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Ausgleichungsrechnung IGerhard Navratil

Ausgleichung ohne Linearisierung

• Problematik

• Lösen linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme

• Lösen nicht linearer, nicht überbestimmter Gleichungssysteme

• Lösen nicht linearer, überbestimmter Gleichungssysteme

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Beispiel: Tachymeter Zeiss Elta 2

Modell für Fehler-korrektur:Sinusschwingung

Vergleich mitLaser-Interferometer

Messstelle d [m] Differenz c [mm]

2,035 2,8

4,042 -1,6

5,998 -7,5

7,973 -7,1

10,002 -0,7

3210 ][

2sin][][ amd

Uamdaammc

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Beispiel: Fortsetzung

Näherungswerte:

Gesucht: Wahrscheinlichste Werte der Parameter a0 bis a3 und ausgeglichene Beobachtungen di bzw. ci

mmam

mmamma 6,5,0,3 0

201

00

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Beispiel: Lösung (1)

Fehlender Näherungswert:

Erstes Wertepaar: Fehlermeldung, da Ausdruck bei arcsin >1 2. Wertpaar verwendet: a3=3,6

2

103 arcsin

2 a

daacUda

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Beispiel: Lösung (2)

Ableitungen der Bedingungsgleichungen:

U

adU

aa

adUa

da

a

c

Uad

Uaa

d

22cos

2sin

1

1

22cos

323

32

1

0

321

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Beispiel: Lösung (3)

B-Matrix: Ableitungen nach c und d

A-Matrix: Ableitungen nach a0 bis a3

Widerspruchsvektor w

Gewichtsmatrix Einheitsmatrix

Gleichungssystem

0

w

x

k

0A

ABBT

T

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Beispiel: Lösung (4)

Auflösung liefert Unbekanntenzuschläge x und Verbesserungen v

Hauptprobe:

Geht nicht auf!

Iteration notwendig

7,2,

4,4,

1,0,

3,4,

9,2,

5

4

3

2

1

lx

lx

lx

lx

lx

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Einfach lösbar weil …

Einfache, geschlossen Berechnung der NäherungswerteWie geht man vor, wenn keiner der vier Näherungswerte gegeben ist?

Konvergierende Iteration

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Lösen nicht überbestimmter Gleichungssysteme

Gegeben:

Gesucht: Lösung des Systems (gemein-same Nullstellen der Polynome)

Lösung:

Diagonalfom:

0

0132

yx

yx

0

1

11

32

y

x

1

1

10

01

y

x Lösung direktablesbar!

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Lösen nicht überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme

Gegeben: 2 Festpunkte,2 Strecken zu Neupunkt

Gesucht: Koordinatendes Neupunktes

y x

P1 5 5

P2 15 5

von nach s

P1 N 8

P2 N 6

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Lösung (1)

Funktionaler Zusammenhang:

Ausmultipliziert:

mit den Unbekannten xN und yN

0

02

22

22

2

21

21

21

NNN

NNN

yyxxs

yyxxs

022

02222

22

2222

22

21

21

2111

22

xxsyyxxyx

xxsyyxxyx

NNNNN

NNNNN

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Lösung (2)

Einsetzen der bekannten Werte

Keine ‚nette‘ Form der Darstellung (Lösung nicht direkt ablesbar)

Lösung direkt ablesbar aus (ohne Beweis):

02143010

014101022

22

NNNN

NNNN

yxyx

yxyx

05

57014101022

N

NNNN

y

yxyx

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Lösung (3)

Gesuchte Lösung des Systems ist:

Lösung der Aufgabe:

8,92,005

4910

5

57

2,1,2

NNNN

N

xxxx

y

y x

Lsg 1 11,4 0,2

Lsg 2 11,4 9,8

Frage: Wie sind wirauf das ‚nette‘Gleichungssystemgekommen?Gröbner-Basis

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Gröbner-Basis

Entwickelt von Buchberger in den 60er-Jahren des 20. Jahrhunderts

Gegeben: System F von Polynomen

Gesucht: Nullstellen von F

F in System G transformiert, das ‚nettere‘ Eigenschaften hat

F und G sind äquivalent Lösung von G ist auch Lösung on F

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Begriffe

• Multivariate Polynome: Polynom in mehreren Variablen – Kombinationen von Variablen sind erlaubt (z.B. xy)

• Bivariate Polynome: 2 Variable

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Beispiel

Gegeben sind:bivariate Polynome

System von Polynomen 21

222

1

232

,

2

2

53

ffF

xyf

yxyf

xxyyxg

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Monomen

Summanden: Monome

Wichtigste Arten der Sortierung:– Nach dem Lexikon (lexikographisch)– Erst nach der Potenz, dann lexikographisch

Im Beispiel: lexikographisch (erst nach y, dann nach x, dann absteigende Potenz)

Erstes Monom: Führendes Monom

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Division/Reduktion (1)

Einzelne Monome von g werden mit Hilfe von f1 und f2 eliminiert

Mögliche Division:Reduziert g modulo f1

Das führende Monom von (3y)f1 muss eines der Monome von g eliminieren

Mathematisch:(„g reduziert sich zu h modulo f1“)

3221 653 yxyxfygh

hg f1

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Division/Reduktion (2)

Im Allgemeinen viele verschiedene Reduktionen möglich

In unserem Beispiel:

Somit: und .

2

4

22

3

321

22

32

52

1

235

xyyx

xfyxgh

xyxyxfxygh

21hg f 32

hg f

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Division/Reduktion (3)

bedeutet, dass sich g über die Funktionen aus F zu h reduzieren lässt

Reduktion über eine endliche Anzahl von Schritten:

Wenn nicht mehr weiter reduzierbar:

hg F

hg F*

Fh

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Eigenschaften der Reduktion

Terminierung – es gibt keine unendliche Kette von Reduktionsschritten

Reduktion ist algorithmisch – für alle g und F gibt es einen Algorithmus, der eine reduzierte Form erzeugt

Nicht-Eindeutigkeit – aus g und F können unterschiedliche Ergebnisse h und k erzeugt werden:

FFFF kgh **

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Gröbner-Basis

Set von Polynomen mit eindeutiger Reduktion

Definition:

F ist eine Göbner-Basis F ist eindeutig, also

khkghkhg FFFF **,,

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S-Polynom

Gegeben 2 Polynome

Mit einem solchen Monom multipliziert, sodass die führenden Monome gleich sind

S-Polynom ist die Differenz der beiden Polynome

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Beispiel: S-Polynom

Gegeben:

Gesucht: S-Polynom

Ergebnis:

222

1

2

2

xyf

yxyf

2121 2

1, fxfyffS

2321 2

2

1, yxffS

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Bestimmung Gröbner-Basis

Gegeben: Beliebige Menge F von Polynomen

Gesucht: Menge G von Polynomen, die eine Gröbner-Basis bilden

Berechnung: Buchberger-Algorithmus

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Buchberger-Algorithmus (1)

Setze G=F

Für jedes Paar von Polynomen f1 und f2 G:

– S[f1,f2] berechnen und zur reduzierten Form h vereinfachen

– Wenn h = 0 dann nächstes Paar– Wenn h ≠ 0 dann zu G hinzufügen und

iterieren

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Buchberger-Algorithmus (2)

Lineare Polynome: Ergebnis entspricht der Gauß‘schen Elminiation Verallgemeinerung der Gauß‘schen Elimination

Nähere Beschreibung: Dissertation Bruno Buchberger:http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/buchberg/

Berechnung: Software-Pakete

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Was können wir jetzt?

• Lösen von linearen Gleichungssystemen: z.B. Gauß‘sche Elimination

• Lösen von nicht linearen Gleichungs-systemen: Gröbner-Basis

• Lösen von überbestimmten, linearen Gleichungssystemen: Methode der kleinsten Quadrate

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Lösen überbestimmter, nicht linearer Gleichungssysteme

Direkte Anwendung der Gröbner-Basis nicht möglich

Lösung von Awange und Grafarend:– Bestimmung der eindeutigen Lösungen über

Gröbner-Basis– Lösungen als Beobachtungen betrachten und

Genauigkeit über Fehlerfortpflanzung– Lösung nach Ausgleichung direkter

Beobachtungen

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Vorteile dieser Lösung

• Keine LinearisierungSomit keine Näherungswerte notwendig

• Keine Iteration nötig

• Für Detektion grober Fehler verwendbar (A 2)

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Beispiel: Überbestimmter Bogenschnitt

Bogenschnitt von 3 Punkten 3 eindeutige Lösungen N12, N13, N23

Zufällige Fehler bewirken Abweichungen

Vorschlag von Gauß: Eindeutige Lösung über gewichtetes arithmetisches Mittel, Gewichte aus Distanzen

Jacobi: Gewichte aus Determinanten der Lösungen

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Kombinationsansatz (1)

Lineares Problem:

Aus je 2 Gleichungen eine Lösung: Lösungen

0

0

0

333

222

111

yybxa

yybxa

yybxa

2

n

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Kombinationsansatz (2)

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Gewichte aus

2312

23231212

2312

23231212

yyy

xxx

2233223

2122112

baba

baba

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Kombinationsansatz (3)

Nicht lineares Problem: Gewichte über Fehlerfortpflanzung abzuleiten

Liefert Varianz-Kovarianzmatrix

Ausgleichung direkter Beobachtungen

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Zusammenfassung

• Notwendige Linearisierung bei Ausgleichs-problemen kann zu Schwierigkeiten führen

• Gröbner-Basis ermöglicht Lösung ohne Linearisierung (also auch ohne Näherungswerte)

• Vorteile: Rechenaufwand abschätzbar, Wiederholung einfach

• Nachteil: Mathematisch aufwändiger