Inhaltsverzeichnis

7 Differentialrechnung mehrerer Variablen 17.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Gemischte Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.3 Anderung der C1-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.6 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.7 Richtungsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.8 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.9 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.10 Taylorreihen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.11 Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.12 Definite Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.13 Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.14 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.15 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.16 Der Hauptsatz uber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.17 Der Umkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.18 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Differentialrechnung mehrerer Variablen

Der Graph einer glatten Funktion f : R2 → R ist eine Flache F in R3. In der Nahedes Punktes P ∈ F kann man die Flache durch die Tangentialebene T im Punkt P ap-proximieren. Glatt bedeutet hierbei differenzierbar in einem zu prazisierenden Sinn. Wiruntersuchen dazu zunachst das Anderungsverhalten von Kurven γ, die in der Flache Fdurch einen Punkt P in Richtung der Koordinatenachsen verlaufen. Das fuhrt zum Begriffder partiellen Ableitungen. Verlaufen die Kurven in F oberhalb von Geraden durch P inRichtung v ∈ R2, kommt man analog zum Begriff der Richtungsableitung in Richtungv. Um zu sehen, wie man sinnvollerweise die Differenzierbarkeit fur Funktionen in Ba-nachraumen definieren sollte, untersuchen wir zunachst als einfachsten Fall die partiellenAbleitungen von Funktionen f : R2 → R.

7.1 Partielle Ableitungen

Sei f : A ⊆ R2 → R stetig. f reprasentiert uber seinen GraphenΓ := (x1, x2, f(x1, x2)) | (x1, x2) ∈ A eine “Flache” im R3.

Ist das Anderungsverhalten von f in (x1, x2) beschreibbar durch partielle Ableitungen,d.h. durch das Anderungsverhalten entlang Tangenten in achsenparallelen Richtungen?Sei x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

1

Definition. Sei A ⊆ Rn offen und x ∈ A. Eine Abbildung f : A → R ist in x partiellnach xj differenzierbar (j ∈ 1, . . . , n) :⇔ ∂f

∂xj(x) := lim

h→0

f(x1,...,xj+h,...,xn)−f(x1,...,xn)h

existiert. Die Schreibweise dafur ist auch ∂f(x)∂xj

= Djf(x) = fxj(x) . (Fur n = 2 oder 3

werden die Variablen oft mit x, y, z bezeichnet.) Ist ∂f∂xj

: A → R wieder partiell nach

xk differenzierbar, etc., bezeichnen wir diese hoheren Ableitungen mit ∂2f∂xk∂xj

(x) =

DkDjf(x) etc.

Somit: f ist in x partiell nach xj differenzierbar ⇔ (xj 7→ f(x1, . . . , xj−1, xj, xi+1 . . . xn)ist differenzierbar.) Man berechnet also eine partielle Ableitung ∂f

∂xj, indem man alle

anderen Variablen x0, . . . , xj−1, xj+1 . . . xn als Konstanten behandelt (also festhalt) undnach xj differenziert.

Beispiele.

1) f : R2 → R , f(x, y) = xey + sin(xy) .∂f∂x

(x, y) = ey + cos(xy) · y (y fest), ∂f∂y

(x, y) = xey + cos(xy) x (x fest).

2) f : R3 → R , f(x, y, z) = x2 + xy2 + 2z3 .∂f∂x

(x, y, z) = 2x+ y2 , ∂f∂y

(x, y, z) = 2xy , ∂f∂z

(x, y, z) = 6z2 .

3) f : Rn − 0 → R, f(x) = 1r, r =

√x21 + · · ·+ x2n = ||x||2 , x 6= 0 .

∂f∂xj

= −xj/r3 , j = 1 . . . n .

Ubung: ∂rα

∂xj.

4) f wie in 2). ∂2f∂y∂x

= 2y , ∂2f∂x∂y

= 2y .

∂2f∂x2

= 2 , ∂2f∂y2

= 2x , ∂2f∂z2

= 12z , ∂2f∂z∂y

= ∂2f∂y∂z

= 0 .

5) f wie in 3).

∂2f∂x2j

=3x2jr5− 1

r3: n = 3⇒

3∑j=1

∂2f∂x2j

= 3r3− 3

r3= 0 (x 6= 0).

2

7.2 Gemischte Ableitungen

In Beispiel 4) ergab sich ∂2f∂x∂y

= ∂2f∂y∂x

. Gilt dies allgemein?

Beispiel:

f : R2 → R , f(x, y) =

xy x2−y2

x2+y2(x, y) 6= 0

0 (x, y) = 0

.

Dann gilt

∂f

∂y(x, 0) =

x x 6= 0

limk→0

f(0,k)k

= 0 x = 0

,

∂f

∂x(0, y) =

−y y 6= 0

limh→0

f(h,0)h

= 0 y = 0

.

Diese beiden Funktionen haben stetige partielle Ableitungen, z.B. hat man|∂f∂x

(0, y)| ≤ 6√y2 + y2 . Es ergibt sich ∂f

∂x∂y(0, 0) = 1 6= −1 = ∂f

∂y∂x(0, 0) : Beide gemischten

partiellen zweiten Ableitungen sind unstetig in (0, 0) .

Definition. Sei Ω ⊆ Rn offen, ` ∈ N . Wir definieren die C`-Funktionen auf Ω durchC`(Ω) := f : Ω→ R | Dj` · · ·Dj1f : Ω→ R existiert fur alle ji ∈ 1, · · · , n und ist stetig.

Satz (Schwarz). Sei f ∈ C`(Ω). Dann sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung ≤ `unabhangig von der Differentiationsreihenfolge.

Beweis. Durch Induktion kann man o.B.d.A. annehmen, dass ` = 2 ist. Dann sind nur 2Variablen xj, xk veranderlich, die anderen fest. Also nehmen wir zur Vereinfachung derSchreibweise o.B.d.A. n = 2 an. Sei also f : Ω ⊆ R2 → R in C2(Ω) . Zu zeigen:∂2f∂y∂x

= ∂2f∂x∂y

. Sei (x0, y0) ∈ Ω und ε > 0 so klein, dass fur alle h, k ∈ R mit |h|, |k| < ε

gilt: (x0+h, y0+k) ∈ Ω . Die Funktion ϕ : [x0, x0+h]→ R, ϕ(x) := f(x, y0+k)−f(x, y0)ist differenzierbar nach x . Nach dem Mittelwertsatz existiert x1 ∈ (x0, x0 + h) mitϕ(x0 + h)− ϕ(x0) = h ϕ′(x1) . Definiere F : (0, ε)2 → R ,

F (h, k) := f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0) .

Dann ist F (h, k) = ϕ(x0 + h)− ϕ(x0) = h ϕ′(x1) = h[∂f∂x

(x1, y0 + k)− ∂f∂x

(x1, y0)]

. Einezweite Anwendung des Mittelwertsatzes ergibt einen Punkt y1 ∈ (y0, y0 + k) mit

F (h, k) = hk∂2f

∂y∂x(x1, y1) .

Analog definieren wir ψ : [y0, y0 + k]→ R, ψ(y) := f(x0 + h, y)− f(x0, y) . Ein ahnlichesArgument zeigt:

F (h, k) = ψ(y0 + k)− ψ(y0) = hk∂2f

∂x∂y(x2, y2)

mit gewissen Punkten x2 ∈ (x0, x0 + h), y2 ∈ (y0, y0 + k) . Da hk 6= 0 ist, folgt

3

∂2f

∂y∂x(x1, y1) =

∂2f

∂x∂y(x2, y2) .

Die Stetigkeit beider gemischten partiellen Abbildungen liefert fur |h|, |k| → 0, d.h. fur

(x1, y1)→ (x0, y0)← (x2, y2) , dass ∂2f∂y∂x

(x0, y0) = ∂2f∂x∂y

(x0, y0) gilt. 2

7.3 Anderung der C1-Funktionen

Eine Funktion, deren partielle Ableitungen existieren, ist i.a. nicht einmal stetig: Etwa:

f(x, y) =

x y = 0y x = 0

beliebig sonst

erfullt ∂f∂x

(0) = ∂f∂y

(0) = 1 , aber f ist unstetig!

Die partiellen Ableitungen von f : R2 → R in (x0, y0) machen Aussagen uber die Anderungvon f(x0 + h, y0) − f(x0, y0) bzw. f(x0, y0 + k) − f(x0, y0) . I.a. enthalten sie aber keineInformation uber “Gesamtanderung”

f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) .

Dafur benotigt man wieder die Stetigkeit von ∂f∂x, ∂f∂y

in x0 (d.h. f ∈ C1):

Satz 1. Sei Ω ⊆ Rn offen und f ∈ C1(Ω), x ∈ Ω . Dann ist f stetig und fur hinreichendkleines ε > 0 und h ∈ Rn mit ||h||2 < ε gilt:

f(x+ h)− f(x) =n∑i=1

∂f(x)

∂xjhj + r(h) mit lim

h→0

r(h)

||h||2= 0 .

Beweis. Wahle ε > 0 so klein, dass aus ||y − x||2 < ε folgt: y ∈ Ω . Fur h = (h1, . . . , hn)mit ||h||2 < ε setzen wir (mit ei = i-ter Einheitsvektor)

h(j) =

j∑i=1

hiei (j = 1, . . . , n) ; h(0) = 0, h(n) = h .

Wegen ||h||2 < ε ist ||h(j)||2 < ε . Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte x(j) auf derStrecke von x + h(j−1) nach x + h(j) (bei alleiniger Anderung in der Koordinate xj), sodass

f(x+ h)− f(x) =n∑j=1

[f(x+ h(j))− f(x+ h(j−1))]

=n∑j=1

hj ·∂f

∂xj(x(j)) =

n∑j=1

∂f

∂xj(x) hj + r′(h)

mit r(h) :=n∑j=1

(∂f∂xj

(x(j))− ∂f∂xj

(x))· hj gilt. Eine Anwendung der Ungleichung von

Cauchy-Schwarz ergibt:

|r(h)|||h||2

≤

(n∑j=1

∣∣∣∣ ∂f∂xj (x(j))− ∂f

∂xj(x)

∣∣∣∣2)1/2

.

4

Nach Voraussetzung ist ∂f∂xj

stetig in x . Fur h→ 0 geht x(j) → x , somit geht die Summe

gegen Null, d.h. limh→0

r(h)||h||2 = 0 . Speziell ist f stetig. 2

Bemerkung. Man nennt ∇f : Ω → Rn, ∇f(x) =(∂f∂x1

(x), . . . , ∂f∂xn

(x))

auch den Gra-

dienten von f in x . Damit hat man

f(x+ h)− f(x) = ∇f(x) · h+ r(h) .

Allgemeiner betrachten wir jetzt Abbildungen f : Ω ⊆ Rn → Rm (z.B. ein raumliches

Feld). Dann ist f =

f1...fm

mit fj : Ω→ R .

Definition. Seien `, n,m ∈ N und Ω ⊆ Rn offen. Sei f : Ω → Rm . Dann ist f ∈C`(Ω,Rm) :⇔ Alle partiellen Ableitungen bis zur `-ten Ordnung existieren und sind stetig.In Koordinatenschreibweise ist

∂f

∂xj:=

t(∂f1∂xj

, . . . ,∂fm∂xj

)etc. Man nennt

f ′(x0) = Df(x0) =df(x0)

dx=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

......

∂fm∂x1

· · · ∂fm∂xn

(x0)

die Funktionalmatrix oder Jacobimatrix von f in x0 .

Satz 2. Sei Ω ⊆ Rn offen und f : Ω→ Rm in C1(Ω,Rm) . Sei x0 ∈ Ω . Dann gilt fur alleh ∈ Rn − 0 mit kleiner Norm

f(x+ h)− f(x) = Df(x) h+ r(h)

mit r(h) ∈ Rm und limh→0

r(h)||h|| = 0 , wobei der Limes im Rm gebildet wird.

Beweis. Fur j = 1, . . . ,m gilt nach Satz 1

fj(x+ h)− fj(x) = ∇fj(x) · h+ rj(h) , limh→0

rj(h)

||h||= 0 (in R) .

Fasst man dies fur alle j = 1, . . . ,m zusammen, ergibt sich die Behauptung.In Matrixschreibweise ist:Df(x)·h = t(∇f1(x)·h, . . . ,∇fm(x)·h) , r(h) = t(r1(h), . . . , rm(h)) .

2

5

7.4 Differenzierbarkeit

Seien f : R→ R bzw. g : Rn → Rm C1-Funktionen. Dann gilt

f(y0 + k)− f(k) = f ′(y0)k +R(k) , g(x0 + h)− g(x0) = g′(x0)h+ r(h)

mit f ′(y0) ∈ R , g′(x0) ∈ Rm×n (Matrix oder lineare Abbildung: Rn → Rm), k ∈ R ,

h ∈ Rn , limk→0

R(k)k

= 0 , limh→0

r(h)||h|| = 0. Dies fuhrt zu der folgenden Definition:

Definition. Seien X, Y Banachraume und Ω ⊆ X offen, ferner x0 ∈ Ω. Eine Abbildungf : Ω → Y heißt differenzierbar in x0 :⇔ . Es gibt eine stetige lineare AbbildungT : X → Y mit: ∃ε > 0 ∀h ∈ X , ||h||X < ε

f(x0 + h)− f(x0) = Th+ r(h) mit limh→0

r(h)

||h||= 0 (in Y ) . (∗)

Satz. Sei f : Ω ⊆ Rn → Rm differenzierbar in x0 . Dann ist T eindeutig bestimmt,

und jede Koordinatenfunktion fi von f , f =

f1...fm

, ist partiell differenzierbar nach allen

xj (j = 1, . . . ,m) und T ist die Jacobi-Matrix T =

∂f1∂x1

. . . ∂f1∂xn

∂fm∂x1

. . . ∂fm∂xn

(x0) , die automa-

tisch stetig ist.

Beweis. Mit T = (tij)i=1,··· ,m, j=1,··· ,n ist

fi(x0 + h)− fi(x0) =n∑j=1

tijhj + ri(h) , limh→0

ri(h)

||h||= 0 .

Wahle h = hkek ∈ Rn . Dann besitzt

fi(x0 + h)− fi(x0) = tikhk + ri(h) ,

fi(x0 + h)− fi(x0)hk

= tik +ri(h)

hk

einen Limes fur h→ 0, d.h. fur hk → 0 , und es ist tik = ∂fi∂xk

(x0) . Also ist fi partiell nachxk differenzierbar und tik ist damit eindeutig bestimmt. 2

Vergleicht man den Satz mit Satz 2 aus 7.3, rechtfertigt dies die folgende Bezeichnung.

Definition. f : Ω ⊆ X → Y sei differenzierbar in x0 ∈ Ω . Dann heißt die stetige lineareAbbildung T aus (∗) die (totale) Ableitung von f in x0 und wird mitDf(x0) = f ′(x0) = df

dx(x0) bezeichnet. Im Fall X = Rn, Y = Rm ergibt sich gerade die

Funktional- oder Jacobimatrix (in Matrixdarstellung).

6

Bemerkungen:

1) Der Begriff ist im allgemeinen von Normen auf X und Y abhangig. Im FalleX = Rn, Y = Rm jedoch nicht, da alle Normen auf X bzw. auf Y aquivalent sind.

2) Die Ableitung von f : Ω ⊆ X → Y ist also eine Abbildung

Df : Ω→ L(X, Y ) .

3) Y = R : Df(x0) : Rn → R wird durch das Skalarprodukt mit dem Gradientenvon f in x0 gegeben, d.h. Df(x0)(v) =< ∇f(x0), v >. Der Gradient spannt denTangentialraum in f(x0) auf.

7.5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Definition. Seien X, Y Banachraume, Ω ⊆ X offen und x0 ∈ Ω . Eine Abbildungf : Ω→ Y heißt stetig differenzierbar in Ω: ⇔Df : Ω→ L(X, Y ) existiert und ist stetig in Ω . Wir schreiben f ∈ C1(Ω, Y ) .Dies stimmt mit Definition 7.2 uberein, da gilt:

Satz. (a) f ist differenzierbar (in Ω) ⇒ f ist stetig (in Ω).

(b) Fur X = Rn, Y = Rm gilt: f ist stetig differenzierbar in Ω ⇔ f ∈ C1(Ω,Rm) .

Beweis.

(a) Fur h→ 0 geht f(x0 + h)− f(x0) = Th+ r(h) gegen Null. Da Konvergenz in Rnm

koordinatenweise Konvergenz bedeutet, gilt mit 7.3, Satz 2, 7.4 und 7.2:Df : Ω→ L(Rn,Rm) ' Rn×m ist stetig in x0 fur alle x0 ∈ Ω⇔

∀j = 1, . . . , n, i = 1, . . . ,m∂fi∂xj

= (Df)ij ist stetig in x0 fur alle x0 ∈ Ω

⇔ f ∈ C1(Ω,Rm) .

Wir haben folgende Implikationen:

f ist stetig differenzierbar 6⇐⇒f ist differenzierbar

6⇐⇒ Alle 1. partiellen Ableitungen von f existieren

6⇐⇒ f ist stetig

Ubungen:

1) Eigenschaften durch Beispiele abgrenzen.

2) f : Ω ⊆ Rn → Rm ist differenzierbar in x0 ⇐⇒ f1, . . . , fm differenzierbar in x0 .

7

Beispiele:

a) Fur konstante Funktionen f : Rn → Rm , x 7→ c ∈ Rm gilt: Df(x) = 0, x ∈ Rn .

b) Sei f : X → Y stetig und linear, d.h. f(x) = T (x) mit T ∈ L(X, Y ) . Da

f(x0 + h)− f(x0) = T (x0 + h)− T (x0) = T (h) = T (h) + 0 , r(h) = 0 ,

folgt f ′(x0) = T = f fur alle x0 ∈ X . Somit ist f ′(x0) = F : X → Y , lineareAbbildungen reproduzieren sich selbst bei Ableitung in einem festen Punkt.

c) Sei f : (R+)2 → R2, f(x, y) =

(x+√y√

x+ y

). f ist differenzierbar mit

f ′(x, y) = Df(x, y) =

(1 1

2√y

12√x

1

).

d) f : Rn → R heißt homogen vom Grad α :⇔ f(tx) = tαf(x) ; x ∈ Rn, t ∈ R+ .Ist f differenzierbar, gilt Df(x)x = αf(x) .

e) Die Polarkoordinaten-Abbildung f : (0,∞)×(0, 2π)→ R2, (x, y) 7→ (r cosϕ, r sinϕ)

hat die Jacobi-Matrix J =

(cosϕ −r sinϕsinϕ r cosϕ

)mit det (J) = r 6= 0 fur (x, y) 6= 0 .

7.6 Differentiationsregeln

Satz 1. Seien X, Y Banachraume und Ω ⊆ X offen. Seien f, g : Ω → Y differenzierbarin x0 ∈ Ω . Dann gilt:

(a) f + g, αf sind differenzierbar in x0 mit (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) ,(αf)′(x0) = αf ′(x0) .

(b) Fur Y = R ist f · g differenzierbar in x0 mit (fg)′(x0) = f(x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0) .

(Als Elemente von X∗ = L(X,R) ; f(x0), g(x0) ∈ R .) Analog fur den Quotientenf/g, g(x0) 6= 0 .

Beweis.

(a) f(x0+h)−f(x0)=f ′(x0)h+r1(h)g(x0+h)−g(x0)=g′(x0)g+r2(h)

ri(h)||h|| → 0 (h→ 0, i = 1, 2)

⇒ (f + g)(x0 +h)− (f + g)(x0) = (f ′(x0) + g′(x0))(h) + r(h), r(h) := r1(h) + r2(h) .

Also existiert (f + g)′(x0) und ist gleich f ′(x0) + g′(x0) .

(b) Ubung.

2

8

Satz 2. (Kettenregel). Seien X, Y, Z Banachraume, F ⊆ X offen, G ⊆ Y offen undf : F → Y mit f(F ) ⊆ G, g : G → Z . Ist dann f in x0 ∈ F differenzierbar, g iny0 := f(x0) ∈ G differenzierbar, ist g f : F → Z in x0 differenzierbar mit

(g f)′(x0) = g′(y0) f ′(x0) .

Bemerkung: Letzteres ist als Operatorenhintereinanderschaltung zu interpretieren mit

f ′(x0) ∈ L(X, Y ), g′(y0) ∈ L(Y, Z) .

Beweis: Fur kleine ε > 0 und alle h ∈ X mit ||h||X < ε existiert nach Voraussetzung(g f)(x0 + h) . Da g differenzierbar ist, gilt

(g f)(x0 + h)− (g f)(x0) = g(f(x0 + h))− g(f(x0))

= g′(f(x0))[f(x0 + h)− f(x0)] + r1(f(x0 + h)− f(x0))

mit limk→0

r1(k)||k|| = 0 in Y . Setze %(k) := r1(k)

||k|| , k 6= 0 . Also: limk→0

%(k) = 0 in Y . Da f

differenzierbar ist, gilt f(x0 + h)− f(x0) = f ′(x0) · h+ r2(h) mit limh→0

r2(h)||h|| = 0 in X . Es

folgt:

(g f)(x0 + h)− (g f)(x0) = g′(f(x0))[f′(x0)h+ r2(h)] + ||f ′(x0)h+ r2(h)|| %(f ′(x0)h+ r2(h))

= g′(f(x0)) f ′(x0) h+ r(h) ,

wobeir(h) := g′(f(x0)) r2(h) + ||f ′(x0)h+ r2(h)|| %(f ′(x0)h+ r2(h))

d.h. r(h)||h|| −→h→0

0 , da wegen der Stetigkeit der linearen Abbildungen g′(f(x0)) und f ′(x0)

gilt:

g′(f(x0)

r2(h)

||h||→0

→ 0, %(f ′(x0)h︸ ︷︷ ︸→0

+ r2(h)︸ ︷︷ ︸→0

)→ 0 ,

und ||f ′(x0) h||h||+

r2(h)||h|| || ≤ ||f

′(x0)||+1 beschrankt ist, da fur kleine h gilt ||r2(h)|| ≤ ||h|| .Es folgt also

(g f)′(x0) = g′(y0) f ′(x0) .

2

Spezialfalle im Rn:

Seien X = Rn, Y = Rm, Z = R`, f =

f1...fm

, g =

g1...g`

wie in Satz 2 mit F ⊆ X,

G ⊆ Y . Bezeichnen xj die Variablen in X und yk die Variablen in Y , lasst sich dieKettenregel in Matrixschreibweise so formulieren:

9

(g f)(x) =

g1(f1(x), . . . , fm(x))...

g`(f1(x), . . . , fm(x))

=

(g f)1(x)...

(g f)`(x)

,

D(g f)(x0) =

∂(gf)1∂x1

. . . ∂(gf)1∂xn

......

∂(gf)`∂x1

. . . ∂(gf)`∂xn

(x0) =

∂g1∂y1

. . . ∂g1∂ym

......

∂g`∂y1

. . . ∂g`∂ym

(f(x0))

∂f1∂x1

. . . ∂f1∂xn

......

∂fm∂x1

. . . ∂fn∂xn

(x0) .

Das bedeutet

∂(g f)i∂xj

(x0) =m∑k=1

∂gi∂yk

(y0)∂fk∂xj

(x0) fur i = 1, . . . , `, j = 1, . . . , n0 . (1)

Speziell ist der Fall ` = 1 wichtig, g f : Rn → R . Dann ist

∂(g f)

∂xj(x0) =

m∑k=1

∂g

∂yk(y0)

∂fk∂xj

(x0) .

Fur n = m = ` erhalt man quadratische Matrizen; die Determinante der Jacobi-Matrixwird sich spater als wichtig herausstellen; man hat dann

det (D(g f)(x0)) = det (Dg(y0)) · det (Df(x0)) . (2)

Beispiel: Sei f : (R+)2 → (R+)2 , f1(x1, x2) = x1x2, f2(x1, x2) =√x1/x2

g : R2 − 0 → R , g(y1, y2) = ln(y21 + y22) .Dann ist (g f)(x1, x2) = ln(x21x

22 + x1/x

22) =: h(x1, x2) ,

∂h

∂x1=

∂g

∂y1

∂f1∂x1

+∂g

∂y2

∂f2∂x1

=2y1

y21 + y22· x2 +

2y2y21 + y22

· 1

2√x1x2

∣∣∣∣yi=fi(x1,x2)

=2x1x

42 + 1

x21x42 + x1

(dies ist naturlich auch direkt berechenbar!) ,

∂h

∂x2=

∂g

∂y1

∂f1∂x2

+∂g

∂y2

∂f2∂x2

=2y1

y21 + y22· x1 +

2y2y21 + y22

·(−√x1x22

)∣∣∣∣yi=fi(x1,x2)

=2(x21x

32 − x1/x2)

x21x42 + x1

.

7.7 Richtungsableitungen

Man interessiert sich nicht nur fur Funktionsanderungen in koordinatenparallelen Richtun-gen xj , sondern in beliebigen Richtungen. Das fuhrt zum Begriff der Richtungsableitung,der die partiellen Ableitungen verallgemeinert.

Definition. Sei x0 ∈ Ω ⊆ Rn offen, f : Ω → Rm . Sei v ∈ Rn, ||v||2 = 1 . Man nennt∂f∂v

(x0) = limt→0

f(x0+tv)−f(x0)t

die (Richtungs-)Ableitung von f in x0 in Richtung v,

falls der Limes existiert.

10

Offenbar ist ∂f∂xj

= ∂f∂ej

. O.B.d.A. sei m = 1, sonst wende man den folgenden Satz auf die

Koordinatenfunktionen an.

Satz. Sei Ω ⊆ Rn offen und x0 ∈ Ω . Sei f : Ω→ R in x0 differenzierbar. Dann existiert∂f∂v

(x0) fur alle Richtungsvektoren v ∈ Rn, ||v||2 = 1 und es gilt

∂f

∂v(x0) = f ′(x0)(v) = ∇f(x0) · v =

n∑i=1

∂f(x0)

∂xivi . (1)

Falls ∇f(x0) 6= 0 ist, gibt es unter allen Richtungsableitungen ∂f∂v

(x0) – v variierend mit

||v||2 = 1 – eine großte, namlich die Ableitung in Gradientenrichtung v = ∇f(x0)||∇f(x0)||2 mit

dem Wert ||∇f(x0)||2 .

Beweis.

(i) Es ist f(x0+tv)−f(x0)t

= f ′(x0)(tv)+r(tv)t

= f ′(x0)(v) + r(tv)t

. Da limt→0

r(tv)t

= 0 , folgt die

erste Behauptung (1). Fur v = (vi)ni=1 ∈ Rn mit ||v||2 = 1 gilt

(ii)∣∣∂f∂v

(x0)∣∣ ≤ ( n∑

i=1

∣∣∣∂f(x0)∂xi

∣∣∣2)1/2

||v||2 mit der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, also∣∣∂f∂v

(x0)∣∣ ≤ ||∇f(x0)||2 . Speziell fur v0 = ∇f(x0)

||∇f(x0)||2 folgt aus (1)

∂f

∂v0(x0) =

∇f(x0) · ∇f(x0)

||∇f(x0)||2= ||∇f(x0)||2 ,

d.h. das Maximum von ∂f∂v

(x0) fur alle obigen v wird fur die Gradientenrichtung v0angenommen.

2Fur die entgegengesetzte Richtung (−v0) ist ∂f

∂(−v0)(x0) = − ∂f∂v0

(x0) = −||∇f(x0)||2 : dieRichtung des Gradienten ist die Richtung starksten Anstiegs von f , die Richtung desnegativen Gradienten die Richtung des starksten Abfallens von f (nahe x0).

7.8 Der Mittelwertsatz

Satz. (Mittelwertsatz) Sei X ein Banachraum und sei Ω ⊆ X offen. Sei f : Ω→ R stetigdifferenzierbar. Dann gilt fur je zwei Punkt x0, x ∈ Ω , fur die die verbindende Strecke Sganz in Ω liegt: Es gibt θ, 0 < θ < 1 mit f(x) = f(x0) +Df(x0 + θ(x− x0))(x− x0) .

Beweis. Definiere ϕ : [0, 1] → R, ϕ(t) := f(x0 + t(x − x0)) . ϕ ist nach Voraussetzungwohldefiniert und differenzierbar. Nach der Kettenregel gilt:

dϕ

dt(t) = Df(x0 + t(x− x0)) · (x− x0) , da

d

dt(x0 + t(x− x0)) = x− x0 ist.

Der Mittelwertsatz fur reelle Funktionen einer Veranderlichen mit ϕ(0) = f(x0), ϕ(1) =f(x) , liefert dann die Behauptung. 2

11

Bemerkung. FurX = Rn istDf(x) = ∇f(x), f(x) = f(x0)+∇f(x0+θ(x−x0))·(x−x0) ,wobei · das Skalarprodukt im Rn bezeichnet. Versteht man die folgenden Integrationenkomponentenweise, so ist es richtig, dass

f(x)− f(x0) = ϕ(1)− ϕ(0) =

1∫0

dϕ

dt(t)dt

(∗)=

1∫0

∇f(x0 + t(x− x0))dt

· (x− x0).Eine Anwendung auf die Komponentenfunktionen von f : Ω ⊆ Rm liefert das folgende

Korollar. Sei f : Ω ⊆ Rn → Rm stetig differenzierbar und seien x0, x ∈ Ω mit Verbin-dungsstrecke S ganz in Ω . Dann gilt

||f(x)− f(x0)|| ≤M ||x− x0|| , M = supy∈S||f ′(y)||op <∞ .

Beweis. Aus (∗) und der Dreiecksungleichung, angewandt auf die Riemann-Summen imIntegral, folgt im Grenzwert, dass

||f(x)− f(x0)|| = ||

1∫0

∇fi(x0 + t(x− x0)) · (x− x0)dt

m

i=1

||

≤1∫

0

||(∇fi(x0 + t(x− x0)) · (x− x0))mi=1||dt

≤∫ 1

0

||Df(x0 + t(x− x0))||op||x− x0||dt

≤(

supy∈S||Df(y)||op

)||x− x0|| .

Nun ist ||Df(·)||op : SDf−→L(Rn,Rm)

||·||op−→R stetig, nimmt also sein Maximum auf S an;daher ist M = sup

y∈S||Df(y)||op <∞ . 2

Bemerkung: In den meisten Fallen wird der Mittelwertsatz in einer Ungleichungsformwie im Korollar verwandt.

7.9 Die Taylorsche Formel

Wendet man die Taylorsche Formel fur Funktionen in R auf die Funktion ϕ aus 7.8 an,ergibt sich die Taylorformel im Rn . Dazu folgende Vorbemerkungen undNotationen:

12

(1) Seien X, Y Banachraume, Ω ⊆ X offen und sei f : Ω→ Y zweimal differenzierbar.Dann bilden ab:

Df : Ω ⊆ X → L(X, Y ) und D2f : Ω ⊆ X → L(X,L(X, y))

Nun kann man aber L(X,L(X, Y )) mit den bilinearen Abbildungen von X ×Xnach Y identifizieren, L(X,L(X, Y )) = L(X × X, Y ); allgemein fur `-mal diffe-renzierbare Funktionen, die `-fach multilinearen Abbildungen L(X × · · · × X, Y )betrachten: D`f : Ω ⊆ X −→ L(X × · · · ×X︸ ︷︷ ︸

`

, Y ) .

Wir schreiben D`f(x0)(x1, . . . , x`) fur die Anwendung von D`f(x0) auf das n-Tupel(x1, . . . , x`) .

(2) Multiindizes-Schreibweise: Sei α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn . Setze |α| =n∑j=1

αj und fur

Ω ⊆ Rn, f ∈ C`(Ω, Y ) und |α| ≤ ` : Dαf(x0) := ∂|α|f(x0)(∂xn)αn ...(∂x1)α1

, Dαf ∈ C(Ω) .

α! := α1! . . . αn! , xα := xα11 . . . xαnn fur x ∈ Rn .

Satz (Taylorsche Formel). Sei X ein Banachraum und Ω ⊆ X offen. Sei f : Ω → R inCk+1(Ω) und seien x0, x ∈ Ω so, dass die Verbindungsstrecke S von x0 nach x ganz in Ωliegt. Dann gibt es ein θ , 0 < θ < 1 , mit

f(x) = f(x0) +Df(x0)

1!(h) +

D2f(x0)

2!(h, h) + · · ·+ Dkf(x0)

k!(h, . . . , h)︸ ︷︷ ︸

k

+Dk+1f(x0 + θh)

(k + 1)!(h, . . . , h)︸ ︷︷ ︸

k+1

mit h := x− x0 .

Korollar. Sei Ω ⊆ Rn offen und f ∈ Ck+1(Ω). Seien x0, x ∈ Ω mit Verbindungsstrecke Sin Ω . Dann gibt es θ, 0 < θ < 1 , mit

f(x) =k∑|α|=0

Dαf(x0)

α!hα +

∑|α|=k+1

Dαf(x0 + θh)

α!hα , h := x− x0 .

Beweis.

(1) Sei h := x− x0 . Setze ϕ : [0, 1]→ R , ϕ(t) := f(x0 + th). Es folgtdϕdt

(t) = Df(x0 + th)(h) . Die Kettenregel 7.6 liefert fur die zweite Ableitung von ϕ

d2ϕ

dt2(t) = D2f(x0 + th)(h, h) .

Analog giltdjϕ

dtj(t) = Djf(x0 + th) (h, . . . , h)︸ ︷︷ ︸

j-mal

.

13

Somit liefert die Taylorsche Formel 5.8 in einer Variablen

f(x) = ϕ(1) = ϕ(0) +ϕ′(0)

1!+ · · ·+ ϕ(k)

k!+ϕ(k+1)(θ)

(k + 1)!

= f(x0) +Df(x0)

1!(h) + · · ·+ Dkf(x0)

k!(h, . . . , h)︸ ︷︷ ︸

k

+Dk+1f(x0 + θh)

(k + 1)!(h, . . . , h)︸ ︷︷ ︸

(k+1)

.

(2) Im Fall des Korollars X = Rn benutzen wir die explizitere Darstellung der Ablei-tungen uber partiellen Ableitungen (siehe Kettenregel):

dϕ

dt= ∇f(x0 + th) · h = (h · ∇)f(x0 + th) .

Wendet man dieses auf dϕdt

statt ϕ an, erhalt man formal durch Induktion

djϕ

dtj(t) = (h · ∇)(j)f(x0 + th) , (f · ∇)(j)f := (h · ∇)(h · ∇)j−1f .

Wie beim binomischen (polinomischen) Lehrsatz gilt die Entwicklung

(h · ∇)(j) = (h1∂

∂x1+ · · ·+ hn

∂

∂xn)(j)

=∑|α|=j

j!

α!hα Dα ,

somit ist

f(x) =k∑j=0

∑|α|=j

Dαf(x0)

α!hα +

∑|α|=k+1

Dαf(x0 + hθ)

α!hα =

k∑|α|=0

· · ·+∑|α|=k+1

· · ·

2

Beispiel: Fur n = 2 ist in abgekurzter Schreibweise (ohne Variablen)

f(x0 + h, y0 + k)

= f + (fxh+ fyh) +1

2(fxxh

2 + 2fxyhk + fyyh2) +

1

6(fxxxh

3 + 3fxxyh2h+ 3fxyyhh

2 + fyyyh2) + · · ·

7.10 Taylorreihen und Potenzreihen

Das Problem der Konvergenz von Taylorreihen ist analog zum Eindimensionalen. Manhat Reihen uber abzahlbare Indexmengen J ohne naturliche Anordnung in einer Einfach-reihe (bzgl. N). Die Konvergenz kann daher sinnvollerweise als “unbedingte Konvergenz”untersucht werden:

Definition. Sei J abzahlbar und seien ai ∈ R fur i ∈ J . Eine Reihe∑i∈J

ai heißt konver-

gent gegen a ∈ R :⇔

14

∀ε > 0 ∃I0 ⊆ Jendlich

∀I ⊆ J, I0 ⊆ I

∣∣∣∣∣∑i∈I

ai − a

∣∣∣∣∣ < ε .

Satz 1.∑i∈J

ai konvergent ⇔ supI⊆J

endlich

∑i∈I|ai| <∞ .

Die linke Aussage entspricht der unbedingten, die rechte der absoluten Konvergenz. In Nsind beide nach 2.12 aquivalent, der Beweis dort lasst sich fur diesen Fall modifizieren.Wir beweisen Satz 1 daher nicht (siehe Grauert-Lieb II, Kap. 3, §5). Wegen der absolutenKonvergenz sind die Voraussetzungen des großen Umordnungssatzes 2.13 erfullt, man hatanalog

Satz 2. Sei∑i∈J

ai = a konvergent. Sei J =⋃λ∈L

Jλ, L abzahlbar, Jλ paarweise disjunkt.

Mit∑i∈Jλ

ai = aλ gilt:∑λ∈L

aλ = a konvergiert gegen a .

(Dies entspricht∑n

∑m

anm =∑m

∑n

anm).

Satz 3. Seien aα ∈ R fur α ∈ N0, x0 ∈ Rn . Es sei die Potenzreihe

f(x) :=∞∑|α|=0

aα(x − x0)α in x1 ∈ Rn mit cj := |x1j − x0j| > 0 (∀j = 1, . . . , n) konver-

gent im gerade definierten Sinne. Dann konvergiert die Potenzreihe auch fur alle x imoffenen Quader Q = x ∈ Rn | |xj − x0j| < cj, j = 1, . . . , n . Sie ist dort beliebig oftdifferenzierbar, die Ableitungen berechnen sich durch gliedweise Differentiation und manhat Dαf(x0) = α! aα .

Beweis.

(a) O.B.d.A. sei x0 = 0 . Aus “∞∑|α|=0

aαxα1 konvergiert” folgt:

∃R > 0 ∀α ∈ Nn0 |aαxα1 | ≤ R .

Sei I0 ⊆ Nn0 endlich. Fur x ∈ Q, |xj| < |x1j| gilt dann∑

α∈I0

|aαxα| =∑α∈I0

|aαxα1 ||xα||xα1 |≤ R

∑α∈I0

qα

mit q = (q1, . . . , qn), qi :=∣∣∣ xix1i ∣∣∣ < 1. Aber die letztere geometrische Reihe konver-

giert nach Satz 2,

∑α∈Nn0

qα =∞∑

α1=0

· · ·∞∑

αn=0

aα11 . . . qα1

n =n∏i=1

1

1− qi,

also supI0

∑α∈I0 |aαx

α| < ∞ : Die Reihe∑α∈Nn0

aαxα konvergiert nach Satz 1; es liegt

absolute Konvergenz im Inneren des Quaders Q vor.

15

(b) Wegen der Konvergenz gilt∞∑|α|=0

aαxα =

∞∑α1=0

(∞∑

α2=···=αn=0

aαxα22 . . . xαnn

)xαn1 = f(x) ,

wobei x2, . . . , xn fest sind. Nach 5.20 (Differentiation von Reihen einer Variablen)

existiert ∂f∂x1

und ist gleich ∂f∂x1

(x) =∞∑

α1=1

(∞∑

α1...α2=0

aαxx22 . . . xαnn

)α1x

α1−11 : ∂f

∂x1ist

wieder stetig, also spielt die Differentiationsreihenfolge keine Rolle. Mittels Induk-tion behandelt man f ∈ Ck(Q), k = 1, 2, . . . , bzw. f ∈ C∞(Q) .

Die letzte Formel ergibt sich durch Differentiation. 2

Korollar. Konvergiert die Potenzreihe f(x) :=∞∑|α|=0

aα(x− x0)α in einem offenen Quader

um x0 , stimmt sie mit der Taylorreihe von f uberein.

Satz 4. Sei x0 ∈ Rn, c ∈ Rn mit cj > 0, j = 1, . . . , n undQ := x ∈ Rn | |xj − x0j| < cj, j = 1, . . . , n . Sei f ∈ C∞(Q) und es gebe R > 0 mit:|Dαf(x)|

α!cα ≤ R gilt fur alle x ∈ Q . Dann wird f in Q durch seine Taylorreihe dargestellt,

f(x) =∞∑|α|=0

Dαf(x0)α!

(x− x0)α .

Beweis. O.B.d.A. sei x0 = 0, x ∈ Q .

|f(x)−k−1∑|α|=0

Dαf(0)

α!xα| =

∣∣∣∣∣∣∑|α|=k

Dαf(θx)

α!xα

∣∣∣∣∣∣ ≤∑|x|=k

|Dαf(θx)|α!

cα∣∣∣∣xαcα

∣∣∣∣≤ R

∑|α|=k

qα mit q = (q1 . . . qn), qi :=|xi|ci

< 1 .

Fur k →∞ geht der Fehler (Rest) gegen Null.2

7.11 Konstanten

Definition. Sei Ω ⊆ Rn offen. Ω heißt zusammenhangend :⇔ Je zwei Punkt x0, x ∈ Ωlassen sich durch einen Streckenzug in Ω verbinden. Ω ⊆ Rn Gebiet :⇔ Ω ist offen undzusammenhangend.

Satz. Sei Ω ⊆ Rn ein Gebiet und f : Ω→ R in C1(Ω) mit Djf = 0 in Ω (j = 1, . . . , n) .Dann ist f konstant in Ω .

Beweis. Seien x0, x ∈ Ω, x0, x1, x2, . . . , x`−1, x` = x die Ecken eines x0 und x verbinden-den Streckenzugs in Ω . Auf jede Teilstrecke von xj−1 nach xj (j = 1, . . . , `) angewandt,ergibt der Mittelwertsatz, dass f(xj) = f(xj−1) ist. Somit ist f(x) = f(x0) konstant. 2

16

7.12 Definite Matrizen

Wie im Eindimensionalen lassen sich der Mittelwertsatz und die Taylorsche Formel zurCharakterisierung von Maxima und Minima von Funktionen f : Ω ⊆ Rn → R verwenden.Dazu benotigen wir einige Aussagen aus der linearen Algebra.

Definition. Sei A = (aij)ni,j=1 eine symmetrische Matrix. A heißt positiv [negativ]

definit :⇔ ∀x ∈ Rn − 0n∑

i,j=1

aijxixj > 0 [< 0] . A heißt semidefinit, falls dies

≥ 0 [≤ 0] ist. Man nennt ∆k := det (aij)ki,j=1 die k-te Abschnittsdeterminante von A

fur 1 ≤ k ≤ n .

Satz 1. Sei A eine symmetrische n× n-Matrix. Dann gilt:

(1) A ist positiv definit ⇔ ∆k > 0, k = 1, . . . , n .

(2) A ist negativ definit⇔ (−1)k∆k > 0, k = 1, . . . , n (d.h. die ∆k haben alternierendeVorzeichen).

Satz 2. Sei A eine symmetrische n× n-Matrix. Dann gilt:

A ist positiv definit ⇔ ∃α > 0 ∀x ∈ Rnn∑

i,j=1

aijxixj ≥ α||x||22 .

Beweis. “⇐” klar.

“⇒ ” Betrachte f(x) =n∑

i,j=1

aijxixj fur x = (xj)nj=1 ∈ Rn . Dann ist f stetig auf dem Rn ,

nimmt also ihr Maximum und Minimum auf der kompakten MengeS = x ∈ Rn | ||x||2 = 1 an. Wahle x0 ∈ S mit f(x0) = min

x∈Sf(x) . Da x0 6= 0 , muss

α := f(x0) > 0 sein, denn A ist positiv definit. Somit gilt 1||x||22

f(x) = f(

x||x||2

)≥ α , d.h.

f(x) ≥ α||x||22 .2

7.13 Extremalprobleme

Definition. Sei Ω ⊆ Rn offen. Eine stetige Funktion f : Ω → R, f ∈ C(Ω) besitzt inx0 ∈ Ω ein relatives Maximum [Minimum]:⇔ ∃x0 ∈ U ⊆ Ω Umgebung ∀x ∈ U, x 6= x0 f(x0) ≥ f(x) [f(x0) ≤ f(x)].Gilt sogar > [<] , heißt das Maximum [Minimum] strikt. Ein Extremum ist ein Maxi-mum oder ein Minimum. Absolute Extrema sind analog definiert.

Satz 1. Sei Ω ⊆ Rn eine Umgebung von x0 und sei f : Ω→ R in C1(Ω). Dann gilt:Hat f in x0 ein relatives Extremum, folgt ∇f(x0) = 0 .

Beweis. Sei j ∈ 1, . . . , n . Dann hat g(xj) := f(x0,1, . . . , x0,j−1, xj, x0,j+1, . . . , x0,n) inxj = x0,j ein relatives Extremum. Also ergibt die Differentialrechnung in einer Variablen,dass ∂g

∂xj(x0) = 0 fur alle j ist.

2

∇f(x0) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend. Fur f ∈ C2(Ω) erhalt man folgendeshinreichende Analogon der Theorie einer Variablen:

17

Satz 2. Sei Ω ⊆ Rn eine Umgebung von x0, und sei f : Ω → R in C2(Ω) . Es gelte∇f(x0) = 0 .

(1) Falls die Hessesche Matrix Hf(x0) := (DiDjf(x0))ni,j=1 positiv (negativ) definit

ist, besitzt f in x0 ein striktes relatives Minimum (Maximum).

(2) Besitzt f in x0 ein relatives Minimum (Maximum), so ist Hf(x0) positiv (negativ)semidefinit.

Definition. Die Nullstellen x0 von ∇f heißen kritische Punkte von f .

Beweis. In einer kleinen Umgebung ||x−x0|| = ||h|| < ε gilt nach der Taylorschen Formel

f(x0 + h) = f(x0) +∇f(x0)h + 12

n∑i,j=1

DiDjf(x0 + θh)hihj mit 0 < θ < 1 , also mit der

Voraussetzung ∇f(x0) = 0

f(x0 + h)− f(x0) =1

2

n∑i,j=1

Hf(x0 + θh)ijhihj .

Nach dem Satz von Schwarz (7.2) ist Hf(y) symmetrisch.

(1) Wenn Hf(x0) positiv definit ist, gibt es nach 7.12 ein α > 0 mit:∑ni,j=1Hf(x0)ijhihj ≥ α||h||22 fur alle h ∈ Rn . Da f ∈ C2(Ω) ist, hangt Hf(x)

stetig von x ab, d.h. fur alle 1 ≤ i, j ≤ n gilt: Hf(x)ij → Hf(x0)ij fur x → x0 .Somit gilt in einer kleinen ε-Umgebung von x0, ||h||2 < ε, dass

n∑i,j=1

Hf(x0 + θh)ijhihj ≥α

2||h||22 > 0

ist. Es folgt f(x0 + h) > f(x0) : f hat in x0 ein striktes Minimum. Der Fall desMaximums ist analog.

(2) f habe in x0 ein relatives Minimum. Ware Hf(x0) nicht positiv semidefinit, gabe

es ein y ∈ Rn − 0 mitn∑

i,j=1

Hf(x0)ijyiyj < 0 . Aus der Stetigkeit von Hf(·) folgt:

Fur alle ||h||2 < ε fur hinreichend kleines ε > 0 und ein geeignetes 0 < θ < 1

istn∑

i,j=1

Hf(x0 + θh)ijyiyj < 0 , d.h. fur h = λy mit λ ∈ R+ genugend klein ist

f(x0 + h)− f(x0) < 0 , d.h. f hatte kein relatives Minimum in x0 .

2

Im Spezialfall n = 2 liefert eine Kombination der Satze 2 aus 7.12 und 7.13 das folgendeKriterium.

Satz 3. Sei f : Ω ⊆ R2 → R in C2 mit fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 .

a) Gilt fxxfyy−f 2xy > 0 und fxx 6= 0 in (x0, y0) , besitzt f in (x0, y0) ein striktes relatives

Extremum, und zwar ein Minimum fur fxx > 0 und ein Maximum fur fxx < 0 .

18

b) Gilt fxxfyy − f 2xy < 0 in (x0, y0) , hat f in (x0, y0) kein relatives Extremum in

(x0, y0) .

Beispiele. Nicht immer sind die Kriterien anwendbar, aber doch recht brauchbar.

1. Betrachte f : R2 → R, f(x, y) := x3 + y3 − 3xy . Die partiellen Ableitungenfx(x, y) = 3x2 − 3y = 0, fy(x, y) = 3y2 − 3x = 0 liefern die kritischen Punkte (0, 0)und (1, 1) . Man hat

fxx(x, y) = 6x, fyy(x, y) = 6y, fxy(x, y) = fyx(x, y) = −3 .

Also ist (fxxfyy − f 2xy)(0, 0) = 3, fxx(0, 0) = 0 : das Kriterium ist nicht anwendbar.

Aber in (0, 0) liegt kein Extremum vor, da

f(x, x) = x2(2x− 3) < 0 , 0 < x < 3/2 ; f(x,−x) = 3x2 > 0 fur x 6= 0 .

In (1, 1) gilt (fxxfyy − f 2xy)(1, 1) = 27 > 0, fxx(1, 1) = 6 > 0 , d.h. f hat in (1, 1)

relatives Minimum, f(1, 1) = −1 . Die Funktion f hat kein absolutes Extremum,da f(x, x)→ ±∞ fur x→ ±∞ .

2. f : R2 → R, f(x, y) =√x2 + y2 hat naturlich ein absolutes Minimum in (0, 0) , sonst

kein relatives Maximum oder Minimum. Aber f ist in (0, 0) nicht differenzierbar unddas Kriterium nicht anwendbar.

3. f : D → R, f(x, y) = sin x sin y sin(x+y), D := (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x, y, x+y ≤ π .

f |∂D= 0 und f ≥ 0 : f hat ein lokales und globales Minimum auf ∂D und f ist > 0im Inneren von D . Es gilt fur die kritischen Punkte (x, y) von f :

fx(x, y) = cosx sin y sin(x+ y) + sin x sin y cos(x+ y) = 0 ,

fy(x, y) = sinx cos y sin(x+ y) + sin x sin y cos(x+ y) = 0 .

Also: cosxcos y

= sinxsin y

, d.h. tan y = tanx durch Division (aus sinx, sin y 6= 0 folgt

cosx, cos y, cos(x+ y) 6= 0). Damit folgt y = x, also cosx sin 2x+ sinx cos 2x = 0 ,d.h. sin 3x = 0, x = π/3 . Also ist nur (π/3, π/3) eine kritische Stelle im Inneren vonD . Die Rechnung zeigt fxx(π/3, π/3) = −

√3 , (fxxfyy−f 2

xy)(π/3, π/3) = 9/4 > 0 .Also hat f in (π/3, π/3) ein Maximum, das ein absolutes Maximum ist. Es giltf(π/3, π/3) = 3

√3/8.

4. f(x, y) := (y − x2)(y − 3x2) hat kein relatives Extremum in (0,0); f ist positiv inPunkten der Form (0, b) , negativ in Punkten (a, 2a2) fur a, b ∈ R. Wird f jedochauf x = 0, y = 0 oder y = mx, m ∈ R eingeschrankt, hat f ein striktes relativesMinimum in 0. Die Funktion g, gegeben durch g(x) = m2x2 − 4mx3 + 3x4, erfulltnamlich g′(0) = 0, g′′(0) = 2m2 > 0.

5. Minimiere f(a, b) =n∑k=1

(a+ bxk − yk)2: als Losung ergibt sich die Ausgleichsgerade

y = a+ bx fur Paare (xk, yk), k = 1, . . . , n .

19

7.14 Der Banachsche Fixpunktsatz

Satz (Banach). Sei D ein vollstandiger metrischer Raum und sei f : D → D kontra-hierend, d.h. ∃k < 1 ∀x, y ∈ D d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) . Dann besitzt f genau einenFixpunkt x : ∃1x ∈ D mit f(x) = x . Der Fixpunkt x ist berechenbar uber: Sei x1 ∈ Dbeliebig, xn+1 := f(xn) . Dann konvergiert xn → x mit d(xn, x) ≤ k

1−k d(xn, xn−1) . DerSatz gilt speziell fur abgeschlossene Teilmengen D ⊆ X von Banachraumen X.

Beweis. Sei x1 ∈ D und xn+1 := f(xn) induktiv definiert.

Behauptung. (xn)n∈N ist Cauchyfolge in D . Es ist fur n ∈ N, n ≥ 2 ,

d(xn, xn−1) = d(f(xn−1), f(xn−2)) ≤ k d(xn−1, xn−2) ≤ . . . kn−2d(x2, x1) .

Also gilt fur n > m ≥ 1

d(xn, xm) ≤n∑

j=m+1

d(xj, xj−1) ≤

(n∑

j=m+1

kj−2

)d(x2, x1) .

Die geometrische Reihe∑j∈N0

kj konvergiert, da k < 1 ist. Somit ist (xn)n∈N Cauchyfolge.

Also folgt: xn → x ∈ D ist konvergent in D . Der Grenzwert x ist Fixpunkt von f , denn

x = limnxn = lim

nf(xn−1) = lim

nf(xn) = f(x) ,

da f stetig, weil kontrahierend ist. Der Fixpunkt ist eindeutig: ist auch x′ ∈ D Fixpunkt,gilt d(x, x′) = d(f(x), f(x′)) ≤ k d(x, x′) . Mit k < 1 folgt d(x, x′) = 0 , also x = x′ .

Als Fehlerabschatzung ergibt sich: d(xm, xn) ≤m∑

j=n+1

d(xj, xj−1) ≤m∑

j=n+1

kj−nd(xn, xn−1) .

Fur m→∞ also d(x, xn) ≤ c d(xn, xn−1) mit c =∞∑

j=n+1

kj−n =∞∑i=1

ki = k1−k .

Bemerkung. Der Fixpunktsatz wird haufig zur Losung von Nullstellenproblemen g(x) =0 angewandt, indem man f(x) = x − g(x) betrachtet: Nullstellen in g sind dann geradedie Fixpunkte von f .

7.15 Implizite Funktionen

In Anwendungen kommen haufig Konstanzlinien von Funktionen F : R2 → R vor, z.B.Hohenlinien (also Linien konstanter Hohe c) auf Karten, Isobaren (d.h. Linien konstantenDruckes p) auf Wetterkarten, Isothermen (das sind Linien konstanter Temperatur T ), d.h.man betrachtet fur ein festes c ∈ R

Γc = (x, y) ∈ R2 | F (x, y) = c .

Sei o.B.d.A. c = 0 (Subtraktion von c) und Γ := Γ0 .

20

Beispiel. F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 : Dann ist Γ der Kreis um (0, 0) mit Radius 1.In der “Nahe” eines gegebenen Punktes (x0, y0) ∈ Γ ist Γ “haufig” der Graph einerFunktion, d.h. ∃ε, δ > 0 und f : Uδ(x0) → Uε(y0) mit F (x, f(x)) = 0 fur alle x ∈

Uδ(x0) :

(x

f(x)

)∈ Γ . Implizit wird durch F (x, y) = 0 eine Funktion y = f(x) definiert.

Man sagt, dass man F (x, y) = 0 nach y auflost. Probleme, die auftreten konnen, sind:

1) Γ = ∅ . Man muss also Γ(x0, y0) = 0 voraussetzen: (x0, y0) ∈ Γ .

2) Falls ε > 0 zu groß ist, konnte F (x0, y) = 0 zwei Losungen y1, y2 haben (im BildR,Q), also f(x0) = y nicht eindeutig (als Funktion!) definiert sein. Gewunscht ist,dass f wohldefiniert und stetig ist, wenn F stetig ist.

3) In Punkten P =

(x0y0

)∈ Γ des Graphen, in denen die Tangente vertikal ist, kommen

bei noch so kleiner δ- und ε-Wahl stets zu x ∈ Uδ(x0), x 6= x0 , zwei Punkte f1(x)und f2(x) in Uε(y0) fur F (x, f(x)) = 0 in Frage. In diesem Fall ist ∂F

∂y(x0, y0) = 0

(im obigen Fall des Kreises ist ∂F∂y

= 2y , ∂F∂y

(1, 0) = 0, (1, 0) ∈ Γ), dann ist dieDefinition von f zumindest problematisch oder unmoglich.

Man wird also F (x0, y0) = 0 und ∂F∂y

(x0, y0) 6= 0 voraussetzen und nur eine lokale

Losbarkeit von F (x, y) = 0 durch y = f(x) in einer kleinen Umgebung von (x0, y0) erwar-ten konnen. Diese implizite Definition von f besagt nicht, dass man dies rechnerisch-formelmaßig tun kann!

7.16 Der Hauptsatz uber implizite Funktionen

Wir formulieren das Problem allgemeiner fur Funktionen F : Rn+m → Rm . Dazu seieneinige Bezeichnungen eingefuhrt. Fur x = t(x1, . . . , xn) ∈ Rn , y = t(y1, . . . , ym) ∈ Rm

sei t(x, y) = t(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈ Rn+m . Da F Rm-wertig ist, hat F die FormF = t(F1, . . . , Fm) mit Koordinatenfunktionen Fi . Man setzt

∂F

∂x:=

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xn...

∂Fm∂x1

· · · ∂Fm∂xn

m×n

,∂F

∂y:=

∂F1

∂y1· · · ∂F1

∂ym...

∂fm∂y1

· · · ∂Fm∂ym

m×m

.

21

Also: ∂F∂x

ist die (“partielle”) totale Ableitung von x 7→ F (x, y) bei festem y und∂F∂y

ist die (“partielle”) totale Ableitung von y 7→ F (x, y) bei festem x . Die Gleichung

F (x, y) = 0 auf G ⊆ Rn nach y aufzulosen, soll heißen:Finde f : G ⊆ Rn → Rm mit: Fur alle x ∈ G ist F (x, f(x)) = 0 , d.h. explizit gilt mitf = t(f1, . . . , fm)

F1(x1 . . . xn, f1(x1 . . . xn), . . . fm(x1 . . . xn)) = 0...

Fm(x1, . . . xn, f1(x1 . . . xn), . . . fm(x1, . . . , xn) = 0

.

Zu finden sind also die Funktionen f1, . . . , fm : G→ R .

Hauptsatz uber implizite Funktionen: Seien G ⊆ Rn, H ⊆ Rm offen und seiF : G×H → Rm stetig differenzierbar. Seien x0 ∈ G, y0 ∈ H gegeben mit:

F (x0, y0) = 0 ,∂F

∂y(x0, y0) ist eine invertierbare (m×m)−Matrix .

Dann gibt es δ > 0 und ε > 0 mit U := Uδ(x0) ⊆ G, V := Uε(y0) ⊆ H und eine Funktionf : U → V , so dass fur alle x ∈ U

f(x0) = y0 und F (x, f(x)) = 0

ist. Fur jedes feste x ∈ U ist f(x) dabei die einzige in V liegende Losung von F (x, y) = 0 .Die Funktion f liegt in C1(U1, V ) fur eine geeignet kleine δ1-Umgebung U1 von x0 ,0 < δ1 ≤ δ und man hat

f ′(x) = −(∂F

∂y(x, f(x))

)−1 ∂F∂x

(x, f(x)), x ∈ U1 .

Beweis.

i) Sei D := ∂F∂y

(x0, y0) . Dann ist D−1 ∂F∂y

(x0, y0) = I die Identitat auf dem Rm . Da

F (x0, y0) = 0, ∂F∂y

stetig in (x0, y0) ist und D−1 stetig und linear ist, gibt es δ > 0und ε > 0 sowie eine δ-Umgebung U ⊂ G von x0 und eine ε-Umgebung V ⊆ H vony0 mit:

||I −D−1∂F∂y

(x, y)|| ≤ 1

2(x ∈ U, y ∈ V ) (1)

||D−1F (x, y0)|| ≤ ε/4 (x ∈ U),

SetzeX := Cb(U,Rm) := (f : U ⊆ Rn → Rm | f stetig und beschrankt , || · ||∞) . DaRm vollstandig ist, ist X ein Banachraum unter der Norm ||f ||∞ = sup

x∈U||f(x)||2 .

Sei ferner

M := g ∈ X | g(x0) = y0, ||g(x)− y0|| ≤ ε/2 fur alle x ∈ U ⊆ X := Cb(U,Rn) .

Dann ist M eine nicht-leere, abgeschlossene Teilmenge von X; M ist nicht-leer, dag0(x) := y0 zu M gehort. Wegen ||g(x)|| ≤ ||g(x) − y0|| + ||y0|| ≤ ε/2 + ||y0|| ist gbeschrankt.

22

ii) Die Werte von g ∈M liegen also in V = Uε(y0) . Definiere

A : M ⊆ X → X durch (Ag)(x) := g(x)−D−1F (x, g(x)) .

Dann ist Ag(x0) = y0 und Ag ist stetig. Zunachst gilt wegen (1) fur alle x ∈ U

||Ag0(x)− y0|| = ||D−1F (x, y0)|| ≤ ε/4 . (2)

Fur festes x ∈ U definiere φ : V → Rm durch φ(y) := y −D−1F (x, y) . Dann ist

φ′(y) = I −D−1 ∂F∂y

(x, y) .

Nach dem Korollar zum Mittelwertsatz (7.8) gilt fur alle y, z ∈ V

||φ(y)− φ(z)|| ≤ supy∈V||φ′(y)|| ||y − z||

= supy∈V||I −D−1∂F

∂y(x, y)|| ||y − z|| ≤ 1

2||y − z|| .

Speziell ergibt sich fur alle g1, g2 ∈M

||φ(g1(x))− φ(g2(x))|| ≤ 1

2||g1(x)− g2(x)|| . (3)

Aber φ(gj(x)) = gj(x)−D−1F (x, gj(x)) = (Agj)(x) , d.h.

||Ag1 − Ag2||X ≤1

2||g1 − g2||X , g1, g2 ∈M . (4)

Speziell folgt aus (3) fur g ∈M,x ∈ U mit der konstanten Function g0 aus i)

||(Ag)(x)− y0|| ≤ ||(Ag)(x)− (Ag0)(x)||+ ||(Ag0)(x)− y0||

≤ 1

2||g(x)− y0||+

1

4ε ≤ 1

2

ε

2+ε

4= ε/2 .

Somit ist Ag ∈ M , d.h. A : M → M ist eine kontrahierende Selbstabbildung vonM , vgl. (4). Aus dem Banachschen Fixpunktsatz (7.14) folgt, dass A einen Fixpunktf ∈M besitzt, Af = f . Die Abbildung f : U → V ist stetig und erfullt f(x0) = y0sowie D−1F (x, f(x)) = 0. Durch Anwendung von D ergibt sich F (x, f(x)) = 0 .

Eindeutigkeit: Bei gegebenen x ∈ U sei y ∈ V Losung von F (x, y) = 0 . Dann isty = f(x) , da ||y − f(x)|| = ||φ(y)− φ(f(x))|| ≤ 1

2||y − f(x)|| .

iii) Wir zeigen jetzt die Differenzierbarkeit von f in x0 . Sei o.B.d.A. x0 = y0 = 0 .Wir wahlen als Norm auf dem Rn+m : ||z|| := ||x|| + ||y|| fur z = t(x, y) . SeiD1 := ∂F

∂x(0, 0) und D2 := ∂F

∂y(0, 0) . Da F in (0,0) differenzierbar ist, gilt fur z mit

kleiner Norm

F (z) = F ′(0)z + r(z) , wobeir(z)

||z||→ 0 (z → 0) ,

23

d.h. F (x, y) = D1x + D2y + r(x, y) , r(x,y)||x||+||y||

(∗)→ 0 (x, y → 0) . Da fur x ∈ U

F (x, f(x)) = 0 ist, folgt

0 = D1x+D2f(x) + r(x, f(x)) .

Also giltf(x) = −D−12 D1x−D−12 r(x, f(x)) . (5)

Falls also limx→0

D−12r(x,f(x))||x|| = 0 ist, folgt, dass f in 0 differenzierbar ist mit

f ′(0) = −D−12 D1 . Dazu reicht es, limx→0

r(x,f(x))||x|| = 0 zu beweisen. Wegen (∗) gibt es

0 < δ1 ≤ δ und 0 < ε1 ≤ ε , so dass fur alle x ∈ Rn, y ∈ Rm mit ||x|| < δ1 und||y|| < ε1 gilt

||r(x, y)|| ≤ 1

2||D−12 ||(||x|+ ||y||) .

Da f stetig in 0 ist, existiert δ′1 ≤ δ1 , so dass fur alle x ∈ Rn mit ||x|| ≤ δ′1 gilt||f(x)|| ≤ ε1 . Dafur gilt dann wegen (5)

||f(x)|| ≤ ||D−12 D1|| ||x||+ ||D−12 ||||x||+ ||f(x)||

2||D−12 ||=γ

2||x||+ 1

2||f(x)|| ,

||f(x)|| ≤ γ||x||; ||x|| < δ2; γ := 2||D−12 D1||+ 1 . (6)

Also 0 ≤ ||r(x,f(x))||||x|| = (1 + γ) ||r(x,f(x))||||x||+γ||x|| ≤ (1 + γ) ||r(x,f(x))||

||x||+||f(x)|| . Fur x → 0 gilt auch

f(x) → 0 , somit ||r(x,f(x)||||x||+||f(x)|| → 0 . Damit ist die Differenzierbarkeit von f in x0

bewiesen.

iv) Da ∂F∂y

stetig in (x0, y0) ist, gibt es einen δ2-Umgebung U2 ⊆ U von x0 und eineε1-Umgebung V1 ⊆ V von y0 mit:

||∂F∂y

(x, y)− ∂F

∂y(x0, y0)|| <

1

||∂F∂y

(x0, y0)−1||; x ∈ U2, y ∈ V1 .

Mit der Neumannschen Reihe folgt, dass ∂F∂y

(x, y) invertierbar ist.

Man zeigt namlich mit der Neumannschen Reihe: ||A − B|| < 1||A−1|| impliziert

B−1 =∞∑n=0

A−1(I −BA−1)n . Da f stetig ist, gibt es eine δ3-Umgebung U1 ⊆ U2 von

x0 mitf(U1) ⊆ V1 . Nach i) – iii), angewandt auf (x, f(x)) statt auf (x0, y0) ist also f inx ∈ U1 differenzierbar mit

f ′(x) = −∂F∂y

(x, f(x))−1 · ∂F∂x

(x, f(x)) ,

und f ′(x) hangt stetig von x ab, da ∂F∂y

(x, f(x)) dies tut. 2

24

Bemerkung: Es kann also f ′(x0) berechnet werden, ohne dass f bekannt ist! Nachdemgezeigt ist, dass f ′(x0) existiert, merkt man sich die Differenziationsformel als Anwendungder Kettenregel auf F (x, f(x)) = 0 :

∂F

∂x(x0, y0) +

∂F

∂y(x0, y0)f

′(x0) = 0 .

Beispiel. F (x, y) = e2x−y + 3x − 2y − 1 = 0 erfullt F (0, 0) = 0, Fy(0, 0) 6= 0 , also istF (x, y) = 0 nahe (0,0) lokal nach y = f(x) auflosbar.

7.17 Der Umkehrsatz

Wann besitzt f : G ⊆ Rn → Rn eine Inverse f−1 ?

Umkehrsatz: Sei G ⊆ Rn offen und f : G → Rn stetig differenzierbar. In x0 ∈ Gsei f ′(x0) invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung W ⊆ G von x0 und eineε-Umgebung V von y0 := f(x0) , so dass f : W → V bijektiv ist. Die Umkehrungg = f−1 : V → W ist stetig differenzierbar mit g′(y0) = f ′(x0)

−1 .

Beweis. Wir wenden 7.16 auf die Funktion F : G × Rn → Rn, F (x, y) := f(x) − yan, allerdings mit vertauschten Rollen von x und y und m = n . Man hat F ∈ C1 ,F (x0, y0) = 0 und ∂F

∂x(x0, y0) = f ′(x0) ist invertierbar nach Voraussetzung.

Nach 7.16 ist F (x, y) = 0 lokal nach x auflosbar, d.h. es gibt eine ε-Umgebung V von y0und eine δ-Umgebung U ⊆ G von x0 sowie genau eine stetige Funktion g : V → U mit

g(y0) = x0 , F (g(y), y) = 0, d.h. f(g(y)) = y, fur alle y ∈ V .

O.B.d.A. sei V so klein, dass g gemaß 7.16 in V stetig differenzierbar ist. Wegen derStetigkeit von f ist W := U ∩ f−1(V ) = x ∈ U | f(x) ∈ V ⊆ U offen mit f(W ) = V .Aus y ∈ V, y = f(g(y)) folgt sogar f(W ) = V , da g(V ) ⊆ U ∩ f−1(V ) = W . f istinjektiv, da f(x1) = f(x2) =: y fur x1, x2 ∈ W impliziert: F (x1, y) = F (x2, y) , worausx1 = x2 folgt. Also ist f : W → V bijektiv und g ist stetig differenzierbar als (f |W )−1 .Aus der Kettenregel und (f g)(y) = y ergibt sich

(f g)′(y) = f ′(g(y))g′(y) = I , also g′(y) = f ′(x)−1 .

2

Beispiele.

(1) f : R2 → R2, f1(x, y) = x2 − y2, f2(x, y) = 2xy, det f ′(x, y) = 4(x2 + y2) 6= 0fur (x, y) 6= (0, 0) . Also ist f außerhalb des Nullpunktes (0,0) lokal umkehrbar. Aberf ist nicht global umkehrbar, da f nicht injektiv ist, denn f(x, y) = f(−x,−y) .

(2) f : R2 → R2, f1(x, y) = ex cos y, f2(x, y) = ex sin y ,

f ′(x, y) =

(ex cos y −ex sin yex sin y ex cos y

).

25

Also gilt det f ′(x, y) = e2x 6= 0 , und f ist uberall lokal umkehrbar. Aber: f istnicht global umkehrbar, da f nicht injektiv ist: Man hat ja

f(x, y) = f(x, y + 2kπ) , k ∈ Z .

7.18 Extrema unter Nebenbedingungen

Aufgabe: Bestimme die Extrema von f : Rn → R unter Nebenbedingungen gj(x) = 0,gj : Rn → R, j = 1, . . . ,m . Z.B. Minimaler Abstand zu Null auf einer “Flache” g(x) = 0 .

Satz (Lagrangesche Multiplikationsregel). Sei G ⊆ Rn offen und seien f : G → R undg : G → Rm mit m < n stetig differenzierbar. Die Matrix g′(x0) ∈ L(Rn,Rm) besitzein x0 ∈ G Hochstrang m, g(x0) = 0 . f besitze in x0 ein lokales Extremum unter denNebenbedingungen g(x) = 0 . Dann gibt es λ1, . . . , λm ∈ R , so dass gilt:

∂f(x0)

∂xj+

m∑i=1

λi∂gi(x0)

∂xj= 0 , j = 1, . . . , n . (1)

Ferner ist gi(x0) = 0, i = 1, . . . ,m .

Bemerkung: Der Satz liefert nur eine notwendige Bedingung fur ein Extremum. Ob einExtremum in x0 vorliegt, muss separat gepruft werden. In (1) hat man n+m Gleichungenfur n+m Unbekannte x0,1, . . . , x0,n, λ1, . . . , λm, mit x0 = (x0,1, · · · , x0,n).

Beweis. O.B.d.A. sei

det

∂g1(x0)∂x1

· · · ∂g1(x0)∂xm

......

∂gm(x0)∂x1

· · · ∂gm(x0)∂xm

6= 0 .

26

Nach dem Hauptsatz fur implizite Funktionen lasst sich g(x) = 0 lokal nach x1, . . . , xmauflosen, d.h.

xk = hk(xm+1, . . . , xn) , k = 1, . . . ,m . (2)

Mit x = t(x1, . . . , xn), y = t(x1, . . . , xm), z = t(xm+1, . . . , xn) ist x = t(y, z) . (2)bedeutet fur h : U ⊆ Rn−m → Rm , definiert auf einer geeigneten Umgebung U von z0 ,mit x0 = t(y0, z0) ,

g(h(z), z) = 0, z ∈ U (2’)

und

h(z0) = y0, det∂g

∂y(x0) 6= 0 . (3)

Da (z 7→ f(h(z), z)) als Funktion von z = t(xm+1, . . . , xn) ein relatives Extremum in z0besitzt, ist die Ableitung in z0 gleich 0, d.h.

∂f

∂y(x0)

∂h

∂z(z0) +

∂f

∂z(x0) = 0 . (4)

Das lineare Gleichungssystem

t(∂f

∂y(x0)) + t(

∂g

∂y(x0))λ = 0 , λ =

λ1...λm

(5)

ist wegen (3) eindeutig losbar. Dies sind die ersten m behaupteten Gleichungen.Die Differentiation von (2’) ergibt

∂g

∂y(x0)

∂h

∂z(z0) +

∂g

∂z(x0) = 0 (6)

∂f

∂z(x0)

(4)= −∂f

∂y(x0)

∂h

∂z(z0)

(5)= tλ

∂g

∂y(x0)

∂h

∂z(z0)

(6)= − tλ

∂g

∂z(x0) ,

Folglich ist t(∂f∂z

(x0))

+ t(∂g∂z

(x0))λ = 0 : dies sind die letzten (n −m) der behaupteten

Gleichungen.2

Bemerkung. Die Gleichungen (1) erhalt man, indem man formal die Extrema vonL(x, λ) = f(x)+λ1g1(x)+ · · ·+λmgm(x) zu bestimmen versucht. (∇L = 0) , als Funktionder (n+m) Unbekannten (x, λ) . L heißt auch Lagrange-Funktion und die (λ1, . . . , λm)heißen Lagrange-Multiplikatoren.

Beispiele.

(1) Bestimme die Extrema von f(x, y, z) := 5x + y − 3z auf dem Schnitt der Ebenex+ y + z = 0 mit der Kugeloberflache x2 + y2 + z2 = 1 : Bilde

L(x, y, z, λ, µ) = (5x+ y − 3z) + λ(x+ y + z) + µ(x2 + y2 + z2 − 1)

27

Die Differentiation von L ergibt:5 + λ+ 2µx = 0

x+ y + z = 01 + λ+ 2µy = 0 ,

x2 + y2 + z2 = 1−3 + λ+ 2µz = 0

(*)

Die Addition der ersten drei Gleichungen ergibt: 3 + 3λ = −2µ(x+ y + z) = 0 ,λ = −1 . Aus der ersten Gleichung folgt: 2 + µx = 0, µy = 0 : µ 6= 0, y = 0 .

Die letzte Gleichung impliziert:

x = −z, 2x2 = 1, x = ± 1√2.

Die Punkte(

1√2, 0,− 1√

2

),(− 1√

2, 0, 1√

2

)erfullen (∗) mit λ = −1 und µ = ∓2

√2 .

Man hat f(

1√2, 0,− 1√

2

)= 4√

2, f(− 1√

2, 0, 1√

2

)= −4

√2 : Hier liegen ein Maximum

und ein Minimum vor.

(2) Ubung: Punkt auf Paraboloid z = x2/4 + y2/9 am nachsten an (1,0,0) : (a, 0, a2/4)mit a3 + 8a− 8 = 0, a ' 0, 9068 .

(3) Ubung: (Holder-Ungleichung): f(x) =n∑i=1

aixi,n∑i=1

xqi = 1 mit 1 < q <∞ ,

xi ≥ 0, i = 1, . . . , n .

(4) Ubung: f(x) = x1 . . . xn in ||x||2 ≤ 1 .

(5) Ubung: Hadamardsche Determinantenabschatzung (Blatter III, S. 39).

28