Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Zufallsprozesse
• Einleitung
• Stochastische Prozesse
• Empirische Schätzung stochastischer Prozesse
Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Einleitung
• Bisher: zeitliche Komponente irrelevant• Untersuchung dynamischer Systeme
benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen
• Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge Zeitreihe
• Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig
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Stochastische Prozesse (1)
• Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)}
• t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein• Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater
stochastischer Prozess oder stochas-tischer Prozess im engeren Sinne
• Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik
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Ausgleichungsrechnung IIGerhard Navratil
Stochastische Prozesse (2)
• Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit
• Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen
• Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden
• Stichprobe = Zeitreihe• Registrierte Messungen bilden Funktion
des Parameters t – eine Realisierung
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Stochastische Prozesse (3)
• Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen
• Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen
• In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite t
• Fehlende Daten: Interpolation• Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von
Realisierungen (>50)
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Stochastische Prozesse (4)
Modellierung meist kontinuierlich
• Vereinfacht graphische Darstellung
• Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat
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Parameter
• Erwartungswert
• Varianz
• Kovarianz
• Korrelation
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Erwartungswert
• Messwerte zum Zeitpunkt ti: Realisierungen einer Zufallsgröße Xi
• Somit Erwartungswert definiert
• Erwartungswert des Prozesses:
• Wert an der Stelle ti:
• Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine Gerade
tXEt ii XEt
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Varianz
•
• Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von Xi
• Diagramm mit Mittelwert und Standard-abweichungen gibt das Streuungsband
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Kovarianzfunktion
• Stochastischer Prozess zu den Zeit-punkten t1 und t2: Zufallsgrößen X(t1) und X(t2)
• Lineare stochastische Abhängigkeit
• 2-dimensionale Autokovarianzfunktion
22112121 ,Cov, ttXttXEtXtXttxx
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Korrelationsfunktion
• Normierung der Autokovarianzfunktion
• Korrelation der Zufallsgrößen zu verschie-denen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge
• Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: „short memory“-Effekt
221
2
2121
,,
tt
tttt xx
xx
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Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation
• Betrachtung zweier Prozesse, neuer zwei-dimensionaler Prozess
• Kreuzkovarianzfunktion
• Kreuzkorrelationsfunktion
• Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse
221
2
2121
,,
tt
tttt
yx
xyxy
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Stationäre Prozesse (1)
• Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess
• Gültig für alle Parameter: starke Stationarität• Nur Erwartungswert und Varianz: schwache
Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig
• Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen
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Stationäre Prozesse (2)
• Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente
• Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal
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Prüfung auf Instationarität
• Möglichkeiten:– Zufallskriterium von Cornu
mit
– Kriterium von Abbefrei von syst. Einflüssen bei A/B=2
• Prüfung auf systematische Einflüsse
• In der Praxis oft nur Augenschein
ns
t )2(21
2 2
2
ns
n
sv
tT
i
i
Pvv
2und
1
1
21
1
2 )(,n
iii
n
ii vvBvA
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Gaußsche/Ergodische Prozesse
• Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig
• Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht:– Erwartungswert und Varianz konstant– Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz
abhängig– Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung
ableitbar
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Empirische Schätzung (1)
Allgemeiner stochastischer Prozess (1)
• Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen
• Wahl des Anfangspunktes t0 = 0, davon gleich lange Intervalle t abgetragen
• In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte
• Annäherung der Werte durch geeignete Funktion Mittelwertfunktion
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Empirische Schätzung (2)
Allgemeiner stochastischer Prozess (2)• Kovarianzfunktion: Schätzwert über
mit den Werten der j-ten Realisierung xj
• Durchläuft t1, t2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten Annäherung durch ge-eignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion
• Kreuzkovarianzfunktion analog
n
jjjxx txtxtxtx
nC
12211
1
n
jjjxy tytytxtx
nC
12211
1
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Empirische Schätzung (3)
Ergodischer stochastischer Prozess (1)
• Anfangspunkt t0 = 0, gleich lange Intervalle t abgetragen
• Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel
• Autokovarianzfunktion:
• Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse
kn
ikiixx xxxx
knkC
1
1
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Empirische Schätzung (4)
Ergodischer stochastischer Prozess (2)
• Zugehöriger zeitlicher Abstand = k t
• Gesamter Verlauf der Autokovarianz-funktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt
• Kreuzkovarianzfunktion analog
kn
ikiixy yyxx
knkC
1
1
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Empirische Schätzung (5)
Ergodischer stochastischer Prozess (3)
• Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung
• Autokorrelationsfunktion
• Kreuzkorrelationsfunktion
0xx
xxxx C
kCkR
0xy
xyxy C
kCkR
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