Angewandte Mathematik: Body & SoulRezension eines Lehrwerks

Prof. Dr. Thomas RisseInstitut für Informatik & Automation

Fakultät Elektrotechnik & Informatik, Hochschule Bremen

12.9.2008

Zusammenfassung

Das dreibändige Werk Erikson, Estep, Johnson: Angewandte Ma-thematik – Body and Soul fordert mit seinem dezidiert anderen Ver-ständnis der Mathematik-Ausbildung dazu heraus, sein spezielles Kon-zept darzustellen und zu überprüfen, inwieweit es seinem didaktischenAnspruch gerecht wird.Unabhängig von den zwangsläufig subjektiven Ergebnissen dieses Ab-gleiches macht die Analyse aber in jedem Fall die eigene didakti-sche Position zwischen Formalisten und Konstruktivisten deutlich undträgt so zum Überdenken der eigenen Art, Mathematik zu lehren, bei.

1 Einführung

Es gibt viele Lehrbücher der höheren Mathematik,

• für jeden Geschmack, d.h. von rein bis angewandt, mehr oder wenigerdiskret, mehr oder weniger numerisch orientiert, praktisch bis unprak-tisch, eher streng formal oder eher locker, komprimiert bis weitschwei-fig.

• für jedes Niveau, d.h. for dummies, Studienanfänger, Fortgeschrittene,Experten

• für jede fachliche Zielgruppe, d.h. für Mathematiker, Ingenieure, Phy-siker usw.

• für den Gebrauch an FOS, FH oder Universität

1

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M.E. ist das dreibändige Werk B&S [1], [2], [3], geschrieben für Studienanfän-ger und Fortgeschrittene naturwissenschaftlicher Fachrichtungen an Univer-sitäten, ungewöhnlich genug, daß sich eine Auseinandersetzung mit seinemganz speziellen Selbstverständnis, wie es in identischer Weise in jedem Bandab S. IX dargelegt ist, lohnt.

• Integration von Mathematik, Informatik und Anwendungen aus allenNaturwissenschaften

• konstruktive Lösung von algebraischen Gleichungen und Differential-gleichungen

• Verwendung von MATLAB/Maple

• Behandlung von Phänomenen wie Wärmeleitung, Wellenausbreitung,Elastizität, Strömungen, Diffusion usw. schon in frühesten Stadien derMathematik-Ausbildung

• (trotzdem) Vermittlung der traditionellen Einsichten und Sätze auslinearer Algebra und (mehrdimensionaler) Analysis

B&S teilt den Anspruch der Verbindung von Theorie und Praxis wie auchdie Unterstützung durch Einsatz von Computeralgebra-Systemen mit ande-ren Werken, z.B. [14], [15], die Konstruktivität mit jedem algorithmisch, z.B.[6], oder numerisch, z.B. [12], orientierten Lehrbuch, die Verwendung vonMATLAB für Algebra und Analysis mit z.B. [17], [22] oder endlich die Ent-wicklung die Mathematik aus den Problemstellungen heraus mit z.B. [8] und[9].Im Unterschied zu den genannten Beispielen zeichnet sich B&S jedoch durcheine ganz eigene ’Philosophie’ aus:

• statt qualitativ besser quantitativ

• statt möglichst allgemein lieber praktisch bedeutsam

• statt Aneinanderreihung von Satz-Beweis-Paaren besser Folgen vonIdee-Hypothese-Schlußfolgerung-Satz

Diese ’Ideologie’ verwendet beispielsweise

• statt des ’störenden Grenzwertes’ in der Definition von Stetigkeit lieberLipschitz-Stetigkeit,

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• statt des Differentialquotienten, also statt des Grenzwertes des Diffe-renzenquotienten lieber den Umstand, daß differenzierbare Funktionenlokal näherungsweise linear sind

• statt Grenzwerten wo immer möglich Cauchy-Folgen.

Der ganzheitlich Anspruch von B&S wird vielleicht am besten in der Anwortauf die Frage How to (not) organize a university deutlich:

Traditional model: one department - one (differential) equation.A new paradigm is now emerging:With the development of a general methodology for solving dif-ferential equations during the last fifty years (the finite elementmethod), the traditional model is now becoming obsolete and anew model building on interdisciplinary cooperation is emerging(e.g. the Finite Element Center).

B&S ist also nur ein Teil eines ganzheitlichen Projekts, das Entwicklungvon Software und von Lehr- und Lernmaterialien umfaßt [19]. Eine notge-drungenerweise auf die in Deutsch vorliegenden drei Bände B&S beschränkteAnalyse1 – greift damit grundsätzlich zu kurz.

2 Analyse

Ich beziehe mich im Folgenden detailliert auf B&S, Band 1 – Ableitungenund Geometrie in R3 und B&S, Band 2 – Integrale und Geometrie in Rn und– aus Platzgründen – nur kursorisch auf B&S, Band 3 – Analysis in mehrerenDimensionen. Alle drei Bände sind durchgehend paginiert.

1 also ohne software, ohne software frame work, ohne [4] und [5], ohne die weiteren ge-planten Bände zu Computational Thermodynamics (Vol. 5), Dynamical Systems (Vol. 6),Solid Mechanics (Vol. 7) und Electromagnetics (Vol. 8), s. www.bodysoulmath.org/books/

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2.1 Ideologisches

B&S nimmt einen dezidiert konstruktivistischen Standpunkt2 ein. Dies führtzu langwierigen Auseinandersetzungen etwa mit der ε-δ-Definition von Grenz-werten mit m.E. fragwürdigem Nutzen. Folgen-Stetigkeit wird dann, wo nütz-lich, etwa bei einseitigen Grenzwerten, S. 229, sowieso verwendet.

• Was ist so verdammungswürdig an der ε-δ-Definition von Grenzwerten?S. 186,230

• In irgendeinem Sinn S. 227 gibt es nur Lipschitz-stetige Funktionen –aber doch nicht so recht, weil etwa

√x auf R+ nicht Lipschitz-stetig

sondern nur auf jedem Intervall (δ,∞) für δ > 0 und für verschiedeneLipschitz-Konstanten, S. 267 Lipschitz-stetig ist.

• Statt (nicht Lipschitz-stetiger) Sprungfunktion f(x) := a für x < xund f(x) := b für x ≥ x lieber zwei Lipschitz-stetige Funktionenflinks(x) := a für x ≤ x und frechts(x) := b für x ≥ x mit konkur-rierenden Werten in der Sprungstelle! S. 228/229Allerdings werden Treppenfunktionen, S. 871, oder Polygonzüge, S. 942,an anderer Stelle völlig konventionell definiert.

• N existiert eigentlich nicht, S. 59; R ist möglich, S. 252, 255; x ∈ R \Qexistieren aber so recht nicht, S. 255.

• Das Integral wird als Stammfunktion eingeführt und nicht – anschau-licher? konstruktiver? – als Riemann-Integral – mit dem Nachteil, daßeben nur das Riemann-Integral ’natürliche Verallgemeinerungen’ zuDoppel- und Mehrfachintegralen zuläßt S. 475. Und natürlich werdenalle Quadratur-Verfahren dennoch aus dem Riemann-Integral abgelei-tet, Kap. 34.

• Die Definitionen für die komplexen Versionen von exp, log, sin undcos fallen vom Himmel. Mangels komplexer Analysis können die Funk-tionen auch nicht als Lösungen von Differentialgleichungen definiertwerden, S. 545. Komplexe Analysis bietet erst das Kap. 82 AnalytischeFunktionen im dritten Band.

• Wie üblich ist∫ BA f(x) dx := lima→A,b→B

∫ ba f(x) dx für A ∈ R ∪ −∞

und/oder B ∈ R ∪ +∞. Wo bleibt in Kap. 36 die Konstruktivität?2 Mir ist bewußt, daß ich B&S auf der einen Seite ideologische Fixierung vorwerfe

und auf der anderen Seite ideologische Gefestigtheit einfordere, wo B&S eben doch nichtdurchgängig konstruktivistisch vorgeht.

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• Die harmonische Reihe divergiert theoretisch, S. 583, obwohl doch derBeweis der Divergenz ein konstruktives Verfahren für die praktischeSummation (summiere Teilsummen mit 2n Summanden durch rekursi-ves Summieren von Teilteilsummen) aufzeigt, S. 585.

Vor lauter Bemühung um Vermeidung von Allzutechnischem passieren dannaber auch echte Lapsi, wie z.B. die Aussagen

Ist det(A) klein, dann sind die Spalten fast linear abhängig unddie Eindeutigkeit der Lösung von Ax = 0 ist in Gefahr.Eine Matrix ist fast singulär, falls ihre Determinante nahezu Nullist.

die sofort durch Vielfache cI der Identitätsmatrix I mit det(cI) = cn det(I) =cn für |c| 1 widerlegt werden, S. 656. Die Konditionszahl κ(A) einer MatrixA wird übrigens erst auf S. 694 eingeführt. Oder die Minimumssuche ven fwird auf die Nullstellensuche von f ′ beschränkt, ohne auf die Prüfung derPositivdefinitheit der Hesse-Matrix H von f einzugehen, S. 922.Auch die Möglichkeit Integration und Differentiation zu vertauschen, vonder in Kap. 47 Lagrange und das Prinzip der kleinsten Wirkung reichlichGebrauch gemacht wird, verdient keinerlei Erwähnung und wird erst amEnde von Kap. 54 auf S. 841/842 gerechtfertigt, vgl. auch S. 1038/1039,1181.

2.2 Leserorientierung

Die Autoren ermutigen und ermuntern ihre Leser/Leserinnen, S. 737, 738,776, 918, 1005. Sie sind empathisch, S. 48/49, 626, 629, 834, 836, 843, 1217schießen aber auch manchmal über das Ziel hinaus, S. 922, 987. Sie lenkendurch einen sehr kurzen, einen kurzen und den eigentlichen Beweis des Funda-mentalsatzes der Differential- und Integralrechnung den Fokus der Leser aufdas jeweils Wesentliche. Sie sind nahe bei ihren Lesern, wenn sie etwa daraufverweisen, daß das Aufstellen einer Formel und ihr Beweis durch Induktionzwei Paar Stiefel sind, S. 72, wenn sie Ergebnisse relativieren, z.B. S. 602,608, 943, 1042, 1252, vor Fallen warnen, S. 838, 1107, oder eine Beziehungzwischen Leser und Erfindern von Methoden herstellen, S. 956. Sie regenden Leser zur Stellungnahme, S. 230, 254, 775, 896 an, fordern Anerkennungcleverer Ideen, S. 502, 565 ein oder unterstreichen die Überzeugungskraft ein-facher Argumente, S. 399. Sie geben Lesehilfen, S. 527, 742, 793, 823, 968,983, 996, 1045, 1142, 1161, 1163, 1169, erbitten Nachsicht bei Vorgriffen,

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S. 601 und bieten Eselsbrücken, S. 1120 und anschauliche Vergleiche, z.B.S. 71, 847. Sie machen sich die Mühe, f(zo) + f ′(zo)(z − zo) in C zu ver-anschaulichen, S. 1161 oder auf unterschiedliche Schreibweisen zu verweisen,S. 630, 1205. Sie kennzeichnen Kapitel, die übersprungen werden können,oder wenden sich explizit an speziell interessierte Leser, S. 607.um strikt dezimal anschauliche Aussagen machen zu können, verallgemeinernsie den Bisektions- zum Dekasektionsalgorithmus, S. 209 Jedes Kapitel bietetinteressante Aufgaben. Lösungen gibt es auf schwedisch online. Einige Auf-gaben sind als schwierig gekennzeichnet. Aufg. 73.11 regt sogar ein kleinesRollenspiel an.Man kann darüber streiten, ob es hilfreich und nützlich ist, Vektoren undMatrizen so wie Skalare zu schreiben, S. 296/297. M.E. verbessert die typo-graphische Unterscheidung die Lesbarkeit und erleichtert damit, den Text zuverstehen, vgl. etwa [12], [21]. Dann wären auch einige Lesehilfen verzichtbar,S. 823.

• Hilfreich wären Quantoren auf S. 782

• Hilfreich wäre ein Hinweis auf die Zulässigkeit der Vertauschung vonIntegration und Differentation, S. 789.

• Hilfreich wäre ein Hinweis auf den Spektralsatz, S. 671–680, um zuerläutern, warum symmetrische, positv definite Matrizen invertierbarsind, S. 797, wie dieser ja auch explizit verwendet wurde, um zu be-gründen, warum Eigenwerte symmetrischer, positiv definiter Matrizenpositiv sind, S. 696.

• fragwürdige Aussagen, S. 797, 922, 968 und Aufgaben, S. 951 vermeiden

Es wäre sicher hilfreich wenn nicht gar unumgänglich, Begriffe wie implizierenS. 56, Fakultät S. 411, rekursive Definition S. ???, inhomogene Differential-gleichung S. 566, glatte Funktion S. 572, 1061, 1122, eins zu eins AbbildungS. 651, 1081, genügend glatt S. 789, duales Problem S. 865, 867, 869, TensorS.900, nicht-diagonale Metrik S. 900, Gebiet im Rd S. 911/912, divergenzfreiS. 997, Vektorpotential S. 1057, einfach zusammenhängendes Gebiet S. 1168,assoziierte Strömungsfunktion S. 1192 usw. explizit einzuführen. Auch Er-klärungen in Alltagssprache wie ’knotige Massenmatrix’ bedürfen unbedingtder Erläuterung, S. 784, 1097, 1124.M.E. sind Vorgriffe, die nicht als solche gekennzeichnet sind, zu vermeiden,beispielsweise

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• Verwendung von Indizes in Kap. 4, Einführung von Indizes in Kap. 6,S. 74

• Verwendung von Koordinaten, S. 103, Einführung von Koordinaten,S. 110/111

• Verwendung von Funktionen wie x(t) oder f(x(t), t), Kap. 4, wie sin(x)oder cos(x), Kap. 8, Einführung von Funktionen in Kap. 9

• die Herleitung von D sin(x) = cos(x) S. 444, wo doch die Lösung derDifferentialgleichung u′′ + u = 0 nur in die Welt der trigonometrischenFunktionen führt.

• Aufg. 31.13 stellt einen Vorgriff auf Kap. 36 Uneigentliche Integrale dar.

• Koeffizientenvergleich ohne Identitätssatz für Polynome, S. 553/554

• Flächen- und Volumenintegrale auf S. 575 des zweiten Bandes, die erstab S. 981 des dritten Bandes eingeführt werden

• Bestimmung von Eigenvektoren mit Hilfe der Minimierung der Ray-leigh-Quotienten, S. 677, sowie Bestimmung der Lösung von Ax = bmit Hilfe der Minimierung von F (y) = 1

2(Ay, y) − (b, y), S. 693 imzweiten Band, obwohl die zugehörigen (konstruktiven) Verfahren erstim Kap. 60 Optimierung ab S. 909 im dritten Band bereitgestellt werden

• (nicht-) normale Matrizen: Verwendung S. 726, Definition S. 859

• Potential: Verwendung S. 907, Definition S. 947

Appetizer wie Riskieren Sie einen Blick auf die Weierstraß-Funktion, nämlichab S. 1218 im dritten Band auf S. 268 im ersten Band wie ebenso dort derHinweis auf Turbulente Strömungen im allerletzten Kapitel Navier-Stokes-Gleichungen des dritten Bandes sind unangebracht. Im Kap. 44 Lösung linea-rer Gleichungssysteme im zweiten Band wird ständig auf 2-Punkte Randwert-Probleme ohne Konvektion, parabolische Probleme und Steifigkeitsmatrizenverwiesen, wenngleich diese Themen erst im Kap. 77 FEM für Randwertpro-bleme im R2 und R3 im dritten Band behandelt werden.Auf der einen Seite wird beispielsweise extra darauf verwiesen, daß (endli-che) Summation und Integration vertauscht werden dürfen, S. 783, währendDifferentation und Integration kommentarlos vertauscht werden, S. 789. DerNachweis dieser Zulässigkeit wird erst in Kap. 54 erbracht.

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2.3 Schwedische Spezialitäten

Als schwedische Spezialitäten gefallen Polhems Maschine für Uhrenzahnrä-derS. 4/5, Scheutz’ DifferenzenmaschineS. 8, Odhners mechanischer Rech-nerS. 9, Ulf Lundquists Assar-Cartoons S. 21, Volvos S. 39, J.P. JohanssonsZangen S. 183/184, Sonya Kovalesvskaya S. 196/197, Gründung der Univer-sität Chalmers S. 222, Königin Christina S. 334/335, Gösta Mittag-LefflerS. 378/379, Emanuel Swedenborg S. 401/402, Isolation schwedischer HäuserS. 800, Tycho Brahe S. 896/897, schwedischer Kampfjet JAS Gripen S. 876,(Anthropologica physica von) Köng Karl XXII S. 909, 971, Untergang derVasa S. 1021/1022, Svensson-Formel und der schwedische Nationalcharak-ter S. 1046, Fredholm-Integralgleichungen S. 1063, Saab 2000 S. 1088, BjörnBorg S. 1195 usw.Launige Zitate, Kurzweiliges zur (mathematischen) Geistesgeschichte, bio-graphische Anekdoten, häufig amüsante Mottos zu jedem Kapitel, Irrungenund Wirrungen etwa der Astronomie, verbreitete Irrtümer, S.935, sollen denLeser bei Laune halten.

2.4 Übersetzung und Lektorat

• Die Übersetzung weist sprachliche Defizite z.B. S. 157, 252, 256, 587,694, 750, 1119 sowie Anglizismen z.B. S. 7, 284, 472, 481, 788, 836, 969,1023 auf.

• Wie in jedem größeren Werk gibt es natürlich Tipp-Fehler. Im Fall einesLehrbuches sind einige Tippfehler sehr ärgerlich, da sinnentstellendeFehler das Verständnis unnötig erschweren, S. 497, 552, 553, 567 oderden Leser zumindest verwirren S. 7, 184, 198, 229, 283, 290, 306, 493,494, 525, 585, 587, 591, 695, 702, 707/722, 790, 792, 927, 971, 974, 1024,1248. Andere Tippfehler sind offensichtlich und daher verschmerzbar,S. 247, 255, 277, 290, 353, 354, 594, 595, 624, 627, 651, 690, 737, 738,789, 791, 796, 801, 917, 930, 932, 979, 984, 996, 1004, 1007, 1016, 1029,1095, 1212, 1252.

• verwirrende Verwendung von (Dezimal-) Kommata im Text, S. 1042,1116, 1132, 1201 und in Tabellen und von Dezimal-Punkten im ’schwe-dischen Dividieren’, S. 65, in Abbildungen S. 84, 85, 138, 140, 148, 149,182, 202, 228

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• Spaltenvektoren werden (bewußt? vgl. S. ) nicht als solche geschrie-ben, S. 326, 362, 365, 645, 657, 719. wo doch die Transposition aufS. 648 eingeführt wird, mit Hilfe derer Spaltenvektoren ja auch korrektgeschrieben werden, z.B. S. 973.

• Unklare oder schlampige Formulierungen finden sich auf S. 183, 237,286, 297/298, 347, 436, 440, 486, 547.

• Die Begriffe orthogonal und orthonormal werden uneinheitlich verwen-det, S. 367.

• Offene ’Fragen’ mit unklarer Absicht S. 376, schlampige Aufgabenstel-lung S. 978, 979

• Laxheit im Umgang mit physikalischen Dimensionen z.B. S. 129, 393,474 (vgl. dazu z.B. [13]) und mit physikalischen oder chemischen Sach-verhalten S. 540, 1038, 1065, 1067, 1072, 1075, 1158, 1250, 1256.

• unglückliche Schreibweisen: Potenzen vs Größen eines ’Näherungsschrit-tes’ wie xni oder Un(x) vs x(n)

i oder U (n)(x), Kap. 27, Kap. 44, 838-840,954, 1046, 1047, 1088, 1090-1093, 1095, 1137, 1142, 1145, 1254–1258

• unglückliche Schreibweisen: inverse vs reziproke Funktion S. 415-417,537-540, 591, 838-839, 1196

• Die inversen hyperbolischen Funktionen arsinh, arcosh, artanh und ar-coth haben keinen Namen und sind mit arcsinh, arccosh, arctanh undarccoth zudem unglücklich bezeichnet, S. 539/540.

• Inkonsistente oder ungewöhnliche Bezeichnungen irritieren, S. 600/603,Kap. 48, S. 761, 762, 790, 979, 1006.

• Die Bezeichnung der Multiplikation in Programmen, am besten dochwohl *, ist mit · oder × inkonsistent, S. 683, 686, 687, 691.

• Fachsprache S. 836, 851, 922, 985/986

• mathematisch ungenau S. 574, 994, 1047, 1054, 1111, 1118, 1137, 1138,1140, 1142, 1205, 1208, 1216, 1226, 1240 oder umständlich S. 995, 1002,1218, 1242

Schwierig zu kategorisieren sind auch m.E. fragwürdige Aussagen wie Folgenmachen aus Unendlich Eins, S. 183.

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3 Bewertung

B&S nimmt für sich ein: es bietet Beispiele aus unglaublich vielen Anwen-dungsbereichen – das letzte Kapitel des ersten Bandes führt in schwingendeSysteme, Wärmeausbreitung, Populationswachstum oder relativistische Be-wegungen ein; der zweite Band behandelt das Volterra-Lotka-Modell, wendetdas Prinzip der kleinsten Wirkung auf Masse-Feder-Systeme und Doppelpen-del an, stellt N -Körper-Systeme vor, verwendet die Kirchhoffschen Gesetzezur Modellierung von Stromkreisen und streift die Stringtheorie; im drittenBand finden sich Beispiele aus Astronomie (Kap. 59 Sonnensystem), Meteo-rologie, Schiffbau, Elektrodynamik (Maxwell-Gleichungen), Chemie (Kap. 74Reaktionskinetik), Biologie (Populationsdynamik) Wellen-, Konvektions- undDiffusionsphänomene bis hin zu anspruchsvollen physikalischen Anwendun-gen (Kap. 73.13 Quantenmechanik, Kap. 87 Hydro- und Aerodynamik).B&S macht es dem Leser/der Leserin aber auch nicht immer einfach: esbietet manchmal zuviel Text, macht zuviele Worte (vor allem in der Aus-einandersetzung um den konstruktiven Standpunkt); an anderer Stelle istes Überfall-artig (besonders Kap. 4) und im Vergleich zu Schulbüchern oderanderen Lehrbüchern aufgrund wechselnder Strenge der Darstellung gewöh-nungsbedürftig.B&S bietet Übungsaufgaben3 zu jedem Kapitel.B&S ist nur was für Leser mit Muße und Spaß an Ganzheitlichkeit und et-wa biographischen Exkursen. Insofern ist B&S schwierig zwischen [7] (kurz,knapp, Kochrezept) oder [11] (komprimiert) und [20] (mit ausführlichen Bei-spielen ausgearbeitet bis weitschweifig) einzuordnen.B&S beschränkt angewandte Mathematik im Wesentlichen auf die Behand-lung von Differentialgleichungen. B&S behandelt damit keine Diskrete Ma-thematik, wie sie für Kryptographie, Graphen-theoretische Probleme, Pro-bleme diskreter Optimierung usw. gebraucht wird. Daher wird der Leserauch mit Aussagen wie Theoretisch gibt es natürlich kein größtes n ∈ N,aber praktisch gilt n < 10100 für alle n ∈ N, S. 58, konfrontiert, die etwa inder Kryptographie wohl so nicht zutreffen. So ist wohl auch die unpassendeVerwendung des Begriffes künstliche Intelligenz, zu erklären, S. 628.

3 Ausgewählte Lösungen liegen auf Englisch und Schwedisch vor. s.www.bodysoulmath.org/material/

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3.1 Messen am eigenen Anspruch

Der Anspruch ’früher’ Anwendungen wird m.E. nicht eingelöst: erste ’echte’Anwendungen finden sich erst in Kap. 26 Galileo, Newton, Hooke, Malthusund Fourier, also nach 430 Seiten. Dafür reichen die Anwendungsbeispielaber auch bis hin zu aktuellen Forschungsproblemen.Es fehlt die Integration der Software: es gibt die URL und einige MAT-LAB/Maple Übungsaufgaben. B&S geht kaum explizit auf die parallel ent-wickelte Software-Basis ein. Ausnahmen stellen der grundlegende Verweis aufwww.bodysoulmath.org/books/, einige wenige Hinweise auf MATLAB/Mapleoder auf The Sound of Functions im Mathematischen Labor S. 1204 dar.

3.2 An Vorwissen anknüpfen und da abholen, wo Stu-dierende stehen?

Klar ist, daß es grundsätzlich anders garnicht geht: Lernen bedeutet, Vor-wissen mit Neuem zu verknüpfen. Das tut B&S auch vorbildlich, wenn esetwa Vektor-Produkt, S. 312 bzw. S. 344, wie auch die Differentialopera-toren ∇, rot, ∆, S. 926 bzw. S. 929, zunächst im R2 und dann erst im R3

einführt. Kap. 66 Mehrfachintegrale verallgemeinert Kap. 64 Doppelintegrale.Das Trägheitsmoment der Kugel, S. 988, ’verallgemeinert’ dasjenige der Ku-gelschale, S. 977. Die Integralsätze von Gauß und Green werden im Kap. 67erst in R2 und dann im Kap. 68 umso leichter in R3 hergeleitet und der Satzvon Stokes aus einem Spezialfall entwickelt, S. 1009. Andererseits bestehtB&S auf der Lipschitz-Stetigkeit, die nicht so schön wie die Folgen-Stetigkeitaus Bekanntem entwickelt werden kann.Zugleich lehrt die Erfahrung, daß Vorwissen aus der Schule nur zu oft zuFehlern (ver-) führt, etwa anzunehmen, daß die Regel von Sarrus eben nichtnur für 3×3-Determinanten gilt. B&S räumt ausgerechnet der Cramer’schenRegel – anfangs, S. 657/658, mit, jedoch im Werkzeugkasten, S. 720 ohnedisclaimer – m.E. zuviel Raum ein und verstärkt so studentisches Vorwis-sen und Vorlieben (die Unbekannte steht links, die rechte Seite beschreibtden Rechenweg), obwohl die Cramer’sche Regel doch so ineffizient ist, daßStudierende sie schnellstens am besten ganz vergessen sollten.

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3.3 Erwartungen bedienen oder enttäuschen?

B&S enttäuscht die Erwartungen gerade von Studienanfängern: es stellt dieExistenz von

√2 in Frage, wo doch jeder Taschenrechner auf Tastendruck

scheinbar√

2 berechnet. es bietet (geistesgeschichtliche) Exkurse statt Kochre-zepte! es verunsichert durch die Darstellung der Widersprüche im mathema-tischen Weltbild und so auch durch seine ganzheitlichen Verweise auf dieGeschichte der angewandten Mathematik, es überwältigt geradezu durch ei-ne Fülle naturwissenschaftlicher Anwendungsbeispiele. Ganz im Sinn von [10]scheint es angezeigt, Studierende zu verwirren/perturbieren, um ihnen denUnterschied von Schul- und Uni-Mathematik zu verdeutlichen, wie ebenso,die Taschenrechner-Gläubigkeit der Studierenden dadurch zu unterminieren,indem man ihnen zeigt, daß (Taschen-) Rechner grundsätzlich falsch rech-nen. M.E. bedarf es sicherer Führung, überlegter Selektion und behutsamerAnleitung, um Abwehr aufgrund von vorweggenommener Überforderung zuvermeiden.

3.4 Eignung für das Selbststudium

Bachelor-Studiengänge haben einen größeren Selbststudienanteil als Diplom-Studiengänge. M.E. ist B&S aber für das Selbststudium ungeeignet,

• weil beispielsweise Kap. 4, das einen Überblick geben soll, ziemlichabschreckend ist, indem es top down gleich Ableitungen, Differential-gleichungen und Integrale/Stammfunktionen einführt: der Leser mußallerdings schon wissen, daß Geschwindigkeit = Ableitung des Wegesnach der Zeit ist, um aus x′(t) = f(t) zum einen x(tn) ≈ x(tn−1) +f(tn−1)(tn − tn−1) und so x′(tn−1) ≈ x(tn)−x(tn−1)

tn−tn−1und zum anderen

x(tN) = ∑Nn=1 (x(tn) − x(tn−1)) ≈∑Nn=1 f(tn−1(tn − tn−1) schließen zu

können.Im Vorübergehen werden Euler-Verfahren und implizites Euler-Ver-fahren zur Lösung von Differentialgleichungen der (verallgemeinerten)Form x′(t) = f(x(t), t) gestreift. Der Spezialfall x′(t) = x(t) liefertimmerhin die Exponentialfunktion und die Näherung e ≈ (1 + 1

N )N

für (ausreichend) große N . Konvergenz, was auch immer das sein mag,wird in allen Fällen einfach unterstellt.

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Das (Riemann-) Integral gewinnt man sogleich aus der Beobachtungn2 = (2n− 1) + (2(n− 1)− 1) + . . .+ (2 · 2− 1) + (2 · 1− 1) bzw.

n2 + n = 2(n+ (n− 1) + . . .+ 1) = 2∑nk=1 k↓ = = ↓x2 = = 2

∫ xo y dy

weil doch n gegenüber n2 vernachlässigbar ist.Verallgemeinert liefert n3 = ∑nk=1(3k2−3k+1) sogleich x3 = 3

∫ xo y

2 dyund damit speziell 1 = 3

∫ 1o y

2 dy.

• weil einige Übungsaufgaben ziemlich anspruchsvoll oder – wie die Au-toren selbst zugeben – schwierig sind

• und weil ausgewählte Lösungen der Übungsaufgaben online nur aufSchwedisch bzw. auf Englisch vorliegen.

3.5 zusammenfassende Bewertung

Wir müssen uns mit uneinheitlichen Resultaten zufrieden geben. B&S

• wird seinem eigenen Anspruch nur teilweise gerecht,

• macht es so wie wir alle und knüpft wenig an das heterogene, häufigrudimentäre und meist unzuverlässige Vorwissen aus der Schule an, wasauch nicht immer und unbedingt gut ist,

• enttäuscht zu Recht die Erwartung, Mathematik an der Universität seibloße Fortsetzung der Schul-Mathematik, und verunsichert/perturbiertso.

Die Frage, ob sich der konstruktivistische Überbau lohnt, wird schin dadurchbeantwortet, daß jedes bessere Numerik-Buch, z.B. [12], sehr gut ohne diesenÜberbau auskommt?Die Autoren sind natürlich von ihrer Sache überzeugt und machen deshalbauch sicher überzeugende Lehre. Jemand, der wie ich zwischen Faszinationund Abwehr schwankt, kann unmöglich der reinen Lehre folgen und genau’according to the book’ vorgehen.Wünschenswert sind minimale Erläuterungen der naturwissenschaftliche Sach-verhalte (stat fällt vom Himmel) und für jeden Band spezifische, vollständi-ge (vgl. S. 550) Literaturhinweise, also z.B. unbedingt [18] zu Kap. 46 Die

Th. Risse, HSB: Body & Soul 14

Exponentialfunktion für Matrizen, sowie wesentlich ausführlichere Sachver-zeichnisse. (Der dritte Band enthält ein alle drei Bände umfassendes Sach-verzeichnis.)Bei aller Kritik muß betont werden, daß erstens B&S einen entscheidendenBeitrag leistet, die Mathematik-Ausbildung an den Problemen der Praxis zuorientieren, und daß zweitens dieses Lehrwerk nur als Teil der umfassenden’konzertierten Aktion’ angemessen beurteilt werden kann.

Literatur

[1] K. Erikson, D. Estep, C. Johnson: Angewandte Mathematik: Body andSoul – Band 1 – Ableitungen und Geometrie in R3; Springer 2004

[2] K. Erikson, D. Estep, C. Johnson: Angewandte Mathematik: Body andSoul – Band 2 – Integrale und Geometrie in Rn; Springer 2005

[3] K. Erikson, D. Estep, C. Johnson: Angewandte Mathematik: Body andSoul – Band 3 – Analysis in mehreren Dimensionen; Springer 2005

[4] Johan Hoffman, Claes Johnson: Computational Turbulent Incompres-sible Flow – Body and Soul 4; Springer 2007, preliminary version s.www.csc.kth.se/˜jhoffman/pub/v4.pdf

[5] K. Erikson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson: Computatio-nal Differential Equations; Cambridge University Press 1996, vgl.http://books.google.de/books?id=gbK2cUxVhDQC

[6] Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie; Vieweg 1996

[7] Peter Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 1, 2, 3; Verlag Martina Furlan,Dortmund 1995

[8] Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur undTechnik; Elsevier 2005

[9] Georg Glaeser: Der mathematische Werkzeugkasten – Anwendungen inNatur und Technik; Elsevier 2006

[10] Ernst von Glasersfeld: Konstruktivismus statt Erkenntnistheorie; inW. Dörfler, J. Mitterer (Hrsg.): Konstruktivismus statt Erkenntnistheo-rie; DRAVA Klagenfurt 1998, 11-39

Th. Risse, HSB: Body & Soul 15

[11] Klaus Habetha: Höhere Mathematik für Ingenieure und Physiker – Band1, 2, 3; Klett 1976–1979

[12] Michael T. Heath: Scientific Computing – An Introductory Survey;McGraw-Hill International Edition, 2nd edition 2002,

[13] Rudolf Hilfer: Physik auf dem Computer – u.a. MathematischeUmformulierung, Entdimensionalisierung; Skriptum WS01/02, Univer-sität Stuttgart http://www.icp.uni-stuttgart.de/˜hilfer/lehre/100-online/skriptum/html_book00

[14] A. Hoffmann, B. Marx, W. Vogt: Mathematik für Ingenieure – LineareAlgebra, Analysis – Theorie und Numerik; Pearson 2005

[15] A. Hoffmann, B. Marx, W. Vogt: Mathematik für Ingenieure – Vekto-ranalysis, Integraltransformationen, Differenzialgleichungen, Stochastik– Theorie und Numerik; Pearson 2005

[16] Lennart Rade, Bertil Westergren: Mathematics Handbook for Scienceand Engineering; Springer 2004

[17] Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB; SIAM 2004 Societyfor Industrial and Applied Mathematics www.mathworks.com/moler

[18] Cleve Moler, Charles Van Loan: Nineteen Dubious Ways to Compute theExponential of a Matrix – Twenty-Five Years Later; SIAM REVIEW2003 Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 45, No. 1,46pp www.cs.cornell.edu/cv/researchpdf/19ways+.pdf

[19] T. Dupont, J. Hoffman, C. Johnson, R. Kirby, M. Larson, A. Logg,R. Scott: The FEniCS project; preprint 2003-21, Chalmers Finite Ele-ment Center, Chalmers University of Technology, Göteborg Sweden 2003www.femcenter.org/pub/preprints/phiprint-2003-21.pdf

[20] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler –Band 1, 2, 3; Vieweg+Teubner 2007–2008

[21] Thomas Risse: Addons zu Heath: Scientific Computing;www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/heath.pdf

[22] Dieter Schott: Ingenieurmathematik mit MATLAB – Algebra und Ana-lysis für Ingenieure; Fachbuchverlag Leipzig 2004

Th. Risse, HSB: Body & Soul 16

A detaillierte Nachweise

Zitate sind kursiv gesetzt. Da wo vorliegend, gilt richtig statt falsch.

A.1 Band 1 – Ableitungen und Geometrie im R3

S. 7 Zirkel statt Kompaß

S. 38-49 Differentialgleichung, Ableitung, Integral, Stammfunktion, (Momentan-,Durchschnitts-) Geschwindigkeit, stetig, Basis des natürlichen Logarithmus

S. 48/49 Mathematische Begriffe sollen unsere treuen Diener und nicht terrori-sierenden Herrscher sein . . .

S. 56 eine Aussage impliziert eine andere – ohne Definition/Erklärung

S. 58 Theoretisch gibt es natürlich kein größtes n ∈ N, aber praktisch gilt n <10100 für alle n ∈ N

S. 59 sehr konstruktivistisch: N ist schon möglich, aber eigentlich nicht existent!

S. 65 schwedisches Schema für Divisionen

S. 71 Abb. 6.1: Der Domino-Effekt illustriert sehr hübsch Induktion.

S. 89 Dezimaldarstellung von q ∈ Q ist periodisch!

S. 84, 85 ’schwedisches’ Dividieren mit Dezimalpunkten

S. 111 Euklidische Ebene = Q2

S. 129 H(t) = 50− t2 m

S. 138 Dezimal-Kommata

S. 140, 148, 149 Dezimal-Punkte in den Beschriftungen der Achsen-ticks

S. 156,157 ’schwedisches’ Dividieren

S. 157 . . . wobei g ein Polynom ist, das eine Ordnung kleiner ist als der Grad vonf .

S. 182 Kommata vs Dezimalkommata

S. 183 Wir ordnen also die unendlich vielen Elemente in einer Folge zusammenund gelangen so von der Unendlichkeit zu einem.

S. 184 Für uns als Mathematiker gibt es keinen Grund zu versuchen, so ehrlichwie möglich zu sein und Sprache so klar wie möglich einzusetzen.

Th. Risse, HSB: Body & Soul 17

S. 186 Eine sehr qualitative Aussage ist notwendigerweise etwas vage.

S. 198 Aufg. 13.11 c) Folgenelement-Index n statt car

S. 202 Maple liefert sicher keine Dezimalkommata!

S. 209√

2 per Dekasektion

S. 219 wunder Punkt: es scheint sinnvoller zu sagen, daß wir nicht wissen können,ob x = 0 oder x > 0 ist, wenn man nicht alle Dezimalziffern kennt oderbenennen kann.

S. 222 Die Ecole Polytechnique in Paris . . . wurde zu einem Modell für technischeUniversitäten in ganz Europa (Chalmers 1829 . . . ).

S. 227 Das führt uns zur Folgerung, daß alle Funktionen Lipschitz-stetig sind(mehr oder weniger).

S. 228 Dezimalkommata

S. 228/229 Es scheint so, daß wir die bloße Vorstellung einer diskontinuierlichenFunktion verwerfen müssen.

S. 229 in den Sprungstellen statt bei den Sprüngen

S. 230 Die Standarddefinition genügt einer Maximalitätsanforderung, leidet aberunter der (oft verwirrenden) Benutzung von Grenzwerten. . . . Wohingegendie Standarddefinition etwas weit hergeholt ist. Stimmt’s?

S. 237 Graph der implizit gegebenen Funktion S(0.002 + 2S)2 − 1.57 · 10−9 = 0statt Graph der Funktion S(0.002 + 2S)2 − 1.57 · 10−9

S. 247 Eine Menge kann durch die Angabe aller ihrer Elemente beschrieben wer-den.

S. 252 eine reelle Zahl kann durch ihre Dezimalentwicklung definiert werden.

S. 252 Wir haben R als die Menge aller möglichen unendlichen Dezimalent-wicklungen definiert.

S. 254 Also, was ist Ihre Meinung, Cantor oder Kronecker?

S. 255 Wenn irrationale Zahlen bei praktischen Berechnungen nicht existieren, istes dann wirklich sinnvoll, darüber nachzudenken, ob sie wirklich existieren?

S. 255 Wir schlagen vor, die Menge aller reellen Zahlen R als die Menge allermöglichen unendlichen Dezimalentwicklungen oder gleichbedeutend als dieMenge aller möglichen Cauchy-Folgen rationaler Zahlen zu definieren.

S. 255 Wir wissen, dass

Th. Risse, HSB: Body & Soul 18

S. 256 Einige Menschen scheinen zu glauben, daß der Himmel existiert, wohin-gegen andere ihn als Möglichkeit oder als poetische Möglichkeit betrachten.statt es

S. 277 konvergiert gegen 1/3, den Fixpunkt statt dem

S. 283 mit wachsendem i. Anders ausgedrückt statt anwachsendem i! – Fakultätist hier nicht gemeint.

S. 284 Wir suchen nun den Hauptnenner für die Brüche statt einen gemeinsamenTeiler

S. 286 Zeichnen Sie eine Lipschitz-stetige Funktion g, für die nicht aus x ∈ [0, 1]folgt, daß g(x) in [0, 1] liegt.

S. 290 die Länge der Diagonalen

S. 290 Zirkel statt Kompaß

S. 296/297 keine typographische Unterscheidung von Vektoren und Skalaren,weil es die Fantasie des Lesers anregt, sich die richtige Interpretation . . .vorzustellen.

S. 297/298 unglückliche Bezeichnungen: Kopf und Ende von Vektoren

S. 306 Winkel AOB statt Winkel OAB

S. 319 vgl. Abb. 20.28 – Verweis auf eine unpassende, ungeeignete Abbildung

S. 326 ist es jedoch natürlich, x = (x1, x2) als Spaltenvektor zu betrachten.

S. 347 Spat oder Parallelepiped statt schiefer Würfel

S. 353 die in den Ebenen ni · x = di liegen statt in der Ebene ni · x = di

S. 354 Vektor x finden können, so dass ni · x = di statt ni · x = di

S. 362, 365 Spaltenvektoren a1 = (a11, a21, a31)>, a2 = (a12, a22, a32)> und a3 =(a13, a23, a33)> statt a1 = (a11, a21, a31), a2 = (a12, a22, a32), a3 = (a13, a23, a33)

S. 367 q1, q2, q3 ist orthogonale Basis, d.h. daß die qj paarweise orthogonal sindund die Länge 1 haben.

S. 376 Beachten Sie, daß wir komplexe Zahlen als Skalare betrachten, obwohl sieviel mit Vektoren im R2 gemeinsam haben. Der Hauptgrund dafür ist, daß. . .

S. 393 s(t) = 3× (2t− t2) km. Dabei wird t in Stunden gemessen. Ihre Geschwin-digkeit ist s′(t) = 6− 6t km/Stunde zur Zeit t.

Th. Risse, HSB: Body & Soul 19

S. 399 Das ist doch einfach, mein lieber Watson.

S. 403 Hinweis: Schreiben Sie f(xi) = f(0) + f ′(0)xi + Ef (xi, 0) statt f(xi) =f(0) + f ′(xi)xi + Ef (xi, 0).

S. 415-417 x = f inv(y) statt x = f−1(y)

S. 436 Einmal ist u(x) die zugehörige Auslenkung in x. Danach ist die Dehnungs-kraft σ(x) proportional zur Auslenkung u′(x).

S. 440 . . . da sich die Geschwindigkeit des austretenden Gases zur Zeit t von −ufür t = 0 zu v(t) = −u für t > 0 verändert.

A.2 Band 2 – Integrale und Geometrie im Rn

S. 470 w′(x) = 0 für 0 < x ≤ 1 statt für a < x ≤ b

S. 472 Damit diese Diskussion Sinn ergibt . . . statt macht

S. 474 Es ist ansonsten keine gute Idee zu sagen, daß das Integral eine Flächeist, allein schon deswegen, da das Integral vieles repräsentieren kann, wieeinen Abstand, einen Geldbetrag, ein Gewicht oder etwas anderes.

S. 475 Das Integral als Grenzwert Riemannscher Summen zu definieren, ist sinn-voll, um Integrale von Funktionen mit mehreren Variablen zu definieren (so-genannte Mehrfachintegrale), da es für diese Verallgemeinerung keine zu-grunde liegende Differentialgleichung gibt.

S. 481 Sprünge aufzuweisen statt Sprünge zu besitzen

S. 486 Wir beweisen zunächst, daß H ′(x) = L′(x) gilt. Mit Hilfe von H(a) =L(a) = 0 und der Eindeutigkeit des Integrals folgt dann (28.11). statt Um(28.11) zu zeigen, beweisen wir zunächst, daß H ′(x) = L′(x) mit Hilfe vonH(a) = L(a) = 0 und der Eindeutigkeit des Integrals.

S. 493∫ xx ( ddy (y − x))u

′(y) dy statt∫ xxddy (y − x)u

′(y) dy,∫ xx ( ddykn(y))u

(n)(y) dystatt

∫ xxddykn(y)u

(n)(y) dy

S. 494 P2(x) = 1 + 12x−

18x

2 statt P2(x) = 1 + 12 −

18x

2

S. 497∫I(u(x)−

∫I u(y)v(y) dy v(x))2dx statt

∫I(u(x)−

∫I u(y)v(y) dy v(x))dx

S. 502 Schlau, oder?

S. 525 Abb 31.4 ist identisch mit Abb 31.5 trotz anderslautender Bildunterschrif-ten

Th. Risse, HSB: Body & Soul 20

S. 527 Beachten Sie, daß wir bis jetzt ex nur als eine andere Schreibweise fürexp(x) benutzt haben.

S. 533 Während der Bewegung des Körpers pendelt die Energie daher . . . hin undzurück.

S. 537, 538 x = f inv(y) statt x = f−1(y)

S. 539, 540 x = f inv(y) =arsinh(y) statt x = f−1(y) =arcsinh(y)

S. 540 x = f inv(y) =arcosh(y) statt x = f−1(y) =arccosh(y)

S. 540 Impulsgleichgewicht bedeutet Fh∆y = 12Fv(x+ ∆x)∆x+ 1

2Fv(x)∆x

S. 547 sondern modulo 2π gleich ist

S. 550 Referenz Mathematisches Handbuch für Wissenschaft und Ingenieurwesenohne Literaturhinweis, möglicherweise [16]

S. 552, 553 Verwechselung von Zähler und Nenner

S. 565 Genial, oder?

S. 566 inhomogene Differentialgleichung – nicht definiert

S. 567 aoxm+a1x(xm)′+a2x2(xm)′′ = (ao+ma1 +a2m(m−1))xm statt aoxm+a1x(xm)′ + a2x2(xm)′′ = (ao + (a1 − 1)m+ a2m2)xmund daher auch ao+a1m+a2m(m−1) = 0 statt ao+ (a1−1)m+a2m2 = 0

Kap 36 Wie üblich ist∫ BA f(x) dx := lima→A,b→B

∫ ba f(x) dx definiert für A ∈

R ∪ −∞ und/oder B ∈ R ∪ +∞.

S. 572 Der Integrand ist eine glatte (positive) Funktion . . . ohne Definition vonglatt

S. 572∫∞

1dx

1+x = limn→∞ log(1 + n) = +∞ für n ∈ N (vgl. S. 573)

S. 573∫∞

1dxxex = limn→∞

∫ n1dxxex ≤ limn→∞

∫ n1dxex ≤ limn→∞(e−1 − e−n) = e−1

Beachten Sie, daß wir n auf ganze Zahlen einschränken können, der derIntegrand 1

xex gegen Null strebt, wenn x gegen Unendlich strebt.

S. 574 für in a unbeschränktes f statt nahe bei a für unbeschränktes f

S. 575∫B ||x||−αdx für B = x ∈ Rd : ||x|| < 1 mit d = 1, 2, 3

S. 579 Somit haben wir die Konvergenz der Reihe auf die Konvergenz der Folgeihrer Teilsummen zurückgeführt. statt seiner

S. 583 Die harmonische Reihe divergiert theoretisch!

Th. Risse, HSB: Body & Soul 21

S. 585 Die Reihe scheint auf dem Computer zu konvergieren, obwohl sie prinzipi-ell divergiert. Dies gibt uns eine Vorstellung von Idealismus versus Realismusin der Mathematik!

S. 585 Die rückwärts berechnete Summe ist streng größer als die vorwärts berech-nete Summe! im Widerspruch zu n = 100000 und n = 2000000

S. 587 Beweisen Sie, daß die Reihe . . . konvergiert. Hinweis: Vergleichen Sie siemit einer Stammfunktion . . . statt es

S. 587 Beweisen Sie, daß die Reihe∑∞i=1

1i2−i konvergiert. Der erste Summand

für i = 1 ist aber nicht definiert!

S. 591 F inv statt F−1

S. 591 C = F (uo) statt F (uo) = C für x = 0

S. 594 2n oder N statt 2N

S. 595∣∣∣∫ xo (f(u(y))− f(v(y))) dy∣∣∣ statt |

∫ xo f(u(y))− f(v(y)) dy|

S. 600, 603 Volterra-Lotka: a, b, α und β, S. 600 vs a, b, c und d, S. 603

S. 601 was zunächst vom wohlwollenden Leser akzeptiert werden kann

S. 602 Wir fassen zusammen:, nämlich analytische Lösungen nur für Spezialfälle. . .

S. 607 Diskussionen über konstruktive Gesichtpunkte dieser Welt . . . werden wirnun (für den interessierten Leser) ausführen.

S. 608 Hier wollten wir nur . . . Grenzen der Mathematik für uns Menschen auf-zeigen.

S. 624 u′ statt u

S. 626 Wir hoffen, daß einige Leser den 4-dimensionalen Würfel sehen können.

S. 627 Spalten (a1j , . . . , amj)> statt (a1j , . . . , amj), Spaltenvektoren aj = (a1j , . . . , amj)>statt (a1j , . . . , amj) u.ä.

S. 627 f(x) = Ax statt f(x) = A

S. 629 zusammengefaßte (und trockene) Darstellung

S. 630 Sie sollten mit beiden Schreibweisen vertraut sein.

S. 637 nicht schlecht

S. 645 jede Spalte/Spaltenvektoren (a1j , . . . , amj)> statt (a1j , . . . , amj)

Th. Risse, HSB: Body & Soul 22

S. 651 Permutationen als eins zu eins Abbildungen . . . – ohne Definition

S. 657 Spalten aj = (a1j , . . . , amj)> statt aj = (a1j , . . . , amj)

S. 661 |v − Pv|2 ≤ |v − Pv + εw|2 = |v − Pv|2 + 2ε(v − Pv,w) + ε2|w|2 statt|v − Pv|2 ≤ |v − Pv + εw|2 = |v − Pv|2 + ε(v − Pv,w) + ε2|w|2 sowieentsprechend (v − Pv,w) + 1

2ε2|w|2 ≥ 0 statt (v − Pv,w) + ε2|w|2 ≥ 0

S. 677 Wir wissen aus dem Kapitel „Optimierung“, daß das Minimierungspro-blem eine Lösung besitzt.

S. 683 xk = (bk − sum)/akk ausrücken!

S. 690 Gibt es nur relativ wenige Diagonalen

S. 694 Verhältnis des größten Eigenwerts zum kleinsten Eigenwert

S. 665 x(k+1) = x(k) − α(Ax(k) − b) statt x(k+1) = x(k+1) − α(Ax(k) − b)

S. 696 Da die λj positiv angenommen werden, . . .

S. 702 x(k+1) = − 1aii

(∑j 6=i aijx

(k) − bi)

statt xk+1 = − 1aii

(∑j 6=i aijx

k − bi)

wieebenso in Abb. 44.13

S. 706/707, 722 x(k+1), x(k), d(k), r(k+1), r(k) statt xk+1, xk, dk, rk+1, rk

S. 707 Das Skalar-Produkt wird mal als 〈x, y〉, mal als (x, y) geschrieben.

S. 707,722 αk = (rk,dk)(dk,dk) und βk = (rk+1,dk)

(dk,dk)

versus αk = (rk,dk)(dk,Adk) und βk = (rk+1,Adk)

(dk,Adk) – jeweils anders als [12]

S. 719 Spalten (a1j , . . . , amj)> statt (a1j , . . . , amj)

S. 726 A nicht-normal . . . ohne Definition (nicht-) normaler Matrizen

S. 737 Wir laden den Leser ein, . . . Newton nachzueifern.

S. 737, 738 Gleichung für die Störung ϕ, deren Lösung statt dessen

S. 738 Aufg. 47.6 Wandern Sie in den Fußspuren von Newton und finden Sieanalytische Lösungen . . .

S. 742 wobei wir die Zeitabhängigkeit . . . weggelassen haben, um die Lesbarkeitzu erhöhen.

S. 745∑Ni,j=1 kij(|ai + ui − (aj + uj)| − |ai − aj |)

2 =∑Ni,j=1 kij(|ai − aj + (ui −

uj)| − |ai − aj |)2 statt∑N

i,j=1 kij(|ai+ui−(aj+uj)|−|ai−aj |)2 = kij(|ai−aj+(ui−uj)|−|ai−aj |)

2

Th. Risse, HSB: Body & Soul 23

Kap. 48 Zeitskala meint wohl Zeitkonstante.

S. 750 Differentialgleichung transformiert zu . . . , deren Lösung statt dessen

S. 761, 762 Drosseln oder Induktivitäten statt Schleifen

S. 775 richtig?

S. 776 (überprüfen Sie dies!)

S. 782 (f − Pkf, v) für alle v ∈ Vh

S. 788 von der beobachteten Größe genügend vorhanden statt die beobachtete Grö-ße genügend vorhanden

S. 789 zufällig auftretende statt auftretenden

S. 789/790 Fluß wird einmal mit q(x, t) ein andermal mit ϕ(x, t) bezeichnet.

S. 791 (53.10) u(0) = u(1) = 0 statt u(0, t) = u(1, t) = 0

S. 792 um u aus f zu erhalten statt um f aus u zu erhalten

S. 793 Lesehilfe bzgl. ϕ0 und ϕM+1

S. 796 Abb. 53.5 rechts: ϕi und ϕi+1 statt ϕi−1 und ϕi

S. 797 Die Genauigkeit wächst, wenn der Aufwand wächst.

S. 799 Abb. 53.6 lieber als Gleichung Aξ = b darstellen

S. 801 setzt Kenntnisse . . . voraus.

A.3 Band 3 – Analysis in mehreren Dimensionen

S. 823 Lesehilfe für die Dekodierung der Schreibweise M(x)(x− x)

S. 834 Welche Erleichterung! (– daß es den Satz von Schwarz gibt.)

S. 836 Wir wiederholen den Beweis dem Leser zuliebe.

S. 836 Subtraktion statt Abziehen

S. 836 konvergiert gegen statt zu

S. 838 Achtung bei großen Lipschitz-Konstanten Lf !!

S. 838, 839 x = f inv(y) statt x = f−1(y)

S. 838, 839, 840 e(j) statt ej

Th. Risse, HSB: Body & Soul 24

S. 843 Übungsaufgaben 54.2 und 54.3 mit als freiwillig gekennzeichneten Teilen

S. 847 Eine Höhenlinie kann man sich auch als Uferlinie eines (Stau-) Sees . . .denken.

S. 851 Rand des Einheitsquadrates statt Grenze

S. 896 Vor Kopernikus konnte niemand diese Argumente hinterfragen. KönnenSie es?

S. 899 überlassen statt überlasen entlang Geraden statt Gerader

S. 909 Falls Sie das zu erwartende Gefühl der Verwirrung überkommt, sollte Siedas nicht weiter beunruhigen. Fahren Sie einfach . . . fort. Wenn Sie ande-rerseits das Gefühl bekommen, daß Sie wider alle Erwartungen die Haupt-gedanken verstehen, können Sie sich gratulieren . . .

S. 912 wieviele arithmetische Operationen jede Auswertung erfordert.

S. 915 x = (1, 0.5) statt x = (1; 0, 5) f(1, 0.5) statt f(1; 0, 5)

S. 917 die nach der Iterationsvorsachrift (60.2) hoffentlich gegen . . . konvergiert.

S. 917 dabei werden wir feststellen, daß der als „schwierig“ angesehene Beweisabgesehen von den nicht-konstruktiven Gesichtspunkten „einfach“ ist.

S. 922 Der Satz, daß jede monotone beschränkte Folge konvergiert, ist ein Eck-stein der Funktionalanalysis reeller Variablen.

S. 927 (61.1) div(rot u) = 0 für u : R2 → R statt u : R2 → R2

S. 930 mit von x3 unabhängigen u1 und u2

S. 932 besagt, daß das magnetische Feld (61.5) lautet

S. 935 http://fraser.cc/BadScience/Bad/BadCoriolis.html stattwww.ems.psu.edu/˜fraser/BadScience/Bad/BadCoriolis.html

S. 936 (62.1) fällt vom Himmel

S. 940 keine große Überraschung

S. 951 Aufg. 63.4 Berechnen Sie∫

Γ F · ds . . . – ohne Vorgabe von F

S. 954 x(n)i statt xni

S. 968 Der Satz, daß der Flächeninhalt des Einheitskreises π ist, ist ein wichtigesErgebnis für die Mathematik!

S. 968 Offensichtlich haben wir dabei etwas Magisches vollbracht:

Th. Risse, HSB: Body & Soul 25

S. 969 Ecken statt Kanten Viereck statt Tetraeder

S. 971, 974 Flächeninhalt einer (Ober-) Fläche statt Fläche einer Oberfläche

S. 978 Aufg. 65.10∫S(x1+x2+x3) dsmit S = x : x1 = y1 cos y2, x2 = y1 sin y2, x3 =

x1 + x2 ohne Angabe von ω ⊂ R2 mit (y1, y2) ∈ ω

S. 979 Aufg. 65.11 keine Angabe zu n in∫S(x1, x2, x3) · nds

S. 979 Aufg. 65.12 keine Angabe zu n in∫S

(x1,x2,x3)||x||2 · nds ds statt dS

S. 979 Aufg. 65.14 Einheitsnormale statt Normale ds statt dS

S. 979 Aufg. 65.15 Krapfen statt Karpfen

S. 983 Ein Dreifachintegral in ein Integral von Doppelintegralen . . . zu untertei-len, entspricht dem Aufschneiden eines Brotlaibes in Scheiben.

S. 984 berechnet statt berechnt

S. 985/986 eineindeutige Abbildung statt eindeutige Abbildung

S. 999∫

Γ(u2n1 − u1n2) ds statt∫

Γ u2n1 − u1n2 ds

S. 986 |det d(x1,x2,x3d(r,θ,ϕ) | = r

2| sinϕ| statt |det d(x1,x2,x3d(r,θ,ϕ) | = r

2 sinϕ

S. 987 V(Einheitskugel) = 43π

Wieder ein wichtiges Ergebnis der Infinitesimalrechnung!

S. 994 in Satz 67.1 und in Satz 67.2 jeweils Einheitsnormale statt Normale

S. 995 (67.8) einfach durch Vertauschen von v und w in (67.6) herleiten

S. 996 Vorsicht: Wir benutzen hier „ds“ in zwei unterschiedlichen Bedeutungen.. . .

S. 997 Aufg. 67.3 divergenzfrei – nicht definiert

S. 1002 (68.7) einfach durch Vertauschen von v und w in (68.6) herleiten – wieS. 995

S. 1004 (68.8) und (68.9): i = 1, 2, 3 statt i = 1, 2,

S. 1005 Die Funktion F ist nur zu Ihrer Verwirrung scheinbar so kompliziertgewählt.

S. 1005 Aufg. 68.11∫

Ω∇u · ∇v dx =∫

Ω fv dx statt∫

Ω∇u · ∇v =∫

Ω fv und∫Ω∇u · ∇v dx =

∫Γ gv ds+

∫Ω fv dx statt

∫Ω∇u · ∇v =

∫Γ gv ds+

∫Ω fv

S. 1007 Umlaufrichtung statt Umflaufrichtung

Th. Risse, HSB: Body & Soul 26

S. 1016 Wir erinnern daran, daß Ω konvex ist – ohne vorherige Definition vonKonvexität

S. 1023 der senkrecht auf der Ebene steht statt senkrecht zu . . . ist

S. 1024 D = e3 ×∫V ρ(x)(x− x) dx statt D = e3 ×

∫V ρ(x)(x− x) dx = 0

S. 1025 Oberfläche S eines Körpers B statt Fläche S

S. 1029 Abb. 71.7 Mittelpunkt M vs Mittelpunkt C im Text

S. 1038 (73.1) fällt vom Himmel

S. 1038/1039 ∂∂t

∫V λu dx =

∫V∂∂tλu dx, da V nicht von t abhängt

S. 1042 x1 ∈ 0, 1, x2, x3 ∈ 0, 1 und x1 = 0.5statt x1 = 0, 1, x2, x3 = 0, 1 und x1 = 0, 5

S. 1042 Natürlich ist das keine Überraschung.

S. 1045 für die es in den x-Koordinaten kein Gegenstück gibt.

S. 1046, 1047 U (k)i,j statt Uki,j

S. 1047 Ist das Modell von x2 unabhängig statt Ist x2 unabhängig

S. 1052 (73.20) fällt vom Himmel

S. 1054 (73.21) fällt – zwangsläufig – vom Himmel

S. 1054 Schrödinger-Gleichung (73.20) und Wellenfunktion fallen mehr oder we-niger vom Himmel

S. 1054 Randbedingungen beinhalten E · n, E × n, H · n, H × n. – n ?

S. 1057 Vektorpotential – nicht definiert

S. 1061 glatte Funktion – nicht definiert

S. 1065 i∂ϕ∂t = Hϕ – Hinweis auf komplexwertige Wellenfunktionen usw. würdezumindest i erläutern.

S. 1067 Impuls −i∆, harmonischer Fall, Grundzustand, angeregte Zustände –nicht erläutert

S. 1072 Häufigkeitsfaktor – nicht erläutert

S. 1075 Enthalpie – nicht erläutert

S. 1081 g bilde Ω ⊂ Rd eineindeutig auf Ω ⊂ Rd ab

Th. Risse, HSB: Body & Soul 27

S. 1081 Eins zu Eins Abbildung – nicht definiert

S. 1088, 1090-1093, 1095 a(i) statt ai

S. 1092/1093 (76.8)∑3i=1(a(i)j −xj)λi(x) = 0 ?⇒ (76.9)

∑3i=1(a(i)j −xj)

∂λi∂xk

= δjk

S. 1095 Steifigkeitsmatrix, Lastvektor – erst auf S. 1102 definiert

S. 1095∫K g dx ≈

320∑3j=1 g(a

(j)K ) |K|3 + 8

20∑

1≤i<j≤3 g(a(ij)K ) |K|3 + 9

20g(a(123)K )|K|

statt∫K g dx ≈

∑3j=1 g(aiK) |K|20 +

∑1≤i<j≤3 g(a

ijK)2|K|

15 + g(a(123)K )9|K|

20 (76.17)

S. 1097 Aufg. 76.5 Begründen Sie den Ausdruck „knotig“.

S. 1106 in Abb. 77.7 sind die Graphen von ϕi und ϕi+1 schlecht zu unterscheiden

S. 1107 Beachten Sie das Muster der Einträge . . . ; diese Werte werden sehr oftfalsch programmiert.

S. 1111 Im Beweis von Satz 77.2 fehlt die Definition e = u− U .

S. 1116 (−0.5, 0.5)× (−0.5, 0.5) statt (−0, 5; 0, 5)× (−0, 5; 0, 5)

S. 1118 konkave Ecke im Ursprung statt konvexe

S. 1119 f und g vorgeben sind statt f und g sind vorgebene Daten

S. 1120 Als Eselsbrücke: explizit, erzwungen und essentiell beginnen mit „e“

S. 1122 Die exakte Lösung ist nicht glatt und . . . – nicht definiert

S. 1124 „knotige“ Massenmatrix

S. 1125 Aufg. 77.1 Die Diagonalausdrücke lauten h2

2 und die außer-Diagonalaus-drücke sind alle gleich h2

12 . Die Elementsumme in einer Zeile ist gleich h2.

S. 1132 u′′(x) = 0 in 0 und 1 statt u′′(x) = 0 in (0,1)

S. 1137, 1142 F (n) statt Fn

S. 1137, 1138, 1140, 1142 Rekonstruktionsfehler – nicht spezifiziert

S. 1142 Beachten Sie dabei das Minuszeichen im Ausdruck −(v, z) . . .

S. 1154 U (n) statt Un

S. 1158 u−∆u = f wobei f die äußere Kraft statt u−∆u = f

S. 1161 Wir wiederholen . . .

S. 1163, 1169 Erstaunliche Tatsache, daß mit f auch f ′ analytisch ist. Wir er-innern daran, daß . . .

Th. Risse, HSB: Body & Soul 28

S. 1168 einfach zusammenhängendes Gebiet statt einfach verknüpftes – im Vorgiffauf S. 1170

S. 1176/1177∫

Γ f(z) dz = limn→∞∑nk=1 f(zk−1)(zk − zk−1)

S. 1181 verallgemeinerte Cauchysche Integralformel nur mit ddzo∫g dz =

∫ ddzog dz

S. 1192 assoziierte Strömungsfunktion – ohne Definition

S. 1196 sininv statt sin−1

S. 1201 Koeffzienten 0.5 und 0.8 statt 0,5 und 0,8 ebenso in Abb. 83.2

S. 1205 daß jede differenzierbare periodische Funktion als Fourier-Reihe darstell-bar ist.

S. 1205 . . . Wir halten uns an die üblichere Schreibweise . . .

S. 1208 Abb. 83.4 für a = 1

S. 1212 Die Annahme kann statt Annahmen

S. 1216 Satz 83.4 vs Die Annahme, daß f(x) stückweise differenzierbar mit stück-weise Lipschitz-stetiger Ableitung ist, genügt.

S. 1217 Nun wollen wir uns einen Augenblick zurücklehnen . . .

S. 1218 Wegen ωT = 2π besser 1T statt ω2π , besser T2 statt πω

S. 1226 f(x) = 1 für −a ≤ x ≤ a mit a > 0 und f(x) = 0 sonst

S. 1240 nur für s = t oder s, t ∈ a, b gilt γ(s) = γ(t) statt s = t = a = b

S. 1242 Resf(zm) = g(k−1)(zm)(k−1)! mit f(z) = g(z)

(z−zm)k für analytisches g statt über-flüssige Fallunterscheidung

S. 1248 Randwerte statt Grenzwerte

S. 1250 viskose Dissipation – ohne Erläuterung

S. 1252 Mag sein, daß menschliche Wesen nicht in der Lage sind, „Turbulenz“zu verstehen . . . Vielleicht können wir nicht mehr erwarten?

S. 1252 Die Frage . . . ist eines der ungelösten Probleme der Mathematik.

S. 1254–1258 U (n) statt Un

S. 1256/1257 Gesamtspannungstensor, deviatorische Spannung, Deformations-tensor