File tdslss03.tex + mathmac.tex

Theorie der Supraleitung

SS 2003

Dietrich Einzel

Vorlaufige Version des Vorlesungsmanuskripts

(mit der Bitte um Kritik!!!)

Stand: Fri, July 11, 2003, 12:00

Nicht zur Verbreitung!

Uberarbeiten:

1.2.3.4.5.

1

Inhalt

1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

1.1 Historische Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2 Literaturempfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2.1 Einfuhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2.2 Theorie der Supraleitung und der Suprafluiditat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

2. Phanomenologische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

2.1 Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.1 Die Maxwell–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.4 Stromrelaxation in neutralen (Quanten-) Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

2.2 Verallgemeinerte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.2 Verallgemeinerte London–Theorie fur den Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.3 Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.2.4 Die Fluxoidquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.2.5 London–Theorie und Josephson–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX

2.3 Leistungsfahigkeit der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.1 Verdienste der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.2 Die alte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.3 London–BCS Theorie fur Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.4 London–BCS–Theorie fur Fermi–Supraflussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.5 Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.6 Mangel der London Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.7 Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX

3. BCS–Theorie paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

3.1 Normale Fermisysteme im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.2 Normale Fermisysteme in außeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.3 Das Cooper–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4 Verallgemeinertes BCS–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.1 BCS–Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.2 Schritte zur Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.3 Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.4 Eigenschaften thermischer Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.5 Mechanismen der Paarformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.6 Losung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.7 Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX

2

3.5 BCS–Supraleiter in außeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.6 Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.1 Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.2 Spinsuszeptibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.3 Dichteresponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.4 London–BCS–Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.6.5 Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

3.7 Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie . . . . . . . . . XX

4. Anhange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

4.1 Gegenuberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.2 Fermisysteme in d Raumdimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.3 Elektromagnetischer Response in Normalmetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.4 Die Hydrodynamik neutraler Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.5 London–Theorie der Bose–Supraflussigkeit 4He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.6 London–Theorie der geladenen Bose–Supraflussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.7 Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.8 Zur Aquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.9 Gapgleichung fur konventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX5.10 Gapgleichung fur unkonventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX5.11 Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

3

1. Vorlesung: Donnerstag, 10. April 2003, 10:30

1 Einleitung

1.1 Historische Fakten

Entdeckung der Supraleitung in Hg (Tc = 4.2K)Heike Kamerlingh Onnes, 1911 (Nobelpreis 1913)

Fig. 1: ρ(T ) vs T fur Hg

Dauerstrom in supraleitendem Bleiring bei 4 K: uber 1 Jahr!

Entdeckung der Magnetfeldverdrangung in SupraleiternWalther Meißner und Robert Ochsenfeld, 1933

Fig. 2: Skizze zur Magnetfeldverdrangung

( i) B = 0, T < Tc, B 6= 0: Feld dringt nicht ein (bis auf Schicht der Dicke λL)→ Abschirmeffektii) T > Tc, B 6= 0, T < Tc, Feld wird aus dem Supraleiter verdrangt→ Feldverdrangungseffekt

Erste phanomenologische quantenmechanische Theorie der SupraleitungFritz und Heinz London, 1935, Max von Laue, 1938 Diese Theorie erklart

• Verschwinden des elektrischen Widerstands

• Magnetfeld– Abschirmeffekt

• Vorhersage: Flußquantisierung

Zweite phanomenologische (Ginzburg–Landau–) Theorie der SupraleitungV. L. Ginzburg, L. D. Landau, 1950 (Humboldt–Forschungspreis 2000 fur Ginzburg)

• Gilt nur knapp unterhalb der Sprungtemperatur

• Beschreibt raumliche Inhomogenitaten des Supraleiters

• Kann Aussagen zur Symmetrie des SL Grundzustands machen

• Bislang tausende Male zitiert

4

Entdeckung von Supraleitung in intermetallischen (A15–) Verbindungen

Nb3Sn, Tc = 18.1KBernd Matthias, 1954

Nb3Ge, Tc = 23.2KJ. R. Gavaler, 1973

Vorhersage der Typ–II–Supraleitung mithilfe der GL–TheorieA. A. Abrikosov, 1957

• SL Mischzustand (Shubnikov–Phase) mit hexagonalem Gitter aus Flußschlauchen (Vor-tices)

Theorie der FermiflussigkeitenLev Landau, 1956 – 58, (Nobelpreis 1962)

Mikroskopische Theorie der SupraleitungJohn Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer, 1957, (Nobelpreis 1972)

• Anziehende Wechselwirkung (Gitter–Phononen) fur Elektronenpaare

• Paar–Kondensation im k–Raum: sog. Cooperpaare im S–Wellen Spin–Singulett–Zustand(k ↑,−k ↓)

• Supraleitung als makroskopisches Quantenphanomen

• Bogoliubov–Quasiteilchen als elementare Anregungen des Supraleiters mit Energielucke

• Thermisch aktiviertes Tieftemperaturverhalten von C(T ), χs(T ), λL(T )

Entdeckung der Flußquantisierung am Walther–Meißner–InstitutRobert Doll und Martin Nabauer, (1962)Deaver und Fairbanks, (1962)

Fig. 3: Zur Quantisierung des magnetischen Flusses in Pb

Entdeckung des Josephson–EffektsBrian Josephson, 1962 (Nobelpreis 1973)

• Cooper–Paare konnen zwischen zwei Supraleitern, die durch eine isolierende Schicht ge-trennt sind, tunneln → Suprastrom, der ohne außere Spannung fließen kann

Theoretische Vorhersage von Hoch–Tc–Supraleitung in organischen MolekulenW. Little, 1964

Entdeckung der Supraleitung inGraphit–Alkalimetall–Einlagerungsverbindungen bei Tc < 0.15 KKlaus Andres et al., 1965

5

• Erster Schicht–Supraleiter

Entdeckung von Pulsaren (rotierende Neutronensterne)Hewish und Bell, 1968; Gold, 1968

• Sehr hohe Dichte → Entartungstemperatur TF = 1012K

• Suprafluiditat im Neutronenstern bei Tc = 108K.

• Tieftemperaturphysik bei 100 Millionen K !!!

Entdeckung der Suprafluiditat von flussigem 3HeDave Lee, Doug Osheroff und Bob Richardson, 1971 (Nobelpreis 1996)

Fig. 4: Die Helium–Supraflussigkeiten

• 3He ist ein Spin–12–Fermion

• Erste terrestrische neutrale Fermi–Supraflussigkeit

• Mehrere superfluide Phasen (A, B, . . .)

• Elektrisch neutrale Cooperpaare im relativen p–Wellen Spin–Triplett–Zustand (kσ1,−kσ2)

• Nichtphononischer Mechanismus

• Erstmals von “unkonventioneller Supraleitung” die Rede

• Bogoliubov–Quasiteilchen (Bogolonen) als elementare Anregungen werden in Torsionspendel–Experimenten gesehen.

Fig. 5: Zur Scherviskositat der Bogoliubov–Quasiteilchen

Entdeckung von Supraleitung in Schweren–Fermionen–Verbindungen

CeCu2Si2, Tc = 0.6KFrank Steglich et al, 1979

UBe13, Tc = 0.9KHans–Rudiger Ott et al, 1983

UPt3, Tc = 0.5K TN = 5.0KGregory Stewart et al, 1984

6

URu2Si2, Tc = 1.5K, TN = 17.5KSchlabitz et al, 1985

CeRu2Si2, Tc = X.XKBrian Maple et al, 198X

• Intermetallische Verbindungen mitSeltenen– Erd– (Ce–) Ionen (4f–Momente)Actinid– (U–) Ionen (5f–Momente)

• Hohe Temperaturen: Lokale Momente + Leitungselektronen

• Tiefe Temperatiuren: Starke (Kondo–) Kopplung von f– und Leitungselektronen→ schwere oder auch langsame Elektronen an der Fermikante → “Schwere Fermionen”

• Spezifische Warme Cp = γT

System γ[mJ/MolK2] m∗/m

Cu 0.7

CeCu2Si2 1100 380UBe13 1040 260UPt3 420 180

URu2Si2 65 140

Tabelle 1: γ und m∗/m einiger Schwerer–Fermionen Systeme

• kein aktiviertes Tieftemperaturverhalten sondern Potenzgesetze in T

• Unkonventionelle Supraleitung

Synthese des ersten organischen Supraleiters (TMTSF)2PF6 mit Tc = 0.9 K (9kBar)K. Bechgaard, D. Jerome, A. Mazaud und M Ribault, 1980

Entdeckung der Supraleitung in Fulleriden (“Buckyballs”) K3C60 bei Tc = 18 KR. F. Curl, R. E. Smalley, 1985

• Fußballformige C60–Molekule mit Alkalimetall–Verbindungsbrucken auf einem regularenMetallgitter werden supraleitend

7

Entdeckung der Hoch–Tc– Supraleitung in Kupraten

La2−xSrxCuO4, Tc ≤ 37KBednorz und Muller, 1986 (Nobelpreis 1987)

Nd2−xCexCuO4, Tc ≤ 30KTokura et al, 1989

YBa2Cu3O7−δ, Tc ≤ 95KChu et al, 1986

Bi2Sr2Can−1CunO2n+4+δ, Tc ≤ 10, 85, 100K, n = 1, 2, 3Maeda et al, 1988

Tl2Ba2Can−1CunO2n+4+δ, Tc ≤ 20, 108, 125K, n = 1, 2, 3Hermann et al., 1988

Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33

Tc = 138K (Gegenwartiger Weltrekord!)

• Gemeinsamkeiten:

• Dotierungs–Phasendiagramm

Fig. 6: Dotierungs Phasendiagramme

• Cu–O–Ebenen

Fig. 7: Cu–O Ebenen

• Hohes Tc

• Niedrige Dimensionalitat (quasi–2D)

• Nichtaktiviertes Tieftemperaturverhalten fur C(T ), χs(T ), λL(T )

• Cooperpaare im relativen d–Wellen Spin–Singulett Paarzustand

Fig. 8: Zur d–Wellen–Kontroverse

Entdeckung von Supraleitung in Borokarbiden bei Tc = 7.2 KR. Cava et al., 1993

8

• “re–entrant” Supraleitung

• Elektrischer Widerstand von HoNi2B2C

Fig. 9: Zur Supraleitung in HoNi2B2C

Entdeckung von Supraleitung in Sr2RuO4 bei Tc = 0.93KMaeno et al., 1994

• Ruddlesden–Popper Serie Srn+1RunO3n+1

Fig. 10: Eigenschaften der Ruddlesdon–Popper–Systeme Srn+1RunO3n+1

• niedrige Dimensionaltat (quasi–2D)

• relativer p– oder f– Wellen Spin–Triplett–Paarzustand

• Erstes metallisches Analogon zu superfluidem 3He

Entdeckung der Suprafluiditat von flussigem 3He im Verunreinigungssystem SiO2–AerogelPorto und Parpia, 1994

Entdeckung der Hoch–Tc–Supraleitung in loch–dotierten Fulleriden bei Tc = 52 KJ. H. Schon, Ch. Koc und B. Batlogg, 2000.

Entdeckung der Supraleitung in MgB2 bei Tc = 38 KJ. Akimitsu et al., 2001

• Hoheres Tc als bei den “Zurich–Oxiden”

• Konventionelle s–Wellen–Supraleitung

Fig. 11: Einige Sprungtemperatur–Rekorde

9

Supraleiter Tc[K] Jahr Entdecker Nobelpreis

Hg 4.20 1911 Kamerlingh Onnes 1913Nb 9.30 1930 Kamerlingh Onnes

Nb3Sn 18.10 1954 MatthiasNb3Ge 23.20 1973 Gavaler

3He–A 2.5 · 10−3 1971 Lee, Osheroff und Richardson 19963He–B < 2.0 · 10−3 1971

CeCu2Si2 0.60 1979 Steglich et al.UBe13 0.87 1983 Ott et al.UPt3 0.48 1984 Stewart et al.

K3C60 18 1985 Curl, Smalley, KrotoCs3C60 40 1985

La2−xSrxCuO4 < 37 1986 Bednorz und Muller 1987Nd2−xCexCuO4 < 30 1989 Tokura et alYBa2Cu3O7−δ < 95 1986 Chu et al.

Bi2Sr2Can−1CunO2n+4+δ 10, 85, 100 1988 Maeda et al.n = 1, 2, 3

Tl2Ba2Can−1CunO2n+4+δ 20, 108, 125 1988 Hermann et al.n = 1, 2, 3

Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33 138 198X

HoNi2B2C 7.5 1993 Cava et al.LuNi2B2C 16.6 1993YNi2B2C 23 1993

Tabelle 2: Einige Sprungtemperaturrekorde

10

1.2 Literaturempfehlungen

1.2.1 Einfuhrende Literatur

R. D. Parks (Ed.)Superconductivity, Volume 1Marcel Dekker, Inc., New York, 1969

R. D. Parks (Ed.)Superconductivity, Volume 2Marcel Dekker, Inc., New York, 1969

D. R. Tilley and J. Tilley,Superfluidity and SuperconductivityAdam Hilger, Ltd., Bristol, Boston, 1986

M. R. J. Hoch und R. H. Lemmer (Eds.),Low Temperature PhysicsSpringer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991

W. Buckel,SupraleitungVCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1994

P. Muller, A. V. Ustinov (Eds.),V. V. Schmidt,The Physics of SuperconductorsSpringer, 1997

C. Enss und S. Hunklinger,TieftemperaturphysikSpringer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2000

1.2.2 Theorie der Supraleitung

J. R. Schrieffer,Theory of SuperconductivityW. A. Benjamin, Inc., Publishers, New York, Amsterdam, 1964

G. Rickayzen,Theory of SuperconductivityJohn Wiley & Sons, New York, London, Sidney, 1965

P. G. deGennes,Superconductivity of Metals and Alloys

11

Perseus Books, Reading Massachusetts, 1999

M. Tinkham,Introduction to SuperconductivityMcGraw Hill, Inc. New York, 1996

J. R. Waldram,Superconductivity of Metals and CupratesIOP Publishing Ltd., Bristol and Philadelphia, 1996

J. B. Ketterson und S. N. Song,SuperconductivityCambridge University Press, 1999

D. Einzel,Supraleitung und Suprafluiditat,Lexikon der Physik,Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2000,Seiten 228 – 235

12

2. Vorlesung : Donnerstag, 24. April 2003, 11:00

3. Vorlesung : Donnerstag, 8. Mai 2003, 15:00

2 Phanomenologische Theorie

2.1 Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflussigkeiten

2.1.1 Die Maxwell–Gleichungen

Die Maxwell–Gleichungen der Elektrodynamik lauten (CGS–Einheiten):

∇×H(r, t) =4π

cje(r, t) +

1

c

∂D(r, t)

∂tAmpere

∇× E(r, t) = −1

c

∂B(r, t)

∂tFaraday

∇ ·B(r, t) = 0 Quellfreiheit von B

∇ ·D(r, t) = 4πne(r, t) Gauß

Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)):

D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)

Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):

B(r, t) = H(r, t) + 4πM(r, t)

Wichtige physikalische Konsequenzen:

Quellfreiheit von B(r, t) →B(r, t) = ∇×A(r, t)

B kann aus Vektorpotential generiert werden.

Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).

Eichtransformation des Vektorpotentials:

A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)

Faraday →

∇×[E(r, t) +

1

c

∂A(r, t)

∂t

]

︸ ︷︷ ︸−∇·φ(r,t)

= 0

E(r, t) = −∇φ(r, t)− 1

c

∂A(r, t)

∂t

13

E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.

Nota bene: Das skalare Potential ist unbestimmt bis auf die zeitliche Anderung einer beliebi-gen Phase Λ(r, t).

Eichtransformation des skalaren Potentials:

E′ = −∇φ′ − 1

c

∂(A +∇Λ)

∂t

= −∇(φ′ +

1

c

∂Λ

∂t

)

︸ ︷︷ ︸≡φ

≡ E

Konsequenz:

φ′(r, t) = φ(r, t)− 1

c

∂Λ(r, t)

∂tKonsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezuglich Eich-

transformationen (Eichinvarianz):

B′(r, t) = B(r, t)

E′(r, t) = E(r, t)

Kontinuitatsgleichung [longitudinale Projektion ∇·Ampere] (vgl. Ubungsblatt 1, Aufgabe1):

∂ne

∂t+∇ · je = 0

Abschirmung eines magnetischen Wechselfeldes [transversale Projektion ∇×Ampere] (vgl.Ubungsblatt 1, Aufgabe 1):(Trick: ∇× (∇×B) = −∇2B +∇(∇ ·B))

Resultat fur den Fall B(r, t) = B0(r) · exp(−iωt):(∇2 +

ω2

c2

)B(r, t) = −4π

c∇× je(r, t)

Rechte Gleichungsseite: Zusammenhang zwischen Stromdichte je Magnetfeld B benotigt.

Spezifikation des Zusammenhangs zwischen Stromdichte je und den elektromagnetischen Po-tentialen φ(r, t) und A(r, t).

Ziel: Diskussion der elektrischen Stromdichte je/Massenstromdichte jm sowohl fur

• normalleitende Metalle/Fermiflussigkeiten

• supraleitende Metalle/Supraflussigkeiten

auf phanomenologischer Ebene:

• Drude/Hagen-Poiseuille–Theorie (Normalmetall/-flussigkeit)

• Verallgemeinerung der London–Theorie (Supraleiter/Supraflussigkeiten).

14

2.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell

Relaxationsgleichung fur die Stromdichte von Metallelektronen im Drude–Modell (fur eineallgemeine Behandlung vgl. Anhang 6.4):

[∂

∂t+

1

τe1

+ O(∇2)

]je(r, t) = en

eE(r, t)

m︸ ︷︷ ︸Beschleunigung

Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):

1

τe1

=1

τ ee1

+1

τ ie1

1/τ ee1 beschreibt elastische Streuung der Ladungstrager an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.

1/τ ie1 beschreibt inelastische Streuung der Ladungstrager an Phononen, Spinfluktuationen, etc.

Nota bene: Zweiteilchenstoße fuhren nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).

Annahme: harmonische Zeitabhangigkeit des elektrischen Feldes:

E(r, t) = E0(r)e−iωt

Stromdichte im Langzeitlimes t À τe1 (Drude):

je(r, t)tÀτe1= σe(ω)E(r, t)

Drude–Leitfahigkeit

σe(ω) =ne2

m

11

τe1− iω

Elektrischer Gleichstromwiderstand:

Re =1

σe(ω = 0)=

m

ne2

1

τe1

Supraleitung:

Re = 0 ;1

τe1

≡ 0

→ Das scheinbare Verschwinden der Impulsrelaxation der Ladungstrager.

Spezialfall: transversales E–Feld [A(r, t) = A0(r) · exp(−iωt)]

je(r, t)tÀτe1= −ne2

mc

−iω

−iω + 1τe1

A(r, t)

=

σ(ω) E(r, t) ; ω → 0 Drude

−ne2

mcA(r, t) ; ω À τ−1

e1 stosslos

15

Nota bene: kein Stromresponse auf elektromagnetische Potentiale fur ∇ → 0, ω → 0

je(r, t) ∝ O(vFτe1 · ∇) · Φ(r, t) + O(τe1 · ω) ·A(r, t)

2.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen

Annahme: Drude–Relaxation der Stromdichte

Konsequenz (vgl. Ubungsblatt 1, Aufgabe 2 ):

(∇2 +

ω2

c2

)B(r, t) = −4π

c∇× je(r, t)

=4πne2

mc2

−iω1

τe1− iω

︸ ︷︷ ︸≡δ−2(ω)

B(r, t)

Abschirmungsgleichung fur B(r, t)

(∇2 +

ω2

c2

)B(r, t) =

B(r, t)

δ2(ω)

Elektromagnetische Abschirmlange (Skintiefe)

δ(ω) = λ0

√√√√ 1τe1− iω

−iω

=

λ0

1+i√2ωτe1

ω → 0 hydrodynamisch

λ0 ω À τ−1e1 stosslos, “London”

λ0 =

√mc2

4πne2=

c

ωp

Definition: Plasmafrequenz

ω2p =

4πne2

m

Verschiebungsstrom1

λ20

=ω2

p

c2À ω2

c2

Nota bene: Kein Beitrag vom Verschiebungsstrom fur ω ¿ ωp!

Fig. 12: Re δ(ω) als Funktion von ωτ

16

Magnetfeldabschirmung in einem normalmetallischen Halbraum, x > 0,B(r) = Hz(x)e3.

Abschirmungs–Gleichung∂2Bz(x)

∂x2=

Bz(x)

δ2(ω)

Physikalische Losung:

Bz(x) = Bz(0)e−x

δ(ω)

Fig. 13: Das Magnetfeldprofil Bz(x) vs. x

2.1.4 Stromrelaxation in neutralen (Quanten–) Flussigkeiten

Impulsrelaxation fur neutrale Fermionen (fur eine allgemeine Behandlung der Hydrodynamikvon Flussigkeiten vgl. Anhang 6.4):

Hydrodynamische Relaxationsgleichung[

∂

∂t+

1

τm1

− η

%

∂2

∂z2

]jmx(r, t) = nFx(r, t)

Kraftdichte: DruckgradientnF(r, t) = −∇P (r, t)

Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms:

1

τm1

≡ 0

Interpretation:

Keine Impulsrelaxation im Volumen von FermiflussigkeitenZweiteilchen–Stoßprozesse erhalten den Impulses gibt keine Phononen, Spinfluktuationen, Umklappprozesse, etc.Impulsrelaxation in Flussigkeiten an Wanden der Stromungskanale→ indirekt uber die Relaxation des Spannungstensors Scherviskositat einer normalen Fer-miflussigkeit:

η =1

5npFvFτm2

Fig. 14: Stromungsprofile geladener und neutraler Fermiflussigkeiten

17

Hagen–Poiseuille–Gesetz: Querschnittsmittelung < . . . > uber den Stromungskanal liefertim Spezialfall paralleler Platten im Abstand d:

< jm > = σmF

m

σm = m%d2

12η

Stromungswiderstand:

Rm =1

σm

=12

m%d2η

Suprafluiditat:Rm = 0

→ das scheinbare Verschwinden der Scherviskositat der Supraflussigkeit.

4. Vorlesung : Donnerstag, 15. Mai 2003, 15:00

2.2 Verallgemeinerte London–Theorie

Motivation: QM ist dissipationsfreie Theorie.Annahme, dass die Bewegung der “Supra–Elektronen” den Gesetzen der Quantenmechanikgehorcht.

2.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik

Ausgangspunkt: Elementarteilchen (auch zusammengesetzt denkbar) mit

Ladung Q (geladene Teilchen)

Ladung 0 (neutrale Teilchen)

Masse M

Bewegung in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale φ(r, t) und A(r, t) (geladeneTeilchen) oder des skalaren Potentials Ξ(r, t) (neutrale Teilchen).

Quantenmechanische Beschreibung durch Wellenfunktion

ψ(r, t) = a(r, t)︸ ︷︷ ︸Amplitude

eiϕ(r,t)︸ ︷︷ ︸Phase

Definition: Wirkungsfeld S(r, t):S(r, t) = hϕ(r, t)

Wahrscheinlichkeitsdichte

np(r, t) = ψ∗(r, t)ψ(r, t) = a2(r, t)

18

Ladungsdichte%Q(r, t) = Qnp(r, t)

Massendichte%M(r, t) = Mnp(r, t)

Quantenmechanische Dynamik des Teilchens: Schrodingergleichung

ih∂ψ(r, t)

∂t=

[−ih∇− Q

cA(r, t)

]2

2M+ Qφ(r, t) + Ξ(r, t)

ψ(r, t)

Gekoppelte Gleichungen fur Amplitude a(r, t) und Phase (Wirkung) S(r, t) (vgl. Ubungsblatt2, Aufgabe 1)

∂np

∂t+∇ · jp(r, t) = 0 (1)

∂S(r, t)

∂t+

1

2MV2 + Qφ(r, t) + Ξ(r, t)

=

h2∇2a(r, t)

2Ma(r, t)(2)

quasiklassisches Verhalten QM Verhalten

Interpretation von (1):

Kontinuitatsgleichung fur die Wahrscheinlichkeitsdichte np(r, t) fuhrt auf Wahrscheinlichkeitsstromdichtejp(r, t)

jp(r, t) =ih

2Mψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ − Q

M|ψ|2A

= np(r, t)V(r, t)

Quasiklassisches Geschwindigkeitsfeld:

V(r, t) =1

M

∇S(r, t)− Q

cA(r, t)

Wichtige Eigenschaft:

∇×V(r, t) = − Q

McB(r, t)

Interpretation von (2):

Quasiklassische Approximation: nur Terme in fuhrender Ordnung in h werden mitgenommen→ rechte Gleichungsseite = O(h2). →

Hamilton–Jakobi–Gleichung der klassischen Feldtheorie fur das Wirkungsfeld S(r, t) = hϕ(r, t)(Hamilton, 1834, Jakobi, 1837)

−∂S(r, t)

∂t= Qφ(r, t) + Ξ(r, t) +

1

2MV2(r, t)

︸ ︷︷ ︸Hamilton−Funktion

≡ H

19

Linearisierte Beschleunigungsgleichung fur V(r, t):

∂V(r, t)

∂t=

1

M

∇∂S(r, t)

∂t− Q

c

∂A(r, t)

∂t

=1

M

−Q∇φ(r, t)−∇Ξ(r, t)− Q

c

∂A(r, t)

∂t

=Q

ME(r, t)− 1

M∇Ξ(r, t)

Nichtlineares Resultat: Eulergleichung fur das quasiklassische Geschwindigkeitsfeld V (vgl.Ubungsblatt 2, Aufgabe 2):

∂V

∂t+ (V · ∇)V ≡ dV

dt=

Q

M

E +

1

cV ×B

− 1

M∇Ξ(r, t)

Interpretation: Die Dynamik eines quantenmechanischen Teilchens in den elektromagnetis-chen Potentialen φ(r, t) und A(r, t) wird im quasiklassischen Limes durch die Euler–Gleichungder Hydrodynamik beschrieben, in der die Lorentz–Kraft die treibende Kraft darstellt.

Ladungsstromdichte:

jQ(r, t) = Qnp(r, t)V(r, t)

=Qnp(r, t)

M

∇S(r, t)− Q

cA(r, t)

=Qnp(r, t)

M

h∇ϕ(r, t)− Q

cA(r, t)

Massenstromdichte:

jM(r, t) = Mnp(r, t)V(r, t)

= Mnp(r, t)∇S(r, t)

= np(r, t)hϕ(r, t)

2.2.2 Verallgemeinerte London–Theorie fur den Suprastrom

Ziel: moderne Version der Theorie von Fritz und Heinz London und Max von Laue aus denJahren 1935 – 1938. Anwendung auf

• paarkorrelierte Fermisysteme→ Supraleiter,→ superfluides 3He→ Neutronensterne

20

• superfluide Bose–Systeme→ superfluides 4He (He–II)→ atomares Gase (Rb, Cs, Na, etc.) check this!!!→ molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2)n]

London–Interpretation der Supraleitung:

Annahme: Eine makroskopische Anzahl geladener Teilchen (Ladung Q) oder neutraler Teilchen(Q = 0) der Masse M , das sogenannte Kondensat wird durch eine quantenmechanische Wellen-funktion ψ(r, t) beschrieben, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte np(r, t) durch die TeilchendichteN s(r, t) ersetzt wird:

np(r, t) → N s(r, t)

Begrundung:

Vergleich: Normalmetall, φ(r, t) ≡ 0:

je(r, t) = −ne2

mc

−iω

−iω + 1τe1

A(r, t)ωÀτ−1

e1= −ne2

mcA(r, t)

Elektron in der Quantenmechanik, φ(r, t) = 0:

JQ(r, t) = −npQ2

McA(r, t)

legt diese Ersetzung np → N s nahe. Man beachte, daß eine makroskopische Anzahl vonLadungstragern mit der Teilchenzahl N s durch ein und dieselbe quantenmechanische Wellen-funktion beschrieben werden. Quantenkoharenz auf makroskopischer Skala.

London–Gleichungen der Supraleitung und der Suprafluiditat:

Der Teilchen–Suprastrom:

Js(r, t) = N s(r, t)1

M

∇S(r, t)− Q

cA(r, t)

︸ ︷︷ ︸Vs(r,t)

Wichtige Eigenschaft:

∇×Vs(r, t) = − Q

McB(r, t)

Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion (→ Josephson–Relation):

−∂S(r, t)

∂t= QΦ(r, t) + Ξ(r, t)

Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit Vs:

∂Vs

∂t+ (Vs · ∇)Vs ≡ dVs

dt=

Q

M

E +

1

cVs ×B

− 1

M∇Ξ(r, t)

21

London–Gleichung fur den Ladungs–Suprastrom:

JsQ(r, t) = QJs(r, t) = QN sVs(r, t) =

N s(r, t)Q

M

∇S(r, t)− Q

cA(r, t)

London–Gleichung fur den Massen–Suprastrom:

JsM(r, t) = MJs(r, t) = N s(r, t)∇S(r, t)

Erste (linearisierte) London–Gleichung: (Longitudinaler Strom und Beschleunigung desKondensats)

∂JsQ(r, t)

∂t=

N s(r, t)Q2

ME(r, t)

Erste (linearisierte) London–Gleichung fur neutrale Systeme: (Longitudinaler Stromund Beschleunigung des Kondensats)

∂JsM(r, t)

∂t= −N s(r, t)∇Ξ(r, t)

Abschirmung durch das Kondensat

∇× JsQ(r, t) =

N s(r, t)Q

M∇×

∇S(r, t)− Q

cA(r, t)

Zweite London–Gleichung:

∇× JsQ(r, t) = −N s(r, t)Q2

McB(r, t)

Gegenuberstellung Drude ↔ London

Normalmetall (Drude) Supraleiter (London)

“longitudinal” je = −nem

−iω−iω+1/τ

ecA Js

Q = NsQM

(∇S − Q

cA

)

“transversal” ∇× je = −ne2

mc−iω

−iω+1/τB ∇× Js

Q = −NsQ2

McB

Tabelle 3: Gegenuberstellung Drude ↔ London

Konsequenz aus erster London–Gleichung: elektrische Dauerstrome

22

2.2.3 Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie

Konsequenz aus zweiter London–Gleichung: Magnetfeldverdrangung im statischen Gren-zfall (ω → 0)

∇× [∇×B(r, t)] = −∇2B(r, t)

Ampere=

4π

c∇× Js

Q(r, t)

= −4πN s(r, t)Q2

Mc2B(r, t)

= −B(r, t)

λ2L

∇2B(r, t) =B(r, t)

λ2L

Londonsche Eindringtiefe:

λL =

√Mc2

4πN sQ2

Spezialfalle:

A. supraleitender Halbraum (x > 0)

B(r) = Bz(x) z =∂Ay

∂xz

∇ = x∂

∂x

Abschirmgleichung in dieser Geometrie

∂2Bz(x)

∂x2=

Bz(x)

λ2L

LosungBz(x) = Bz(0) e−x/λL

Stromdichte

JsQ

Ampere=

c

4π∇×B = − c

4π

∂Bz(x)

∂xy

=c

4π

Bz(x)

λL

y

Vektorpotential

A = −4π

cλ2

L JsQ = −λLBz(x)y

23

Fig. 15: Bz(x) und J sQy vs. x

5. Vorlesung: Donnerstag, 22. Mai 2003, 15:00

B. supraleitende Platte (−d/2 < x < d/2)

Fig. 16: Zum Feldeindringen in eine supraleitende Platte

Losung (vgl. Blatt 3, Aufgabe 1):

Bz(x) = Bz

(±d

2

)cosh(x/λL)

cosh(d/2λL)

C. supraleitender Zylinder (r < R)

B(r) = Bz(r) z

∇ = er∂

∂r

Losung:

Bz(r) = Bz(R)I0(r/λL)

I0(R/λL)

Hier ist I0(z) = J0(iz) die modifizierte Besselfunktion 0–ter Ordnung.Stromdichte

jse(r) = jse(r) eφ =

c

4π

Bz(r)

λL

eφ

2.2.4 Die Fluxoidquantisierung

Eigenschaft des London–Suprastroms:

JsQ =

N sQ

M

h∇ϕ− Q

cA

=N sQ2

Mc

−A +

c

Qh∇ϕ

=c

4π

1

λ2L

−A +

c

Qh∇ϕ

c

Qh∇ϕ = A +

4π

cλ2

LJsQ

24

Eindeutigkeit der quantenmechanischen Wellenfunktion ψ = aeϕ:∮

Γdr · ∇ϕ(r, t) = 2πn ; n = 0, 1, 2, . . .

Konsequenz:

Φ′ ≡∮

Γdr ·

A +

4π

cλ2

LJsQ

Stokes=

∫

SdS ·

∇×A +

4π

cλ2

L∇× JsQ

=∫

SdS ·

B +

4π

cλ2

L∇× JsQ

︸ ︷︷ ︸Fluxoid Φ′

=c

Qh2πn

= nhc

Q= nΦ0

Fluxoid–QuantisierungΦ′ = nΦ0

Fluß oder Fluxoid–Quant:

Φ0 =hc

Q

Spezialfalle:

A. einfach zusammenhangendes Gebiet

Fig. 17: Kontouren Γ1 und Γ2 fur einfach zusammenhangendes Gebiet

Entlang Γ1: B = 0, JsQ = 0 →

Φ = 0 ; Φ′ = 0

Entlang Γ2: B 6= 0, JsQ 6= 0 →

Φ ≈ 2πRλL ·B0 ; Φ′ = 0

→ Fluxoid verschwindet fur einfach zusammenhangendes Gebiet.

B. mehrfach zusammenhangendes Gebiet

Fig. 18: Kontour Γ fur mehrfach zusammenhangendes Gebiet

Φ′ = nΦ0

– Γ tief im SL–Gebiet: → JsQ = 0 → Flussquantisierung.

– Γ in Gebiet mit JsQ 6= 0 → Fluxoidquantisierung.

25

2.2.5 London–BCS–Theorie und Josephson–Effekt

Ausgangspunkt: Zwei Supraleiter 1 und 2 seien durch eine dunne isolierende (Oxyd–) Barrieremiteinander gekoppelt.

Fig. 19: Zum Josephson–Effekt

Die Wellenfunktion des Gesamtsystems, gebildet aus den Eigenzustanden |1〉 und |2〉 derSupraleiter auf der linken und rechten Seite lautet

|ψ〉 = ψ1|1〉+ ψ2|2〉Der Hamiltonoperator dieses gekoppelten Systems hat die Form

H = H1 + H2 + HT

Hµ =

[−ih∇− Q

cA(r, t)

]2

2M+ QUµ

|µ〉〈µ| ; µ = 1, 2

HT = T (|1〉〈2|+ |2〉〈1|)Gekoppelte Schrodingergleichungen:

ih∂ψµ(r, t)

∂t= Hµψµ(r, t) + Tψν(r, t)

Josephson–Kopplungsenergie T soll klein sein (→ weak link !).London–Wellenfunktionen zweier nicht identischer Supraleiter (a1 6= a2):

ψµ(r, t) = aµ(r, t)eiφµ(r,t) ; µ = 1, 2

a2µ(r, t) = N s

µ(r, t)

Behandlung der Teilsysteme |µ〉, fur µ = 1, 2 analog zur Ableitung der London–Gleichungenliefert aus dem Imaginarteil der Schrodingergleichung (vgl. Ubungsblatt 3, Aufgabe 2:)

∂N sµ

∂t+∇ · Js

µ =2T

h

√N s

µNsν sin(ϕν − ϕµ)

und aus dem Realteil im quasiklassischen Limes (h2 → 0), nach Linearisierung (Vs2µ → 0):

−h∂ϕµ

∂t= QUµ + T

√√√√N sν

N sµ

cos(ϕν − ϕµ)

Annahmen:1. identische Supraleiter (N s

1 = N s2 = N s)

2. Spannungsabfall uber dem Tunnelkontakt V = U1 − U2, d. h. U1,2 = ±V/2.Definition: Phasendifferenz

ϕ ≡ ϕ2 − ϕ1

26

Die aus dem Imaginarteil folgende Gleichung lautet:

∂N s1

∂t+∇ · Js

1 = IJ(ϕ) = −∂N s2

∂t−∇ · Js

2

Josephson–Tunnelrate:

IJ(ϕ) = Ic sin(ϕ)

Ic =2T

hN s

Die Große Ic heißt kritische Tunnelrate (kritische Stromdichte).Die aus dem Realteil folgenden Gleichungen lauten:

−hϕ1,2 = ±QV

2+ EJ(ϕ)

Josephson–Energie

EJ(ϕ) = T cos(ϕ)

Zusammenfassung: Aus der London–Theorie lassen sich zwei phanomenologische Josephson–Gleichungen fur die zeitabhangige Phasendifferenz und die Kondensat–Tunnelrate durch eine(isolierende) Barriere ableiten:

h∂ϕ

∂t= QV

∂N s1

∂t+∇ · Js

1 = Ic sin ϕ

2.3 Leistungsfahigkeit der London Theorie

2.3.1 Verdienste der London–Theorie

• Supraleitung als quantenmechanisches Phanomen (im quasiklassischen Limes!) auf makroskopis-cher Skala erkannt.

• Response des Kondensats auf außere elektromagnetische Potentiale verstanden:

– Dauerstrome

– Magnetfeldabschirmung

– Fluxoidquantisierung

– Josephson–Effekt

lassen sich im Rahmen der London– Theorie verstehen.

27

Aussagekraft der verallgemeinerten London–Theorie:

Q = ke ; k = 1, 2

M = km ; k = 1, 2

N s =ns

k

Die Hamilton–Jakobi– (Josephson–) Gleichung

−h∂ϕ

∂t= keφ + Ξ

Kondensat–Geschwindigkeitsfeld Vs:

Vs =1

m

(h

k∇ϕ− e

cA

)≡ vs

Kondensat–Teilchenstromdichte:

Js =1

kjs ; js = nsvs

Kondensat–Ladungsstromdichte:

JsQ = ke

1

kjs = ejs ≡ jse ; jse = ensvs

Kondensat–Massenstromdichte:

JsM = km

1

kjs = mjs ≡ gs ; gs = mnsvs = %svs

Kondensat–Beschleunigungsgleichung

∂vs

∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs

dt=

e

m

E +

1

cvs ×B

− 1

m∇Ξ

k

Erste (linearisierte) London–Gleichung fur geladene Systeme

∂jse∂t

=nse2

mE

Erste (linearisierte) London–Gleichung fur neutrale Systeme

∂gs

∂t= −ns∇Ξ

k

Zweite London–Gleichung

∇× jse = −nse2

mcB

London–Eindringtiefe:

λ2L =

mc2

4πnse2

Fluxoid–Quantum:

Φ0 =hc

ke

28

2.3.2 Die alte London–Theorie

Die ursprungliche Form des London–Theorie nahm irrtumlicherweise an, daß einzelne Elektro-nen das supraleitende Kondensat bilden. Daher hat man identifiziert

k = 1

Alle London–Gleichungen und das Resultat fur die London–Eindringtiefe konnen mit denobigen Ersetzungen korrekt angewendet werden. Das einzige falsche Resultat ergibt sich furdas Fluxoid–Qantum:

Φalt0 =

hc

e

2.3.3 Die London–BCS–Theorie fur Supraleiter

Experiment von Robert Doll und Martin Nabauer, Walther–Meißner–Institut, Herrsching, 1962:

Φexp0 =

hc

2e

→ Ladungstrager im Kondensat des Supraleiters sind Elektronen–Paare. Die Existenz vonElektronen–Paaren, die sogenannten Cooper–Paare wird auch in der mikroskopischen Theorieder Supraleitung von Bardeen, Cooper und Schrieffer, der sogenannten BCS–Theorie aus demJahre 1957 postuliert.

Korrekte Anwendung der London–Theorie (London–BCS–Theorie):

k = 2

Nota bene: im Folgenden werden wir eine “London–BCS” Notation verwenden, und dasFlußquant mit Φ0 = hc/2e (Φ0 = h/2e in SI–Einheiten) bezeichnen.

6. Vorlesung : Montag, 2. Juni 2003, 11:00

2.3.4 London–BCS–Theorie fur die Fermi–Supraflussigkeiten

Vorbemerkung:Bedeutung des skalaren Potentials Ξ(r, t) fur neutrale Supraflussigkeiten: chemisches Potentialder gesamten ruhenden Flussigkeit pro Teilchen:

Ξ(r, t) → µ(r, t)

Begrundung: Im allgemeinen sind Phase φ und Teilchenzahl N quantenmechanisch kon-jugierte Variable, die nicht simultan bestimmt werden konnen, d. h. es gibt eine Unbes-timmtheitsrelation der Form (S = hϕ)

δN · δS ∼ h

29

Im quasiklassischen Limes (→ N sehr groß ) sind Phase φ und Teilchenzahl N klassischekanonisch konjugierte Variable wie der Ort x und der Impuls p in der Mechanik.

Quasiklassische Hamilton–Gleichungen der Mechanik

x =∂H

∂p

p = −∂H

∂x

In vollig analoger Weise ergibt sich:

N =∂H

∂S

S = −∂H

∂N= −∂E

∂N= −µ ≡ Ξ

Das chemische Potential kann durch physikalische messbare Großen wie Druck und Temperaturuber die thermodynamische Gibbs–Duhem–Relation ausgedruckt werden:

µ(r, t) = µ0 + δµ(r, t)

δP (r, t) = nδµ(r, t) + σ0δT (r, t)

δµ(r, t) =1

nδP (r, t)− σ0δT (r, t)

Anwendung: neutrale Fermisysteme mit Paarkorrelationen:

• superfluides 3He

• Neutronensterne

Hier gilt:

k = 2

e = 0

M = 2m3

N s =ns

3

2Ξ = 2δµ3

JsM = gs

Superfluide Geschwindigkeit:

vs =h

2m3

∇ϕ

Der Massen–Suprastrom:

gs = m3ns3v

s = ρsvs = ns3

h

2∇ϕ

30

Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:

− h

2

∂ϕ

∂t= δµ3 +

1

2m3v

s2

Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:

dvs

dt= − 1

m3

∇δµ3 = − 1

m3n∇δP − σ0δT

Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))

∂gs

∂t= −ns

3∇δµ3 = −ns3

n∇δP − σ0δT

Zusatzbemerkung: Der Fall k = 1, e = 0, M = m4: superfluides 4He (vgl. Anhang 4.5)

2.3.5 Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie

Verallgemeinerung fur realistische Supraleiter (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 2):

Ks =ns

m→ Ks

d. h. die Stromresponsefunktion Ks ist i. A. eine Tensorgroße

Die London–BCS–Gleichungen

∂jse(r, t)

∂t= e2Ks · E(r, t) longitudinaler Strom

∇× jse(r, t) = −e2

cKs ·B(r, t) transversaler Strom

sind eichinvariant, denn sie enthalten nur die eichinvarianten physikalischen Felder E(r, t) undH(r, t).

Die London–BCS–Gleichung fur den Ladungs–Suprastrom:

jse(r, t) = eKs ·

h

2∇ϕ(r, t)− e

cA(r, t)

ist nur dann invarint bezuglich der Eichtransformation

A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)

wenn man annimmt, daß der Phasenterm ∝ ∇ϕ(r, t) aus einer Eichtransformation hervorge-gangen ist. Dies fuhrt zur Identifikation

Λ(r, t) ≡ − hc

2eϕ(r, t) = −Φ0

2πϕ(r, t)

31

Konsequenz aus der Eichinvarianz: Suprastrom ist im stationaren Limes divergenzfrei, es giltLadungserhaltung:

∂%e(r, t)

∂t+∇ · jse(r, t) stationaer→ ∇ · jse(r, t) = 0

Fur die weiteren Rechnungen nehmen wir an, daß die raumliche Variation des Vektorpotentialsvon der Form ist

A(r, t) = A(t)eiq·r

Dies fuhrt zur Ersetzung∇ → iq

Dann lautet der London–BCS–Suprastrom

jse = −e2

cKs · A + iqΛ

Die Bedingung iq · jse = 0 legt Λ fest (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 2)

Λ =iq ·Ks ·Aq ·Ks · q

Resultat fur den eichinvarianten London–BCS–Strom:

jse = −e2

c

Ks − Ks · q : q ·Ks

q ·Ks · q

·A

= −e2

c

Ks − Ks · q : q ·Ks

q ·Ks · q

·A

q =∇|∇|

Spezialfall: Ks = Ks1 (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 1)

jse = −e2

cKs 1− q : q ·A

= −nse2

mcA− q(q ·A

= −nse2

mcq× (A× q)

2.3.6 Mangel der London Theorie

• Die Theorie ist lokal, eine Koharenzlange taucht nicht auf, d. h. sie beschreibt nurSupraleiter, in denen die Koharenzlange die kleinste relevante Lange darstellt (→ Typ–II–SL). Verbesserung durch die Arbeit von Ginzburg und Landau 1950.

• Dichte ns(T ) der Supraelektronen (sowie die Temperaturabhangigkeit derselben) ist nichtbekannt (phanomenologischer Ansatz!).

32

2.3.7 Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik

Sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme konnen in einen Zustand makroskopis-cher Quantenkoharenz ubergehen, bei dem eine makroskopische Anzahl von Teilchen durch eineeinzige quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben werden kann. Es ist bemerkenswert,daß dieser Zustand in fuhrender Ordnung in der Planckschen Konstanten h, d. h. im quasik-lassischen Limes der Quantenmechanik beschrieben werden kann, in dem nur eine zusatzlicheneue Variable auftaucht, namlich die Phase ϕ(r, t) der Kondensat–Wellenfunktion und das mitihr verknupfte Wirkungsfeld S(r, t) = hϕ(r, t). Zeitliche und raumliche Variation von S(r, t)beschreiben die Dynamik des Kondensats vollstandig.

Unterscheidung verschiedener Mechanismen zur Bildung dieses Zustands makroskopischer Quan-tenkoharenz:

Fermisysteme: BCS–Paarkondensation:

– konventionelle metallische Supraleitern (Singulett–s)– Schwere–Fermionen–Systeme (Singulett–d, Triplett–p, f (?))– lochdotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–d)– elektron–dotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–s, d + id (?))– Fullerene (Singulett–s)– Strontium–Rhutenat Sr2RuO4 (Triplett–p, f (?))– flussiges 3He (Triplett–p)– Atomkerne mit offenen Schalen fur N und P (Singulett–s)– Neutronensterne (Triplett–p, f (?))

Bose–Systeme: Bose–Einstein–Kondensation:

– flussiges 4He– atomare Gase (Na, Rb, Cs,...)– Exzitonen– molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2)n]

7. Vorlesung : Donnerstag, 5. Juni 2003, 15:00

33

3 BCS-Theorie paarkorrelierter Fermisysteme

3.1 Normale Fermisysteme im Gleichgewicht (d = 3)

Teilchenzahl N ≈ 1023

Teilchendichte n = NV

; V = LxLyLz

Wellenvektor k = 2π

nx

Lx, ny

Ly, nz

Lz

; nx = 0,±1,±2, . . .

Impuls (DeBroglie) p = hk

Energiedispersion εk = h2k2

2m= ξk + µ(T )

Fermienergie EF = µ(0) =h2k2

F

2m; kF = kF(n) =

(3π2n

m

) 13

chem. Potential µ(T ) = µ(0)1− 1

12

(πkBTµ(0)

)2+ . . .

Gruppengeschwindigkeit vk = 1h∇kεk

Zustandsdichte NF = dn(EF)dEF

= mkF

π2h2 = 32

nEF

Tabelle 4: Einige wichtige Parameter fur normale Fermisysteme

Besetzungszahldarstellung fur Fermionen (k–Raum)

Fermion im Quantenzustand k, σ

erzeugt durch c†kσ

vernichtet durch ckσ

(Anti–) Kommutatorrelationen (Pauli–Prinzip)

ckσ, ck′σ′+ = 0c†kσ, c

†k′σ′

+

= 0ckσ, c

†k′σ′

+

= δσσ′ δk,k′

34

Besetzungszahloperator fur den Quantenzustand k, σ

nkσ = c†kσ ckσ

Fermi–Dirac–Impulsverteilung

nk(T ) =< c†kσ ckσ >=

Θ(ξk) ; T = 0

1/[exp(ξk/kBT ) + 1] ; T 6= 0

Fig. 20: Zur Fermi–Dirac–Impulsverteilung

Energieableitung der Fermifunktion

ϕk = −∂nk

∂ξk

=1

4kBT

1

cosh2 (ξk/2kBT )

Fig. 21: Zur Energieableitung der Fermi–Dirac–Verteilung

Wichtige Eigenschaften (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 2)

1

V

∑

kσ

ϕk = NF

1

V

∑

kσ

ϕkvk : vk =n

m1

Feldoperatoren fur freie Fermionen (Pauli–Spinor)

Ψσ(r) =1√V

∑

kσ

ckσ eik·r

Ψ†σ(r) =

1√V

∑

k′σc†k′σ e−ik′·r

Kommutatorrelationen (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 2)

Ψσ(r), Ψσ′(r

′)

+= 0

Ψ†

σ(r), Ψ†σ′(r

′)

+= 0

Ψσ(r), Ψ†

σ′(r′)

+

= δσσ′ δ3(r− r′)

35

Teilchenzahldichte–Operator:

n(r) ≡ ∑σ

Ψ†σ(r)Ψσ(r)

=1

V

∑

k′kσ

c†k′σ ckσe−i(k′−k)·r

k′=k+q=

∑q

e−iq·r 1

V

∑

kσ

c†k+qσ ckσ

︸ ︷︷ ︸n(q)

=∑q

n(q)e−iq·r

Nota bene: Die Fourier–Transformierte n(q) der Teilchenzahldichte ist eine Superpositionvon sog. Teilchen–Loch–Anregungen nkσ(q)

nkσ(q) = c†k+qσ ckσ

Gesamt–Teilchenzahloperator:

N =∫

d3rn(r)

=∑q

n(q)∫

d3re−iq·r

︸ ︷︷ ︸V δq,0

= n(q = 0)

=∑

kσ

nkσ

Hamiltonoperator fur freie Fermionen:

H0 − µN =∑σ

∫d3rψ†σ(r)

(− h2∇2

2m− µ

)ψ†σ(r) =

∑

kσ

ξkc†kσ ckσ

Gesamtenergie freier Fermionen:

E(T ) =< H >=∑

k,σ

εknk

Entropiedichte

σ0(T ) = −kB1

V

∑

kσ

nk ln nk + (1− nk) ln(1− nk)

3.2 Normale Fermisysteme in außeren Potentialen

Hamiltonoperator in zweiter Quantisierung:

Hφ,A, B =∑σ

∫d3rψ†σ(r)

(−ih∇− e

cA

)2

2m+ eφ− γh

2σB

ψσ(r)

= H0 + δHφ,A, B

36

Berechnung der Variation nach φ, A und B:

δHφ,A, B =∑σ

∫d3r

ne(r)δφ(r)︸ ︷︷ ︸skalar

− 1

cje(r) · δA(r)

︸ ︷︷ ︸Ampere

− M(r)δB(r)︸ ︷︷ ︸Zeeman

Operator der Ladungsdichte:

ne(r) = en(r) =∑q

e−iq·rne(q)

ne(q) =1

V

∑

kσ

enkσ(q)

Operator der Ladungsstromdichte:

je(r) = e∑σ

ψ†σ(r)−ih∇

mψσ(r)− n(r)e2

mcA(r) =

∑q

e−iq·rje(q)

je(q) =1

V

∑

kσ

evknkσ(q)

︸ ︷︷ ︸paramagnetischer Anteil

− ne2

mcA(q)

︸ ︷︷ ︸diamagnetischer Anteil

Operator der Spinmagnetisierung:

M(r) =∑σ

ψ†σ(r)γh

2σψσ(r) =

∑q

e−iq·rM(q)

M(q) =1

V

∑

kσ

γh

2σnkσ(q)

Allgemeine Klassifizierung außerer Storpotentiale

Ukσ = eφ− vk · e

cA− γh

2σ︸︷︷︸

=±1

B

Storungs–Hamiltonoperator (→ Ubungsblatt 5, Aufgabe 1)

HU =∑σ

∫d3rΨ†

σ(r)Uσ(r)Ψσ(r) =∑

kqσ

Ukσ(q)nkσ(q)

Nota bene: Storungen koppeln an Teilchen–Loch–Anregungen, nkσ(q)

Fig. 22: Diagrammatische Darstellung außerer Storungen

37

Lokale Beschreibung (∇ → iq → 0)

H0 − µN + HU =∑

kσ

c†kσ (ξk + Ukσ) ckσ

Lokales Gleichgewicht

ξk → ξk + Ukσ

T → T + δT

nkσ(q) → < nkσ(q) >

q→0= nkσ ≡ n0

(ξk + Ukσ − ξk

TδT

)

= n0(ξk)−ϕk

(Ukσ − ξk

TδT

)

︸ ︷︷ ︸δnkσ

Lineare Antwort im lokalen Gleichgewicht:

• Ladungsdichte

δne = e∑

kσ

δnkσ

= e∑

kσ

ϕk (−eφ)

= e2NF︸ ︷︷ ︸“Ladungssuszeptibilitaet′′

(−φ)

• Stromdichte

je =∑

kσ

evkδnkσ − ne2

mcA

= e

≡ nm︷ ︸︸ ︷∑

kσ

ϕkvk : vk

(e

cA

)

︸ ︷︷ ︸“para′′

− ne2

mcA

︸ ︷︷ ︸“dia′′

= 0

• Magnetisierungsdichte

M =∑

kσ

γh

2σδnkσ

=

(γh

2

)2 ∑

kσ

ϕk

︸ ︷︷ ︸≡NF

B

=

(γh

2

)2

NF

︸ ︷︷ ︸Pauli Spinsuszeptibilitaet

B

38

• Entropiedichte

Tδσ = −kBT

V

∑

kσ

δnkσ lnnk

1− nk

=1

V

∑

kσ

ξkδnkσ

=1

V

∑

kσ

ξkδnkσ

δTδT

=

π2

3NFk2

BT︷ ︸︸ ︷1

V

∑

kσ

ϕkξ2k

T︸ ︷︷ ︸

spezifischeWaerme

δT

8. Vorlesung : Donnerstag, 12. Juni 2003, 15:00

3.3 Das Cooper–Problem

Ziel: Formation von Cooper–Paaren in entarteten wechselwirkenden Fermisystemen verstehen.

Ursache des Cooper–Phanomens: anziehenden Wechselwirkung Γ(r1, r2) der Fermi– (Quasi–)Teilchen in der Nahe der Fermiflache.

Ausgangspunkt: Fermionen–Paar wird einem gefullten Fermisee hinzugefugt. Quantenmech-anische Wellenfunktion fur das Fermionen–Paar:

Φσ1σ2(r1, r2) = −Φσ2σ1(r2, r1)

Trennung von Schwerpunkts– und Relativbewegung, Spin– und Bahnfreiheitsgraden:

Φσ1σ2(r1, r2) = eis· r1+r22 χsms

σ1σ2(r1 − r2)

s = p/h, p: Schwerpunktsimpuls des Paares

χ(r1 − r2) beschreibt Relativbewegung des Paares

χsmsσ1σ2

beschreibt die Spinabhangigkeit der Bahnwellenfunktion

χsmsσ1σ2

=

(χsms↑↑ χsms

↑↓χsms↓↑ χsms

↓↓

)

σ1σ2

∝(

12

12

| sσ1 σ2 | ms

)=

δs,1δms,1

1√2δms,0

(−1)s+1√2

δms,0 δs,1δms,−1

σ1σ2

Kopplung der Spins: Gesamtspin s, Projektion ms

s =

0 ms = 0 Singulett–Paarung

1 ms = −1, 0, 1 Triplett–Paarung

39

Singulett–Paarung

χsmsσ1σ2

s=0∝

0︸︷︷︸ms=1

1√2(| ↑↓> −| ↓↑>)

︸ ︷︷ ︸ms=0

− 1√2(| ↑↓> −| ↓↑>)

︸ ︷︷ ︸ms=0

0︸︷︷︸ms=−1

sms

σ1σ2

= −χsmsσ2σ1

Triplett–Paarung

χsmsσ1σ2

s=1∝

| ↑↑>︸ ︷︷ ︸ms=1

1√2(| ↑↓> +| ↓↑>)

︸ ︷︷ ︸ms=0

1√2(| ↑↓> +| ↓↑>)

︸ ︷︷ ︸ms=0

| ↓↓>︸ ︷︷ ︸ms=−1

sms

σ1σ2

= +χsmsσ2σ1

Pauli–Prinzip:

χsm2σ1σ2

= −χsmsσ2σ1

→ χ(r1 − r2) = χ(r2 − r1) gerade Paritaet, (S−, D−, . . . Welle)

χsmsσ1σ2

= χsmsσ2σ1

→ χ(r1 − r2) = −χ(r2 − r1) ungerade Paritaet, (P−, F − . . . Welle)

Daher: moglichst allgemeine Behandlung des Cooper–Problems angestrebt.

Zur Bedeutung von Φσ1σ2(r1, r2): Φσ1σ2(r1, r2) in zweiter Quantisierung

Φσ1σ2

II.Quant.→ ∑

k

χk b†σ1σ2(k, s)

b†σ1σ2(k, s) = c†k+ s

2σ1

c†−k+ s2σ2

= −c†−k+ s2σ2

c†k+ s2σ1

= −b†σ2σ1(−k, s)

Hier ist s = p/h. Das (Cooper–) Paar ist eine Uberlagerung von paarweise besetzten Zustandenk + s/2, σ1;−k + s/2, σ2 mit der (i. a. komplexen) Amlitude χk.

Einschrankungen:

• s–Wellen–Singulett–Paarung

• verschwindender Schwerpunktsimpuls s = 0

Schrodinger–Gleichung fur das Fermionen–Paar im Ortsraum (Zweikorper–Problem)− h2∇2

1

2m− h2∇2

2

2m− 2µ

χ(r1 − r2) + Γ(r1, r2) χ(r1 − r2) = E χ(r1 − r2)

Bedeutung von E: Paarenergie

40

E > 0 Kontinuum von StreuzustandenE < 0 Bindungsenergie des gebundenen Paarzustands

Gegenwart des Fermisees: “Blocking–Effekt” →

Beschreibung im Impuls– oder k–Raum

χ(r1 − r2) =1

V

∑

k

χk eik·(r1−r2)

Bedeutung von k: beschreibt Relativ–Bewegung (Bahndrehimpuls) des Paares.

Fourier–Transformation der Wechselwirkung

Γ(r) =∑

k

Γk eik·r

Schrodinger–Gleichung im k–Raum

(E − 2ξk)χk =∑

|k′|>kF

Γk−k′ χk′

Fig. 23: Zum Cooper–Problem

Modell–Wechselwirkung

Γk−k′ =

Γ0 |ξk|, |ξk′| < εc

0 sonst

εc: Abschneide–Energie

Einsetzen von Γkk′ in die Integralgleichung (vgl. Ubungsblatt 6).

Die Integralgleichung hat Losungen fur E < 0 (d. h. fur einen gebundenen Cooper–Paar–Zustand) wenn die Wechselwirkung Γkk′ in einer Schale um die Fermienergie µ anziehend ist,d. h. Γ0 < 0.

Paar–Bindungsenergie EB fur Γ0 = −|Γ0| (λ0 ≡ N(0)|Γ0|):

EB = − 2εc

e2/λ0 − 1

=

−2εce−2/λ0 λ0 ¿ 1 ; schwache Kopplung

−εcλ0 λ0 À 1 ; starke Kopplung

Kommentare:

41

• Cooper–Instabilitat schon fur infinitesimal kleine attraktive Wechselwirkungs–ParameterΓ0 = −|Γ0|.

• Bindungsenergie

EB = −2εce− 2

N(0)|Γ0|

kann nicht durch Storungstheorie fur kleine Γ0 abgeleitet werden.

• Bedeutung der charakteristischen (Abschneide–) Frequenz ωc:

a) Konventionelle metallische Supraleiter:Debye–Frequenz εc = hωD

b) superfluides 3He:charakteristische Frequenz ferromagnetischer (Para–) Magnonen (εc = hωFPM).

c) Schwere–Fermionen–Systeme, Kuprate:charakteristische Frequenz antiferromagnetischer (Para–) Magnonen (εc = hωAFPM).

SYSTEM PAARUNGSTYP

Konventionelle Metallelektronen Singulett–SSchwere–Fermionen– (Kondo–Gitter–) Systeme Singulett–D, Triplett–P, –F (?)

Kuprate (Loch–dotierte Antiferromagneten) Singulett–DKuprate (Elektron–dotierte Antiferromagneten) Singulett–S (?)

Fullerene (X3C60) Singulett–SFlussiges 3He Triplett–P

Ruddlesden–Popper–System (Sr2RuO4) Triplett–P,–F (?)Atomkerne mit offenen Schalen fur N oder P Singulett–S

Neutronensterne Triplett–P, –F (?)

Tabelle 5: Zur Universalitat des Phanomens der (Cooper–) Paarkorrelationen

3.4 Verallgemeinertes BCS–Modell

Zentrale Annahmen der (verallgemeinerten) BCS–Theorie:

42

• In der Nahe der Fermiflache gibt es eine (beliebig kleine) Wechselwirkung

Γ(s)kp =

Γ(s)0 h(s)(k · p) |ξk|, |ξp| < εc

0 sonst

die fur Paare mit Gesamtspin s = 0 (Singulett) oder s = 1 (Triplett) anziehend ist

Γ(s)0 < 0.

• spontane Paarformation im k–Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischenGleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude

gkσ1σ2 ≡< c−kσ1 ckσ2 >6= 0 ; T ≤ Tc

Hier isthk = h(k1 − k2)

der Relativ–Impuls des Paares.

Pauli–Prinzip: totale Antisymmetrie von gkσ1σ2 beim Vertauschen der Spins σ1, σ2 und derImpulse k1, k2

g−kσ2σ1 = −gkσ1σ2

Spinabhangigkeit der Paaramplitude: Kombinationsmoglichkeiten, zwei Spins vom Betrag h/2und den Projektionen σ1, σ2 zum Gesamtpin s und der Gesamtprojektion ms.

Clebsch–Gordon–Koeffizient fur diese Kopplung:

(12

12

| sσ1 σ2 | ms

)=

δs,1δms,1

1√2δms,0

(−1)s+1√2

δms,0 δs,1δms,−1

σ1σ2

Zwei Falle moglich fur Fermionen:

s = 0 (Singulett–Paarung)

s = 1 (Triplett–Paarung)

Spin–Singulett–Paarung:

gkσ1σ2 =

(0 gk

−gk 0

)

σ1σ2

= gk(iτ2)σ1σ2

wobei gk = 12[gk↓↑ − gk↑↓].

43

Hier ist τ 2 eine der Pauli–Spinmatrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix τ 0 ein vollstandigesBasissystem von 2× 2–Matrizen bilden:

τ 0, ~τ =

(1 00 1

),

(0 11 0

),

(0 −ii 0

),

(1 00 −1

)

Pauliprinzip: gk muß fur Singulett–Paarung gerade Paritat bezuglich k haben,

g−k = gk .

Klassifizierung der k–Abhangikeit von gk durch orbitale Quantenzahl l:

s–Wellen–Paarung (l = 0), d–Wellen–Paarung (l = 2), u.s.w..

Spin–Triplett–Paarung:

gkσ1σ2 =

(gk↑↑ 1

2[gk↓↑ + gk↑↓]

12[gk↓↑ + gk↑↓] gk↓↓

)

σ1σ2

= gk · (τiτ 2)σ1σ2

Die Triplett–Komponenten

gkx =1

2(gk↓↓ − gk↑↑)

gky =1

2i(gk↑↑ + gk↓↓)

gkz =1

2(gk↓↑ + gk↑↓)

des Paaramplituden–Vektors gk, sind den magnetischen Quantenzahlen ms = −1, 0, 1 zuge-ordnet und haben wegen des Pauli–Prinzips ungerade Paritat bezuglich k,

g−k = −gk .

Triplett–Paarung: orbitale Quantenzahl l ist ungerade (engl.: odd parity pairing):

p–Wellen–Paarung (l = 1), f– Wellen–Paarung (l = 3), u.s.w..

Spontan gebrochene Symmetrie, verknupft mit dem supraleitendem Phasenubergang: namlichdie bezuglich der lokalen Eichtransformation

ckσ → ckσei ϕ2

bei der sich die Paaramplitude wie

gkσ1σ2 → gkσ1σ2eiϕ

transformiert spontan gebrochene Eichsymmetrie).

44

Cooperpaarformation: gk, gk 6= 0 fuhrt zu einer neuen Energieskala, dem mittlern sog. Moleku-

larpotential, vermittelt durch eine in der Nahe der Fermikante anziehende Wechselwirkung Γ(s)kp

∆k =∑p

Γ(0)kp gp ; dk =

∑p

Γ(1)kp gp

Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden gk, gk, oder aquivalent dazu, die Paarpotentiale∆k und dk werden auch als Ordnungsparameter der supraleitenden oder superfluiden Phase despaarkorrelierten Fermisystems bezeichnet.

Gesamtheit der Cooperpaare → Kondensat bildet neuartigen kollektiven Zustand makroskopis-cher Quantenkoharenz, der bereits in der London–Theorie antizipiert worden ist.

Konsequenzen der Paarungshypothese der verallgemeinerten BCS–Theorie:

korrekte Beschreibung von supraleitenden und superfluiden Fermisystemen

• thermodynamische Eigenschaften

• elektromagnetischer Response + Fluxoidquantum (London–BCS–Theorie)

• superfluide Hydrodynamik

• Spindynamik

Charakterisierung einiger der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermisysteme durchdie Form ihrer Paarpotentiale.

Zerlegung:∆k = ∆0(T )f(k) ; dk = ∆0(T )f(k)

→ temperaturabhangiger Maximalwert ∆0(T )→ k–abhangiger orbitaler Anteil

→ Moglichkeit einer Anisotropie auf der Fermiflache.

Klassifizierung der Symmetrie des Paarpotentials in unterschiedlichen Fermisystemen:Vergleich mit der Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermiflache bzw. der Bandstruktur.

Konventionelle Paarung Symmetrien sind gleich (oder: nur die Eichsymmetrie ist spontangebrochen)

Fig. 24: Zur konventionellen Paarung

Unkonventionelle Paarung: Symmetrie des Paarpotentials ist geringer als die der Fer-miflache (oder: neben der Eichsymmetrie gibt es zusatzliche spontan gebrochene Symmetrien).

45

Fig. 25: Zur unkonventionellen Paarung

Weiteres (eleganteres) Kriterium fur unkonventionelle Paarung:

〈∆p〉FS ≡ 0

Konsequenz der Unkonventionaliat der Paarung:

Ordnungsparameter kann Nulldurchgange oder Noden aufweisen, d.h. er kann auf der Fer-miflache Punkt–(P) oder Linien–(L) formige Nullstellen haben.

Fig. 26: Einige Supraleiter und Supraflussigkeiten

Zusammenstellung einiger in der gegenwartigen Diskussion involvierten Modell–Paarzustaandefur die in der vorangegangenen Liste gezeigten Systeme:

Fig. 27: Einige Modell–Paarzustande

9. Vorlesung: Donnerstag, 26. Juni 2003, 15:00

Zur kontroversen Diskussion von dx2−y2–Paarung in Kupraten in den fruhen 90–er Jahren desvergangenen Jahrhunderts gibt das folgende Bild Aufschluß:

Fig. 28: Zur Diskussion unkonventioneller Supraleitung

3.4.1 BCS–Hamiltonoperator

Vorbemerkung: Die folgenden Ausfuhrungen beschranken sich der Ubersichtlichkeit halberauf den Fall der Spin–Singulett–Paarung.

Ausgangspunkt: Spontane (Cooper–) Paarformation:

gk ≡< bk >=< c−k↓ck↑ >Gleichgewicht

6= 0 ; T ≤ T SLc

Selbstkonsistenz–Gleichung:∆k =

∑p

Γkpgp

46

BCS–Hamiltonoperator:

HBCS − µN =∑

k

ξk

∑σ

c†kσ ckσ

︸ ︷︷ ︸∗

+∆kc†k↑c

†−k↓ + ∆∗

kc−k↓ck↑

Berechnung von “*”:∗ = c†k↑ck↑ − c−k↓c

†−k↓ + 1

Aufgliederung in Teilchen und Locher

HBCS − µN =∑

k

ξkc†k↑ck↑︸ ︷︷ ︸

Teilchen

+ (−ξ−k)c−k↓c†−k↓︸ ︷︷ ︸

Loecher

+ ∆kc†k↑c

†−k↓ + ∆∗

kc−k↓ck↑︸ ︷︷ ︸Mischung

Umschreibung (Nambu, 1962)

HBCS − µN =∑

k

(c†k↑ c−k↓

)

︸ ︷︷ ︸C†

k

·(

ξk ∆k

∆∗k −ξ−k

)

︸ ︷︷ ︸ξk

·(

ck↑c†−k↓

)

︸ ︷︷ ︸Ck

=∑

k

C†k · ξk

· Ck

Definition: Spinor–Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren im Teichen–Loch–Raum

Ck =

(ck↑c†−k↓

)

C†k =

(c†k↑ c−k↓

)

Energiematrix im Teilchen– Loch– oder Nambu– Raum

ξk

=

(ξk ∆k

∆∗k −ξ−k

)

3.4.2 Schritte zur Supraleitung

• (Schwach) anziehende Paar–Wechselwirkung: Γ(s) < 0

• Spontane Paarformation: gk 6= 0 → Paarpotential (Energielucke) ∆k 6= 0

• Energie ξk → Matrix

ξk

=

(ξk ∆k

∆∗k −ξ−k

)

im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.

47

• Impulsverteilungsfunktion nk → Matrix

n0k =

(< c†k↑ck↑ > < c−k↓ck↑ >

< c†k↑c†−k↓ > < c−k↓c

†−k↓ >

)=

(nk gk

g∗k 1− n0−k

)

im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.

• Langreichweitige Ordnung, Ordnungsparameter gk bzw. ∆k

→ “nebendiagonale langreichweitige Ordnung” (engl.: “off–diagonal long range order”)

• Spontan gebrochene Symmetrie: U(1)–Invarianz bzw. Invarianz unter Eichtransformation

ck → ckei ϕ2

gk → gkeiϕ

∆k → ∆keiϕ

3.4.3 Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode

Diagonalisierung der Energiematrix durch die sog. Bogoliubov–Valatin–Transformation

Ck = Bk · αk

αk =

(αk↑α†−k↓

)

und die Matrix Bk lautet

Bk =

(uk vk

−v∗k u∗k

)

Neue Erzeugungs–und Vernichtungsoperatoren beschreiben fermionische Anregungen(→ Ubungsblatt 7, Aufgabe 1):

u2k + v2

k = 1 .

Man erhalt

B†k ξ

kBk =

(Ek Dk

D†k −Ek

)

Die Bedingung Dk ≡ 0 legt die Amplituden uk und vk fest:

u2k =

1

2

(1 +

ξk

Ek

)

v2k = 1− u2

k

wobeiEk =

√ξk + ∆2

k .

48

Physikalische Bedeutung von Ek: Form des transformierten Hamiltonoperators

HMF = UBCS(0) +∑

kσ

Ekα†kσαkσ

Erster Term: Gesamtenergie des BCS–Grundzustands.

Zweiter Term: Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoliubov–Quasiteilchen beiendlichen Temperaturen.

Ek ist somit das Energiespektrum der Bogoliubov–Quasiteilchen.Verhalten von Ek in der Nahe von kF:

Ek|k|→kF

= ∆ +h2(|k| − kF)2

2MB

; MB = m∆

2EF

Rolle des Paarpotentials ∆k: (im allgemeinen) anisotrope Energielucke im Spektrum der ther-mischen Anregungen.

Nota bene: Analogie zwischen Bogoliubov–Quasiteilchen in paarkorrelierten Fermisystemenund Rotonen im superfluiden 4He!

Fig. 29: Bogoliubov–Quasiteilchen und Bogoliubov–Amplituden

Physikalische Bedeutung von Ek im Normalzustand:

Ek∆→0= |ξk|⟨

α†k↑αk↑ + α†−k↓α−k↓⟩

= u2k

⟨c†k↑ck↑ + c†−k↓c−k↓

⟩+ v2

k

⟨ck↑c

†k↑ + c−k↓c

†−k↓

⟩

= 2

u2k︸︷︷︸

Θ(ξk)

n0(ξk) + v2k︸︷︷︸

Θ(−ξk)

[1− n0(ξk)

]

︸ ︷︷ ︸n0(−ξk)

= 2n0(|ξk|)Nota bene: ν0(Ek) geht fur ∆ → 0 nicht in n0(ξk) sondern in n0(|ξk|) uber.

3.4.4 Eigenschaften thermischer Anregungen

Bogoliubov–Quasiteilchen: Impulsverteilungsfunktion

νk = ν(Ek) =< α†kσαkσ >=1

exp(Ek/kBT ) + 1

49

Fig. 30: Zur Fermi–Verteilung thermischer Anregungen

10. Vorlesung : Donnerstag, 3. Juli 2003, 15:00

Ableitung von νk nach Ek,

ϕk = −∂ν(Ek)

∂Ek

=1

4kBT cosh2(Ek/2kBT )

Fig. 31: Zur Ableitung ϕk der Fermiverteilung

Fig. 32 Energielucken–Noden und nodale Quasiteilchen

Diagonale Verteilungsfunktion nk im globalen thermodynamischen Gleichgewicht nach derBogoliubov–Valatin–Transformation:

nk = u2kνk + v2

k(1− νk) = v2k + (u2

k − v2k)νk

Fig. 33: Die BCS–Impulsverteilungsfunktion nk

Nota bene: Es ist bemerkenswert, daß die Ableitung von nk,

Φk ≡ −∂nk

∂ξk

=ξ2k

E2k

ϕk +∆2

k

2E3k

tanhEk

2kBT

bei allen Temperaturen T ≤ Tc der Summenregel∫ ∞

−∞dξkΦk = 1

genugt.

Fig. 34: Zur Ableitung Φk der Fermiverteilung

50

(Teilchenzahl–) Dichte der Bogoliubov–Quasiteilchen im thermischen Gleichgewicht:

νB(T ) =∑

kσ

νk

T→Tc= 3 ln 2 nkBT

µ

[1−O

(∆

kBT

)]

T→0= NFkBT lim

T→0Y (T )

Y (T ) =1

NF

∑

kσ

ϕk

Entropiedichte der Bogoliubov–Quasiteilchen (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 3):

σB(T ) = −kB1

V

∑

kσ

νk ln νk + (1− νk) ln(1− νk) =1

V

∑pσ

ξ2p

Tϕp

3.4.5 Mechanismen der Paarformation

Die Ursachen und Mechanismen fur die Paaranziehung Γ(s)kp < 0 sind unterschiedlich. Bei

konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, diePhononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventionellerSupraleiter (Schwere–Fermionen–, Hoch–Tc–Supraleiter, sowie in der superfluiden Fermifussigkeit3He), glaubt man heute, daß antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuatio-nen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen.Hier sind noch einige erganzende Ausfuhrungen anzufugen!

3.4.6 Losung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung

Gleichgewichts–Paaramplitude nach der Bogoliubov–Valatin–Transformation:

gk = ukvk (1− 2νk) = − ∆k

2Ek

tanhEk

2kBT

Gapgleichung bei T > 0:

∆k =∑p

Γkpgp = −∑p

Γkp∆p

2Ep

tanhEp

2kBT

Annahme 1: Paarwechselwirkung ist sehr klein

|NFΓ(s)kp| ¿ 1

(Limes schwacher Kopplung)Annahme 2: Paarwechselwirkung ist in einer Energieschale der Dicke εc ¿ EF um die Fer-mienergie attraktiv:

Γ(s)kp = −Γ(s)Θ(εc − |ξk|)Θ(εc − |ξp|)

fkfp

< f 2 >FS

δs,0 +fk · fp

< f2 >FS

δs,1

51

Losung der Energieluckengleichung bei T > 0 liefert (explizite Rechnung fur s–Wellen–Supraleiterfindet man im Anhang 5.8 fur unkonventionelle Supraleiter im Anhang 5.9):

1. die Sprungtemperatur

T (s)c =

2eγ

πεc exp

(− 1

NFΓ(s)

)

2. die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS–Muhlschlegel–Parameter:

a) den Sprung in der spezifischen Warme bei Tc

∆C

CN

=C(T−

c )− CN(T+c )

CN(T+c )

=3

2

8

7ζ(3)

< f 2p >2

FS

< f 4p >FS

b) die Energielucke bei T = 0

∆0(0)

kBTc

= π/ exp

γ +

< ∆2p ln ∆p

∆0>FS

< ∆2p >FS

.

Hier ist γ = 0.577 . . . die Eulersche Konstante, ζ(3) = 1.202 . . . die Riemannsche ζ–Funktion,< . . . >FS=

∫(dΩ/4π) . . . bedeutet eine Mittelung uber die Fermiflache und

CN(T ) = NFπ2k2

BT

3= γT

ist die Warmekapazitat des normalen Fermisystems mit γ der Sommerfeld–Konstante.

isotrop axial E1g E2u dx2−y2

127ζ(3)

107ζ(3)

65ζ(3)

286245ζ(3)

87ζ(3)

∆CCN

1.426 1.188 0.998 0.971 0.951

πeγ

πe5/6

2eγπe47/30

4eγ

√3πe177/70

18eγ2π

eγ+12

∆0(0)kBTc

1.764 2.029 2.112 2.128 2.140

Tabelle 6: Einige BCS–Muhlschlegel–Parameter fur paarkorrelierte Fermisysteme.

52

Zusammenfassung: Energielucke bei T → Tc und T → 0 (vgl. Anhange 4.9 und 1.10):

∆0(T ) =

πkBTc

√8

7ζ(3)

〈f2p〉FS

〈f4p〉FS

(1− T

Tc

); T → Tc

∆0(0) ; T → 0

Temperatur–Interpolation der maximalen Energielucke fur Temperaturen 0 ≤ T ≤ Tc:

∆0(T ) = ∆0(0) tanh

πkBTc

∆0(0)

√√√√2

3

∆C

CN

1

< f 2p >FS

(Tc

T− 1

)

Fig. 35: Zur Temperaturabhangigkeit der Energielucke

3.4.7 Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme

Ausgangspunkt: Impulssummationen (vgl. Anhang 6.2):

1

V

∑

kσ

f(k) =∫ dΩk

4π

∫ ∞

−µdξk D(µ + ξk) f(k)

Verallgemeinerung auf paarkorrelierte Fermisysteme:

1

V

∑

kσ

f(k) =∫

dEk D[µ + ξk]∫ dΩk

4π

dξk

dEk︸ ︷︷ ︸Ekξk

f(k)

=∫

dEk D(µ)∫ dΩk

4πRe

Ek√E2

k −∆k∆†k︸ ︷︷ ︸

Ns(Ek)

f(k)

f(k)=f(Ek)=

∫dEkNs(Ek) f(Ek)

Zustanddichte im Supraleiter:

Ns(Ek) = D(µ)∫ dΩk

4πRe

Ek√E2

k −∆k∆†k

Zustandsdichte fur den Fall spharischer Fermiflachen (d=3):

Ns(Ek)

D(µ)=

1

2Re

∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0

dϕ

2π

Ek√E2

k −∆20f

2(θ, ϕ)

x=cos θ=

Ek

∆0

1

2Re

∫ 1

−1dx

∫ 2π

0

dϕ

2π

1√(Ek

∆0

)2 − f 2(x, ϕ)

z=Ek/∆0=

1

2Re

∫ 1

−1dx

∫ 2π

0

dϕ

2π

z√z2 − f 2(x, ϕ)

53

Zustandsdichte fur den Fall zylindrischer Fermiflachen (d=2, vgl. Anhang 6.3):

Ns(Ek)

NF2

= Re∫ 2π

0

dϕ

2π

Ek√E2

k −∆20f

2(ϕ)

Spezialfalle:

1. Die Zustandsdichte isotroper Supraleiter: ∆k∆†k ≡ ∆2, f(x, ϕ) ≡ 1:

Ns(Ek) = D(µ) ReEk√

E2k −∆2

2. Energielucken mit Punktnoden (Axialer Zustand, f 2(x, ϕ) ≡ 1− x2):

Ns(Ek) = D(µ) ReEk

2∆0

ln(

Ek + ∆0

Ek −∆0

)

3. Energielucken mit Liniennoden (polarer Zustand, f(x, ϕ) ≡ x):

Ns(Ek) = D(µ) ReEk

∆0

arcsin(

∆0

Ek

)

4. Anisotrope Energielucke mit unterer Schranke (f(x, ϕ) = ∆min + (∆max −∆min) · |x|):

Ns(Ek) = D(µ) ReEk

∆max −∆min

[arcsin

∆max

Ek

− arcsin∆min

Ek

]

∆min→∆max=∆= D(µ) Re

Ek√E2

k −∆2

∆min→0= D(µ) Re

Ek

∆max

arcsin(

∆max

Ek

)

Fig. 36: Zustandsdichten fur verschiedene Supraleiter

3.5 BCS–Supraleiter in außeren Potentialen

Storpotentiale:

Ukσ = eφ− vk · e

cA− γh

2σ︸︷︷︸

=±1

B

Nambu–Darstellung:

Teilchen: e,k, σLocher: −e,−k,−σ

54

11. Vorlesung : Freitag, 4. Juli 2003, 8:30→ Storpotentiale im Nambu–Raum

Uk =

Uk↑︸︷︷︸Teilchen

−U−k↓︸ ︷︷ ︸Loecher

= U

(+)k

(1−1

)+ U

(−)k

(1

1

)

U(+)k =

1

2[Uk↑ + U−k↓] = eφ

U(−)k =

1

2[Uk↑ − U−k↓] = −vk

e

cA− γh

2B

BCS-Hamiltonoperator mit Storpotentialen

HBCS − µN + HU =∑

k

C†k ·

(ξk

+ Uk

)· Ck

=∑

k

C†k ·

(ξk + U

(+)k

)

︸ ︷︷ ︸≡Ξk

(1−1

)+ U

(−)k

(1

1

) · Ck

Zu diagonalisieren

ξk

+ Uk =

(Ξk ∆k

∆∗k −Ξk

)

︸ ︷︷ ︸1

+ U(−)k

(1

1

)

︸ ︷︷ ︸2

Term 1 wird diagonalisiert durch

Bk =

(u(Ξk) v(Ξk)−v∗(Ξk) u(Ξk)

)

Term 2 ist bereits diagonal.

B†k

(ξk

+ Uk

)Bk =

(E(Ξk) + U

(−)k

−E(Ξk) + U(−)k

)=

(Ek+

−Ek−

)

Verschobene Quasiteilchenenergien

Ek± =√

Ξ2k + ∆2

k ± U(−)k

Resultat der Diagonalisierung

HBCS − µN + HU = UBCS(0) +∑

k

α†k ·(

Ek+

−Ek−

)· αk

= UBCS(0) +∑

k

(Ek+α†k↑αk↑ + Ek−α†−k↓α−k↓

)

55

Verschobene BQT–Fermifunktionen⟨α†k↑αk↑

⟩= ν0(Ek+)

⟨α†−k↓α−k↓

⟩= ν0(Ek−)

Diagonale Impulsverteilungsfunktion

nk(Uk) = v2(Ξk) + u2(Ξk)ν0(Ek+)− v2(Ξk)ν

0(Ek−)

= v2(Ξk) +[u2(Ξk)− v2(Ξk)

]ν0(E(Ξk))︸ ︷︷ ︸

≡nk(Ξk)

+ [u2(Ξk) + v2(Ξk)]︸ ︷︷ ︸≡1

+∂ν0

k

∂Ek

U(−)k

= nk +∂nk

∂ξk

U(+)k +

∂ν0k

∂Ek

U(−)k

Ξk = ξk + U(+)k

BCS–Supraleiter im lokalen Gleichgewicht:

δnkσ = nk(Ukσ)− nk =∂nk

∂ξk

eφ− ∂ν0k

∂Ek

(vk · e

cA +

γh

2σB

)

3.6 Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme

Vorbemerkung: Das Vorgehen in diesem Abschnitt ist identisch mit dem im Fall normalerFermisysteme (vgl. Abschnitt 3.2). Der Unterschied zwischen paarkorrelierten und normalenSystemen tritt bei der Transformation der Teilchen–Loch–Anregungen auf Quasiteilchenoper-atoren auf.

3.6.1 Warmekapazitat

Entropieanderung

TδσB = −kBT

V

∑pσ

δνpσ lnνp

1− νp︸ ︷︷ ︸≡− Ep

kBT

=1

V

∑pσ

Epδνpσ

=1

V

∑pσ

Epδνpσ

δT︸ ︷︷ ︸

CB(T )

δT

= CB(T )δT

56

Berechnung von δνpσ:

δνpσ = ν

Ep + ∂Ep

∂TδT

kB(T + δT )

− νp

= ν

Ep −

[Ep

T− ∂Ep

∂T

]δT

kBT

− νp

= ϕp

(Ep

T− ∂Ep

∂T

)δT

= ϕp

(Ep

T− 1

2Ep

∂∆2p

∂T

)δT

Warmekapazitat der Bogoliubov–Quasiteilchen:

CB(T ) =1

V

∑pσ

ϕp

(E2

p

T− 1

2

∂∆2p

∂T

)

Fig. 37: Zur spezifischen Warme der thermischen Anregungen

Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:

Fig. 38: Spezifische Warme in Aluminium

Fig. 39: Spezifische Warme in Vanadium und YBCO

Fig. 40: Spezifische Warme in UBe13

Fig. 41: Spezifische Warme in YBCO und Sr2RuO4

3.6.2 Spinsuszeptibilitat

Spin–Magnetisierung:

M =1

V

∑pσ

γh

2σδnpσ

=

(γh

2

)21

V

∑pσ

ϕp B

= χB(T )B

57

Spinsuszeptibilitat der Bogoliubov–Quasiteilchen:

χB(T ) =

(γh

2

)21

V

∑pσ

ϕp =

(γh

2

)2

NFY (T )

Quasiteilchen–Yosida–Funktion

Y (T ) =1

NF

∑pσ

ϕp =∫ ∞

−∞dξp

∫ dΩp

4πϕp

Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen fur isotrope Energielucken ∆k =∆ ist thermisch aktiviert,

limT→0

Y (T ) = Y0(T ) =(

2π∆

kBT

) 12

exp(− ∆

kBT

)

und damit qualitativ unterschiedlich von dem fur Energielucken mit Nodenstruktur. Im let-zteren Fall existieren thermische Anregungen bei tiefen Temperaturen kBT ≤ ∆0 besonders inder Umgebung der Noden, was zu den Potenzgesetzen fur die Responsefunktionen fuhrt.

Fig. 42: Zur Quasiteilchen–Yosida–Funktion

Fig. 43: Zur Quasiteilchen–Spinsuszeptibilitat

Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:

Fig. 44: Zur Spinsuszeptibilitat von Aluminium

Fig. 45: Zur Spinsuszeptibilitat von GdBa2Cu3O7

Fig. 46: Zur Spinsuszeptibilitat von 3He–B

Fig. 47: Experimentelle Resultate zur Spinsuszeptibilitat

12. Vorlesung : Donnerstag, 10. Juli 2003, 15:00

58

3.6.3 Dichteresponse

Ladungsdichteanderung

δne = e∑pσ

δnpσ

= e∑pσ

Φp(−eφ)

= χee(−φ)

Ladungssuszeptibilitatχee = e2NF

Kommentar: Resultat ist identisch mit dem fur das normale Fermisystem.

3.6.4 London–BCS–Suprastrom

Elektronische (Ladungs–) Stromdichte (vgl. Abschnitt 3.2):

jse = e∑pσ

vpδnpσ − ne2

mcA

= e∑pσ

ϕpvp : vpe

cA− e

∑pσ

Φpvp : vpe

cA

= −e2

cKs ·A

Suprastromresponse–TensorKs =

∑pσ

[Φp − ϕp]vp : vp

Spezialfall: isotrope Supraleiter

Ks(T ) =ns(T )

m1

ns(T ) = n[1− Y (T )]

Nota bene: Der Ausdruck fur den BCS–Suprastrom jse ist nicht eichinvariant!

3.6.5 Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe

Annahmen:(i) uniaxiale Anisotropie (Achse n) der Fermiflache (n = a, b, c, mit a, b, c den Kristallachsen)oder(ii) uniaxiale Anisotropie (Achse n) der Energielucke (n = ˆ).

Man hat dannKs

ij = Ks‖ ninj + Ks

⊥ [δij − ninj] .

59

Der London–BCS–Strom, in die Maxwell–Gleichung

∇×B =4π

cjse

eingesetzt, beschreibt die Magnetfeldabschirmung des Supraleiters, charakterisiert durch diebeiden London–BCS–Eindringtiefen

λ2L‖,⊥ =

c2

4πe2Ks‖,⊥

Fur isotrope Fermisysteme ist

Ks‖ = Ks

⊥ =ns

m

mit der superfluiden Dichtens = n[1− Y (T )] .

Fig. 48: Zur London–Eindringtiefe einiger Supraleiter

Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:

Fig. 49: Zur London–Eindringtiefe von Quecksilber

Fig. 50: Zur London–Eindringtiefe von Blei

Fig. 51: Experimentelle Resultate zur London–Eindringtiefe

Fig. 52: Zur London–Eindringtiefe von YBCO

Fig. 53: Zur London–Eindringtiefe von YBCO mit Impurities

Fig. 54: Zur London–Eindringtiefe von Sr2RuO4

60

In Tabelle 7 sind analytische Resultate fur das Tieftemperaturverhalten der drei oben abgeleit-eten Responsefunktionen fur einige supraleitende und superfluide Systeme zusammengestellt.

Große isotrop axial E1g E2u dx2−y2

CB(T )CN(T )

3Y (T )(

∆0

πkBT

)27π2

5

(kBT∆0

)2 27ζ(3)4π

(kBT∆0

)1 27ζ(3)

2π√

3

(kBT∆0

)1 27ζ(3)π2

(kBT∆0

)1

χB(T )χN

Y0(T ) π2

3

(kBT∆0

)2π2

ln 2(

kBT∆0

)1π√3ln 2

(kBT∆0

)12 ln 2

(kBT∆0

)1

δλL‖(T )

λL(0)12Y0(T ) π2

2

(kBT∆0

)2π2

8

(kBT∆0

)2 π ln(2)

2√

3

(kBT∆0

)1–

δλL⊥(T )λL(0)

12Y0(T ) 7π4

30

(kBT∆0

)4 3π ln(2)8

(kBT∆0

)1 π ln(2)

2√

3

(kBT∆0

)1ln 2

(kBT∆0

)1

Tabelle 7: Tieftemperaturverhalten einiger paarkorrelierter Fermisysteme

3.7 Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie

Problem mit den BCS–Resultaten fur δne und jse:

1. Wegen der lokalen und stationaren Beschreibung im Limes q → 0 und ω → 0 fehlen dieGradienten und Zeitableitungen der Phasenvariable ϕ, welche die gebrochene Eichsymmetriebeim supraleitenden Phasenubergang beschreibt.

2. Der London–Suprastrom verschwindet im Fall ungeladener Fermionen, welches eine Anwen-dung auf ungeladene Fermisysteme nicht zulaßt.

Daher

Eichtransformation im Dichteresponse:

δn = NF (−eφ + δµ)

δµ =e

c

∂Λ

∂t= − h

2

∂ϕ

∂t

Eichtransformation im Stromresponse:

jse = eKs ·(ps − e

cA

)

ps = −e

c∇Λ =

h

2∇ϕ

61

Beschleunigung des Kondensats:

∂ps

∂t= −e

c∇∂Λ

∂t= −∇δµ

Ziel: Ausdrucken von δµ durch physikalische Observable:

δµ = eφ +δn

NF

= eφ +δP

n

Nota bene: Hier ist die Relation zwischen Druck und Dichteanderung

δP = c2 δ%︸︷︷︸mδn

= nδn

NF

mit c2 = v2F/3 dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit verwendet worden.

Physikalische Interpretation: vgl. Abschnitt uber London–BCS Theorie, Josephson–Gleichung.

Beschleunigungsgleichung fur ps:

∂ps

∂t= −∇

(eφ +

δn

NF

)= −∇

(eφ +

δP

n

)

Beschleunigung des Suprastroms:

∂jse∂t

= eKs ·(

∂ps

∂t− e

c

∂A

∂t

)

= eKs ·(eE−∇δP

n

)

= eKs ·(eE−∇ δn

NF

)

Physikalische Interpretation:

A. Geladene Systeme: longitudinale London–Gleichung

∂jse∂t

= e2Ks · EIsotrope Fermisysteme (Ks → ns/m)

∂jse∂t

=nse2

mE

B. Neutrale Systeme: Massenstrom jsm = (m/e)jse:

∂gs

∂t= −mKs∇δP

n= −mKs∇ δn

NF

Isotrope Fermisysteme (Ks → ns/m)

∂gs

∂t= −ns

n∇δP = −ns∇ δn

NF

62

4 Anhange

4.1 Gegenuberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI

GROSSE CGS SI

Lichtgeschwindigkeit c2 1µ0ε0

Elektrisches Feld E = −∇Φ− 1c

∂A∂t

E = −∇Φ− ∂A∂t

Magnetfeld H H

Elektrische Verschiebung D = E + 4πP D = ε0E + P

Magnetische Induktion B = H + 4πM B = µ0H + M

Ampere–Gesetz ∇×H = 4πc

(je + 1

4π∂D∂t

)∇×B = µ0

(je + ∂D

∂t

)

Faraday–Gesetz ∇× E = −1c

∂B∂t

∇× E = −∂B∂t

Coulomb–Gesetz ∇ ·D = 4πne ∇ ·D = ne

Plasmafrequenz ω2p = 4πne2

mω2

p = ne2

ε0m

Coulomb–WW V (r) = e2

|r| V (r) = e2

4πε0|r|

Coulomb–WW V (q) = 4πe2

q2 V (q) = e2

ε0q2

London-Eindringtiefe λ2L = mc2

4πnse2 = c2

ω2p

λ2L = m

µ0nse2 = 1µ0ε0ω2

p

Fluxoid–Quant φ0 = hcQ

φ0 = hQ

Tabelle A1: CGS vs. SI–Einheiten

63

4.2 Fermisysteme in d Raumdimensionen

Ausgangspunkt: d–dimensionaler Hyperkubus der Lange L und des Volumens Ld

Erlaubte Quantenzustande, charakterisiert durch diskrete Wellenzahlen (periodische Randbe-dingungen):

ki =(

2π

L

)ni ; i = 1, 2, . . . d

Auswertung von Impulssummen Sf:Sf ≡ ∑

σ

∑

k

f(k)

=∑σ

∑n1,n2,...nd

f(

2π

Ln

)

=∑σ

∫ddnf

(2π

Ln

)

=∑σ

(L

2π

)d ∫ddkf(k)

=∑σ

(L

2π

)d ∫ ∞

0dkkd−1

︸ ︷︷ ︸magnitude

∫dd−1Ωk

︸ ︷︷ ︸angle

f(k)

=∑σ

(L

2π

)d

Sd

∫ ∞

0dkkd−1

∫ dd−1Ωk

Sd

f(k)

Oberflache Sd der d–dimensionalen Einheitskugel:

Sd =∫

dd−1Ω =2π

d2

Γ(

d2

)

Volumen Vd der d–dimensionalen Einheitskugel:

Vd =Sd

d=

2πd2

d Γ(

d2

)

Spezialfalle:

d Sd Vd

1 2 2

2 2π π

3 4π 43π

4 2π2 π2

2

64

Tabelle A2: Sd und Vd verschiedenen Raumdimensionen

Fig. A1: Die Abhangigkeit von Sd und Vd von d

Annahme: Spektrum freier Fermionen:

εk =h2k2

2m= ξk + µ

Umwandlung von Impulssummen in Integrale uber Energieen εk, ξk:

Sf = Ld∫ ∞

0dεk Sd

∑σ

m(2mεk)d2−1

(2πh)d

︸ ︷︷ ︸Nd(εk)

∫ dd−1Ωk

Sd

f(k)

= Ld∫ ∞

−µdξk Sd

∑σ

m[2m(µ + ξk)]d2−1

(2πh)d

︸ ︷︷ ︸Nd(µ+ξk)

∫ dd−1Ωk

Sd

f(k)

Definition: Zustandsdichte (DOS) in d Dimensionen (2 Spinprojektionen)

Nd(µ + ξk) = 2Sdm[2m(µ + ξk)]

d2−1

(2πh)d

Spezialfall: DOS an der Fermienergie:

NFd ≡ Nd(µ) = 2Sdm[2m(µ)]

d2−1

(2πh)d

Umschreibung der Impulssummen (s = S/Ld)

sf ≡ SfLd

=∫ ∞

−µdξkNd(µ + ξk)

∫ dd−1Ω

Sd

f(k)

Beispiele fur Nd(µ + ξk)

d Nd(µ + ξk)

1 2mπh

1√2m(µ+ξk)

2 mπh2

3m√

2m(µ+ξk)

π2h3

Tabelle A3: Nd(µ + ξk) in verschiedenen Raumdimensionen

65

Einige wichtige Beziehungen:

Teilchenzahldichte in d Dimensionen:

nd =N

Ld

Fermi–Wellenzahl kFd in d Dimensionen:

nd =1

Ld

∑

kσ

Θ(k − kFd) = 2

(kFd

2π

)d

Vd →

kFd =

1

2

(2π)d

Vd

nd

1d

Fermigeschwindigkeit vFd in d Dimensionen:

vFd =hkFd

m

Fermienergie EFd in d Dimensionen:

EFd =h2k2

Fd

2m

Eigenschaften:

NFdv2Fd = d

nd

m

NFdEFd =d

2nd

4.3 Elektromagnetischer Response in Normalmetallen

Ziel: Vollstandige phanomenologische Behandlung der elektromagnetischen Antwort eines elek-tronischen Systems in einem Normalmetall, bei der sowohl die Coulomb–Abstoßung der Elek-tronen in einer Mittleren–Feld– (Hartree–) Naherung, als auch Stoßprozesse der Elektronenberucksichtigt werden. Resultate dieser Rechnungen sind die elektronische Ladungsdichte–Antwortfunktion (Lindhard–Mermin–Tensor) in Gegenwart von Stoßprozessen und die dy-namische elektronische Leitfahigkeit sowie deren allgemeiner Zusammenhang.

Motivation: Diese Rechnungen sind motiviert durch die Tatsache, daß diese Resultate, zumin-dest aufgrund meines Kenntnisstands, in keinem Lehrbuch uber Festkorper– oder Metallphysikzu finden sind.

Ausgangspunkt: Maxwell–Gleichungen

∇×H(r, t) =4π

cje(r, t) +

1

c

∂D(r, t)

∂tAmpere

66

∇× E(r, t) = −1

c

∂B(r, t)

∂tFaraday

∇ ·B(r, t) = 0 Quellfreiheit von B

∇ ·D(r, t) = 4πne(r, t) Coulomb

Elektronische Ladungsdichte:

ne(r, t) = %ext + ne + δne(r, t)

Nota bene: In einem Metall gilt Ladungsneutralitat, d. h. die elektronische Ladungsdichte neim Gleichgewicht wird durch die positive Ladung der Gitterionen–Rumpfe kompensiert. Daherspielt fur die Elektrodynamik von Metallen nur die Ladungs–Dichtefluktuation δne(r, t) eineRolle. %ext bezeichnet die Ladungsdichte, welche die Quelle der außeren elektrischen Feldstarkedarstellt.

Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)): D und E

D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)

Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):

B(r, t) = B(r, t) + 4πM(r, t)

Quellfreiheit von B(r, t) →B(r, t) = ∇×A(r, t)

Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).

Eichtransformation des Vektorpotentials:

A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)

Bedeutung der elektrischen Feldstarke E(r, r): von außen an die Metallprobe angelegtes elek-trisches Feld, welches als quellfrei angenommen wird.Faraday →

∇×[E(r, t) +

1

c

∂A(r, t)

∂t

]

︸ ︷︷ ︸−∇·φ(r,t)

= 0

E(r, t) = −∇φ(r, t)− 1

c

∂A(r, t)

∂t

E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.

Nota bene: Das skalare Potential is unbestimmt bis auf die zeitliche Anderung einer beliebi-gen Phase Λ(r, t).

67

Eichtransformation des skalaren Potentials:

φ′(r, t) = φ(r, t)− 1

c

∂Λ(r, t)

∂t

Konsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezglich Eich-transformationen (Eichinvarianz):

B′(r, t) = B(r, t)

E′(r, t) = E(r, t)

Bedeutung der elektrischen Polarisierbarkeit P(r, r): die durch die Anwesenheit von elektron-ischen Ladungsdichtefluktuationen hervorgerufene Polarisation des Mediums:

δne(r, t) = ∇ ·P(r, t)

Bedeutung der magnetischen Feldstarke H(r, t): von außen an die Metallprobe angelegtesMagnetfeld.

Phanomenologischer elektronischer Suszeptibilitatstensor:

P(r, t) =↔χee ·E(r, t)

Phanomenologischer magnetischer Suszeptibilitatstensor:

M(r, t) =↔χmm ·H(r, t)

Dielektrizitatstensor:

D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t) ≡↔ε ·E(r, t)↔ε = 1 + 4π

↔χee

Zeitableitung des Coulomb–Gesetzes:

∂ne(r, t)

∂t=

∂δne(r, t)

∂t

=1

4π∇ · ∂D(r, t)

∂t

=c

4π∇ ·

∇×H(r, t)− 4π

cje(r, t)

= −∇ · je(r, t)Kontinuitatsgleichung fur die Ladungsdichte:

∂δne(r, t)

∂t+∇ · je(r, t) = 0

Problem: Berechnung der elektronischen Stromdichte je(r, t). Dies ist Gegenstand der Trans-porttheorie, welche sich technischer Hilfsmittel wie Greensfunktionen und Kubo– Formeln oder

68

der Landau– Boltzmann– Transportgleichung bedient. Bei letzterer Methode kommt es ins-besondere auf die (naherungsweise) Behandlung des Stoßintegrals und dessen Kompatibilitatmit den Erhaltungseigenschaften des Fermisystems an. Wir wollen annehmen, daß die elektro-nische Stromdichte einer Relaxationsgleichung der Form

∂je(r, t)

∂t+∇ ·Π(r, t) = en

eD(r, t)

m− je(r, t)

τe1

genugt.Hier bedeutet 1/τe1 die Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):

1

τe1

=1

τ ee1

+1

τ ie1

1/τ ee1 beschreibt elastische Streuung der Ladungstrager an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.

1/τ ie1 beschreibt inelastische Streuung der Ladungstrager an Phononen, Spinfluktuationen, etc.

Nota bene: Zweiteilchenstoße fuhren nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).

Weiterhin reprasentiert Π(r, t) die elektronische Impulsstromdichte (Spannungstensor), welchesich in der folgenden Weise in einen reaktiven diagonalen (Druck δP (r, t)) und einen dissipativenspurfreien (Π′(r, t)) Anteil aufspalten laßt:

Π(r, t) =e

mδP (r, t)1 + Π′(r, t)

Die Druckanderung δP (r, t) laßt sich uber die hydrodynamische Schallgeschwindigkeit cs

c2s =

v2F

3=

n

mNF

durch die Dichteanderung ausdrucken:

e

mδP (r, t) = c2

sδne(r, t) =n

m

δne(r, t)

NF

Hier bedeuten vF die Fermigeschwindigkeit und NF die elektronische Zustandsdichte an derFermikante fur beide Spinprojektionen.

Nach Einsetzen in die Relaxationsgleichung hat man:(

∂

∂t+

1

τe1

)je(r, t) +∇ ·Π′(r, t) =

n

me2D(r, t)− e∇δP (r, t)

=ne2

m

(D(r, t)−∇δne(r, t)

NFe2

)

69

Im Folgenden werden wir den dissipativen Anteil zum Spannungstensorfeld, welcher mit derelektronischen Scherviskositat verknupft ist, vernachlassigen und uns der Losung der resul-tierenden Differentialgleichung widmen. Wir fuhren eine effektive elektrische Feldstarke einuber:

D′(r, t) ≡ D(r, t)−∇δne(r, t)

NFe2

Dann lautet unsere Relaxationsgleichung:[

∂

∂t+

1

τe1

]je(r, t) =

ne2

mD′(r, t)

Annahme: harmonische Zeitabhangigkeit der effektiven elektrischen Feldstarke:

D′(r, t) = D′0(r)e

−iωt

je(r, t) = e−t/τe1

je(r, 0)−

ne2

m

−iω + 1τe1

D′0(r)

︸ ︷︷ ︸klingt ab

+ne2

m

−iω + 1τe1

D′(r, t)

︸ ︷︷ ︸“steady state′′

tÀτtr=ne2

m

−iω + 1τe1︸ ︷︷ ︸

σ(ω)

D′(r, t) ω→0=

ne2

mτe1

︸ ︷︷ ︸σ0

D′(r, t) Drude

Stromdichte im Fall t À τe1 (Drude):

je(r, t)tÀτe1= σe(ω)D′(r, t)

Drude–Leitfahigkeit

σe(ω) =ne2

m

11

τe1− iω

Fur Zeiten t À τ−1e1 lautet dann die sog. konstitutive Gleichung fur die elektronische Stromdichte:

je(r, t) = σ(ω)D(r, t)− σ(ω)

NFe2∇δne(r, t)

Benutzt man die Identitat NFv2F/3 = n/m, und definiert man eine Diffusionskonstante uber

D(ω) ≡ σ(ω)

NFe2=

v2F

3

1

−iω + 1τe1

=c2s

−iω + 1τe1

so erhalt man die konstitutive Gleichung fur die Stromdichte in der Form:

je(r, t) = σ(ω)D(r, t)︸ ︷︷ ︸Drude−Gesetz

−D(ω)∇δne(r, t)︸ ︷︷ ︸Ficksches Gesetz

70

Interpretation: Strome werden sowohl durch die treibende elektrische Verschiebung als auchdurch Gradienten in der Ladungsdichte hervorgerufen.

Nota bene: Dies ist eine Differentialgleichung in Ortsraum (Drude + Ficksche Diffusions–Differentialgleichung).

Losung dieser Gleichung im Fourier–Raum:

s(r, t) = s0 eiq·r−iωt ; S(r, t) = S0 eiq·r−iωt

wobei s = δne, φ, . . . und S = je,D, . . . bedeutet. Dann ist zu losen:

je = σ(ω)D−D(ω)iqδne

Kontinuitatsgleichung liefert Dichtefluktuation δne:

δne =iq · je

iω

=1

iω

[σ(ω)iq ·D + D(ω)q2δne

]

(1− D(ω)q2

iω

)δne =

σ(ω)

iωiq ·D

δne =σ(ω)

iω −D(ω)q2iq ·D

= e2 NFD(ω)

iω −D(ω)q2

︸ ︷︷ ︸χ0(q,ω)

iq ·D

= e2χ0(q, ω)iq ·DDichteresponse:

δne = e2χ0(q, ω)iq ·DDichte–Suszeptibilitat

χ0(q, ω) =1

e2

σ(ω)

iω −D(ω)q2

= NFD(ω)

iω −D(ω)q2

= NF

c2s

−iω−iω+1/τe1

ω2 − c2sq

2 −iω−iω+1/τe1

Interpretation: Die Dichte–Suszeptibilitat χ0(q, ω) weist bei hydrodynamischen Frequenzen(ω < τ−1

e1 ) einen sog. Diffusionspol auf, wenn

ω = −iD(ω)q2

71

Dies ist eine direkte Konsequenz der Ladungserhaltung im Metall. Im stoßlosen Bereich (ω Àτ−1e1 ) dagegen beschreibt der Pol der Ladungs–Suszeptibilitat die (kollektive) Schallanregung

des elektronischen Systems:

ω2 = c2sq

2 ; c2s =

v2F

3

Folglich beschreibt χ0(q, ω) den Ubergang von diffusivem zu reaktiven Verhalten in der Dyamikdes Elektronensystems im quasiklassischen Limes ω ¿ EF/h, |q| ¿ kF.

Nota bene: im stoßlosen Limes (τe1 →∞) lautet die Dichte Suszeptibilitat

χ0∞(q, ω) = lim

τe1→∞χ0(q, ω) = NF

c2s

ω2 − c2sq

2

Man beachte, daß die Dichte–Suszeptibilitat mit Stoßen sich nicht durch die Ersetzung ω →z = ω + i/τe1 in der Funktion χ0

∞(q, ω) ergibt:

χ0(q, ω) 6= χ0∞(q, z) ; z = ω +

i

τe1

Homogener Limes q → 0 von χ0(q, ω):

χ0(q → 0, ω) = NFc2s

ω2 + iωτe1

=n

m

1

ω2 + iωτe1

Behandlung der Stromdichte:

Multiplikation der Gleichung fur je mit q : q (longitudinale Projektion):

q(q · je) = σ(ω)q(q ·D)−D(ω) iqδne

= σ(ω)q(q ·D)−D(ω)iqσ(ω)

iω −D(ω)q2iq ·D

︸ ︷︷ ︸≡δne

= σ(ω)q(q ·D)− σ(ω)D(ω)q2

iω −D(ω)q2q(q ·D)

= σ(ω)

(1− D(ω)q2

iω −D(ω)q2

)q(q ·D)

=iωσ(ω)

iω −D(ω)q2q(q ·D)

= iωe2 NFD(ω)

iω −D(ω)q2

︸ ︷︷ ︸χ0(q,ω)

q(q ·D)

= iωe2χ0(q, ω)q(q ·D)

Multiplikation der Gleichung fur je mit 1− q : q (transversale Projektion):

(1− q : q) · je = σ(ω)(1− q : q) ·D

72

Addition dieser Resultate liefert die totale Stromdichte:

je = σ(ω)

(1− q : q) +

iω

iω −D(ω)q2q : q

·D

=σ(ω)(1− q : q) + iωe2χ0(q, ω)q : q

·D

=σ0⊥(ω)(1− q : q) + σ0

‖(q, ω)q : q·D

σ0⊥(ω) = σ(ω) =

ne2

m

1

−iω + 1τe1

σ0‖(q, ω) = σ(ω)

iω

iω −D(ω)q2= iωe2χ0(q, ω)

Letzter Schritt: Coulomb–Gesetz:

iq ·D = iq · E + 4πδne

= iq ·

E +

4πe2

q2︸ ︷︷ ︸V (q)

(−iq)δne

e2

= iq ·E− V (q)iq

δne

e2

Elektrische Verschiebung:

q(q ·D) = q(q · E)− V (q)iqδne

e2

= q(q · E)− iqV (q)

e2e2χ0(q, ω)iq ·D

= q(q · E) + V (q)χ0(q, ω)q2q(q ·D)(1− V (q)χ0(q, ω)q2

)q(q ·D) = q(q · E)

q(q ·D) =q(q · E)

1− V (q)χ0(q, ω)q2

Definition: Freie Lindhard–Mermin–Funktion:

L0(q, ω) = χ0(q, ω)q2

= NFD(ω)q2

iω −D(ω)q2

= NF

c2sq

2 −iω−iω+1/τe1

ω2 − c2sq

2 −iω−iω+1/τe1

Nota bene: Die Lindhard–Mermin–Funktion unterscheidet sich von der gewohnlichen Lindhard–Funktion durch die gleichzeitige Berucksichtigung von Stoßprozessen und der Ladungserhal-tung.

73

Definition: Abschirmungsfunktion (dielektrische Funktion):

ε(q, ω) = 1− V (q)L0(q, ω)

Dielektrische Funktion, ausgedruckt durch die longitudinale Leitfahigkeit:

ε(q, ω) = 1− V (q) χ0(q, ω)︸ ︷︷ ︸σ0‖(q,ω)/iωe2

q2

= 1 +4πiσ0

‖(q, ω)

ω

= 1 +4πiσ‖(q, ω)

ωε(q, ω)

ε(q, ω) = 1 +4πiσ0

‖(q, ω)

ω

=1

1− 4πiσ‖(q,ω)

ω

Daher hat man in allen Gleichungen zu ersetzen:

q(q ·D) =q(q · E)

ε(q, ω)

Dichteresponse:δne = e2χ(q, ω)iq · E

Renormierte Ladungssuszeptibilitat:

χ(q, ω) =χ0(q, ω)

ε(q, ω)=

χ0(q, ω)

1− V (q)L0(q, ω)

Umschreibung der renormierten Ladungssuszeptibilitat:

χ(q, ω) = NF

c2s

−iω−iω+1/τe1

ω2 −ω2

p + c2sq

2

−iω−iω+1/τe1

ω2p =

4πne2

m

Nota bene: Langreichweitige Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen bewirkt die Ver-schiebung der elektronischen diffusiven Mode/Schallmode zur Plasmafrequenz!

Dichte–Response im Fall A → 0:

E → −iqφ

δne = e2L(q, ω)φ

74

Renormierte Lindhard–Mermin Funktion

L(q, ω) =L0(q, ω)

ε(q, ω)

= NF

c2sq

2 −iω−iω+1/τe1

ω2 −ω2

p + c2sq

2

−iω−iω+1/τe1

Identifikation der phanomenologischen Ladungssuszeptibilitat↔χee:

δne = iq ·P= iqχeeE

= iqe2χ(q, ω)E

χee ≡ e2χ(q, ω)

Identifikation des elektronischen Suszeptibilitatstensors↔ε

↔ε=

1

ε(q, ω)1

Stromresponse:

je = σ⊥(ω)(1− q : q) · E + σ‖(q, ω)q(q · E)

Transversale dynamische Leitfahigkeit:

σ⊥(ω) = σ0⊥(ω) = σ(ω) =

ne2

m

1

−iω + 1τe1

Longitudinale dynamische Leitfahigkeit:

σ‖(q, ω) =σ(ω)

ε(q, ω)

iω

iω −D(ω)q2

= iωe2NF

D(ω)iω−D(ω)q2

ε(q, ω)

= iωe2χ(q, ω)

4.4 Die Hydrodynamik neutraler Flussigkeiten

Eine Flussigkeit (Gas) sei durch die Massendichte

nm(r, t) ≡ %(r, t) = mn(r, t)

spezifiziert. Die Erhaltung der Masse (Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitatsgleichungbeschrieben:

∂%(r, t)

∂t+∇ · jm(r, t) = 0

75

Massenstromdichte oder Impulsdichte:

jm(r, t) = %(r, t)v(r, t)

v(r, t) ist das Geschwindigkeitsfeld der Flussigkeit.

Verallgemeinerung der Newtonschen Beschleunigungsgleichung:

%dv

dt= −∇P + %g

P (r, t) ist der Druck auf die Flussigkeit und g ist die Gravitationsbeschleunigung.

Berechnung der totalen Ableitung:

dvµ

dt=

3∑

i=1

∂vµ

∂xi

∂xi

∂t

=3∑

i=1

vi∂

∂xi

vµ

= (v · ∇)vµ

Resultat: Eulergleichung der Hydodynamik

∂v

∂t+ (v · ∇)v ≡ dv

dt= −1

%∇P + g

Spezialfall: Hydrostatik∇P (r, t) = %(r, t)g

Alternative Form der Eulergleichung: Erhaltungssatz fur die Impulsdichte

∂jmµ(r, t)

∂t+

∂Πµν(r, t)

∂xν

= 0

Πµν : Tensor der Impulsstromdichte (Spannungstensor).

Identifikation der Form von Πµν :

∂

∂t(%vµ) = vµ

∂%

∂t+ %

∂vµ

∂t

= −vµ∂(%vν)

∂xν

+ %

(−vν

∂vµ

∂xν

− 1

%

∂P

∂xµ

)

= − ∂P

∂xµ

− vµ∂(%vν)

∂xν

− %vν∂vµ

∂xν

= − ∂P

∂xµ

− ∂

∂xν

(%vνvµ)

= − ∂

∂xν

Pδµν + %vµvν

76

Resultat: Impulsstromdichte (Spannungstensor)

Πµν = Pδµν + %vµvν

Zahe Flussigkeiten: Impulsstromrelaxation:

Πµν = Pδµν + %vµvν + Π′µν

Dissipativer Anteil des Impulsstroms:

Π′µν = −η

∂vµ

∂xν

+∂vν

∂xµ

− 2

3δµν(∇ · v)

− ζδµν(∇ · v)

Transportparameter: η = Scherviskositat, ζ = Volumenviskositat.

Einsetzen in den Erhaltungssatz fur die Impulsdichte

−∂Π′µν

∂xν

= η∂

∂xν

∂vµ

∂xν

+∂vν

∂xµ

− 2

3δµν(∇ · v)

+ ζ

∂

∂xµ

(∇ · v)

= η

∂2vµ

∂x2ν

+∂

∂xµ

(∇ · v)− 2

3

∂

∂xµ

(∇ · v)

+ ζ

∂

∂xµ

(∇ · v)

= η∇2vµ +(ζ +

η

3

)∂

∂xµ

(∇ · v)

Navier–Stokes–Gleichung fur zahe Flussigkeiten und Gase

∂v

∂t+ (v · ∇)v ≡ dv

dt= −1

%∇P + g +

η

%∇2v +

1

%

(ζ +

η

3

)∇(∇ · v)

Spezialfall: inkompressible Flussigkeiten:

∂%(r, t)

∂t= 0 → ∇ · v(r, t) = 0

Navier–Stokes–Gleichung fur inkompressible Flussigkeiten

%

dv

dt− η

%∇2v

= %

∂v

∂t+ (v · ∇)v − η

%∇2v

= −∇P + %g

4.5 London–Theorie fur die Bose–Supraflussigkeit 4He

Hier gilt:

k = 1

e = 0

M = m4

N s = ns4

δµ = δµ4

Js = js4Js

M = jsm

77

Der Teilchen–Suprastrom:js4 = ns

4vs

Superfluide Geschwindigkeit:

vs =h

m4

∇ϕ

Wichtige Eigenschaft:∇× vs = 0

Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:

−h∂ϕ

∂t= δµ4 +

1

2m4v

s2

Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:

∂vs

∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs

dt= − 1

m4

∇δµ4 = − 1

m4n∇δP − σ0δT

Der Massen–Suprastrom:gs = m4j

s4 = m4n

s4v

s = ns4h∇ϕ

Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))

∂gs

∂t= −ns

4∇µ4 = −ns4

n∇δP − σ0δT

4.6 London–Theorie der geladenen Bose–Supraflussigkeit

Die Form der London–Theorie aus Kapitel 3.2.2 laßt sich auf die Supraleitung eines hypo-thetischen Bose–Kondensats aus Teilchen der Ladung q anwenden. Man hat zu identifizieren:

k = 1

Q = q

Der Teilchen–Suprastrom:js = nsvs

Superfluide Geschwindigkeit:

vs =1

m

∇S − q

cA

Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:

−h∂ϕ

∂t= qΦ +

1

2mvs2

Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:

∂vs

∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs

dt=

q

m

E +

1

cvs ×B

78

Der Ladungs–Suprastrom:

jsq = qjs = qnsvs =nsq

m

∇S − q

cA

Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))

∂jsq∂t

=nsq

mE

Zweite London–Gleichung:

∇× jsq = −nsq2

mcB

Londonsche Eindringtiefe:

λL =

√mc2

4πnsq2

Fluxoid–Quantum

Φ0 =hc

q

4.7 Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung

Ziel: Beschreibung von N ≈ 1023 Fermionen (Elektronen, 3He–Atome, Neutronen, etc.).

Zur Erinnerung: Vielteilchenaspekt der London–Theorie:

Wahrscheinlichkeutsdichte np(r, t) → Kondensat− Teilchenzahldichte N s(r, t)

N s(r, t) unbekannt.

Quantenmechanische Beschreibung von Vielteilchensystemen

Ausgangspunkt: Teilchen 1 und 2 in Einteilchenzustanden φa und φb.

Zweiteilchenzustande beschrieben durch ψαβ(1, 2), α = a, b, β = a, b.

Unterscheidbare Teilchen:

|ψαβ(1, 2)|2 6= |ψαβ(2, 1)|2 ; α, β = a, b

Ununterscheidbare Teilchen:

|ψαβ(1, 2)|2 = |ψαβ(2, 1)|2 ; α, β = a, b

79

Vertauschungsoperator (Permutation) fur ununterscheidbare Teilchen:

Pψαβ(1, 2) = ψαβ(2, 1) = eiζψαβ(1, 2)

Pψαβ(2, 1) = ψαβ(1, 2) = e2iζψαβ(1, 2) ; α, β = a, b →eiζ =

+1 (ζ = 0) Bosonen−1 (ζ = π) Fermionen

Vergleich: klass. Teilchen, Bosonen, Fermionen

a) zwei klassische (unterscheidbare) Teilchen 1, 2 in Zustanden (a, b): vier Moglichkeiten

ψαβ(1, 2) = φa(1)φa(2)

ψαβ(1, 2) = φa(1)φb(2)

ψαβ(1, 2) = φa(2)φb(1)

ψαβ(1, 2) = φb(1)φb(2)

b) zwei Bosonen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zustanden a, b: drei Moglichkeiten

ψαβ(1, 2) = φa(1)φa(2)

ψαβ(1, 2) =1√2φa(1)φb(2) + φa(2)φb(1) = ψαβ(2, 1)

ψαβ(1, 2) = φb(1)φb(2)

c) zwei Fermionen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zustanden a, b: eine Moglichkeit

ψαβ(1, 2) =1√2φa(1)φb(2)− φa(2)φb(1) = −ψαβ(2, 1)

=1√2

∣∣∣∣∣φa(1) φa(2)φb(1) φb(2)

∣∣∣∣∣

→ “Slater–Determinante”

Nota bene: Bosonen haben erhohte Tendenz, sich im gleichen quantenmechanischen Zustandaufzuhalten.

Nota bene: Fur Fermionen gilt das Pauliprinzip:

ψαα(1, 2) = 0 ; α = a, b

| . . . | → “Slater–Determinante”, kompliziert fur N = 1023 Fermiteilchen.

Vielteilchenzustand fur Fermionen: Besetzungszahldarstellung

a) Allgemein| . . . |Slater → |na, nb, nc, . . . , ni, . . . , nj, . . . >

80

b) Betrachtung von 2 Fermionen 1, 2 in Zustanden a und b mit Besetzungszahlen na und nb

im Zweiteilchenzustandψab(1, 2) → |na, nb >

Erzeugungssoperatoren fur Fermionen (“teilchenartig”)

|vac > = |0, 0 >

c†a|0, 0 > = |1, 0 >

c†b|0, 0 > = |0, 1 >

c†ac†b|0, 0 >= −c†bc

†a|0, 0 > = |1, 1 >

c†a|1, 0 > = (c†a)2|0, 0 >= 0

Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen

c†αc†β + c†β c†α =c†α, c†β

+

= 0

Pauliprinzip: (c†α

)2= 0 ; α = a, b

Vernichtungsoperatoren fur Fermionen

ca|1, 1 > = |0, 1 >

cb|1, 1 > = |1, 0 >

cacb|1, 1 >= −cbca|1, 1 > = |0, 0 >

ca|0, 0 > = (ca)2|1, 0 >= 0

Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen

cα, cβ+ = 0

Besetzungszahloperator

c†aca|1, 1 > = c†bcb|1, 1 >= 1|1, 1 >

c†aca|0, 1 > = c†bcb|1, 0 >= 0

cac†a|1, 1 > = cbc

†b|1, 1 >= 0

cac†a|0, 1 > = 1|0, 1 >

cbc†b|1, 0 > = 1|1, 0 >

nα = c†αcα

Pauliprinzip ↔ Vertauschungsregelcα, c†β

+

= δα,β

Physikalische Interpretation:∑ (Zahl der Teilchen) + (Zahl der Locher) = 1

81

ERSTE QUANTISIERUNG ZWEITE QUANTISIERUNG

Klassische Wellenfunktion Feldoperator

Ψσ(r) Ψσ(r)

Wahrscheinlichkeitsdichte Teilchenzahldichte

p(r) =∑

σ Ψ∗σ(r)Ψσ(r) n(r) =

∑σ Ψ†

σ(r)Ψσ(r)

Normierung (Hilbertraum) Normierung (Fockraum)

∫d3r p(r) = 1

∫d3r n(r) = N

Hamiltonoperator (Hilbertraum) Hamiltonoperator (Fockraum)

H = − h2∇2

2mH =

∑σ

∫d3rψ†σ(r)

(− h2∇2

2m

)ψ†σ(r)

Antisymmetrie der (Anti–)Vielteilchen–Wellenfunktion Vertauschungsrelationen

Pauliprinzip

Tabelle A4: Gegenuberstellung Einteilchen ↔ Vielteilchen–Quantenmechanik

4.8 Zur Aquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum

Ausgangspunkt:Bogolon–Energiespektrum (konstante Energielucke ∆)

Ep =√

ξ2p + ∆2

Verhalten von Ep in der Nahe des Fermiimpulses pF:

ξp = εp − µ = vF(p− pF)

Ep =√

ξ2p + ∆2 =

√∆2 + v2

F(p− pF)2

82

= ∆

√1 +

v2F

∆2(p− pF)2

≈ ∆ +(p− pF)2

2(

∆v2F

)

Resultat:

Ep = ∆ +(p− pF)2

2MB

Masse eines Bogoliubov–Quasiteilchens:

MB =∆

v2F

=1

2

∆

2(

12mv2

F

) m

=∆

2µ(T )m

4.9 Gapgleichung fur konventionelle Supraleiter

Ausgangspunkt: isotrope (s–Wellen–Singulett–) Paarwechselwirkung

Γ(s)kp = −Γ0Θ(εc − |ξk|)Θ(εc − |ξp|)

Gapgleichung mit diese Modell-Wechselwirkung:

∆k = N(0)Γ0

∫ εc

−εc

dξp∆p

2Ep

tanh(

Ep

2kBT

)

Umschreibung:

1

N(0)Γ0

=∫ εc

−εc

dξp

tanh(

Ep

2kBT

)

2Ep

=∫ εc

−εc

dξp

tanh(

ξp2kBT

)

2ξp

−tanh

(ξp

2kBT

)

2ξp

−tanh

(Ep

2kBT

)

2Ep

Definition:

P (T ) ≡∫ εc

−εc

dξp

tanh

(ξp

2kBT

)

2ξp

−tanh

(Ep

2kBT

)

2Ep

Energieluckengleichung hat dann die Form:

1

N(0)Γ0︸ ︷︷ ︸ln

(2eγεcπkBTc

)=

∫ εc

−εc

dξp

tanh(

ξp2kBT

)

2ξp︸ ︷︷ ︸ln

(2eγεcπkBT

)−P (T )

83

ln(

T

Tc

)= −P (T )

Gleichung fur die Sprungtemperatur:

kBTc =eγ

π2εce

− 1N(0)Γ0︸ ︷︷ ︸

≡∆(0)

Eulersche Konstante:

γ = limm→∞

m∑

n=1

1

n− ln m

= .57772156649 . . .

eγ = 1.78107241799 . . .

Energielucke bei T = 0:

∆(0) =π

eγkBTc = 1.76387698886 . . . kBTc

Eliminierung von εc bei Tc:

ln(

T

Tc

)T→Tc= −

(1− T

Tc

)− 1

2

(1− T

Tc

)2

− . . . = −P (T )

Trick (Residuensatz):

tanh(

Ep

2kBT

)

2Ep

≡ kBT∑n

1

(2n + 1)2(πkBT )2

︸ ︷︷ ︸h2ω2

n

+E2p

= kBT∑n

1

h2ω2n + E2

p

Berechnung von P (T ) in der Nahe von Tc:

P (T ) = ∆2kBT∑n

1

(h2ω2n + ξ2

p)(h2ω2n + E2

p)

∆→0= 2∆2kBT

∑n

∫ εc

0

dξp

(h2ω2n + ξ2

p)2+ O(∆4)

Berechnung des ξp–Integrals:∫ ∞

0

dξp

(h2ω2n + ξ2

p)2=

π

4h3|ω3n|

Damit ist:

P (T ) =1

2πkBT∆2

∑n

1

|(2n + 1)|3(πkBT )3

=1

2

(∆

πkBT

)2

2∞∑

n=0

1

(2n + 1)3

︸ ︷︷ ︸≡7ζ(3)/8

=7ζ(3)

8

(∆

πkBT

)2

84

Riemannsche ζ–Funktion:

ζ(z) =∞∑

k=1

1

kz; ζ(3) = 1.2020569031 . . .

Resultat fur die Energielucke in der Nahe der Sprungtemperatur:

(∆(T )

πkBTc

)2

=8

7ζ(3)

(1− T

Tc

)

T∂

∂T

(∆(T )

πkBTc

)2T→Tc= − 8

7ζ(3)

Interpolationsformel fur die Temperaturabhangigkeit der Energielucke:

∆(T ) = ∆(0) tanh

[πkBTc

∆(0)

√8

7ζ(3)

(Tc

T− 1

)]

Spezifische Warme CBCS(T ) (vgl. Abschnitt 4.7.1):

CBCS(T ) = 2∑

k

ϕk

(E2

k

T− 1

2

∂∆2(T )

∂T

)

Spezifische Warme an der Sprungtemperatur:

CBCS(T )T→T−c= 2

∑

k

ϕkξ2k

T︸ ︷︷ ︸

CN(T+c )=

NF3

(πkBTc)2

Tc

−NF1

2

∂∆2(T )

∂T︸ ︷︷ ︸− 8

7ζ(3)

(πkBTc)2

Tc

= CN(T+c ) ·

(1 +

3

2

8

7ζ(3)

)

Diskontinuitat der spezifischen Warme bei Tc:

∆C

CN

≡ CBCS(T−c )− CN(T+

c )

CN(T+c )

=3

2

8

7ζ(3)= 1.426...

Triviale “Strong–Coupling–Korrekturen”:

Wir wissen:

∆C = C(T−c )− C(T+

c ) = −1

2NF

∂∆2(T )

∂T|T→T−c

Selbstkonsistenzgleichung liefert bei Tc:

∆2(T ) = (πkBTc)2 8

7ζ(3)

(1− T

Tc

)

strong coupling= (πkBTc)

2 asc

(1− T

Tc

)

85

Temperaturableitung:

NF1

2

∂∆2(T )

∂T|T→T−c = −3

2asc NF

(πkBTc)2

3Tc︸ ︷︷ ︸CN(T+

c )

= −3

2ascCN(T+

c )

Resultat fur den “Strong–Coupling–Parameter” asc:

asc =2

3

∆C

CN

• Weiterer “Strong–Coupling–Parameter”:

δsc ≡ ∆(0)

kBTc

Interpolationsformel fur die Energielucke mit trivialen “Strong–Coupling–Korrekturen”:

∆(T ) = δsckBTc tanh

π

δsc

√asc

(Tc

T− 1

)

4.10 Gapgleichung fur unkonventionelle Supraleiter

Allgemeine Paarwechselwirkung fur anisotrope Singulett– und Triplett–Supraleiter (vgl. Vor-lesung, Abschnitt 4.4.6) fuhrt auf die Energieluckengleichung:

1

λs=

∫ εc

−εc

dξp

⟨Θp∆2

0p

⟩FS

〈∆20k〉FS

δs,0 +

⟨Θpd

2p

⟩FS

〈d2k〉FS

δs,1

=∫ εc

−εc

dξp

⟨Θp∆2

p

⟩FS

〈∆2k〉FS

Θp =1

2Ep

tanh(

Ek

2kBT

)≡ kBT

∑ωn

1

ω2n + E2

p

ωn =1

h(2n + 1)πkBT Matsubara− Frequenzen

Energieluckengleichung in der Nahe von Tc

1

λs=

1

〈∆2k〉FS

∫ εc

−εcdξp

⟨∆2

pΘp

⟩FS

=1

〈∆2k〉FS

∫ εc

−εcdξp

⟨∆2

p

[Θ0

p + (Θp −Θ0p)

]⟩FS

Θ0p ≡ lim

∆0→0Θp

86

=∫ εc

−εcdξpΘ0

p

︸ ︷︷ ︸ln

(2γπ

εckBT

)− 1

〈∆2k〉FS

∫ εc

−εcdξp

⟨∆2

p(Θ0p −Θp)

⟩FS

︸ ︷︷ ︸P( T

Tc)

= ln(

2γ

π

εc

kBT

)− P

(T

Tc

)

P(

T

Tc

)=

1

〈∆2k〉FS

∫ εc

−εcdξp

⟨∆2

p(Θ0p −Θp)

⟩FS

=2kBT

〈∆2k〉FS

∑n

∫ ∞

0dξp

⟨∆4

p

(ω2n + ξ2

p)(ω2n + ξ2

p + ∆2p)

⟩

FS

Hier bedeutet γ = exp(0.57721...) = 1.78106... die Euler–Konstante.Bedingung fur die Sprungtemperatur Tc

P (1) ≡ 0 →1

λs= ln

(2γ

π

εc

kBT sc

)

kBT sc =

2γ

πεc exp

(− 1

λs

)

Energieluckengleichung bei beliebigen Temperaturen

ln(

Tc

T

)= P

(T

Tc

)

A. Energieluckengleichung bei Tc:

1

ω2n + ξ2

p + ∆2p

=∞∑

µ=0

(−1)µ∆2µp

(ω2n + ξ2

p)1+µ

P(

T

Tc

)=

2kBT

< ∆2k >FS

∑ωn

∞∑

µ=0

(−1)µ < ∆4+2µp >FS

∫ ∞

0

dξp

(ω2n + ξ2

p)2+µ

︸ ︷︷ ︸∗

Berechnung von *

∫ ∞

0

dξp

(ω2n + ξ2

p)2+µ=

π

2

1

|ωn|3+2µ

(2µ + 1)!!

(2µ + 2)!!

P(

T

Tc

)=

1

< ∆2k >FS

∞∑

µ=0

(−1)µ < ∆4+2µp >FS

(πkBT )2+2µ

(2µ + 1)!!

(2µ + 2)!!

∑n

1

|2n + 1|3+2µ

︸ ︷︷ ︸∗∗

Berechnung von **

∑n

1

|2n + 1|3+2µ= 2λ(3 + 2µ) = 2

23+2µ − 1

23+2µζ(3 + 2µ)

87

λ(z) und ζ(z) bedeuten hier die λ–Function und die Riemannsche ζ–Funktion.

P(

T

Tc

)∆p=∆0fp

=∞∑

µ=0

2(2µ + 1)!!

(2µ + 2)!!

23+2µ − 1

23+2µζ(3 + 2µ) (−1)µ < f 4+2µ

p >FS

< f 2p >FS︸ ︷︷ ︸

aµ+1

(∆0(T )

πkBT

)2+2µ

= a1

(∆0(T )

πkBT

)2

+ a2

(∆0(T )

πkBT

)4

+ . . .

a1 =7

8ζ(3)

< f 4p >FS

< f 2p >FS

a2 = −21 · 32 · 4

31

32ζ(5)

< f 6p >FS

< f 2p >FS

Struktur der Energieluckengleichung:

x = 1− T

Tc

T = Tc(1− x)

ln(Tc

T) = − ln(1− x) =

∞∑

ν=1

xν

ν

D(x) =∆0(x)

πkBTc

P (x) = a1

(D(x)

1− x

)2

+ a2

(D(x)

1− x

)4

+ . . .

Taylorentwicklung von D2(x)

D2(x) =∞∑

`=1

b` x`

Koeffizientenvergleich liefert:

1 = a1 b1

1

2= 2a1b1 + a2b

21 + a1b2

1

3= 3a1b1 + 2a1b2 + 4a2b

21 + 2a2b1b2 + a1b3

1

4= . . .

In fuhrender Ordnung in [∆0(T )/kBT ]2 lautet das Resultat fur die maximale Energielucke∆0(T ):

∆20(T ) = (πkBTc)

2 x

a1

= (πkBTc)2 8

7ζ(3)

< f 2p >FS

< f 4p >FS

(1− T

Tc

)

88

Mithilfe des experimentell zuganglichen Sprungs in der Warmekapazitat

∆C

CN

= − limT→T−c

⟨∆p

kBT

∂∆p

kB∂T

⟩

FS

=3

2

8

7ζ(3)

< f 2 >2FS

< f 4 >FS

kann man das Resultat fur ∆0(T ) in der Nahe von Tc schreiben als:

∆0(T ) = πkBTc

√2

3

∆C

CN

1

< f 2 >FS

(1− T

Tc

)

B. Energieluckengleichung bei T = 0:

1

λs= ln

(2γ

π

εc

kBTc

)

=1

< ∆2p >FS

∫ εc

0dξp

⟨∆2

p

Ep

⟩

FS

=1

< ∆2p >FS

∫ εc

0dξp

⟨∆2

p√ξ2p + ∆2

p

⟩

FS

=1

< ∆2p >FS

⟨∆2

p ln[ξp +

√ξ2p + ∆2

p

]⟩FS|εc0

=1

< ∆2p >FS

⟨∆2

p ln

εc +

√ε2c + ∆2

p

∆p

⟩

FS

∆p¿εc=

1

< ∆2p >FS

⟨∆2

p ln

(2εc

∆p

)⟩

FS

∆p=∆0fp=

1

< f 2p >FS

⟨f 2p ln

(2εc

∆0fp

)⟩

FS

= ln2εc

∆0

−⟨f 2p ln fp

⟩FS

< f 2p >FS

Zusammenfassung:

ln(

2γ

π

εc

kBTc

)= ln

(2εc

∆0

)−

⟨f 2p ln fp

⟩FS

< f 2p >FS

Endresultat:

∆0(T ) =π

γkBTc exp

−

⟨f 2p ln fp

⟩FS

< f 2p >FS

δsc ≡ ∆0(0)

kBTc

=π

γexp

(−< ∆2

p ln(∆p/∆0) >FS

< ∆2p >FS

)

89

C. Interpolationsformel fur die Temperaturabhangigkeit des Maximums ∆0(T ) der Energielucke

∆0(T ) = δsc kBTc tanh

π

δsc

√√√√ 8

7ζ(3)

< f 2p >FS

< f 4p >FS

(Tc

T− 1

)

= δsc kBTc tanh

π

δsc

√√√√2

3

∆C

CN

1

< f 2p >FS

(Tc

T− 1

)

4.11 Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht

Ausgangspunkt: Phanomenologische London–Wellenfunktion

ψ(r, t) = a(r, t)eiφ(r,t)

=√

N s(r, t)eiφ(r,t)

=

√ns

2eiϕ(r,t)/2

Ziel: Verknupfung der Amplitude a(r, t) der phanomenologischen London–Wellenfunktion mitdem Ordnungsparameter der BCS–Theorie.

BCS–Resultat fur die superfluide Dichte (isotrope Supraleiter):

ns(T ) = n[1− Y (T )]

Yosida–Funktion in der Nahe der Sprungtemperatur:

limT→Tc

Y (T ) = 1− 7ζ(3)(

∆

2πkBT

)2

Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:

a2 =n

2

[1−

(1− 7ζ(3)

(∆

2πkBT

)2)]

=7

2nζ(3)

(∆

2πkBT

)2

Resultat:

limT→Tc

a(r, t) =

√7n

2ζ(3)

∆

2πkBTc

Yosidafunktion fur T → 0:

limT→0

Y (T ) = Y0(T ) =

√2π∆

kBTexp

(− ∆

kBT

)

90

Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:

a2 =n

2

[1−

√2π∆

kBTexp

(− ∆

kBT

)]

Resultat:

limT→0

a(r, t) =

√n

2

[1−

√π∆

2kBTexp

(− ∆

kBT

)]

Interpretation: In der Nahe der Sprungtemperatur ist die Amplitude a der London–Wellenfunktiondirekt mit dem Ordnungsparameter ∆ der BCS–Theorie verknupft.

Bei T = 0 ist die Amplitude a mit der Gesamt–Teilchenzahldichte n des Supraleiters verknupft.

91