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Kapitel 4.2:

Offentliche Guter1

Dr. Jorg Franke

Technische Universitat Dortmund

Sommersemester 2010

1Diese Folien dienen der Erganzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor-und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewahr fur Richtigkeitund/oder Vollstandigkeit ubernommen.

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

2. Bereitstellung im Markt

Verfahren:

▸ Konsument i finanziert Anteil yi am offentliches Gutdurch freiwilligen Konsumverzicht des privaten Gutes

▸ Summe individueller Anteile zur Produktion desoffentlichen Gutes benutzt: y = ∑

ni=1 yi .

Aus der Perspektive von Konsument i :

maxxi ,yi

vi(y) + xi

NB: xi + yi = xi

y = ∑ni=1 yi

⇒ maxyi

vi(yi +∑j≠i yj) + xi − yi

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Losung des Nutzenmaximierungsproblems:

Nutzenmaximierender Anteil yi erfullt B.1.O.:

v ′i (yi +∑j≠i

yj) = 1

Im Allgemeinen: Konsument i setzt Beitrag yi so daß

GRSi ∣xy = GRTS ∣xy

Wie reagiert Konsument j ≠ i? 3 Falle:1. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1: Konsument j belasst yj

unverandert.2. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) < 1: Konsument j reduziert yj auf yj

bis entweder: yj = 0 oder v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1.3. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) > 1: Konsument j erhoht yj auf yj

solange bis v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1.Konsument i wird seinen Anteil ebenfalls auf yi anpassen...

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Ende des Anpassungsprozesses: Gesamtmenge y desoffentlichen Gutes charakterisiert durch:

i. v ′i (y) = 1 fur mindestens ein i = 1, . . . , n.ii. v ′i (y) ≤ 1 fur alle i = 1, . . . , n.iii. v ′i (y) > 0 fur alle i = 1, . . . , n.iv. Fur alle i mit v ′i (y) = 1 gilt: y = ∑i yi .v. Fur alle j mit v ′j (y) < 1 gilt: yj = 0.

Beispiel:

y

vi(y)

v1(y)

v2(y)

v3(y)

y = y3 3 / 27

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Summation uber alle i = 1, . . . , n ergibt:n

∑i=1

v ′i (y) > 1

Vergleich mit pareto-optimaler Bereitstellung y∗,charakterisiert durch Samuelson’sche Optimalitatsbedingung:

n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1

Fazit: Unterproduktion des offentlichen Gutes: y < y∗.

y

v ′i (y)

v ′3(y)

∑ni=1 v ′i (y)

1

y∗y4 / 27

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Satz

Die im Markt (in dezentraler Privatinitiative) bereitgestellteMenge des offentlichen Gutes ist suboptimal, es kommt zuUnterproduktion des offentlichen Gutes.

Grund: Free rider- bzw. Freifahrerverhalten

▸ Ein (wenige) Marktteilnehmer produziert offentliches Gut,d.h. verzichtet freiwillig auf privaten Konsum.

▸ Alle anderen Marktteilnehmer profitieren vonBereitstellung des offentlichen Gutes, ohne auf privatenKonsum zu verzichten.

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Auswertung Exerperiment 3

Despriktive Statistik:

▸ 25 Teilnehmer

▸ Studiengange: 52% WiWi, 20% WiMa, 8% Nat, 20%Sonst.

▸ Geschlecht: 56% weiblich, 44% mannlich.

▸ Augenfarbe: 25% Blau, 54% braun, 21% grun.

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Theoretische Analyse:

▸ Induzierte Nutzenfunktion quasi-linear:

ui(xi , yi) =180

25

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 1, 5xi = 7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 1, 5xi

▸ Budgetrestriktion: xi + yi = 100

Einsetzen der Restriktion ergibt:

ui(yi) = 7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 150 − 1, 5yi

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

1. Herleitung der effizienten Allokation:

Definition: Aggregierter Surplus (AS):

AS(y) =25

∑i=1

180

25

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj − 1, 5yi

⎠= 180

√y − 1, 5y

Pareto-optimale Menge des offentlichen Gutes:

maxy

AS(y) = 180√

y − 1, 5y

NB: y = ∑25i=1 yi ≤ 25 ∗ 100 = 2500

B.1.O.: 90√y − 1, 5 = 0 fur y ≤ 2500

▸ Optimale Menge des offentlichen Gutes: y∗ = 2500.▸ Teilnehmer i sollte gesamtes Anfangsvermogen in Y

investieren: y∗i = 100.8 / 27

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

2. Herleitung der Marktallokation:

Marktteilnehmer i investiert als Nutzenmaximierer:

maxyi

7, 2

¿ÁÁÀ

25

∑j=1

yj + 150 − 1, 5yi

B.1.O.:3, 6√

y− 1, 5 = 0

▸ Nutzenmaximierende Menge des offentlichen Gutes:y = 5,76.

▸ Individueller nutzenmaximierende Beitrag:yi = max{5,76 −∑j≠i yj,0}.

▸ Unter Annahme symmetrischen Verhaltens: yi = 0,23

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Theoretische Vorhersagen:

▸ Suboptimale Bereitstellung des offentl. Gutes im Markt:y = 5, 76 < y∗ = 2500.

▸ Freifahrerverhalten der Individuen: yi = 0, 23 < y∗i = 100.

▸ Grad des Freifahrerverhaltens ausgedruckt durchFreifahrer-Index yi ,i.e. realisiertes Investment von i inY :

▸ extremes Freifahrerverhalten: yi = 0, 23▸ kein Freifahrerverhalten: yi = 100

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Auswertung 1:▸ Durchschnittlicher Freifahrer-Index: yi = 46.64▸ Signifikant unterschieden von y∗i = 100 und yi = 0, 23

Histogramm: Freifahrer-Index

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Y

Häu

figke

it

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Auswertung 2: Studiengange

Studiengang Mittelwert Standard-Abweichung

WiWi 40 9,61

WiMa 53,2 18,50

Nat 50 30

Sonst 56 20,40

Resultat 2:

▸ Freifahrer-Index fur WiWi-Studierende am geringsten.

▸ Paarweise Unterschiede jedoch statistisch nichtsignifikant.

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Auswertung 3: Geschlecht

Geschlecht Mittelwert Standard-Abweichung

W 57,21 9,83

M 33,18 10,22

Differenz 24,03 14,33

Resultat 3:

▸ Freifahrer-Index fur mannliche geringer als fur weiblicheTeilnehmer.

▸ Differenz signifikant auf 6 Prozent Signifikanzniveau(einseitiger t-test).

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Auswertung 4: Augenfarbe (genetische Disposition)

Augenfarbe Mittelwert Standard-Abweichung

Blau 38 10,86

Braun 57,77 11,28

Grun 41 20,15

Resultat 4:

▸ Freifahrer-Index fur blau-augige am geringsten.

▸ Paarweise Unterschiede nicht signifikant.

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Zusammenfassung Experiment 3▸ Pareto-effiziente Allokation nicht freiwillig bzw. dezentral

realisierbar.▸ Freifahrerverhalten experimentell beobachtbar:

▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpurem eigennutzbasierten Vorhersagen.

▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpareto-effizientem Verhalten.

▸ Signifikante Geschlechtsunterschiede: Freifahrerverhaltendeutlich geringer bei weiblichen Teilnehmern.

▸ Resultate aus Marwell and Ames (1981)”Economists free

ride, does anyone else?“, Journal of Public Economics,weitgehend bestatigt:

yi ∈ (40, 60)

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Offentliche Bereitstellung des Offentlichen Gutes

▸ Private dezentrale Bereitstellung nicht effizient:Unterproduktion.

▸ Ausweg: Staat stellt offentliches Gut y zentralisiert bereit.

▸ Kostendeckung durch anteilige Steuern unter Berucksich-tigung des jeweiligem individuellen Nutzens aus demKonsum des offentlichen Gutes:

▸ Fairnessgrunde,▸ Im Wettbewerbsmarkt ist Nutzen aus privaten Gutern

ebenfalls mit zu zahlenden Preisen verknupft.

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Intuition

▸ Preis fur offentliches Gut y (als entgangener privaterKonsum) zu hoch.

▸ Anteilige Subventionierung des Konsums von y (effektivePreissenkung), so dass Ausbringungsmenge steigt.

▸ Jeder Marktteilnehmer konsumiert y : Steuererhebung aufKonsum aller Marktteilnehmer.

▸ Besteuerung des jeweiligen Marktteilnehmer anteiligabgestimmt:

▸ Anteil von i an Kosten aus Produktion von y: ti .▸ Produktion von y : Steuerschuld des i : tiy .▸ Staatliche Bereitstellung durchfuhrbar bei

Kostendeckung: ∑ni=1 ti = 1.

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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)

MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Frage: Existieren Steuern ti , so dass Konsumenten diepareto-effiziente Ausbringungsmenge des offentlichen Gutesnachfragen?▸ Staat kennt Nutzenfunktionen (u1(y , x1) . . . un(y , xn))

▸ Basierend auf Information wird fiktives optimales y∗

bestimmt uber Samuelson’sche Bedingung:

n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1.

▸ Implementierter Steuerersatz: ti = v ′i (y∗)

▸ Falls tatsachlich y∗ nachgefragt wurde, warekostendeckende staatliche Bereitstellung moglich:

n

∑i=1

ti =n

∑i=1

v ′i (y∗) = 1.

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Frage: Welche Menge y wird Konsument i bei Steuersatzti = v ′i (y

∗) nachfragen?

maxxi ,y

vi(y) + xi

NB: xi + tiy = xi

⇒ maxy

vi(y) + xi − tiy

Nutzenmaximum charakterisiert durch B.1.O.: v′i(y) = ti

Fur ti = v ′i (y∗) gilt daher:

v ′i (y) = ti = v ′i (y∗) ⇒ y = y∗

Fazit: Alle Konsumenten i = 1 . . . n fragen pareto-optimaleMenge des offentlichen Gutes nach!

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Definition (Lindahl Gleichgewicht)

System von personalisierten Steuern (Preisen) (t1 . . . tn, y∗)heisst Lindahl Gleichgewicht, wenn:

▸ Konsument i , gegeben personalisierte Steuer ti , gerade y∗

nachfragt.

▸ Ausbringungsmenge y∗ durch Steuereinnahmenkostendeckend bereitgestellt werden kann:

n

∑i=1

tiy∗ = y∗

Satz

Die Ausbringungsmenge des offentlichen Gutes in einemLindahl-Gleichgewicht ist pareto-optimal!

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Intuition

Im Lindahl-Gleichgewicht gelten fur jedes Individuumindividuelle Preise fur den Konsum des offentlichen Gutes:

▸ Private Bereitstellung des offentlichen Gutes: v ′i (y) = 1

▸ Im Lindahl-Gleichgewicht: ti = v ′i (y∗) < v ′i (y) = 1, da

∑ni=1 ti = ∑

ni=1 v ′i (y

∗) = 1. Daraus folgt:▸ Unterproduktion wird reduziert: y∗ > y .▸ Unterproduktion wird vollstandig reduziert: y∗ erfullt

Samuelson’sche Bedingung und ist daher pareto-optimal.

▸ Hohere Wertschatzung impliziert hohere Steuerbeitrage:

v ′i (y∗) > v ′j (y

∗)⇒ ti > tj .

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Praktische Relevanz des Lindahl-Gleichgewichts:

▸ Eher gering wegen hoher Informationsanforderung: Staatinformiert uber Nutzenfunktionen der Konsumenten.

▸ Konsumenten haben Anreiz jeweilige Nutzenfunktionnicht wahrheitsgemaß zu offenbaren, da Preisfestlegungvon individueller Antwort abhangt: Anreizproblem.

▸ In anderen Worten: Lindahl-Preise fur dasselbe offentlicheGut sind fur unterschiedliche Konsumenten verschieden:Wer zahlt freiwillig hohere Preise fur dasselbe Gut?

▸ Identische Preise fur offentliches Gut konnen daher perDefinition nicht zu effizienter Bereitstellung fuhren.

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Alternative Entscheidungsmechanismen:Abstimmungsverfahren

▸ realistischer und praktikabler als Lindahl-Preisfestlegung.

▸ Nachteil: Abweichung von pareto-optimaler Bereitstellung.

Beispiel: Gemeinsame Festlegung der Raumtemperatur

▸ Fiktive Modellannahme: Funktionierende und exaktregelbare Klimaanlage.

▸ Finanziert durch n Benutzer: Jeder zahlt gleichenKostenanteil von 1/n.

▸ Bei gegebener Kostenverteilung hat jeder Nutzer iWunschtemperatur yi .

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Fortsetzung und Spezifikation des Beispiels:

▸ n = 11 Teilnehmer mit folgenden Wunschtemperaturen:

(y1 . . . yi . . . y11) = (16; 16, 5; 17; . . . ; 21)

▸ Entscheidung durch Mehrheitswahl

▸”Gleichgewicht“: Alternative, die bei paarweisen

Abstimmungen gegen jede andere gewinnt.▸ Wahler i hat bei jeder Abstimmung genau eine Stimme:

▸ Erfolgt Abstimmung uber yi , so wahlt i seineWunschtemperatur yi .

▸ Wird uber (yj , yk) mit j , k ≠ i abgestimmt, praferiert idie der Wunschtemperatur yi ”

nahere“ Alternative:

minx∈{j ,k}

∣yx − yi ∣ .

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Frage: Existiert eine Alternative, die bei (allen moglichen)paarweisen Abstimmungen immer gewinnt?

Theorem (Medianwahler-Resultat)

Die bevorzugte Alternative des”Medianwahlers“ gewinnt alle

paarweisen Abstimmungen.

Wer ist der”Medianwahler“ im Beispiel?

Betrachte i = 6 mit y6 = 18, 5:

▸ Genau 5 Wahler bevorzugen kaltere Raumtemperatur.

▸ Genau 5 Wahler bevorzugen warmere Raumtemperatur.

▸ Wahler i = 6 bildet den Median der Reihung der Wahlerentsprechend ihrer praferierten Temperatur.

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Implikation: Wahler i = 6 musste mit y6 = 18, 5 jedepaarweise Abstimmung gewinnen.

Test:

▸ y6 = 18, 5 vs. y9 = 20: Fur Wahler i = 1 . . . 5 gilt y6 − yi < y9 − yi .Damit erhalt Alternative y6 bereits mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

▸ y6 = 18, 5 vs. y5 = 18: Fur Wahler i = 7 . . . 11 gilt yi − y6 < yi − y5.Damit erhalt Alternative y6 wiederum mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.

▸ Generell gilt: Fur jede Abstimmung yi vs. y6 werden mindestens 6Wahler fur y6 stimmen, d.h. Alternative y6 gewinnt alle paarweisenAbstimmungen.

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MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler

Paarweise Abstimmungsregel

Vorteile: einfach verstandlich, praktikabel, fuhrt immer zu Ergebnis.

Nachteile:

(i) Durchfuhrung zahlreicher Abstimmungen notwendig.

(ii) Ergebnis im Allgemeinen nicht pareto-effizient.Spezialfall: Sei v ′6(y6) =

111 ∑

11i=1 v ′i (y6), dann gilt:

11v ′6(y6) =11

∑i=1

v ′i (y6) = GK(y6)

Samuelson’sche Bedingung in diesem Fall erfullt.

(iii) Abstimmungsregel ist manipulierbar, abhangig von der Reihenfolgeder Abstimmung ⇒ Bestimmung der Geschaftsordnung wichtig!

⇒ Theorie der Kollektiventscheidungen (Social Choice)

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