Formelsammlungen

Formelsammlung Höhere Mathematik

vonWilhelm Göhler, Barbara Ralle

17., bearb. Aufl.

Formelsammlung Höhere Mathematik – Göhler / Ralle

schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

Thematische Gliederung:

Mathematik Allgemein

Harri Deutsch 2011

Verlag C.H. Beck im Internet:www.beck.de

ISBN 978 3 8171 1881 6

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Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)

W. Göhler

FormelsammlungHöhere Mathematik

Zusammengestellt von Wilhelm GöhlerBearbeitet von Dipl.-Math. Barbara Ralle

17. Auflage

Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)

Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbHGräfstraße 4760486 Frankfurt am Mainverlag@harri-deutsch.dewww.harri-deutsch.de

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ISBN 978-3-8171-1881-6

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17. Auflage, 2011c©Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2011

Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Brand-Erbisdorf Druck: freiburger graphische betriebe Printed in Germany

Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)

VorwortDie Notwendigkeit und der Zweck von Wissensspeichern in einer Zeit der sprunghaften Entwicklungund Erweiterung der Wissenschaft bedürfen keiner besonderen Begründung. Mit dem vorliegendenkleinen Wissensspeicher »Höhere Mathematik – Formeln und Hinweise« soll nun den bereits vor-handenen Formelsammlungen nicht eine weitere, sondern eine anders geartete hinzugefügt werden.Aufbauend auf den Kenntnissen der Elementarmathematik, an deren wichtigste Formeln und Sätzeaus Geometrie, Arithmetik und Goniometrie erinnert wird, wurden in den einzelnen Gebieten derhöheren Mathematik nur die wesentlichen Formeln aufgenommen, die im Rahmen der Grundvor-lesungen an den Hoch- und Fachschulen behandelt werden. Das gleiche gilt für die Auswahl derIntegrationsmethoden und Typen von Differentialgleichungen, deren Lösungswege jeweils angedeu-tet werden.Zum leichteren Aufsuchen der Formeln und Beziehungen wurde – obwohl eine Formelsammlungkein Lehrbuch sein kann und soll – dem Wissensspeicher die Systematik eines Lehrbuches bzw.einer Vorlesung zugrunde gelegt, und zwar sowohl im einzelnen als auch insgesamt, ohne daß aller-dings Überschneidungen und Verlagerungen gänzlich vermieden werden konnten. Die kurzgefaßtenDefnitionen und Erläuterungen am Anfang jedes Gebietes stellen Erinnerungshilfen für die nachfol-genden Formeln dar. Neben der Vermittlung von mathematischem Wissen und rechnerischen Fertig-keiten ist es die Hauptaufgabe einer Vorlesung und damit auch des Wissensspeichers, das mathema-tische, logische Denken zu entwickeln. Beides, Systematik und Logik, sollen in erster Linie auch denWeg weisen, auf dem man die jeweils gesuchte Formel finden kann. Wenn sich der Leser die Mühegemacht hat, die Formelsammlung im Überblick zur Kenntnis zu nehmen, wird er das Gesuchteschneller finden, als es mit dem Sachwörterverzeichnis möglich ist. Auch werden bewußte Erfahrun-gen und steter Gebrauch das Auffinden beschleunigen.Wenn an manchen Stellen auf die Literatur verwiesen oder gelegentlich ein Hinweis weggelassenwurde, so geschah das aus Platzgründen, da nicht zuletzt der Übersichtlichkeit wegen der Umfangdes Wissensspeichers begrenzt werden mußte.Es ist die Absicht des Verfassers, mit diesem kleinen Wissensspeicher allen Studierenden ein Ar-beitsmittel in die Hand zu geben, das die Formulierung und den Ansatz mathematischer Aufgabenund damit deren Lösung erleichtert.

W. Göhler

Vorwort zur 17. AuflageEs ist schön zu sehen, dass die vor über 40 Jahren von meinem Vater erstmals veröffentlichte For-melsammlung immer mehr Studierenden das Eindringen in die Mathematik erleichtert. Mit dazubeigetragen hat natürlich die ständige Aktualisierung und Anpassung des Inhalts an die Bedürfnisseder Mathematikausbildung unserer Hochschulen.Für die mir dabei erwiesene fachkundige Unterstützung von Mathematikern der TU BergakademieFreiberg, insbesondere Herrn Dr. A. Bellmann, sowie Herrn Prof. Dr. Paditz von der Hochschule fürTechnik und Wirtschaft Dresden möchte ich mich an dieser Stelle herzlich bedanken.Mein Dank gilt auch dem Verlag Harri Deutsch für die gute Zusammenarbeit.Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung des Inhalts oder der Gestaltung der nächsten Auflagenimmt der Verlag gern entgegen.

B. Ralle

Verlag Harri Deutsch – Göhler Formelsammlung Höhere Mathematik – (978-3-8171-1881-6)

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Inhaltsverzeichnis

1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 é 1

2 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 é 2

3 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 é 3

4 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 é 4

5 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 é 5

6 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 é 6

7 Zahlenfolgen und Reihen mit konstanten Gliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 é 7

8 Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 é 8

9 Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 é 9

10 Differenzial- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Variabler . 66 é 10

11 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 é 11

12 Differenzialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 é 12

13 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz . . . . . . . . . . . . 80 é 13

14 Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 é 14

15 Lineare Systeme von Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 88 é 15

16 Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 é 16

17 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 é 17

18 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 é 18

19 Mathematische Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 é 19

20 Tabellen zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 é 20

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 é S

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Einige mathematische Zeichen

Zeichen Erläuterung Beispiel

AnalysisZahlbereiche

N Menge der natürlichen Zahlen 2 ∈ NZ Menge der ganzen Zahlen −2 ∈ ZQ Menge der rationalen Zahlen 1/3 ∈ QR Menge der reellen Zahlen

√2 ∈ R

C Menge der komplexen Zahlen 1 + i ∈ CIntervalle

[a,b] abgeschlossenes I.: {x | x ∈ R, a 5 x 5 b} 0 ∈ [0,1](a,b) oder ]a,b[ offenes I.: {x | x ∈ R, a < x < b} 0 6∈ (0,1)(a,b] oder ]a,b] links offenes I.: {x | x ∈ R, a < x 5 b} (−∞,c] = {x | x 5 c}[a,b) oder [a,b[ rechts offenes I.: {x | x ∈ R, a 5 x < b} [d,∞) = {x | x = d}Logik¬ Negation, »nicht«∨ Alternative, »oder«∧ Konjunktion, »und«→ Implikation, »wenn. . . , so«↔ Äquivalenz, »genau dann, wenn. . . «Mengenlehre{ } endliche

unendlicheMenge

{1,2,3}{1,3,5, . . .}

{x | E(x)} Menge aller Elemente x, die dieEigenschaft E(x) haben

{x | x > 1} = (1,∞)

∈ Element von a ∈ {a,b,c}6∈ nicht Element von d 6∈ {a,b,c}= Gleichheit zweier Mengen

M1 = M2 : M1 und M2 haben diegleichen Elemente

⊂ Teilmenge von; enthalten inM1 ⊂ M2: jedes Element von M1ist auch Element von M2

{2,4} ⊂ {2,3,4}

∪ Vereinigung von 2 MengenM1 ∪M2 = {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2}

{1,2} ∪ {2,3,4} = {1,2,3,4}

n[i=1

Vereinigung von n Mengen

M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn= {x | x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 ∨ . . . ∨ x ∈ Mn}

∩ Durchschnitt von 2 MengenM1 ∩M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2}

{1,2,3} ∩ {2,3,4} = {2,3}

n\i=1

Durchschnitt von n Mengen

M1 ∩M2 ∩ . . . ∩Mn= {x | x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 ∧ . . . ∧ x ∈ Mn}

\ Differenz von 2 MengenM1 \M2 = {x | x ∈ M1 ∧ x 6∈ M2}

{1,2,3} \ {2,3} = {1}

/0 leere Mengeenthält überhaupt keine Elemente

× ProduktmengeM1 × M2 = {(x,y) | x ∈ M1 und y ∈ M2}

{2,5} × {8} = {(2,8),(5,8)}

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Komplexe Zahlen 1

1

1 Komplexe Zahlen

Imaginäre Einheit i2 = −1 Imaginäre Zahl √−a = i · √a (a > 0)Potenzen i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = −1 i4n+3 = − i i−n = (− i)n (n = 0,1, . . .)

Darstellungsformen

z = a + b i = r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = r · e iϕ

i. A.

r. A.

i

2i

0 1 2 a

b

z

r

ϕ

a Realteil von zb Imaginärteil von zr Betrag von zϕ Argument von za,b,r reelle Zahlen,r = 0, −π < ϕ 5 π (Hauptwert),ϕ bis auf ganzzahliges

Vielfaches von 2π bestimmtUmrechnungsformeln:

a = r · cos ϕ b = r · sin ϕ

r =√

a2 + b2 =| z | tan ϕ = ba

ϕ = arctanba

+

0, falls a > 0π, falls a < 0, b = 0−π, falls a < 0, b < 0

Euler’sche Formel e iϕ = cos ϕ + i · sin ϕ e− iϕ = cos ϕ − i · sin ϕ

Addition und Subtraktion

z1 ± z2 = (a + b i)± (c + d i) = (a± c) + (b± d) i

Multiplikation

z1 · z2 = r1(cos ϕ1 + i · sin ϕ1) · r2(cos ϕ2 + i · sin ϕ2) = r1 e iϕ1 · r2 e iϕ2= r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i · sin(ϕ1 + ϕ2)] = r1r2 · e i(ϕ1+ϕ2)

Divisionz1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + i · sin(ϕ1 − ϕ2)] =r1r2· e i(ϕ1−ϕ2) (r2 6= 0)

Potenzieren (n ganzzahlig)

(cos ϕ + i · sin ϕ )n = cos(nϕ ) + i · sin(nϕ ) (Satz von Moivre)zn = [r(cos ϕ + i · sin ϕ )]n = rn[cos(nϕ ) + i · sin(nϕ )] = rn e i(nϕ )

Radizieren (n reell)

n√

r(cos ϕ + i · sin ϕ ) = n√r[

cosϕ + k · 2π

n+ i · sin ϕ + k · 2π

n

]= n√

r · e iϕ+k·2π

n

Einheitswurzelnn√

1 = cosk · 2π

n+ i · sin k · 2π

n= e i

k·2πn

(n = 2,3, . . .)(k = 0,1,2, . . . ,n− 1)

Logarithmieren

ln z = ln(r eiϕ ) = ln r + i(ϕ + 2kπ) (k = 0,± 1,± 2, . . .)

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2

2 Geometrie

2 Geometrie

Sätze, Strecken, Winkel, Punkte bei Dreieck und Kreis

Winkel (an geschnittenen Parallelen)

αβ

′′β′α

α+β = 180◦ (Nebenwinkel)α ′ = α (Stufenwinkel)β ′′= β (Wechselwinkel) α

α1 .

.

α = α1(da die Schenkelpaarweise aufeinandersenkrecht stehen)

A B

C

ab

cα β β1

γ

α + β + γ = 180◦ α + β < 180◦

β1 = α + γ (Außenwinkel)a < b⇔ α < β a = b⇔ α = β a > b⇔ α > βa + b > c a− b < c(weitere Formeln durch zyklische Vertauschung)

Schnittpunkt der

HöhenSeitenhalbierenden = SchwerpunktWinkelhalbierenden = Mittelpunkt des einbeschriebenen KreisesMittelsenkrechten = Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises

Flächen- und Streckenbeziehungen

Kongruenzsätze: Kongruenz von Dreiecken (∼=) bei Übereinstimmung in1. zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel (sws)2. einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln (wsw; sww)3. drei Seiten (sss)4. zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SsW )

Ähnlichkeitssätze: Ähnlichkeit von Dreiecken (∼) bei Übereinstimmung im (in)1. Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel2. zwei Winkeln3. Verhältnis der drei Seiten4. Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel

Strahlensätze

A

B

C

DS

′D

′C

Sätze am rechtwinkligenDreieck

.

A B

C

b a

pqh

cSA : SC = SB : SDSA : SC ′ = SB : SD′

AB : CD = SA : SC = SB : SDAB : C ′D′ = SA : SC ′ = SB : SD′

Pythagoras: a2 + b2 = c2

Höhensatz: h2 = pqKathetensatz: b2 = cq, a2 = cp

Kreis

T

P

AB

CD

S

α

βγ

.

Sehnensatz PB · PC = PA · PDSekantensatz SA · SB = SC · SDTangentensatz SA · SB = ST 2

Mittelpunkts- und Peripheriewinkel β = 2αThales-Satz: Umfangswinkel über Durchmesser

ein RechterSehnentangentenwinkel γ = α

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Geometrie 3

2

Flächeninhalt (A) Umfang (U) Längen

A U (r Umkreisradius; % Inkreisradius)

Dreieck h Höhe 2s = a + b + c; weitere Formeln durch zyklische Vertauschung

A3 =12

chc =12

ab · sin γ = %s = abc4r

b a

cA B

C

α β

γ

hc

r=√

s(s− a)(s− b)(s− c)= a2

sin β · sin γ2 sin α

= 2r2 sin α sin β sin γ

s = 4r cosα2

cosβ2

cosγ2

r =abc4A3

=a

2 sin α

% = 4r sinα2

sinβ2

sinγ2

gleichseitiges(b = c = a)

√3

4a2 h =

√3

2a r =

√3

3a % =

√3

6a

gleichschenklig(a = b 6= c)

12

a2 sin γ = c2sin2 α2 sin γ

=c2

4tan α hc =

12

√4a2 − c2

Viereck e, f Diagon; ϕ = ](e, f ); ε =12

(α + γ ) oder12

(β + δ ); 2s = a + b + c + d

allgemein A4 = e · f · sin ϕ =√

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2 ε

Quadrat a2 4a e =√

2a r =√

22

a % =12

a

Parallelogramm aha = bhb 2(a + b) e =√

a2 + b2 für Rechteck

Trapez12

(a + c)h = mh a + b + c + d a‖c h Höhem Mittelparallele

Kreis πr2 = π4

d2 2π r = π d

Sektor12

br b =π r

180◦α ◦

r Radiusd Durchmesserb Bogenlänge über α

Segment12

[br − s(r − h)] s Segmentsehneh Bogenhöhe

Ellipse π a b ≈ π[

32

(a + b)−√

ab

]a, b Halbachsen

Parabel-abschnitt

43

x1y1

(Sehne durch Parabelpunkt (x1, y1)senkrecht zur Achseder Parabel y2 = ±2px)

Einbeschriebenes regelmäßiges Vieleck (n Anzahl der Ecken)

An =n2

r2 sin360◦

nsn = 2r sin

180◦

nhn = r cos

180◦

n

s6

s6

h6r

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2

4 Geometrie

Inhalt von Oberflächen (O) und Mantelflächen (M), Rauminhalte (V)

(G Grundfläche h Höhe r,R Radius s Mantellinie)

O M V

Kugel 4πR243

πR3

Kugelzonebzw. -schicht 2πhR

πh6

(3r2 + 3r21 + h2)

rhR

r1

Kugelabschnitt(-segment) πh(4R− h)

2πhR= (r2 + h2)π

πh6

(3r2 + h2)

=πh2

3(3R− h)

rh

R

Kugelausschnitt(-sektor) πR(2h + r)

23

πhR2r

hR

Prisma 2G + M G · hZylinder G · hgeraderKreiszylinder 2πr(h + r) 2πrh πr

2h

Pyramide13

G · h

Pyramiden-stumpf

G1 + G2 + Mh3

(G1 +√

G1G2 + G2) ≈ G1 + G22 h

Kegel13

G · h

geraderKreiskegel πr(r + s) πrs

13

πr2h s =√

r2 + h2

geraderKreiskegel-stumpf

π[r21 + r22

+ s(r1 + r2)]πs(r1 + r2)

πh3

(r21 + r1r2 + r22) ≈

πh2

(r21 + r22)

πh4

(r1 + r2)2

Ellipsoid43

π abc

a,b,c HalbachsenRotations-ellipsoid

(Rotation um a)43

π ab2

Rotations-paraboloid

π ph2 (y2 = 2px rotiert um x-Achse; h = x)

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13

80 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz

13 Gewöhnliche Differenzialgleichungenund Lösungsansatz

(Auswahl)

F(x, y, y′) = 0 1. Ordnung

y′ = g(x) · h(y)

Trennung der Variablen:ZZZ dy

h(y)=

ZZZg(x)dx H(y) = G(x) + C

y′ = ϕ( y

x

)Ähnlichkeitsdifferenzialgl.

Subst.: z =yx

y′ = xz′ + zZ dz

ϕ (z)− z = ln |x|+ C

Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Allgemeine Hinweise für lineare Differenzialgleichungen beliebiger Ordnung

Homogene lineare Differenzialgleichungen

Eine homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung hat genau n linear unabhängige Lösungen,deren Linearkombination die allgemeine Lösung yH (x) der homogenen Differenzialgleichung ist.

Inhomogene lineare Differenzialgleichungen

Die allgemeine Lösung yI (x) einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung gewinnt man aus der allge-meinen Lösung yH (x) der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung durch Addition einer beliebigenpartikulären Lösung yS(x) der inhomogenen Differenzialgleichung:

yI (x) = yH (x) + yS(x)

yS(x) erhält man u. a. durch das Verfahren der Variation der Konstanten: allgemeine Lösung der homogenenDifferenzialgleichung mit Funktionen von x anstelle der Integrationskonstanten als Ansatz für die Lösungder inhomogenen Differenzialgleichung verwenden.

a1(x)y′ + a0(x)y = r(x)Allgem. Form derlin. Dgl. 1. Ordn.

y′ + p(x)y = q(x) Normalformp(x) =

a0(x)a1(x)

; q(x) =r(x)

a1(x)

a) Lagrangehomogene Differenzialgleichung y′ + p(x)y = 0: Trennung der VariablenyH = C e−

Rp(x) dx

inhomogene Differenzialgleichung: Variation der Konstanten

y = C(x)ψ (x)

C ′(x)ψ (x) + q(x) = 0; C(x) = C1 +Z

q(x) eR

p(x) dx dx

(ψ (x) = e−

Rp(x) dx

)b) Bernoulli (Produktansatz) (nur für lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung)

y = u · v; y′ = u′v + uv ′; in Differenzialgleichung einsetzenu oder v ausklammern; Klammerausdruck null setzen

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Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz 81

13

y′ + p(x)y + q(x)yn = 0 Bernoulli’sche Dgl.

Division durch (−yn); Subst.: z = 1yn−1

; z′ = −(n− 1) y′

ynführt auf lin. Dgl. in z und x

spez.: y′ + p(x)y + q(x)y2 = 0; z =1y

; z′ = − y′

y2

y′ + p(x)y + q(x)y2 = r(x) Ricatti’sche Dgl.

mit (geg. oder erratener) part. Lösung y = y1(x) lösbar; Ansatz: y = y1(x) + v(x)führt auf Bernoulli’sche Differenzialgleichung (n = 2) für v(x)

y = x · g(y′) + h(y′) d’Alembert’sche Dgl.

y′ = p(x) in differenzierte Ausgangsgleichung einsetzen,dpdx

ausklammern; führt auf lineare Diffe-

renzialgleichung:dxdp

+ h(p)x + k(p) = 0

Lösung in Parameterdarstellung: x = x(p,C); y = y(p,C)

spez.: y = xy′ + h(y′) Clairaut’sche Dgl.

y′ = p(x); weiter wie oben ergibt Dgl.: [x + h′(p)]dpdx

= 0

dpdx

= 0, p = C; allgem. Lösung: y = Cx + h(C)

[x + h′(p)] = 0; singuläre Lösung in Parameterdarstellung: x = −h′(p)y = −ph′(p) + h(p)

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

1. Exakte (vollst., totale) Dgl. My = Nx (Integrabilitätsbedingung)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = dΦ (x,y) vollständiges Differenzial der Funktion Φ (x,y)∂Φ∂x

= M; Φ =Z

M dx + G(y);∂Φ∂y

= N; allgemeine Lösung: Φ (x,y) = C

2. Integrierender Faktorµ = µ (x,y) so bestimmen, dass µ (x,y)M(x,y)dx + µ (x,y)N(x,y)dy = 0 exakte Differenzialglei-chung

My − NxN

= f (x) ⇒ µ = µ (x) = eR

f (x) dx

My − NxM

= f (y) ⇒ µ = µ (y) = e−R

f (y) dy

My − Nxy · N − x ·M = f (z) z = x · y ⇒ µ = µ (z) = e

Rf (z) dz

(My − Nx) · x2y · N + x ·M = f (z) z =

yx

⇒ µ = µ (z) = e−R

f (z) dz

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13

82 Gewöhnliche Differenzialgleichungen und Lösungsansatz

F(x, y, y′, y′′) = 0 2. Ordnung

Bestimmte Glieder fehlen

y′′ = f (x) y(n) = g(x) unmittelbare Integration

y kommt nicht vor y′ = p(x) y′′ = p′

F(x,y′,y′′) = 0; F(y′,y′′) = 0 → F(x,p,p′) = 0; F(p,p′) = 0

x kommt explizit nicht vor y′ = q(y) y′′ =dqdy· dy

dx= q · dq

dy

F(x,y′,y′′) = 0 → G(

y,q,dqdy

)= 0

Spezialfall: y′′ = f (y) auch: Multipl. m. 2y′; 2y′′y′ =ddx

y′2

Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung

a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = 0Allgem. homog.lin. Dgl. 2. Ordn.

Allgem. Lsg.: yH(x) = C1y1(x) + C2 y2(x) (y1, y2 partikuläre Lösungen)

Bestimmung der partikulären Lösungen für ausgewählte Fälle

1. a2 y′′ + a1y′ + a0y = 0 konst. Koeffizienten

Ansatz: y = eλ x Charakterist. Gleichung: a2λ 2 + a1λ + a0 = 0

a) λ1 6= λ2 reell y1 = eλ1x y2 = eλ2xb) λ1 = λ2 = λ0 y1 = eλ0x y2 = x eλ0x

c) λ1, 2 = a± ib y1 = cos(bx) eax y2 = sin(bx) eax

2. a2 x2y′′ + a1 xy′ + a0y = 0 homog. Euler’sche Dgl.

Ansatz: y = xλ Charakterist. Gleichung: a2λ (λ − 1) + a1λ + a0 = 0a) λ1 6= λ2 reell y1 = xλ1 y2 = xλ2b) λ1 = λ2 = λ0 y1 = xλ0 y2 = xλ0 ln xc) λ1, 2 = a± ib y1 = xa cos(b ln x) y2 = xa sin(b ln x)

3. x2y′′ + xy′ + (x2 − ν 2)y = 0 Bessel’sche Dgl.

ν nicht ganzzahlig: y1 = Jν (x) y2 = J−ν (x)

Jν (x) =∞∑

µ=0(−1)µ

( x2

)2µ+νΓ (µ + 1)Γ (µ + ν + 1)

J−ν =∞∑

µ=0(−1)µ

( x2

)2µ−νΓ (µ + 1)Γ (−ν + µ + 1)

(Bessel’sche Funktionen 1. Art) (s. a. S. 51)

ν = n ganzzahlig y1 = Jn(x) y2 = Nn(x)

Nn(x) = limν→ncos ν π · Jν (x)− J−ν (x)

sin ν π(Bessel’sche Funktionen 2. Art) (s. a. S. 51)

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Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren 89

16

16 Fehlerrechnung, Näherungsformelnund -verfahren

Fehler: Näherungswert (Istwert)–wahrer Wert (Sollwert)

Näherungswert wahrer Wert absoluter Fehler relativer Fehler

a x ε = a− x∣∣∣ ε

x

∣∣∣ =̂ ∣∣∣ εx

∣∣∣ · 100 %Fehlerabschätzung beim Rechnen mit Näherungswerten (Methode der Fehlerschranken)

k (fehlerbehaftete) Variable: x1,x2, . . . ,xkzu berechnende Funktion: f (x1,x2, . . . ,xk)absoluter Fehler von f : ε fNäherungswerte für die xi: aiabsolute Fehler für die xi εi = ai − xi (i = 1,2, . . . ,k)Schranken für die εi ∆ai (∆ai = |εi|)Schranke für den absoluten Fehler (ε f ) von f (x1,x2, . . . ,xn):

∆ f = ∆a1| fx1 (a1, . . . ,ak)|+ ∆a2| fx2 (a1, . . . ,ak)|+ . . . + ∆ak| fxk (a1, . . . ,ak)| (∆ f = ε f )Anwendung auf elementare Rechenoperationen

x,y wahre Werte a,b Näherungswerte ∆a,∆b Fehlerschranken

f (x,y) Schranken für denabsoluten Fehler ∆ f

Schranken für denrelativen Fehler ∆ f /| f |

x± y ∆a + ∆b (∆a + ∆b)/|a± b|x · y ∆a · |b|+ ∆b · |a| ∆a/|a|+ ∆b/|b|

x/y∆a · |b|+ ∆b · |a|

b2∆a|a| +

∆b|b|

xn (n 6= 0,1) ∆a|nan−1| |n|∆a/|a|

Messreihe a1,a2, . . . ,an einer Größe x

Näherungswert für x: a =1n

(a1 + a2 + . . .+ an) =1n

n

∑i=1

ai (arithmetisches Mittel)

durchschnittlicher Fehler: ∆a =1n

n

∑i=1|ai − a|

mittlerer Fehler:(Standardabweichung)

σ =

√1

n− 1n

∑i=1

(a1 − a)2 (s. S. 100)

Methode der kleinsten Quadrate (Gauß)Parameter t1,t2, . . . ,tk der Funktion f (x,t1,t2, . . . ,tk) ( f stetig partiell differenzierbar) so bestim-men, dass die Funktion die Punkte Pi(xi,yi)(i = 1,2, . . . ,n; n > k) möglichst genau annähert

Forderung:

Q(t1,t2, . . . ,tk) =n

∑i=1

[ f (xi,t1,t2, . . . ,tk)− yi]2 → Min

Normalengleichungen zur Berechnung der Parameter t1,t2, . . . ,tk:

∂Q(t1,t2, . . . ,tk)∂t j

= 0 ( j = 1,2, . . . ,k)

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16

90 Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren

Interpolation

Die Gleichung der Parabel n-ter Ordnung Die ganze rationale Funktion n-ten Grades

y = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 an 6= 0,die durch (n + 1) vorgegebene Punkte für die zu (n + 1) voneinander verschiedenenP0(x0,y0),P1(x1,y1), . . . ,Pn(xn,yn) hindurch- Werten x0,x1, . . . ,xn die (n + 1) Funktionswertegeht, y0,y1, . . . ,yn vorgeschrieben sind,

kann durch folgenden Ansatz bestimmt werden:

y = c0+c1(x− x0) + c2(x− x0)(x− x1) + c3(x− x0)(x− x1)(x− x2) + . . .+ci(x− x0)(x− x1) . . . (x− xi−1) + . . .+cn(x− x0)(x− x1) . . . (x− xn−1)

nach Newton

Die Koeffizienten c0,c1, . . . ,ci, . . . ,cn werden schrittweise dadurch berechnet, dass fürx = x0,x1, . . . ,xn jeweils y die zugehörigen Werte y0,y1, . . . ,yn annimmt.

Steigungsschema

xi yi = S0i S1i S

2i S

3i · · ·

x0 y0 = S00x1 y1 S

11 =

y1 − y0x1 − x0

x2 y2 S12 =

y2 − y0x2 − x0

S22 =S12 − S11x2 − x1

x3 y3 S13 =

y3 − y0x3 − x0

S23 =S13 − S11x3 − x1

S33 =S23 − S22x3 − x2

......

......

......

k-te Steigung:

Ski =Sk−1i − Sk−1k−1

xi − xk−1k = 1,2, . . . ,ni = k,k + 1, . . . ,nc0 = y0 = S00ci = Sii;i = 0,1, . . . ,n

Differenzschema bei äquidistanten Argumenten (xi+1 − xi = h)

x0 y0

x1 y1∆1y0 ∆2y0

x2 y2∆1y1 ∆2y1

∆3y0

x3 y3∆1y2 ...

...

......

...

∆n n-te Differenzspaltez. B. ∆1y2 = y3 − y2

∆2y1 = ∆1y2−∆1y1c0 = y0 c1 =

∆1y0h

c2 =∆2y02!h2

...

cn =∆ny0n!hn

nach Lagrange

Ansatz: y = L0(x)y0 + L1(x)y1 + . . . + Ln(x)yn

mit Li(x) =(x− x0)(x− x1) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn)

(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)(Das Glied mit dem Index i fehlt; i = 0,1, . . . ,n)

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Fehlerrechnung, Näherungsformeln und -verfahren 91

16

Näherungslösung von Gleichungen mit einer Unbekannten

Lineare Interpolation (Regula falsi – Sekantenverfahren)f (x) = 0x0 gesuchte Lösung: f (x) ≡ 0y = f (x) zugehörige Funktion.Man geht von Werten x1 und x2 aus, die sozu wählen sind, dass f (x1) und f (x2) ver-schiedene Vorzeichen haben.Die Sekante P1P2 schneidet die x-Achse ineinem Punkt mit dem Näherungswert

x3 = x1 −x2 − x1y2 − y1

· y1Fortsetzung des Verfahrens mit x3 und x2;usw.

y

x

x1

x0

x3

x2

x4

y f x= ( )P x y2 2 2( , )

P x y1 1 1( , )

P x y3 3 3( , )

Newton’sches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren)f (x) = 0x0 gesuchte Lösung: f (x0) = 0y = f (x) zugehörige Funktion.x1 aus der Umgebung von x0wählen oder grafisch bestimmen.Die Tangente in P1(x1,y1) an die Kurvey = f (x) schneidet die x-Achse in einemPunkt mit dem Näherungswert

x2 = x1 −f (x1)f ′(x1)

( f ′(x1) 6= 0)

y

x

x1 x0

x3 x2

y f x= ( )P x y2 2 2( , )

P x y1 1 1( , )

Fortsetzung des Verfahrens mit P2(x2,y2), was den verbesserten Näherungswert x3 ergibt;usw.Allgemein: Näherungswert xn = xn−1 −

f (xn−1)f ′(xn−1)

(n = 2,3,4, . . . ; f ′(xn−1) 6= 0)

Näherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals

n Anzahl der Teilintervalle der Länge xi+1 − xi = h = b− an , n geradzahlig; i = 0,1, . . . ,n− 1u = y1 + y3 + . . . + yn−1 (Ordinaten mit ungeradem Index) y0 = ya, yn = ybg = y2 + y4 + . . . + yn−2 (Ordinaten mit geradem Index)

Sehnen-Trapez-Formel (n bel.)

I =bZ

a

f (x)dx ≈ h2

[ya + yb + 2(y1 + y2 + . . . + yn−1)

]=

h2

(ya + yb + 2u + 2g)

Tangenten-Trapez-Formel

I =bZ

a

f (x)dx ≈ 2h [y1 + y3 + . . . + yn−1] = h · 2uSimpson’sche Regel

I =bZ

a

f (x)dx ≈ h3

[(ya + yb) + 4(y1 + y3 + . . . + yn−1) + 2(y2 + y4 + . . . + yn−2)

]=

h3

(ya + yb + 4u + 2g)

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Sachwortverzeichnis 123

S

Sachwortverzeichnis

AAbleitung– der Umkehrfunktion 57–, erste 54–, höhere 54–, logarithmische 57–, partielle 66Additionstheoreme 43Ähnlichkeitsdifferenzialgleichung 80Ähnlichkeitssätze 2Alternativhypothese 103analytische Geometrie 26Annahmebereich 103Areafunktion 42Austauschverfahren 12Axiome von Kolmogoroff 95

BBartlett-Test 105Bayes’sche Formel 95Bereichsintegral–, ebenes 68–, ebenes; Transformation 69–, räumliches 69–, räumliches; Transformation 70Bernoulli-L’Hospital’sche Regel 54Bernoulli’sches Schema 95Bernoulli’sches Separationsverfahren 86Bessel’sche Funktion 51– 1. Art 82– 2. Art 82bestimmtes Riemann’sches Integral 55Binomialkoeffizient 94Binomialverteilung 97Binomische Formel 94Binomische Reihe 48Binomischer Satz 94Bogendifferenzial 79Bogenelement 75Bogenlänge– einer ebenen Kurve 79– einer räumlichen Kurve 79

DDefinitionsbereich 34Determinante 6–, Rechenregeln 7–, Vandermonde’sche 10–, Wronski’sche 10Differenzial 54–, vollständiges 67

Differenzialgeometrie 78Differenzialgleichung–, Bernoulli’sche 81–, Bessel’sche 82–, Clairaut’sche 81–, d’Alembert’sche 81–, Euler’sche, homogene 82–, Euler’sche, n-ter Ordnung 85–, exakte (vollständige, totale) 81–, gewöhnliche 80–, homogene lineare 80–, inhomogene Euler’sche 83–, inhomogene lineare 80–, integrierender Faktor 81–, lineare 1. Ordnung 80–, lineare 2. Ordnung 82–, lineare, mit konstanten Koeffizienten 84–, partielle 86–, Ricatti’sche 81Differenzialgleichungssystem 88–, lineares homogenes 88–, lineares inhomogenes 88Differenzialoperator 76Differenzialquotient 54Differenzialrechnung–, Mittelwertsätze 54– von Funktionen mehrerer Variabler 66Differenziation–, implizite 67– von Parameterintegralen 68Differenziationsformel 56Differenziationsregeln 57– für Vektorfunktionen 75differenzierbar–, linksseitig 54–, rechtsseitig 54Differenzschema 90Divergenz 32Divergenz eines Vektorfeldes 76Dreieck 2–, schiefwinkliges 44–, sphärisches 46dualer Simplexalgorithmus 18

EEbene– im Raum, Gleichungsform 29– im Raum, Schnittwinkel 30ebene Kurve–, Anstieg 79–, Bogendifferenzial 79

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S

124 Sachwortverzeichnis

–, Bogenlänge 79–, Evolente 79–, Evolute 79–, Krümmung 79Einheitswurzeln 1Ellipse 3Ellipsoid 4Erwartungswert 96, 100Euler’sche Formel 1Euler’sche Konstante 53Evolente 79Evolute 79Exponentialfunktionen 37Extrempunkt 65Extremum–, lokales 67–, lokales; unter Nebenbedingungen 67Exzess 96

FFakultät 51Fehler–, durchschnittlicher 89–, mittlerer 89Fehlerrechnung 89Fehlerschranke 89Feld–, skalares 75–, Vektor- 75Fläche– zweiter Ordnung 30Fourier-Entwicklung 50Fundamentalbereich 68 f.Fundamentalsatz der Algebra 37Funktion 34–, Annäherung durch Polynome 92–, Area- 42–, Bessel’sche 51– einer unabhängigen Veränderlichen 34–, Gamma- 51–, gebrochene rationale 38–, gerade 34–, Grenzwert 34–, hyperbolische 41–, inverse 34–, Orthogonalsystem 53–, rationale 37–, Stetigkeit 34–, trigonometrische 39–, ungerade 34–, zyklometrische 42Funktionaldeterminante 10Funktionenreihen 47

GGamma-Funktion 51Gauß’sche Fehlerfunktion 52

Gauß’scher Algorithmus 12Gauß’scher Integralsatz 77Gauß’sches Fehlerintegral 52geometrische Reihe 33Gerade– im Raum 29– im Raum, Schnittwinkel 29– in der Ebene, Gleichungsform 26–, Schnittwinkel 27Geradengleichung 26Gleichung–, lineare homogene 86–, quasilineare 86Gleichungssystem 11–, Lösung von linearen 11Gradient des Skalarfeldes 76Grenzwert 32, 34, 66Grundintegral 56Guldin’sche Regeln 65

HHalbseitenformeln 45Halbwinkelformeln 45Halbwinkelsatz 44Häufigkeit–, absolute 95, 102–, relative 95, 102Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 55Höhensatz 2Horizontalwendepunkt 65Horner-Schema 38Hyperboloid 30Hypothese 103

IInhalt 73Integral–, bestimmtes 55– gebrochen rationaler Funktionen 64–, unbestimmtes 55–, uneigentliches 55Integralexponentialfunktion 53Integralkosinus 53Integrallogarithmus 53Integralrechnung–, Mittelwertsatz 55– von Funktionen mehrerer Variabler 68Integralsinus 53Integrand 55Integration– durch Substitution 61–, partielle 61– von Parameterintegralen 68Integrationskonstante 55Integrationsregeln 57Integrationsvariable 55

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Sachwortverzeichnis 125

S

integrierender Faktor 81Interpolation 90–, lineare 91– nach Lagrange 90– nach Newton 90

KKathetensatz 2Kegel 4, 30Kegelschnitt–, Diskussion 28Kegelschnittsgleichung 27–, Ellipse 27–, Hyperbel 27–, Kreis 27–, Parabel 27Kettenregel 57, 67Koeffizient–, konstanter 82Kolmogorov-Test 105Kombination 94Kombinatorik 94komplexe Zahlen 1Konfidenzgrenze 103, 108Konfidenzintervall 108Kongruenzsätze 2konstanter Koeffizient 82Konvergenz 32Konvergenzkriterien 33Koordinaten–, kartesische 34, 78–, Polar- 34, 78Korrelation 112–, Bestimmtheitsmaß 112–, Unbestimmtheitsmaß 112Korrelationskoeffizient 101, 112–, multipler linearer 112–, partieller linearer 112Kosinussatz 44Kovarianz 100 f.–, empirische 109Kreis 2Kreuzprodukt 24kritischer Bereich 103 f.Krümmung 65– einer ebenen Kurve 79Kugel 4, 30Kugelkoordinaten 70Kurvenintegral 71–, 1. Art 71–, 2. Art 71

LLänge 73Laplacegleichung 87Laplace’scher Operator 76

Leibniz’sche Sektorformel 74Likelihoodfunktion 107Likelihoodprinzip 107lineare homogene Gleichung 86lineare Optimierung 13lineare Optimierungsaufgabe 13–, duale 18–, Lösung 14Linearfaktoren 37Logarithmengesetze 36Logarithmus 36Logarithmusfunktionen 37Longitudinalschwingungen eines Stabes 87

MMacLaurin-Reihe 92Mac-Laurin’sche Reihe 47Mantelfläche 65Masse 73Massenschwerpunktskoordinaten 74Matrix 5–, Rechenoperationen 8Maximum-Likelihood-Verfahren 107Median 96, 102Methode der kleinsten Quadrate 89Mittelwertsatz der Integralrechnung 55Mittelwertsätze der Differenzialrechnung 54Modalwert 96, 102Moment p-ter Ordnung 96, 102Momentenmethode 107Monotonie 32, 34–, Funktion 34–, Zahlenfolge 32

NNabla-Operator 76Näherungswert 89Neper’sche Analogien 45Neper’sche Regel 46Newton’sches Näherungsverfahren 91Normale– einer ebenen Kurve 78Normalenabschnitt 78Normalengleichung 89Normalform 13

OOberflächenintegral 72–, 1. Art 72–, 2. Art 72Optimierung–, lineare 13Orthogonalsystem 53

PParaboloid 30Parameterdarstellung 34, 78

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S

126 Sachwortverzeichnis

Parameterintegral 68–, Differenziation 68–, Integration 68Partialbruchzerlegung 64partielle Differenzialgleichung 86Permutation 94Polarkoordinaten 26Potenz 35Potenzfunktionen 35Potenzgesetze 35Potenzialfeld 76Potenzreihe 47, 85–, Konvergenz 47–, Konvergenzintervall 47–, Konvergenzradius 47Prinzip des Cavalieri 73Prisma 4Produktansatz 80Produktregel 57Punktschätzung–, effektiv 107–, erwartungstreu 107–, konsistent 107Pyramide 4Pythagoras 2

QQuantil p-ter Ordnung 96quasilineare Gleichung 86Quotientenregel 57

RRangkorrelation 113räumliche Kurve–, Bogenlänge 79Regel von Bernoulli-L’Hospital 54Regression 109–, lineare 109–, mehrfache lineare 111Regressionsfunktion–, nichtlineare 110Regressionsgerade 110Regressionskoeffizient 109–, multipler 111Regula falsi 91Reihe–, binomische 48–, Funktionenreihe 47–, geometrische 33–, Konvergenzkriterien 33– mit konstanten Gliedern 33–, Taylor’sche 47Reihenentwicklung 85Rest–, χ 2-Anpassungs- 104Richtungsableitung 66, 76

Rotation eines Vektorfeldes 77Rotationskörper 65–, Mantelfläche 65–, Volumen 65

SSchätzmethode 107–, bei Exponentialtyp 107–, Maximum-Likelihood-Verfahren 107–, Momentenmethode 107Schätzung 107–, Bereichs- 108–, effektiv 107–, erwartungstreu 107–, konsistent 107–, Punkt- 107Schiefe 96Schnittwinkel 27Schwerpunkt–, geometrischer 74Sehnen-Trapez-Formel 91Seitenkosinussatz 45Sekantenverfahren 91Signifikanzniveau 103Simplexalgorithmus 16–, dualer 18Simplexmethode 16Simplextableau 14Simpson’sche Regel 91Sinussatz 44 f.skalares Produkt 23Spatprodukt 24Stammfunktion 55Standardabweichung 89, 102Statistik 102–, Tabellen 114–121Steigungsschema 90Stetigkeit 34, 66Stichprobenmittel 102Stichprobenstreuung 102Stokes’scher Integralsatz 77Störgliedansatz 83 f.Strahlensätze 2Strecke 26Streuung 96Subnormale 78Subtangente 78

TTangenssatz 44Tangente– einer ebenen Kurve 78Tangentenabschnitt 78Tangenten-Trapez-Formel 91Tangentenvektor 75Tangentenverfahren 91

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Sachwortverzeichnis 127

S

Taylor-Reihe 85Taylor’sche Formel– für Funktionen einer Variablen 92– für Funktionen zweier Variabler 93– für Polynome 92Taylor’sche Reihe 47Test–, Bartlett- 105–, χ 2- 104–, Kolmogorov- 105–, Vier-Felder-χ 2- 113– von Verteilungen 104– zum Signifikanzniveau 104Testen 103Testgröße 103Testverfahren 103Thales-Satz 2Trägheitsmoment 73Transversalschwingungen eines Stabes 87Trennung der Variablen 80Trigonometrie–, ebene 44–, sphärische 45Tschebyschew’sche Ungleichung 96

VVandermonde’sche Determinante 10Varianz 96Varianzanlyse 106Variation 94Variation der Konstanten 80, 83 f.Variationsbreite 102Variationskoeffizient 102Vektor–, Linearkombination 25Vektoranalysis 75Vektoren 23Vektorfeld 75–, Divergenz 76–, quellenfreies 76–, Rotation 77–, wirbelfreies 77Vektorfunktion 75Vektorprodukt 24Vektorraum 25–, Basis 25–, Dimension 25–, euklidischer 25Verteilung–, χ 2- 99–, diskrete 97

–, F- 99–, Gamma- 99–, geometrische 97–, Gleich- 98–, hypergeometrische 97–, mehrdimensionale 100–, negative Binomial- 97–, Normal- 98–, Normal-, zweidimensionale 101–, Poisson- 97–, Rand- 100 f.–, stetige 98–, Testen 104–, t-(Student-) 99–, Weibull- 99Verteilungsdichte 96Verteilungsfunktion 96, 100–, empirische 102Vertrauensgrenze 103, 108Vertrauensintervall 108 f., 111Vertrauenswahrscheinlichkeit 108Viereck 3Vieta’scher Wurzelsatz 38Volumen 65, 73

WWahrscheinlichkeit 95–, bedingte 95–, totale 95Wahrscheinlichkeitsrechnung 95Wärmeleitgleichung 87Wendepunkt 65Wertebereich 34Winkelkosinussatz 45Wronski’sche Determinante 10Wurzel 35Wurzelfunktionen 36Wurzelgesetze 36

ZZahlenfolge 32–, arithmetische 32–, Divergenz 32–, geometrische 32–, Konvergenz 32Zentralwert 102Zufallsgröße 96zyklometrische Funktion 42Zylinder 4, 30Zylinderkoordinaten 70