Kausalität, Korrelation und Kovarianz bei Messunsichercheitanalysen

Kausalität

Korrelation

Kovarianz

Maryna Galovska,Volkswagen AG 

maryna.galovska@volkswagen.de

• Standard‐Verfahren des GUM• Grundbegriffe• Schätzung der Korrelation• Kombinieren der Unsicherheiten• Beispiele• Monte‐Carlo‐Simulation• Zusammenfassung

Berechnung der Messunsicherheit –Empfehlungen für die Praxis, Berlin, 17. und 18. März 2016

1. Standard‐Verfahren des GUM

Kausalität

Korrelation

Kovarianz

1. Modellieren der Messung2. Einschätzung der Größen3. Einschätzung der Korrelationen4. Kombinieren der Werte und Unsicherheiten unter 

der Berücksichtigung der Korrelationen5. Schätzung der erweiterten Messunsicherheit6. Angeben des vollständigen Messergebnisses

x1, u1 x2, u2 xM, uM

Y=f (X1, X2, …, XM) y ± U

r ( x1, x2 )S. 2

X3

X1 X2

kausaler Effekt

Korrelation

Korrelation durch eine gemeinsame dritte Variable:

Korrelation zwischen X1 und X2 darf nicht als kausal interpretiert werden!              

Korrelation zwischen Schokoladenkonsum und Anzahl an Nobelpreisträgern in einem Land **          

*http://www.spiegel.de/unispiegel/jobundberuf/10‐cm‐2000‐euro‐grosse‐maenner‐verdienen‐mehr‐a‐296853.html

**http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMon1211064

2.1 Kausalität und Korrelation

Große Männer verdienen mehr *

Kausalität: Veränderung  X1 ist Ursache für Veränderung  X2 (Wirkung)

Zusammenhang zwischen Zufallsgrößen innerhalb 

einer Verteilung

Aufgrund desselben• Normals• Messgeräts• Referenzwerts…

S. 3

Schätzung der Kovarianz: Experimentell aus MessreihenModellbasiert, aus Erfahrung oder Vorkenntnissen.

Varianz von X1

Varianz von X2

Gemeinsame Varianz von X1 und X2

),()()(),( 212121 xxrxuxuxxu

Im Kontext der Messunsicherheit:

-1 ≤ r(x1, x2) ≤ 1

X1 X2Var (X1) Var (X2)r

Cov (X1, X2)

2.2 Korrelation und Kovarianz

Korrelationskoeffizientcharakterisiert den Grad derKorrelation

S. 4

2.3 Darstellung von zwei korrelierten Größen

Supplement 1: multivariate Gauß‐Verteilungen

S. 5

Andere Verteilungen:

Messgerät

MX

M1 M2

MX = M1 – M2

Ohne Berücksichtigung der Korrelation r(m1, m2) = 0u2(mX) = u2(m1) + u2(m2)

Mit Berücksichtigung der Korrelationr(m1, m2) = 1u2(mX) = (u(m1) – u(m2))2

u(m1) = u(m2)

u2(mX) = 2·u2(m2)

u2(mX) = 0

Schätzwert der Messunsicherheit liegt im Intervall von 0 bis 2·u2(m2) abhängig von der Berücksichtigung der Korrelation!

2.4 Korrelation. Extrembeispiel

3. Berechnung der Kovarianz

Korrelation Beobachtete Korrelation Logische Korrelation

Ermittlung Statistisch (Type A) Nicht statistisch (Type B)

VerfügbareInformation

Beobachtungen bei den Wiederholmessungen:

Messgrößen sind von einer Größe abhängig:

Kovarianz

)(),( 2211 qFXqFX n

n

xxxXxxxX

222212

112111

...,:...,:

),( 21 xxu221

quqF

qF

))(()1(

12211 xxxx

nn ii

S. 7

)()(),(

21

21

xuxuxxu

),( 21 xxr

3. Kombinieren der Unsicherheiten

Y=f (X1, X2, …, XM)

u X1 X2 … XM

X1 u2(x1) u(x1, x2) … u(x1, xM)

X2 u(x2, x1) u2(x2) … u(x2, xM)

… … … … …

XM u(xM, x1) u(xM, x2) u2(xM)

c X1 X2 … XM

X1 c21 c1·c2 … c1·cM

X2 c1·c2 c22 … c2·cM

… … … … …

XM c1·cM c2·cM c2M

1

1

2 ),()(N

i

N

ijjiijc xxucyu

ii x

fc

Kombinierte Varianz: Sensitivitätskoeffitienten:

S. 8

c X1 X2 … XM

X1 c21 c1·c2 … c1·cM

X2 c1·c2 c22 … c2·cM

… … … … …

XM c1·cM c2·cM c2M

r X1 X2 … XM

X1 1 r(x1, x2) … r(x1, xM)

X2 r(x2, x1) 1 … r(x2, xM)

… … … … …

XM r(xM, x1) r(xM, x2) 1

N

i

N

i

N

ijjijijiiic xxrxuxuccxucyu

1

1

1

222 ),()()(2)()(

3. Kombinieren der Unsicherheiten

Y=f (X1, X2, …, XM)

Kombinierte Varianz:

S. 9

4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation

11

22 R

UUR

Messgleichung:

Wiederholmessungen:U1: 0,0994; 0,1005; 0,1000; 0,1005; 0,1003; 0,1015; 0,1000; 0,1002; 0,1011; 0,1021  VU2: 0,1035; 0.1069; 0,1047; 0,1061; 0.1063; 0,1073; 0,1049; 0,1054;  0,1060; 0,1063 V

U1, V

U2,

V r(U1, U2) = 0.74

U1 U2

R1 R2

V1V2

S. 10

R1 –Normalwiderstand: 100,0037 Ω; u=0,0002 Ω

Messung des Widerstandes:

Weil die Schwankungen einer Stromquelle auf zwei Größen (U1, U2) wirken, kommt es zur Korrelation.

Kombinierte Varianz:

r U1 U2 R1

U1 1 0,74 0

U2 0,74 1 0

R1 0 0 1

),()()(2)()()()( 21212122

222

122

22

1121UUrUuUuccRucUucUucRu UURUUc

A/B x u

U1 A 0,1006 V 0,0008 V

U2 A 0,1057 V 0,0011 V

R1 B 100,0037 Ω 0,0002 Ω

21

121 U

RUcU 1

12 U

RcU 1

21 U

UcR

Empfindlichkeitskoeffizienten:

4.1 Beispiel. Beobachtete Korrelation

Komponenten der Unsicherheit: Korrelation:

S. 11

*http://www.phi‐design.de/

Messung der X‐Position von A und B in einem anderen Koordinatensystem:XAS und XBS sind korreliert (aufgrund der gemeinsamen Transformation) 

A B

x

y

xS

yS*

X

?),( BSAS XXrXXXXXX

BBS

AAS

F1 :

F2 :

4.2 Beispiel. Logische Korrelation

S. 12

5,0)()(2

)(),(

2)()()()()(

05,0)()()()(

2

22

xuxuxuxxr

xuxuxuxuxu

mmxuxuxuxu

BSAS

ABSAS

BA

Annahme: Messunsicherheiten der X‐Koordinate von A und B und der Transformation sind gleich:

)()()(

),( 221 xuX

FX

Fxxu BSAS

)()(

),(),(BSAS

BSASBSAS xuxu

xxuxxr

4.2 Beispiel. Logische Korrelation

XAS, mm

X BS,

mm

XXXXXX

BBS

AAS

F1 :

F2 :

S. 13

Monte‐Carlo‐Simulation

A B

xS

yS Mittelpunkt in S‐Koordinatensystem:

2/)( BSASS XXM

Abstand:

ASBSS XXD

)(23

4)(2)(4

4),()()(2)()()( 2

22222 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSAS

Sc

)(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc

4.2 Beispiel. Logische Korrelation

M

D

Mittelpunkt:

2/)( BA XXM

Abstand:

AB XXD

Berechnete  im (x,y)‐Koordinatensystem (vor der Transformation) Funktionsmaßen

x

y

mmMuc 035,0)( )(21

4)()()( 2

222 xuxuxuMu BAc

)(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc mmDuc 071,0)(

A B

xS

yS Mittelpunkt in S‐Koordinatensystem:

2/)( BSASS XXM

Abstand:

ASBSS XXD

)(23

4)(2)(4

4),()()(2)()()( 2

22222 xuxuxuxxrxuxuxuxuMu BSASBSASBSAS

Sc

)(2)(2)(4),()()(2)()()( 222222 xuxuxuxxrxuxuxuxuDu BSASBSASBSASSc

4.2 Beispiel. Logische Korrelation

M

D

Mittelpunkt:

2/)( BA XXM

Abstand:

AB XXD

2061,0)( mmMu Sc )(21

4)()()( 2

222 xuxuxuMu BAc

22 071,0)( mmDu Sc )(2)()()( 2222 xuxuxuDu BAc

mmMuc 035,0)(

mmDuc 071,0)(

u=0.05; N=100000;

A=10+normrnd(0, u, 1, N);B=20+normrnd(0, u, 1, N);dx=‐3+normrnd(0, u, 1, N);As=A+dx;Bs=B+dx;plot(As, Bs, '.')

r=corr(As', Bs')

Ms=(As+Bs)/2;Ds=Bs‐As;

u_M=std(Ms)u_D=std(Ds)

5. Monte‐Carlo‐Simulation

XXXXXX

BBS

AAS

F1 :

F2 :

),( BSAS xxr

)(),( ScSc DuMu

X=[10‐3; 20‐3]'; N=100000;u=0.05*sqrt(2); r=0.5; M=2; cov=[u*u  r*u*u; r*u*u u*u ];

for i=1:MR=mvnrnd(X, cov, N);plot(R(:, 1),R(:, 2), '.');hold on

endAs=R(:, 1); Bs=R(:, 2);

Ms=(As+Bs)/2;Ds=Bs‐As;

u_M=std(Ms)u_D=std(Ds)

5. Zusammenfassung

• Korrelation beschreibt den Zusammenhang zwischen den Variablen.Korrelation im Kontext der Messunsicherheit ist durch eine dritte Variableverursacht. Korrelation darf nicht immer als kausal betrachtet.

• Kovarianz (Mischkomponente der Unsicherheit) muss geschätzt oderexperimentell ermittelt werden.

• Die kombinierte Unsicherheit unter Berücksichtigung der Korrelation kannnach GUM oder Monte‐Carlo‐Methode (Supplement 1) berechnet werden.

• Korrelationen können die kombinierte Messunsicherheit sowohl vergrößernals auch verringern.

Danke für die Aufmerksamkeit!