UNIVERSITÄT SIEGEN

Baudynamik (Master) – SS 2017

2. Schwingungen eines Einmassenschwingers

2.1 Freie Schwingungen

2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

2.2 Erzwungene Schwingungen

2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1

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Baudynamik (Master) – SS 2017

2. Schwingungen eines Einmassenschwingers

2.1 Freie Schwingungen

2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.

2

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2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.1 Freie Schwingungen

Baudynamik (Master) – SS 2017

3

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Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

0mx+cx= 2 0x+ x=Schwingungsgleichung2. Newtonsches Gesetz:

cm

Eigenfrequenz:

Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Diedynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingungdes Systems beschrieben.

4

UNIVERSITÄT SIEGEN

Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Lösung der Differentialgleichung:

Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.

( ) cos sin( )x t A t B t

0 0

00

(0)

(0)

x x A xvx v B

Anfangsbedingungen:

00( ) cos sin( )vx t x t t

Lösung der Differentialgleichung:

5

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Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Alternative Darstellung der Lösung:

( ) cosx t C t Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.

0

0

(0)(0)x xx v

Anfangsbedingungen:

220 0

0

0

/

arctan

C x v

vx

: Schwingungsamplitude: Phasenwinkel

C

6

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Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Einfluss des Eigengewichtes:

2 0x+ x=Schwingungsgleichung:

cm

Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn dieAuslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.

Eigenfrequenz:

stmgxc

Statische Ruhelage:

7

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Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Andere Beispiele:

1.) Mathematisches Pendel

sin bei 1

sin 0g+ =l

0g+ =l

2 0+ =

gl

8

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Freie ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.) Physikalisches Pendel

sin bei 1

sin 0A +mgl =

0A +mgl =

2 0+ = A

mgl

Trägheitsmoment: A

9

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2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.1 Freie Schwingungen

Baudynamik (Master) – SS 2017

10

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Federkonstanten

FF c l cl

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Beispiel: Stab

Federzahl bzw. Federkonstante:

KraftFederzahlVerschiebung

l l

Fl F EAl cEA l l

F

11

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Federkonstanten

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Beispiel: Balken

3

3

48 48 BFl F EIw cEI w l

12

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Federkonstanten

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 13

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Federschaltungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!

1.) Parallelschaltung

1 2F c x c x c x

xx

1 2c c c

Verallgemeinerung: 1 21

...N

N ii

c c c c c

14

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Federschaltungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!

2.) Reihenschaltung

1 1 2 2

1 2

F c x c x c xx x x

2x x

1 2

F F Fxc c c

Verallgemeinerung:

1x

1 2

1 1 1c c c

11 2

1 1 1 1 1...N

iN ic c c c c

15

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Federschaltungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung

12 1 2c c c

12 3 1 2 3

1 1 1 1 1c c c c c c

12c 3c

16

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2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.1 Freie Schwingungen

Baudynamik (Master) – SS 2017

17

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Dämpfungskraft: dF dx

Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).

Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.

d: Dämpfungskonstante (Einheit: Kraft/Geschwindigkeit)

F

,x x

dFd

18

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Newton: mx cx dx

0mx dx cx

22 0x x x 2dm

: Abklingkoeffizient

cm

19

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Freie gedämpfte Schwingungen

tx Ae

2 22 0

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Exponentialansatz:

Charakteristische Gleichung

22 0x x x

2 2 21,2 1D

D

: Dämpfungsgrad, Lehrsches Dämpfungsmaß

20

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

1.) D>1: Starke Dämpfung

2

1,20

1 (reell)D

1 21 2 1 2

t t t t tx A e A e e Ae A e Lösung:

Kriechbewegung (keine Schwingung)!

1 0 bei , da !t te Ae t

Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

21

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.) D=1: Aperiodischer Grenzfall

2

1,20

1 (reell)D

1 21 2 1 2

t t tx Ae A te e A A t Lösung:

Kriechbewegung (keine Schwingung)!

1 2( ) 0 bei !tx t e A A t t

Die Konstanten A1 und A2 können aus den AB bestimmt werden.

Der Ausschlag im Grenzfall D=1 klingt schneller als bei starker Dämpfung D>1 ab!

, 2d mc Im Grenzfall D=1:

22

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

3.) D<1: Schwache Dämpfung

2 2

1,20 0

1 1 (komplex)dD i D i

1 21 2 1 2

1 2 1 2 = ( ) cos( ) ( )sin( )

= cos( ) sin( )

d di t i tt t t

td d

td d

x Ae A e e Ae A e

e A A t i A A t

e A t B t

Lösung:

Die Konstanten A und B können aus den AB bestimmt werden.

cos( )tdx Ce t Alternativ:

Die Bewegung ist eine Schwingung!23

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Freie gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

( )

( ) cos( )

( ) cos ( )

cos( )

d

d

td

t Td d d

Ttd

x t Ce t

x t T Ce t T

Ce e t

( )( )

dT

d

x t ex t T

2

( ) 2 2ln( ) 1

dd d

x t DTx t T D

Logarithmisches Dekrement

Das logarithmische Dekrement kann experimentell bestimmt werden. Danach kann D oder dbestimmt werden!

24

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Freie gedämpfte Schwingungen

Abklingkoeffizient D 2 2(2 )

Dämpfungsgrad D

2 2(2 )

Logarithmisches Dekrement 2 2

2

2

21DD

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Zusammenfassung: Dämpfung

2dm

25

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Baudynamik (Master) – SS 2017

2. Schwingungen eines Einmassenschwingers

2.2 Erzwungene Schwingungen

2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.

26

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2.2.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.2 Erzwungene Schwingungen

Baudynamik (Master) – SS 2017

27

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

0 cos( )mx+cx= F t

2 20 cos( )x+ x= x t

( ) ( )h px t x t x t Allgemeine Lösung:

( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung

h

p

x tx t

Differentialgleichung:

00Fxc

Statische Auslenkung:

28

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der ungedämpften freien Schwingung:

( ) coshx t C t

0( ) cospx t x V t Partikularlösung:

: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-FrequenzgangV

Durch das Einsetzen der Partikularlösung in die Dgl. kann die Vergrößerungsfunktion V bestimmt werden.

29

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

Vergrößerungsfunktion:2

2 2 2

11

V

Frequenzverhältnis, Abstimmung:

30

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Sonderfälle:

0 0

Statischer Ausschlag!

1V

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

1.) Statische Belastung:

00( )pFx t xc

31

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

1

Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz ist. In diesem Fall ist die Schwingungsamplitude unendlich groß!

Daher: Resonanz möglichst vermeiden!

V

01( ) sin2px t x t t

Partikularlösung im Resonanzfall:

instabil!

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

2.) Resonanz:

( )px t

32

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Bei sehr hoher Erregerfrequenz keine Antwort vom System! Das System ist nicht mehr in der Lage, auf die Erregung zu reagieren!

0V

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

3.) Sehr große Erregerfrequenz:

( ) 0px t

33

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Die Konstanten C und können aus den Anfangsbedingungen (AB) bestimmt werden.

0cos( ) cos( )h px x x C t x V t

Allgemeine Lösung:

Erzwungene ungedämpfte Schwingungen

34

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2.2.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.2 Erzwungene Schwingungen

Baudynamik (Master) – SS 2017

35

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Arten der Erregungen

0 cosEx x t

Mögliche Fälle:

1.) Krafterregung

2.) Federerregung

3.) Dämpfererregung

4.) Unwuchterregung

5.) Fußpunkterregung 2.) 3.)

4.) 5.)

1.)

Für alle 5 Fälle kann eine einheitliche Differential-gleichung bzw. Schwingungsgleichung hergeleitet werden!

36

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

02

1 2 cosDx x x x E t

2

1, Fall 1.), 2.): Krafterregung & Federerregung2 , Fall 3.): Dämpfererregung

, Fall 4.), 5.): Unwuchterregung & FusspunkterregungE D

( ) ( )h px t x t x t

Differentialgleichung:

Allgemeine Lösung:

( ) : homogene Lösung( ) : Partikularlösung

h

p

x tx t

37

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Homogene Lösung:Die homogene Lösung ist gleich der Lösung der freien gedämpften Schwingung. Sie klingt exponentiell ab.

( ) costh dx t Ce t

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

38

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( ) ( )h px t x t

0( ) cospx t x V t

Homogene Lösung:

Partikularlösung:

Nach hinreichend großer Zeit ist xh(t) im Vergleich zu xp(t)vernachlässigbar klein, d.h.,

Die Schwingung bis zu diesem Zeitpunkt tE nennt man Einschwingvorgang!

: Vergrößerungsfunktion, Amplituden-Frequenzgang: Phasenverschiebung, Phasen-Frequenzgang

V

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

( ) ( ) ( ) ( ), h p p Ex t x t x t x t t t

39

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2

2

cos( ) : (- cos 2 sin cos )sin( ) : - sin 2 cos sin 0

t D V Et D

Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungs-funktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden.

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

...tan ...V

40

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2

2tan1D

Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang:

Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang:

2 2 2 2(1 ) 4

EVD

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

41

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Fall 1.) & 2.): V1

Fall 3.): V2

Fall 4.) & 5.): V3

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

42

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

(0)V (1)V ( )V m ( )m mV

Fall 1.) und 2.) 1 12D

0 21 2D 2

1

2 1D D

Fall 3.) 0 1 0 1 1

Fall 4.) und 5.) 0 1

2D 1 2

1

1 D

2

1

2 1D D

(0) (1) ( )

Fall 1.) – 5.) 0 2

Charakteristische Werte von V() und ():

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

43

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

Eigenschaften von V1: Fall 1.) & 2.)

1

2 2 21

21

# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.

# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1 2 .

# 0,5 : 1 bei 0, Kurven fallen monoton gegen 0.

m m

m m

m m

DD V D

D V D D D

D V

Eigenschaften von V2: Fall 3.)

2Maximum 1 ist unabhängig von und immer bei 1!m mV D

44

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Erzwungene gedämpfte Schwingungen

Eigenschaften von V3: Fall 4.) & 5.)

3

2 2 23

23

# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.

# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1/ 1 .

# 0,5 : 1 bei , Kurven wachsen monoton gegen 1.

m m

m m

m m

DD V D

D V D D D

D V

Phasenverschiebung für alle 5 Fälle:# 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz).# 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase.# 1: Hohe Erregerfrequenz, , Ausschlag und Erregung in Gegenphase.

D

Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt!

45