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Mathematische Methoden der

allgemeinen

Relativitätstheorie

Florian Andritsch

Fachbereichsarbeit aus Physik

Vorgelegt bei Mag. Dr. Gerhard Rath

BRG Keplerstraße

Keplerstraße 1

8020 Graz

Graz, 29. Februar 2008

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 2

Inhaltsverzeichnis

Abstract 5

Vorwort 6

Einleitung 9

1 Vorstellungen von Raum und Zeit 12

1.1 Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Die spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Moderne Theorien der Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Mathematische Grundlagen 15

2.1 Geometrie gekrümmter Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Gauß’sche Geometrie gekrümmter Flächen . . . . . . . 16

2.1.2 Riemann’sche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Vektor-Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Skalar-Vektor-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Indexschreibweise der Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Kontravariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Kovariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Topologischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.5 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Das lokal ebene System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Die Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 3

2.5 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Symmetrien von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.3 Bedeutung von Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.4 Spezielle Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.5 Eigenschaften des metrischen Tensors . . . . . . . . . . 33

2.5.6 Verschieben der Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole . . . . 37

2.7 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7.1 Rechenregeln für kovariante Ableitung . . . . . . . . . 39

2.8 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9 Der Riemann’sche Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9.1 Eigenschaften des Riemann-Tensors . . . . . . . . . . . 42

2.9.2 Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Physikalische Aspekte 45

3.1 Prinzipien der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Kovarianzprizip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.3 Prinzip minimaler gravitativer Kopplung . . . . . . . . 46

3.1.4 Äquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.5 Mach’sches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Geodätengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Einstein’sche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2 Einstein-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Schwarzschildlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1 Analyse der Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.1 Das Kosmologische-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.2 Mathematische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.3 Friedmann-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 4

3.5.4 Herleitung der Friedmann Gleichungen . . . . . . . . . 62

3.5.5 Diskussion des Friedmann-Modells . . . . . . . . . . . 65

3.5.6 Aktueller Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Zusammenfassung 67

Erklärung 69

Literaturverzeichnis 70

Protokoll der Arbeit 72

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 5

Abstract

The paper “Mathematical methods of the general theory of relativity“ intro-

duces the reader to Albert Einstein’s theory of general relativity. First of all,

theories of space and time, that were used in past are illustrated. Afterwards

the mathematical background of the theory of general relativity is develo-

ped. The reader is familarized with the tensor-calculus and the geometry of

a curved spacetime.

Later on the physical aspects of Einstein’s theory are explained and the

theoretical background for a model describing the universe as a whole is

brought up to the reader. Further the considerations that are needed to pos-

tulate the Einstein field equations are illuminated. The idea of mass causing

gravitation, which is finally causing a curvature of spacetime is brought in.

Using the so far built up knowledge one solution of the field equations, the

Schwarzschild-metric, is derived in order to discuss the facts that follow this

solution.

At the end the reader gets an insight into cosmology, a part of modern

physics that was founded by Einsteins work on the theory of relativity, since

this was the fist theory corresponding with a dynamic universe. According

to this, the Friedmann-model is explained and discussed.

The paper’s purpose is to give a compact overview about the mathe-

matical model that is used to describe a curved spacetime and links the

mathematical methods with their use in describing the universe.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 6

Vorwort

Albert Einstein, der sowohl als Schöpfer der Relativitätstheorie, als auch mit

Erhalt des Nobelpreises für die Erklärung des Photoeffekts in die Geschichte

einging, beeindruckte mich schon lange Zeit. Seine Arbeit auf den physikali-

schen Gebieten der Kosmologie, der “Physik des Großen“, sowie der Teilchen-

physik, der ”Physik des Kleinen“, war grundlegend für die Weiterentwicklung

der Physik im 20.Jahrhundert.

Im Jahr 2005, als ich in die 5.Klasse ging, beschäftigte ich mich das erste

Mal mit der speziellen Relativitätstheorie. Über einige Wochen hinweg las

ich mir alles, was ich zu diesem Thema finden konnte, äußerst genau durch.

Mein Ziel war es, zumindest die Konzepte, womöglich aber noch mehr davon

zu verstehen. Natürlich war es anfangs ein mühsames Unterfangen, da meine

mathematischen Kenntnisse trotz jahrelanger Teilnahme an der Österreichi-

schen Mathematik Olympiade eindeutig nicht ausreichten. Dennoch verfolgte

ich mein Ziel, und bewerkstelligte es nach geraumer Zeit, die Lorentztrans-

formation selbst herzuleiten. Ich hatte es geschafft, einen Einblick in diese

weltverändernde Theorie zu bekommen. Sehr bald stellte ich mir die Frage

worin nun der Unterschied zur allgemeinen Relativitätstheorie bestand.

Im Sommer 2006 startete ich den nächsten Versuch. Diesmal wollte ich

Einsteins allgemeine Relativitätstheorie zumindest teilweise verstehen. Ich

besorgte mir Vorlesungsskripten und Bücher, las mich intensiv in die Materie

ein. Es nahm ausgesprochen viel Zeit in Anspruch, mir die Grundgedanken

der differentialgeometrischen Inhalte selber beizubringen.

Als dann im Schuljahr 2007/2008 das Thema Matura zunehmend kon-

kreter auf mich zukam, machte ich mir Gedanken, eine Fachbereichsarbeit

zu einem mich interessierenden Thema zu verfassen. Dafür kamen in meinem

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 7

Fall ganz klar nur bestimmte Fächer in Frage: Informatik, Mathematik oder

Physik.

Seit dem Schuljahr 2001/2002 besuchte ich am BRG Kepler den Mathe-

matikolympiade Kurs unter der Leitung von Dr. Robert Geretschläger. In den

darauffolgenden Jahren lehrte er mich ausgesprochen viel mathematisches

Wissen. In der 3.Klasse meldete ich mich zusätzlich für den Freigegenstand

Physikolympiade, geleitet von Mag. Bernd Lackner, an. Ich sammelte auf

beiden Gebieten Wettbewerbserfahrung, und sorgte dafür, dass meine Kennt-

nisse in diesen Fächern über den gewöhnlichen Schulstoff hinausragten. Im

Rahmen dieser Bewerbe kam ich weit umher. Abgesehen von Wettbewerben

in Tschechien, Polen und Rumänien reiste ich zuletzt im Rahmen der Physik-

WM (IYPT - International Young Physicists’ Tournament) nach Südkorea.

Meine Vorstellungen bezüglich meiner weiteren Ausbildung änderten sich in

diese Zeit auch grundlegend vom bisher geplanten Studium der Medizin in

Richtung der beiden Naturwissenschaften Mathematik und Physik.

Mit der Schwerpunktsetzung Informatik in der Oberstufe, und dem zu-

sätzlichen Freigegenstand Astronomie wurde mein Interesse in diesen Be-

reichen weiter bekräftigt. Als dann die Entscheidung drängte, in welchem

Gebiet ich nun die Fachbereichsarbeit schreiben wollte, kam ich auf die Idee,

mein schon länger anhaltendes Interesse an der Relativitätstheorie in dieser

Form weiterzuführen.

Im Rahmen des AYPT - Austrian Young Phyicists’ Tournament - lernte

ich über meinen Physik-Lehrer, und späteren Betreuer der Fachbereichsarbeit

Dr. Gerhard Rath, Herrn Univ. Prof. Dr. Heimo Latal kennen, ohne dessen

Zutun diese Arbeit nie ihre jetzige Form annehmen hätte können. Er unter-

stütze mich hinsichtlich theoretischer Aspekte und erklärte sich bereit, die

Arbeit auf inhaltliche Richtigkeit zu überprüfen, wofür ihm an dieser Stelle

größter Dank ausgesprochen sei. Auch bei Dr. Gerhard Rath möchte ich mich

für die Betreuung im Zuge des Entstehens dieser Arbeit bedanken. Ebenfalls

zur Hilfe kamen mir Mag. Bernd Lackner und Dr. Robert Geretschläger, die

mich im Laufe meiner Schulausbildung weit über den normalen Stoff hinaus

lehrten.

Zum Erstellen einer Fachbereichsarbeit ist, wenngleich man es hierbei mit

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 8

einer vergleichsweise kleinen schriftlichen Abhandlung zu tun hat, einiges an

zu Arbeit zu investieren. Es bedarf Zeit, sich mit dem Thema vertraut zu

machen und anschließend dieses in eine schriftliche Form zu bringen. Deswei-

teren ist es unabdingbar, geeignete Quellen zu finden. Ist man letztendlich

in der Lage mit dem schriftlichen Teil der Arbeit zu beginnen, stößt man un-

weigerlich im Prozess des Arbeitens wiederholt auf neue Herausforderungen,

die es zu lösen gilt.

Mir persönlich hat die Beschäftigung mit dieser Fachbereichsarbeit eine

ausgesprochen große Freude bereitet, und mich inhaltlich weit fernab der in

der Schule unterrichteten Themen geführt. Alles in allem eine Erfahrung,

die mich vieles lehrte, mein Verständnis von Raum und Zeit veränderte so-

wie mich persönlich, mathematisch und physikalisch gesehen einige Schritte

weiter brachte.

Graz, 2008

Florian Andritsch

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 9

Einleitung

Schon seit je her lag es in der Natur des Menschen sich Fragen zur Welt,

in der er lebte, zu stellen. Mit zunehmendem technischen Fortschritt waren

dem forschenden Wesen Mensch immer mehr Hilfsmittel gegeben, welche

er zu seinem Nutzen einsetzen konnte. Diese verschafften ihm laufend neue

Erkenntnisse über die Beschaffenheit seiner Umwelt.

Sir Isaac Newton (1643-1727) schuf eine Theorie der Mechanik und Gra-

vitation, die es vermochte, entsprechende Messungen, derart exakt zu be-

schreiben, dass lange Zeit niemand auf die Idee kam, diese Theorie in Frage

zu stellen. Erst als James Clerk Maxwell Mitte des 19.Jahrhunderts seine

Gleichungen der Elektrodynamik veröffentlichte, nahm die Entwicklung rund

um eine weltbeschreibende Theorie ihre bis dato wichtigsten Formen an.

Albert Einstein, der sich schon als Jugendlicher mit den Gleichungen Max-

wells auseinandersetzte, war es, der deren Unverträglichkeit mit der New-

ton’schen Mechanik erkannte. Als 1881 und 1887 die Michelson-Morley Ex-

perimente zu einem Negativresultat führten, deutete Einstein dieses Ergebnis

als eine Nichtexistenz des Lichtäthers, sowie Konstanz der Lichtgeschwindig-

keit. Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie, damals noch als Ange-

stellter des Patentamtes in Bern, veröffentlichte er 1905 seine Deutung dieser

Postulate. Er entfernte alle Punkte, in denen die Newtonsche Theorie nicht

mit der Theorie der Elektrodynamik übereinstimmte. Newtons Theorie blieb

lediglich als Grenzfall für kleine Geschwindigkeiten erhalten.

Die Ergebnisse seiner Arbeit blieben keineswegs unumstritten, zumal sei-

ne Relativitätstheorie mit den jahrhunderte alten Ideen eines absoluten eu-

klidischen Raums, sowie einer absoluten Zeit, in Konflikt stand. Verständlich,

dass die Menschen, die zur damaligen Zeit lebten, das Bild vom Universum

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 10

nicht so plötzlich von einem Berner Patentamtsbeamten in dieser Weise re-

volutionieren lassen wollten. Es wollte sich vorerst niemand damit abfinden,

dass Effekte wie Zeitdilatation und Längenkontraktion tatsächlich existie-

ren. Aber sobald eine neue Theorie veröffentlich wird, wird diese auch gleich

experimentell untersucht.

In der Geschichte war es bisher meistens so, dass eine Theorie anhand

zahlreicher experimenteller Untersuchungen aufgestellt wurde. Einstein ver-

folgte beim Aufstellen seiner Relativitätstheorie jedoch erstmals den umge-

kehrten Weg. Er formulierte seine Theorie lediglich auf Gedankenexperimen-

ten basierend, und ließ sie nach der Publikation von Physikern praktisch

überprüfen. Es soll schon immer Einsteins Stärke gewesen sein, viel im Kopf

zu machen. So wird behauptet, er hätte sich die ersten Fragen zum Thema,

was ein Beobachter wohl sehe, wäre er mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs,

bereits als Schüler gestellt.

Nach der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie folgten für Ein-

stein lange Jahre der Entwicklung und Weiterführung seiner Ideen. Das Pro-

blem war, dass diese Theorie – wie der Name schon sagt – nur für spezielle

Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme, gültig ist. Die Transformationen

waren lediglich auf gleichförmig relativ zueinander bewegte Bezugssysteme

anwendbar. Um nun auch einen Zusammenhang mit beschleunigten Systemen

herstellen zu können, setzte sich Einstein zunächst mit der Differentialgeo-

metrie Bernhard Riemanns auseinander. Mithilfe dieses Formalismus sollte

es möglich sein, die spezielle Relativitätstheorie zu einer allgemeinen Theo-

rie der Gravitation und Bewegung umzuformen. Er setzte sich intensiv mit

den dahinterstehenden mathematischen Methoden auseinander, und ließ sich

von Mathematikern unterstützen, um zur Verallgemeinerung der speziellen

Relativitätstheorie zu kommen.

Heute läuft die Software in den GPS Satelliten beispielsweise unter Ein-

berechnung Einsteins allgemein relativistischer Effekte, und erreicht nur da-

durch eine derart hohe Präzission. Die nachfolgende Fachbereichsarbeit soll

eben jene Theorie, die allgemeine Relativitätstheorie, in ihrer Struktur aus

mathematischer und physikalischer Sicht analysieren, und mehr als nur einen

groben Überblick über die Theorie geben, die auch heute noch, beinahe 100

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 11

Jahre nach ihrem Erscheinen, weder an Bedeutung noch an Richtigkeit ver-

loren hat. Natürlich kann eine so umfangreiche Theorie, wie die allgemeine

Relativitätstheorie im Rahmen einer Fachbereichsarbeit nicht in vollständi-

gem Ausmaß ergründet werden.

Es stellte sich außerdem als schwierig heraus, zu entscheiden welche Vor-

kenntnisse mathematischer Fertigkeiten vorausgesetzt werden können. Die

verwendeten mathematischen Methoden reichen großteils über den Schul-

stoff hinaus. Auch wenn die Hauptaspekte des mathematischen Modells, wel-

ches hinter der allgemeinen Relativitätstheorie steckt, gründlich bearbeitet

werden, so bleiben doch manche Teile ohne Erklärung. Für das umfassende

Verständnis der nachfolgenden Arbeit empfiehlt es sich, sich mit dem Lösen

von Differentialgleichungen auseinander zu setzen, oder aber diese Schritte

beim Lesen nicht genau zu hinterfragen. Es wurde dennoch sehr auf eine ver-

ständliche Formulierung des Sachverhalts wertgelegt und versucht, den Leser

geeignet in die allgemeine Relativitätstheorie einzuführen.

Die Fachbereichsarbeit wurde unter Verwendung der “wir” Form verfasst.

Dies ist eine für naturwissenschaftliche Arbeiten übliche Vorgehensweise und

soll den Leser beim Durchführen von Berechnungen das Gefühl geben, er

würde dies zusammen mit dem Autor durchführen. Mir persönlich ist diese

Art des Einbindens des Lesers bei komplizierteren Texten schon desöfteren

als sehr hilfreich erschienen, weshalb ich nun auf diese Methode zurückgreifen

möchte.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 12

Kapitel 1

Vorstellungen von Raum und Zeit

Menschen können mit ihren Sinnen drei räumliche Dimensionen wahrneh-

men. Es ist uns möglich Breite, Höhe und Tiefe zu unterscheiden. Die Welt

in der wir leben wurde daher schon immer als (zumindest) 3-dimensionaler

Raum beschrieben. Der Raum stellte eine Art Behälter für alle in ihm ge-

schehenden Ereignisse dar. Dieses Kapitel soll einen kurzen Überblick der

verschiedenen mathematischen Methoden zur physikalischen Beschreibung

des Raumes schaffen

1.1 Die klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik gilt die Raumdefinition von Isaac Newton mit

ihren beiden Axiomen:

• Der Raum ist absolut, unveränderlich und unbeeinflusst von den phy-

sikalischen Vorgängen, die sich in ihm abspielen.

• Der Raum ist euklidisch und dreidimensional.

Die Zeit ist ein an allen Orten zu jedem Zeitpunkt gleichmäßig verfließendes

Metrum.

Werden zwei Bezugssysteme S und S �, mit der Geschwindigkeit v in po-

sitive x-Richtung gleichförmig zueinander bewegt, gelten die Galilei-Trans-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 13

formationen.

x� = x− vt y� = y, z� = z, t� = t (1.1)

mit den Koordinaten x, y, z, t in S bzw. x�, y�, z�, t� in S �

Relativgeschwindigkeiten wurden demnach addiert, es gab keine Grenze

nach oben.

Bis Ende des 19.Jahrhunderts war Newtons Vorstellung von Raum und

Zeit als richtig angesehen. Erst Maxwells Theorie zur Elektrodynamik warf

das erste Mal eine Unstimmigkeit auf. Albert Einstein entwickelte darauf hin

die spezielle Relativitätstheorie.

1.2 Die spezielle Relativitätstheorie

Einstein erkannte, dass die Lichtgeschwindigkeit eine für alle Beobachter glei-

che Größe ist. Diese Erkenntnis brachte eine Revolution des Raum-Zeit Be-

griffs mit sich. Raum und Zeit waren von nun an nicht mehr unabhängig

voneinander, sondern wurden zu einer 4-dimensionalen Raumzeit vereint.

Damit waren Raum und Zeit nicht mehr absolut, sondern vom jeweiligen

Bezugssystem abhängig. Daraus resultieren die Effekte der Zeitdillatation

und der Lorentzkontraktion. Relativ zueinander bewegte Beobachter messen

demzufolge unterschiedliche Längen und auch die Zeit vergeht verschieden

schnell.

Die Gallilei-Transformationen genügten den Anforderungen Einsteins je-

doch nicht. Damit die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gewährleistet wird,

führt Einstein eine neue Gruppe von Transformationen, die sogenannten

Lorentz-Transformationen ein. Werden wieder zwei Bezugsysteme S und S �

mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung gleichförmig zueinander bewegt gilt:

x� =(x− vt)

1−�v

c

�2y� = y z� = z t� =

�t−

vx

c2

1−�v

c

�2(1.2)

Die gestrichenen Koordinaten bezeichnen dabei wieder jene in S �, die unge-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 14

strichenen diese in S.

Geschwindigkeiten wurden nicht mehr einfach addiert, sondern im Zuge

der Lorentztransformationen zusammen gerechnet. Man erkennt ein Problem

für v = c. Aus einer anderen Gleichung der speziellen Relativitätstheorie re-

sultiert allerdings die Lichtgeschwindigkeit c als nicht zu erreichender Limes

für Geschwindigkeiten. Was bleibt, ist, dass der Raum weiterhin euklidisch

ist, was sich erst in der allgemeinen Relativitätstheorie änderte. Die genauen

Aussagen der allgemeinen Relativitätstheorie werden in den folgenden Kapi-

teln dieser Arbeit genauer erklärt.

1.3 Moderne Theorien der Raumzeit

Das einzige Problem, das die allgemeine Relativitätstheorie aufweist, ist die

Unverträglichkeit mit der Quantenmechanik. Eine Theorie, die diese beiden

Teile der Physik vereint, eine sogenannte TOE – Theory of everything –

wurde bislang nicht gefunden. Ziel aktueller Forschungen ist es, die vier phy-

sikalischen Grundkräfte

• Gravitation

• elektromagnetische Wechselwirkung

• starke Wechselwirkung

• schwache Wechselwirkung

in einer einzigen Theorie zu vereinen. Die vielversprechendsten Entwicklun-

gen in diese Richtung bieten die Kaluza-Klein-Theorien und die Stringtheo-

rien. Gemeinsam versuchen sie die Raumzeit in kleinen Bereichen um zusätz-

liche Dimensionen zu erweitern. Es wird versucht den Raum nicht als etwas

Gegebenes anzunehmen, sondern zusammen mit den in ihm herrschenden

Kräften zu begründen. Der größte Kritikpunkt an diesen Theorien sind die

bislang fehlenden nachprüfbaren Voraussagen.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 15

Kapitel 2

Mathematische Grundlagen

Dieser Teil der Fachbereichsarbeit behandelt die mathematischen Methoden,

auf die zur Beschreibung der allgemeinen Relativitätstheorie zurückgegriffen

wird. Es handelt sich vor allem um differentialgeometrische Inhalte, welche im

Rahmen der schulmathematischen Ausbildung nicht behandelt werden. Zu-

nächst ist es notwendig, wichtige Eigenschaften des 4-dimensionalen Raums

der allgemeinen Relativitätstheorie festzulegen.

2.1 Geometrie gekrümmter Räume

Im Normalfall beschränken sich geometrische Kenntnisse auf die ebene, eu-

klidische Geometrie, welche man irgendwann im Laufe seiner Ausbildung in

der Schule gelehrt bekommt. Diese spielt sich ausschließlich in einem flachen,

soll heißen nicht gekrümmten, Raum ab.

Carl Friedrich Gauß (1777-1855) war der erste, der eine in sich schlüssige,

nicht-euklidische Geometrie einführte. Nun hatte man mehrere Geometrien,

die alle, unabhängig voneinander, vollkommen korrekt waren. Es stellte sich

die Frage, wie der Raum, in dem wir uns befinden, beschaffen ist, welche

Geometrie ihn beschreibt.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 16

2.1.1 Gauß’sche Geometrie gekrümmter Flächen

Ausgehend von der kürzesten Verbindung zweier Punkte, einer geodätischen

Linie, die in der euklidischen Geometrie einer Geraden entspricht, ist es

möglich eine Geometrie zu definieren, die ohne Einbettung in einen höher-

dimensionalen Raum in sich vollständig beschrieben werden kann. Zu Nutzen

machte sich Gauß dabei den Effekt, dass bei Verbiegen einer flachen Ebene

Abstände zwischen Punkten unverändert bleiben, da die Ebene weder ge-

dehnt noch gestaucht wird. Über die Berechnung so einer extremal- (mini-

mal) langen Verbindung zweier Punkte einer Punktmannigfaltigkeit ist es

möglich, konkrete Aussagen über die Beschaffenheit des vorhandenen Raum-

es zu machen, ohne diesen in einen höher-dimensionalen Raum einzubetten.

Betrachten wir zunächst wie in [6]1. einen Kreis in einer flachen Ebene

und auf einer Kugeloberfläche. Der Umfang in der Ebene berechnet sich

gewohnt mit U = 2π · r, auf der Kugel hingegen mit R . . .Kugelradius und

r . . .Kreisradius gilt U = 2π · R · sin α wobei r = R · α. somit folgt nach

kleinen Umformungen:

U = 2πsinα

αr (2.1)

bzw.U

r= 2π

sinα

α(2.2)

Dieses Verhältnis zwischen Umfang und Radius kann unabhängig von ei-

ner Einbettung in einen 3-dimensionalen Raum bestimmt werden. Sozusagen

könnten fiktive 2-dimensionale Lebewesen feststellen ob die Ebene in der sie

leben, flach oder gekrümmt ist, ohne etwas von einer dritten Dimension zu

wissen. Sie bräuchten lediglich den Umfang eines Kreises abzumessen und in

Verhältnis mit dem Radius zu stellen. Weicht dieses Verhältnis vom Wert 2π

ab, liegt eine Krümmung vor.

Definition 2.1.1 Die Gauß’sche Krümmung K ist für eine Kugeloberfläche

durch

K =1

R2

1[Vgl. 6, S. 930ff]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 17

definiert. (R . . .Kugelradius)

Aus der vorangegangenen Betrachtung des Kreisumfangs auf der Kugelober-

fläche lässt sich eine andere Darstellung für K finden, die sich aus rein in

der Ebene messbaren Werten berechnen lässt. Die Herleitung erfolgt über

die Betrachtung der Reihenentwicklung der Sinusfunktion 2.

Definition 2.1.2 (Formel von Bertrand und Pusseux)

K =3

πlimr→0

2π r − U

r3(2.3)

Setzt man nun im Fall einer flachen, bzw ungekrümmten Ebene für U 2rπ

ein, folgt sofort K = 0

Diese fiktiven Lebewesen könnten also ausgehend von Abständen zweier

infinitesimal voneinander entfernten Punkten Aussagen über die Krümmung

der Ebene, in der sie leben, treffen.

Im Euklidischen Raum gilt für die Abstandsberechnung der Satz des Py-

thagoras für drei Dimensionen

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (2.4)

Verwenden wir nun für die Fläche die Parameterdarstellung

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (2.5)

so folgt mit xu = ∂x∂u

. . .

dx = xudu+ xvdv, dy = yudu+ yvdv, dz = zudu+ zvdv (2.6)

und der Abstand zweier Punkte a(u, v) und a�(u+ du, v + dv) ist mit

ds2 = g11(u, v)du2 + g22(u, v)dv

2 + 2g12(u, v)du dv (2.7)

2[Vgl. 6, S. 936ff]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 18

gegeben, wobei

g11(u, v) = x2u + y2u + z2u, g22(u, v) = x2

v + y2v + z2v

g12(u, v) = g21(u, v) = xuxv + yuyv + zuzv

Die gik sind dabei die sogenannten metrischen Koeffizienten. Durch aufsum-

mieren über die ds, also Integration kann die Länge jeder beliebigen Strecke

errechnet werden. Es müssen dazu nur die metrischen Koeffizienten bekannt

sein.

Gauß suchte in weiterer Folge nach einer Möglichkeit die Krümung ei-

ner Fläche mittels eines Parameters zu berechnen, um mit Hilfe dessen eine

Kugeloberfläche von einer flachen Ebene bzw einer anders gekrümmten un-

terscheiden zu können. Aufgrund der Abhänigkeit der Länge von den gik war

es naheliegend aus ihnen ein Maß für die Krümmung zu bestimmen.

2.1.2 Riemann’sche Geometrie

Nach den Ergebnissen von Gauß für 2-dimensionale Flächen war es nicht weit,

zu vermuten, dass Ähnliches auch für allgemein-viele Dimensionen möglich

ist. Es stellte sich heraus, dass ein einziger Parameter analog zu K nicht aus-

reicht, sondern mehrere Größen benötigt werden. Der Schritt auf den allge-

meinen Fall war also keineswegs einfach, wurde allerdings noch zu Lebzeiten

Gauß von Georg Friedrich Bernhard Riemann gesetzt.

Er behandelte den Raum in Form einer Punktmannigfaltikeit. Ist auf

dieser eine Metrik gegeben, also eine Vorgabe, wie Längen berechnet werden

können, spricht man von einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Es wird in

jedem Punkt dieser Mannigfaltigkeit ein Tangentialvektorraum aufgespannt.

Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass die Krümmung lokal wegtransformiert

werden kann. Es benötigt darüberhinaus noch einer Vorschrift, wie zwischen

einzelnen Tangentialvektorräumen gerechnet werden kann.

Wie wir in den folgenden Kapiteln dieser Arbeit sehen werden, können

mithilfe des Metrik-Tensors Eigenschaften des Raumes in Bezug auf seine

Krümmung, ähnlich wie schon Gauß es für zwei Dimensionen tat, berechnet

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 19

werden. Bevor in Kapitel 2.9 auf die Ergebnisse seiner Arbeit näher einge-

gangen wird, müssen einige mathematische Inhalte erläutert werden.

2.2 Vektor-Tensorrechnung

Bevor ich mich den für die Relativitätstheorie spezifischen Inhalten widme ist

es unabdingbar, die dafür nötigen mathematischen Grundlagen zu erläutern.

Diese Grundlagen beschränken sich auf den Bereich der Vektor-Tensor-

rechnung in gekrümmten Räumen. Beginnen wir mit der Erarbeitung der für

die Theorie nötigen Inhalte.

2.2.1 Skalar-Vektor-Tensor

Definition 2.2.1 Ein Skalar ist ein Zahlwert, der sich bei Koordinatentrans-

formationen nicht ändert.

Wird jedem Punkt in einem Raum ein Skalar zugeordnet spricht man von

einem Skalarfeld.

Beispiel für ein Skalarfeld

Ein Beispiel für ein Skalarfeld ist die Temperatur in einem Raum. Gibt es

Bereiche, in denen sich der Wert des Skalarfelds nicht ändert, so spricht man

von einer Niveaulinie, bzw Niveaufläche im 3-dimensionalen Raum.

Skalare reichen in der Physik aber nicht aus, um alle Erscheinungen be-

schreiben zu können. Betrachten wir z.B. eine Kraft. Im Gegensatz zur Tem-

peratur ist es bei Kräften von Bedeutung, in welche Richtung sie in welcher

Stärke wirken. Zur Beschreibung von Kräften benötigen wir also ein Objekt,

welches neben einem skalaren Wert zusätzlich noch eine Richtungsangabe

enthält.

Definition 2.2.2 Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. Er weist neben ei-

nem skalaren Wert (seinem Betrag) zusätzlich noch eine Richtungseigenschaft

auf. Man spricht von einem Vektorraum, wenn eine Funktion, das sogenannte

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 20

Vektorfeld, existiert, welches jedem Punkt eines Raums einen Vektor zuord-

net.

Vektoren können durch einen Pfeil in eine bestimmte Richtung mit der

Länge ihres Betrags sehr einfach veranschaulicht werden.

Beispiel für ein Vektorfeld

Ein Beispiel für ein Vektorfeld ist das Gravitationsfeld der Erde. Dessen Kraft

wirkt mit einer bestimmten Stärke (abstandsabhängig) in Richtung des Erd-

mittelpunktes. Jedem Punkt ist somit ein Vektor gegeben, der eine gewisse

skalare Größe (Stärke der Gravitation) und deren Richtung als Eigenschaft

beschreibt.

Sobald man weitere Eigenschaften als Größe und Richtung mittels eines

Objektes zu beschreiben wünscht, muss man sich den Tensoren zuwenden.

Wir definieren nun den Begriff Tensor im n-dimensionalen Raum.

Definition 2.2.3 Ein Tensor der Stufe k ist ein k-fach indizierte Größe im

n-dimensionalen Raum mit nk Komponenten, die sich bezüglich jedes Index

wie ein Vektor transformiert.

Die Formen eines Tensors sind Skalare, Vektoren oder Matrizen. Gehen

wir von der Definition des Tensors aus, erkennen wir:

• Ein Tensor der Stufe 0 ist ein Skalar

• Ein Tensor der Stufe 1 ist ein Vektor

• Ein Tensor der Stufe 2 ist eine Matrix

Beispiel für einen Tensor

Ein Beispiel für einen Tensor liefert uns der Spannungstensor der Physik.

Dieser ist ein Tensor zweiter Stufe, der die mechanischen Spannungen an

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 22

Die Begriffe Skalar und Vektor werden wir nicht weiter behandeln, da

diese geläufig sein sollten, auf Tensoren jedoch kommen wir in Kapitel 2.5

noch genauer zu sprechen.

2.3 Indexschreibweise der Relativitätstheorie

Die Relativitätstheorie ist, wie sich im Laufe dieser Arbeit herausstellen wird,

eine tensoriell formulierte Theorie. Was das genau bedeutet sei vorerst nicht

erläutert, wird aber zu einem späteren Zeitpunkt nachgeholt. Es tauchen bei

diesen Objekten -Tensoren- regelmäßig Indizes auf. Es ist wichtig zu unter-

scheiden ob diese in Form von griechischen oder lateinischen Kleinbuchstaben

auftauchen. Die griechischen Indizes implizieren immer einen Wert der Men-

ge {0, 1, 2, 3}, während die lateinischen lediglich aus der Menge {1, 2, 3} zu

wählen sind. Oben stehende Indizes stehen für kontravariante- (vgl Kapitel

2.3.1), unten stehende für kovariante (vgl Kapitel 2.3.2) Formen eines Ten-

sors. Taucht ein Tensor, bzw eine Koordinate gestrichen (T �µν , x�µ) auf, so

ist damit jeweils die Koordinate in einem neuen Koordinatensystem gemeint.

2.3.1 Kontravariante Form

Ein kontravariante Form eines Tensors transformiert nach

T �µ =∂x�µ

∂xνT ν (2.9)

Geometrisch gesehen ergibt eine senkrechte Projektion eines Vektors u auf

eine kontravariante Basis ihn in kovarianter Form (siehe Abbildung 2.3.2).

Es taucht an dieser Stelle zum ersten Mal das Symbol für die partielle Ab-

leitung ∂ auf. Eine partielle Ableitung wird dann verwendet, wenn man eine

Funktion, die von mehreren Parametern abhängt, nur nach einem von diesen

ableiten möchte. Im Gegensatz dazu steht das totale Differential d, das nach

allen Parametern einer Funktion ableitet. 3

3Die Kenntnis des Begriffs der Ableitung wird in dieser Arbeit als Voraussetzung ange-nommen, und nicht näher erklärt. Für eine genauere Erläuterung dieses Sachverhalts seiauf ein Lehrbuch der Mathematik verwiesen.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 23

2.3.2 Kovariante Form

Die kovariante Form eines Tensors transformiert sich hingegen nach

∂xµ=

∂xν

∂x�µ

∂xν(2.10)

somit gilt für einen kovarianten Tensor:

T �

µ =∂xν

∂x�µTν (2.11)

Die kovariante Form bildet eine Basis des im betrachteten Punktes befind-

lichen Tangentialvektorraums. Parallelprojektion eines Vektors u auf eine

kovariante Basis ergibt diesen in kontravarianter Form. Kovariante Formen

sind koordinatenunabhängig (siehe Abbildung 2.3.2).

Abbildung 2.3.2

2.3.3 Topologischer Raum

Ein Raum ist mathematisch gesehen eine Menge von Punkten. Sobald eine

Struktur der Nähe eingeführt wird, welche zu jedem Punkt sogenannte Um-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 24

gebungen von Punkten definiert, spricht man von einem topologischen Raum.

Definition 2.3.1 Eine Menge U ist offen, wenn es zu jedem x ∈ U ein � > 0

gibt, sodass unend lich viele y ∈ U existieren, für die gilt: x− � < y < x+ �.

Zum besseren Verständnis stelle man sich einfach die offene Menge ]0; 1[

vor. 0 und 1 sind keine Elemente der Menge. Es existiert kein Randwert, es

gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1. Genau in diesem Fall (unendlich

viele Werte, aber kein eindeutiger Randwert) spricht man von einer offenen

Menge.

Im Gegensatz dazu ist eine geschlossene Menge gegeben, sobald eindeutige

Randwerte existieren. z.B.: [0; 1] hier gehören sowohl 0 als auch 1 zur Menge,

es gibt aber keine Elemente y derart, dass 0− � < y < 0 + � erfüllt ist.

Definition 2.3.2 Eine Topologie T ist ein System aus offenen Teilmengen

eines Raums R für das folgende Axiome erfül lt sind:

1. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ergibt eine offene Menge

2. Der Durchschnitt end lich vieler offener Mengen ergibt eine offene Men-

ge

3. Die Grundmenge R und die leere Menge sind offene Mengen

Definition 2.3.3 Ein Raum R zusammen mit einer Topologie T heißt to-

pologischer Raum (R, T ).

Wozu benötigen wir den Begriff eines topologischen Raums?

Mittels der Topologie wird der Begriff der Nähe definiert. Dadurch bekommt

eine Menge eine Struktur, Umgebungen sind festgelegt und Längen können

berechnet werden.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es von Bedeutung, dass die

Raumzeit ein Raum mit wohldefinierter Topologie ist, da sie sich mathema-

tisch hauptsächlich auf Verschiebungen von Vektoren bzw Tesoren um einen

infinitesimalen Bereich stützt. Um damit rechnen zu können, ist es notwen-

dig zu wissen, welcher Punkt “in der Nähe” eines anderen Punktes liegt. Die

Topologie gibt der Raumzeit ihre grundlegende Struktur.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 25

2.3.4 Metrischer Raum

Wir haben im vorigen Kapitel (2.3.3) den Begriff der Nähe eingeführt. Um

nun tatsächlich den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen zu können

bedarf es einer Funktion, die angibt, auf welche Weise dies zu geschehen hat.

Diese Abstandsfunktion ist definiert durch:

ds2 =n�

µ=0

n�

ν=0

gµνdxµdxν (2.12)

Hierbei ist zu beachten, dass die hochgestellten µ und ν keine Exponenten

sondern Indizes darstellen. x1 entspricht somit der x-Koordinate, x2 der y-

Koordinate und x3 der z-Koordinate (Im Falle eines 3-dimensionalen Raums).

Das Konstrukt gµν ist der Metrik-Tensor. Er definiert wie genau der Abstand

zu berechnen ist.

Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der gµν nichts anderes als die

Verknüpfung der n Basisvektoren:

gµν =

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

(2.13)

Jetzt ist der Zeitpunkt gekommen, die Einstein’sche Summenkonvention

zu erwähnen:

Definition 2.3.4 Die Einstein’sche Summenkonvention vereinbart, dass die

Aufsummierung nur über gleiche Indizes stattzufinden hat, wenn diese einmal

als kovarianter und einmal als kontravarianter Index auftauchen.

Einfacher gesagt: steht unten und oben der gleiche Index, so wird sum-

miert.

Hier ein Beispiel zur Verdeutlichung:

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 26

• Skalarprodukt zweier Vektoren: �x =

x1

x2

...

xn

und �y =

y1

y2...

yn

�x · �v =

n�

i=1

xiyi (2.14)

die Summenkonvention erlaubt es uns nun den selben Ausdruck kurz

so zu schreiben: �x ∗ �v = xiyi das Summenzeichen kann weggelassen

werden.

Der Zweck ist vielleicht noch nicht ganz klar ersichtlich, aber spätestens

wenn wir uns dann den Koordinatentransformationen bzw Gleichungen

mit Tensoren widmen stellt sich die Summenkonvention als äußerst

hilfreich heraus, um die Übersichtlichkeit zu bewahren.

Nun aber zurück zumMetrik-Tensor. Mit der Einstein’schen Summenkon-

vention im Hinterkopf ergibt die Gleichung (2.12) im Allgemeinen folgendes:

ds2 = gµνdxµdxν (2.15)

ds2 = gµνdxµdxν = g11(dx

1)2 + · · ·+ gnn(dxn)2 (2.16)

Denken wir uns zurück in den Euklidischen Raum, so gilt für gµν Glei-

chung 2.13. Setzten wir das in die obige Gleichung ein, erhalten wir die be-

kannte Abstandsformel für den euklidischen Raum.

ds2 = g11dx2 + g22dy

2 + g33dz2

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (2.17)

ds =�

dx2 + dy2 + dz2 (2.18)

Dieser ist also ein metrischer Raum, was bedeutet, dass auf ihm zusätzlich

zur Topologie eine Abstandsfunktion (oder eben Metrik) definiert ist.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 27

2.3.5 Mannigfaltigkeiten

In den vorangegangenen Kapiteln wurde der bekannte n-dimensionale Eukli-

dische Raum (Rn) des öfteren als Veranschaulichungsobjekt gewählt. Jedoch

lassen sich nicht alle Objekte so einfach mit dem Rn vergleichen. Betrach-

ten wir beispielsweise eine Kugeloberfläche. Sie ist das einfachste Beispiel für

eine gekrümmte Fläche. Um sie nun auf einam Blatt Papier darstellen zu

können müsste man die Fläche an einer Stelle “aufschneiden” und anschlie-

ßend aufbreiten. Dabei passieren aber unweigerlich Verzerrungen von Längen

und Winkeln.

Die Erdoberfläche ist annähernd eine Kugeloberfläche. Um sie in Atlan-

ten dennoch auf einer ungekrümmten Ebene darstellen zu können, zerteilen

wir sie in einzelne Karten. Die Karten untereinander haben bestimmte Über-

lappungsbereiche, und ergeben zusammen wieder die gesamte gekrümmte

Fläche.

Eine Sammlung solcher Karten heißt in der Mathematik, so wie auch in

der Geographie, Atlas.

Betrachtet man anstatt einer gesamten gekrümmten Fläche nur Teilge-

biete davon (eben diese Karten), hat man den Vorteil, dass die Fläche lokal

annähernd ungekrümmt ist, und ohne großen Fehler in den R2 übertragen

werden kann.

In weiterer Folge bezeichnen wir gekrümmte Flächen bzw auch höher

dimensionale gekrümmte Räume als Mannigfaltigkeiten. Diese müssen nicht

zwangsläufig in einen höher dimensionalen Raum eingebettet sein, um deren

Eigenschaften bestimmen zu können, was wir in den folgenden Kapitel zeigen

werden.

2.4 Das lokal ebene System

Wie im vorigen Kapitel erwähnt verwendet man auf gekrümmten Mannig-

faltigkeiten die Eigenschaft, dass diese sich auf einem sehr kleinen Bereich

ohne großen Fehler auf einen ungekrümmten Raum abbilden lässt. Diese lo-

kal flachen Räume (vgl. Begriff Karte) besitzen im Falle der Raumzeit der

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 28

allgemeinen Relativitätstheorie eine wohldefinierte Metrik ηαβ. Sobald wir es

lokal mit einem flachen Raum zu tun haben, können wir dort die spezielle

Relativitätstheorie anwenden. Durch Transformationen ist man also in der

Lage für kleine Bereiche der Raumzeit deren Krümmung weg zu rechnen.

2.4.1 Die Minkowski-Metrik

Die Metrik der lokal ebenen 4-dimensionalen Raumzeit ist die Minkowski

Metrik, also genau jene, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet

wird:

ηαβ =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(2.19)

Die Signatur der Minkowski Metrik

Die Signatur einer Metrik beschreibt die Summe der Vorzeichen der Werte,

die in ihrer Diagonalen eingeschrieben sind. Im Falle der Minkowski Metrik

is diese also geich

1− 1− 1− 1 = −2 (2.20)

Der metrische Koeffizient der Zeitkoordinate (η00) hebt sich durch sein Vor-

zeichen von den drei übrigen Koeffizienten der Raumkoordinaten ab. Ein

Raum der durch diese Metrik gekennzeichnet ist, wird lokal als Inertialsys-

tem bezeichnet.

Die Koordinaten des Minkowsiki Raums sollen sich von allgemeinen Ko-

ordinaten eines beliebig gekrümmten Raumes abheben und werden deshalb

mit dem griechischen Buchstaben ξ bezeichnet.

Der Raumzeit Abstand des Minkowski-Raums ist demnach durch

ds2 = ηαβdξαdξβ = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (2.21)

gegeben.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 29

2.5 Tensoren

Tensoren sind mathematische Objekte, die auf n-dimensionalen Mannigfaltig-

keiten durch ihr Transformationsverhalten festgelegt sind. Eine anschauliche

Darstellung, wie beispielsweise bei Vektoren, welche als Pfeile gedeutet wer-

den können, ist bei Tensoren nicht mehr möglich. Lediglich Tensoren 2.Stufe

können noch in Matrizenform dargestellt werden. Tensoren 3.Stufe könnten

höchstens mit einer 3 dimensionalen quaderfömigen Tabelle asoziiert werden.

Eigenes Vorstellungsmodell für Tensoren

Für mich persönlich hat sich das Vorstellungsmodell bewährt, ein Tensor

4.Stufe wäre in einem 4-dimensionalen Raum eine Ansammlung von vier

dreidimensionalen würfelförmigen Tabellen. Betrachten wir als Beispiel den

später in dieser Arbeit auftauchenden Krümmungstensor Rκλµν . Mit einem

der Indizes, sagen wir κ assoziieren wir die Nummer des Würfels. Die restli-

chen drei Indizes bezeichnen dann die x−, y− und z−Koordinate in diesem

Würfel.

Nun aber zurück zu den relevanteren Eigenschaften von Tensoren. Ihre

Besonderheit ist das spezielle Transformationsverhalten ihrer Komponenten.

Trotz ihrer Komplexität finden Tensoren in der theoretischen Physik eine

Vielzahl von Anwendungsbereichen. So auch in Einsteins allgemeiner Re-

lativitätstheorie. Sobald man sich mit den Konstrukten angefreundet hat,

erkennt man schnell deren sinnvolle Anwendungen. Gleichungssysteme kön-

nen ganz einfach in einer einzelnen Gleichung zusammengefasst werden und

in Verbindung mit Einsteins Summenkonvention fallen sogar die Summen-

zeichen weg.

Eine Gravitationstheorie, wie es die allgemeine Relativitätstheorie ist,

verlangt nach einer einheitlichen, koordinatenunabhängigen Form ihrer Glei-

chungen. Genau diese Anforderungen sind der Grund, weshalb die allgemeine

Relativitätstheorie eine tensoriell formulierte Theorie ist.

Bei Wechsel des Koordinatensystems transformiert sich jede Komponente

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 30

eines Tensors wie ein Vektor:

T �µ1...µm

ν1...νn=

∂x�µ1

∂xα1

· · ·∂x�µm

xαm

∂xβ1

∂x�ν1· · ·

∂xβn

∂x�νnT α1...αm

β1...βn(2.22)

Wie wir bereits wissen bezeichnet man die hochgestellten Indizes als kon-

travariant, die tiefgestellten als kovariant (vgl. Kapitel 2.3). T � bezeichnet

hierbei den in ein anderes Koordinatensystem transformierten Tensor T ..

Das allgemeine Transformationsgesetz für Tensoren (siehe Gleichung 2.22)

liefert für spezielle Tensoren

T �µν =∂x�µ

∂xα

∂x�ν

∂xβT αβ, T �

µν =∂xα

∂x�µ

∂xβ

∂x�νTαβ, T �µ

ν =∂x�µ

∂xα

∂xβ

∂x�νT α

β,

2.5.1 Tensoralgebra

Betrachten wir die wichtigsten Rechenregeln für Tensoren.

Satz 2.5.1 Für a, b skalar und gleicher Stufe der Tensoren A...... und B...

... gilt:

aAµ1...µm

ν1...νn+ bBµ1...µm

ν1...νn= T µ1...µm

ν1...νn(2.23)

Das bedeutet, bilden wir die Summe oder die Differenz zwischen zwei Tenso-

ren (oder Vielfachen derer) der gleichen Stufe, erhalten wir wiederum einen

Tensor dieser Stufe.

Auch das Produkt zweier Tensoren A...... der Stufe k und B...

... der Stufe l,

die nicht notwendigerweise die selbe Stufe haben, ergibt einen Tensor T ...... der

Stufe k + l.

Satz 2.5.2 T µ1...µmρ1...ρmν1...νn σ1...σm

= Aµ1...µmν1...νn

· Bρ1...ρmσ1...σn

Noch eine weitere Methode steht uns beim Rechnen mit Tensoren zur

Verfügung, die sogenannte Verjüngung oder Kontraktion. Damit ist nichts

anderes gemeint, als die Reduzierung seiner Stufe. Setzt man einen kontrava-

rianten (oberen) und einen kovarianten (unteren) Index gleich, und summiert

gemäß der Einstein’schen Summenkonvention, so erhält man wiederum einen

Tensor, der als Verjüngung des ursprünglichen Tensors bezeichnet wird.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 31

Satz 2.5.3 T µν = Aµνρρ ist eine Verjüngung des Tensors Aµνρ

σ

Oben genannter Satz gilt, da:

A�µνρσ =

∂x�µ

∂xα

∂x�ν

∂xβ

∂x�ρ

∂xγ

∂xδ

∂x�σA

αβγδ (2.24)

Daraus folgt:

T �µν =∂x�µ

∂xα

∂x�ν

∂xβ

∂x�ρ

∂xγ

∂xδ

∂x�ρA

αβγδ =

∂x�µ

∂xα

∂x�ν

∂xβδδγA

αβγδ =

∂x�µ

∂xα

∂x�ν

∂xβT αβ (2.25)

und T αβ gemäß des Transformationsgesetzes für Tensoren verhält.

Es ist nun zum ersten mal das Kronecker-Symbol δδγ aufgetaucht. Hierbei

handelt es sich um eine 2-fach indizierte Größe, deren Definition wie folgt

aussieht:

δik =

�1 falls i = j

0 falls i �= j(2.26)

Anhand dieser Definition erkennt man schnell, dass es beim Kronecker-

Delta offenbar gleichgültig ist, welche Reihenfolge man für die Notation der

Indizes wählt. Es gilt sicher: δik = δki. Ist dies für einen Tensor der Fall

spricht man von einem symmetrischen Tensor.

2.5.2 Symmetrien von Tensoren

Sobald bei einem Tensor die Reihenfolge bestimmter, oder gar aller Indizes

gleichgültig ist, spricht man von sogenannten Symmetrien.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 32

Zur besseren Veranschaulichung seien einige Beispiele genannt:

Tik = Tki . . . symmetrisch bezüglich der unteren Indizes

Tik = −Tki . . . antisymmetrisch bezüglich der unteren Indizes

T ijk = T i

kj . . . symmetrisch bezüglich der unteren Indizes

T ijk = −T i

kj . . . antisymmetrisch bezüglich der unteren Indizes

Tijkl = T

jikl . . . symmetrisch bezüglich der oberen Indizes

Tijkl = T

jilk . . . symmetrisch bezüglich der oberen und unteren Indizes

. . .

2.5.3 Bedeutung von Symmetrien

• Verschwindet ein Tensor T µν in einem Koordinatensystem, verschwin-

det er auch in allen anderen.

Dieser Satz folgt aus dem allgemeinen Transformationsgesetz für Ten-

soren (siehe Gleichung 2.22).

• Erhaltung von Symmetrien: Ein Tensor A mit einer bestimmten Sym-

metrie in einem Koordinatensystem Aµνλ = A

νµλ behält diese auch in

allen anderen Koordinatensystemen.

Beweisen lässt sich diese Tatsache sehr einfach über den Effekt, dass

ein Tensor, sofern er in einem Koordinatensystem verschwindet, dies

auch in allen anderen tut.

2.5.4 Spezielle Tensoren

In (siehe Gleichung 2.26) haben wir das Kronecker-Symbol δµν erstmals er-

wähnt und definiert. δµν bildet das sogenannte Einheitssymbol. Es ist in allen

Koordinatensystemen von der selben Form.

Ein weiterer besonderer Tensor ist der Metrik Tensor gµν

Definition 2.5.1

gµν = ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂ξβ

∂xν(2.27)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 33

Dabei handelt es sich bei ηαβ, gemäß Kapitel 2.4, um die Minkowski Metrik.

ξα bezeichnen wie gewohnt lokal ebene Koordinaten.

Zu diesem existiert ein zweiter (inverser) Tensor mit der folgenden Eigen-

schaft:

gλµgµν = δλν (2.28)

mit

gλµ =∂xλ

∂ξα

∂xµ

∂ξβηαβ (2.29)

Es bleibt noch zu zeigen, dass auch gλµ ein Tensor ist:

g�λµ =∂x�λ

∂ξα

∂x�µ

∂ξβηαβ =

∂x�λ

∂xρ

∂x�µ

∂xσ

∂xρ

∂ξα

∂xσ

∂ξβηαβ =

∂x�λ

∂xρ

∂x�µ

∂xσgρσ (2.30)

Wodurch gµν sich wie ein Tensor verhält.

2.5.5 Eigenschaften des metrischen Tensors

Es gibt in der allgemeinen Relativitätstheorie, gleich wie schon in der spezi-

ellen, drei Arten von Raum-Zeit Abständen

ds2 = gµνdxµdxν

< 0 . . . raumartig

= 0 . . . lichtartig

> 0 . . . zeitartig

(2.31)

Was bedeuten nun diese drei Begriffe?

Raumartig: Zwei Ereignisse deren Weltlinie raumartig ist, können keinen

kausalen Zusammenhang besitzen, da Information nicht schnell genug

von einem Ereignis zum anderen übertragen werden könnte, da dies

mit über Lichtgeschwindigkeit geschehen müsste. Sie können sich also

nicht gegenseitig beeinflussen.

Lichtartig: Lichtartige Weltlinien werden ausschließlich von Photonen be-

schrieben.

Zeitartig: Zeitartig bezeichnet man alle Weltlinien von Körpern, die sich in

der Raumzeit bewegen. Eine Weltlinie ist hierbei einfach eine Verbin-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 34

dung zwischen allen Ereignissen die dieser Körper im Laufe der Zeit

durchläuft. Ist die Weltlinie zwischen zwei Ereignissen zeitartig bedeu-

tet dies, dass diese beiden Ereignisse von einander abhängig sein kön-

nen, dass Information vom einen Ereignis zum anderen transportiert

werden kann, bevor das Ereignis eintritt.

Geometrisch besser vorstellen kann man sich diese Begriffe in Zusammenhang

mit dem Lichtkegel:

Die Seitenfläche des Keges wird durch lichtartige Weltlinien beschrieben.

befindet sich ein Ereignis P im Zentrum dieses Kegels, so können lediglich

Ereignisse die sich in dessen Zukunfts- oder Vergangenheitskegel befinden

Einfluss auf dieses Ereignis haben. Die Weltlinien innerhalb dieser beiden

Kegel werden als zeitartig, jene außerhalb der Kegel als raumartig bezeichnet.

2.5.6 Verschieben der Indizes

Während unseren bisherigen Begegnungen mit Tensoren tauchten immer wie-

der hoch- und tiefgestellte Indizes auf. Dieses Kapitel behandelt den Zu-

sammenhang zwischen den Komponenten mit hochgestellten und denen mit

tiefgestellten Indizes.

Multipliziert man einen bestimmten Vektor V µ = gµνUν mit gλµ so erhält

man wieder den Ausgangsvektor Uν

gλµVµ = gλµg

µνUν = δλνUν = Uλ

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 35

Aufgrund dieses Zusammenhangs werden V µ und Uµ als kontra- bzw ko-

variante Form desselben Vektors U aufgefasst. Man spricht vom Heben und

Senken der Indizes, wenn man die kontravariante Komponente eines Vektors

in dessen kovariante wandelt.

Vµ = gµνVν , V µ = gµνVν (2.32)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann nun wie folgt definiert werden:

UµVµ = gµνU

µV ν = gµνUµVν = UµVν (2.33)

Analog funktioniert das Herab- oder Heraufziehen von Indizes höherstu-

figer Tensoren. Gehen wir von einem (von uns) definierten Tensors Aµν aus.

Man kann mithilfe des metrischen Tensors rasch die zu Aµν gehörigen Ten-

soren

Aµν = Aµρg

ρν , Aµν = gµρAρν , Aµν = Aµ

λgλν = gµλAλ

ν = gµλAλρgρν

(2.34)

definieren.

Durch das Hinunterziehen der Indizes können wir von Aµν wieder auf Aαβ

kommen:

gαµgβνAµν = gαµg

µλgβνgρνAλρ = δα

λδβρAλρ = Aαβ (2.35)

Da wir nicht von vorn herein annehmen können, dass ein Tensor symme-

trisch sei, müssen wir bei den Indizes stets auf deren Reihenfolge achten. Im

Allgemeinen ist Aµν �= Aν

µ! Darum dürfen wir die Indizes auch nur dann

übereinander schreiben, wenn der Tensor symmetrisch ist.

2.6 Christoffelsymbole

Die Christoffelsymbole Γλµν setzen sich aus Ableitungen des metrischen Ten-

sors gµν zusammen und sind dadurch jene Größen, die die Änderung der

Metrik zwischen verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit beschreiben.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 36

Sie werden daher auch als affine Zusammenhänge bezeichnet.

Definition 2.6.1

Γλµν =

∂xλ

∂ξα

∂2ξα

∂xµ∂xν(2.36)

mit ξα als Koordinaten eines lokal flachen Koordinatensystems (vgl. Kapitel

2.4)

Sehen wir uns die Definition 2.6.1 im Vergleich mit der Definition der gµν an,

erkennen wir eine gewisse Ähnlichkeit.

gµν = ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂ξβ

∂xνΓλ

µν =∂xκ

∂ξα

∂2ξα

∂xµ∂xν

Dies erlaubt uns die Christoffelsymbole mithilfe erster Ableitungen des

metrischen Tensors zu berechnen.

Folgende Summe aus Ableitungen führt zum Ziel:

∂gµν

∂xλ+

∂gλν

∂xµ−

∂gµλ

∂xν=

ηαβ

∂2ξα

∂xµ∂xλ

∂ξβ

∂xν+ ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂2ξβ

∂xν∂xλ+ ηαβ

∂2ξα

∂xλ∂xµ

∂ξβ

∂xν+

ηαβ

∂ξα

∂xλ

∂2ξβ

∂xν∂xµ− ηαβ

∂2ξα

∂xµ∂xν

∂ξβ

∂xλ− ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂2ξβ

∂xλ∂xν=

2ηαβ

∂2ξα

∂xµ∂xλ

∂ξβ

∂xν(2.37)

Aufgrund der Vertauschbarkeit von α und β fallen 4 der zwei Summanden

weg, da sie sich gegenseitig aufheben. Aus der Definition der Christoffelsym-

bole, sowie der des metrischen Tensors folgt:

gµνΓνκλ = ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂ξβ

∂xν

∂xν

∂ξγ

� �� �δβγ

∂2ξγ

∂xκ∂xλ= ηαβ

∂ξα

∂xµ

∂2ξβ

∂xκ∂xλ(2.38)

nach Gleichung 2.37 ist dies weiter gleich

gµνΓνκλ =

1

2

�∂gκµ

∂xλ+

∂gλµ

∂xκ−

∂gκλ

∂xµ

(2.39)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 37

In Kapitel 2.5.4 wurde der zum metrischen Tensor gµν inverse Tensor gµν ein-

geführt. Damit wir nun das Christoffelsymbol Γνκλ alleinstehend beschreiben

können multiplizieren wir Gleichung 2.39 mit gκµ.

gρµgµνΓνκλ = δρ

νΓνκλ =

gρµ

2

�∂gκµ

∂xλ+

∂gλµ

∂xκ−

∂gκλ

∂xµ

(2.40)

↔ Γρκλ =

gρµ

2

�∂gκµ

∂xλ+

∂gλµ

∂xκ−

∂gκλ

∂xµ

(2.41)

Aufgrund der Symmetrie des metrischen Tensors muss auch zwangsläufig

sein inverser Tensor symmetrisch bezüglich der beiden Indizes sein, womit

die Christoffelsymbole symmetrisch in den beiden tiefgestellten Indizes sind.

2.6.1 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole

Es stellt sich nun die Frage, ob Christoffelsymbole Tensoren sind. Untersu-

chen wir dazu ihr Tansformationsverhalten:

Γ�νκλ =

∂x�ν

∂ξφ

∂2ξφ

∂x�κ∂x�λ=

∂x�ν

∂xα

∂xα

∂ξφ

∂x�κ

�∂ξφ

∂xγ

∂xγ

∂x�λ

=∂x�ν

∂xα

∂xα

∂ξφ

�∂2ξφ

∂xβ∂xα

∂xβ

∂x�κ

∂xγ

x�λ+

∂2xγ

∂x�κ∂x�λ

∂ξφ

∂xγ

=∂x�ν

∂xα

∂xβ

∂x�κ

∂xγ

∂x�λΓα

βγ+

∂x�ν

∂xα

∂2xα

∂x�κ∂x�λ(2.42)

Betrachten wir den zweiten Summanden in Gleichung 2.42 sehen wir, dass

sich Christoffelsymbole nicht wie Tensoren transformieren, sie sind also kei-

ne Tensoren. Das ist auch der Grund, weshalb sie Symbole heißen. Da die

Schreibweise Γκλµ die Christoffelsymbole wie Tensoren wirken lässt, ist es

ebenso gebräuchlich eine andere Schreibweise für sie zu verwenden.

Γκλµ = {κ

λµ} (2.43)

Die Schreibweise mit den geschwungenen Klammern hebt die Christoffelsym-

bole zwar deutlicher von Tensoren ab, in den folgenden Kapiteln dieser Arbeit

wird jedoch ausschließlich die Γ-Notation verwendet. Wir behalten uns aber

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 38

im Hinterkopf, dass sie sich nicht wie Tensoren transformieren.

2.7 Kovariante Ableitung

In der Tensoranalysis stößt man beim Ableiten von Vektoren bzw. Tensoren

auf folgendes Problem:

Gegeben sei der Tensor Tµ. Leitet man diesen nun in Richtung einer

Koordinate ab, erhält man

∂Tµ

∂xν=

∂xν

�∂x�α

∂xµT �

α

=∂2x�α

∂xµ∂xνT �

α +∂x�α

∂xµ

∂x�β

∂xν

∂T �

α

∂x�β(2.44)

Der Summand mit ∂2x�α bewirkt, dass sich die erhaltenen Ableitung nicht

mehr wie ein Tensor transformiert, also kein Tensor ist. Um beim Ableiten

eines Tensors aber wieder eine tensorielle Größe zu erhalten, führen wir die

sogenannte kovariante Ableitung ein. Für ungekrümmte Räume, also flache

Metriken reduziert sich diese auf die gewöhnliche partielle Ableitung, im Falle

eines gekrümmten Raums aber weicht sie insofern von dieser ab, als dass sie

eine tensorielle Größe liefert.

Zunächst führen wir eine neue Schreibweise für partielle Ableitungen -

bzw in weiterer Folge auch kovarianter Ableitungen - ein.

Definition 2.7.1 Die partiel le Ableitung eines Tensors T µ1...µmν1...νn

nach einer

Koordinate xα wird ab nun kurz mit T µ1...µmν1...νn ,α bezeichnet.

Definition 2.7.2 Die kovariante Ableitung eines Tensors T µ1...µmν1...νn

nach ei-

ner Koordinate xα wird ab nun mit T µ1...µmν1...νn ;α abgekürzt.

Wir fordern nun für flache Metriken

T µ1...µm

ν1...νn ;α = T µ1...µm

ν1...νn ,α

In Verbindung mit der Forderung, dass sich die kovariante Ableitung eines

Tensors wieder wie ein Tensor transformiert, berechnen wir nun die kovari-

ante Ableitung eines kovarianten Vektors Aµ.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 39

Seine Komponenten in einem lokal ebenen System S �|ξµ werden mit A�

µ,

jene in einem allgemeinen Koordinatensystem S|xµ mit Aµ bezeichnet. In S �

gilt:

A�

α;β = A�

α, β =∂A�

α

∂ξβ

=⇒

Aµ; ν =∂ξα

∂xµ

∂ξβ

∂xν

∂A�

α

∂ξβ=

∂ξα

∂xµ

∂A�

α

∂xν=

∂ξα

∂xµ

∂xν

�∂xλ

∂ξαAλ

=∂ξα

∂xµ

∂xλ

∂ξα

∂Aλ

∂xν+ Aλ

∂ξα

∂xµ

∂xν

�∂xλ

∂ξα

=∂xλ

∂xµ

∂Aλ

∂xν+ Aλ

�∂

∂xν

�∂ξα

∂xµ

∂xλ

∂ξα

−∂xλ

∂ξα

∂2ξα

∂xµ∂xν

(2.45)

Aus der Definition des Kronecker-Deltas (siehe Gleichung 2.26) folgt für

die kovariante Ableitung

Aµ; ν = Aµ, ν − ΓλµνAλ (2.46)

Für kontravariante Vektoren folgt analog

Aµ;ν = Aµ

,ν + ΓµνλA

λ (2.47)

Für Tensoren zweiter Stufe wird die kovariante Ableitung wie folgt berechnet:

Tµν;λ = Tµν, λ − ΓρµλTρν − Γρ

νλTµρ

T µν;λ = T µν

,λ + ΓµλρT

ρν + ΓνλρT

µρ (2.48)

T µν;λ = T µ

ν,λ + ΓµλρT

ρν − Γρ

νλTµ

ρ

2.7.1 Rechenregeln für kovariante Ableitung

• Die kovariante Ableitung einer Summe bzw Differenz von Tensoren ist

gleich der Summe bzw Differenz der kovarianten Ableitungen, wenn a

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 40

und b skalar sind.

�aAµ1...µm

ν1...νn± bBµ1...µm

ν1...νn± . . .

�;α= aAµ1...µm

ν1...νn;α± bBµ1...µm

ν1...νn;α± . . . (2.49)

• Für die kovariante Ableitungen von Produkten gilt die Produktregel

�Aµ1...µm

ν1...νn· Bµ1...µm

ν1...νn

�;α= Aµ1...µm

ν1...νn;αBµ1...µm

ν1...νn+ Aµ1...µm

ν1...νnBµ1...µm

ν1...νn;α(2.50)

• Die kovariante Ableitung einer Tensor-Verjüngung ist gleich der Ver-

jüngung der kovarianten Ableitung

�A

µ1...β...µm

ν1...β...νn

;α= A

µ1...β...µm

ν1...β...νn;α(2.51)

• Die kovariante Ableitung einer skalaren Funktion muss der gewöhnli-

chen entsprechen, da diese schon einen Vektor ergibt.

a;α = a,α (2.52)

• Die kovariante Ableitung des metrischen Tensors ergibt 0.

gµν;α = 0

gµν;α = 0 (2.53)

• Aus der Produktregel und der vorangegangenen Regel (Gleichung 2.53)

folgt für Vektoren:

Vµ;α = gµνVν;α

V µ;α = gµνVν;α (2.54)

2.8 Paralleltransport

Der zusätzliche Term, der in der kovarianten Ableitung auftaucht, kann geo-

metrisch als Parallelverschiebung gedeutet werden. Leitet man eine Kompo-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 42

hängt) wird die Differenz bei vertauschter Reihenfolge betrachtet:

V κ;µ;ν − V κ

;ν;µ = RκλµνV

λ (2.56)

mit Gleichung 2.55

Beweis:

V κ;µ;ν =

�V κ;µ

�;ν= V κ

;µ,ν + ΓκνρV

ρ;µ − Γρ

µνVκ;ρ

=�V κ

,µ + ΓκµλV

λ�,ν+ Γκ

νρ

�V κ

,µ + ΓρµλV

λ�− Γρ

µν

�V κ

,ρ + ΓκρλV

λ�

= V κ,µ,ν + Γκ

µλ,νVλ + Γκ

µλVλ,ν + Γκ

νρVρ,µ + Γκ

νρΓρµλV

λ − ΓρµνV

κ,ρ

−ΓρµνΓ

κρλV

λ

analog:

V κ;ν;µ = V κ

,ν,ν + Γκνλ,µV

λ + ΓκνλV

λ,µ + Γκ

µρVρ,ν + Γκ

µρΓρνλV

λ − ΓρνµV

κ,ρ

−ΓρνµΓ

κρλV

λ

Hierbei wird die Definition der kovarianten Ableitung (Gleichung 2.47)

verwendet. Die Notation und der Beweis dieses Sachverhalts wurde aus 4

entnommen. Die Differenz dieser beiden Ausdrücke liefert genau Gleichung

2.56 unter Berücksichtigung von Gleichung 2.55.

Der Riemann-Tensor Rκλµν verschwindet genau dann, wenn die Metrik

gleich der Minkowski Metrik wird, der Raum also ungekrümmt ist. Denn

in diesem Fall (gµν = ηµν) verschwinden klarerweise auch die Christoffel-

symbole und somit der gesamte Riemann’sche Krümmungstensor. Nun ist

es nicht mehr erforderlich, zu versuchen, die metrischen Koeffizienten in ein

kartesisches Koordinantensystem zu transformieren, der Riemanntensor ist

koordinatenunabhängig. Somit kann auch die Betrachtung der Raumkrüm-

mung frei von Koordinaten durchgeführt werden.

2.9.1 Eigenschaften des Riemann-Tensors

Der Riemann-Tensor ist ein Tensor 4.Stufe, hat somit 44 = 256 Komponen-

ten. Es stellt sich jedoch heraus, dass lediglich maximal 20 dieser für die

4[Vgl. 6, S. 957]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 43

Struktur der Raumzeit von Bedeutung sind. Es müssen somit bestimmte

Symmetrieverhältnisse zwischen verschiedenen Komponenten bestehen. Da

der Riemann’sche Krümmungstensor lediglich aus einer Kombination von

Christoffelsymbolen besteht, welche wiederum nur von der Metrik abhängig

sind, ist es auch möglich den Riemann-Tensor durch Koeffizienten der Metrik

auszudrücken

Rκλµν =1

2(gκµ,λ,ν + gλν,κ,µ − gλµ,κ,ν − gκν,λ,µ) + gρσ

�Γρ

κµΓσλν − Γρ

κνΓσλµ

(2.57)

Aufgrund der Symmetriebedingungen des metrischen Tensors lassen sich

folgende Symmetrien ablesen:

Rκλµν = Rµνκλ (2.58)

Rκλµν = −Rλκµν = −Rκλνµ = Rλκνµ (2.59)

Rκλµν + Rκµνλ +Rκνλµ = 0 (2.60)

Desweiteren erfüllt der Riemann-Tensor folgende Gleichung von kovari-

anten Ableitungen:

Rκλµν;ρ +Rκλνρ;µ +Rκλρµ;ν = Rκλµν;ρ −Rκλρν;µ −Rκλµρ;ν = 0 (2.61)

Diese Gleichungen werden als Bianchi-Identitäten bezeichnet.

2.9.2 Ricci-Tensor

Abgesehen vom Riemann-Tensor selbst spielt auch dessen Kontraktion, der

Ricci-Tensor, eine wesentliche Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Es gilt:

Rλν = Rµλµν = gκµRκλµν (2.62)

Die Verjüngung

Rκκµν = 0

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 44

hingegen verschwindet aufgrund der Antisymmetrie

Rκλµν = −Rλκµν

Der Ricci-Tensor Rµν ist symmetrisch, was sofort aus der Kombination

seiner Definition und der des Riemann’schen Krümmungstensors folgt.

Rµν = Rνµ (2.63)

Ricci-Skalar

Auch die Verjüngung des Ricci-Tensors Rµν findet in der Relativitätstheorie

als Krümmungsskalar R Anwendung.

R = Rµµ = gµνRµν (2.64)

Diese beiden Kontraktionen des Riemann-Tensors gehen in weiterer Folge

in die Einstein’schen Feldgleichungen in Form des Einstein-Tensors ein.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 45

Kapitel 3

Physikalische Aspekte

Nachdem wir uns nun mit differentialgeometrischen Inhalten fürs Erste aus-

reichend beschäftigt haben, werfen wir in diesem Abschnitt einen Blick auf die

physikalischen Aspekte der allgemeinen Relativitätstheorie. Folgende The-

men beruhen großteils auf den bisher behandelten mathematischen Metho-

den, lediglich die Lösungsverfahren von Differentialgeichungen wurden nicht

besprochen.

3.1 Prinzipien der ART

Im Wesentlichen lagen 5 Prinzipien Albert Einsteins Arbeit zur allgemeinen

Relativitätstheorie zugrunde. Dieses Kapitel soll einen kurzen Überblick je-

ner Prinzipien wiedergeben. Die ersten drei sind Forderungen, die allgemein

an jedes Modell, jede Theorie gestellt werden. Das Machsche- und das Ko-

varianzprinzip hingegen sind die zentralen Überlegungen die der allgemeinen

Relativitätstheorie zu Grunde liegen.

3.1.1 Korrespondenzprinzip

Das Korrespondenzprinzip Albert Einsteins verlangt, dass erfolgreiche Theo-

rien mit einer neuen, sie ersetzenden Theorie, verträglich sind. Bekannte Er-

gebnisse müssen somit als Grenzfälle enthalten sein. Wie schon in der speziel-

len Relativitätstheorie, die als Grenzfall für im Vergleich zur Lichtgeschwin-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 46

digkeit kleinen Geschwindigkeiten, die Newton’sche Mechanik enthält, sollte

auch eine neue Theorie der Gravitation die bisher als gültig erachteten Theo-

rien implizieren. So enthält die ART die SRT im Grenzfall sehr schwacher

Gravitationsfelder. Für geringe Geschwindigkeiten und zusätzlich schwache

Gravitationsfelder enthält sie sogar die Newton’sche Mechanik.

3.1.2 Kovarianzprizip

Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge ist es stets nötig, Bewegungen

bezüglich eines festgelegten Koordinatensystems zu betrachten. Welche Art

von Koordinaten man wählt, wird davon abhängen, welche Art von Vorgang

zu beschreiben gewünscht wird.

Die Bewegung eines Pendels wird sinnvollerweise in Polarkoordinaten ana-

lysiert werden, was die Betrachtung sehr vereinfacht, wenn man den Mittel-

punkt in den Punkt legt, an dem das Pendel aufgehängt ist. Die Radius-

Komponente bleibt konstant, es wird sich nur die Winkel-Koordinate verä-

dern. Es wäre natürlich vollig legitim ein gewöhnliches kartesisches Koordi-

natensystem zu Hilfe zu nehmen, allerdings würden sich dann beide Koordi-

naten verändern, was die Situation lediglich rechnerisch erschweren würde.

Physikalische Gesetze dürfen allerdings nicht abhängig vom gewählten

Koordinatensystem sein. Einstein stellte an die Gleichungen seiner allgemei-

nen Relativitätstheorie die Koordinatenunabhängigkeit als Anforderung. Im

Laufe seiner Arbeit stellte sich heraus, dass die im ersten Teil der Arbeit

besprochenen Tensoren genau diesem Anspruch gerecht werden, und eine ko-

ordinatenunabhängige Form der Gleichungen zulassen. Denn wie wir bereits

wissen folgt aus dem Transformationsgesetz der Tensoren (siehe Gleichung

2.22), dass zwei Tensoren in allen Koordinatensystemen übereinstimmen,

wenn sie dies in einem tun.

3.1.3 Prinzip minimaler gravitativer Kopplung

Das Prinzip minimaler gravitativer Kopplung ist im Wesentlichen ein Prizip

der Einfachheit, welches im Allgemeinen jeder Physiker und/oder Mathema-

tiker von selbst verfolgten. Eine Theorie oder ein Modell wird zunächst unter

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 47

vereinfachten Bedingungen betrachtet und entwickelt. Erst langsam werden

komplexere Vorgänge in Betracht gezogen, mehr und mehr Wechselwirkun-

gen werden betrachtet. Eine Problemstellung wird Schritt für Schritt der

Realität angenähert, mehr und mehr Komponeten werden in einen logischen

Zusammenhang gebracht. Vollständig gelöst ist sie, sobald es möglich ist, mit

der erarbeiteten Theorie die erfassten Ereignisse vollständig zu beschreiben.

Im Bezug auf die Allgemeine Relativitätstheorie achtete Einstein beim

Übergang von der speziellen zur allgemeinen darauf, die zusätzlichen Terme

nicht unnötig zu verkomplizieren. Genauer gesagt äußert sich diese Theorie,

indem einfache partielle Ableitungen oftmals lediglich durch die kovariante

Ableitung ersetzt werden, ohne dass neue Zusatzterme hinzugefügt werden.

Es sollen also so wenig wie möglich neue Ausdrücke auftreten, tätigt man

den Übergang von spezieller zur allgemeinen Relativitätstheorie.

3.1.4 Äquivalenzprinzip

In der Speziellen Relativitätstheorie sind alle gleichförmig zueinander be-

wegten Systeme gleichberechtigt, es gibt also keinen Unterschied zwischen

der Darstellung physikalischer Ereignisse in dem einen oder anderen Bezugs-

system.

Wie sieht es nun aber mit beschleunigten Bezugssystemen aus?

In ihnen verliert die spezielle Relativitätstheorie an Gültigkeit. Einstein

wollte seine Relativitätstheorie allerdings verallgemeinern, sodass sie unab-

hängig vom Bezugssystem ihre Gültigkeit behält. Man unterteilt nun zwi-

schen dem starken und dem schwachen Äquivalenzprinzip folgendermaßen:

Das schwache Äquivalenzprinzip

Das schwache Äquivalenzprinzip besagt nun die Gleichheit von schwerer und

träger Masse.

Betrachten wir zunächst die beiden Gleichungen der Newton’schen Theo-

rie

F = mt · a (3.1)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 48

Fg = ms ·GM

r2(3.2)

Die auf einen Körper wirkende Kraft ist nach Gleichung 3.1 gleich dessen

träger Masse mal der auf ihn wirkenden Beschleunigung. Die Gravitations-

kraft setzte sich aus der schwere Masse und der Gravitationsbeschleunigung

zusammen.

Nachdem zahlreiche Experimente die Äquivalenz dieser beiden Massen

bis auf einen verschwindend kleinen Prozentsatz im Rahmen der Messun-

genauigkeit bestätigen konnten, legte Albert Enstein diese der allgemeinen

Relativitätstheorie zugrunde.

=⇒ ms = mt

Das starke Äquivalensprinzip

Das starke Äquivalenzprinzip besagt dass nicht mehr zwischen einer Gravi-

tations- und einer gewöhnlichen Beschleunigunskraft unterschieden wird. Es

ist somit ein Bezugssystem auf der Erde äquivalent zu jenem in einer Rakete,

die mit der selben Kraft beschleunigt wird, wie Massen sie gravitativ auf der

Erdoberfläche erfahren.

Etwas anders ausgedrückt ist die Situation auch die gleiche, ob man sich

im freien Fall in einer gekrümmten Raumzeit, oder kräftefrei und gleichförmig

bewegt.

3.1.5 Mach’sches Prinzip

Der österreichische Physiker und Philosoph Ernst Mach (1838-1916) be-

schäftigte sich aus philosophischer Motivation mit der Richtigkeit der New-

ton’schen Gesetze und deren Aussagen über Bewegungen. Mach meinte, eine

Bewegung sei ausschließlich relativ zu einem anderen Bezugspunkt definiert.

Über einen Körper, der sich in einem ansonsten leeren Universum befindet

könne man also nie eine Aussage bezüglich dessen Bewegung machen, da

kein Bezugspunkt vorhanden sei. Es benötigt einer Verteilung von Masse in

Form der uns bekannten Fixsterne, und deren Bewegungszustände, um einen

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 49

Bezugspunkt für die Beschreibung von Bewegungen und Trägheitskräften zu

erhalten. Trägheit ist im weitesten Sinn also ein Vorkommnis, das aus der

Wechselwirkung jeglicher Körper im Universum zustande kommt.

Die Axiome des Mach’schen Prinzips lauten demnach:

• Materieverteilungen bestimmen Geometrie.

• Ohne Materie keine Geometrie.

• Ein einzelner Körper im sonst leeren Universum hat keine Trägheits-

und/oder Geschwindigkeitseigenschaften.

Wie wir in weiterer Folge erkennen werden spiegeln sich die Folgerungen

aus dem Mach’schen Prinzip in den Feldgleichungen Einsteins wieder.

3.2 Geodätengleichung

Wie schon in Kapitel 2.1 erwähnt handelt es sich in allgemeinen Räumen

nicht um eine Gerade als kürzeste Verbindung zweier Punkte, sondern eine

sogenanne Geodäte. Es ist wohl unnötig zu erwähnen, dass Geraden Spezi-

alfälle von Geodäten in flachen Räumen sind. Einstein postuliert, dass sich

Teilchen auf die keine Kräfte wirken nicht wie in der Newton’schen Mecha-

nik angenommen auf Geraden bewegen. Ihm zufolge handelt es sich bei der

Bahn eines Teilchens, welches nur der Gravitationskraft unterliegt, um eine

Geodäte.

Wie aber sieht die Gleichung aus, die die kürzeste Verbindung zweier

Punkte in einem Raum (bzw. der Raum-Zeit) definiert? Es ist gebräuch-

lich, Geodäten in Koordinatendarstellung xµ zunächst als allgemeine Kurve

zwischen zwei Punkten zu definieren:

δ

ps�

p1

�±gµν xµ(p)xν(p) dp = 0 δxµ = δxν = 0

Wobei x = ∂x∂t.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 50

Diese Gleichung kann unter Zuhilfenahme des Hamilton’schen Variations-

prinzip gelöst werden, zur Herleitung der Geodätengleichung eignet sich eine

andere Eigenschaft besser:

Eine Geodäte ist darüberhinaus eine Kurve, in der jeder Tangentialvektor

zum parallel (entlang der Kurve) verschobenen Tangentialvektor gleich ist.

Wir definieren die Geodäte als vorerst unbekannte Funktion:

xα = gα(s) s . . .Kurvenparameter (3.3)

Der Tangentialvektor ist somit durch

tα =dxα

ds(3.4)

gegeben. Der parallel verschobene Tangentialvektor ist von der Form

t�α = tα − Γαµνt

µdxν (3.5)

Dieser muss aber lt. Definition gleich dem nächstliegenden Vektor der Kurve

t��α mit

t��α = tα +dtα

dsds (3.6)

sein. setzen wir diese beiden Vektoren nun gleich erhalten wir

tα +dtα

dsds = tα − Γα

µνtµdxν

dtα

dsds = −Γα

µνtµdxν (3.7)

Daraus folgt unter Verwendung von Gleichung 3.4

d�

dxα

ds

ds= −Γα

µν

dxµ

ds

dxν

dsd2xα

ds2+ Γα

µν

dxµ

ds

dxν

ds= 0 (3.8)

die Geodätengleichung.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 51

3.3 Einstein’sche Feldgleichungen

Bei der Aufstellung der Feldgleichungen hielt sich Einstein an das Korrespon-

denz- das Kovarianzprinzip, sowie das Prinzip minimaler gravitativer Kopp-

lung (siehe Kapitel 3.1.1, 3.1.2 bzw. 3.1.3). Die Gleichungen sollten somit

den Newton’schen Grenzfall enthalten, koordinatenunabhängig und mög-

lichst einfach sein.

Einsteins Idee war es, dass durch Gravitationsfelder erzeugte Relativ-

beschleunigungen eine Krümmung der Raumzeit zur Folge haben. Aus der

Tatsache, dass Masse Gravitation erzeugt, schloss er, dass die Raumzeit in

Umgebung massereicher Körper gekrümmt ist.

Die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie sollten Gravita-

tion als eine Raumzeit-Krümmung betrachten, die durch Masse hervorgrufen

wird. Dazu musste die Masseverteilung des Universums mit der Raumzeit-

Geometrie in Zusammenhang gebracht werden. Dazu waren zwei Tensoren

nötig.

3.3.1 Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impulstensor Tµν beschreibt die Materie-, Energie-, und Masse-

verteilung im Universum.

Der Newton’sche Grenzfall liefert uns die Poisson Gleichung1

∆φ(r) = 4πG�(r) (3.9)

Hierbei ist � der Laplace Operator. Für ihn gilt ∆ = ∂2

∂x2

k

. Das Feld φ(r) be-

schreibt die Gravitation bei gegebender Gravitationskonstante G und Mas-

sendichte �(r). Für schwache Gravitationsfelder ergibt sich:

T00 = �c2, g00 ≈ 1 +2φ

c2(3.10)

wobei g00 aus dem nichtrelativistischen Grenzfall der Bewegungsgleichung

und T00 aus Gleichung 3.9 resultieren.

1Poisson Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen 2.Ordnung

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 52

Aufgrund der Erweiterung2 der Kontinuitätsgleichung für den nichtrela-

tivistischen Grenzfall folgt

T ;νµν = 0 (3.11)

Das bedeutet für diesen Fall weiters:

∆g00 =8πG

c4T00 (3.12)

Für den allgemeinen Fall ersetzte Einstein die linke Seite, die aus Ablei-

tungen der Metrik zu bestehen hatte durch den Einstein-Tensor Gµν .

3.3.2 Einstein-Tensor

Der Einsteintensor Gµν sollte aus 1. und 2.Ableitungen der Metrik gµν be-

stehen. Gµν soll linear in der zweiten Ableitung sein. Die Eigenschaften des

Energie-Impuls-Tensors übertragen sich auf den Einstein Tensor, somit gilt

Gµν = Gνµ (3.13)

G;νµν = 0 (3.14)

Der Krümmungstensor Rκλρσ erfüllt durch seine Definition (vgl. Gleichung

2.55) die Forderungen, welche an den Einstein-Tensor gestellt werden. Ein

Problem besteht jedoch, da Rκλρσ 4.Stufe, Gµν lediglich 2.Stufe ist.

Wir haben in Kapitel 2.9 neben Rκλρσ ebenfalls dessen Kotraktionen, den

Ricci Tensor Rµν und R den Krümmungsskalar eingeführt. Rµν erfüllt sämtli-

che an Gµν gestellten Bedingungen, inklusive der symmetrischen Eigenschaft.

Damit ergibt sich der Ansatz

Gµν = xRµν + yRgµν (3.15)

Die Betrachtung der Bianchi Identitäten für Rκλµν liefert:

Rλν;ρ −Rµλρν;µ −Rλν;µ = 0 (3.16)

2Gewöhnliche partielle Ableitung wird durch kovariante Ableitung ersetzt

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 53

Umbenennen der Indizes führt auf:

Rµν;λ −Rρµλν;ρ −Rµλ;ν = 0 (3.17)

Die weitere Kontraktion µ = ν ergibt

R;λ − 2Rρλ;ρ = 0 bzw. R ;ν

µν =R;µ

2(3.18)

Setzen wir dieses Ergebnis in den ursprünglichen Ansatz (Gleichung 3.15)

ein, erhalten wir

G ;νµν = xR ;ν

µν + yg ;νµν R + ygµνR

;ν =�x

2+ y

�R;µ = 0 (3.19)

Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen

1. x = −2y

2. R;µ = 0

Der 2.Fall ist aber auszuschließen, da dann auch T;µ = 0 gelten müsste,

was in der Regel kaum der Fall sein wird. Es bleibt also nur die 1.Lösung

übrig. Damit folgt:

Gµν = x

Rµν −1

2Rgµν

(3.20)

Weitere Betrachtung von Grenzfällen schwacher Krümmung ergeben x =

1 woraus die von Einstein 1915 aufgestellten Feldgleichungen folgen.

Gµν = Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν (3.21)

Da diese Gleichungen auch ein dynamisches Universum zuließen modifi-

zierte Einstein diese, sodass nur noch statische Universen als Lösung gefunden

werden konnten. Er führte die kosmologische Konstante Λ ein.

Gµν + Λgµν =8πG

c4Tµν (3.22)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 54

Später dann, als Edwin Hubble 1929 die Expansion des Universums nach-

wies, revidierte Einstein diese Modifikation und nannte die kosmologische

Konstante seinen größten Fehler.

3.4 Schwarzschildlösung

Mit dem Postulieren der Feldgleichungen war die Arbeit an der Relativitäts-

theorie noch nicht beendet. Es galt nun Lösungen für diese zu finden. Mit

dem Einsteintensor Gµν beschreibt die linke Seite der Gleichung die Geo-

metrie des Universums, die rechte durch den Energie-Impulstensor Tµν die

Beschaffenheit des Raumes im Bezug auf Energie- Masse- und Impulsvertei-

lung. Eine allgemeine Lösung der Feldgleichungen ist bisher noch nicht be-

kannt. Es gelingt lediglich unter bestimmten Annahmen bezüglich der Ener-

gie/Masseverteilung bzw. der Geometrie des Raumes Aussagen über die in

diesem Modell auftretenden Phänomene zu tätigen. Die erste vollständige

Lösung unter Annahme bestimmter Gegebenheiten fand Karl Schwarzschild

kurz nach Einsteins Veröffentlichung seiner Arbeit zur allgemeinen Relativi-

tätstheorie.

Eine Lösung für die Feldgleichungen zu finden bedeutet nichts anderes,

als unter bestimmten Voraussetzungen für die Impuls-/Masseverteilung die

Komponenten des metrischen Tensors zu bestimmen. Um nun zur berühmten

Scharzschildmetrik zu kommen, machen wir zunächst einige Vorannahmen:

1. Als erste Vereinfachung verwenden wir die Vakuum Gleichung mit

Gµν = Rµν −1

2gµνR = 0 (3.23)

2. Die Metrik ist zeitunabhängig, also zu jeder Zeit von gleicher Form.

3. Das betrachtete Universum ist statisch, die Masseverteilung ändert sich

ebenso nicht.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 55

4. Es gilt der Energieerhaltungssatz, Tµν ist also divergenzfrei3. bzw.:

∂xνTµν = 0 (3.24)

5. Wir gehen von einer kugelsymmetrischen Verteilung der Masse aus.

Es gibt also ein Zentrum, um das man jeden beliebigen Punkt drehen

kann, ohne dass die Metrik sich ändert.

Zur expliziten Berechnung ist es vonnöten, sich auf ein möglichst geeig-

netentes Koordinatensystem festzulegen. Natürlich ist nach Einstein jedes

System physikalisch gesehen gleichberechtigt, mathematisch gesehen unter-

scheiden sich verschiedene Koordinatensyteme durch die Komplexität der

durchzuführenden Rechnungen unter den vorhandenen Annahmen.

Die Zeitunabhängigkeit unseres kugelsymmetrischen Systems bedeutet,

dass eine unserer vier Koordinaten, x0, x1, x2, x3, nämlich jene die die Zeit

beschreibt (üblicherweise x0 = ct) die Eigenschaft

∂gµν

∂x0= 0, ∀µ, ν ∈ {0, 1, 2, 3}

besitzt. Desweiteren muss auch g(−t) = g(t) sein, die Metrik also invariant

bei Zeitumkehr, was zur Folge hat, dass die Zeitkoordinate x0 in quadrati-

scher Form vorkommen muss.Das Wegelement ist daher von der Form

ds2 = gooc2dt2 −

3�

i,j=1

gijdxidxj

Weiters existieren aufgrund der Zeitinvarianz keine g0j Terme.

Die Kugelsymmetrie bewirkt nun, dass jede mögliche Drehung um ein

festes Zentrum die Metrik invariant lässt. Um die Schwarzschildlösung nun

explizit anschreiben zu können wählen wir einen Punkt P, bzw. ein Ereignis P

und drehen dieses an verschiedene Orte, um immer weitere Einschränkungen

treffen zu können.

3Die Divergenz lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren und gehört zu-sammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Rotation der Vektoranalysisan, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis [11]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 56

Betrachten wir nun ein Ereignis P , mit konstanter Zeitkoordinate und

konstantem Abstand R vom Zentrum. Es werden nun Polarkoordinaten in P

eingeführt. Da sich die Metrik bei Drehungen um das Zentrum nicht verän-

dert, beschreiben alle Pi mit x0 = const, x1 = const. eine Kugeloberfläche.

Die Metrik auf dieser lässt sich nun beschreiben durch:

dk2 = f(R)2�dΘ2 + sin2 ΘdΦ2

mit 4πf(R) =Kugeloberfläche.

Damit hat die Metrik der von uns betrachteten Raumzeit die Form

ds2 = g00c2dt2 − g11dR

2 − 2g12dRdΘ− 2g13dRdΦ− f(R)2�dΘ2 + sin2 ΘdΦ2

Durch geschickte Wahl für P und gleicher Ausrichtung der verwendeten

Polarkoordinatensysteme auf allen “Kugelschalen“ kann eine weitere Verein-

fachung durchgeführt werden. Die Metrik erhält dadurch die Form

ds2 = g00c2dt2 − g11dR

2 − f(R)2�dΘ2 + sin2 ΘdΦ2

Naheliegenderweise wird nun f(R) durch eine neue Variable r ersetzt.

Somit erhalten wir:

ds2 = g00c2dt2 − g11dr

2 − r2�dΘ2 + sin2 ΘdΦ2

Nun bleiben uns nur mehr die metrischen Koeffizienten zu bestimmen.

Üblicherweise stellt man diese in einer anderen Schreibweise dar (unbestimm-

ter Ansatz), sodass sich

ds2 = eνc2dt2 − eλdr2 − r2�dΘ2 + sin2 ΘdΦ2

�(3.25)

die allgemein statische und kugelsymmetrische Metrik ergibt. In der oben

dargestellten Form (3.25) enthält die Metrik nur noch zwei vom Radius r

abhängige Funktionen ν, λ. Sie erfüllt noch das Korrespondenzprinzip, denn

für eine flache Metrik (ν = λ = 0) geht sie in die Minkowski-Metrik in

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 57

Polarkoordinaten über. Es gilt:

g00 = eν , g11 = −eλ, g22 = −r2, g33 = −r2 sin2 Θ (3.26)

Für alle anderen Komponenten des metrischen Tensors gilt: gµν = 0.

Daraus ergeben sich die nicht verschwindenden Christoffelsymbole fol-

gendermaßen: (an dieser Stelle sei zur Definition der Christoffelsymbole in

Kapitel 2.6 verwiesen)

Γ111 =

1

2

∂λ

∂rΓ110 =

1

2

∂λ

c ∂t

Γ011 =

1

2

∂λ

c ∂reν−λ Γ0

10 =1

2

∂ν

∂r

Γ122 = −re−λ Γ2

12 = Γ313 =

1

r

Γ233 = −sinΘcosΘ Γ1

00 =1

2

∂ν

∂reν−λ

Γ000 =

1

2

∂ν

c ∂rΓ323 = cotΘ

Γ133 = −r sin2 Θe−λ

Für den Fall im Vakuum gilt Rµν = 0 und R = 0 woraus die vereinfachten

Feldgleichungen (siehe Gleichung 3.23) folgen. Die nicht verschwindenden

Komponenten von Gνµ sehen wie folgt aus:

G00 = e−λ

�1

r2− 1

1

r

∂λ

∂r

−1

r2

G11 = e−λ

�1

r2+ 1

1

r

∂ν

∂r

−1

r2

G10 =

e−λ

r c

∂λ

∂t(3.27)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 58

Setzt man nun G00, G

11, G

10 gleich 0, führt das auf folgendes Gleichungssystem:

G00 = 0 = e−λ

�1

r2− 1

1

r

∂λ

∂r

−1

r2

G11 = 0 = e−λ

�1

r2+ 1

1

r

∂ν

∂r

−1

r2

G10 = 0 =

e−λ

r c

∂λ

∂t(3.28)

Multiplizieren mit e−λ und anschließendes Herausheben von 1rführt zu:

G00 = 0 =

∂λ

∂r−

1

r+

r

G11 = 0 =

∂ν

∂r+

1

r−

r

G10 = 0 =

∂λ

∂t(3.29)

Da man durch bestimmte Wahl des Koordinatensystems die Zeitabhän-

gigkeit eliminieren kann, können alle Ableitungen nach der Zeit Null gesetzt

werden. Somit sind µ und λ nur mehr von r abhängig.

Zählt man nun die ersten beiden Gleichungen zusammen erhält man

d

dr(ν + λ) = 0

also flogt:

eν+λ = C eλ = Ce−ν (3.30)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 59

Einsetzen in die zweite Gleichung:

d ν

d r+

1

r−

Ce−ν

r= 0

eν�d ν

d r+

1

r

=C

r

1

r

d

d r(eνr) =

C

rd

d r(eνr) = C

eνr = Cr +D

eν = C +D

r

Betrachten wir nun Punkte, die vom Zentrum weit entfernt liegen (r → ∞),

so gilt eν = 1 und es folgt:

eν = e−λ = 1 +D

r

Über abschließende Überlegungen bezüglich der Angabe einer Beschleu-

nigung in diesem System, kommt man schließlich für D auf folgenden Wert:

D = −2GM

c2(3.31)

Nun erhalten wir die vollständige Schwarzschild-Lösung, mit der entspre-

chenden Metrik

ds2 = c2�

1−2MG

r c2

dt2 −dr2

1− 2MGr c2

− r2�dΘ2 + sin2 Θdφ2

�(3.32)

Man sieht sofort, dass es zu Problemen in der Metrik kommen wird, wenn

man für r entweder r = 0 oder r = R = 2MGc2

einsetzt. Die Unstimmigkeit für

r = 0 war zu erwarten, aber dass für einen zweiten Wert von r die Metrik

ebenfalls undefiniert bleibt, ist eine interessante Tatsache. Man spricht bei

diesem zweiten Wert von r, vom sogenannten Schwarzschildradius R.

Im Fall M = 0 geht die Schwarzschildmetrik in die Minkowski Metrik

über, sie wird flach. Gleichermaßen geschieht dies für große Entfernungen r.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 60

3.4.1 Analyse der Schwarzschildmetrik

Die Schwarzschildmetrik wird für verschiedene Betrachtungen verwendet. Mit

ihrer Hilfe konnte die Periheldrehung des Merkurs exakt beschrieben werden.

Die Sonne wird ins Zentrum gesetzt. Die Bahn des Merkurs ist aufgrund

seiner relativ geringen Entfernung stak von der Sonne beeinflusst, da die

Raumzeit in dieser Entfernung noch vergleichsweise stark gekrümmt ist.

Desweiteren kann der Effekt der Lichtablenkung durch einen masserei-

chen Körper äußerst genau berechnet werden. Dieser Effekt war die erste

experimentelle Bestätigung der Relativitätstheorie. Im Rahmen einer tota-

len Sonnenfinsternis konnte eine scheinbar Positionsabweichung von Sternen,

die zu dieser Zeit nahe der Sonne standen mit hoher Präzision vorausgesagt

und gemessen werden.

Außerdem beschreibt die Schwarzschildmetrik die Umgebung eines soge-

nannten Schwarzen Loches4. Alles, was dem Schwarzen Loch näher kommt als

dessen Schwarzschildradius (R = 2MGc2

), verschwindet für immer in diesem.

Schwarze Löcher können entstehen, wenn massereiche Sterne kollabieren.

3.5 Kosmologie

Mit der allgemeinen Relativitätstheorie gab es erstmals eine Theorie, die auch

ein dynamisches Universum zulässt. Eine neue Wissenschaft, die Kosmolo-

gie entstand. Die Newton’sche Mechanik postulierte ein stationäres, immer

da gewesenes Universum, die Relativitätstheorie vermochte aber mögliche

Zustände für ein expandierendes Universum zu beschreiben.

Die Kosmologie ist jenes Gebiet der Physik, welches eine Beschreibung des

Universums als Ganzes anstrebt. Ein Problem dafür bereitet die Tatsache,

das wir lediglich von einem Ort, der Erde aus, Beobachtungen machen kön-

nen. Es ist für eine allumfassende Theorie somit vonnöten von bestimmten

Annahmen auszugehen.

4Ein Schwarzes Loch besitzt eine kugelsymmetrische Masseverteilung

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 61

3.5.1 Das Kosmologische-Prinzip

Beobachtungen zeigen, dass das Universum im Großen isotrop ist. Das heißt,

es sieht in großen Skalen in alle Richtungen gleich aus. Zwar gibt es größere

Galaxiendichten an bestimmten Orten, im ganz Großen gesehen, ist die ange-

nommene Gleichmäßigkeit vorhanden. Weiters dafür sprechen die Verteilung

der kosmischen Radioquellen, Röntgen- und γ-Strahlung lassen auf ein isotro-

pes Universum schließen. Der größte dafür sprechende Aspekt ist allerdings

die kosmische Mikrowellen Hintergrundstrahlung. Das Spetrum dieser Strah-

lung gleicht einem schwarzen Körper bei einer Temperatur von 2,73 Kelvin.

Dieser Mikrowellenhintergrund weist das höchste Maß von Isotropie auf.

Das kopernikanische Weltbild rückte die Erde erstmals aus einer beson-

deren Stellung in unserem Sonnensystem. Die Erde war plötzlich nur mehr

einer von mehreren Planeten die um die Sonne kreisen. Eine weitere Verall-

gemeinerung der Kopernikanischen Überlegungen plaziert die Erde nicht nur

in unserem Sonnensystem an einen allgemeinen Platz. Es ist berechtigt anzu-

nehmen, dass sich unsere Stellung im Universum nicht von irgendeiner ande-

ren unterscheidet. Das Universum ist somit von jedem Punkt aus betrachtet

gleich. Alle Orte sind gleichberechtigt, es folgt die sogenannte Homogenität

des Universums.

Dem kosmologischen Prinzip zufolge befinden wir uns in einem homo-

genen und isotropen Universum. Diese Eigenschaften gelten für jeden Zeit-

punkt, beziehen sich aber nur auf räumliche Aspekte.

3.5.2 Mathematische Bedeutung

Die Aussagen des kosmologischen Prinzips werden in der Mathematik durch

den Begriff der Isomerien beschrieben. Zu einem bestimmten Zeitpunkt glei-

chen einander alle Punkte. Aus diesem Grund gibt es eine Abbildung welche

einen Punkt P in einen Punkt Q überführt, die Metrik sich dabei aber nicht

verändert.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 62

3.5.3 Friedmann-Modell

Albert Einstein ging zu Beginn von einem statischen5 Universum aus, wofür

er die Kosmologische Konstante Λ einführte. Der russische Mathematiker und

Physiker Alexander Friedmann verwarf diese Idee allerdings und setzte diese

gleich 0. Neben dem kosmologischen Prinzip und der kugelsymmetrischen

Expansion des Universums stellte Friedmann noch weitere Grundannahmen

auf:

• Von den 4 Grundkräften muss nur die Gravitation berücksichtigt wer-

den, da starke und schwache Wechselwirkung mit dem Abstand schnell

abfallen, und die elektromagnetische Wechselwirkung aufgrund der La-

dungsneutralität des Universums keine Rolle spielt.

• Der Kosmos verhält sich wie ein ideales Gas, die Galaxien sind dessen

Einzelteile.

Auf diesen Annahmen stützend versuchte Friedmann das Universum als gan-

zes zu beschreiben. Dies bewerkstelligte er schließlich mit seinen beiden Glei-

chungen:

H(t)2 ≡

�a(t)

a(t)

�2

=8πG

3ρ(t)−

Kc2

a(t)2(3.33)

a(t)

a(t)= −

4πG

3

�3p

c2+ ρ(t)

(3.34)

3.5.4 Herleitung der Friedmann Gleichungen

Eine dem kosmologischen Prinzip gerechtwerdende Betrachtung des Kosmos

liegt die Friedmann-Robertson-Walker-Metrik, die auch Friedmann 1922 ver-

wendete, zugrunde:

ds2 = dt2 − a2(t)

�dr2

1−Kr2+ r2dθ2 + r2sin2θdφ2

(3.35)

a(t) ist dabei der sogenannte Skalenparameter, der die Ausdehnung bzw das

Zusammenziehen des Universums in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. K

5Ein Universum welches in Ruhe ist wird als statisch bezeichnet

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 63

bestimmt die Krümmung des Raumes und kann drei Werte annehmen:

1. K = 1 steht für eine geschlossene Raumzeit sphärischer Krümmung..

2. K = 0 liefert den Fall ohne Krümmung, die Raumzeit ist flach.

3. K = −1 beschreibt eine offene hyperbolisch gekrümmte Raumzeit.

Es werden noch bestimmte Einschränkungen für den Energie-Impuls Ten-

sor benötigt.

Wie oben erwähnt wird das Universum als Galaxiengas betrachtet. die-

ses Gas soll nun die Eigenschaften einer idealen Flüssigkeit haben. Ein mit

der Flüssigkeit bewegter Beobachter (Geschwindigkeit uα) sieht die Galaxien

in seiner Umgebung in Ruhe. Der Energie-Impuls Tensor nimmt daher die

Gestalt

Tαβ = (ρ(t) + p(t)) uαuβ − p(t)gαβ (3.36)

an. ρ(t) ist dabei die von der Zeit abhängige Dichte, p(t) der von der Zeit

abhängige Druck.

Für die Dichte ρ(t) und für den Radius r(t) der sich dynamisch verän-

dernden Kugel gilt:

ρ(t) =ρ0

a(t)3(3.37)

r(t) = a(t)x x . . . Radius der Kugel (3.38)

Die Masse bleibt aber konstant und ergibt sich gemäß der Definition der

Dichte durch4πx3

3ρ0 (3.39)

Ein sich auf der Kugel befindliches Teilchen erfährt die Gravitationsbe-

schleunigungGM(x)

r(t)2(3.40)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 64

Damit lautet die Bewegungsgleichung

d2r

dt2= r(t) = −

4πG

3

ρ0x3

r(t)2(3.41)

a(t) =r(t)

x= −

4πG

3ρ(t)a(t) (3.42)

Einsetzen von Gleichung 3.37 und multiplizieren mit 2a(t) ergibt

2a(t)a(t) = −8πG

3ρ0

a(t)

a(t)2(3.43)

Nach der Definition der Ableitung ist aber

2a(t)a(t) =da(t)2

dt(3.44)

und

a(t)

a(t)2= −

d�

1a(t)

dt(3.45)

Dies setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten:

da(t)2

dt=

8πG

3ρ0

d�

1a(t)

dt(3.46)

Integrieren nach t liefert

a(t)2 =8πG

3ρ0

1

a(t)−Kc2 (3.47)

wobei Kc2 eine Integrationskonstante ist. Anschließendes Umformen führt

auf die erste Friedmann Gleichung

H(t)2 ≡

�a(t)

a(t)

�2

=8πG

3ρ(t)−

Kc2

a(t)2(3.48)

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 65

Die Herleitung der zweiten Friedmann Gleichung verwendet den 1.Haupt-

satz der Thermodynamik6 in allgemein relativistischer Form (p. . . Druck der

Materie)

d

dt

�c2ρ(t)a(t)

�= −p

da(t)3

dt

ρ(t)a(t)3 + 3ρ(t)a(t)2a(t) = −3pa(t)2a(t)

c

ρ(t)a(t)3 = −3pa(t)2a(t)

c− 3ρ(t)a(t)2a(t)

ρ(t)a(t)3 = −3a(t)a(t)�p

c+ ρ(t)

�(3.49)

Setzen wir nun obige Gleichung in die Ableitung von Gleichung 3.47 ein,

erhalten wir

2a(t)a(t) =8πG

3ρ0

−3a(t)a(t)

�P

c2+ ρ(t)

+ 2a(t)a(t)ρ(t)

Umformen führt auf die zweite Friedmann-Gleichung

a(t)

a(t)= −

4πG

3

�3p

c2+ ρ(t)

(3.50)

3.5.5 Diskussion des Friedmann-Modells

Diese Gleichungen liefern uns nun ein Modell, das 3 verschiedene Möglich-

keten für die Entwicklung des Universums und der Raumzeit beschreiben

kann. Gemeinsam ist ihnen die Tatsache, dass das Universum in Form eines

Urknalls entstand und derzeit kugelsymmetrisch expandiert (was von Edwin

Hubble 1929 experimentel bestätigt wurde):

1. Die Energiedichte des Universums ist größer als eine kritische Energie-

dichte. Die Krümmung der Raumzeit wäre positiv, die Raumzeit eine

geschlossene S4 Sphäre. Die Gravitation wäre demnach stark genug,

um die Expansion abzubremsen, das Universum würde sich wieder zu-

sammen ziehen und in einem Zustand der erneuten Singularität enden.

61.Hauptsatz der Thermodynamik: Die innere Energie U eines Systems kann sich nurdurch Zuführen oder Abnehmen von Energie in Form von ArbeitW bzw Wärme Q ändern[Vgl. 4, S. 616]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 66

2. Die Energiedichte hätte genau den kritischen Wert. Die Raumzeitkrüm-

mung wäre verschwindend klein. Die Raumzeit wäre nahezu eben, also

euklidisch. Die Ausdehnung würde immer weiter abgebremst werden,

der Stillstand könnte aber nie gänzlich erreicht werden. Dieses Modell

wird Einstein-de-Sitter Modell genannt

3. Die Energiedichte ist kleiner als eine kritische Energiedichte, was eine

beschleunigte Ausdehnung des Universums zur Folge hätte. Die Krüm-

mung wäre negativ, die Raumzeit selbst ein 4 dimensionales Hyperbo-

loid. Eine beschleunigte Ausdehnung hätte zur Folge, dass die Materie

zunehmend verteilt wird, bis die Teilchendichte annähernd 0 wird.

3.5.6 Aktueller Stand der Forschung

Es stellt sich nun die Frage, welches Modell dem Universum in dem wir leben

entspricht. Aktuelle Forschungen auf diesem Gebiet lassen darauf schließen,

dass unser Universum flach, also ungekrümmt, ist. Das würde dem Friedmann

Modell zufolge heißen, die Expansion wäre gebremst.

Ergebnisse wissenschaftlicher Arbeiten weisen aber darauf hin, dass die

Expansion des Universums momentan möglicherweise beschleunigt ist7. Die-

ses Verhalten wird nach derzeitigem Wissen von der sogenannten Dunklen

Energie hervorgerufen.

Es wird vermutet dass die Flachheit aus einer zu Beginn sehr schnellen

Ausdehnung, der Inflation8, des Universums resultiert. Weshalb die Raumzeit

in der wir leben dennoch flach ist, das genaue Verhalten unseres Universums

in der Zeit kurz nach dem Urknall, sowie die Beschaffenheit von Dunkler

Materie bzw. Energie sind die wesentlichen zu erforschenden Sachverhalte

der derzeitigen Kosmologie.

7[Vgl. 8, S. 39ff]8[Vgl. 9, S. 36ff]

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 67

Kapitel 4

Zusammenfassung

Die Fachbereichsarbeit Mathematische Methoden der al lgemeinen Relativi-

tätstheorie beschäftigt sich mit den grundlegenden Aspekten zur Beschrei-

bung eines gekrümmten Raumes, sowie deren Anwendung in der Kosmologie.

Dabei sollen die Inhalte in einer für den Leser verständlichen Weise aufgear-

beitet werden.

Am Beginn der Arbeit wurden verschiedene, in der Vergangenheit bzw.

der Zukunft wichtigen Theorien zur Beschreibung von Raum und Zeit kurz

zusammen gefasst.

Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert, wobei der eine sich auschließ-

lich auf die mathematischen, der andere sich mit deren Anwendungen in

der Physik auseinandersetzt. Zu Beginn wird der Leser mit den Vorüber-

legungen zu einer geometrischen Beschreibung eines gekrümmten Raumes

vertraut gemacht, bevor die anschließenden Kapitel die Vektor- Tensorrech-

nung eingeführen. Es folgt die Erläuterung der kovarianten Ableitung sowie

deren gometrischen Deutung. Nachdem der Begriff der Krümmung mit Hil-

fe des Riemann-Tensors beschrieben wird, behandelt die Arbeit die mit der

allgemeinen Relativitätstheorie neu eingeführten Feldgleichungen. Diese er-

möglichten erstmals eine formelle Beschreibung des Universums als Ganzes,

sowie bisher undenkbarer Gravitationswellen. Sie setzen Einsteins Idee Gra-

vitation als Krümmung der Raumzeit aufzufassen um, indem sie eine direkte

Proportionalität zwischen dem Einstein-Tensor, der die geometrischen Eigen-

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 68

schaften der Raumzeit darstellt, und derm Energie-Impuls Tensor, welcher

die Materie und Energie Verteilung im Universum beschreibt, herzustellen.

Ein neuer Zweig der Physik, die Kosmologie, entstand somit praktisch

mit Erscheinen der allgemeinen Relativitätstheorie. Da die Kosmologie die

Hauptanwendung Einsteins Theorie ist, sind dieser einige Kapitel gewidmet.

In diesen wird das Friedmann-Modell des Universums hergeleitet und ana-

lysiert. Unter Verwendung der Schwarzschildmetrik war es erstmals möglich

die Periheldrehung des sonnennächsten Planeten Merkur präzise zu berech-

nen. Diese wird aus den Feldgleichungen unter Festlegung bestimmter Vor-

aussetzungen abgeleitet und weiters auch zur Beschreibung der Raumzeit

Umgebung in der Nähe eines Schwarzen Loches herangezogen.

Ziel dieser Fachbereichsarbeit war es eine Einführung in die allgemeine

Relativitätstheorie zu bieten. Wert gelegt wurde vorallem auf den mathema-

tischen Hintergrund, wobei die Verwendung der Mathematischen Methoden

in der Beschreibung des Kosmos herausgearbeitet wurden.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 69

Erklärung

Hiermit erkläre ich, die vorliegende Fachbereichsarbeit selbst und nur mit Hil-

fe der angegebenen Quellen verfasst, sowie wörtliche und sinngemäße Zitate

als solche gekennzeichnet zu haben. Die Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher

Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen.

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 70

Literaturverzeichnis

[1] Atwater, Harry A.: Introduction to General Relativity. Pergamon Press,

1974 First edition 1974. ISBN 0-08-017692-5

[2] Berry, Michael: Kosmologie und Gravitation. Teubner Studienbücher,

1990 Neuauflage 1990. ISBN 3-519-03069-1

[3] Einstein, Albert: Relativity: The Special and General Theory.

http://www.gutenberg.org/etext/5001, 2004 Stand: Februar 2008.

[4] Feynman, Richard P. Leighton, Robert B. und Sands,Matthew .:

Bd. 1: Vorlesungen über Physik. 4. durchgesehene Auflage 2001. Olden-

bourg Verlag, 2001. – ISBN 3-486-25680-7

[5] Fließbach, Torsten: Al lgemeine Relativitätstheorie. Spektrum Akade-

mischer Verlag, 1990 2. Überarbeitete Auflage 1995. ISBN 3-86025-685-8

[6] Rebhan, Eckehard: Theoretische Physik. Spektrum Akademischer Ver-

lag, 1999 1.Nachdruck 2001. ISBN 3-8274-0246-8

[7] Sexl, Roman u. Hannelore: Weiße Zwerge-schwarze Löcher. Rohwolt

Taschenbuch Verlag, 1975 1. Auflage 1975. ISBN 3-499-27014-5

[8] Bartelmann, Matthias: Das Standardmodel l der Kosmologie. Sterne

und Weltraum. Ausgabe August 2007. S.39-47

[9] Bartelmann, Matthias: Das Standardmodel l der Kosmologie. Sterne

und Weltraum. Ausgabe September 2007. S.36-44

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 71

Quellen aus dem Internet

[10] Frauendiener, Jörg: Al lgemeine Relativitätstheorie. Version 20. Ok-

tober 2006. http://www.uni-tuebingen.de

[11] Wikipedia, die freie Enzyklopädie: http://de.wikipedia.org

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 72

Protokoll der Arbeit

Datum Arbeitsschritt

Anfang Juni 2007 Erste Unterredung mit Mag. Dr. Gerhard

Rath bezüglich des Schreibens einer Fachbe-

reichsarbeit aus Physik

Mitte-Ende Juni 2007 Konkretisierung des Themas

Festlegen des Titels

25.07.2007 Erstes Treffen mit Prof. Dr. Heimo Latal

Beginn der Literatursammlung

August 2007 Einlesen in das Thema

14.09.2007 Festlegen der Inhalte

Abgabe der Disposition

29.10.2007 Zweites Treffen mit Prof. Dr. Heimo Latal

Besprechung inhaltlicher Details

30.10.2007 Beginn der schriftlichen Arbeit

30.10.-07.11.2007 Fertigstellung der Kapitel 2.1, 2.2

10.11.-24.11.2007 Arbeit an den Kapitel 2.3, 2.4, 2.5

5.12.2008 Unterredung mit Mag. Bernd Lackner, Aus-

borgen des Buches [6]

10.12.-22.12.2007 Verfassen von Kapitel 3.1, 3.3

02.01.-07.01.2008 Abschluss von Kapitel 2.6, 3.1, 3.3

11.01.2008 Verfassen der Kapitel Vorwort und Erklärung

Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie 73

Datum Arbeitsschritt

22.01.2008 Übergabe der aktuellen Version an Mag. Dr.

Gerhard Rath und Prof. Dr. Heimo Latal

31.01.2008 Besprechung mit Mag. Dr. Gerhard Rath

31.01.-03.02.2008 Überarbeitung in Übereinkommen mit Mag.

Dr. Gerhard Rath

06.02.2008 Besprechungstreffen mit Prof. Dr. Heimo La-

tal

07.02.-09.02.2008 Einarbeiten diverser Besprechungsinhalte

10.02.-11.02.2008 Verfassen der fehlenden Kapitel

11.02.2008 Abgabe der aktuellen Version an Prof. Dr.

Heimo Latal

13.02.2008 Besprechung mit Prof. Dr. Heimo Latal

19.02.2008 Abgabe der aktuellen Version

29.02.2008 Endgültige Abgabe der finalen Version