Matroids, greedy algorithm,independent set polytope
Ingo Kleinert
Institut fur Mathematik, TU [email protected]
Seminar:Algorithmische Diskrete Mathematik
17. Juni 2008
Ubersicht Matroide Greedy-Algorithmus Independent Set Polytop Zusammenfassung
Ubersicht1 Matroide
Definition, BegriffeBeispieleAlternative Charakterisierungen
2 Greedy-AlgorithmusDefinitionBeispieleEffizienz
3 Independent Set PolytopDefinitionCharakterisierungFolgerung
4 Zusammenfassung
Ingo Kleinert
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Definition, BegriffeBeispieleAlternative Charakterisierungen
2 Greedy-AlgorithmusDefinitionBeispieleEffizienz
3 Independent Set PolytopDefinitionCharakterisierungFolgerung
4 Zusammenfassung
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Definition, BegriffeBeispieleAlternative Charakterisierungen
2 Greedy-AlgorithmusDefinitionBeispieleEffizienz
3 Independent Set PolytopDefinitionCharakterisierungFolgerung
4 Zusammenfassung
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Definition, BegriffeBeispieleAlternative Charakterisierungen
2 Greedy-AlgorithmusDefinitionBeispieleEffizienz
3 Independent Set PolytopDefinitionCharakterisierungFolgerung
4 Zusammenfassung
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I
2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Definition, Begriffe
Matroid, unabhangig, Basis, Rang
Matroid:(S, I) heißt Matroid, wenn S endliche Menge ist und∅ 6= I ⊆ 2S folgende Eigenschaften erfullt:
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I.
Unabhangigkeit: I ⊆ S heißt unabhangig, falls I ∈ I, andernfallsabhangig
Basis: B ⊆ U ⊆ S heißt Basis von U, falls B ∈ I und es keinZ ∈ I gibt mit B ⊂ Z ⊆ U.
Rang: Die gemeinsame Große rM(U) der Basen von U ⊆ Sheißt Rang von U.
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Beispiele
uniformer Matroid:
Gegeben sei eine Menge S und eine Zahl k ∈ N. Dieunabhangigen Mengen seien die Teilmengen I ⊆ S mit |I| ≤ k .Dieser so konstruierte Matroid heißt k-uniformer MatroidUk
n , n = |S|.
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Beispiele
linearer Matroid:
Lemma
Gegeben sei eine Matrix A ∈ Rm×n. Die Menge allerTeilmengen mit unabhangigen Spaltenvektoren von A bildeneinen Matroiden.
Beweis.
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:
Sei I, J ∈ I und |I| < |J|. Dann spannt I einen |I|-dimensionalen Raum auf, und J einen |J| -dimensionalenRaum. Es gibt also einen Vektor z ∈ J \ I, der unabhangigzu den Vektoren aus I ist. Also: I + z ∈ I und z ∈ J \ I.
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Beispiele
linearer Matroid:
Lemma
Gegeben sei eine Matrix A ∈ Rm×n. Die Menge allerTeilmengen mit unabhangigen Spaltenvektoren von A bildeneinen Matroiden.
Beweis.
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:
Sei I, J ∈ I und |I| < |J|. Dann spannt I einen |I|-dimensionalen Raum auf, und J einen |J| -dimensionalenRaum. Es gibt also einen Vektor z ∈ J \ I, der unabhangigzu den Vektoren aus I ist. Also: I + z ∈ I und z ∈ J \ I.
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Beispiele
Kreis-Matroid:
Lemma
Sei G = (V , E) ein Graph und I bestehe aus allen Teilmengenvon E, die einen Wald bilden.Dann ist M = (E , I) ein Matroid.
Beweis.
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:
Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.
Ingo Kleinert
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Beispiele
Kreis-Matroid:
Lemma
Sei G = (V , E) ein Graph und I bestehe aus allen Teilmengenvon E, die einen Wald bilden.Dann ist M = (E , I) ein Matroid.
Beweis.
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.
2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.
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Beispiele
Kreis-Matroid:
Lemma
Sei G = (V , E) ein Graph und I bestehe aus allen Teilmengenvon E, die einen Wald bilden.Dann ist M = (E , I) ein Matroid.
Beweis.
1 I ∈ I und J ⊆ I ⇒ J ∈ I: ist klar.2 I, J ∈ I und |I| < |J| ⇒ ∃z ∈ J \ I : I ∪ {z} ∈ I:
Sei F ⊆ E . Dann ist nach Definition jede Basis B ⊆ Fmaximaler Wald von F. Also ist B Spannbaum von (V , F )mit |V | − k Elementen (k ist Anzahl an Komponenten von(V , F )). Jede Basis von F hat also gleich viele Elemente.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Basen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:
1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Basen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:
1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Basen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:
1 B besteht aus Basen eines Matroiden;
2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Basen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:
1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B
3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Basen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= B ⊆ 2S.Dann sind aquivalent:
1 B besteht aus Basen eines Matroiden;2 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B′ − x + y ∈ B3 B, B′ ∈ B ∧ x ∈ B′ \ B ⇒ ∃y ∈ B \ B′ : B − y + x ∈ B.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Kreisen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= C ⊆ 2S, so dass keine Menge in CTeilmenge einer anderen Menge aus C ist. Dann sindaquivalent:
1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalt
eine Menge aus C, die y enthalt.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Kreisen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= C ⊆ 2S, so dass keine Menge in CTeilmenge einer anderen Menge aus C ist. Dann sindaquivalent:
1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalt
eine Menge aus C, die y enthalt.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Kreisen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= C ⊆ 2S, so dass keine Menge in CTeilmenge einer anderen Menge aus C ist. Dann sindaquivalent:
1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;
2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalteine Menge aus C, die y enthalt.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Kreisen
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= C ⊆ 2S, so dass keine Menge in CTeilmenge einer anderen Menge aus C ist. Dann sindaquivalent:
1 C besteht aus Kreisen eines Matroids;2 C, C′ ∈ C, x ∈ C ∩ C′ ∧ y ∈ C \ C′ ⇒ (C ∪ C′) \ {x} enthalt
eine Menge aus C, die y enthalt.
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Rangfunktion
Theorem
Sei S Menge und T , U ⊆ S.Die Rangfunktion r eines Matroiden besitzt die folgendenEigenschaften:
1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Rangfunktion
Theorem
Sei S Menge und T , U ⊆ S.Die Rangfunktion r eines Matroiden besitzt die folgendenEigenschaften:
1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Rangfunktion
Theorem
Sei S Menge und T , U ⊆ S.Die Rangfunktion r eines Matroiden besitzt die folgendenEigenschaften:
1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;
2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).
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Alternative Charakterisierungen
Charakterisierung mittels Rangfunktion
Theorem
Sei S Menge und T , U ⊆ S.Die Rangfunktion r eines Matroiden besitzt die folgendenEigenschaften:
1 r(T ) ≤ r(U) ≤ |U|, fur T ⊆ U;2 r(T ∩ U) + r(T ∪ U) ≤ r(T ) + r(U).
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.
andernfalls stoppe.
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.
Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.
andernfalls stoppe.
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.
andernfalls stoppe.
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅
2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.
andernfalls stoppe.
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich
3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.andernfalls stoppe.
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Definition
Der Greedy-Algorithmus
Definition
Problem: Seien S endliche Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S. Fur jedeGewichtsfunktion w : S → R suchen wir Menge I ∈ I, die w(I)maximiert.Greedy-Algorithmus:
1 Setze I := ∅2 Suche y ∈ S \ I mit I ∪ {y} ∈ I und w(y) großtmoglich3 Falls y gefunden, setze I := I ∪ {y} und gehe zu 2.
andernfalls stoppe.
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Definition
Greedy-Algorithmus auf Matroiden
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S abgeschlossen bezuglichder Teilmengenoperation. Dann:(S, I) ist Matroid⇔ Fur jede Gewichtsfunktion w : S → R+
fuhrt der Greedy-Algorithmus zu einer maximalgewichtetenMenge I ∈ I (bzgl. w).
Ingo Kleinert
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Definition
Greedy-Algorithmus auf Matroiden
Theorem
Sei S eine Menge und ∅ 6= I ⊆ 2S abgeschlossen bezuglichder Teilmengenoperation. Dann:(S, I) ist Matroid⇔ Fur jede Gewichtsfunktion w : S → R+
fuhrt der Greedy-Algorithmus zu einer maximalgewichtetenMenge I ∈ I (bzgl. w).
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Beispiele
Beispiele fur Greedy-Algorithmen
Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines GraphenDijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen
Ingo Kleinert
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Beispiele
Beispiele fur Greedy-Algorithmen
Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines Graphen
Dijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen
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Beispiele
Beispiele fur Greedy-Algorithmen
Kruskal-Algorithmus zum Auffinden eines minimalenSpannbaums eines GraphenDijkstra-Algorithmus zum Finden kurzester Wege in einemGraphen
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Effizienz
Effizienz von Greedy-Alorithmen auf Matroiden
Problem: Beschreibung des Matroiden (S, I), denn Anzahl allerunabhangigen Mengen ist exponentiell zur Große von S.
Annahme: Annahme der Existenz einesUnabhangigkeitstest-Orakels (Algorithmus), welches uberpruft,ob Menge S ⊇ I ∈ I.In Anwendungen meist mittels polynomieller Algorithmen (bzgl.Große von S) moglich.
Corollary
Eine maximal-gewichtete unabhangige Menge eines Matroidenkann in polynomieller Zeit gefunden werden.
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Effizienz
Effizienz von Greedy-Alorithmen auf Matroiden
Problem: Beschreibung des Matroiden (S, I), denn Anzahl allerunabhangigen Mengen ist exponentiell zur Große von S.Annahme: Annahme der Existenz einesUnabhangigkeitstest-Orakels (Algorithmus), welches uberpruft,ob Menge S ⊇ I ∈ I.In Anwendungen meist mittels polynomieller Algorithmen (bzgl.Große von S) moglich.
Corollary
Eine maximal-gewichtete unabhangige Menge eines Matroidenkann in polynomieller Zeit gefunden werden.
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Effizienz
Effizienz von Greedy-Alorithmen auf Matroiden
Problem: Beschreibung des Matroiden (S, I), denn Anzahl allerunabhangigen Mengen ist exponentiell zur Große von S.Annahme: Annahme der Existenz einesUnabhangigkeitstest-Orakels (Algorithmus), welches uberpruft,ob Menge S ⊇ I ∈ I.In Anwendungen meist mittels polynomieller Algorithmen (bzgl.Große von S) moglich.
Corollary
Eine maximal-gewichtete unabhangige Menge eines Matroidenkann in polynomieller Zeit gefunden werden.
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Definition
Independent set polytop
Definition
Die konvexe Hulle der Inzidenzvektoren der unabhangigenMengen eines Matroiden M = (S, I) heißt independent setpolytop Pindset(M).Das bedeutet, Pindset(M) ist ein Polytop in R|S|.
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Definition
Independent set polytop
Definition
Die konvexe Hulle der Inzidenzvektoren der unabhangigenMengen eines Matroiden M = (S, I) heißt independent setpolytop Pindset(M).Das bedeutet, Pindset(M) ist ein Polytop in R|S|.
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Charakterisierung
Independent set polytop
Theorem
P(M) ={
x ∈ R|S| : xs ≥ 0, s ∈ S ∧ x(U) ≤ rM(U), U ⊆ S}
.
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Charakterisierung
Independent set polytop
Theorem
P(M) ={
x ∈ R|S| : xs ≥ 0, s ∈ S ∧ x(U) ≤ rM(U), U ⊆ S}
.
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Folgerung
Independent set polytop und LP
Sei w : S → R Gewichtsfunktion.Dann finden wir durch Losen des folgenden linearenProgramms eine maximalgewichtete Menge J des MatroidenM = (S, I):max wT x ,s.t . xs ≥ 0 (s ∈ S),
x(U) ≤ rM(U) (U ⊆ S).
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Folgerung
Independent set polytop und LP
Sei w : S → R Gewichtsfunktion.Dann finden wir durch Losen des folgenden linearenProgramms eine maximalgewichtete Menge J des MatroidenM = (S, I):max wT x ,s.t . xs ≥ 0 (s ∈ S),
x(U) ≤ rM(U) (U ⊆ S).
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Ende
Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
Ingo Kleinert
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