David KunzMonte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasizufallszahlen Einführung Zufallszahlen verteilte Zufallszahlen Integration Simulation
Inhaltsverzeichnis
● Einführung● Pseudo- und Quasizufallszahlen● verteilte Zufallszahlen● Monte-Carlo-Integration● Monte-Carlo-Simulation
David KunzMonte-Carlo-Methode mit Pseudo- und Quasizufallszahlen Einführung Zufallszahlen verteilte Zufallszahlen Integration Simulation
Einführung
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Monte-Carlo-Methode● Bekannt nach Stadt Monte Carlo (wegen Casino) ● verwendet Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik● benutzt Zufallszahlen → „Methode der statistischen Versuche“● Fähigkeit, komplexe Probleme näherungsweise zu lösen● Schwierigkeitsgrad relativ gering
Fähigkeiten:● numerische Lösung von Problemen (Integrale, DGL, usw.) → deterministisch
● Simulation von Systemen mit Unsicherheiten → stochastisch
Einsatzgebiete:● Teilchenphysik● Astrophysik● Risikomanagement● ...
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Zufallszahlen
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Pseudozufallszahlen● Zufallszahlen ϵ [0,1] „zufällig“ durch Computer erzeugt ● linear kongruenter Generator:
I j=a⋅I j−1c mod m Bsp: 7 mod 2 = 1weil: 7/2=3 Rest 1
● Zufallszahl durch:● benötigt 3 ganzzahlige Konstanten:
z. B.
● und eine Saat:
a , c ,m ϵ ℤx j x j=I j /m
m=231−1, c=0, a=16807 (Park Miller Generator)
I 0
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Pseudozufallszahlen
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Quasizufallszahlen● gleichförmig verteilte zahlentheoretische Punktfolgen● nicht mehr unabhängig → systematisch konstruiert
● Richtmyer-Generator:
k-te Koordinate des i-ten Punkts:
mit : k-te Primzahl
● n Zufallsgeneratoren der n Dimensionen voneinander unabhängig
xik=ipk mod 1
pk
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Quasizufallszahlen
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Beispiel: Berechnung von Pi● erzeuge Punkte mittels zwei Pseudozufallszahlen und ϵ [0,1]
● Zähle Punkte innerhalb von Kreis (Radius 1)
● Pi erhält man dann aus:
N totx1 x2
N ac
x12x2
2≤1
pi=4N ac
N tot
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pi=3,13vgl.
=3,14
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Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen?
Simulation● Pseudozufallszahlen
Integration● Entscheidung durch Fehlerabschätzung:
=∣QN f − If ∣≤V f D∗∞ PN
Koksma-Hlawka-Ungleichung für Integrationsfehler
Diskrepanz (Maß für Ungleichverteilung)
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Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen?
Diskrepanz∣n−N vol J ∣ klein für alle J
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Gitter, Pseudozufallszahlen oder Quasizufallszahlen?
Integration● Für Dimensionen : Quasizufallszahlen bessere Diskrepanz als Pseudozufallszahlen
● Für Dimensionen : Kleinere Diskrepanz → kleinerer Fehler
→ Vorteil von Quasizufallszahlen mit größeren
● kleine N: Gitter so genau wie Quasizufallszahlen
● große N (ca. 2000): Gitter schlechtere Ergebnisse als Quasizufallszahlen
● Für : Gitter schlechter als Pseudozufallszahlen
● weiterer Nachteil von Gitter: Keine kontinuierliche Steigerung von N
s≤20
s≤10
s≥4
s
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verteilte Zufallszahlen
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verteilte Zufallszahlen● benötigt bei Integration und Simulation● gegeben: Homogen verteilte Zufallszahlen● gesucht: Zufallszahlen, die einer Wahrscheinlichkeitsdichte folgen
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Wegwerfmethode (von Neumann's Acceptance-Rejection Method)
● Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)● Eingrenzung (Box zwischen x1, x2 und fmax)● generiere Zufallszahl ϵ [x1,x2]● generiere zweite Zufallszahl u ϵ [0,fmax]● für u<f(x) wird x akzeptiert, ansonsten verworfen● wiederhole Vorgang
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Variablentransformation● gegeben: Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) Zufallszahlen u ϵ [0,1] mit g(u)=const.
● Methode: Transformiere u→x:
∫−∞
ug u ' du '=∫−∞
x uf x ' dx '
u=F x u
F−1u= x u
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VariablentransformationF−1u=x u
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VariablentransformationBsp: F−1u=x u f x =e−x F x=∫0
xdx ' e−x '=−e−x1
F−1u=−ln 1−u=x u
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Majorantenmethode(importance sampling)
● Kombination: Wegwerfmethode und Variablentransformation● wähle alle x
● generiere Zufallszahlen, die m(x) folgen (Variablentransformation)● generiere pro Zufallszahl x eine Zufallszahl u ϵ [0,m(x)]● verwerfe Zufallszahlen mit u>f(x)
m x f x
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Majorantenmethode(importance sampling)
Bsp: Planck-Verteilung
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Majorantenmethode(importance sampling)
Bsp: Planck-Verteilung
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Monte-Carlo-Integration
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Monte-Carlo-Integration
I=∫xa
xb y x ' dx ' mit y x ' 0
kann auf mehrere Dimensionen verallgemeinert werden
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Primitive Wegwerfmethode● erzeuge 2D-Zufallszahlen in Kasten zwischen , und ● Anzahl Punkte unterhalb y(x): ● Anzahl aller Punkte: ● Fläche des Kastens:
xa xb ymaxN
N 0I 0
I≈ I 0NN 0
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Primitive Wegwerfmethode● Unsicherheit durch Binomialverteilung:
P N =N 0
N N 1−N 0−N
Erfolgswahrscheinlichkeit ≈ NN 0
N=N 01−
II =N
N =1−N
II =1−
N
● Verbesserung durch Erhöhung von
● Verbesserung durch Erhöhung von NN 0
N
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Majorantenmethode● finde Majorante m(x) zu y(x)● erzeuge Punkte x', die Wahrscheinlichkeitsdichte m(x') folgen● dann → Wegwerfmethode:● generiere zu jedem ein mit ● Anzahl der Punkte unterhalb : N
I≈ I 0NN 0
I 0=∫xa
xb mx ' dx '
x ' y ' 0≤ y '≤mx ' y x '
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Wichtungsmethode
● mittle Funktionswerte mit Zufallszahlen zwischen und :
● entspricht herkömmlicher numerischer Integration● Unterschied: Stützstellen sind zufällig verteilt
I=∫xa
xb y x ' dx '
xa xb
y=1N ∑i=1
Ny xi
I≈xb− xa y
y 2≈ 1N N−1∑i
y xi−y ² II =y
y
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Wichtungsmethode
y 2≈ 1N N−1∑i
y xi−y ²
● Verbesserung durch Reduzierung der Schwankungen
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Vorteile der Monte-Carlo-Integration
● bessere Konvergenz für s-dimensionale Integrale mit als bei herkömmlicher numerischer Integration
● einfachere Behandlung der Integrationsgrenzen● Genauigkeit kann kontinuierlich gesteigert werden● Fehler leichter abschätzbar
s≥4
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Monte-Carlo-Simulation
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Photomultiplier
● herausgeschlagene Elektronen folgen Poisson-Verteilung
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Photomultiplier
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Photomultiplier
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