Ansatz
Zielsetzung
Zielsetzung
Numerische Berechnung von Gleichgewichtszuständen in Systemen reversibler Reaktionen
hier: kinetischer Ansatz
Der Gleichgewichtszustand wird durch die Konzentrationen aller beteiligten Spezies beschrieben.
Die Konzentrationen der Spezies ändern sich, während das System asymptotisch auf den Gleichgewichtszustand zustrebt.
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Bei der chemischen Reaktion werden die Edukte (Ausgangsstoffe) durch die Reaktion zu den Produkten umgesetzt.
42312211 AAAA
mit i, i = stöchiometrischer Koeffizient
Die Reaktionskinetik beschreibt die zeitliche Änderung der Konzentration eines Reaktanden auf Grund chemischer Reaktionen.
Nebenbedingung
Bei einer chemischen Reaktion bleibt die Gesamtmasse eines geschlossenen Systems konstant
Einführung
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Begriffbestimmung
Geschwindigkeitsgesetz
Die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion ist der Konzentration aller an der Reaktion beteiligten Reaktanden proportional.
n
0ii
ickr
Nur bei Elementarreaktionen kann das Geschwindigkeitsgesetz aus der Reaktionsgleichung abgeleitet werden. In allen anderen Fällen muss es experimentell ermittelt werden.
Die Rate r gibt dabei an, wie oft die chemische Reaktion in einer Zeiteinheit pro Einheitsvolumen stattfindet.
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Begriffbestimmung
Ordnung
Potenz, mit der die Konzentration einer bestimmten Spezies in dem Geschwindigkeitsgesetz erscheint. Die Ordnung gilt dabei nur für die jeweilige Spezies und eine Reaktion.
Reaktionsordnung
Die Reaktionsordnung gibt die Summe der Ordnungen aller an einer Reaktion beteiligter Spezies wieder.
22 NO2ONO2
Beispiel: Reaktion dritter Ordnung
2O2NO cckr
Die Reaktionsordnung kann nicht immer angegeben werden. Beispiel: H2 + Br2 2HBr
HBrkBr
BrHkr
2
5122
'
,
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Begriffbestimmung
Beispiele
52ONckr 2252 ONO4ON2
22 NO2ONO2 2O
2NOcckr
HBrkBr
BrHkr
2
5122
'
,
HBr2BrH 22
Gesamtreaktion Geschwindigkeitsgesetz
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BA
BA
P
• Reaktion findet statt, wenn A und B zusammenstoßen
• Reaktionsrate ~ Stoßwahrscheinlichkeit
• Stoßwahrscheinlichkeit ~ Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen A und Teilchen B am gleichen Ort sind
• Wahrscheinlichkeit ein Teilchen A anzutreffen ~ cA
• Annahme: Wahrscheinlichkeiten für A und B unabhängig voneinander
k > 0 Reaktionsgeschwindigkeits- konstanteBA cckr
Massenwirkungskinetik
Die Gleichung des Geschwindigkeitsgesetzes kann aus der kinetischen Gastheorie abgeleitet werden.
Massenwirkungskinetik
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Herleitung aus der kinetischen Gastheorie
Reaktionskinetik und kinetische Gastheorie
2d
tcs
ANc2Z A
Stoßquerschnitt
Wegstrecke
Stoßdichte (unimolekulare Stöße)
c2crel
Stoßdichte (bimolekulare Stöße)
BANTk8
Z 2BAB A
BA
BA
mm
mm
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Geschwindigkeitskonstante
Herleitung aus kinetischer Gastheorie
Eine chemische Reaktion erfolgt nur, wenn die kinetische Energie der Teilchen in Stoßrichtung größer ist, als die Aktivierungsenergie (EA).
Die Aktivierungsenergie ist die Energie, welche die Teilchen mindestens besitzen müssen, damit sie miteinander reagieren können.
Boltzmann-Verteilung
In einem Teilchenensemble ist der Bruchteil der Teilchen, die diese Mindestenergie besitzen, gegeben zu:
RT
Ef Aexp
Definition der Geschwindigkeitskonstanten
Aus der Stoßdichte und der Boltzmann-Verteilung der Energie folgt die Geschwindigkeitskonstante zu:
RT
EN
Tk8k A
A
50
B exp.
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Temperaturabhängigkeit
kinetische Gastheorie
Durch eine Temperaturerhöhung besitzen mehr Teilchen die zur Reaktion erforderliche Mindestenergie.
RT
Ekk A
0 lnln
Temperaturabhängigkeit der Reaktion (Arrhenius-Beziehung)
k0 = Frequenzfaktor, präexponentieller Faktor
EA = Aktivierungsenergie
R = allgemeine Gaskonstante
Van‘t Hoff‘sche Regel: Die Erhöhung der Temperatur um T = 10K führt annähernd zu einer Verdopplung der Reaktionsgeschwindigkeit!
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Definition der Reaktionsgeschwindigkeit
2
2
1
1
i
i
AAA
A
cckdt
dc1
Die Änderungsrate eines Reaktanden ist von der Stöchiometrie abhängig und gilt deshalb nur für diesen einen Reaktanden.
Die Reaktionsgeschwindigkeit eines Reaktanden ist die Summe der Geschwindigkeitsgesetzte aller Reaktionen, an denen der Reaktand teilnimmt unter Einbezug des jeweils geltenden stöchiometrischen Koeffizienten.
Reaktionen j
ji
ii
i
n
1j
m
1ijAjjA
A ckdt
dc,
,,
0:Edukte
0 :Produkte
i
i
Reaktionsgeschwindigkeit (einer Elementarreaktion)
i = i - i
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Übersicht Reaktionskinetiken
Ordnung Reaktion Reaktionsgeschwindigkeit int. Geschwindigkeitsgesetz
0 A P kdt
dcv P 0Pc0für ,AP cckt
1 A P AP ckdt
dcv
P,A
,A
cc
clnkt
0
0
2
2A P
A + B P
Autokatalyse
A + P 2P
2A
P ckdt
dcv
BAP cckdt
dcv
PAp cckdt
dcv
P,A,A
P
ccc
ckt
00
00
00
00
1
,BP,A
P,B,A
,A,B ccc
cccln
cckt
00
00
00
1
,PP,A
P,P,A
,P,A ccc
cccln
cckt
3 A + 2B P 2BA
p cckdt
dcv
00
00
200
0000
2
2
1
22
2
,BP,A
P,B,A
,B,A
,BP,B,B,A
P
ccc
cccln
cc
ccccc
ckt
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Übersicht Reaktionskinetiken
4
321
2
1
A
AAA
k
k
21
4
21
3
1
1
AA2A
AA1A
A21A
cckdt
dc
cckdt
dc
ckkdt
dc
Parallelreaktionen
32121 AAA kk
2
3
21
2
1
1
A2A
A2A1A
A1A
ckdt
dc
ckckdt
dc
ckdt
dc
Folgereaktionen
423
321
2
1
AAA
AAAk
k
23
4
3221
3
3221
2
21
1
AA2A
AA2AA1A
AA2AA1A
AA1A
cckdt
dc
cckcckdt
dc
cckcckdt
dc
cckdt
dc
21
2
1
AAk
k
21
1
21 AAA ckckdt
dc
reversible Reaktionen (rhin = rrück)
konsekutive Folgereaktion
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reversible Reaktionen
Die meisten chemischen Reaktionen sind reversibel und führen zum chemischen Gleichgewicht.
Kennzeichen des chemischen Gleichgewichts
• Die Konzentrationen der an dem Gleichgewicht beteiligten Spezies ändern sich nicht mehr: tc(Ai) = 0
• Die Reaktionsgeschwindigkeit der Produktbildung ist gleich der Reaktions- geschwindigkeit mit der die Edukte zerfallen.
chemisches Gleichgewicht
onRückreaktinHinreaktio rr
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reversible Reaktionen
Massenwirkungsgesetz (MWG)
Das Massenwirkungsgesetz liefert auch die Lage des chemischen Gleichgewichts. Im Falle einer reversiblen Reaktion gilt:
onRückreakti
nHinreaktion
1ii
n
1ii
c k
k
c
cK
Edukte
Edukte
Produkte
Produkte
Die stöchiometrischen Koeffizienten der Reaktionsgleichung treten als Exponenten auf.
allgemein
Gekoppelte reversible Reaktionen führen auf nichtlineare Gleichungssysteme die nicht mehr analytisch, sondern nur noch numerisch lösbar sind.
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reversible Reaktionen
Temperaturerhöhung führt bei exothermen chemischen Reaktionen zu einer Verschiebung des Gleichgewichts in Richtung der Edukte, bei endothermen Reaktionen in Richtung der Produkte.
2p
RT
H
dT
Kd
lnvan‘t Hoffsche Gleichung
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Beispiel: Michaelis-Menten-Mechanismus
Michaelis-Menten-Mechanismus
Ansatz zur Beschreibung der enzymatischen Katalyse
E + S ES P + E
Definition
E = Enzym; S = Substrat; ES = Enzymsubstratkomplex; P = Produkt
khin Bildungsreaktion ES; krück Rückbildung Edukte; k2 Produktbildung
Randbedingungen
c(Substrat) >> c(Enzym); khin, krück >> k2
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Beispiel: Michaelis-Menten-Mechanismus
E + S ES P + E
ESkESkSEkdt
Ed2rückhin
ESkSEkdt
Sdrückhin
ESkESkSEkdt
ESd2rückhin
ESkdt
Pd2
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Inhaltsverzeichnis
Chemische Grundlagen - Kinetik
• Größen und Konstanten
• Zielsetzung und Ansatz
• Begriffbestimmung
• Massenwirkungskinetik
• kinetische Gastheorie
• Geschwindigkeitskonstante
• Arrhenius-Beziehung
• Reaktionsgeschwindigkeit
• Übersicht Reaktionskinetik
• reversible Reaktionen
• Beispiel: Michaelis-Menten Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
• Modell
• Kinetik
• Analyse
• Equilibria
• Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
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Hier: Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Beteiligte Spezies: nAAA ,,, 21 m Reaktionen, n Spezies )( nm
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
nnmmmnnmmm
nnjjjnnjjj
nnnn
nnnn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
,22,11,,22,11,
,22,11,,22,11,
,222,211,2,222,211,2
,122,111,1,122,111,1
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
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Hier: Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
m Reaktionen, n Spezies
Beteiligte Spezies:
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc nAAA ,,, 21 )( nm
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
nnmmmnnmmm
nnjjjnnjjj
nnnn
nnnn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
,22,11,,22,11,
,22,11,,22,11,
,222,211,2,222,211,2
,122,111,1,122,111,1
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
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Hier: Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
nnmmmnnmmm
nnjjjnnjjj
nnnn
nnnn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
,22,11,,22,11,
,22,11,,22,11,
,222,211,2,222,211,2
,122,111,1,122,111,1
)( nm
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
nAAA ,,, 21
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Hier: Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jjj (linear unabhängig)
nnmmmnnmmm
nnjjjnnjjj
nnnn
nnnn
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
,22,11,,22,11,
,22,11,,22,11,
,222,211,2,222,211,2
,122,111,1,122,111,1
)( nm
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
nAAA ,,, 21
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Hier: Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
Aj , Aj , mj ,,2,1
(linear unabhängig)
)( nm ),,,( 21 nAAAA
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Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jjjjnjjjnjjj cckckckccckccckcr jjjjnjnjj ,2,1,,2,1,
2121)(
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jjjjnjjjnjjj cckckckccckccckcr jjjjnjnjj ,2,1,,2,1,
2121)(
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jjjjnjjjnjjj cckckckccckccckcr jjjjnjnjj ,2,1,,2,1,
2121)(
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jjjjnjjjnjjj cckckckccckccckcr jjjjnjnjj ,2,1,,2,1,
2121)(
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jj cckcr jjj )(
j
jj k
k
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Kinetik
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
Beteiligte Spezies:
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektoren der j-ten Reaktion:
),,,( ,2,1, njjjj ),,,( ,2,1, njjjj
jjj
Konzentrationen: ),,,( 21 ncccc
jk
jkmj ,,2,1
(linear unabhängig)
jj cckcr jjj )(
j
jj k
k
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
)( nm
Aj , Aj ,
),,,( 21 nAAAA
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
nAAA ,,, 21 m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
)( nm
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
nAAA ,,, 21 )( nm
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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Reversible chemische Reaktionen
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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Bothe, Köhne, Lojewski
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®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum
Se
nAAA ,,, 21 )( nm
dann: 0))((,),(,)(1
0
m
jjj tcreetcectc
dt
d
0,)0(,)( 00 eccconstectcalso:
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®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
nAAA ,,, 21 )( nm
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Analyse
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®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
Equilibrium: 0,)( ttctc Eq
nAAA ,,, 21 )( nm
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®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
Equilibrium: 0,0)( tttc Damit:0,)( ttctc Eq
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
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Bothe, Köhne, Lojewski
Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
Equilibrium: 0,/1 ttc jEqj
Damit:0,)( ttctc Eq
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
jEqjjiEq
n
iji
j
n
iiEq ccc ij
lnln,ln)ln(
1)(
1,
1
,
Equilibrium: 0,)( ttctc Eq 0,/1 ttc jEq
j Damit:
nAAA ,,, 21 )( nm
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Analyse
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
01
)0(,0,))(()( ccttcrtcm
jjj
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Konzentrationsverlauf ))(,),(),(()( 21 tctctctcc n ≫ 0
jj cckcr jjj )(
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
mS ,,,span 21 ℝ nStöchiometrischer Raum Sctc 0)(Damit:
jEqj c lnln, Equilibrium: Damit:0,)( ttctc Eq
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
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Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
SccEq 0 jEqj c lnln,
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
SccEq 0 jEqj c lnln, m Gleichungen
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
SccEq 0 jEqj c lnln, m Gleichungen
Wähle eine (n – m) x n Matrix E mit N(E) = S
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
SccEq 0 jEqj c lnln, m Gleichungen
Wähle eine (n – m) x n Matrix E mit N(E) = S
Dann: 0EcEcEq
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
jEqj c lnln, m Gleichungen
Wobei E eine (n – m) x n Matrix ist mit N(E) = S
0EcEcEq
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Equilibrium
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
®1;1C1 + ®1;2C2+ ::: + ®1;nCn
m Reaktionen, n Spezies
Stöchiometrische Vektorenjjj
),,,( )0()0(2
)0(10 ncccc
Gegeben:
mm ,,,,,,, 2121 ℕ
n0
und m ,,, 21 linear unabhängig
Anfangskonzentrationen ≫ 0Gesucht: Equilibrium ))(,,)(,)(( 21 nEqEqEqEq cccc ≫ 0
Kinetische Koeffizienten 0, jj kk 0/ jjj kkund
jEqj c lnln, m Gleichungen
Wobei E eine (n – m) x n Matrix ist mit N(E) = S
0EcEcEq n - m Gleichungen
nAAA ,,, 21 )( nm
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
16.400.1
16.41
ee
e
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
16.400.1
16.41
ee
e 23.123.8
31.12
ee
e
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
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HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,0,0,1,1(1 )0,0,0,1,1,0,0(1 )0,0,0,1,1,1,1(1 )0,0,1,0,0,0,1(2 )0,1,0,1,0,0,0(2 )0,1,1,1,0,0,1(2 )1,0,0,0,1,0,0(3 )0,0,1,1,0,0,0(3 )1,0,1,1,1,0,0(3
16.400.1
16.41
ee
e 23.123.8
31.12
ee
e 27.921.7
39.63
ee
e
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
HOHHOH
HOHOHH
HOHOHH
22
322
22 00.1 e
16.4 e
23.8 e
31.1 e
21.7 e
39.6 e
HAOHAOHAHAOHAOHAHA 73625423221 ,,,,,,
)0,0,0,1,1,1,1(1 )0,1,1,1,0,0,1(2
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16.400.1
16.41
ee
e 23.123.8
31.12
ee
e 27.921.7
39.63
ee
e
1110000
0110110
0100011
1001001
E
13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
)0,0,0,1,1,1,1(1 )0,1,1,1,0,0,1(2
)1,0,1,1,1,0,0(3
16.400.1
16.41
ee
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1110000
0110110
0100011
1001001
E
375433
265412
143211
407654
3065323
206212
107411
lnlnlnlnlnln,
lnlnlnlnlnln,
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13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
)0,0,0,1,1,1,1(1 )0,1,1,1,0,0,1(2
)1,0,1,1,1,0,0(3
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13.11.2007RWTH Aachen
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Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
)0,0,0,1,1,1,1(1 )0,1,1,1,0,0,1(2
)1,0,1,1,1,0,0(3
16.400.1
16.41
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407654
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206212
107411
lnlnlnlnlnln,
lnlnlnlnlnln,
lnlnlnlnlnln,
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ccccc
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Eq
Eq
Eq
Eq
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Eq
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0EcEcEq
13.11.2007RWTH Aachen
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Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
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31.12
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e 27.921.7
39.63
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0110110
0100011
1001001
E
375433
265412
143211
407654
3065323
206212
107411
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13.11.2007RWTH Aachen
Reversible chemische Reaktionen
Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
Systeme unabhängiger, reversibler Reaktionen
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Bothe, Köhne, Lojewski
Beispiel: Entstehung einer Nova aus einem Fixstern
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