EQUACIONAMENTO DA PROPAGAÇÃO DA

ONDA ELETROMAGNÉTICA PLANA

Ednilson Szeskoski e William Chagas.

FADEP – Faculdade de Pato Branco, Pato Branco – Paraná, Brasil.

E-mail: ednilson@gpsmanutencao.com.br, williamchagas660@gmail.com.

Resumo – Com base nos estudos referidos ao assunto

ondas eletromagnéticas planas, apresenta-se a teoria

básica referente as mesmas, sendo uma onda uma função

no espaço e tempo, também são tratados os principais

meios de condução ou passagem e as dificuldades que estas

ondas encontrão para sua passagem em meios.

Palavras-chave – Ondas eletromagnéticas, campo

magnético, campo elétrico, propagação das ondas no meio.

Abstract – From studies based on said plane

electromagnetic waves to the subject, if presents a basic

theory relating to the same, being a function of a wave in

space and time, They are also treated the main driving

means or passage and the difficulties that these waves

jostle for its passage in means

Keywords – Electromagnetic waves, magnetic field,

electric field, propagation of waves in the means.

NOMENCLATURA

H Campo magnético.

E Campo elétrico.

T Período.

t Tempo.

f Frequência.

𝛻 Operador del.

𝜀0 Permissibilidade do espaço livre.

𝛾 Constante de propagação.

𝜎 Densidade do material.

u Número de ciclos. 𝜔 Frequência angular.

𝜇0 Permeabilidade do espaço livre.

𝛼 Constante de atenuação.

𝛽 Constante de deslocamento de fase.

λ Comprimento de onda.

P Vetor de Poynting.

I. INTRODUÇÃO

Além de ter sido um dos criadores da Mecânica Estatística,

Maxwell, foi responsável também pela criação de uma teoria

unificada para a eletricidade e o magnetismo. Começou a

estudar os trabalhos de Faraday em 1855, quando ainda era

estudante na Universidade de Cambridge, publicando seu

primeiro trabalho em 1856, o qual propôs uma teoria dos

campos elétrico e magnético baseadas em analogias com a

hidrodinâmica [4] [5].

Maxwell propõe um modelo de partículas elétricas e

vórtices no éter, que era considerado à época um meio elástico

necessário para a transmissão das interações elétricas e

magnéticas a, Lei de Ampére para que o princípio de conservação de carga fosse respeitado [5].

Em fins de 1861, Maxwell, observou o trabalho de

Kohlrauch e Weber, este mencionava uma força magnética

entre os vórtices de éter, chamado por Maxwell de rolamentos

esféricos (deslocamento elétrico). Em análise ele converteu o

resultado num formato compatível com seu trabalho de

pesquisa, e concluiu que a luz seria uma onda eletromagnética,

resultante das vibrações do éter, como se fosse uma onda

mecânica [5].

Mais tarde após a descoberta de os rolamentos esféricos,

Maxwell publicaria em 1865 um novo trabalho. Neste Maxwell passa a aceitar que a energia reside no campo

eletromagnético, e não nas supostas propriedades elásticas do

éter. Além disso, nesse trabalho ele deduz a equação das ondas

eletromagnéticas [5].

A comprovação mais adequada da existência das ondas

eletromagnéticas, que Maxwell condicionava como as

vibrações transversais do éter propagando-se à velocidade da

luz, foi obtida por Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve

oscilações eletromagnéticas com alta frequência, usando um

circuito alimentado por uma faísca, e usando como detector

uma espira com um pequeno espaço, onde uma outra faísca

era gerada quando excitada por uma onda eletromagnética. Com esse equipamento Hertz demonstrou em 1888 que as

ondas eletromagnéticas propagam-se com a velocidade da luz,

como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as

propriedades ondulatórias (reflexão, refração, polarização,

etc.) [5].

Exemplos cotidianos de formas de ondas eletromagnéticas

são as ondas de rádio, sinais de televisão, feixes de radar e os

raios luminosos. Todas as formas de ondas eletromagnéticas

compartilham de três características principais: todas elas

viajam em alta velocidade, ao se propagarem apresentam

propriedades ondulatórias e elas são irradiadas a partir de uma fonte. Em geral, ondas são um meio de transportar energia ou

informação [1].

II. PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO ESPAÇO

Uma onda é uma função no espaço tempo, ou seja, um

movimento ondulatório que ocorre quando existe uma certa

variação em um ponto (A) em um determinado instante (t),

está variação relaciona o que ocorrera em um próximo ponto (B) [1].

Figura 1 - Traçado de uma onda em função no espaço tempo.

Quando consideramos ondas eletromagnéticas no espaço

livre, notamos que o meio é desprovido de fontes o que

significa que o meio não influencia na onda. Sob estas

condições as equações de Maxwell podem ser escritas em

função de campo magnético H e campo elétrico E [2] [7] [9].

∇ × 𝐇 = 𝜀0𝜕E

𝜕𝑡 (1)

A equação (1), determina se o campo elétrico E esta

variando em algum ponto logo o campo magnético H possui

rotacional naquele ponto, assim H varia espacialmente em

uma direção normal à sua direção de orientação. Além disso

se E esta variando com o tempo então H variara no tempo [2]

[7] [9].

∇ × 𝐄 = −𝜇0𝜕H

𝜕𝑡 (2)

Com a equação (2), o H variando no tempo gera E, o qual

tendo rotacional varia espacialmente na direção normal à sua

orientação. Assim tem-se que o rotacional pelo campo elétrico

e também pelo campo magnético, e igual a zero. Assim

observa-se que ambos são conservativos[2].

∇ ∙ 𝐄 = 0 (3)

∇ ∙ 𝐇 = 0 (4)

O vácuo é o meio de maior interesse, e assumindo uma

densidade de carga ρ = 0. E consideradas algumas soluções

para meios isotrópicos lineares tais como (5) [3] [7] [10].

D = ϵE, B = µH e J = σE. (5)

Baseados nestas condições pressupondo soluções

complexas do tipo 𝑒𝑗𝜔𝑡, é possível resolver as equações de

Maxwell para os campos elétrico E e magnético H no vácuo

[3] [6] [7].

∇ × 𝐇 = (𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐄 (6)

∇ × 𝐄 = −𝑗𝜔𝜇H (7)

∇ ∙ 𝐄 = 0 (8)

∇ ∙ 𝐇 = 0 (9)

Aplicando o rotacional nas equações (6) e (7).

∇ × (∇ × 𝐇) = (𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)(∇ × 𝐄) (10)

∇ × (∇ × 𝐄) = −𝑗𝜔𝜇(∇ × 𝐇) (11)

O laplaciano de um vetor pode ser definido em coordenadas

cartesianas, e somente neste sistema conforme (12) [1].

∇2A = (∇2𝐴𝑋)𝑎𝑋 + (∇2𝐴𝑌)𝑎𝑌 + (∇2𝐴𝑍)𝑎𝑍 (12)

Satisfazendo a identidade vetorial:

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ∙ A) − ∇2 (13)

Substituindo a expressão para o “rotacional do rotacional”

e usando as relações (8) e (9) obtemos as equações de onda

para os campos H e E [1].

∇2𝐇 = −𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐇 = 𝛾2𝐇 (14)

∇2𝐄 = 𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐄 = 𝛾2𝐄 (15)

Assim aplicacou-se do lado esquerdo da equação (15), as

equações (8) e (9), com isso obtém-se:

∇2𝐄 = 𝛾2𝐄 = 0 (16)

Em que,

𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀) = 𝛾2 (17)

Para a constante de propagação (por metro) do meio. Por

análise e possível determinar de forma similar para o campo

H, por meio da equação (18) [1].

∇2𝐇 = 𝛾2𝐇 = 0 (18)

Com isso obtém-se a equação (16), que é conhecida como

a equação vetorial de Helmholtz no espaço livre. A expansão

desta equação resulta nas três equações fatoriais escalares uma

para cada componente vetorial. Por exemplo na equação (16),

E ao longo de 𝒂𝑥, 𝒂𝑦 e 𝒂𝑧 [1] [2].

A constante de propagação (𝛾), é a raiz quadrada de 𝛾2 cujas as partes, real e imaginária são números reais positivos.

𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 (10)

𝛼 = 𝜔√𝜇𝜖

2(√1 + (

𝜎

𝜔𝜖)

2

− 1) (Np/m) (11)

𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀

2(√1 + (

𝜎

𝜔𝜀)

2

+ 1) (rad/m) (12)

Devido à dependência de E tanto com o tempo t com a

variável Z, pode-se traçar o gráfico E em função de t,

mantendo Z constante e vice-versa. Observa-se que a onda se

repete após uma distância λ; portanto, λ é chamado de

comprimento de onda (em metros). Em análise da figura (1),

nota-se que a onda leva um tempo T para se repetir.

Consequentemente, T é conhecido como período (em

segundos). A razão do comprimento de onda e dado pela

equação (13a) [1] [10].

𝜆 = 𝑢𝑇 (13a)

Como T = 1/f, onde f é a frequência (número de ciclos por

segundo) da onda, em Hertz (Hz), assim:

𝑢 = 𝑓𝜆 (13b)

Usualmente:

𝜔 = 2𝜋𝑓 (14a)

𝛽 = 𝜔

𝑢 (14b)

𝑇 =2𝜋

𝜔=

1

𝑓 (14c)

𝛽 = 2𝜋

𝜆 (14d)

A partir da equação (14d), obtemos a definição de que para cada comprimento de onda propagado, a onda experimenta

uma mudança de fase em 2π radianos [3] [8].

Figura 2 - Traçado de E e H (z,t) com t constante e z constante.

III. TEOREMA DE POYNTING E POTÊNCIA DA

ONDA

Para se encontrar o fluxo de potência associado à onda eletromagnética, é necessário desenvolver um teorema sobre

potência para campo eletromagnético, conhecido como

teorema de Poynting. Ele foi originalmente postulado em 1884

pelo físico inglês John H. Poynting [2] [4] [8].

A taxa de transporte de energia pode ser obtida a partir das

equações de Maxwell:

∇ × 𝐄 = −µ ∂𝐇

∂t (15)

∇ × 𝐇 = 𝜎𝐄 + 𝜀 ∂𝐄

∂t (16)

Fazendo o produto ponto de E com ambos os lados da

equação (16), obtém-se a equação (17) [8].

𝑬 ∙ (∇ × 𝐇) = 𝜎𝐄𝟐 + 𝐄 ∙ 𝜀 ∂𝐄

∂t (17)

Identidade vetorial, fazendo A = H e B = E.

∇ ∙ (𝐀 × 𝐁) = 𝐁 ∙ (∇ × 𝐀) − 𝐀 ∙ (∇ × 𝐁) (18)

Para quaisquer campos vetoriais, utiliza-se a identidade

vetorial à equação (17). Por tanto consegue-se obter a equação

(18), para análise voltada para H [1] [6] [8].

𝐇 ∙ (∇ × 𝐄) + 𝐇 ∙ (∇ × 𝐄) = 𝜎𝐸2 + 𝐄 ∙ 𝜀 ∂𝐄

∂t

= 𝜎𝐸2 +1

2𝜀

∂

∂t𝐄𝟐 (19)

Da equação (15), obtém-se à análise para E.

𝐇 ∙ ∇ × 𝐄 = 𝐇 ∙ (−µ ∂𝐇

∂t) = −

µ

2

𝜕

𝜕𝑡 (𝐇 ∙ 𝐇) (20)

Portanto, a equação (19) torna-se:

(−µ ∂𝐇²

∂t) − ∇ ∙ (𝐄 × 𝐇) = 𝜎𝐸2 +

1

2𝜀

∂𝐸2

∂t (21)

Reordenando os termos e tomando a integral de volume de

ambos os lados [1] [10].

∫ ∇ ∙ (𝐄 × 𝐇)𝑑𝑣 = −

𝑣

𝜕

𝜕𝑡 ∫ [

1

2𝜀𝐸2 +

1

2µ𝐻²] 𝑑𝑣 − ∫ 𝜎𝐸²𝑑𝑣

𝑣𝑣

(22)

Aplicando o teorema da divergência ao lado esquerdo da

equação, obtém-se: [1]

∮(𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 = −𝜕

𝜕𝑡

𝑆

∫ [1

2𝜀𝐸2 +

1

2µ𝐻²] 𝑑𝑣 − ∫ 𝜎𝐸²𝑑𝑣

𝑣𝑣

(23)

↓ ↓ ↓ Potência total Taxa de crescimento Potência Ôhmica que deixa o volume = da energia armazenada - dissipada

A equação (23), é conhecida como teorema de poynting.

No lado direito, a primeira integral é a energia total

armazenada dentro dos campos elétricos e magnéticos. Já a

segunda integral é a potência ôhmica total dissipada dentro do

volume. Uma vez que derivadas temporais são obtidas da

segunda primeira integral estes resultados oferecem a energia

armazenada dentro do volume, ou a potência instantânea que

irá aumentas a energia acumulada. A quantidade de 𝐄 × 𝐇, no

lado esquerdo da equação (23), é conhecida como o vetor de

Poynting P, dado em watts por metro quadrado (W/m²), isto é

demonstrado na equação (24) [1] [2].

𝑃 = 𝐄 × 𝐇 (24)

O teorema de Poynting estabelece que a energia líquida que

flui para fora de um volume v é igual à taxa temporal de

decréscimo da energia armazenada em v menos as perdas por

condução [1].

IV. ONDAS PLANAS EM DIELÉTRICOS COM

PERDAS A propagação de onda em dielétricos com perdas é um caso

geral do qual derivam, como casos especiais, a propagação de

onda em outros meios portanto um dielétrico com perdas é um

meio no qual as ondas eletromagnéticas perdem energia, à

medida que se propagam devido à condutividade deste meio

em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio

parcialmente condutor no qual 𝜎 ≠ 0, ao contrário de um

dielétrico sem perdas no qual 𝜎 = 0 [4].

V. ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES

Em contraste com os bons dielétricos, aqui a corrente de condução domina sobre a corrente de deslocamento, e o tempo

de relaxação é muito curto quando comparado ao período de

tempo da variação harmônica no tempo dos campos elétricos

e magnéticos. Condutores elétricos perfeitos, com 𝜎 → ∞,

pertencem a bons condutores como no caso extremo [4].

𝜎 ≪ 𝜔𝜀 (25)

O fenômeno pelo qual a intensidade de campo em um

condutor decresce rapidamente é conhecida como efeito pelicular. Neste os campos e as correntes associadas são

confinados em uma camada muito fina (película) da superfície

condutora [1] [4].

VI. CONCLUSÕES

Com toda a análise obtida nas referências foi possível

verificar que as ondas têm comportamentos variados de

acordo ao meio de propagação que é submetida, podendo ser propagada normalmente, e em alguns casos com perdas.

Assim o meio é uma característica essencial para a propagação

das ondas eletromagnéticas o que possibilita a sua utilização

principalmente nas tecnologias de telecomunicações,

transferindo informações pelo ar e também através de bons

condutores.

REFERÊNCIAS

[1] M. N. O. Sadiku. “Elementos de Eletromagnetismo”, Bookman, 5° Edição, Porto Alegre, 2012.

[2] W. H. Hayt Jr., J. A. Buck. “Eletromagnetismo”,

AMGH, 8° Edição, Porto Alegre, 2013.

[3] J. A. Edminister. “Teoria e Problemas de

Eletromagnetismo”, Bookman, 2° Edição, Porto Alegre,

2006.

[4] B. M. Notaros. “Eletromagnetismo”, Pearson Educations

do Brasil, 5° Edição, São Paulo, 2012.

[5] Viana, R. L. “Eletromagnetismo II. Equações de

Maxwell”, Curitiba, 2015. Disponível em: <

fisica.ufpr.br/viana/eletro/maxwell.pdf >

[6] W. K. H. Panofsky, M. Phillips. “Classical electricity

and Magnetism”, Addison-Wesley P. Company, 2° Ed,

Massachusetts, 1962.

[7] J. D. Kraus, K. R. Karver. “Electromagnetics”, McGraw-

Hill Kogakusha, 2° Ed, Tokyo, 1973.

[8] D. J. Griffiths, “Introduction to Electrodynamics”,

Prentice Hall, 3° Ed, New Jersey, 1999.

[9] L. A. Righi, “Eletromagnetismo para Engenharia

Elétrica”, DESP-CT-UFSM, 1° Ed, Santa Maria, 2015.

Disponível em < www.ufsm.br/righi >

[10] J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christhy “Fundamentos da Teoria Eletromagnética”, Ed. Campus, 3° Ed, Rio de

Janeiro, 1982.