VO Algorithm Engineering
Professor Dr. Petra Mutzel
Lehrstuhl fr Algorithm Engineering, LS11
4./5. VO 12./17. April 2007
Kap. 3: ExakteLsungsverfahren fr NP-
schwierige kombinatorischeOptimierungsprobleme
3.1 Einfhrung3.2 Komb. vs. Ganzzahlige Opt.3.3 Das Lineare Ordnungsproblem
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Literatur fr diese VO
Originalliteratur fr Interessierte: M. Grtschel, M. Jnger und G. Reinelt: A cutting plane algorithm forthe linear ordering problem. Operations Research 32, 1195-1220, 1984
Nachschlagewerk bei Interesse: M. Jnger und D. Naddef (Eds.): Computational CombinatorialOptimization, Optimal or Provably Near-OptimalSolutions, LNCS 2241, Springer, 2001, i.e. 157-223
P.Mutzel: Skript-Teil: NP-schwierige kombinatorische Optimierungsprobleme (s. Web)
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berblick Kap. 33.1 Einfhrung
Kombinatorische Optimierungsprobleme Lineare Programmierung (Kurzeinfhrung) Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
3.2 Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung
3.4 Exakte Verfahren fr Ganzzahlige Optimierung Schnittebenenverfahren Branch-and-Cut
3.3 Bsp: Das Lineare Ordnungsproblem
- Bsp: Das Handlungsreisendenproblem
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Kombinatorische Optimierungsprobleme
Gegeben sind:
endliche Menge E (Grundmenge)
Teilmenge I der Potenzmenge 2E von E (zul. Mengen)
Kostenfunktion c: EK
Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem
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Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme
Handlungsreisendenproblem (TSP)
Minimum der Funktion: f(x)=3x2+2, xR
Minimaler Spannender Baum (MST)
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Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme
Rucksackproblem: Geg. n versch. Gterarten in
unbegrenzter Menge mit Gewicht ai>0und Wert ci; Kapazitt des Rucksacks: b
Gesucht: Kostbarste Rucksackpackung
0/1-Rucksackproblem: Geg. n versch. Gter mit Gewicht ai>0
und Wert ci; Kapazitt des Rucksacks: b Gesucht: Kostbarste Rucksackpackung
ILP-Modellierung
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Lineare Optimierungsprobleme
Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen Vektoren, die die Bedingungen Ax
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Beispiel lraffinerie
Ziele: mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen)
mglichst billig herstellen
2 Crackverfahren fr Rohl mit folgender Ausbeute und Kosten: Crackproze 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR Crackproze 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR
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Beispiel lraffinerie
Zielfunktion
Restriktionen
subject to
definieren denLsungsraum
Matrixschreibweise: (Tafel)
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Geometrische Interpretation
Maximiere 0.90 x + 0.73 ysubject To
NB1: 0.42 x + 0.07 y
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Lineares Programm
Max 3x1 + 2x2 + 2x3Subject to x1 + x3 8
x1 + x2 7x1 + 2x2 12
x1, x2, x3 0
Simplex-Algorithmus
17.04.2007 12x1
x2
x3
(0,0,8) (0,6,8)
(2,5,6)
(0,6,0)
(2,5,0)(7,0,1)
(7,0,0)
Max z = 3x1 + 2x2 + 2x3
z = 0
z = 21
z = 23
Optimal!
z = 28
Simplex-Algorithmus
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Lineare Optimierungsprobleme
max oder min cTx: Axb
min cTx: Axb und x0
min cTx: Ax=b und x0
Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und knnen alle ineinander bergefhrt werden:
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Lineare Optimierungsprobleme
LP in seiner allgemeinsten Form:
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Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme
Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeitsforderungen: GLP (ILP, IP)
Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP)
Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1-Bedingungen: 0/1-IP, Binres LP, BLP
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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Geometrische Interpretation
Maximiere 0.90 x + 0.73 ysubject To
NB1: 0.42 x + 0.07 y
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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Beispiel fr Minkowski/Weyl
1
1
00 x
y
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Polyedertheorie (Kurzeinfhrung)
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3.2 Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung
Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt:
Ist E eine endliche Menge und FE, dann ist der charakteris-tische Vektor FRE fr F definiert als
Wir assoziieren zu jedem Element eE eine Komponente des Vektors F.
Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x{0,1}E charakteristischer Vektor einer Teilmenge Fx von E, und zwar gilt: Fx={eE | xe=1}.
Beispiel: MST
ENDE 4. VO
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Kombinatorische Optimierung vs. 0/1-IP
Gegeben ist 0/1-IP:
Assoziiertes kombinatorisches OP: Wir setzen:
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Kombinatorische Optimierung vs. 0/1-IPGegeben ist kombinatorisches OP: (E,I,c)
Assoziiertes 0/1-IP:
Jedes Polyeder hat Beschreibung durch Ungleichungen
Wir knnen also jedes komb. OP als LP formulieren
Probleme: Berechnung der LP-Darstellung nicht in pol.- Zeit mglich i.A. exponentiell viele Ungleichungen Ungleichungen besitzen Koeffizienten exponentieller Gre Beispiel: MST auf G=K3
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Beispiel: MST auf K3Gegeben: vollstndiger Graph G=(V,A) mit 3 Knoten
Einfhrung von 0/1-Variablen xe=1 g.d.w. Kante in Baum
1 2
3K3:
Bedingungen:
1
3
1 2
3
1 2
3
Zulssige Menge: Menge aller Spannbume in G
2
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Charakt. Vektor der gltigen Spannbume(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)
x1
x3
(0,0,0) (1,0,0)
(0,1,0)
(0,1,1) (1,1,1)
(1,0,1)
x1+x2+x3=2
Beispiel: MST auf K3
x2(0,0,1)
(1,1,0)
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3.3 Lineares Ordnungsproblem (LOP) Gegeben: ein vollstndiger gerichteter Graph G=(V,A) mit
Kantengewichten cuv fr alle Bgen (u,v) in A.
Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bgen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird.
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Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten, Graph Layout
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Graphen-Theoretische Formulierung
Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in Gmit grtem Gewicht
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Turnier: TA: entweder (i,j)T oder (j,i)T aber nicht beide
Gegeben: ein vollstndiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten cuv fr alle Bgen (u,v) in A.
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Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:
u v
u w
v
u w
v
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ILP fr LOP
3-Kreis Ungleichungen
Triviale Ungleichungen
Gleichungen
Ausschluss der 3-er Kreise gengt
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Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:
u v
u w
v
u w
v
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Projektion: xvu=1-xuv
3-Kreis Ungl.
Triviale Ungl.
ILP fr LOP
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Beispiel n=3: x12 x13 x23Permutation
charakt. Vektor(1,1,1)(0,1,1)(0,0,1)(1,1,0)(1,0,0)(0,0,0) x12
x13
x23x12+x23-x13=0
x12+x23-x13=11 3
2
1 3
2
Geometrische Interpretation LOP
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n=6: zustzliche Ungleichungen notwendig
LP-Relaxierung des IPs
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Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen:
1 2k-1
2k23 4
Allgemein:k Kreise, k ungerade
Es ist notwendig, mindestens(k+1)/2 Bgen zu entfernen,um G azyklisch zu machen
Mbius-Ungleichungen beschreiben Facetten des LOP-Polytops
Foschungsgebiet: Polyedrische Kombinatorik
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Polyedrische Kombinatorik: LOPKonvexe Hlle aller charakteristischer Vektoren, die Permutationen von l Elementen beschreiben.
>488,602,996
82040
91087,472
345678
nl
For l=60 ist LOP exakt lsbar innerhalb 1 Sekundemittels Schnittebenenverfahren.
Anzahl der Facetten,d.h. die Anzahl der
theoretisch not-wendigen Linearen
Ungleichungen
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