Bemessung und Konstruktionvon Bauteilen im Stahlbeton

Formelsammlung

Jan Höffgen

3. März 2014

Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-ModulsBemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton

im WS 2013/14 erstellt.

Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage.

Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit.Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis1 Fundamente 3

1.1 Unbewehrte Streifenfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Bewehrte Einzelfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Zweiachsig gespannte Platten 52.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Belastungsumordnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Mindestbiegemomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4 Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Durchstanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Nachweise im GZG 103.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Begrenzung der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Begrenzung der Rissbreiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Mindestbewehrung für Zwang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Begrenzung der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.1 Indirekte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.2 Direkte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen 164.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Rahmenendknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Rahmeninnenknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Konsolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 Ausklinkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Torsion 19

J.H. Seite 2

1 FUNDAMENTE

1 Fundamente• Erhöhung der Betondeckung

– um k1 = 20 mm bei Betonieren gegen eine unebene Sauberkeitsschicht (d = 5÷ 10 mm)

– um k2 = 50 mm bei Betonieren gegen Erdreich

1.1 Unbewehrte Streifenfundamente1. Sohlspannung: σgd = pd

Aso

2. Schnittgrößen

• MEd = σgd · a2

2

• VEd = σgd · a– a = b− c: Abstand Fundamentkante − Rand des abzustützenden Bauteils

3. Biegenachweis: σc ≤ fctd

• σc = MEd

W =3·σgd·a2

b·(0,85·hf )2

• fctd = αct · fctk;0,05γc

4. Querkraftnachweis: τcp ≤ fcvd

(a) Betonfestigkeiten

• fcd,pl = αcc,pl · fckγc• fctd,pl = αct,pl · fctk;0,05γc

– αct,pl = αcc,pl = 0,70

(b) Betondruckspannung bei Längsdruckkraft: σcp = NEdAcc

(c) Grenzspannung σc,lim = fcd,pl − 2 ·√fctd,pl(fctd,pl + fcd,pl)

(d) fcvd =

{ √(fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl für σcp ≤ σc,lim√(fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl − 1

4 (σcd − σc,lim) für σcp > σc,lim

(e) τcp = k · VEdAcc

• k = S·Accb·I (= 1,5 für Rechteckquerschnitte)

5. Wenn die Nachweise erfüllt sind, kann das Fundament unbewehrt ausgeführt werden.

J.H. Seite 3

1 FUNDAMENTE

1.2 Bewehrte Einzelfundamente1. Schnittgrößen

• Allgemein

– Bestimmung der Sohldruckverteilung und Berechnung der Momente am Stützenrand durchFlächenlast

• Zentrische Belastung

– MEd,x/y = NEd · b8 ·(1− c

b

)2∗ bx/y: Fundamentbreite∗ cx/y: Austandsfläche des abzustützenden Bauteils

• Exzentrische Belastung

– Randpannungen bei Rechteckfundamenten in Abhängigkeit der Ausmitte ex/y =MEd,x/y

NEd

0 < e ≤ b6 : σ1,2 = NEd

bx·by (1± 6eb )

b6 < e ≤ b

3 : σ = 2·NEd3·( b2−e)·b

, Klaffende Fuge bis 3e− a2

– σm = σ1+σ2

2 , ∆σ = σ2 − σm ≥ 0

– MEd,x/y = by/x

(σm ·

b2x/y8 + ∆σ · b

2x/y

12

)2. Geometrie

(a) d1,y = cnom + 12 · Φsl,y

(b) d1,x = d1,y + Φsl,x (Richtungen vertauschbar)

(c) d1,m = 12 · (d1,y + d1,x)

(d) dm = hf − d1,m

3. Ermittlung von Baustoffkenngrößen

• Betonfestigkeit: fcd = αcc · fckγc (Dauerstandsfestigkeitsbeiwert αcc = 0.85)

• Stahlfestigkeit: fyd =fykγS

[i.d.R.

= 5001.15 = 435 N

mm2

]4. Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsfläche (Spannungsblockverfahren)

(a) Ermittlung des auf den Schwerpunkt der Zugbewehrung bezogene Bemessungsmoment:MEds = MEd[−NEd · (h2 − d1)]

(b) Bestimmung des bezogenen Moments µEds = MEds

b·d2·fcd• b: Breite der Druckzone

(c) Berechnung von ζ = zd = 1

2

(1 +√

1− 2 · µEds)

(d) Berechnung der Bewehrungsfläche As1 = 1fyd

(MEds

ζ·d +NEd

)5. Aufteilung der Bewehrung im Einzelfundament

• Aufteilung der Fundamentbreite in 8 Streifen

•Streifen c/b ≤ 0,3 c/b > 0,31 + 2 16,7 % 25 %3 + 4 33,3 % 25 %

der berechneten Bewehrung

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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

2 Zweiachsig gespannte Platten

2.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens

• Voraussetzungen

– Verkehrslast qd ≤ 2 · gd– Gleichlast

– Plattendicke konstant

– w ≈ 0 an den Rändern, Plattenfelder untereinander biegesteif

• Bestimmung der Feldmomente

1. Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps

2. Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)

3. Ablesen der Beiwerte fx und fy für drillsteife (oder f0x und f0y für drillweiche) Platten ausTafeln

4. Berechnung der Feldmomente mf,ix/y = pd · l2xfx/y

mit pd = gd + qd

• Bestimmung der Stützmomente

1. Ablesen der Beiwerte sx und sy für beide Platten, die am Unterzug gelagert sind

– Für Stützmoment an der langen Seite (my,erm) sx ablesen

2. Berechnung der Stützmomente

ms,ij = ms,ji = −

max

{12 · pd · lx/y ·

(1

sx/y,ij+ 1

sx/y,ji

)0,75 ·maxms,ij

}für lxi

lxj< 5

max{msi,msj} für lxilxj

> 5

2.1.2 Belastungsumordnungsverfahren

• Voraussetzungen

– min lx/ymax lx/y

≥ 0,75

– Gleichlast

– Plattendicke konstant

– w ≈ 0 an den Rändern, drillsteife Plattenecken, Plattenfelder untereinander biegesteif

• Bestimmung der maximalen Feldmomente

1. Berechnung der Feldmomente maf für die realen Lagerungsbedingungen für die Belastung

p′ = gd + qd2

(a) Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps

(b) Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)

(c) mf,ix/y = p′ · l2x/y

TW

2. Berechnung der Feldmomente mbf für allseitig gelenkige Lagerung für p′′ = ± qd2

– Für maximales Feldmoment Feld mit + qd2 , für minimales Feldmoment Feld mit − qd2 be-

lasten

3. mf,ges = maf +mb

f

• Bestimmung der Stützmomente

1. Berechnung der Stützmomente mas,ij und ma

s,ji für die realen Lagerungsbedingungen für dieBelastung p′ = gd + qd

2

J.H. Seite 5

2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

2. Berechnung der Stützmomente mbs,ij und mb

s,ji mit Einspannungsrandbedingung an der un-tersuchten Stützung für p′′ = ± qd2

3. ms,ij,ges = mas,ij +mb

s,ij

4. ms,ges = 12 · (ms,ij,ges +ms,ji,ges)

– Stützmomente nicht abmindern

• Berücksichtigung der Querdehnung: mf,x(ν 6= 0) = mf,x(ν = 0) + ν ·mf,y(ν = 0)

– GZT: ν = 0

– GZG: ν = 0,2

2.1.3 Mindestbiegemomente

• mEd,z ≥ ηz · VEd, mEd,y ≥ ηy · VEd

2.1.4 Querkraft

• Ermittlung der Querkraft mit Lasteinzugsflächen

– 45◦-Winkel zwischen gleicher Lagerung, 60◦-Winkel zwischen ungleicher Lagerung

– Bestimmung der Ordinatenwerte der resultierenden Streckenlasten: VEd = TW · pd · l (S5.54)

• Ermittlung der Querkraft nach Platten-DG in Abhängigkeit der Lagerungsbedingung

– q = pd · lxTW

J.H. Seite 6

2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

2.2 Durchstanzen• Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Verfahrens nach EC

– Kreisförmige Stützen mit Umfang u0 ≤ 12 · d– Rechteckige Stützen mit einem Umfang u0 ≤ 12 · d und einem Verhältnis Länge zu Breite

hb ≤ 2

– andere Formen

• Ermittlung des kritischen Rundschnitts u1 im Abstand a1 = 2 · d mit d = 12 (dx + dy)

– Anwendbar bei schlanken Fundamenten (aλd > 2 mit aλ = b−c2 )

• Einwirkende Schubspannung: νEd = β · VEdu1·d

– VEd: Einwirkende Normalkraft auf Stützung

∗ Begrenzungslinie der Normalkraft bei Wänden/Wandecken im Abstand ∆ = 1,5 · d vonden Enden des kritischen Rundschnitts

∗ Fundamente: V ∗Ed = VEd −Acrit · σbg(Acrit)[= VEd(1− AcritAF

) für σbg = const.]

– β berücksichtigt Exzentrizität

∗ Innenstütze: β = 1,1 für Stützweitenverhältnis 0,8 <leff,1leff,2

< 1,25

∗ Randstütze: β = 1,4

∗ Eckstütze: β = 1,5

∗ Wandecke: β = 1,2

∗ Wandende: β = 1,35

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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

• Durchstanzwiderstand ohne BewehrungνRd,c(u1) = CRd,c · k · (100 · ρl · fck)1/3 + 0,10 · σcp ≥ νmin + 0,10 · σcp

– CRd,c =

0,18γc

für Flachdecken und Bodenplatten0,18γc·(0,1 · u0

d + 0,6)

für Innenstützen bei Flachdecken mit u0

d < 40,15γc

für Fundamente

– ρl =√ρl,x · ρl,y ≤

0,02

0,50 · fcdfyd (ab ≤C30/37 relevant)

∗ ρl,x/y =As1,vorh,x/ybeff,x/y·dx/y

(Druckbewehrung nicht ansetzen)

∗ beff =

b+ 2 · 3 · d falls Zugbewehrung nicht gleichmäßig über beff liegt

1 m sonst

– k = 1 +√

200d ≤ 2

– σcp = 12 (σcp,x + σcp,y) ≤ 2 MPa

– νmin =

0,0525γc· k3/2 · f 1/2

ck für d ≤ 600 mm0,0375γc· k3/2 · f 1/2

ck für d > 800 mm

– Wenn νEd ≤ νRd,c, keine Durchstanzbewehrung erforderlich

• Überprüfung der Druckstrebe: νEd ≤ νRd,max = 1,4 · νRd,c(u1) (günstige Plattennormalkraft darfnicht angesetzt werden)

• Berechnung der erforderlichen Durchstanzbewehrung

– Grundbewehrung je Reihe: Asw,i =(νEd(u1)−0,75·νRd,c)·sr·u1

1,5·fywd,ef ·sinα

∗ fywd,ef = 250 + 0,25d ≤ fyd (d in [mm])

– Durchstanzbewehrung je Reihe

∗ Asw,1 = 2,5 ·Asw,i∗ Asw,2 = 1,4 ·Asw,i∗ Asw,≥3 = 1,0 ·Asw,i

• Konstruktive Durchbildung

– Bügelabstände

∗ Rad. Abstand der ersten Bewehrungsreihe von der Lasteinleitungsfläche: s0 = 0,3÷ 0,5 · d∗ Rad. Abstand jeder weiteren Bewehrungsreihe untereinander: sr ≤ 0,75 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel innerhalb u1: st ≤ 1,5 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel außerhalb u1: st ≤ 2,0 · d

– uout = β · VEdνRd,c·d : minimaler äußerer Rundschnitt im Abstand aout = uout−u0

2·π

∗ νRd,c zu berechnen wie oben mit CRd,c = 0,15γc

∗ av ≥ aout − 1,5 · d: Verlegebereich· Bestimmung, wie viele Reihen angeordnet werden müssen (mindestens 2)

– Asw,min = 0,08γc·√fckfyk· sr · st: Mindestquerschnitt eines Bügelschenkels (→ φsw,min)

– φsw,max = 0,05 · d– Konstruktiv erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =

us,ist

∗ us,i: Umfang der Bewehrungsreihe

– Statisch erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =4·Asw,iπ·φ2

sw,gew

J.H. Seite 8

2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN

2.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β

• Exzentrische Lasten bei Randstützen oder Innenstützen mit ungleichen Stützweiten

• Vorgeschrieben, wenn ec ≥ 1,2

Sektormodell

• Ermittlung des Einzugsbereichs der Stütze über Querkraftnullpunkte

– Erstellung des Querkraftverlaufs (S****) und Berechnung der Nullpunkte mit Strahlensatz →Rechteck

• Quadrant in vier Sektoren (22,5◦) einteilen

• Berechnung der Sektorflächen Ai als Dreiecke

• VEd,i = Ai · pd: Maßgebende Querkraft

• Berechnung der Teilumfangflächen Ui je Sektor

– Im Bereich der Ecken einer Rechteckstütze ist u1 ein Kreisbogen; deshalb Winkel ϕ zwischenFundamentecke und Sektorgrenzen graphisch bestimmen → Ui = π · a1 · ϕ

180◦

• max νi = maxνEd,iUi

• β = max νiνEd,m

Plastische Schubspannungsverteilung

• β = 1 + k · MEd

VEd· u1

W1für einachsiale Biegung

– Kreisquerschnitt: β = 1 + MEd

VEd· 0,6·πD+4d

• β = 1 +

√(ky · MEd,y

VEd· u1

W1,y

)2+(kz · MEd,z

VEd· u1

W1,z

)2für zweiachsiale Biegung

– Rechteckquerschnitt (vereinfacht): β = 1 +

√(MEd,y

VEd·by

)2+(MEd,z

VEd·bz

)2– k: Momentenfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses der Stützenabmessungen mit c1: Ab-

messung parallel zur Lastausmittec1/c2 ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0k 0,45 0,60 0,70 0,80

– W1: Statisches Moment des kritischen Rundschnitts (aus DAfStB Heft 600)

∗ Rechteckstützen: W1 = 12 · c

21 + c1 · c2 + 4 · c2 · d+ 16 · d2 + 2 · π · d · c1

J.H. Seite 9

3 NACHWEISE IM GZG

3 Nachweise im GZG

3.1 Grundlagen• Bemessung im Zustand II ⇒ MEd ≥Mcr = W · fctm

• Einwirkungskombinationen

– Seltene Kombination: pd,rare =∑j≥1 gk,j + qk,1 +

∑i>1 ψ0,i · qk,i

– Häufige Kombination: pd,frequ =∑j≥1 gk,j + ψ1,1 · qk,1 +

∑i>1 ψ2,i · qk,i

– Quasi-ständige Kombination: pd,perm =∑j≥1 gk,j +

∑i≥1 ψ2,i · qk,i

• Äquivalenzfaktor αe = EsEcm

– Es = 200000 MPa: E-Modul des Stahls

• Druckzonenhöhe xq mit Tafeln von Dutulescu (Biegung mit/ohne Normalkraft; Balken/Plattenbalken)

– Rechteckbalken unter reiner Biegung ohne Druckbewehrung: xq = αe·As1b ·

(−1 +

√1 + 2·b·d

αe·As1

)– Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = bw, Berechnung als Rechteckquerschnitt

– Für Biegung und Normalkraft evtl. Polynom 3. Grades zu approximieren: xq,i+1 = xq,i− f(xi)f ′(xi)

• Innerer Hebelarm: zq = d− 13xq

• Effektive Betonzugfläche: Ac,eff = b · hc,ef

– Biegung: hc,ef = d1 ·

2,5 für h

d1≤ 10

(2, 5 + 0,05 · ( hd1 − 10)) für 10 < hd1< 60

5 für hd1≥ 60

≤ 13 (h− xq)

– Gesamter QS unter Zug: hc,ef,ges = 2 · d1 ·

2,5 für h

d1≤ 5

(2, 5 + 0,1 · ( hd1 − 5)) für 5 < hd1< 30

5 für hd1≥ 30

≤ hJ.H. Seite 10

3 NACHWEISE IM GZG

– hc,ef = 2,5 · d1 immer für dünne Bauteile

– In Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = 2 · (beff,i + 1,5 · d1) + bw

• Spannungsberechnung im Zustand II

– Reine Biegung

∗ Betonrandspannung: σc = −MEd

Ii· xq

[= − 2·MEd

beff ·xq·zq

]∗ Stahlspannung: σs1 = MEd

zq·As1

– Biegung und Normalkraft

∗ σc = −Ec · χ · xq· Krümmung χ = − NEd

Ec·Si,NL [m−1]

mit Si,NL: Statisches Moment bez. auf Nulllinie (nach Dutulescu)∗ σs1 = Es · χ · (d− xq)∗ σs2 = −Es · χ · (xq − d2)

• Spannungsberechnung für Plattenbalken im Zustand I (für Mindestbewehrung)

1. Bestimmung des Schwerpunkts

2. Zerlegen des Plattenbalken in Teilquerschnitte (Steg + Gurte)

3. Am Zugrand Betonzugfestigkeit fct,eff4. Berechnung der Druckspannung am Druckrand über Strahlensatz (lineare Spannungsvertei-

lung)

5. Analog Berechnung der Spannungen in den Schwerpunkten der Teilquerschnitte

3.2 Begrenzung der Spannungen• σc,rare ≤ 0,6 · fck ⇒ keine Längsrisse in der Druckzone

• σc,perm ≤ 0,45 · fck ⇒ kein nichtlineares Kriechen

• σs,rare ≤ 0,8 · fyk ⇒ keine plastischen Verformungen

3.3 Begrenzung der Rissbreiten3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen

Direkte Berechnung der Rissbreite

• Berechnung für die quasi-ständige Einwirkungskombination

• Differenz der mittleren Dehnungen: εsm − εcm = max

1Es·[σs − 0,4 · fct,effeff ρ · (1 + αe · eff ρ)

]0,6 · σsEs

– Effektive Zugfestigkeit fct,eff = fctm i. d. R. für äußere Lasten

– Effektiver Bewehrungsgrad eff ρ = AsAc,eff

• Rissabstand sr,max = min

φs

3,6·eff ρ (abgeschlossene Rissbildung)σs·φs

3,6·fct,eff (Einzelrissbildung)

• Rissbreite wk = sr,max · (εsm − εcm) [mm]

• Nachweis: wk ≤

0,4 mm für X0, XC1

0,3 mm sonst

J.H. Seite 11

3 NACHWEISE IM GZG

Rissbreite über Grenzdurchmesser der Bewehrung

• φ∗s in Abhängigkeit von σs,perm und werl

– φ∗s = wk · 3,48·106

σ2s

• φs = φ∗s ·max

σs·As14·(h−d)·b·2,9fct,eff2,9

, verpflichtend bei fct,eff < 2,9 MPa, optional bei fct,eff > 2,9 MPa

• Nachweis: φsl,vorh ≤ φs

Rissbreite über Stababstände

• Nachweis: sl,vorh ≤ sl,max

3.3.2 Mindestbewehrung für Zwang

• erfAs = kc · k · fct,eff · Actσs

– fct,eff =

{0,5 · fctm für Zwang im frühen Betonalter (Hydratation)fctm ≥ 3,0 MPa für Zwang nicht mit Sicherheit innerhalb 28 Tagen

– kc =

0,4 ·[1− σc

k1·fct,eff

]≤ 1,0 für rechteckige QS und Stege von Plattenbalken

0,9 · Fcr,GurtAct·fct,eff ≥ 0,5 für Zuggurte von Plattenbalken

∗ σc: Betonspannung in Schwerelinie des (Teil-)Querschnitts (Druck positiv)

∗ k1 =

1,5 · hh∗ für Drucknormalkraft23 für Zugnormalkraft

∗ h∗ =

{h für h < 1 m1 m für h ≥ 1 m

J.H. Seite 12

3 NACHWEISE IM GZG

∗ kc =

{0,4 für reine Biegung1,0 für zentrischen Zug

∗ Fcr,Gurt = σc,Gurt · hGurt · (beff − bw) (wenn Gurt komplett unter Zug)

– k =

0,8 für inneren Zwang und h ≤ 300 mm0,52 für inneren Zwang und h ≥ 800 mm1,0 für äußeren Zwang

∗ h ist der kleinere Wert von Höhe und Breite des (Teil-)Querschnitts

– Act: Betonzugquerschnittsfläche des (Teil-)Querschnitts

– σs =√wk · 3,48·10

6

φ∗s≤ fyk

∗ φ∗s = φs · 2,9fct,eff

• Mindestbewehrung infolge Hydratation erforderlich, wenn εt = ∆T · αT ≥ εc =fct,effEc

– αT ≈ 1 · 10−5 K−1

• Mindestbewehrung in Plattenbalken außerhalb des Wirkungsbereichs der Bewehrung aus GZT(2,5 · d1) verlegen und über die Höhe der Zugzone verteilen

3.4 Begrenzung der Verformungen3.4.1 Indirekte Berechnung

• zul ld =

K ·

[11 + 1,5 ·

√fck · ρ0ρ + 3,2 ·

√fck ·

(ρ0ρ − 1

)1,5]für ρ ≤ ρ0

K ·[11 + 1,5 ·

√fck · ρ0

ρ−ρ′ + 112 ·√fck ·

√ρ′

ρ0

]für ρ > ρ0

– l: Maßgebende Stützweite

∗ bei zweiachsig gespannten Platten der kleinere Wert für lK

∗ bei dreiseitig gelagerten Platten die Stützweite parallel zum freien Rand∗ bei Flachdecken der größere Wert für l

K

– ρ = As1Ac

: erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte/an der Einspannung für das Bemes-sungsmoment

– ρ0 = 10−3 ·√fck: Referenzbewehrungsgrad

– ρ′ = As2Ac

: erforderlicher Druckbewehrungsgrad

– K: Beiwert für verschiedene statische Systeme (rechts: Werte für ld )

∗ Verwendung der Tabellenwerte für Stützweitenverhältnisse 0,8 <leff,1leff,2

< 1,25

∗ Für andere Verhältnisse Berechnung mit lK : Abstand der Momentennullpunkte

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3 NACHWEISE IM GZG

• Erhöhung von zul ld um Faktor 310σs,perm

≥ 1

– σs,perm ≈ MEd,perm

MEd· As,erfAs,vorh

· fyd

• Abminderung von zul ld um

– 0,8 für gegliederte Querschnitte mit bbw

> 3

– 7leff [m] für Balken und Platten mit leff > 7 m, die leichte Trennwände tragen, die durchübermäßige Durchbiegung beschädigt werden können

– 8,5leff [m] für Flachdecken mit leff > 8,5 m, die leichte Trennwände tragen, die durch übermäßigeDurchbiegung beschädigt werden können

• NW: zul ld ≥ vorh ld

• Zusätzlich nach NA: ld ≤

K · 35 allgemein

K2 · 150l wenn verformungsempfindliche Bauteile beeinträchtigt werden

• Wenn NW nicht eingehalten, As1 erhöhen oder direkte Berechnung durchführen.

3.4.2 Direkte Berechnung

• Berücksichtigung des Kriechens durch Modifikation des Beton-E-Moduls: Ec,eff = Ecm1+ϕ(∞,t0)

– Berechnung von h0 = 2 · Acu mit u: Umfangslänge des QS, die dem Trocknen ausgesetzt ist

– Ablesen der Kriechzahl ϕ in Abhängigkeit der relativen Luftfeuchte, des Belastungsalters t0,der Zementart, der Betonfestigkeitsklasse und h0 aus Anhang

– Nichtlineares Kriechen, wenn σc,perm > 0,45 · fck (siehe Abschnitt 3.2):ϕnl(∞, t0) = ϕ(∞, t0) · exp(1,5 · (kσ − 0,45)) mit kσ = σc

fck(t0)

• Berücksichtigung des Schwindens über Endschwinddehnung εcs = εcd + εca

– εcd(t) = βds(t, ts) · kh · εcd0: Trocknungsschwinden∗ εcd0

∗ khh0 [mm] 100 200 300 ≥500kh 1,0 0,85 0,75 0,70

∗ βds(t, ts) = t−ts(t−ts)+0,04·h1,5

0

→ 1,0 für t→∞ (ts: Endzeitpunkt der Nachbehandlung)

– εca = βas(t) · εca(∞)

∗ εca(∞) = 2,5 · (fck − 10) · 10−6

∗ βas(t) = 1− exp(−0,2 ·√t)→ 1,0 für t→∞

• Mcr = fctm ·W

• αe =Es[,mod]Ec,eff

– Es,mod = Es

1−0,4·Ac,eff ·fctmAs1·Es·εs

(darf vernachlässigt werden)

J.H. Seite 14

3 NACHWEISE IM GZG

• κp = κp,L+K + κp,S : Verkrümmung im Zustand I

– κp,L+K =MEd,perm

Ec,eff ·Ii Verkrümmung infolge Last und Kriechen

∗ Ii = I +As1 · e2s1 = bh3

12 +As1 · (h2 − d1)2: ideelles FTM

– κp,S = εcs · αe · SIi : Verkrümmung infolge Schwinden

∗ S = As1 · zs1 = As1 · (d− h2 )

• κq = κq,L+K + κq,S : Verkrümmung im Zustand II

– Bestimmung von xq, zq und Iq nach Dutulescu

– κq,L+K = εsd−xq

=MEd,perm

As1·zq·Es·(d−xq)

– κq,S = εcs · αe · SIq = εcs · αe ·As1 · d−xqIq

• ζ = 1− β ·(

Mcr

MEd,perm

)2: Gerissener Querschnittsanteil

– β =

{0,5 für Langzeiteinwirkungen1,0 für Kurzzeiteinwirkungen

• κ = ζ · κq + (1− ζ) · κp

• vorh w = K · κ · l2eff : Vorhandene Durchbiegung

– K in Abhängigeit des Momentenverlaufs (siehe Anhang)

• Grenzwerte

– Zulässiger Durchhang (algemein) w ≤ l250

– Zulässige Durchbiegung bei vorformungsempfindlichen angrenzenden Bauteilen: w ≤ l500

– Bei Kragträgern Bestimmung der Grenzwerte mit der 2,5-fachen Kraglänge

• Maximale bauliche Überhöhung: w ≤ l250

J.H. Seite 15

4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen

4.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen)• Biegebewehrung der Stütze (außen) umbiegen, in den Riegel führen und dort mit der Riegelbeweh-

rung stoßen

– Biegerollendurchmesser so groß wählen, wie die Platzverhältnisse zulassen, um inneren Hebel-arm zu gewährleisten

– Mindestbiegerollendurchmesser Dmin

∗ Mindestwert der Betondeckung: c′ = cnom + φsw

– Übergreifungslänge l0 ab Ende der Abbiegung

∗ Querbewehrung im Stoßbereich: Unter Zug 2× 3 Stäbe auf jeweils l03 mit Abstand

ssw = 150 mm und Gesamtfläche Ast ab Stoßbeginn anordnen; bei Druckstäben je einweiterer Stab im Abstand 4 · φ vor dem Stoß

4.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen)• Biegebewehrung der Stütze und des Riegels als Schlaufe um 180◦ umbiegen und ab Stützenmitte

mit lbd verankern (Biegerollendurchmesser beachten)

• Schrägbewehrung erforderlich, wenn ρ =As1,maxb·d ≥ 0,4 %

– AsS = 12 ·As1,max

– Schrägstab ab Diagonale jeweils mit lbd verankern

– Alternativ jeweils Zulage zur Biegebewehrung von 50 %, mit lb,rqd ab Innenkante verankern

• Im Riegel und in der Stütze Steckbügel mit Abstand s ≤ 10 cm anbringen

– Steckbügel ab Auflagerinnenkante mit lbd verankern

– Berechnung des Bügelquerschnitts über Umlenkkräfte (erforderlich ab h = 100 cm)

∗ Fcd,R = MEd

zR: Riegeldruckkraft

∗ Fcd,S = MEd

zS: Stützenzugkraft

∗ Ucd =√F 2cd,R + F 2

cd,S : Umlenkkraft

∗ As,bu = Ucdfyd

: erforderlicher Bügelquerschnitt

• Im Riegel bis zum Abstand dR und in der Stütze bis zum Abstand dS Bügel mit Abstand s ≤ 10 cmanordnen

4.3 Rahmenendknoten• Stützenbewehrung muss im Knoten verankert werden

– Wenn hbeam < lbd,erf : Zulagebewehrung anordnen und am Knotenrand in beide Richtungenmit lbd verankern

J.H. Seite 16

4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

• Riegelbewehrung mit Mindestbiegerollendurchmesser zwei mal umbiegen und in der Riegeldruckzo-ne mit lbd verankern

• Querkraftnachweis im Knoten

– Vjh = Fsd,beam − |VEd,col,o|: Einwirkende Knotenquerkraft

∗ Fsd,beam =|MEd,beam|zbeam

= fyd ·As1,erf : Stahlkraft im Riegel∗ VEd,col,o: Querkraft in der Stütze an der Oberseite des Knotens

– Vj,cd = 1,4 ·(

1,2− 0,3 · hbeamhcol

)· beff · hcol · f

1/4cd

∗ fcd = fckγc

∗ 1,0 ≤ hbeamhcol

≤ 2,0: Schubschlankheit

∗ beff = 12 · (bbeam + bcol) ≤ bcol: effektive Knotenbreite

– Wenn Vjh ≤ Vj,cd nur konstruktive Steckbügel φsw = 8 mm im Abstand s ≤ 10 cm anordnenund mit lbd im Riegel verankern

– Vj,Rd = Vj,cd + 0,4 ·Asj,erf · fyd ≤{

2 · Vj,cdγN · 0,25 · fcd · beff · hcol

∗ Asj,erf : erforderliche Steckbügelbewehrung∗ γN = γN1 · γN2

· γN1 = 1,5 ·(

1− 0,8 · |NEd,col,u|Ac,col·fck

)≤ 1,0: Einfluss der Stützendruckkraft NEd,col,u (q. s.)

· γN2 = 1,9− 0,6 · hbeamhcol≤ 1,0: Einfluss der Schubschlankheit

4.4 Rahmeninnenknoten• Bewehrung darf durchlaufen

• Nachweis der Verankerung der Riegelbewehrung im Knoten: lbd,beam ≤ hcol (auch bei durchlaufenderBewehrung)

– Wenn lbd ≥ hcol, Zulagebewehrung anordnen, sodass NW eingehalten

• Nachweis der Verankerung der Stützenbewehrung im Knoten: lbd,col ≤ hbeam

• Querkraftnachweis analog Abschnitt 4.3

– Wenn Zugseiten der Riegel entgegengesetzt: Fsd,beam = |MEd1|+|MEd2|zbeam

4.5 Konsolen• Nachweis der Druckstrebe: VEd = FEd ≤ VRd,max = 0,5 · ν · b · z · fcd

– ν = 0,7− fck200 ≥ 0,5 (fck in [MPA])

– fcd = fckγC

– z = 0,9 · d– Bestimmung der erforderlichen Mindestabmessungen: erfd = FEd · γC

0,45·ν·b·fck

• Nachweis der Zugstrebe

– ZEd = FEd · acz0 +HEd · aH+z0z0

: Zuggurtkraft∗ ac: Abstand Auflagermitte – Innenkante∗ z0 = d · (1− 0,4 · VEd

VRd,max): Lage der Druckstreben

∗ HEd ≥ 0,2 · FEd: Berücksichtigung behinderter Verformungen∗ aH = dL + d1 mit dL: Dicke der Lagerplatte

– As,erf = ZEdfyd

: erforderliche Zugbewehrung (oben einlegen)

– Bewehrungsführung∗ Schlaufen mit D ≥ 4 · φ

J.H. Seite 17

4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN

∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lbd ab Innenkante der Auflagerplatte· α1 = 0,7 für innen liegende Schlaufen, α1 = 0,5 für D ≥ 15 · φs; α5 = 2

3

∗ Umbiegen der Bügel mit D = 10÷ 20 · φ∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lb,rqd in der Stütze

• Bei abgehängten Lasten: zusätzliche Schlaufen mit As2 = 0,6·FEdfyd

·√

ak0,85·d + 1

– ak: Randabstand Konsolenrand – Lasteinfläche

• erforderliche Bügelbewehrung

– ac ≤ 0,5 · hc und VEd > 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,5 ·As– ac ≤ 0,5 · hc und VEd < 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel nach konstruktiven

Gesichtspunkten

– ac > 0,5 · hc und VEd ≥ ·VRd,c: geschlossene vertikale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,7 · FEdfyd

– ac > 0,5·hc und VEd < VRd,c: geschlossene vertikale Bügel nach konstruktiven Gesichtspunkten

4.6 Ausklinkungen

• Annahme: HEd ≥ 0,2FEd

• Abschätzung der ni Bügel der Zugstreben

• Berechnung der Abmessungen und Winkel

– e′ = e+ cnom + n2 · φsw + n−1

2 · a mit a ≥ max{φsw; dg + x; 20 mm}– dk = hk − cnom − φsw − 1

2 · φsl– zk = dk − cnom − φsw − 1

2 · φsl,1 (Bewehrung für Fsd,1 in einer Lage)

– da = d1,u − d1,m– l′1 = da · cot θ (θ aus Querkraftbemessung)

– θ1 = arctan(zke′

)– θ2 = arctan

(zkl′1

)• Berechnung der Strebenkräfte

– Fsd,1 = FEd · cot θ1 +HEd

– Fsd,2 = FEd +HEd · 1cot θ1+cot θ2

• As,i =Fsd,ifyd

: Gesamtbewerungsfläche je Strebe

• Überprüfung, ob Annahme der Bügelschenkel korrekt war

• Untere Biegebewehrung mit Schlaufen stoßen und Schlaufen verankern

J.H. Seite 18

5 TORSION

5 Torsion• Ermittlung der Torsionsmomente: S4.10 f

• Rechteckquerschnitt vereinfacht als Hohlkasten mit tef,i = 2 · d1 berechnen

– Ak = bk · hk = (b− tef )(h− tef ) (bezogen auf Mittellinie)

– uk = 2 · (bk + hk)

– Hohlkasten als Hohlkasten, wenn tw ≤ 16 max{b, h} → tef = tw

• Schubfluss aus Querkraft und Torsion: VEd,T+V = VEd,V + VEd,T

– VEd,V = VEd · tefb– VEd,T = TEd · zi

2·Ak

∗ zi = max

{h− tef,ib− tef,i

}: Abstand zwischen den Mittellinien zweier gegenüberliegenden

Hohlkastenseiten; Schubfluss an der langen Seite mit großem zi maximal

– Betrachtung der langen Rechteckseiten, da dort Torsionsschub maximal und Querkraftschubvorhanden

• Druckstrebenwinkel θ analog für Querkraftbemessung

– 1,0 [≡ θ = 45◦] ≤ cot θ =1,2+1,4

σcdfcd

1−VRd,cc

VEd,T+V

≤ 3,0 [≡ θ = 18,43◦] (für senkrechte Querbewehrung)

∗ für geneigte Querbewehrung: unterer Grenzwert 0,58∗ σcd = NEd

Ac: Druckspannung (positiv)

∗ fcd = αcc · fckγc : Bemessungswert der Betondruckfestigkeit

∗ VRd,cc = c · 0,48 · 3√fck · (1− 1,2 · σcdfcd ) · bw · z

· c = 0.5

· bw = tef,i (kleinste Breite in der Zugzone)· z = zi

– vereinfacht: cot θ = 1.0→ θ = 45◦

• Nachweis der Druckstreben

– Berechnung der maximalen Querkrafttragfähigkeit

∗ vertikale Querbewehrung: VRd,max = 12 · αcw · bw · z · ν1 · fcd · sin 2θ

∗ Um α geneigte Querbewehrung: VRd,max = αcw · bw · z · ν1 · fcd · cot θ+cotα1+cot2 θ

· αcw = 1.0

· ν1 = 0.75 · ν2· ν2 = 1.1− fck

500 ≤ 1.0 (nur für Festigkeitsklassen größer C50/60 relevant)

· z = min

{0.9 · dd− 2 · cnom ≥ d− cnom − 30 mm

}: Innerer Hebelarm

– Berechnung der maximalen Torsionstragfähigkeit: TRd,max = ν · αcw · fcd ·Ak · tef,i · sin 2θ

∗ ν =

{0,75 bei Kastenquerschnitten mit Bew. an den Außenseiten0,525 sonst

J.H. Seite 19

5 TORSION

– Interaktionsnachweis

∗ Kompakt- und Vollquerschnitte:(

TEdTRd,max

)2+(

VEdVRd,max

)2≤ 1

∗ Kastenquerschnitte: TEdTRd,max

+ VEdVRd,max

≤ 1

• Bei rechteckigen Vollquerschnitten nur Mindestbewehrung erforderlich, wenn

– TEd ≤ VEd·bw4,5

– VEd ·(

1 + 4,5·TEdVEd·bw

)≤ VRd,c

– TEdTRd,c

+ VEdVRd,c

≤ 1,0

• Nachweis der Zugstreben: Berechnung der erforderlichen Querbewehrungsfläche

– Querkraft: asw,V =V ∗Ed

fyd·z·cot θ

– Torsion: asw,T = TEd2·Ak·fyd·cot θ

– asw,V+T = asw,V + 2 · asw,T (Querkraft für Gesamtquerschnitt (zweischnittig), Torsion bzgl.einer Wand (einschnittig)) ⇒ Gesamte Bügelbewehrung

• Torsionslängsbewehrung: Asl,T = TEd·uk·cot θ2·Ak·fyd

– Darf durch zu viel eingelegte Biegelängsbewehrung (zum Teil) abgedeckt werden– In Druckgurten entsprechend der Druckkräfte abzumindern

• Konstruktive Durchbildung

– Abstände aller Bügel nach Stahlbeton II∗ Berechnung des Querkraftausnutzungsgrads: VEd

VRd,max

∗ Bestimmung des maximalen Bügelabstands sl,max

∗ Bestimmung des maximalen Bügelschenkelabstands im Querschnitt st,max

– Zusätzlich Maximalabstand der Torsionsbügel: sl ≤{uk8 ; b;h

}– Torsionsbügel entweder als Übergreifungsstoß mit l0 schließen oder in den Ecken um 135◦

umbiegen und mit 10φ verankern; Schlösser hintereinander versetzt anordnen– Torsionslängsbew: s ≤ 35 cm, über die Höhe zi zu verteilen, ein Stab je Ecke

• Torsion bei zusammengesetzten Querschnitten:Aufteilung des Torsionsmoments auf Teilquerschnitte und getrennte Bemessung

– Teilmoment: TEd,i = TEd · IT,i∑i IT,i

– Torsionsflächenmomente: S4.29

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EN 1992-1-1:2004 + AC:2010 (D)

a) trockene Innenräume, relative Luftfeuchte = 50%

ANMERKUNG — der Schnittpunkt der Linien 4 und 5 kann auch über dem Punkt 1 liegen — für t0 > 100 darf t0 = 100 angenommen werden (Tangentenlinie ist zu verwenden)

b) Außenluft, relative Luftfeuchte = 80%

Bild 3.1 — Methode zur Bestimmung der Kriechzahl ij(f, t0) für Beton bei normalen Umgebungsbedingungen

32

DIN EN 1992-1-1:2011-01

B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9

Nor

mC

D -

Stan

d 20

12-0

8