Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-1
3. Erzwungene Schwingungen
3.1 Grundlagen3.2 Tilger3.3 Kragbalken3.4 Fahrbahnanregung
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-2
3.1 Grundlagen
● Untersucht wird die Antwort des Systems auf eine Anre-gung mit harmonischem Zeitverlauf.
● Bewegungsgleichung:● Harmonische Last:
– An jedem Freiheitsgrad des Systems kann eine harmonische Last angreifen:
– Die Lasten werden zum Lastvektor zusammengefasst:
M üDu̇K u=F t
F t =F c cos t F s sin t
F i t =F ai sin t−i =F si sin t F cicos t
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-3
3.1 Grundlagen
– Wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad kann der Last-vektor in komplexer Form dargestellt werden:
– Dabei bestehen die Zusammenhänge
F t =12 F 0e
i t F0e−i t
F 0=F c−i F s , F c=ℜ F0 , F s=−ℑ F 0
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-4
3.1 Grundlagen
● Lösungsansatz für den eingeschwungenen Zustand:– Wie bei Systemen mit einem Freiheitsgrad hat die Antwort
für jeden Freiheitsgrad einen harmonischen Zeitverlauf, wobei die Frequenz gleich der Erregerfrequenz ist:
– Der Ansatz für den Verschiebungsvektor lautet daher
– Die komplexe Darstellung des Verschiebungsvektors lautet
ui t =uai sin t−i =usi sin t uci cos t
u t =us sin t uc cos t
u t =12
U ei t U e−it
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3.1 Grundlagen
– Zwischen den reellen Amplituden us und u
c und der kom-
plexen Amplitude U bestehen die Zusammenhänge
– Ableitungen des Verschiebungsvektors:
U=uc−i us , uc=ℜ U , u s=−ℑ U
u̇ t = i2
¿ U ei t− U e−i t , ü t =−2
2U ei t U e−i t
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-6
3.1 Grundlagen
● Lösung:– Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsglei-
chung führt auf
– Daraus folgt:
– Für jede Erregerfrequenz Ω kann die komplexe Verschie-bung U (Ω) durch Lösen eines komplexen linearen Glei-chungssystems berechnet werden.
−2MiDK U=F0
−2MiDK U ei t−F0ei t
−2M−iDK U e−i t− F0e−i t=0
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-7
3.1 Grundlagen
● Frequenzganganalyse:– Die Ermittlung der Antwort U(Ω) in Abhängigkeit von der Er-
regerfrequenz Ω wird als Frequenzganganalyse bezeichnet.– Direkte Frequenzganganalyse:
● Das komplexe Gleichungssystem wird für jede Er-regerfrequenz gelöst.
● Die direkte Frequenzganganalyse ist effizient, wenn die Glei-chung nur für wenige Erregerfrequenzen gelöst werden muss.
– Modale Frequenzganganalyse:● Das komplexe Gleichungssystem wird vor dem Lösen mit Hil-
fe der Eigenvektoren auf modale Koordinaten transformiert.
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-8
3.1 Grundlagen
● Die modale Freqenzganganalyse ist effizient, wenn die Glei-chung für viele Erregerfrequenzen gelöst werden muss und modale Dämpfung vorliegt.
– Modale Reduktion:● Bei Systemen mit einer großen Anzahl von Freiheitsgraden
werden bei der Transformation auf modale Koordinaten nur die Eigenvektoren zu den niedrigen Eigenfrequenzen benutzt.
● Diese Näherung ergibt gute Ergebnisse, wenn die Antwort der weggelassenen Eigenschwingungen quasi-statisch ist.
● Dazu müssen alle Eigenschwingungen berücksichtigt werden, deren Eigenfrequenz unterhalb des dreifachen Wertes der höchsten Erregerfrequenz liegt.
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-9
3.2 Tilger
● Als Beispiel für eine direkte Frequenzganganalyse wird ein ungedämpftes System mit zwei Freiheitsgraden be-trachtet.
● Verschiebungsvektor:
● Lastvektor:
F t =F 0cos t F0=[F 00 ]
U=[V 1V 2]c
1 /2 c1 /2
c2
m1
m2
F(t)
v1
v2
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3.2 Tilger
c1 /2 c1 /2
c2
v1
F2
F1
c1 /2 c1 /2
c2
v2F
2
F1
[F 1F 2]=[c1c2−c2 ]v1 [F 1F 2]=[−c2c2 ]v2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-11
3.2 Tilger
● Steifigkeits- und Massenmatrix:
● Komplexe Bewegungsgleichung:
K=[c1c2 −c2−c2 c2 ] M=[m1 00 m2]−2MK U=F 0
[−2m1c1c2 −c2−c2 −2m2c2][V 1V 2]=[F 00 ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-12
3.2 Tilger
– Lösung mit Cramerscher Regel:
V 1=∣F 0 −c20 −2m2c2∣
, V 2=
∣−2m1c1c2 F 0−c2 0 ∣
=∣−2m1c1c2 −c2−c2 −2m2c2∣
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-13
3.2 Tilger
● Ergebnis:
– Der Nenner verschwindet, wenn Ω mit einer der beiden Resonanzfrequenzen ω
1 oder ω
2 übereinstimmt.
– Die Verschiebung V1 der Masse m
1 verschwindet, wenn die
Erregerfrequenz Ω mit der Tilgerfrequenzübereinstimmt.
– Dieser Effekt wird technisch ausgenutzt, um die Amplitude der angeregten Struktur bei einer bestimmten Frequenz klein zu halten.
V 1=F 0 c2−2m2
, V 2=
F 0c2
T=c2/m2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-14
3.2 Tilger
● Deutung:– Für Ω = Ω
T berechnet sich die Determinante zu
– Damit gilt für die Verschiebung V2:
– Die Kraft, die die Feder 2 auf die Masse m1 ausübt, ist im
Gleichgewicht mit der Anregung.
T =∣− c2m2 m1c1c2 −c2−c2 − c2m2m2c2∣=−c22V 2T =−
F 0c2
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3.3 Kragbalken
● Aufgabenstellung:
x
yL L
v1
v2
F2(t)
m mEI EI
F1(t)
– Der Kragbalken wird durch die harmonischen Kräfte F
1(t) und F
2(t)
angeregt.– Gesucht sind die Ver-
schiebungen V1 und V
2 in
Abhängigkeit von der Er-regerfrequenz Ω für den eingeschwungenen Zu-stand.
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3.3 Kragbalken
● Balkendaten:– Länge L = 1m– Biegesteifigkeit
EI = 700Nm2
– Masse m = 6kg– Modale Dämpfung mit
D1 = D
2 = 5%
● Verschiebungsvektor:
● Belastung:
– Amplituden: ● F
a1 = 20N
● Fa2
= 10N
– Phase: ● φ = 120°
F 1t =F a1cos t
F 2t =F a2cos t
U=[V 1V 2]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-17
3.3 Kragbalken
– Komplexer Lastvektor:
– Zahlenwerte:
F c2=F a2 , F s 2=0, F 02=Fa 2
F1t =F a1cos t =F a1 cos t cos−sin t sin
F c1=F a 1cos , F s1=−F a 1sin
F 01=F a1 cosi sin=F a 1ei
F0=[F a 1eiF a 2 ]F 0=[−1017,32 i10 ]N
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3.3 Kragbalken
● Die Verschiebungsantwort wird über eine modale Frequenzganganaylse ermittelt.
● Vorgehen:1. Bestimmung der Eigenschwingungen2. Transformation auf modale Koordinaten3. Lösung in modalen Koordinaten4. Rücktransformation auf physikalische Koordinaten
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3.3 Kragbalken
● Bestimmung der Eigenschwingungen: siehe Abschnitt 3.3 in Kapitel 3.1– Eigenfrequenzen:
– Eigenvektoren:
m= 7L3
6EIm= 7m
3⋅6kg6⋅700Nm2
=0,01s2
1=6,3061s
f 1=1,004Hz , 2=41,961s
f 2=6,678Hz
x1=[0,32m1m ]x2=[ 1m−0,32m]
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3.3 Kragbalken
● Transformation auf modale Koordinaten:– Zu lösende Gleichung:
– Modale Koordinaten:
– Q1 und Q
2 sind die komplexen modalen Koordinaten.
– Einsetzen der modalen Koordinaten:
−2MiDK U=F 0
U =x1Q1x2Q2
−2MiDK x1Q1x2Q2 =F0
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-21
3.3 Kragbalken
– Projektion auf x1 :
– Mit
folgt:– Entsprechend führt die Projektion auf x
2 auf
−2 x1T M x1i x1T Dx1x1T K x1 Q1=x1T F0
−2i x1T Dx1x1TM x1 x1T K x1x1T M x1 Q1= x1
T F0x1T M x1
12=x1T K x1x1TM x1
, 21D1=x1T D x1x1TM x1
, P1=x1T F0
x1T M x1
122i1D1−2 Q1=P1
222i2D2−2 Q2=P2
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3.3 Kragbalken
● Lösung in modalen Koordinaten:– Das transformierte Gleichungssystem ist entkoppelt:
– Es hat die Lösung:
Q1=P1
122 i1D1−
2=P112−2−2 i1D1
12−2 241
2D122
Q2=P2
222i2D2−
2=P222−2−2i2D2
22−2 242
2D222
122 i1D1−2 Q1=P1222i2D2−2 Q2=P2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-23
3.3 Kragbalken
– Modale Lasten:● Die Lasten P
1 und P
2 werden als modale Lasten bezeichnet:
● Sie hängen von den physikalischen Lasten und den Eigen-formen ab.
● Mit den angegebenen Zahlenwerten folgt:
M=[6 kg 00 6 kg ] x1TM x1=6,615 kgm
2
x2TM x2=6,614 kgm
2
P1=x1T F 0
x1T M x1
, P2=x2T F 0
x2T M x2
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3.3 Kragbalken
P1=6,805,542 i Nm6,614 kgm2
=1,0280,8379 i 1s2
P2=−13,2017,32 i Nm
6,614 kgm2=−1,9962,619 i 1
s2
x1T F0=[0,32m 1m ] [−1017,32 i10 ]N=6,805,542 i Nmx2T F0=[1m −0,32m ][−1017,32i10 ]N=−13,2017,32 i Nm
● Ergebnis:
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-25
3.3 Kragbalken
– Q1(f):
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-26
3.3 Kragbalken
– Q2(f):
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-27
3.3 Kragbalken
● Rücktransformation auf physikalische Koordinaten:
– Die Beiträge der einzelnen Eigenschwingungen werden als modale Partizipationsfaktoren bezeichnet.
U =x1Q1x2Q2
[V 1V 2]=[0,32m1m ]Q1[ 1m−0,32m ]Q2
Beitrag der1. Eigenschwingung
Beitrag der2. Eigenschwingung
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3.3 Kragbalken
– V1(f):
v1
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3.3 Kragbalken
– V2(f):
v2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-30
3.3 Kragbalken
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-31
3.4 Fahrbahnanregung
● Aufgabenstellung:
LA
LB
S
x
z
h(x)
v hx =h0 sin 2 x
– Das Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v über die unebene Straße.
– Die Unebenheit wird be-schrieben durch
– Wie groß sind die Ampli-tuden der Hubbewegung und der Nickbewegung?
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-32
3.4 Fahrbahnanregung
● Ersatzmodell:– Das Fahrzeug wird durch
einen starren Körper mit Masse m und Trägheits-radius i
S beschrieben.
– Radaufhängung und Reifen werden durch Er-satzfedern mit den Stei-figkeiten c
A und c
B be-
schrieben.
LA
LB
S
A Bc
Ac
B
m, iS
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-33
3.4 Fahrbahnanregung
● Zahlenwerte:– Masse m = 1500kg, Trägheitsradius i
S = 1,4m
– Steifigkeiten cA = 100kN/m, c
B = 200kN/m
– Abstände LA = 1,5m, L
B = 0,8m
– Amplitude der Unebenheit: h0 = 3cm
– Wellenlänge der Unebenheit: λ = 8m– Fahrgeschwindigkeit: 10m/s ≤ v ≤ 25m/s– Dämpfung: d
A = αc
A, d
B = αc
B mit α = 0,005s
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-34
3.4 Fahrbahnanregung
● Freiheitsgrade:
S
A B
wS
wA
wB
θ
– Gegeben:
– Gesucht:
u=[wSwAwB ]=[u fu p ]u p=[wAwB ]u f=[wS ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-35
3.4 Fahrbahnanregung
● Steifigkeitsmatrix:
S
A B
FS
FA
MS
FB
wS
F=[ c AcBLBcB−LAc A−c A−cB ]wSS
A B
FS
FA
θM
S
FB
F=[LBcB−LAc ALB2 cBLA2 c ALAc A−LB cB ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-36
3.4 Fahrbahnanregung
S
A B
FS
wA
MS
FA
FB
S
A B
FS
wB
MS
FA
FB
F=[ −cALAc Ac A0
]w A F=[ −cB−LBcB0cB ]wB
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-37
3.4 Fahrbahnanregung
K=[ c AcB LBcB−LA c A −c A −cBLB cB−LAc A LB2 cBLA2 c A LAc A −LBcB−cA LAc A c A 0−cB −LBcB 0 cB ]=[K ff K fpK fpT K pp]K ff=[ cAcB LB cB−LA cALB cB−LAcA LB2 cBLA2 cA]K fp=[ −c A −cBLAc A −LB cB ] , K pp=[c A 00 cB ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-38
3.4 Fahrbahnanregung
● Massenmatrix:
● Dämpfungsmatrix:
M=[m 0 0 00 miS2 0 00 0 0 00 0 0 0 ]=[M ff 00 0] , M ff=m[1 00 iS2 ]D= K
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-39
3.4 Fahrbahnanregung
● Anregung:– Punkt B:
– Punkt A:
– Kreisfrequenz der Anregung:
– Phasenwinkel:
wBt =h v t =h0sin 2v t =h0 sin t wA t =h v t−LA−LB =h0sin t−
=2 v
=2LALB
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-40
3.4 Fahrbahnanregung
– Komplexe Darstellung:
wBt =12 W Be
i t W Be−i t mit W B=−i h0
w A t =h0sin t− =h0 sin t cos−cos t sin
=12
W Aei t W A e−it
mit W A=−h0sin−i h0cos=−i h0 cos−i sin=−i h0e−i
U p=[W AW B ]=−i h0 [e−i
1 ]=[−0,029170,007 i−0,03i ]m
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-41
3.4 Fahrbahnanregung
● Eingeschwungener Zustand:
– Verschiebung:
– Komplexe Bewegungsgleichung:
ut =12
U ei tU e−it
−2 [M ff 00 0]i1 [K ff K fpK fpT K pp ][U fU p ]=[ 0F0 p ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-42
3.4 Fahrbahnanregung
– Die komplexe Verschiebungsamplitude Uf kann aus
bestimmt werden.– Die komplexe Amplitude F
0p der an den Rädern
angreifenden Kräfte kann dann aus
berechnet werden.
−2M ff1i K ff U f=−1i K fpU p
F0 p=1i K fpT U fK ppU p
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-43
3.4 Fahrbahnanregung
● Modale Frequenzganganalyse:– Matrizen:
K ff=[300000N /m 10000N10000 N 353000Nm ]K fp=[−100000N /m −200000N /m150000N −160000N ]M ff=[1500 kg 0 kg m0 kg m 2940 kgm2 ]
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-44
3.4 Fahrbahnanregung
– Eigenschwingungen: K ff−2M ff x=0
1=10,941s, f 1=1,742Hz , x1=[−0,08311m1 ]
2=14,151s, f 2=2,252Hz , x2=[ 1m0,04240 ]
x1TM ff x1=2950kgm
2 , x2T M ff x2=1505kgm
2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-45
3.4 Fahrbahnanregung
– Transformation auf modale Koordinaten:
● Die modalen Koordinaten berechnen sich aus
U f=x1Q1x2Q2
−21i 12 Q1=−1i x1T K fpU px1T M ff x1
−21i 22 Q2=−1ix2T K fpU px2TM ff x2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-46
3.4 Fahrbahnanregung
● Modale Lasten:
K fpU p=103 N /m [−100 −200150m −160m ][−0,029170,007 i−0,03 i ]m
=103N [ 2,9175,3 i−4,3765,85 i m ]x1T K fpU P=10
3N [−0,08311m 1 ][ 2,9175,3 i−4,3765,85 i m]=−46185410 i Nm
x2T K fpU P=10
3N [1m 0,04240 ][ 2,9175,3 i−4,3765,85 im ]=27315548 i Nm
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-47
3.4 Fahrbahnanregung
x1T K fpU px1TM ff x1
=−46185410 i2950
Nmkgm2
=−1,5651,834 i 1s2
x2T K fpU px2TM ff x2
=27315548 i1505
Nmkgm2
=1,8153,686 i 1s2
P1=−10,005 s⋅ −1,5651,834 i 1s2
P2=−10,005 s⋅ 1,8153,686 i 1s2
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-48
3.4 Fahrbahnanregung
● Ergebnisse:– Q
1(v) :
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-49
3.4 Fahrbahnanregung:
– Q2(v) :
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-50
3.4 Fahrbahnanregung
– Hubbewegung:
Prof. Dr. Wandinger 3. Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Elastodynamik 13.3-51
3.4 Fahrbahnanregung
– Nickbewegung:
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