TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

Prof. Dr. rer. nat. V. Popov www.reibungsphysik.de

Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

Vorlesungsnotizen SS 2009

FG Systemdynamik und Reibungsphysik

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 1. Kinematik einer eindimensionalen Bewegung: Geschwindigkeit als Ableitung, Entfernung als Integral, Beschleunigung. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.1.1.-1.1.3.

I. Kinematik und Dynamik. Unter der Ki-nematik versteht man rein mathematische und geometrische Methoden zur Beschreibung von Bewegungen, wie Koordinaten, Vekto-ren, geometrische Bindungen ect.

Das Wort Dynamik, oder Englisch dynamics, wird in allen Wissenschaftszweigen als Syn-onym zur Bewegung verstanden. An einigen deutsprachigen Technischen Universitäten ist für die Dynamik auch ein anderes Wort ge-bräuchlich: "die Kinetik". Im Sinne unserer Vorlesung sind "die Dynamik" und "die Ki-netik" Synonyme.

Alle Fragen über die Ursachen und Charakter von Bewegungen werden in der klassischen Mechanik ganz einheitlich beantwortet: Ge-mäß den Newtonschen Gesetzen. Die New-tonschen Gesetze und deren Anwendung in verschiedenen Situationen sind das Haupt-thema der Veranstaltung Kinematik und Dy-namik.

II. Massenpunkt. Der Begriff eines Massen-punktes ist einer der Grundbegriffe der Me-chanik. Unter einem Massenpunkt versteht man einen Körper, dessen Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernach-lässigen kann. Natürlich hängt die Möglich-keit einer solchen Vernachlässigung von den konkreten Bedingungen der Aufgabe ab. So kann man z.B. die Planeten als Massenpunkte annehmen, wenn man ihre Bewegung um die Sonne untersucht, dagegen freilich nicht, wenn man ihre tägliche Drehung betrachtet.

III. Eindimensionale Bewegung. Wir be-ginnen mit der Bewegung in einer Richtung, wie in einem Wagen auf einer geraden Stra-ße. Um Koordinaten angeben zu können, müssen wir ein Koordinatensystem wählen. Bei einer eindimensionalen Bewegung reicht die Angabe einer Koordinatenachse x, die in der Bewegungsrichtung zeigt:

Wir wählen auf dieser Achse einen Koordina-tenursprung. Zu jedem Zeitpunkt befindet sich der Wagen in einem bestimmten Punkt dieser Achse. Diesen Sachverhalt merken wir uns, indem wir schreiben: ( )x x t= .

IV. Geschwindigkeit als Ableitung. Die mittlere Geschwindigkeit auf dem Zeitin-tervall 1 2( , )t t wird als Verhältnis des zurück-gelegten Weges zu der verstrichenen Zeit definiert:

2 1

2 1

( ) ( )x t x tvt t−

=−

.

Die momentane Geschwindigkeit ist Grenz-wert dieses Verhältnisses für 2 1 0t t− → :

2 1

2 1

0 2 1

( ) ( )lim

t t

x t x tvt t− →−

=−

.

Das ist nichts anderes als die erste Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

dtdxv = .

In der Mechanik ist es üblich die Ableitung nach Zeit durch einen Punkt über dem Buch-staben zu bezeichnen:

v x= . Nützliche Regeln der Differnzial- und Integralrechnung

Funktion ( )x t

Ableitung dxdt

Funktion ( )g t

Stammfunktion (unbestimmtes

Integral)

( ) ( )dG t g t t= ∫ C 0 0 C t 1 1 t C+

( ) ( )u t f t+

du dfdt dt

+ ( ) ( )u t v t+

d du t v t C+ +∫ ∫

( ) ( )u t f t⋅ du dff udt dt

+ partielle Integration

d ddu dff t u t uv Cdt dt

+ = +∫ ∫ 2t 2t t 2 / 2t C+ 3t 23t 2t 3 / 3t C+ nt 1nnt − nt 1 /( 1)nt n C+ + +

( )u u f= , ( )f f t=

du du dfdt df dt

= ⋅

Substitionsmethode

sin t cos t cos t sin t C+ cos t sin t− sin t cos t−

te te te te C+

ln t 1/ t 1/ t ln t C+

arcsin t 2

1

1 t−

2

1

1 t−

arcsin t

xO

2

V. Entfernung als Integral. Ist die Geschwindigkeit ( )v t als Funktion der Zeit bekannt, so kann Koordinate zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt werden. Zwei Lösungsmöglichkeiten:

1. Unbestimmte Integration. Geschwindig-keit ist zeitliche Ableitung der Koordinate:

( ) ( )dx t v tdt

= . Koordinate zu bestimmen be-

deutet demnach eine Funktion zu finden, de-ren Ableitung der gegebenen Funktion ( )v t gleich ist. Diese Funktion nennt man Stamm-funktion oder unbestimmtes Integral von der Funktion ( )v t . Bezeichnung:

( ) ( )dx t v t t C= +∫ . Integration ist offenbar eine Umkehroperati-on zur Ableitung. Die Tabelle der Ableitun-gen - gelesen in der umgekehrten Richtung - ist gleichzeitig eine Tabelle der Integrale (s. Tabelle).

2. Bestimmte Integration. In einem kurzen Zeitabschnitt t∆ ändert sich die Koordinate des Wagens um x v t∆ = ⋅∆ . Die gesamte Än-derung der Koordinate auf einem längeren Zeitintervall kann man als Summe

2 1( ) ( ) ( )ii

x t x t v t t− ≈ ∆∑ berechnen. Jedoch ist die mit dieser Methode erhaltene Koordi-nate nicht ganz genau, weil sich die Ge-schwindigkeit während des Zeitintervalls t∆ ändert. Wenn wir die Zeit klein genug wäh-len, so ist die Summe präzise:

2 10

( ) ( ) ( )lim it i

x t x t v t t∆ →

− = ∆∑

Den Grenzwert nennt man bestimmtes Inte-gral:

2

1

2 1( ) ( ) ( )dt

t

x t x t v t t− = ∫

Die Bezeichnung des Integral erinnert an seine Herkunft: Das Delta wird zu d, um uns daran zu erinnern, daß die Zeit so gering ist, wie möglich, und die Addition wird geschrie-ben als eine Summe mit einem großen "S", das sich im Laufe der Zeit etwas ausgestreckt hat ∫ . Bestimmte Integrale berechnet man mit dem Hauptsatz der Differential- und In-tegralrechnung: Ist ( )G t eine Stammfunkti-on von ( )g t , so gilt:

( )d ( ) ( )b

a

g t t G b G a= −∫ .

VI. Beschleunigung Ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit:

)(tvv = , so sprechen wir von einer beschleu-nigten Bewegung. Beschleunigung ist zeitli-che Ableitung der Geschwindigkeit:

dtdva = .

Da die Geschwindigkeit selbst eine Ableitung der Koordinate nach der Zeit ist, so ist die Beschleunigung eine Ableitung von Ablei-tung oder, wie man sagt, die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Das wird in einer der folgenden Formen geschrieben:

xdt

xddtdx

dtda ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

2

.

Ist die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit bekannt, so kann man alle sonstigen wichtigen kinematischen Größen sofort be-rechnen: Nach einmaliger Ableitung haben wir die Geschwindigkeit, nach der zweiten Ableitung die Beschleunigung.

VII. Kinematische Grundaufgaben.

1. 0a = . Das bedeutet: / 0a v dv dt= = = . Erste Integration: const ov v= = (gleichför-mige Bewegung). Aus der Definition

/v dx dt= erhalten wir nach der zweiten In-tegration 0x v t C= + . Integrationskonstante erhält man mit Hilfe der Anfangsbedingung:

0 0 0x v t C= + ⇒ ( )0 0 0x x v t t= + − .

2. 0a a= (gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung) ⇒ Zweifache Integration

3. ( )a a t= ⇒ Zweifache Integration

4. ( )a a v= . Wir schreiben Beschleunigung als zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

( )dv a vdt

= und trennen die Variablen:

( )dv dt

a v= . Integration

( )dv t C

a v= +∫ ergibt

nun einen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit. Zur Berechnung der Koor-dinate integriert man Geschwindigkeit nach Zeit.

5. ( )a a x= Lösung durch Multiplikation mit v und Darstellung in der Form d ( )dv v a x x= .

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 2. Ebene und räumliche Bewegung: Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, Vektoren. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik 1II, 1.1.4 I. Ebene Bewegung. Kartesische und Po-larkoordinaten. Die Lage eines Massen-punktes auf einer Ebene wird durch zwei Ko-ordinaten beschrieben. Meistens werden da-für entweder kartesische oder polare Koordi-naten benutzt.

Kartesische Koordina-ten: (x,y)

Polarkoordinaten: ( ,r ϕ ) Zusammenhang zwischen beiden wird durch die folgenden Gleichungen gegeben:

cossin

x ry r

ϕϕ

=⎧⎨ =⎩

Umgekehrt:

( )2 2

arctan /r x y

x yϕ

⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩.

II. Räumliche Bewegung. Kartesische, zy-lindrische und Kugelkoordinaten. In drei Dimensionen wird die Lage eines Massenpunktes mit drei Koordinaten gege-ben. Definition von kartesischen, zylindri-schen und Kugelkoordinaten sowie Zusam-menhänge zwischen ihnen werden mit den drei nachfolgenden Bildern illustriert.

Kartesische Koordinaten: (x,y,z)

Zylindrische Koordinaten: ( ρ ,ϕ ,z) Zusammenhang mit kar-tesischen Koordinaten: cosx ρ ϕ= siny ρ ϕ= z z= Kugelkoordinaten: ( , ,r ϕ θ ) Zusammenhang mit kar-tesischen Koordinaten: cos cosx r θ ϕ= ⋅ cos siny r θ ϕ= sinz r θ=

III. Vektorielle Darstellung. Orthonor-mierte Basen.

(x,y,z) seien kartesi-sche Koordinaten des Massenpunktes P in einem rechtshändigen Koordinatensystem. Alternativ kann die Lage des Punktes mit

dem Radiusvektor r charakterisiert werden. Definieren wir drei Vektoren , ,x y ze e e , die entlang der Koordinatenachsen gerichtet sind und je die Länge Eins haben. Diese drei Ein-heitsvektoren sind zu einander orthogonal und bilden eine orthonormierte Basis. Jeder Vektor kann in seine kartesischen Komponenten zerlegt werden:

( ), ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z= + + = + + ≡ . Kartesische Koordinaten können als Skalar-produkte des Vektors mit entsprechenden Basisvektoren bestimmt werden:

xx r e= ⋅ , yy r e= ⋅ , zz r e= ⋅ . In dem beschriebenen Fall einer konstanten kartesischen Basis (Einheitsvektoren der Ba-sis sind "raumfest") leitet man den Radius-vektor ab, indem man seine Komponenten ableitet:

( ), ,x y z x y zr r r r xe ye ze x y z= + + = + + ≡ . Diese Gleichung kann man auch als

( ), ,x y z x x y y z z x y zv v v v v e v e v e v v v= + + = + + ≡schreiben. Eine weitere Ableitung ergibt Be-schleunigung:

( )( )( )

, ,

, ,

, ,

x y z x x y y z z x y z

x y z x y z

x y z x x y y z z x y z

a v v v v v e v e v e v v v

r r r r xe ye ze x y z

a a a a e a e a e a a a

= = + + = + + ≡ =

= + + = + + ≡ =

= + + = + + ≡

IV. Polare Basis. Die orthonormierte Basis, in die man den Vektor zerlegt, muß nicht unbedingt konstant sein: Sie kann sich als Ganzes (als orthonor-miertes Dreibein) bewegen; dabei ändern sich die Richtungen der Basisvektoren; beide Vektoren bleiben aber orthogonal zu einander und ihre Länge bleibt Eins.

Im Weiteren untersuchen wir näher ebene Bewegung. Zur Beschreibung ebener Bewe-gung wird in der Mechanik sehr oft die soge-

2

nannte "polare Basis" benutzt.

Als Basis führt man zwei Ein-heitsvektoren:

re in Richtung des Radius-Vektors eines Massenpunktes

und eϕ senkrecht zu re (s. Bild). Selbstver-ständlich bewegt sich die polare Basis zu-sammen mit dem Radiusvektor. Der Radius-vektor kann in der polaren Basis besonders einfach dargestellt werden: rr re= . Bei der zeitlichen Ableitung muß man aber beachten, dass sich auch die Basisvektoren mit der Zeit ändern:

( ) ( ) ( )rr t r t e t= . Beim Ableiten muss man die Regel zum Ab-leiten von Produkten benutzen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r rr t r t e t r t e t= + . (1) Um weiter zu verfahren brauchen wir zeitli-che Ableitung von Basisvektoren. Diese wird mit der nachstehenden Skizze illustriert.

rde zeigt in Richtung eϕ und hat die Länge

1 d dϕ ϕ⋅ = . Daher: rde d eϕϕ= . deϕ zeigt in Richtung re− und hat die Länge

1 d dϕ ϕ⋅ = . Daher: rde d eϕ ϕ= − . Indem wir diese Gleichungen durch dt divi-

dieren und erkennen, dass ddtϕ ϕ= , erhalten

wir

re eϕϕ= , re eϕ ϕ= − . Für die zeitliche Ableitung des Radiusvektors (Gleichung (1)) ergibt sich somit

( ) ( ) ( ) ( )rv r t r t e t r t eϕϕ= = + . Eine weitere Ableitung liefert den Bescheu-nigungsvektor:

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r

r r

a v

r t e r t e r t e r t e r t e

r t e r t e r t e r t e r t eϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

= =

+ + + + =

+ + + −

( ) ( )2( ) ( ) 2 ( ) ( )rzirkulareKomponenteradialeKomponente

a r t r t e r t r t eϕϕ ϕ ϕ= − + + (2)

Zeitliche Ableitung des polaren Winkels ϕ ω≡ nennt man Winkelgeschwindigkeit.

Sonderfall: Bewegung auf einer Kreisbahn Bewegt sich ein Massenpunkt auf einem Kreis mit dem Radius r , so gilt 0r = , 0r = . Die Gleichung (1) nimmt die Form

( )v r t r eϕϕ= = an. Geschwindigkeit ist im-mer senkrecht zum Radius (und tangential zum Kreis gerichtet und betragsmäßig gleich

v r rϕ ω= = Die Gleichung (2) nimmt die Form

2 ( ) ( )ra r e t r e tϕϕ ϕ= − + an. Die Beschleuni-gung hat die Komponente in Tangentialrich-tung a rϕ ω= und die Komponente in radialer Richtung

22 2

rva r rr

ϕ ω= − = − = −

Sie ist nach innen - zum Zentrum hin - ge-richtet und heißt daher Zentripetalbeschleu-nigung.

Sonderfall: Zentralbewegung Bei der Zentral-bewegung ist der Beschleunigungs-vektor stets auf einen Punkt, das Zentrum Z, hin gerichtet. Dies trifft zum Beispiel für die Bewegung der Planeten zu. Bei einer Zentralbewegung verschwindet die zirkulare Komponente der Beschleunigung, wenn wir den Koordinatenursprung in das Zentrum legen:

( )21 d2 ( ) ( ) 0da r t r t rr tϕ ω ω ω= + = = ⇒ 2r constω =

Nach dem Bild überstreicht der Fahrstrahl r in der Zeit dt die Fläche 12d dA rr ϕ= . Die Flächengeschwindigkeit 12d / dA t rrω= bleibt daher konstant (das 2. Keplersche Gesetz).

1

Kinematik und Dynamik - Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 3. Newtonsche Gesetze der Dynamik. Bestimmung der Kraft bei vorgegebener Bewegung, Bestimmung der Bewegung bei vorgegebener Kraft. Schiefer Wurf. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik 1II, 1.2.1.-1.2.2.

I. Newtonsche Gesetze (Newton, 1687). 1. Newtonsches Gesetz: Wirkt auf einen Kör-per keine Kraft, so führt er eine geradlinige, gleichförmige Bewegung aus: v const= . (Auch als Trägheitsgesetz bekannt: Galilei, 1638).

2. Newtonsches Gesetz: ma F= oder ddvm Ft= : Masse mal Beschleunigung gleich

Kraft. Dieses Gesetz gilt nur für ein Inertial-system.

3. Newtonsches Gesetz: Kräfte, die zwei wechselwirkende Körper aufeinander aus-üben, sind gleich groß, entgegengerichtet und haben eine gemeinsame Wirkungslinie.

Varianten der Schreibweise des 2.N.G.

ma F= oder ddvm Ft= oder

2

2

dd

rm Ft

=

oder mv F= oder mr F= Schreibweise in Komponenten:

x x

y y

z z

ma Fma F

ma F

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

oder x x

y y

z z

mv Fmv F

mv F

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

oder x

y

z

mx Fmy F

mz F

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

.

Einheit der Kraft ist 2

kg m Ns⋅

≡ (1 Newton).

Bemerkung zum Sprachgebrauch:

Geschrieben in der Form mr F= , stellt das 2. N.G. eine Differentialgleichung bezüglich

( )r t dar, die als Bewegungsgleichung be-zeichnet wird (Engl.: "equation of motion"). Radiusvektor als Funktion der Zeit ( )r t nennt man in diesem Zusammenhang Bewe-gungsgesetz.

II. Bestimmung der Kraft bei vorgegebe-ner Bewegung ist die einfachste Aufgabe der Dynamik. Ist das Bewegungsgesetz ( )r t be-kannt, so berechnet sich die Kraft nach dem 2. N.G. durch zweifaches Differenzieren.

Beispiel 1. Ein Körper (Masse m) führt eine eindimensionale Bewegung nach dem Gesetz

( ) sinx t a tω= (a und ω sind Konstanten). Zu bestimmen ist die auf ihn wirkende Kraft.

Lösung. Die erste Ableitung der Koordinate

nach Zeit liefert cosx a tω ω= , nochmaliges Differenzieren ergibt 2 sinx a tω ω= − . Die Kraft ist nach dem 2.N.G. gleich

2 sinF mx ma tω ω= = − .

Beispiel 2. Kurvenfahrt. Ein Auto (Masse

1000kgm = ) durchfährt eine Kurve (Radius

100R m= ) mit der Ge-schwindigkeit 30m/sv = (108 km/h). Wie groß ist die Kraft, die auf es wirkt, wie ist sie gerich-tet, was ist das für eine Kraft? Lösung. Bei einer Bewegung auf einer Kreis-bahn mit einer betragsmäßig konstanten Ge-schwindigkeit ist die Beschleunigung zum Zentrum des Kreises gerichtet und ist gleich

2 /ra v R= − . Nach dem 2. N.G. hat auch die Kraft nur die radiale Komponente:

2

r rvF ma mR

= = − .

2 2 2 23 3 3

2 2

30 /10 9 10 9 1010r

v m s kg mF m kg NR m s

⋅= = = ⋅ = ⋅

Das ist die Reibungskraft zwischen der Straße und den Reifen.

III. Bestimmung der Bewegung bei vorge-gebener Kraft. Ist die Kraft, die auf einen Körper wirkt, be-kannt (oder ist das "Kraftgesetz" bekannt), so kann man die Bewegung bestimmen, indem man die Differentialgleichung mr F= löst. Zur eindeutigen Bestimmung des Bewe-gungsgesetzes ( )r t müssen die Anfangsbe-dingungen - die Lage und die Geschwindig-keit zu einem Zeitpunkt bekannt sein.

Beispiel 3. Zu bestimmen ist die eindimen-sionale Bewegung unter der Einwirkung einer konstanten Kraft. Zum Zeitpunkt 0t = be-fand sich der Körper im Punkt 0x und hatte Geschwindigkeit 0v .

Lösung. Das 2.N.G. lautet ddvm Ft= . Indem

wir beide Seiten mit dt multiplizieren d dm v F t= und unbestimmt integrie-

ren 1d dm v F t C= +∫ ∫ ⇒ 1mv Ft C= + erhal-

2

ten wir die Geschwindigkeit. Das Ergebnis schreiben wir in der folgenden Form:

1ddxm Ft Ct= + . Multiplikation mit dt :

( )1d dm x Ft C t= + und zweite unbestimmte Integration liefern ( )1 2d dm x Ft C t C= + +∫ ∫ ⇒ 21 1 22mx Ft C t C= + + . Die noch unbe-kannten Integrationskonstanten 1C und 2C bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen:

0 2mx C= , 0 1mv C= . Daraus folgt 21 0 02mx Ft mv t mx= + + oder

210 0 2

Fmx x v t t= + + .

Für die Geschwindigkeit ergibt sich 0

Fmv v t= + .

Bemerkung: Diese Lösungsmethode funktio-niert auch bei einer beliebigen, explizit vor-gegebenen Kraft ( )F t als Funktion der Zeit. Die Beschleunigung ist dann auch eine gege-bene Funktion der Zeit. Durch erste Integrati-on gewinnt man die Geschwindigkeit, durch zweite Koordinate. Die beiden Integrations-konstanten bestimmen sich aus den Anfangs-bedingungen.

Beispiel 4. Bremsweg bei Vollbremsung. Zu bestimmen ist der Bremsweg eines Autos mit der Anfangs-geschwindigkeit

0v bei Vollbrem-sung. Der Rei-bungskoeffizient sei 1µ = .

Lösung. Die auf das Auto wirkenden Kräfte werden durch den Freischnitt sichtbar gemacht. 2. N.G. lautet:

1 2 0my mg N N= − + + = , 1 2mx R R= − − . Aus der ersten Gleichung folgt 1 2N N mg+ = Reibungskräfte bei Vollbremsung erhalten wir nach dem Gesetz "Normalkraft×Rei-bungskoeffizient": 1 1R Nµ= , 2 2R Nµ= . Daraus folgt ( )1 2 1 2R R N N mgµ µ+ = + = und für die x-Komponente des 2.N.G. mx mgµ= − . Das ist eine Bewegung unter Wirkung einer konstanten Kraft, daher gilt

0v v gtµ= −2 21 1

0 0 02 20Fmx x v t t v t gtµ= + + = + −

Aus der ersten Gleichung berechnet sich die Zeit bis zum Stillstand: 0 0v v gtµ= − = ⇒

0 /t v gµ= . Einsetzen in die zweite Glei-chung liefert den Weg bis zum Stillstand:

2 2 20 0 01 1

2 2Bremsv v vx

g g gµ µ µ= − = .

Für 0 30 /v m s= (108 km/h) ist 2 2 2 201

2 2

30 / 452 1 10 /Brems

v m sx mg m sµ

= ≈ =⋅ ⋅

Für 0 15 /v m s= (54 km/h) ist 11Bremsx m≈ . Für 0 8,5 /v m s= (ca. 30 km/h) 3,5Bremsx m≈ .

Beispiel 5. Schiefer Wurf. Ein Körper mit der Masse m wird zur Zeit

0t = unter einem Winkel α zur x-Achse mit einer Geschwindigkeit

0v abgeworfen. Wenn Luftwiderstand vernachlässigbar ist, wirkt als einzige Kraft das gewicht G in ne-gativer z-Richtung. Das 2. N.G. in kartesi-schen Koordinaten lautet

0mx = , mz G mg= − = − . Zweifache Integration führt nach Kürzen von m auf

1x C= , 3z gt C= − +

1 2x C t C= + , 2

3 42tz g C t C= − + + .

Die Anfangsbedingungen: 1 0(0) cosx C v α= = 3 0(0) sinz C v α= =

2(0) 0x C= = , 4(0) 0z C= = . Einsetzen liefert

0 cosx v α= , 0 sinz gt v α= − + ,

0 cosx v tα= ⋅ , 2

0 sin2tz g v tα= − + ⋅ .

Durch Elimination der Zeit t: 0/ cost x v α= erhält man die Bahngleichung

2

2 20

tan2 cos

gxz xv

αα

= − + ⋅

Der Körper bewegt sich auf einer Parabel. Die Wurfweite wx folgt aus der Bedingung

( ) 0wz x = : 20 sin 2w

vxg

α= .

Die größte Wurfweite ergibt sich für / 4α π= , und sie beträgt 2,max 0 /wx v g= .

Die Wurfhöhe ist gleich 20( sin ) / 2hz v gα= .

1

Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 4. Kräfte: Schwerkraft, Reaktionskräfte, Widerstandskräfte, Federkraft, Auftriebskraft, Scheinkräfte. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.3, 1.2.4.

I. Kraftgesetze 1. Gravitationskraft: Jedes Objekt zieht jedes andere Objekt mit einer Kraft an, welche proportional zu beiden Massen und umge-kehrt proportional dem Qua-drat der Entfernung zwischen ihnen ist. Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie zwischen beiden Körpern gerichtet.

2

MmF Gr

=

Gravitationskonstante: 116,67 10G −= ⋅3

2

mkg s⋅

2. Widerstandskraft (turbulent) Ein fahrendes Au-to oder ein Flug-zeug erfahren eine Widerstandskraft, die annährend mit der folgenden Gleichung wiedergegeben wird:

212w wF c Avρ= .

Dabei ist A die Projektionsfläche des Körpers auf eine Ebene senkrecht zur Anströmrich-tung, ρ ist die Dichte des Mediums (z.B. Luft), v ist die Anströmgeschwindigkeit (bzw. Fahrgeschwindigkeit) und der Wider-standsbeiwert wc erfaßt alle weiteren Parame-ter. Er liegt z.B. bei modernen Pkw zwischen 0.3 und 0.4. Das Kraftgesetz ist nur gültig bei schnellen Bewegungen, bei denen sich eine turbulente Strömung bildet.

3. Widerstandskraft (Laminar) Bewegt sich der Körper in einer Flüssigkeit oder einem Gas so langsam, dass sich keine Wirbel bilden (laminare Umströmung), so ist die Widerstandskraft, wie das bereits Newton herasgefunden hat, proportional zur Ge-schwindigkeit:

wF vα= − . Die Konstante α hängt von der Geometrie des umströmten Körpers und von der Zähig-keit des Mediums, diesmal nicht aber von seiner Dichte. Minus-Vorzeichen zeigt, dass die Kraft entgegengestzt zur Geschwindigkeit gerichtet ist. Für eine Kugel gilt z.B.:

6wF rvπη= − .

(1854 Stokes); r ist hier Radius der Kugel, η - Viskosität des Mediums. (Z.B. für Was-ser bei 20°C ist 310 Pa sη −≈ ⋅ , für die Luft bei 20°C 51,8 10 Pa sη −≈ ⋅ ⋅ ).

4. Haftreibung und Gleitreibung Durch ausführliche experimentelle Untersu-chungen hat Coulomb (1736-1806) festge-stellt, dass die Reibungskraft R zwischen zwei Kör-pern, die mit der Normalkraft N an einan-der gedrückt sind, in erster, grober Näherung folgende einfache Eigenschaften hat:

A. Die Haftreibung (auch statische Rei-bungskraft) sR , die zu überwinden ist, um den Körper in Bewegung zu setzen, ist pro-portional zur Anpreßkraft N:

s sR Nµ= . Der Koeffizient sµ heißt statischer Rei-bungskoeffizient. Er hängt von der Material-paarung ab, weist aber dagegen fast keine Abhängigkeit von der Kontaktfläche und Rauhigkeit der Oberflächen.

B. Die Gleitreibung (auch kinetische Rei-bungskraft) kR ist die Widerstandskraft, die nach dem Überwinden der Haftung wirkt. - Gleitreibung ist proportional zur Anpreß-kraft N

k kR Nµ= - Die Gleitreibung hängt nicht (bzw. nur sehr schwach) von der Gleitgeschwindigkeit ab.

V. Elastische Kraft Alle Körper in der Welt sind mehr oder weniger deformierbar. Bei Fe-dern ist ihre Elastizität besonders ausgeprägt und wird technisch genutzt. Verschiebt man einen mit einer Fe-der gekoppelten Körper um x aus seiner Gleichgewichtsposition, so wirkt die feder auf ihn mit der Kraft

elF cx= − . c ist die Steifigkeit der Feder.

2

VI. Auftriebskraft (a) Bewegt sich ein nicht symmetrischer Kör-per in einer Flüssigkeit oder Luft, so ist die auf ihn vom Medi-um wirkende Kraft im Allgemeinen nicht entgegengestzt zur Geschwindig-keit gerichtet. Die entgegengesetzte Komponente der Kraft nennt man Widerstandskraft (s. oben). Die zur Bewegung senkrecht gerichtete Kompo-nente heißt Auftriebskraft. Beide sind bei turbulenten Umströmungen ungefähr propor-tional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Für dünne strom-linienförmige Körper (wie ein Flügel) gilt

2AF v Sπαρ=

wobei S die Fläche des Flügels ist und α der sogenannte Anstellwinkel.

(b) Darüber hinaus gibt es auch bei sehr lang-samen Bewegungen die entgegen der Schwe-rekraft gerichtete archimedische Auftriebs-kraft, die gleich dem Gewicht der verdräng-ten Flüssigkeit ist.

VII. Elektrische, magnetische Kräfte Auf einen geladenen Körper im elektrischen Feld mit der Feldstärke E wirkt die Kraft F qE= , q ist die elektrische Ladung.

Auf einen geladenen Körper im magnetischen Feld mit der Induktion B wirkt die Kraft F qv B= × ; sie ist stets senkrecht zur Ge-schwindigkeit gerichtet.

VIII. Reaktionskräfte (auch Führungs-kräfte, Zwangskräfte) Wenn ein Massenpunkt gezwungen ist, sich auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu bewegen, so spricht man von einer geführten oder gebundenen Bewegung. In die-sem Fall treten die sogenannten Reak-tionskräfte auf, welche gerade die geforderte Bindung an eine Fläche oder Kur-ve bewirken. Für den Betrag der Reaktions-kraft kann man kein spezielles Kraftgesetz angeben. Sie zeigt aber immer in die Rich-tung, in der die Bewegung verhindert wird.

IX. Scheinkräfte Das 2. Newtonsche Gesetz gilt nur in Inerti-alsystemen. Manchmal ist es bequemer, eine Bewegung relativ zu einem sich beschleunigt bewegenden oder rotierenden Bezugssystem zu betrachten (die Erde ist z.B. auch kein ideales Inertialsystem). Man kann zeigen, dass man auch in einem bescheunigten Sy-stem die Newtonschen Gesetze in gewöhnli-cher Form anwenden kann, wenn man zusätz-liche, sogenannte Scheinkräfe einführt.

(a) In einem Bezugs-system, das sich rela-tiv zu einem Inertial-system mit der Be-schleunigung A be-wegt, muß die Scheinkraft

translF mA= −

eingeführt werden.

(b) In einem mit einer Winkelgeschwindig-keit ω rotierendem Bezugssystem müs-sen zwei Scheinkräfte eingeführt werden (diese Kraftgesetze werden im Kurs Mechanik III hergeleitet): Zentrifugalkraft 2zentrifF mrω= wirkt radial von der Rotationsachse (r ist der Abstand zur Achse). Coriolis-Kraft 2CF mv ω= × .

Beispiel. Satellitenbewegung. Mit welcher Geschwin-digkeit umläuft die Erde ein erdnaher Satellit? Ra-dius der Bahn sei

36, 4 10R km= ⋅ . Lösung. Die einzige Kraft, die auf den Satel-liten wirkt, ist die Anziehungskraft der Erde (Schwerekraft). Sie ist immer zum Zentrum der Erde gerichtet und in der Nähe der Erd-oberfläche gleich rF mg= . Bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, so ist seine Be-schleunigung ebenfalls zum Zentrum gerich-tet und gleich 20 /ra v R= . Nach dem 2.N.G.

gilt 20 /mv R mg= . Daraus folgt

26 3

0 6, 4 10 9,8 8 10 /msv Rg m m s= = ⋅ ⋅ ≈ ⋅

1

Mechanik II / Prof. Popov / Vorlesung 5. Das 2. Newtonsche Gesetz: Anwendungsbeispiele. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.1.3, 1.2.4

Beispiel 1. Geostationäre Satelliten Verläuft die Bewegung eines Satelliten in der Äquatorebene der Erde und ist die Umlaufzeit gleich einem Tag, so "hängt" der Satellit immer über dem gleichen Punkt der Erde. Die einzige auf ihn wirkende Kraft ist die zum Zentrum gerichtete Gravitations-

kraft 2rMmF Gr

= . Bei einer Bewegung auf

dem Kreis ist Beschleunigung ebenfalls zum Zentrum gerichtet und gleich 2ra rω= , wo-bei 2 /Tω π= die Winkelgeschwindigkeit ist (T=1 Tag ist die Umdrehungsperiode). 2.N.G.

besagt, dass 2

22

2MmG mr mrr T

πω ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

( )

1/32

22GMTrπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. (1)

Die Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist gleich 2/g GM R= mit 36380 10R m= ⋅ als Erdradius. Daraus folgt 2GM gR= . Ein-setzen in (1) liefert

( )( ) ( )

( )

1/31/3 2 262 2

2 2

9,8 6,38 10 24 3600

2 2gR Trπ π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟= ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

42000km≈ . Das Entspricht einer Höhe über der Erdoberfläche von ca. 35620km .

Beispiel 2. Vertikaler Start einer Rakete Zu berechnen ist die Fluchtgeschwindigkeit bei einem vertikalen Start einer Rakete (Luft-widerstand ist zu vernachlässigen). Lösung. Es liegt eine eindimensionale Bewe-gung vor. 2.N.G. für die radiale Bewegung

lautet 2GMrr

= − . Beschleunigung ist hier

eine Funktion der Koordinate. Man löst diese Differentialgleichung durch Multiplizieren

beider Seiten mit Geschwindigkeit ddrrvt

=

und Berücksichtigung, dass r

rdvdv dv drx a v

dt dr dt dr= = = ⋅ = ⋅ .

Die Bewegungsgleichung nimmt die Form

2r

rdv GMvdr r

⋅ = − an.

Multiplizieren mit dr ergibt

2r rGMv dv drr

= − .

Eine bestimmte Integration führt auf ( )22 0 1 1

2 2rr vv GM

R r⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

Die gesuchte Geschwindigkeit ist eine solche, bei der 0v → wenn r →∞

( ) 20 2 11, 2 /rGMv gR km sR

= = ≈ .

Beispiel 3. Maximale Geschwindigkeit eines Autos. In der vertikalen Richtung gibt es keine Be-wegung. Unter Vernach-lässigung der Auftriebs-kraft gilt daher: N mg= . Da sich das Auto mit ei-ner konstanten Ge-schwindigkeit bewegen soll, lautet die hori-zontale Komponente des 2.N.G.:

0 wm F R⋅ = − + , wobei R mgµ= die maxima-le erreichbare Reibungskraft zwischen den Rädern und der Straße ist und 212w wF c Avρ= die (turbulente) Widerstandskraft. Aus

212 wmg c Avµ ρ= folgt

2

w

mgvc Aµρ

= .

Mit den charakteristischen Werten: 0, 4wc = , 22,5A m= , 31, 2 /kg mρ = , 1600m kg= ,

0.8µ = erhalten wir 146 / 525 /v m s km h≈ ≈ .

Beispiel 4. Freier Fall in einer viskosen Flüssigkeit Zu bestimmen ist das Bewe-gungsgesetz einer in einer Flüs-sigkeit frei fallenden Kugel mit Anfangsbedingungen: ( )0 0y = , ( )0 0yv = .

Lösung. Das 2. N. G. lautet: y

y

dvm mg v

dtα= − − . Multiplikation mit dt

ergibt y ydv g v dtmα⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠. Nach Trennung

der Variablen und bestimmter Integration er-

halten wir 0 0

yv ty

y

dvdt t

g vmα = − = −

+∫ ∫ ⇒

2

0ln yv

ym g v t

mα

α⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

ln 1 ym v t

mgα

α⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⇒ 1

tm

ymgv e

α

α−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Für sehr große Zeit t erreicht die Geschwin-

digkeit den Grenzwert mgα

− . Minus-Zeichen

zeigt, dass sich die Kugel in die negative y-Richtung bewegt. Zur Bestimmung der Koordinate schreiben wir die Geschwindigkeit als zeitliche Ablei-

tung 1t

mdy mg edt

α

α−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, multiplizieren diese

Gleichung mit dt und integrieren bestimmt

0 0

1y t t

mmgdy e dtα

α−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ . Ergebnis:

2

2 1 mmg my t g e t

α

α α−⎛ ⎞

= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Beispiel 5. Ein Feder-Masse-System Zu bestimmen ist das Bewegungsgesetz einer mit einer Feder gekoppelten Masse. Anfangsbedingungen: für 0t = lauten

(0) 0v = ; 0(0)x x= . Lösung. Wir betrachten nur die Bewegung in horizontaler Richtung und vernachlässigen Reibung in dieser Richtung. Die einzige Kraft, die unter diesen Voraussetzungen auf den aus der Ruhelage ausgelenkten Körper wirkt, ist die Federkraft F kx= − . Das 2.N.G. sieht wie folgt aus: ma kx= − ⇒ ( )/a k m x= − . Mit Bezeichnung 2/k m ω= schreiben wir es in

der Form 2a xω= − oder 2dv xdt

ω= − .

Mit der Identität dv dv dx dv vdt dx dt dx

= ⋅ = ergibt sich

2dv v xdx

ω⋅ = − . Multiplikation mit dx und be-

stimmte Integration ergibt

0

2

0

v x

x

vdv xdxω= −∫ ∫ ⇒ 22 2

2 002 2 2

xv xω⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Daraus ergibt sich Geschwindigkeit als Funk-tion der Koordinate: 2 20v x xω= − . Wir schreiben nun Geschwindigkeit als zeitliche

Ableitung der Koordinate: 2 20dx x xdt

ω= − ,

trennen die Variablen und integrieren be-

stimmt: 0

2 200

x t

x

dx dt tx x

ω ω= =−

∫ ∫ .

Mit der Substitution

( )( )0

0

sin /0 sin 1

2 20 0 0

sin

cos cos

x arc x x

x arcx x z x z

dx x z dz x x x z

= →

= ⋅ − =

erhalten wir

( )

( )

( )( )

00

0

sin /sin /0sin 12 2

0sin 10

0

coscos

arcsin( / ) / 2

arc x xxarc x x

arcx arc

x z dzdx zx zx x

x x tπ ω

⋅= =

−

− =

∫ ∫

Daraus folgt ( )0 sin / 2x x tω π= +

( )( ) 00

00/2

10

/ :/|1 /

x

x xx

x x zd x xzx x

=⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦−

∫0/

21 1

x x dzz

=−

∫

0/1

0

arcsin1arcsin | arcsin/ 2

x x xz tx

ωπ

= = − =

Umkehren dieser Funktion ergibt ( )0 0sin 2 cosx x t x tω π ω= + =

Beispiel 6. Scheinkräfte.

A. Wann kippt ein Auto um? Gleichgewicht der Kraftmomente be-züglich des rechten Rades (im rotierenden Bezugssystem!!): ( )2 /m v R h mgd= ⇒ /v Rgd h= .

B. Neigung eines Motorradfahrers C. Zentrifuge. Durchmesser = 45 cm,1400 Umdrehungen pro Minute. Zu bestimmen ist die effektive Fallbeschleunigung in dem mit der Zentrifuge verbundenen Bezugssystem.

1

Mechanik II / Vorlesung 6 / Prof. Popov Impuls, Kraftstoß, Schwerpunktsatz, Impulserhaltung, Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.5, 2.2, 2.5

I. Impuls. Vektorielle Größe p mv= heißt Impuls des Körpers. Der Gesamtimpuls eines Mehrkörpersystems berechnet sich als Summe der Impulse seiner Bestandteile: i ip m v=∑ . II. Impulssatz. Geschrieben in der Form

ddp Ft=

trägt das 2. Newtonsche Gesetz den Namen Impulssatz.

III. Kraftstoß. Durch Multiplizieren mit dt und Integration kann der Impulssatz in der folgenden Integralform dargestellt werden:

2 2

1 1

( )

( )

d ( )dp t t

p t t

p F t t=∫ ∫ ⇒ 2

1

2 1( ) ( ) ( )dt

t

p t p t F t t− = ∫

Änderung des Impulses ist somit gleich der

Größe 2

1

( )dt

t

F F t t= ∫ , die Kraftstoß heißt.

IV. Abgeschlossenes System. Ein Mehrkörpersystem heißt abgeschlossen, wenn die zu ihm gehörigen Körper nur mitein-ander wechselwirken.

V. Impulserhaltungssatz Betrachten wir ein abgeschlossenes System bestehend aus zwei Körpern. Diese Körper wechselwirken nur mit einander. Die Wechselwirkungskräfte genügen dem 3. Newtonschen Gesetz (actio=reactio). Das 2. Newtonsche Gesetz für jeden Körper kann demnach wie folgt geschrieben werden:

11

dvm Fdt

= 22dvm Fdt

= − .

Summieren beider Gleichungen ergibt 1 2

1 2 0dv dvm mdt dt

+ = oder ( )1 1 2 2 0d m v m vdt

+ =

In der Klammer steht der Gesamtimpuls des

Systems: 0dpdt

= . Daraus folgt:

1 1 2 2p m v m v const= + = Impuls eines abgeschlossenen Systems bleibt erhalten (Impulserhaltungssatz).

Dieser Satz gilt für ein abgeschlossenes Sy-stem bestehend aus beliebiger Zahl von Kör-pern.

IV. Innere und äußere Kräfte Die Kräfte, mit denen die Körper, die zu einem System gehören, mit einander wechselwirken, nennen wir innere Kräfte.

Die Kräfte, mit denen die Körper des Systems mit den Körpern außerhalb des Systems wech-selwirken, nennen wir äußere Kräfte.

Diese Definitionen sind systemabhängig. So ist z.B. die Wechselwirkungskraft zwischen der Sonne und der Erde eine innere Kraft, wenn wir die Sonne und die Erde als ein Sy-stem betrachten. Betrachten wir dagegen nur die Erde als "System", so ist das eine äußere Kraft.

VII. Impulssatz für ein Mehrkörpersystem Betrachten wir jetzt ein nicht abgeschlossenes (offenes) System, d.h. ein System, dessen Kör-per auch mit Körpern außerhalb des Systems wecheselwirken. F und F− sind hier innere Kräfte. 1F und 2F sind äußere Kräfte. Das 2. Newtonsche Gesetz für die beiden Körper lautet:

11

dp F Fdt

= + ; 2 2dp F Fdt

= − + .

Addition dieser Gleichungen ergibt

1 2 extdp F F Fdt

= + =

extF ist Summe aller äußeren Kräfte.

Impulssatz: Zeitliche Ableitung des Impulses eines Sy-stems ist gleich der Summe aller äußeren Kräfte, die auf dieses System wirken. Teilerhaltung des Impulses: Ist Projektion der resultierenden äußeren Kraft auf die x-Achse Null, so bleibt die x-Projektion des Impulses erhalten.

2

Beweis: Der Impulssatz extdp Fdt

= in der Pro-

jektion auf die x-Achse lautet: 0xdpdt

= .

Daraus folgt xp const= .

VIII. Schwerpunktsatz Radiusvektor des Schwerpunkts eines Systems wird wie folgt definiert:

1 1 2 21 2

i i i is

i

m r m rm r m rRm m m M

+ + ⋅⋅⋅= = =

+ + ⋅⋅⋅∑ ∑∑

,

wobei M die Gesamtmasse des Systems ist. Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes be-rechnet sich als zeitliche Ableitung dieses Vektors:

1 1 2 2

1 2

i is s

m vm r m r pV Rm m M M+ + ⋅⋅⋅

= = = =+ + ⋅⋅⋅

∑ . Betrachten wir zwei Fälle:

a) Abgeschlossenes System 1 1 2 2

1 2

sdR m v m v p constdt m m M

+ + ⋅⋅⋅= = =

+ + ⋅⋅⋅:

Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

b) Offenes System

/ extFdV dp dtdt M M

= = oder 2

2 extd RM Fdt

= .

IX. Plastischer Stoß Betrachten wir Zusammenstoß zweier Körper, nach dem sie sich als ein Ganzes bewegen (an einander kleben). Solcher Stoß nennt man pla-stischer Stoß. Die Wechselwirkungskräfte zwi-schen beiden Körpern, unabhängig von deren Größe und physikalischer Herkunft sind innere Kräfte. Wirken am System keine weiteren Kräfte, so ist das ein abgeschlossenes System. Der Impuls des Systems bleibt deshalb erhal-ten. Insbesondre gilt das für beliebige Zeit-punkte vor und nach dem Stoß: Impuls vor dem Stoß: 1 1 2 2m v m v+ Impuls nach dem Stoß ( )1 2m m v+ Wenn keine äußeren Kräfte gewirkt haben:

( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = + ⇒

1 1 2 2

1 2

m v m vvm m+

=+

X. Zerfall (z.B. durch eine Explosion)

Impuls "vor": ( )1 2 0 0m m+ ⋅ = Impuls "nach": 1 1 2 2m v m v+ Impulserhaltungssatz: 1 1 2 2 0m v m v+ =

12 1

2

mv vm

= −

XI. Mittelwert einer Kraft Betrachten wir eine von der Zeit abhängige Kraft ( )F t . Den Mittelwert dieser Kraft auf dem Zeitinter-vall von 1t bis

2t können wir bestimmen, indem wir das Zeitintervall in eine sehr große Zahl N von Teilintervallen t∆ unterteilen (offensichtlich gilt 2 1N t t t∆ = − ). Den Mittelwert F (der Strich über dem Buch-staben bedeutet "Mittelwert") berechnet man

mit der bekannten Regel 1

N

ii

FF

N==∑

. Indem

wir diese Gleichung mit t∆ multiplizieren und

dividieren, erhalten wir

2

11

2 1

( )t

N

iti

F t dtF tF

N t t t=

∆= =

∆ −

∫∑ .

Nach dem Impulssatz in der Integralform gilt 2

1

2 1( )t

t

F t dt p p= −∫ , wobei 2p und 1p Impulse

des Systems zu den Zeitpunkten 2t und 1t sind. Für den Mittelwert der Kraft ergibt sich somit

2 1

2 1

p pFt t−

=−

Mittelwert der Kraft ist gleich Änderung des Impulses dividiert durch das Zeitintervall, in dem diese Änderung stattgefunden ist.

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines Systems bewegt sich so, als ob die Gesamt-masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an ihm angriffen.

1

Mechanik II / Vorlesung 7 / Prof. Popov Arbeit, kinetische und potentielle Energie, Elastischer Stoß Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7 I. Mechanische Arbeit, Arbeitssatz Betrachten wir einen Körper mit der Masse m, der sich unter der Wirkung einer (im Allgemei-nen zeit- oder ortsabhängigen) Kraft F bewegt. Das zweite Newtonsche Gesetz für den Körper

lautet dvm Fdt

= .

Indem wir diese Gleichung mit v multiplizie-ren, erhalten wir

dvm v F vdt

⋅ = ⋅ (Skalarprodukt!) (1)

Die linke Seite der Gleichung kann in der Form

( ) ( )22 2

d vd v vdv m mm vdt dt dt

⋅⋅ = =

dargestellt werden. Die rechte Seite schreiben

wir wie folgt um: drF v Fdt

⋅ = ⋅ . Die Gleichung

(1) nimmt die Form ( )22m d v F dr= ⋅ an.

Bestimmte Integration ergibt

( )2 2

1 1

2

2

v r

v r

m d v F dr= ⋅∫ ∫

oder 2

1

2 22 1

2 2

r

r

mv mv F dr− = ⋅∫ . (2)

Die Größe 2

2mvK = ist die kinetische Energie

des Körpers.

Das Integral 2

1

r

r

W F dr= ⋅∫ nennt man die von

der Kraft F auf dem Weg zwischen 1r und 2r geleistete Arbeit. Gleichung (2) sagt aus, dass Änderung der ki-netischen Energie eines Objektes gleich der durch die einwirkenden Kräfte geleisteten Ar-beit ist.

2 1K K W− = . (Arbeitssatz)

II. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit wird als Integral 2

1

r

r

W Fdr= ∫ definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

( )2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r= = − = ∆∫

- Wann ist W=0? ⇒ 0F = oder 0r∆ = oder 90θ = ° .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich minus die Arbeit von B nach A.

- Arbeit ist eine additive Größe (Arbeit mehre-rer gleichzeitig wirkender Kräfte ist gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräfte). Folgt aus der Definition.

III. Leistung. Betrachten wir Bewegung in-nerhalb eines infinitesimal kleinen Zeitinter-valls dt , so kann man den Arbeitssatz in der Differentialform schreiben: dK dW= . Dividieren durch dt ergibt dK dWdt dt

= . (3)

Die Größe /dW dt heißt Leistung der Kraft.

Gleichung (3) bedeutet, dass die zeitliche Änderung der kinetischen Energie eines Ob-jektes gleich der durch die einwirkenden Kräfte aufgebrachten Leistung ist. Einheiten: [ Arbeit ] = Newton ⋅ Meter ={Joule} [ Leistung ] = Joule pro Sekunde ={Watt} 1 Kilowattstunde 310 3600= ⋅ J = 63,6 10⋅ Joule

IV. Potentielle Energie, Energieerhaltungs-satz. Betrachten wir eine eindimensionale Be-wegung unter der Einwirkung einer Kraft

( )F x , die nur von der Koordinate abhängt. Das zweite Newtonsche Gesetz lautet:

( )mv F x= . Multiplizieren mit v ergibt

( )dv dxm v F xdt dt

= oder ( )mvdv F x dx= Bestimmte Integration ergibt

( ) ( ) ( )0

220

02 2

x

x

mvmv F x dx U x U x− = = −∫ , (4)

wobei ( ) ( )U x F x dx= −∫ Stammfunktion zur Funktion ( )F x− ist (unbestimmtes Integral von ( )F x− ).

r∆

Fθ

cosW F r θ= ⋅∆ ⋅

2

(4) kann wie folgt umgeschrieben werden:

( ) ( )220

02 2mvmv U x U x+ = + . (5)

Die Größe ( )U x heißt potentielle Energie und

die Summe ( )2

2mvE U x K U= + = + - volle

Energie des Systems.

Gleichung (5) besagt, dass die volle Energie des Systems erhalten bleibt (Energieerhal-tungssatz): E K U konst= + = . Der Energieerhaltungssatz in dieser Form gilt nur dann, wenn die Kräfte nur von der Koordi-nate abhängen (im Allgemeinen Fall gilt das für konservative Kräfte, s. nächste Vorlesung).

Bemerkung: Aus der Definition der potentiel-

len Energie folgt, dass ( ) UF xx

∂= −

∂. Diese

Gleichung nennt man 1. Satz von Castigliano.

V. Beispiele A. Potentielle Energie der Schwerekraft.

Die Schwerekraft ist gleich F mg= − . Potentielle Energie ist demnach U mgdh mgh C= = +∫ . C ist eine beliebige Konstante, die z.B. gleich Null gesetzt

werden kann. Der Energieerhaltungssatz hat

die Form 2

2mv mgh konst+ = .

B. Potentielle Energie einer elastischen Feder. Die Federkraft ist gleich F cx= − . Potentielle Energie demnach

2

2xU cxdx c= =∫ .

Energieerhaltungssatz: 2 2

2 2mv xc konst+ = .

C. Potentielle Energie der Gravitationskraft im allgemeinen Fall.

2

MmF Gr

= − .

2

Mm MmU G dr Gr r

= = −∫ . Energieerhaltungssatz:

2

2mv MmE G konst

r= − = .

Die auf dem geschlossenen Weg geleistete Arbeit ist gleich

2 1 4 3 6 5 8 7

1 1 1 1 1 1 1 1 0W GMmr r r r r r r r

⎛ ⎞= − + − + − + − ≡⎜ ⎟

⎝ ⎠Kräfte, deren Arbeit auf jedem geschlossenen Weg Null ist, heißen konservativ.

VI. Ein Pendel Zu bestimmen ist das Bewe-gungsgesetz und die Stangen-kraft für ein Pendel bestehend aus einem leichten Stab und einer Kugel, die man als ein Massenpunkt betrachten kann. Zum Zeitpunkt 0t = wird es aus der Ruhelage um den Winkel 0ϕ ausgelenkt und freigelassen. Lösung. Wir schreiben zunächst den Energie-

erhaltungssatz 220

02 2mvmv mgh mgh+ = + .

Unter Berücksichtigung geometrischer Bezie-hung (1 cos )h l ϕ= − und 0 0v = ergibt sich

2

0(1 cos ) (1 cos )2v gl glϕ ϕ+ − = −

Daraus folgt ( )02 cos cosv gl ϕ ϕ= − .

Wir wollen das 2. Newtonsche Gesetz in polarer Basis schrei-ben. Die zirkulare und radiale Komponenten der Beschleuni-gung sind gleich a lϕ ϕ= , ( )

2ra l ϕ= −

Für die zirkulare und radiale Kraftkomponenten haben wir:

sinF mgϕ ϕ= − cosr NF mg Fϕ= − Das 2.N.G. nimmt die Form

sinml mgϕ ϕ= − , ( )2 cos Nml mg Fϕ ϕ− = − an. Aus der zweiten Gleichung können wir die Stangenkraft als Funktion des Winkels ϕ be-rechnen:

( )2

0cos 3cos 2cosNvF mg m mgl

ϕ ϕ ϕ= + = − .

Das Bewegungsgesetz bekommen wir aus der

Gleichung ( )0d 2 cos cosd

v l gltϕ ϕ ϕ= = −

durch Trennung der Variablen und Integration.

Ist ein Perpetuum mobile möglich?

1

Kinematik und Dynamik / Mechanik II / Vorlesung 8 / Prof. Popov Arbeit, kinetische und potentielle Energie, konservative Kräfte, Energieerhaltungssatz Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7 I. Eigenschaften der Arbeit.

-Arbeit wird als Integral 2

1

r

r

W Fdr= ∫ definiert.

-Bei einer konstanten Kraft gilt

( )2

1

2 1

r

r

W F dr F r r F r= = − = ∆∫

- Wann ist W=0? ⇒ 0F = oder 0r∆ = oder 90θ = ° .

- Die Arbeit von A nach B ist gleich Minus die Arbeit von B nach A.

- Arbeit ist eine additive Größe (Arbeit mehre-rer gleichzeitig wirkender Kräfte ist gleich der Summe der Arbeiten einzelner Kräfte). Folgt aus der Definition.

II. Konservative Kräfte Gegeben sei ein Kraftfeld ( ) ( ), ,F x y z F r= . Das Kraftfeld (oder einfach die Kraft) heißt konservativ, wenn die von dieser Kraft auf ei-nem beliebigen geschlossenen Weg geleistete Arbeit gleich Null ist: 0W Fdr= =∫ . Schlussfolgerung: Die Arbeit zwischen 1 und 2 hängt vom Weg nicht ab!

Konservative Kräfte: Gravitationskraft, elasti-sche Kraft, elektrostatische Kräfte. Nichtkonservative: Widerstandskraft, Rei-bungskraft III. Potentielle Energie einer konservativen Kraft Wir definieren eine neue Funktion:

( ) ( ) ( )P

O

U P F r dr W O P= − = − →∫

( ) ( ) ( )Q

O

U Q F r dr W O Q= − = − →∫ Jetzt gehen wir den Weg O P Q O→ → → . Die Arbeit ist gleich

( ) ( ) ( ) 0W O P W P Q W Q O→ + → + → = oder

( ) ( ) ( ) 0U P W P Q U Q− + → + = . Daraus folgt

( ) ( ) ( )W P Q U P U Q→ = −

Bei einer Bewegung unter der Wirkung von konservativen Kräften gilt

2 1 1 2K K W U U− = = − . Daraus folgt der Energieerhaltungssatz

2 2 1 1K U K U konst+ = + =

IV. Wie stellt man fest, ob eine Kraft kon-servativ ist? • Ein homogenes Kraftfeld ist konservativ.

( )1

1

1 1 0r

r

W F dr F r r= = − ≡∫

• Eine zentrale Kraft, die nur vom Abstand zu einem Zentrum abhängt, ist konser-vativ. • Summe konservativer Kräfte ist eine konservative Kraft:

Gravitationskraft einer beliebigen Massen-verteilung

Elektrostatische Kraft einer beliebigen Ver-teilung von Ladungen

Elastische Kräfte (letztendlich nichts ande-res als elektrische Kräfte)

Eine beliebige Kombination aus elektri-schen, elastischen und Gravitationskräften.

V. Potentielle Energien: a) Einer elastischen Feder mit Steifigkeit c:

2

( )2xU x c= (1)

b) Im Gravitationsfeld: 1 2( ) m mU r Gr

= − . (2)

c) Der Zentrifugalkraft in einem rotierenden Bezugssystem:

2 2( )2mU r rω= − . (3)

VI. Kräfte, die senkrecht zur Bewegungs-richtung gerichtet sind, leisten keine Arbeit

O

P

Q

r∆

FθcosW F r θ= ⋅∆ ⋅

P Q

R

2

und brauchen weder im allgemeinen Ar-beitssatz, noch im Energieerhaltungssatz berücksichtigt zu werden: - Zwangs- oder Reaktionskräfte - magnetische Kräfte ( )F qv B= × - Corioliskraft im rotierenden Bezugssystem ( )2F mv ω= × - (aerodynamische) Auftriebskraft.

Erläuterung zur Arbeit von Zwangskräften Zwangskräfte in mechanischen Systemen sind Kräfte, die stets senkrecht zur Bewegungsrich-tung gerichtet sind. Daraus folgt für die Arbeit:

( )2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

r r

Zwangs eingeprägtr r

r r r

Zwangs eingeprägt eingeprägtr r r

W Fdr F F dr

F dr F dr F dr

= = + =

+ =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Bei Berechnung der Arbeit können Zwangs- (Reaktions-)kräfte außer Acht gelassen werden.

VII. Arbeitssatz in Anwesenheit von konser-vativen und nicht konservativen Kräften? Der Arbeitssatz in der allgemeinen Form

2 1K K W− = gilt immer. Die Arbeit können wir schreiben als 2 1 kons nichtkonsK K W W W− = = +

Für die Arbeit der konservativen Kräfte gilt 1 2konsW U U= − . Der Arbeitssatz nimmt die

Form 2 1 1 2 nichtkonsK K U U W− = − + an oder

1 1 2 2 nichtkonsK U K U W+ = + − .

VIII. Gravitationsfeld einer Kugel

Masse des infinitesimalen Ringes:

2 2

2 sin4 4 2

ds h ad ddm m m ma a

π θ θ θπ π

⋅ ⋅= = = ⋅ .

Die durch den Ring erzeugte potentielle Ener-

gie: 'Gm dmdUr

= − =

2 2

' sin2 2 cos

m m dGR Ra a

θ ϑθ

= −− +

Die volle potentielle Energie:

2 20

' sin2 2 cos

Gm m dUR Ra a

π θ θθ

= − =− +

∫

2 2' ( ) ( )2

Gm m R a R aRa

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

a R a> : ' /U Gm m R= − b R a< : ' /U Gm m a= −

IX. Anwendungsbeispiele B1. Wie groß ist die Fluchtgeschwindigkeit für eine Rakete, die unter einem Winkel α zur Vertikale gestartet wird? Lösung:

Am Anfang: 2

1 2mvK = , 1

MmU GR

= −

Am Ende: 2 0K = , 2 0U = .

Energieerhaltungssatz: 2

02

mv MmGR

− = .

Daraus 2 2GMv gRR

= = - hängt vom Win-

kel α nicht ab!

B2. Ein Fadenpendel wird nach links bis zur Höhe h ausgelenkt und losgelassen. In der vertika-len Position stößt der Faden auf ein Hindernis. Welche maxima-le Höhe erreicht das Pendel in der rechten Position?

Lösung: Am Anfang: 1 0K = , 1U mgh= Am Ende: 2 0K = , 2 2U mgh= . Zwangskräfte bleiben unberücksichtigt. Aus dem Energieerhaltungssatz folgt 2h h= .

B3. Im Abstand h über dem Ende einer unge-spannten Feder befindet sich eine Masse m. Sie wird ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelas-sen. Wie groß ist die maximale Zusammen-drückung der Feder? Lösung: Sowohl Gravitationskraft als auch elastische Kraft sind konservativ. Es gilt der Energieerhaltungssatz. Am Anfang: 1 0K = , 1 0U mgh= +

Am Ende: 2 0K = , 2

2 2xU mgx c= − +

Energiesatz: 2

2xmgh mgx c= − + . Daraus

21 1mg hcxc mg

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦. Sonderfall: Bei 0h =

ist 2 /x mg c= - zwei Mal größer, als bei stati-scher Belastung.

h

m

hx

vα

R

Eine dünne Kugelschale mit Masse m .

1

Mechanik II /Vorlesung 9 / Prof. Popov Energieerhaltung, Impulserhaltung Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.7, 2.5

I. Schleifenfahrt (Looping) Ein Körper gleitet von einer Höhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 0v = eine schiefe Ebene hinab, die in einer Kreisschleife aus-läuft. Es soll diejenige Höhe bestimmt werden, für die kein Ablösen von der Kreisbahn mit dem Radius R eintritt.

Bedingung dafür ist, daß der Bahndruck im höchsten Punkt P der Kreisbahn verschwindet, d.h.

22vm mg

R= .

Eine Energiebilanz zwischen dem Anfangs-punkt und dem höchsten Punkt in der Schleife liefert:

220 22vmgh mgR m+ = +

Daraus folgt die Höhe ( )5 / 2h R= .

II. Elastischer Stoß (a) Zentrischer Stoß

Geschwindigkeiten vor dem Stoß: 1v und 2v .

Geschwindigkeiten nach dem Stoß: 1v′ und 2v′ .

In einem abgeschlossenen System bleibt Im-puls erhalten:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ = + . (1) Bei einem elastischen Stoß bleibt Energie er-halten:

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ = + . (2)

Diese Gleichungen können umgeschrieben werden:

( ) ( )1 1 1 2 2 2m v v m v v′ ′− = −

( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 2m v v m v v′ ′− = − Wir teilen die zweite Gleichung durch die er-ste:

1 1 2 2v v v v′ ′+ = + oder ( )1 2 1 2v v v v′ ′− = − − (3) Betrag der relativen Geschwindigkeit ändert sich beim elastischen Stoß nicht.

Aus dem linearen Gleichungssystem (1) und (3) folgt:

1 1 2 21 11 2

2 m v m vv vm m+′ = − ++

1 1 2 22 2

1 2

2 m v m vv vm m+′ = − ++

(b) Nicht zentrischer Stoß (hier nur Sonderfall 1 2m m= , 2 0v = ).

Der Impulserhaltungssatz nimmt die Form

1 1 2 2m v m v+ 1 1 2 2m v m v′ ′= + an.

Energieerhaltung: 2 2

1 1 2 2m v m v+2 2

1 1 2 2m v m v′ ′= + . Bei gleichen Massen bedeutet das

1 1 2v v v′ ′= + und 2 2 2

1 1 2v v v′ ′= + . Aus der ersten Glei-chung ist ersichtlich, dass die Vektoren

1v , 1v′ und 2v′ ein Drei-eck bilden. Die zweite Gleichung ist der Py-

thagoras-Satz. Daraus folgt, dass dies ein rechtwinkliges Dreieck ist ( 90θ = ° ): nach einem elastischen Stoß fliegen die Kugeln un-ter einem rechten Winkel zu einander.

III. Energieänderung beim plastischen Stoß Betrachten wir noch einmal einen plastischen Stoß, d.h. einen Zusammenstoß zweier Körper, nach dem sie sich als ein Ganzes bewegen (an einender kleben).

Die Wechselwirkungskräfte zwischen beiden Körpern, unabhängig von deren Größe und physikalischer Herkunft sind innere Kräfte. Wirken am System keine weiteren Kräfte, so ist das ein abgeschlossenes System. Der Im-puls des Systems bleibt deshalb erhalten. Ins-besondre gilt das für beliebige Zeitpunkte vor und nach dem Stoß: Impuls "vor": 1 1 2 2m v m v+ Impuls "nach" ( )1 2m m v+ Wenn keine äußeren Kräfte gewirkt haben: ( )1 1 2 2 1 2m v m v m m v+ = + ;

2

1 1 2 21 2

m v m vvm m+

=+

Wie steht es mit der Energie der Körper?

Die Energieänderung ist gleich ( )

( )

( )

2 2 21 2 1 1 2 2

2 1

2

1 1 2 21 2 2 2

1 2 1 1 2 2

21 1 2 2 2 2

1 1 2 21 2

2 2 2

2 2 2

2

m m v m v m vK K K

m v m vm mm m m v m v

m v m vm v m v

m m

+∆ = − = − −

⎛ ⎞++ ⎜ ⎟+⎝ ⎠= − −

+− −

+=

( ) ( )( )( )

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2

1 2

2 21 1

2

m v m v m v m v m m

m m

m v

+ − + +=

+

=2 2

1 1 2 2 2 22m v m v m v+ +( ) 2 21 1m v− 2 22 2m v+( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 21 2 1 2

1 2

22 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2

2

2 2

m m v v

m m

m v m v m m v v m m v v

m m m m

− +

+

− + −= = −

+ +

und ist immer negativ: Energie geht bei einem plastischen Stoß verloren!

IV. Kinetische Energie eines Mehrkörpersy-stems

2

2mvK = ? falsch !

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme: Laborsystem (x,y) und ein System, das sich mit der Geschwindigkeit v des Schwerpunktes bewegt (Schwerpunktsystem).

Gegeben sind: Geschwindigkeiten iv im Schwerpunktsystem und Geschwindigkeit v des Schwerpunktes. Zu bestimmen ist gesamte kinetische Energie.

Geschwindigkeiten im Laborsystem sind 'i iv v v= + .

Die gesamte Kinetische Energie ist gleich ( )22'

2 2i ii i m v vm vT

+= = =∑ ∑

2 222 2 2i i i i im v m v v m v= + + =∑ ∑ ∑

2 2

2 2i i

i i im v vv m v m= + + =∑ ∑ ∑

0= m

2

2mv

= + 2

2i im v∑

z. B. Wärme

→

Kinetische Energie im Schwerpunkt System = „innere Energie“

„Kinetische Energie des Schwerpunktes“

0

1m 0

2m→

0

5m 0

4m↑

0

3m→

m v

1

Mechanik II /Vorlesung 10 / Prof. Popov Teilelastischer Stoß, Stoßzahl. Körper mit veränderlicher Masse Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 2.6, 2.7. I. Elastischer und nicht elastischer Stoß

0 1v v= -absolut elastischer Stoß

1 0v = -absolut plastischer Stoß

1 0v e v= - teilelastischer Stoß e = Stoßzahl

Beim elastischen Stoß bleibt Energie erhalten.

Ein Modell für einen teilelastischen Stoß. Ein Körper mit Masse m ist mit ei-ner Feder (Steifigkeit c) und einem Dämp-fer (Dämpfungskon-stante d) versehen.

Er stößt gegen eine starre Wand mit der Ge-schwindigkeit 0v . Mit den Methoden, die spä-ter bei der Schwingungstheorie erläutert wer-den (Vorlesung 21) kann man zeigen, dass für

2d mc> der Stoß absolut plastisch ist: Der Körper springt nicht zurück. Für 2d mc< ist der Stoß teilelastisch und die Stoß-zahl kann durch die Glei-chung

2exp

2 4 / 1e

mc dπ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟−⎝ ⎠

angenähert werden (Bild oben).

Beispiel 1: Man lässt eine elastische Kugel aus einer Höhe 1h auf eine starre ebene Fläche fallen. Nach dem Stoß erreicht sie eine Höhe

1h . Wie groß ist die Stoßzahl? Lösung: Die Geschwindigkeit vor dem Stoß ist gleich 1 12v gh= . Die nach dem Stoß

2 22v gh= .

Die Stoßzahl ist gleich 2 1 2 1/ /e v v h h= = . Bei 2 1/ 0.78h h = ist 0.88e = . Nach vier Stö-ßen wird die Höhe 4 1 10.78 0.37h h= sein.

II. Teilelastischer Stoß zweier Körper Beim teilelastischen Stoß verringert sich der Betrag der relativen Geschwindigkeit: ( ) ( )1 2 1 2e v v v v′ ′− = − − .

Aus dieser Gleichung zusammen mit dem Im-pulserhaltungssatz

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v′ ′+ = + kann man 1v′ und 2v′ bestimmen:

( ) ( )1 1 1 2 2 11 2

1 1v m v e v m emm m

′ = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦+

( ) ( )2 2 2 1 1 21 2

1 1v m v e v m emm m

′ = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦+

III. Körper mit veränderlicher Masse a) Rakete im Weltraum

Eine Rakete stößt Verbrennungsprodukte mit einer Abstoßgeschwindigkeit c. Die verbliebe-ne Masse der Rakete sei ( )m t . Das Massendif-ferential dm ist eine negative Größe. Deshalb ist die abgestoßene Masse gleich dm− . Wir gehen in ein Inertialsystem über, das sich zum Zeitpunkt t mit der Rakete bewegt. Impulserhaltung beim Abstoß einer kleinen Gasmasse dm− : Impuls "vor" 0= Impuls "nach" ( ) 0mdv c dm= − − =

/dv cdm m= − ; (1) Diese Änderung der Geschwindigkeit gilt na-türlich in jedem Inertialsystem, auch im "ru-henden". Integration von (1) führt zur

Ziolkowski-Gleichung:

0

0

0

ln lnm

m

dm m mv c c cm m m

= − = − =∫

Beispiel 2. Wie schwer muss eine Rakete min-destens sein, damit sie eine Kapsel mit der Masse m bis zur Geschwindigkeit v beschleu-

nigen kann? Antwort: /0 v cm em

= ;

Beispiel: v=Fluchtgeschwindigkeit (11,2 km/s) c=2, 3 oder 4 km/s.

11,2/ 2 270e = ; 11,2/3 40e = ; 11,2 / 4 16e = .

b) Rakete im Schwerefeld

2

Das System ist nicht abgeschlossen, der Impuls bleibt nicht erhalten. Impulssatz gilt aber für alle Systeme, auch nicht abgeschlossene: Impuls "vor" 0= Impuls "nach" ( )mdv c dm= − − . Änderung des Impulses ist gleich Kraft mal Zeit:

( ) ( )dp mdv c dm Fdt m dm gdt mg dt= − − = = − + ≈ − ⋅Daraus folgt

( )dmdvm mg cdt dt

−= − + . (2)

( )dm qdt−

= ist die pro Zeiteinheit

ausgestoßene Masse. Die Glei-chung (2) nimmt die Form an:

sdvm mg cq F Sdt

= − + = +

sF ist Schwerekraft, S ist Schub. Angenommen, die Massenänderung q ist kon-stant. Dann gilt: 0m m qt= −

0

dv cq cqg gdt m m qt

= − = − +−

0 00

log 1t cq qv gt gt c t

m qt m⎛ ⎞

= − + = − − −⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫

Grenzfall: kleine t 0

0 0

cq m gqv gt c t tm m

−= − + =

Ein Start ist nur dann möglich, wenn

0cq m g> Beispiel 3. Ein Mensch (Masse m) geht vom

Bug eines (am Anfang ruhenden) Bootes (Länge L) zum Heck über. Wie verschiebt sich das Boot unter den folgenden An-

nahmen: (a) Es gibt keine Reibung zwischen dem Boot und Wasser, (b) Es gibt eine Wider-standskraft proportional zur Geschwindigkeit? Lösung. (a) keine Reibung. Die Länge des Bootes ist 1 2L x x= − . Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2 0Smx Mxx

m M+

∆ = =+

(Null nach dem Schwerpunktsatz). Aus dem Gleichungssystem folgt

2mx L

M m= −

+.

(b) (Mit Widerstandskraft)

Das 2. N.G. für den Menschen und das Boot: 1

2 2

mx NMx N xα

=⎧⎨ = − −⎩

⇒ 1 2 2mx Mx xα+ = −

oder 1 2 2mx Mx x Cα+ = − + . Aus den Anfangsbedingungen folgt 0C = . Somit 2 1 2x mx Mxα = − − . Am Ende des Prozesses sind 1 0x = , 2 0x = . Somit ist 2 0x = : Das Boot ist am Ende in der-selben Lage wie am Anfang!

IV. Kinetische Energie eines Mehrkörpersy-stems

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme: Laborsystem (x,y) und ein System, das sich mit der Geschwindigkeit v des Schwerpunktes bewegt (Schwerpunktsystem). Gegeben sind: Geschwindigkeiten iv im Schwerpunktsystem und Geschwindigkeit v des Schwerpunktes. Zu bestimmen ist gesamte kinetische Energie. Lösung: Geschwindigkeiten im Laborsystem sind 'i iv v v= + . Die gesamte Kinetische Energie ist gleich

( )22'2 2

i ii i m v vm vT+

= = =∑ ∑ 2 22

2 2 2i i i i im v m v v m v= + + =∑ ∑ ∑

2 2

2 2i i

i i im v vv m v m= + + =∑ ∑ ∑

0= m

2

2mv

= + 2

2i im v∑

g

→

Kinetische Energie im Schwerpunktsystem = „innere Energie“ „Kinetische Energie des Schwerpunktes“

0

1m 0

2m→

0

5m 0

4m↑

0

3m→

m v

1

Mechanik II /Vorlesung 11 / Prof. Popov Drehimpuls, Drehimpulssatz (Drallsatz). Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 1.2.6, 2.3

I. Drehimpuls (Drall) eines Massenpunktes Den Vektor L r p r mv= × = ×

bezeichnet man als Drehimpuls des Massen-punktes. r ist dabei der Radiusvektor des Massenpunktes von einem festen Bezugs-punkt, der frei wählbar ist. Der Drehimpuls hängt somit von der Wahl des Bezugspunktes ab.

II. Der Drehimpulssatz (Drallsatz) Zeitliche Ableitung des Drehimpulses ergibt:

( )

( ) 0 .

d d dL r mv r mv r m vdt dt dt

v mv r F M

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= × + × = +

M ist hier Kraftmoment bezüglich desselben Koordinatenursprunges. Für die zeitliche Ab-leitung des Drehimpulses gilt somit:

L M= -

Die zeitliche Ableitung des Drehimpulses im Bezug auf einen raumfesten Punkt ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifen-den Kraft bezüglich desselben Punktes. (Drehimpulssatz)

III. Drehimpulserhaltung Verschwindet das Moment M , so ist 0L = oder L const= - der Drehimpuls bleibt erhal-ten. Anders als beim Impulserhaltungssatz kann der Drehimpuls auch in einem nicht abge-schlossenen System erhalten bleiben. Dafür ist es notwendig, dass das Kraftmoment ver-schwindet (nicht aber unbedingt die Kraft selbst!)

IV. Bewegung in einem Zentralfeld. Zeigt bei einer Bewegung der Kraftvektor stets zu einem Zentrum O hin, so verschwin-det das Moment bezüglich O, denn in diesem Fall haben F und r stets die gleiche Rich-tung, somit gilt 0r F× ≡ . Der Drehimpuls bezüglich des genannten Kraftzentrums bleibt somit erhalten.

V. Ebene Bewegung. Liegt die gesamte Bahn in einer Ebene (sagen wir (x,y)) und wählen wir als Bezugspunkt einen Punkt in derselben Ebene, so hat der Drehimpuls eine einzige Komponente zL .

Index z wird in diesem Fall meistens ausgelas-sen. Für die einzige Drallkomponente erhal-ten wir

2sinL mrv mrv mrϕθ ω= = =Beispiel 1. Eine Masse m, die von einem Fa-den gehalten wird, bewegt sich mit der Win-kelgeschwindigkeit 0ω auf einer glatten, waa-gerechten Kreisbahn mit dem Radius 0r .

Der Faden wird durch ein Loch A in der Mitte der Kreisbahn geführt. a) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit

1ω , wenn der Faden so angezogen wird, dass sich die Masse im Abstand 1r bewegt? b) Wie ändert sich dabei die Fadenkraft?

Lösung: Die Spannkraft des Fadens zeigt stets zum Punkt A. Sie hat bezüglich A kein Mo-ment. Der Drehimpuls bezüglich A bleibt so-mit erhalten: Der Drehimpuls im Anfangszustand:

20 0 0L mr ω= .

Der Drehimpuls im Endzustand: 2

1 1 1L mr ω= . Aus der Drehimpulserhaltung 2 20 0 1 1mr mrω ω=

folgt 2

01 0

1

rr

ω ω⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Das 2. N.G. für eine Bewegung auf einer Kreisbahn unter der Wirkung der radialen Spannkraft S lautet:

4 342 2 20 0 0

0 0 03

r r rS m r mr m Sr r r

ω ω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Beispiel 2. Geschwindigkeit eines Satelliten in Anwesenheit eines kleinen Widerstandes. Auf die erdnahen Satelliten wirkt eine sehr kleine Widerstandskraft, die sich erst über große Zeiträume bemerkbar macht. Wie ändert sich die Geschwindigkeit eines Satelliten unter der Wirkung der Widerstandskraft? Lösung. In erster Annäherung bewegt sich der Satellit auf einer Kreisbahn, deren Radius sich

2

aber sehr langsam ändert. Der Drehimpuls des Satelliten ist gleich L mrv= . Aus dem 2.N.G.

für die Kreisbewegung folgt 2

2

v mMm Gr r= .

Indem wir aus dieser Gleichung den Radius bestimmen und in die Gleichung für den Dreh-impuls einsetzen, erhalten wir

GMmLv

= .

Die Widerstandskraft übt auf den Satelliten ein kleines negatives Kraftmoment. Der Dreh-impuls wird daher langsam abnehmen. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit größer wird: Reibung führt zur "Beschleunigung" des Satelliten!

VI. Drallsatz für ein Mehrkörpersystem

Betrachten wir ein Zweikörpersystem, dessen Körper sowohl miteinander, als auch mit Kör-pern außerhalb des Systems wechselwirken. Der gesamte Drehimpuls des Systems ist

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2L r p r p r m v r m v= × + × = × + × . Seine zeitliche Ableitung ist gleich

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2L r m v r m v r m v r m v= × + × + × + × . Nach dem 2.N.G. gilt

1 1 1 ,1extm v F F F= = + , 2 2 2 ,2extm v F F F= = − + .

Für L ergibt sich somit ( ) ( )1 ,1 1 1 1 2 ,2 2 2 2ext extL r F F v m v r F F v m v= × + + × + × − + + ×

oder

( ) ( )( )

1 ,1 2 ,2

1 2 1 ,1 2 ,2

ext ext

ext ext

L r F F r F F

r r F r F r F

= × + + × − + =

= − × + × + ×

Da 1 2r r− und F die gleiche Richtung haben (das 3. Newtonsche Gesetz!) erhalten wir end-gültig

( ) ( )1 ,1 2 ,21 ,1 2 ,2 ,1 ,2

ext ext

ext ext ext ext ext

L r F F r F F

r F r F M M M

= × + + × − + =

= × + × = + =

extL M= - Die zeitliche Ableitung des gesamten Drehim-pulses eines Mehrkörpersystems bezüglich eines festen Punktes ist gleich dem resultie-renden Moment aller äußeren Kräfte bezüg-lich desselben Punktes. (Drehimpulssatz).

VII. Drehung eines Massenpunktsystems um eine feste Achse.

Wir betrachten ein System von Massen, die alle starr mit einer Achse verbunden sind. Alle Massen führen eine ebene Bewegung aus und bewegen sich mit der gleichen Winkelgeschwin-digkeit ϕ . Der gesamte Drehimpuls (genauer ge-sagt, seine z-Komponente) ist in diesem Fall gleich

2a i i a

iL m r ϕ ϕ= = Θ∑ . (1)

Die Größe 2a i ii

m rΘ =∑ bezeichnet man als Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der gegebenen Achse. Leitet man (1) unter Beachtung von

a constΘ = ab, so folgt

a aMϕΘ = . Auch diese Gleichung nennt man oft Drehim-pulssatz, obwohl dies lediglich eine spezielle Form des Drehimpulssatzes ist.

Beispiel. Das in A aufgehängte Pendel besteht aus einer starren, masselosen Stan-ge, an der die Massen 1m und

2m angebracht sind. Es ist die Bewegungsglei-chung für eine

ebene Bewegung des Pendels aufzustellen. Lösung: Das Massenträgheitsmoment des Sy-stems um den Punkt A ist gleich

( ) ( )22 21 2 1 22 4m l m l m m lΘ = + = + . Das Kraftmoment ist

( )1 2 1 2sin 2 sin 2 sinM m gl m g l gl m mϕ ϕ ϕ= − − = − +Der Drehimpulssatz lautet: ( ) ( )21 2 1 24 2 sinm m l gl m mϕ ϕ+ = − + . ⇒

( )( )

1 2

1 2

2sin

4g m ml m m

ϕ ϕ+

= −+

1

Mechanik II /Vorlesung 12 / Prof. Popov Kinematik der ebenen Rotation. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 3.1.3, 3.1.4 I. Starrer Körper. Einen starren Körper kann man als ein System von Massenpunkten defi-nieren, deren Abstände unverändert bleiben. Ein starrer Körper kann im Raum drei unab-hängige Translationsbewegungen und drei Rotationen ausführen. Somit ist jeder starre Körper ein mechanisches System mit 6 Frei-heitsgraden.

II. Ebene Rotation Besonders einfach lässt sich eine ebene Bewe-gung eines starren Körpers beschreiben, d.h. eine Bewegung, bei der sich jeder Punkt des Körpers in einer Ebene bewegt. Ist ein Punkt

(O im Bild) des starren Körpers unbeweglich, so kann der Körper nur eine Rotati-onsbewegung um

diesen Punkt ausführen. ( )Pr sei der Radiusvektor vom unbeweglichen

Zentrum zu einem beliebigen Punkt P. Es gilt: ( )P

rr re= , wobei re ein Einheitsvektor in Richtung ( )Pr ist. Für die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir

( )Pr r= r re re r e r eϕ ϕϕ ω+ = = . Die zeitliche Ableitung des Winkels ϕ ω= heißt Winkelgeschwindigkeit des Körpers (sie ist gleich für alle Punkte des Körpers).

III. Zusammengesetzte Bewegung Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Körpers führen wir zwei Koordi-

natensy-steme ein: Ein "raum-festes" Sy-stem (x,y) und ein mit dem starren Körper fest verbunde-

nes System ( ),x y . Bezeichnungen: A sei ein beliebiger Referenzpunkt im Körper, P ist ein beliebiger Punkt des Körpers, r ist Radius-vektor des Punktes P im beweglichen (in den Körper "eingefrorenen") System. Pr sei der Radiusvektor desselben Punktes im raumfe-sten System, Ar sei Radiusvektor des Bezugs-punktes A im raumfesten System.

Offenbar gilt: P Ar r r= + . Die zeitliche Ableitung ergibt die Geschwin-digkeit:

P A Ar r r r r eϕϕ= + = + . (1)

Ar nennt man Geschwindigkeit der Translati-onsbewegung des Körpers, ϕ ω= die Winkel-geschwindigkeit.

IV. Momentanpol Die den zwei Koordinatensystemen entspre-chenden Einheitsvektoren bezeichnen wir als

, , ,x y x ye e e e . Für den Radiusvektor Pr des Punktes P bezüglich des raumfesten Koordi-natensystems gilt dann

P A A x yr r r r xe ye= + = + + . In Projektionen auf Koordinatenachsen (x,y):

( )P P x A x y xA x x x y x

x r e r xe ye e

r e xe e ye e

= ⋅ = + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅

( )P P y A x y yA x y y y

y r e r xe ye e

y xe e ye e

= ⋅ = + + ⋅ =

+ ⋅ + ⋅

Daraus folgt: cos sinP Ax x x yϕ ϕ= + − sin cosP Ay y x yϕ ϕ= + +

Die Geschwindigkeit des Punktes P erhalten wir durch Ableitung der Koordinaten nach Zeit (dabei wird berücksichtigt, dass ( )tϕ ϕ= und Kettenregel benutzt):

( )sin cosP Ax x x yϕ ϕ ϕ= + − − ( )cos sinP Ay y x yϕ ϕ ϕ= + − .

Ist 0ϕ ≠ , so kann man immer einen Punkt M finden, dessen Geschwindigkeit Null ist:

( )sin cos 0M Ax x x yϕ ϕ ϕ= + − − = ( )cos sin 0M Ay y x yϕ ϕ ϕ= + − = .

Auflösung dieses Gleichungssystems nach ( ),x y gibt die Lage von diesem Punkt in dem starr mit dem Körper verbundnen Koordina-tensystem:

( )1 sin cosM A Ax x yϕ ϕϕ= − ,

( )1 cos sinM A Ay x yϕ ϕϕ= + .

Dieser Punkt heißt Momentanpol des Körpers. Da sich Momentanpol nicht bewegt, kann sich der Körper nur um diesen Punkt drehen. Eine

2

beliebige Bewegung eines starren Körpers kann somit (auf kurzen Zeitabschnitten) als eine reine Drehung angesehen werden.

Die Lage des Momentanpols lässt sich auch geometrisch bestimmen. Aus der vektoriellen Gleichung (1): P A Ar r r e v r eϕ ϕϕ ω= + = + folgt

für den Momentanpol: 0M Ar v r eϕω= + = . Daraus folgt

Averϕ ω

= − :

der Vektor eϕ ist gerichtet entgegenge-setzt zu Av .

Das bedeutet, dass der Vektor re , der immer senkrecht zu eϕ steht, senkrecht zur Richtung von Av steht. In der Projektion auf die Rich-tung Av lautet die Gleichung (1): Av rω= . Daraus /Ar v ω= .

Bemerkung 1. Der Momentanpol kann auch außerhalb des starren Körpers liegen.

Bemerkung 2. Der Momentanpol ist ein Punkt, der sich zum gegebenen Zeitpunkt nicht be-wegt. Die Lage des Momantanpols kann sich aber ändern. Das bedeutet, dass sich der Kör-per im nächsten Zeitpunkt um eine etwas ver-schobene Achse dreht usw. Die Gesamtheit aller momentanen Drehzentren nennt man Rastpolbahn.

V. Wie findet man den Momentanpol? 1. Sind die Richtungen der Geschwindigkeiten von zwei Punkten eines starren Körpers gegeben (Bild (a)), so liegt der Momentanpol auf dem Schnitt der Senk-rechten zu den jeweiligen Geschwindigkeiten.

2. Sind die Geschwindigkeiten von zwei Punkten parallel zu einander (Bild (b)), so liegt das Momentanzentrum auf dem Schnittpunkt der Senk-rechten zu den beiden Ge-schwindigkeiten mit der Verbindungsgeraden der Pfeilspitzen beider Geschwindigkeiten.

3. Rollt ein Körper auf einer unbeweglichen Fläche ohne Gleiten, so befindet sich der Mo-mentanpol im Kontaktpunkt. (Bei reinem Rol-

len eines Rades kann man sich vorstellen, dass die starre Unterlage und das Rad miteinander verzahnt sind. Der Kontaktpunkt kann sich somit relativ zur Unterlage nicht bewegen).

Beispiel 1. Eine Leiter ist gegen eine Wand gestützt und gerät ins Rutschen. Wo liegt der Momentanpol? Lösung. Geschwindig-keiten des oberen und des unteren Endes der Leiter sind entlang der Wand bzw. dem Boden gerichtet. Der Momen-

tanpol liegt auf dem Schnitt der Senkrechten zu den Geschwindigkeiten.

Beispiel 2. Ein Stab gleitet von einer Stufe (Höhe h) ab. Wo liegt das Momentanzentrum?

Lösung. Im Punkt A gleitet der Stab ent-lang dem Boden, im Punkt C in seiner ei-genen Längsrichtung. Offenbar ist

/ /a x x h= . Daraus folgt 2 /a x h= und

2 /y h x h= + .

Beispiel 3. An einer Achse (A) ist unbeweg-lich ein Zylinder mit dem Radius a befestigt. Um die gleiche Achse dreht sich eine Stange AB mit der Winkelgeschwin-digkeit 1ω . Am

anderen Ende der Stange ist frei drehbar ein Rad mit dem Radius b angebracht, der an dem unbeweglichen Zylinder ohne Rutschen rollt. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwindigkeit

2ω des Rades. Lösung. Punkt A ist der Momentanpol der Stange. Für die Geschwindigkeit des Punktes B ergibt sich somit ( )1 )Bv a bω= + . Der Kon-taktpunkt des Rades mit dem Zylinder ist der Momentanpol des Rades. Daher 2Bv bω= . Aus dem Vergleich beider Ausdrücke folgt:

( )2 1 /a b bω ω= + .

Weitere Beispiele s. Hauger, Schnell, Gross, Technische Mechanik 3 (Beispiele 3.3, 3.4).

1

Mechanik II / Vorlesung 13 / Prof. Popov Drehung in drei Dimensionen, Drehimpulssatz, kinetische Energie und Arbeit bei einer Rotation um eine feste Achse. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik III, 3.1, 3.2 I. Reine Rotation eines starren Körpers Bei einer Rotation um den Winkel δϕ um die Achse verschiebt sich der Punkt senkrecht zur Ebene (Achse- Radiusvektor) um den Betrag

sin .r rδ θ δϕ= ⋅ Wenn wir einen Vektor δϕ so definieren, dass er entlang der Achse gerichtet ist und den Be-trag δϕ hat, so gilt: r rδ δϕ= × .

Für die Geschwindigkeit rvt

δδ

= ergibt sich

v rω= × wobei / tω δϕ δ= die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des starren Körpers ist.

II. Allgemeine Bewegung Zur Beschreibung einer beliebigen Bewegung eines starren Körpers führen wir zwei Koordi-natensysteme ein: Ein "raumfestes" System (x,y,z) und ein mit dem starren Körper fest verbundenes System ( )1 2 3, ,x x x .

Bezeichnun-gen: O ist ein beliebiger Referenz-punkt im Körper, P ist ein beliebiger Punkt des Körpers, r ist

Radiusvektor des Punktes P im beweglichen (in den Körper "eingefrorenen") System. r′ ist Radiusvektor desselben Punktes im raumfesten System, R ist Radiusvektor des Bezugspunktes O im raumfesten System. Bei einer zusammengesetzten Bewegung (Translation des Punktes O und Rotation um diesen Punkt): 'dr dR d rϕ= + × . Mit Bezeichnungen:

,dr vdt′= ,dR V

dt= d

dtϕ ω=

erhält man: v V rω= + ×

Wählen wir jetzt den Nullpunkt des mit dem Körper verbundenen Koordinatensystems im Punkt 'O im Abstand a von O. Den Radius-vektor des Punktes P relativ zum neuen

Bezugspunkt bezeichnen wir mit r′′ . ''r r a⇒ = +

( '' )

''

v V r a

V a r

ω

ω ω

= + × + =

= + × + × =

' ' '',V rω= + × ' ,V V aω= + × 'ω ω= ⇒ Winkelgeschwindigkeit hängt nicht

vom Bezugssystem ab! III. Eigenschaften vom Vektorprodukt (a) a b b a× = − × (b) ( )a b c a b a c× + = × + × (c) ( ) ( )a b a bα α× = × (d) ( ) ( ) ( )a b c a b c c a b⋅ × = × ⋅ = × ⋅ (e) ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ − ⋅ (f) 0a a× = (d) ( ) 0a a b⋅ × =

Vektorprodukt in Komponenten ( , ,i j k - sind Einheitsvektoren):

x y za a i a j a k= + + ,

x y zb b i b j b k= + +

( )x xA a b a b i i= × = × ( ) ( )x y x za b i j a b i k+ × + ×

( ) ( )y x y ya b j i a b j j+ × + × ( )y za b j k+ × +

( ) ( ) ( )z x z y z za b k i a b k j a b k k+ × + × + × ⇒

( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z yA a b a b k a b a b j a b a b i= − + − + −

x y z z yA a b a b= −

y z x x zA a b a b= −

z x y y xA a b a b= −

IV. Beschleunigung bei einer Rotation um eine feste Achse Indem wir die Gleichung v rω= × nach Zeit ableiten, erhalten wir

( )v r r r rω ω ω ω ω= × + × = × + × × . Bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit:

( ) ( ) ( )( ) 2

v r r r

r r

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω

= × × = ⋅ − ⋅ =

= ⋅ −

Es ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor in der gleichen Ebene liegt wie ω und r und immer senkrecht zur Achse gerichtet ist: (Skalarprodukt ( )( )2v r rω ω ω ω ω⋅ = ⋅ ⋅ − =

δϕ rδr

0 θ

k

i j

O O'

P

r r′′

a

x

y

z

R

'rP x2

2

( ) ( )2 2r rω ω ω ω= ⋅ − ⋅ ist Null).

Dem Betrag nach ist dieser Vektor gleich 2v ρω= .

Beschleunigungsvektor bei einer Rotation mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist immer senkrecht zur Achse gerichtet und ist gleich 2ρω , wobei ρ der kürzeste Abstand vom gegebenen Punkt zur Achse ist.

V. Gleichzeitige Rotation um zwei Achsen

(1)1dr d rϕ′ = × ,

(2)2dr d rϕ′ ′= ×

( )1 2 1 2

1 2 1

( )dr d r d r d r a d rd a d d r

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

′ ′ ′ ′= × + × = × − + × =

′− × + + ×

2 1d d dϕ ϕ ϕ= + .

Dasselbe gilt für die Winkelgeschwindigkeiten: 1 2ω ω ω= + .

Beispiel 1. Eine Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit

1ω um eine vertikale Achse, die sich ihrer-seits mit einer Winkel-

geschwindigkeit 2ω um eine vertikale Achse dreht. Zu bestimmen ist die Winkelgeschwin-digkeit der Scheibe.

Lösung: 1 2ω ω ω= + . In diesem Fall 1 2ω ω ω= + .

Beispiel 2: Eine Scheibe dreht sich mit einer Winkelgeschwindig-keit 1ω um eine Achse, die sich ih-rerseits mit einer

Winkelgeschwindigkeit 2ω um eine horizontale Achse dreht. Zu bestimmen ist die momentane Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in der ge-zeigten Lage. Lösung:

VI. Dynamik der Rotation um eine feste Achse

Betrachten wir Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse. Wir teilen den Körper in kleine Elemente im . Für die Projektion des

Drehimpulses auf die Rotationsachse gilt ,extL M= . (1)

Der Drehimpuls ist gleich ( )

( ) ( )i i i i i i

i i i i i

L r m v m r r

m r r r r

ω

ω ω

= × = × × =

⎡ ⎤⋅ − ⋅⎣ ⎦

∑ ∑∑

Seine Projektion auf die Rotationsachse ( )( ) ( )( )

2 2 2 2cos

i i i i i

i i i i i

L Le m e r r r e r

m r r m

ω ω

ω ω θ ω ρ ω

⎡ ⎤= = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎣ ⎦⎡ ⎤= − = = Θ⎣ ⎦

∑∑ ∑

Die Größe 2

i im ρΘ =∑ nennt man Massenträgheitsmoment bezüglich der Rotationsachse.

Der Drehimpulssatz (1) nimmt somit die fol-gende Form an ,extMωΘ = oder ,extMϕΘ = (Drallsatz)

wobei ,extM Kraftmoment aller äußeren Kräfte bezüglich der Rotationsachse ist.

VII. Kinetische Energie bei einer Rotation um eine feste Achse

( ) ( )22

2 212 2 2

i ii ii i

mm vK mρ ω

ρ ω= = =∑ ∑ ∑ 2

2K ωΘ=

VIII. Arbeit bei einer Rotation um eine feste Achse. An einem Punkt P eines starren Körpers mit dem Radiusvektor r greift eine Kraft F an. Bei einer Rotati-on um die gezeigte Achse um den Winkel dϕ verschiebt sich der Angriffspunkt der Kraft um den Vektor dr d rϕ= × . Die von der Kraft F geleistete Arbeit ist

( ) ( )zyklische Umstellung

dA F dr F d r d r Fϕ ϕ= ⋅ = ⋅ × = ⋅ ×

oder dA d Mϕ= ⋅ . 1ω

2ω

ω

δϕ rδ

r

0

θ

F

iρir

1

Mechanik II / Vorlesung 14 / Prof. Popov Verschiedenes aus der Dynamik Diese Vorlesung dient im Wesentlichen einer gezielten Vorbereitung zur Klausur. Ihr Inhalt kann daher dieses Semester völlig anders sein! B1. Ein Mensch (Masse m) geht vom Bug eines

(am Anfang ruhenden) Bootes (Länge L) zum Heck über. Wie verschiebt sich das Boot unter den folgenden Annahmen:

(a) Es gibt keine Reibung zwischen dem Boot und Wasser, (b) Es gibt eine Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit? Lösung. (a) keine Reibung. Die Länge des Bootes ist 1 2L x x= − .

Verschiebung des Schwerpunktes:

1 2 0Smx Mxx

m M+

∆ = =+

(Null nach dem Schwerpunktsatz). Aus dem

Gleichungssystem folgt 2mx L

M m= −

+.

(b) (Mit Widerstandskraft)

Das 2. N.G. für den Menschen und das Boot: 1

2 2

mx NMx N xα

=⎧⎨ = − −⎩

⇒ 1 2 2mx Mx xα+ = −

oder 1 2 2mx Mx x Cα+ = − + . Aus den Anfangsbedingungen folgt 0C = . Somit 2 1 2x mx Mxα = − − . Am Ende des Prozesses sind 1 0x = , 2 0x = . Somit ist 2 0x = : Das Boot ist am Ende in der-selben Lage wie am Anfang!

B2. Drei Massen sind durch masselose starre Stäbe verbunden und gleiten ein schiefe Ebene

hinab. An der Masse 3m greift eine Kraft F an. Wie groß ist die Beschleunigung des Systems? Lösung. In meisten Fällen empfiehlt sich als erstes eine Freischnittskizze zu machen und mit den

aufgetragenen Kräften 2. N.G. für jeden Körper

aufzustellen. In der y-Richtung gibt es keine Bewegung. 2.NG. für diese Richtung entarte