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VorlesungMathematik fur Ingenieure 2
(Sommersemester 2009)Kapitel 11: Vektoranalysis
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universitat Magdeburg
(Version vom 23. April 2009)
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FelderDefinition 11.1
Ein Skalarfeld (skalares Feld) ist eine Abbildung
u : Rn ⊇ G → R
(in jedem Punkt x ∈ G ”sitzt” ein Skalar u(x) ∈ R).
Definition 11.2
Ein Vektorfeld ist eine Abbildung
v : Rn ⊇ G → Rn
(in jedem Punkt x ∈ G ist ein Vektor v(x) ∈ Rn
angeheftet).
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Stromung durch Flache
v
f
h
F4
Stromung durch Wurfelseite
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Divergenz
Definition 11.3
Fur ein differenzierbares Vektorfeld
v = (v1, . . . , vn) : Rn ⊇ G → Rn
heißt
divx v =n∑
i=1
∂vi
∂xi(x) ∈ R
die Divergenz (Quelldichte) von v im Punktx ∈ G . Ist divx v = 0 fur alle x ∈ G , so ist vdivergenzfrei (quellfrei).
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Konstantes Vektorfeld v(x , y) = (3, 1)
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Radialfeld v(x , y) = 12(x , y)
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Coulombfeld grad −1r
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Ebenes Analogon (auf [−3, 3]× [−2, 2])
10
Ebenes Analogon (auf [0.5, 3]× [0.5, 2])
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Magnetfeld (Leiter: z-Achse)
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Aufsicht (auf [−3, 3]× [−2, 2])
13
Aufsicht (auf [1, 4]× [1, 3])
14
Drehung um a ∈ R3 \ {O3}
a
x v(x)d
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Die Rotation
Definition 11.4
Fur ein differenzierbares Vektorfeldv : R3 ⊇ G → R3 heißt
rotx v =
∂v3
∂x2(x) − ∂v2
∂x3(x)
∂v1
∂x3(x) − ∂v3
∂x1(x)
∂v2
∂x1(x) − ∂v1
∂x2(x)
∈ R3
die Rotation von v im Punkt x ∈ G . Istrotx v = O3 fur alle x ∈ G , so heißt v rotationsfrei(wirbelfrei).
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Aufsicht auf v(x , y , z) = (y , 0, 0)
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Linearitat der Differenzialoperatoren
Seien u, ψ : Rn ⊇ G → R differenzierbareSkalarfelder und v ,w : Rn ⊇ G → Rn
differenzierbare Vektorfelder, λ ∈ R eine Konstante.
I grad (u + ψ) = grad u + grad ψ
I grad (λu) = λ · grad u
I div (v + w) = div v + div w
I div (λv) = λ · div v
I rot (v + w) = rot v + rot w (n = 3)
I rot (λv) = λ · rot v (n = 3)
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Produktregeln fur Differenzialoperatoren
Seien u, ψ : Rn ⊇ G → R differenzierbareSkalarfelder und v ,w : Rn ⊇ G → Rn
differenzierbare Vektorfelder.
I grad (ψu) = u · grad ψ + ψ · grad u
I div (ψv) = 〈grad ψ, v〉+ ψ · div v
I rot (ψv) = (grad ψ)× v + ψ · rot v (n = 3)
I rot (v × w) = (rot v)×w +v×(rot w)(n = 3)
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Der Laplace-Operator
Definition 11.5
Ist u : Rn ⊇ G → R zweimal differenzierbar, sodefinieren wir
4u := div (grad u) =n∑
i=1
∂2u
∂x2i
.
(4: Laplace-Operator)
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Der Laplace-Operator (fur vektorwertigeAbbildungen)
Definition 11.6
Ist v = (v1, . . . , vm) : Rn ⊇ G → Rm zweimaldifferenzierbar, so definieren wir
4v :=
4v1...4vm
.
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Heat-Kernel (t = 0.1)
-2
0
2
-2
0
2
0.0
0.5
1.0
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Ebene Welle (t = 0.0)
-10-5
05
10 -10
-5
0
5
10
-1.0-0.50.0
0.51.0
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Potenzial
Definition 11.7
Fur ein Vektorfeld v : Rn ⊇ G → Rn heißt dasSkalarfeld u : G → R ein Potenzial fur v , wenngilt:
grad (−u) = v
−u heißt dann eine Stammfunktion von v .
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Notwendige Bedingung fur Potenziale
Satz 11.8
Falls v : R3 ⊇ G → R3 ein Potenzial hat, so istrotx v = (0, 0, 0) fur alle x ∈ G . (Nur wirbelfreieFelder konnen Potenziale haben.)
Bemerkung 11.9
Je nach Form des Gebiets G ⊆ R3 gibt es aber auchVektorfelder v : G → R3 mit rot v = (0, 0, 0), dietrotzdem kein Potenzial haben.
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Konvexe Mengen
Definition 11.10
Eine Menge M ⊆ Rn heißt konvex, wenn fur je zweiPunkte p, q ∈ Rn die gesamte Verbindungsstrecke
{tp + (1− t)q | 0 ≤ 1 ≤ t} ⊆ M
zwischen p und q in M enthalten ist.
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Nicht konvexe Menge
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Hinreichende Bedingung fur Potenziale
Satz 11.11
Ist v : R3 ⊇ G → R3 stetig differenzierbar undwirbelfrei (rot v = O3) auf der offenen konvexenMenge G , so besitzt v ein Potenzial.
Bemerkung 11.12
Wirbelfreie (stetig differenzierbare) Felder (aufoffenen Mengen) haben immer lokale Potenziale,weil man um jeden Punkt eine kleine (konvexe)Kugel findet, die ganz im Definitionsbereich liegt.
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Vektorpotenzial
Definition 11.13
Fur ein Vektorfeld v : R3 ⊇ G → R3 heißt dasVektorfeld w : G → R3 ein Vektorpotenzial von v ,wenn gilt:
rot w = v
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Notwendige Bedingung furVektorpotenziale
Satz 11.14
Falls ein stetig differenzierbares Vektorfeldv : R3 ⊇ G → R3 ein Vektorpotenzial hat, ist
div v = 0.
(Nur quellenfreie Felder konnen Vektorpotenzialehaben.)
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Hinreichende Bedingung furVektorpotenziale
Satz 11.15
Ist v : R3 ⊇ G → R3 stetig differenzierbar undquellenfrei (div v = 0) auf der offenen konvexenMenge G , so besitzt v ein Vektorpotenzial.
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Approximation von Kurven durchPolygonzuge
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Konstantes Feld, gleichformige geradlinigeBewegung
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Kurvenintegral (eines Vektorfelds)
Definition 11.16
Das Kurvenintegral eines (stetigen) VektorfeldesF : Rn ⊇ G → Rn uber einer (stetigdifferenzierbaren) Kurve c : [a, b]→ G ist
∫c
Fds :=
b∫a
F (c(t)) · c ′(t)dt
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Kurvenintegrale sind i.A. wegabhangig
Bemerkung 11.17
In allgemeinen Vektorfeldern hangt dasKurvenintegral nicht nur vom Anfangs- undEndpunkt der Kurve ab, sondern auch vomWegverlauf.
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Umparametrisierung
Satz 11.18
(i) Durch Umparametrisieren (ohne Vertauschungvon Anfangs- und Endpunkt) des Weges (z. B.Geschwindigkeitsanderung) andert sich dasKurvenintegral nicht.
(ii) Bei Vertauschung von Anfangs- und Endpunktmultipliziert sich das Kurvenintegral mit (−1).
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Kurvenintegrale von Potenzialfeldern
Satz 11.19
Ist F : Rn ⊇ G → Rn ein Potenzialfeld mitPotential u : G → R (d.h. F = grad −u), so gilt furjede (stetig differenzierbare) Kurve c : [a, b]→ G :∫
c
F ds = u(c(a))− u(c(b)) .
Insbesondere ist das Kurvenintegral inPotenzialfeldern wegunabhangig (d.h. nur abhangigvon Anfangs- und Endpunkt des Wegs).
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Konservative Felder
Definition 11.20
Ein Vektorfeld, in dem alle Kurvenintegrale nur vomAnfangs- und Endpunkt der Kurve abhangen, heißtkonservativ; insbesondere (und aquivalent dazu)sind in konservativen Vektorfeldern Kurvenintegraleuber geschlossenen Kurven (d. h. Anfangs- gleichEndpunkt) immer Null.
Satz 11.21
Jedes konservative Vektorfeld besitzt ein Potenzial.
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Kurvenintegral von Skalarfeldern
Definition 11.22
Das Kurvenintegral eines (stetigen) Skalarfeldesu : Rn ⊇ G → R uber einer (stetigdifferenzierbaren) Kurve c : [a, b]→ G ist
∫c
u ds :=
b∫a
u(c(t))||c ′(t)||dt.
Insbesondere ist∫
c 1 ds =∫ b
a ||c′(t)|| dt die Lange
der Kurve (genauer: des zuruckgelegten Wegs).
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Terminologie
Elektrodynamik/Mechanik Thermodynamik
Vektorfeld Pfaffsche Form (PF)
Potenzialfeld vollstandiges Differenzial
wirbelfrei ∂vi
∂xj=
∂vj
∂xi(geschl. PF)
Potenzial (wegunabh. Int.) Zustandsvariable
wegabhangiges Integral Prozessvariable
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