Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Lineare Mehrschrittverfahren (MSV)

Idee: Verwende zur Bestimmung von yi+1 nicht nur den zuletzt zuruckliegendenWerte yi und fi, sondern zusatzlich noch weiter zuruckliegende Werte.

yi+1 =s

∑

k=0

akyi−k +s

∑

k=−1

bkfi−k

Es existieren zwei große Klassen:

• Adams–Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration

• BDF–Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation

Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren

• sind MSV nicht automatisch stabil.

• steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an.

Mehrschrittverfahren (msv01) 1

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Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Konsistenz + Stabilitat = Konvergenz

y′ = y, y0 = 1, y1 = eh

konsistent und stabil

yi+1 = yi−1 + 2hfi−1

yi

ti h = 0.2 h = 0.1 exakt

0 1 1 1

0.2 1.2214 1.2214 1.2214

0.4 1.4886 1.4909 1.4918

0.6 1.8168 1.8204 1.8281

0.8 2.2153 2.2227 2.2255

1.0 2.7029 2.7139 2.7183

konsistent, NICHT stabil

yi+1 = −3yi−1 + 4yi − 2hfi−1

yi

ti h = 0.2 h = 0.1 exakt

0 1 1 1

0.2 1.2214 1.3416 1.2214

0.4 1.4856 3.0862 1.4918

0.6 1.7896 15.8534 1.8281

0.8 2.1075 – 2.2255

1.0 2.3454 – 2.7183

Mehrschrittverfahren (msv02) 2

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Mehrschrittverfahren: Adams–Bashforth Methoden (1)

Idee: y′ = f(t, y) ⇐⇒ y(ti+1) = y(ti) +

∫ ti+1

ti

f(t, y) dt

Approximiere∫

mittels einer Quadraturformel unter Verwendung der bekanntenStutzpunkte (ti, fi), . . . , (ti+1−s, fi+1−s).

t(i−3) t(i−2) t(i−1) t(i) t(i+1)

f(t,y)P³(t)

t(i) t(i+1)

Fehler

f(t,y)P³(t)

Mehrschrittverfahren (msv03) 3

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Adams–Bashforth Methoden (explizit) (2)

s : Schrittzahl, p : Ordnung

s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,

s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (3fi − fi−1) ,

s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,

s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .

Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.

Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.

Mehrschrittverfahren (msv04) 4

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Andere Klasse von MSV: Adams–Bashforth Methoden

s : Schrittzahl, p : Ordnung

s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,

s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (3fi − fi−1) ,

s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,

s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .

Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.

Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.

Mehrschrittverfahren (msv04) 5

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB2AB3AB4

AB2: Adams–Bashforth Verfahren 2ter Ordnung

AB3: Adams–Bashforth Verfahren 3ter Ordnung

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv05) 6

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen

Arenstorforbit (vierblattrig)

105

106

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB2AB3AB4

AB2: Adams–Bashforth Verfahren 2ter Ordnung

AB3: Adams–Bashforth Verfahren 3ter Ordnung

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv08) 7

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Adams–Moulton Methoden (implizit)

s = 0, p = 1 : yi+1 = yi + hfi+1,

s = 1, p = 2 : yi+1 = yi +1

2h (fi+1 + fi) ,

s = 2, p = 3 : yi+1 = yi +1

12h (5fi+1 + 8fi − fi−1) ,

s = 3, p = 4 : yi+1 = yi +1

24h (9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + 1fi−2) .

Bei impliziten AM–Methoden gilt: Schrittzahl+1 = Ordnung.

Adams–Bashforth–Moulton– / Pradiktor–Korrektor–Methoden

explizit

s = 2, p = 3

y(P )i+1 = yi +

1

2h (3fi − fi−1) ,

yi+1 = yi +1

12h(

5f(

ti+1, y(P )i+1

)

+ 8fi − fi−1

)

.

Mehrschrittverfahren (msv09) 8

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB4AM4ABM4

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Funktionsauswertungen

AB4AM4ABM4

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv10) 9

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Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren

Arenstorforbit (vierblattrig)

104

105

10−5

100

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB4AM4ABM4

104

106

10−5

100

Fehler gegen Funktionsauswertungen

AB4AM4ABM4

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv13) 10

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−15

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

ABM2ABM3ABM4

ABM2: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 2ter Ordnung

ABM3: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 3ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv14) 11

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen

Arenstorforbit (vierblattrig)

105

106

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

ABM2ABM3ABM4

ABM2: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 2ter Ordnung

ABM3: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 3ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv17) 12

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich mit Einschrittverfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

ABABMRK

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Funktionsauswertungen

ABABMRK

AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM: Adams–Bashforth–Moulton Pradiktor–Korrektor Verfahren 4ter Ordnung

RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv18) 13

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich mit Einschrittverfahren

vierblattriger Arenstorforbit

104

106

10−10

10−5

100

Fehler gegen Anzahl der Schritte

ABABMRK

104

106

10−10

10−5

100

Fehler gegen Funktionsauswertungen

ABABMRK

AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv21) 14

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (1)

Idee: Ersetze y(t) durch ein Interpolationspolynom Ps(t) der Ordnung s mit denStutzstellen (ti+1, yi+1), (ti, yi), . . . , (ti−s+1, yi−s+1), und lose

P ′s(t) = f(t, y(t)).

Dies liefert ein Verfahren der Gestalt

a−1yi+1 + a0yi + a1yi−1 + · · ·+ as−1yi−s+1 = hf (ti+1, yi+1),

oders−1∑

j=−1

ajyi−j = hf (ti+1, yi+1).

Mehrschrittverfahren (msv25) 15

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (2)

s : Schrittzahl, p : Ordnung

1, 1 : hfi+1 = yi+1 − yi,

2, 2 : hfi+1 =3

2yi+1 − 2yi +

1

2yi−1,

3, 3 : hfi+1 =11

6yi+1 − 3yi +

3

2yi−1 −

1

3yi−2,

4, 4 : hfi+1 =25

12yi+1 − 4yi + 3yi−1 −

4

3yi−2 +

1

4yi−3,

5, 5 : hfi+1 =137

60yi+1 − 5yi + 5yi−1 −

10

3yi−2 +

5

4yi−3 −

1

5yi−4

6, 6 : hfi+1 =147

60yi+1 − 6yi +

15

2yi−1 −

20

3yi−2 +

15

4yi−3 −

6

5yi−4 +

1

6yi−5.

Fur s > 6 sind die Verfahren instabil.

Mehrschrittverfahren (msv26) 16

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Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

BDF2BDF3BDF4

BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung

BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung

BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv27) 17

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen

Arenstorforbit (vierblattrig)

105

106

10−6

10−4

10−2

Fehler gegen Anzahl der Schritte

BDF2BDF3BDF4

BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung

BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung

BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv30) 18

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren

y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

101

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB4ABM4BDF4

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Funktionsauswertungen

AB4ABM4BDF4

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv31) 19

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren

Arenstorforbit (vierblattrig)

104

105

10−5

100

Fehler gegen Anzahl der Schritte

AB4ABM4BDF4

105

106

10−5

100

Fehler gegen Funktionsauswertungen

AB4ABM4BDF4

AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung

ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung

BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung

Mehrschrittverfahren (msv34) 20

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Einfluss der Anlaufrechnung

y′ = −5t(2 + 3t)y, y(0) = 1, Fehler bei t = 1

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

BDF2BDF3BDF4

RK3–Verfahren

102

103

10−10

10−5

Fehler gegen Anzahl der Schritte

BDF2BDF3BDF4

Heun

102

103

10−8

10−6

10−4

Fehler gegen Anzahl der Schritte

BDF2BDF3BDF4

expliziter Euler

BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung

BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung

BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung

⇒ Fur MSV der Ordnung p Anlaufrechnung mit Ordnung p− 1 notig

Mehrschrittverfahren (msv36) 21

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Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Was gibt es noch?

Ausblick (stiff01) 22

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

A ”Stiff” Beam (Hairer, Wanner II, p. 8)

Wir betrachten die Schwingung einesStabes der Lange l = 1 unter derEinwirkung einer außeren Kraft

F (t) =

(

Fx(t)

Fy(t)

)

=

(

−α(t)

α(t)

)

mit

α(t) =

{

1.5 sin2(t) fur 0 ≤ t ≤ π,

0 fur t ≥ π

am Stabende s = 1.

Fur die Koordinaten gilt in Abhangigkeit vom Winkel θ = θ(s, t)

x(s, t) =

s∫

0

cos θ(σ, t)dσ, und y(s, t) =

s∫

0

sin θ(σ, t)dσ.

Ausblick (stiff01) 23

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Sei T die kinetische Energie und U die potenzielle Energie des Systems, dann erhalt man mittels

der Lagrange–Funktion L = T − U eine partielle Differentialgleichung fur θ(s, t), welche

Ableitungen zweiter Ordnung nach s und t beinhaltet.

1∫

0

G(s, σ) cos(θ(s, t) − θ(σ, t))θ(σ, t) dσ =

θ′′(s, t) + cos(θ(s, t))Fy(t) − sin(θ(s, t))Fx(t)−

1∫

0

G(s, σ) sin(θ(s, t) − θ(σ, t))(

θ(σ, t))2

dσ

Wie behandelt man solche Gleichungen?(⇒ Finite Differenzen, Finite Elemente,...)

Als erste Idee konnten wir im Ort ebenso wie in der Zeit diskretisieren.

Ausblick (stiff02) 24

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Angenommen man hat folgende Ortsdiskretisierung

1∫

0

f (θ(σ, t)) dσ =1

S

S∑

k=1

f(θk) mit θk = θ

((

k −1

2

)

1

S, t

)

fur k = 1, . . . , S und integriert bezuglich der Ortsvariablen s.Das liefert ein System von S gewohnlichen Differentialgleichungen:

S∑

k=1

alk

··

θk =S4 (θl−1 − 2θl + θl+1) + S

2 (cos θlFy − sin θlFx)−

S∑

k=1

glk sin (θl − θk)·

θ2

k

Fur k = 1, . . . , S mit θ0 = −θ1, θS+1 = θS und den Koeffizienten

alk = glk cos (θl − θk) mit glk = S +1

2− max(l, k).

Dies sollte doch nun problemlos losbar sein...

Ausblick (stiff02b) 25

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

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A ”Stiff” BeamVergleich: Explizites/Implizites Eulerverfahren (Newton),

Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

Explizit: 30000 Zeitschritte Implizit: 500 Zeitschritte

Beobachtung: Implizites Verfahren stabiler

Ausblick (stiff03a) 26

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

A ”Stiff” BeamVerfahren von Heun, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

2200 Zeitschritte

2400 Zeitschritte2600 Zeitschritte

Ausblick (stiff05) 27

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

A ”Stiff” BeamKlassisches RK4–Verfahren, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5

421 Zeitschritte425 Zeitschritte 430 Zeitschritte

Beobachtung: Quantitativ hangt die Qualitat stark von der Ordnung abAber: Qualitativ haben all diese expliziten Verfahren StabilitatsproblemeAusweg: Implizite Verfahren

Ausblick (stiff06) 28

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

A ”Stiff” BeamImplizites RK4 (Hammer & Hollingsworth), Newton Iteration, S = 8, T = 5

10 Zeitschritte30 Zeitschritte 50 Zeitschritte

Bemerkung: Bei steifen Problemen mussen implizite Verfahren in Kombination mitder Newton–Iteration verwendet werden

Ausblick (stiff08) 29

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

⇒ Neue Stabilitatsbegriffe⇒ Behandlung steifer Differentialgleichungen

⇒ Behandlung partieller Differentialgleichungen

Numerik von Differentialgleichungen im Wintersemester 12/13

Ausblick (stiff01) 30